Pierre Fermat a jeho „nedokázateľná“ veta. Neoverené teorémy našej doby, za ktoré je odmena Nevyriešené matematické úlohy
takze Veľká veta Fermat (často nazývaný posledný Fermatov teorém), ktorý v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchý a zrozumiteľný pre každého so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a do stupňa n + b do stupňa n = c do stupňa n nemá prirodzené (teda nezlomkové) riešenia pre n> 2. Zdá sa, že všetko je jednoduché a jasné, ale najlepší matematici a obyčajní amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.
Prečo je taká slávna? To sa dozvieme teraz...
Existuje málo dokázaných, neoverených a ešte neoverených teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neuveriteľne náročná úloha, a predsa každý s 5 známkami môže pochopiť jej formuláciu stredná škola, ale dôkazom nie je ani každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, no zostal by tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?
Začnime pytagorovými nohavicami. Znenie je naozaj jednoduché - na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, „ pythagorejské nohavice na všetkých stranách sú si rovní." Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.
V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali trojice celých čísel spĺňajúcich rovnosť x² + y² = z². Dokázali, že existuje nekonečne veľa pytagorových trojíc, a dostali všeobecné vzorce aby som ich našiel. Asi sa snažili hľadať trojky a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefungovalo, zanechali svoje zbytočné pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.
To znamená, že je ľahké nájsť množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x² + y² = z²
Počnúc 3, 4, 5 - žiak základnej školy skutočne chápe, že 9 + 16 = 25.
Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.
A tak ďalej. A ak vezmeme podobnú rovnicu x³ + y³ = z³? Možno existujú aj také čísla?
A tak ďalej (obr. 1).
Takže sa ukázalo, že NIE. Tu začína úlovok. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak neprítomnosť. Keď je potrebné dokázať, že existuje riešenie, môžete a mali by ste dať toto riešenie.
Dokázanie absencie je ťažšie: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu je riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je zabitý. Ako dokázať absenciu?
Povedzte: „Nenašiel som také riešenia“? Alebo si možno zle hľadal? Čo ak sú, len veľmi veľké, no, veľmi, také, že ani supervýkonný počítač ešte nemá dostatok sily? To je to, čo je ťažké.
Vo vizuálnej forme to možno znázorniť takto: ak vezmete dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíte ich na jednotkové štvorce, potom z tejto hromady jednotkových štvorcov získate tretí štvorec (obr. 2):
A ak to isté urobíme s tretím rozmerom (obr. 3), nebude to fungovať. Zostáva málo kociek alebo kociek navyše:
Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecná rovnica X n + y n = z n ... A nakoniec som dospel k záveru: pre n> 2 neexistujú celočíselné riešenia. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy horia! Zostáva len jeho poznámka v Diophantusovej aritmetike: "Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto tvrdenia, ale okraje sú príliš úzke na to, aby ho obsiahli."
Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale pre Fermata bola sláva pevne stanovená, že sa nikdy nemýlil. Ak aj nezanechal dôkaz o žiadnom vyhlásení, následne sa to potvrdilo. Okrem toho Fermat dokázal svoju tézu pre n = 4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do histórie ako Fermatova posledná veta.
Po Fermatovi pracovali také veľké mysle ako Leonard Euler na hľadaní dôkazu (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),
Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a verili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Fermatovej vety posledná veta bola prakticky ukončená.
Je ľahké ukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je tiež nekonečne veľa...
V roku 1825, použitím metódy Sophie Germain, matematičky, Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n = 5. V roku 1839 tou istou metódou ukázal Francúz Gabriel Lame pravdivosť vety pre n = 7. Postupne sa veta dokázala takmer pre všetkých n menej ako sto.
Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že nie je možné dokázať teorém vo všeobecnej forme pomocou metód matematiky 19. storočia. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, nebola udelená.
V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskel z nešťastnej lásky rozhodol spáchať samovraždu. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň napísal závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Obchod sa skončil pred polnocou. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Z ničoho nič zašiel do knižnice a začal čítať slávny článok od Kummera. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu vo svojom uvažovaní. Wolfskel začal s ceruzkou v ruke triediť túto pasáž článku. Polnoc prešla, prišlo ráno. Medzera v dôkazoch bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhal listy na rozlúčku a prepísal závet.
Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet kráľovského úradu. vedeckej spoločnosti Göttingen, ktorý v tom istom roku vyhlásil súťaž o cenu Wolfskehla. 100 000 mariek bolo kvôli dokazovaniu Fermatovej vety. Ani fenig nemal vyvrátiť vetu...
Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za beznádejnú úlohu a dôrazne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri šantili slávne. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať predložené dôkazy, rozdal svojim študentom karty:
Drahá. ... ... ... ... ... ... ...
Ďakujem za rukopis, ktorý ste mi poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku .... Kvôli tomu sú všetky dôkazy neplatné.
Profesor E. M. Landau
V roku 1963 Paul Cohen, opierajúc sa o Gödelove závery, dokázal nerozhodnuteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov – hypotézu kontinua. Čo ak je aj Fermatova posledná veta nerozhodnuteľná?! Ale skutoční fanatici Veľkej vety neboli ani v najmenšom sklamaní. Nástup počítačov nečakane poskytol matematikom novú metódu dokazovania. Po druhej svetovej vojne skupiny programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.
V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici vyhlásili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty od n do 4 miliónov. Ale ak odpočítate čo i len bilión biliónov od nekonečna, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.
V roku 1954 dvaja mladí japonskí priatelia matematiky začali študovať modulárne formy. Tieto formuláre generujú rady čísel, z ktorých každý má svoj vlastný riadok. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty a eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takýmito rozdielnymi objektmi sa ešte nikdy nenašli spojenia.
Napriek tomu priatelia po starostlivom testovaní predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojitú - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého smeru v matematike, ale kým sa nepotvrdila hypotéza Taniyama – Shimura, celá budova sa mohla kedykoľvek zrútiť.
V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s domnienkou Taniyama – Shimura. Po dokázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice neexistuje a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov sa hypotéza Taniyama-Shimura nepodarilo dokázať a nádejí na úspech bolo čoraz menej.
V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Ako školák, študent, postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.
Keď sa Wiles dozvedel o záveroch Kena Ribeta, pustil sa bezhlavo do dokazovania hypotézy Taniyama – Shimura. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé... Príliš veľa divákov zámerne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce prinieslo ovocie, Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama – Shimura.
V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoju senzačnú správu na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), na ktorej práca trvala viac ako sedem rokov.
Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa seriózna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako možno dôkaz považovať za prísny a presný. Wiles strávil hektické leto čakaním na spätnú väzbu od recenzentov a dúfal, že získa ich súhlas. Koncom augusta našli znalci nedostatočne odôvodnený rozsudok.
Ukázalo sa, že toto riešenie obsahuje hrubú chybu, hoci je celkovo správne. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho odborníka na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise „Annals of Mathematics“. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola položená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.
„... Pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som Nadi odovzdal rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Waltz). Povedal som, že matematici sú zvláštni ľudia?
Tentoraz o dôkaze nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najstarostlivejšej analýze a boli publikované v máji 1995 v Annals of Mathematics.
Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor, že Fermatova posledná veta je nerozhodnuteľná. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom - len veľmi málo ľudí je spokojných s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie 130 strán!
Preto sa teraz sily mnohých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhnú do hľadania jednoduchého a lakonického dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...
Niekedy môže usilovné štúdium exaktných vied priniesť ovocie – stanete sa nielen známymi celému svetu, ale aj bohatými. Ocenenia sa však udeľujú nie za hocičo a v modernej vede je množstvo neoverených teórií, teórií a problémov, ktoré sa s vývojom vedy množia, vezmite si napríklad zošity Kourovka alebo Dnester, akási zbierka neriešiteľnej fyziky. a matematika, a nielen úlohy. Existujú však skutočne zložité teorémy, ktoré neboli schopné vyriešiť viac ako tucet rokov, a práve za ne bol American Clay Institute ocenený cenou 1 milión amerických dolárov za každú. Do roku 2002 bol celkový jackpot 7 miliónov, keďže „problémov tisícročia“ bolo sedem, ale ruský matematik Grigory Perelman vyriešil Poincarého hypotézu epickým opustením milióna, pričom ani neotvoril dvere americkým matematikom, ktorí mu chceli dať jeho poctivo zarobený bonus. . Zapneme teda teóriu veľkého tresku pre pozadie a náladu a uvidíme, za čo ešte môžete znížiť okrúhlu sumu.
Rovnosť tried P a NP
Zjednodušene povedané, problém rovnosti P = NP je nasledovný: ak možno kladnú odpoveď na nejakú otázku skontrolovať pomerne rýchlo (v polynomiálnom čase), potom je pravda, že odpoveď na túto otázku možno nájsť pomerne rýchlo (aj v polynomiálny čas a pomocou polynomiálnej pamäte)? Inými slovami, naozaj nie je jednoduchšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Pointa je, že niektoré výpočty a výpočty sa dajú ľahšie vyriešiť pomocou algoritmu, a nie hrubou silou, a teda šetria veľa času a zdrojov.
Hodgeova hypotéza
Hodgeova domnienka bola sformulovaná v roku 1941 a hovorí, že pre obzvlášť dobré typy priestorov, nazývané projektívne algebraické variety, sú takzvané Hodgeove cykly kombináciami objektov, ktoré majú geometrickú interpretáciu – algebraické cykly.
Tu, vysvetlením jednoduchými slovami, môžeme povedať nasledovné: v 20. storočí boli objavené veľmi zložité geometrické tvary, ako napríklad zakrivené fľaše. Bolo teda navrhnuté, že na skonštruovanie týchto objektov na popis je potrebné použiť úplne záhadné formy, ktoré nemajú geometrickú podstatu „takých strašidelných viacrozmerných malyakov“, alebo si stále vystačíte s konvenčne štandardnou algebrou + geometriou.
Riemannova hypotéza
Tu je to ľudskou rečou dosť ťažko vysvetliteľné, stačí vedieť, že riešenie tohto problému bude mať ďalekosiahle dôsledky v oblasti distribúcie prvočísel. Problém je natoľko závažný a naliehavý, že aj odvodenie protipríkladu hypotézy je na rozhodnutí akademickej rady univerzity, problém možno považovať za preukázaný, preto tu môžete skúsiť metódu „z opaku“. Aj keď je možné preformulovať hypotézu v užšom zmysle, potom Clay Institute zaplatí určitú sumu peňazí.
Young - Millsova teória
Časticová fyzika je jednou z obľúbených oblastí Dr. Sheldona Coopera. Kvantová teória dvoch inteligentných ľudí nám hovorí, že pre každú skupinu jednoduchých meradiel vo vesmíre existuje hmotnostný defekt iný ako nula. Toto tvrdenie bolo preukázané experimentálnymi údajmi a numerickým modelovaním, ale nikto to zatiaľ nemôže dokázať.
Navier-Stokesove rovnice
Tu by nám asi pomohol Howard Wolowitz, keby existoval v realite - veď je to hádanka z hydrodynamiky a základ základov. Rovnice opisujú pohyb viskóznej newtonovskej tekutiny, majú veľký praktický význam a predovšetkým opisujú turbulencie, ktoré nemožno zaradiť do rámca vedy a predpovedať jej vlastnosti a pôsobenie. Zdôvodnenie konštrukcie týchto rovníc by umožnilo nevystrčiť prst do neba, ale pochopiť turbulencie zvnútra a urobiť lietadlá a mechanizmy stabilnejšie.
Birch - Swinnerton-Dyerova hypotéza
Tu som sa naozaj snažil pozbierať jednoduché slová existuje však taká hustá algebra, že sa človek nezaobíde bez hlbokého ponoru. Pre tých, ktorí sa nechcú potápať s potápaním v matane, musíte vedieť, že táto hypotéza vám umožňuje rýchlo a bezbolestne nájsť rad eliptických kriviek, a ak by táto hypotéza neexistovala, bol by potrebný hárok výpočtov. na výpočet tohto poradia. No, samozrejme, treba vedieť aj to, že dôkaz tejto hypotézy vás obohatí o milión dolárov.
Treba si uvedomiť, že v takmer každej oblasti sú už pokroky a na jednotlivých príkladoch boli dokázané aj prípady. Preto neváhajte, inak to dopadne ako s Fermatovou vetou, ktorá po viac ako 3 storočiach v roku 1994 podľahla Andrewovi Wilesovi a priniesla mu Abelovu cenu a asi 6 miliónov nórskych korún (50 miliónov rubľov podľa dnešného kurzu) .
Neriešiteľné úlohy je 7 zaujímavých matematických úloh. Každý z nich bol naraz navrhnutý slávnymi vedcami, zvyčajne vo forme hypotéz. Matematici na celom svete si dlhé desaťročia lámu hlavu nad ich riešením. Tí, ktorí uspejú, budú odmenení miliónom amerických dolárov, ktoré ponúka Clay Institute.
Clay Institute
Toto je názov súkromnej neziskovej organizácie so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. V roku 1998 ju založili harvardský matematik A. Jeffy a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizovať a rozvíjať matematické poznatky. Na dosiahnutie tohto cieľa organizácia udeľuje ocenenia vedcom a sponzorom sľubným výskumom.
Začiatkom 21. storočia Clay Mathematical Institute ponúkol ocenenie tým, ktorí riešia takzvané najťažšie neriešiteľné problémy, pričom ich zoznam nazval Problémy tisícročnej ceny. Z „Hilbertovho zoznamu“ doň bola zahrnutá len Riemannova hypotéza.
Výzvy tisícročia
Zoznam Clay Institute pôvodne obsahoval:
- hypotéza Hodgeovho cyklu;
- rovnice kvantovej teórie Yang - Mills;
- Poincarého domnienka;
- problém rovnosti tried P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- existencia a hladkosť jeho riešení;
- problém Birch-Swinnerton-Dyer.
Tieto sa otvárajú matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať mnoho praktických implementácií.
Čo dokázal Grigory Perelman
V roku 1900 slávny vedec-filozof Henri Poincaré navrhol, že každé jednoducho spojené kompaktné 3-roztočenie bez hraníc je homeomorfné s 3-guľou. Jeho dôkaz vo všeobecnom prípade nebol nájdený celé storočie. Len v rokoch 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman množstvo článkov o riešení Poincarého problému. Mali efekt výbuchu bomby. V roku 2010 bola Poincarého hypotéza vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“ Clay Institute a sám Perelman bol požiadaný, aby dostal vďaka nemu nemalú odmenu, čo však tento odmietol bez toho, aby vysvetlil dôvody svojho rozhodnutia.
Najzrozumiteľnejšie vysvetlenie toho, čo sa ruskému matematikovi podarilo dokázať, možno poskytnúť tak, že si predstavíme, že sa cez šišku (torus) pretiahne gumený kotúč a potom sa snažia okraje jeho kruhu stiahnuť do jedného bodu. To zjavne nie je možné. Iná vec je, ak tento experiment vykonáte s loptou. V tomto prípade zdanlivo trojrozmerná guľa, ktorá je výsledkom disku, ktorého obvod bol vtiahnutý do bodu hypotetickou šnúrou, bude v chápaní trojrozmerná. obyčajný človek ale dvojrozmerné z hľadiska matematiky.
Poincaré navrhol, že trojrozmerná guľa je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch možno v jednom bode pritiahnuť k sebe a Perelman to dokázal. Zoznam „Neriešiteľných úloh“ teda dnes pozostáva zo 6 problémov.
Yang-Millsova teória
Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná: pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú meranú skupinu existuje kvantová teória priestoru vytvorená Yangom a Millsom a má nulový hmotnostný defekt.
Ak hovoríme jazykom zrozumiteľným pre bežného človeka, interakcie medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny atď.) sa delia na 4 typy: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Fyzici sa dlhé roky pokúšali vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Mal by sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Yang-Millsova teória je matematický jazyk, pomocou ktorého bolo možné opísať 3 zo 4 základných prírodných síl. Neplatí pre gravitáciu. Preto nemožno predpokladať, že Youngovi a Millsovi sa podarilo vytvoriť teóriu poľa.
Navyše, nelinearita navrhovaných rovníc spôsobuje, že je extrémne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako je možné tieto rovnice vyriešiť silnou väzbou.
Navier-Stokesove rovnice
Tieto výrazy popisujú procesy, ako sú prúdenie vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencia. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navier-Stokesovej rovnice, ale pre všeobecnú sa to nikomu nepodarilo. Numerické simulácie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času atď. môžu zároveň dosiahnuť vynikajúce výsledky. Ostáva dúfať, že sa niekomu podarí aplikovať Navier-Stokesove rovnice opačným smerom, teda s ich pomocou vypočítať parametre, prípadne dokázať, že neexistuje spôsob riešenia.
Birch - Swinnerton-Dyer problém
Kategória „Nevyriešené problémy“ zahŕňa hypotézu navrhnutú britskými vedcami z University of Cambridge. Už pred 2300 rokmi dal staroveký grécky vedec Euclid Celý popis riešenia rovnice x2 + y2 = z2.
Ak pre každé z prvočísel spočítate počet bodov na krivke modulo jej modul, dostanete nekonečnú množinu celých čísel. Ak to konkrétne "nalepíte" do 1 funkcie komplexnej premennej, tak dostanete Hasse-Weilovu zeta funkciu pre krivku tretieho rádu, označovanú písmenom L. Obsahuje informácie o správaní modulo všetky prvočísla naraz.
Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer vyslovili hypotézu o eliptických krivkách. Podľa nej štruktúra a množstvo jeho súboru racionálne rozhodnutia súvisia so správaním L-funkcie pri jednote. V súčasnosti nepreukázaná Birchova - Swinnerton-Dyerova domnienka závisí od popisu algebraických rovníc 3. stupňa a je jedinou relatívne jednoduchou všeobecnou metódou na výpočet poradia eliptických kriviek.
Aby sme pochopili praktický význam tohto problému, stačí povedať, že v modernej kryptografii na eliptických krivkách je založená celá trieda asymetrických systémov a domáce štandardy digitálneho podpisu sú založené na ich aplikácii.
Rovnosť tried p a np
Ak je zvyšok problémov tisícročia čisto matematický, potom tento súvisí so súčasnou teóriou algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy aj ako Cook-Levinov problém, možno jednoducho formulovať nasledovne. Predpokladajme, že kladnú odpoveď na určitú otázku možno overiť dostatočne rýchlo, to znamená v polynomiálnom čase (PV). Je teda správne povedať, že odpoveď na ňu sa dá nájsť pomerne rýchlo? Znie to ešte jednoduchšie: naozaj nie je ťažšie nájsť riešenie problému, ako ho nájsť? Ak sa niekedy dokáže rovnosť tried p a np, všetky výberové problémy možno vyriešiť v PV. V súčasnosti mnohí odborníci pochybujú o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nevedia dokázať opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebol identifikovaný žiadny vzor, ktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými otázkami. V polovici 19. storočia sa však situácia zmenila a stali sa jednými z najrelevantnejších, v ktorých matematici začali študovať.
Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila v tomto období, je predpokladom, že v distribúcii prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes mnohí moderní vedci veria, že ak sa to preukáže, bude potrebné zrevidovať mnohé základné princípy modernej kryptografie, ktoré tvoria základ väčšiny mechanizmov elektronického obchodu.
Podľa Riemannovej hypotézy môže byť charakter distribúcie prvočísel výrazne odlišný od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v distribúcii prvočísel. Napríklad je tu problém „dvojičiek“, medzi ktorými je rozdiel 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Sú to 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho predpokladajú, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, sila moderných krypto kľúčov bude spochybnená.
Hypotéza Hodgeových cyklov
Tento stále nevyriešený problém bol sformulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza predpokladá možnosť aproximácie tvaru akéhokoľvek predmetu „zlepením“ jednoduchých telies vyššej dimenzie. Táto metóda bola známa a úspešne aplikovaná už dlhú dobu. Nie je však známe, do akej miery je možné dosiahnuť zjednodušenie.
Teraz viete, aké neriešiteľné problémy momentálne existujú. Sú predmetom výskumu tisícok vedcov po celom svete. Zostáva dúfať, že budú v blízkej budúcnosti vyriešené a ich praktické využitie pomôže ľudstvu vstúpiť do novej etapy technologického rozvoja.
- „Úlohy ľudstvaĽUDSTVO NEVYRIEŠENÉ ÚLOHY MATEMATIKY
Hilbertove problémy
23 kritických problémov v matematike predstavil najväčší nemecký matematik David Hilbert na druhom medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži v roku 1990. Potom tieto problémy (pokrývajúce základy matematiky, algebry, teórie čísel, geometrie, topológie, algebraickej geometrie, Lieových grup, reálnej a komplexnej analýzy, diferenciálnych rovníc, matematickej fyziky, variačného počtu a teórie pravdepodobnosti neboli vyriešené. 16 problémov bolo vyriešených z 23. Ďalšie dva nie sú správne matematické problémy (jeden je formulovaný príliš vágne na to, aby sa dalo pochopiť, či bol vyriešený alebo nie, druhý, ani zďaleka nevyriešený, je fyzikálny, nie matematický). Zo zostávajúcich 5 problémy, dva neboli vyriešené žiadnym spôsobom, ale tri boli vyriešené len v niektorých prípadoch
Landauove problémy
Doteraz existuje veľa otvorených otázok súvisiacich s prvočíslami (prvočíslo je číslo, ktoré má iba dvoch deliteľov: jedničku a samotné číslo). Boli uvedené najdôležitejšie otázky Edmund Landau na piatom medzinárodnom matematickom kongrese:
Landauov prvý problém (Goldbachov problém): Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dva možno znázorniť ako súčet dvoch prvočísel a každé nepárne číslo väčšie ako 5 ako súčet troch prvočísel?
Landauov druhý problém: je množina nekonečná "Jednoduché dvojčatá"- prvočísla, ktorých rozdiel je rovný 2?
Tretí Landauov problém(Legendreho hypotéza): je pravda, že pre každé prirodzené číslo n medzi a existuje vždy prvočíslo?
Landauov štvrtý problém: Existuje nekonečná množina prvočísel v tvare, kde n je prirodzené číslo?
Výzvy tisícročia (Problémy s cenou tisícročia)
Toto je sedem matematických úloh s a rozhodnutie každého z nich Clay Institute ponúkol cenu 1 000 000 amerických dolárov. Clay Institute predložil týchto sedem problémov súdu matematikov a porovnal ich s 23 problémami D. Hilberta, ktoré mali veľký vplyv na matematiku 20. storočia. Väčšina z 23 Hilbertových problémov už bola vyriešená a do zoznamu problémov tisícročia bola zaradená len jedna – Riemannova hypotéza. Od decembra 2012 bol vyriešený iba jeden zo siedmich problémov tisícročia (Poincarého hypotéza). Cenu za jej riešenie dostal ruský matematik Grigorij Perelman, ktorý ju odmietol.
Tu je zoznam týchto siedmich úloh.:
#1. Rovnosť tried P a NP
Ak môže byť kladná odpoveď na otázku rýchlo skontrolovať (pomocou niektorých pomocných informácií, nazývaných certifikát), je pravda, že samotná odpoveď (spolu s certifikátom) na túto otázku môže byť rýchlo Nájsť? Problémy prvého typu patria do triedy NP a druhé do triedy P. Problém rovnosti týchto tried je jedným z najdôležitejších problémov v teórii algoritmov.
#2. Hodgeova hypotéza
Dôležitý problém v algebraickej geometrii. Dohad popisuje triedy komológie na komplexných projektívnych varietách, ktoré sú realizované algebraickými pododrodami.
č. 3. Poincarého hypotéza (dokázaná G.Ya. Perelmanom)
Je považovaný za najznámejší problém topológie. Zjednodušene povedané, tvrdí, že každý 3D „objekt“, ktorý má nejaké vlastnosti trojrozmernej gule (napríklad každá slučka v nej musí byť stiahnuteľná), musí byť guľatá až do deformácie. Cenu za preukázanie Poincarého domnienky získal ruský matematik G. Ya Perelman, ktorý v roku 2002 publikoval sériu prác, z ktorých vyplýva platnosť Poincarého domnienky.
č. 4. Riemannova hypotéza
Hypotéza tvrdí, že všetky netriviálne (teda majúce nenulovú imaginárnu časť) nuly Riemannovej zeta funkcie majú reálnu časť 1/2. Riemannova hypotéza bola Hilbertovým ôsmym problémom.
č. 5. Young - Millsova teória
Problém je z oblasti fyziky elementárnych častíc. Je potrebné dokázať, že pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú kalibračnú skupinu G existuje kvantová Yangova - Millsova teória pre štvorrozmerný priestor a má nenulovú hmotnostnú chybu. Toto tvrdenie je v súlade s experimentálnymi údajmi a numerickými simuláciami, ale zatiaľ nebolo dokázané.
č. 6. Existencia a hladkosť riešení Navierových - Stokesových rovníc
Navier - Stokesove rovnice opisujú pohyb viskóznej tekutiny. Jedna z najdôležitejších úloh v hydrodynamike.
č. 7. Birch - Swinnerton-Dyerova hypotéza
Dohad je spojený s rovnicami eliptických kriviek a množinou ich racionálnych riešení.
