Príklady sústav lineárnych rovníc: metóda riešenia. Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc Algoritmus na riešenie jednoduchých rovníc

„Gaussova a Cramerova metóda“ - Gaussova metóda. Elementárne transformácie. Prvú rovnicu systému (1) vydelíme a11. (päť). Gauss zomrel 23. februára 1855 v Göttingene. Gaussova metóda je klasická metóda na riešenie systému lineárnych algebraických rovníc. Potom sú x2 a x3 substituované do prvej rovnice a je nájdené x1. Nechajte koeficient.

„Rovnice a nerovnosti“ - Pozostáva z nasledovného: vykreslenie grafov dvoch funkcií do jedného súradnicového systému. 4. Grafická metóda určenia počtu koreňov rovnice. 3. Koľko koreňov má rovnica? 2. Nájdite súčet čísel, ktoré vyhovujú nerovnosti. Grafické riešenie systému. 3. Nájdite interval obsahujúci najväčšie celé číslo, ktoré spĺňa nerovnosť.

„Gauss-Markovova veta“ - Dokážme, že odhady (7.3) sú nestranné. Vytvorme vektory a maticu koeficientov na základe systému (7.2). Ak matica X nie je kolineárna a vektor náhodných porúch spĺňa tieto požiadavky: Kde. (7,7). Pre získanie potrebných podmienok pre extrém, diferencujeme (7.6) vzhľadom na vektor parametrov.

„Metódy riešenia sústav rovníc“ - B. 1. Vypočítajte: 14. 6. Koľko percent predstavuje číslo 8 z jeho štvorca? 12. 7. Nájdite najväčší koreň rovnice. 9. Ktorá funkcia je znázornená na obrázku? Nájdite význam výrazu. %. H. O. B. 15x + 10 (1 - x) \u003d 1.

„Iracionálna rovnica“ - Nájdite chybu. Rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod koreňovým znamienkom, sa nazývajú iracionálne. ? X - 6 \u003d 2? x - 3 \u003d 0? x + 4 \u003d 7? 5 - x \u003d 0? 2 - x \u003d x + 4. PROBLÉM: Študenti nie vždy vedia, ako vedome používať informácie o iracionálnych rovniciach. Je číslo x koreňom rovnice: a)? x - 2 \u003d? 2 - x, x0 \u003d 4 b)? 2 - x \u003d? x - 2, x0 \u003d 2 c)? x - 5 \u003d? 2x - 13, x0 \u003d 6 d)? 1 - x \u003d? 1 + x, x0 \u003d 0.

„Riešenie rovníc s parametrom“ - Riešenie. Príklad. 6. ročník. Príklady: V 5. ročníku môžete pri opakovaní vlastností čísel zvážiť príklady. Na mimoškolských hodinách matematiky v 6. ročníku sa uvažuje o riešení rovníc s parametrami tvaru: 1) ax \u003d 6 2) (a - 1) x \u003d 8,3 3) bx \u003d -5. Pri a \u003d -1/2 dostaneme rovnicu 0x \u003d 0. Rovnica má nekonečnú množinu riešení.

K dispozícii je celkom 49 prezentácií

Jednoducho povedané, jedná sa o rovnice, v ktorých je aspoň jedna s premennou v menovateli.

Napríklad:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Príklad nie frakčné racionálne rovnice:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Ako sa riešia zlomkové racionálne rovnice?

Hlavná vec, ktorú treba pamätať na frakčné racionálne rovnice, je písať do nich. A po nájdení koreňov ich určite skontrolujte z hľadiska prípustnosti. V opačnom prípade sa môžu objaviť cudzie korene a celé rozhodnutie sa bude považovať za nesprávne.

Algoritmus riešenia zlomkovej racionálnej rovnice:

Zapíšte si a „vyriešte“ DHS.

Vynásobte každý výraz v rovnici spoločným menovateľom a výsledné zlomky zrušte. Menovatelia zmiznú.

Napíš rovnicu bez otvorenia zátvoriek.

Vyriešte výslednú rovnicu.

Nájdené korene skontrolujte pomocou ODZ.

Do odpovede si zapíšte korene, ktoré prešli kontrolou v kroku 7.

Nezapamätajte si algoritmus, 3 - 5 vyriešených rovníc - a sám si ho zapamätá.

Príklad ... Riešiť zlomkovú racionálnu rovnicu \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Rozhodnutie:

Odpoveď: \(3\).

Príklad ... Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice \\ (\u003d 0 \\)

Rozhodnutie:

\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \\)\(=0\) ODZ: \\ (x + 2 ≠ 0⇔x ≠ -2 \\) \\ (x + 5 ≠ 0 ⇔x ≠ -5 \\) \\ (x ^ 2 + 7x + 10 ≠ 0 \\) \\ (D \u003d 49-4 \\ cdot 10 \u003d 9 \\) \\ (x_1 ≠ \\ frac (-7 + 3) (2) \u003d - 2 \\) \\ (x_2 ≠ \\ frac (-7-3) (2) \u003d - 5 \\)		Odpisujeme a „riešime“ ODZ. Rozbaľte \\ (x ^ 2 + 7x + 10 \\) podľa vzorca: \\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x_1) (x-x_2) \\). Našťastie sme už našli \\ (x_1 \\) a \\ (x_2 \\).
\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Je zrejmé, že spoločným menovateľom zlomkov je \\ ((x + 2) (x + 5) \\). Vynásobíme tým celú rovnicu.
\\ (\\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \\ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \\) \\ (- \\ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Redukčné frakcie
\\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x \u003d 0 \\)		Rozbaliť zátvorky
\\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x \u003d 0 \\)		Dávame podobné výrazy
\\ (2x ^ 2 + 9x-5 \u003d 0 \\)		Nájdite korene rovnice
\\ (x_1 \u003d -5; \\) \\ (x_2 \u003d \\ frac (1) (2). \\)		Jeden z koreňov sa nezmestí do ODZ, a preto si do odpovede zapíšeme iba druhý koreň.

Odpoveď: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Racionálne výrazy a racionálne rovnice

Už sme sa naučili, ako riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírime študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne vyjadrenia volajú sa výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru :, kde - racionálne výrazy.

Predtým sme uvažovali iba o tých racionálnych rovniciach, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz uvažujme o tých racionálnych rovniciach, ktoré je tiež možné redukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu :.

Rozhodnutie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica. Pred jeho vyriešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Získame:

Získame dva korene :; ...

Pretože 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: ... Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané riešením druhej nerovnosti, sú obidvomi riešeniami tejto rovnice.

Odpoveď:.

Algoritmus riešenia racionálnej rovnice

Poďme teda formulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Posuňte všetky výrazy na ľavú stranu, aby ste dostali 0 na pravú stranu.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok sa rovná 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Zapíšte si korene, ktoré získate v prvej rovnici, a v odpovedi uspokojte druhú nerovnosť.

Ukážka riešenia racionálnej rovnice

Zoberme si ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Rozhodnutie

Na samom začiatku prenesieme všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby napravo zostala 0. Získame:

Teraz prenesieme ľavú stranu rovnice na spoločného menovateľa:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice :. Vypočítame diskrimináciu:

Získame dva korene :; ...

Teraz poďme vyriešiť druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak sa žiadny z faktorov nerovná 0.

Je nevyhnutné, aby boli splnené dve podmienky: ... Dostaneme to z dvoch koreňov prvej rovnice, hodí sa iba jeden - 3.

Už sme sa naučili, ako riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírime študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne vyjadrenia volajú sa výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru :, kde - racionálne výrazy.

Predtým sme uvažovali iba o tých racionálnych rovniciach, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz uvažujme o tých racionálnych rovniciach, ktoré je tiež možné redukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu :.

Rozhodnutie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica. Pred jeho vyriešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Získame:

Získame dva korene :; ...

Pretože 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: ... Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané riešením druhej nerovnosti, sú obidvomi riešeniami tejto rovnice.

Odpoveď:.

Poďme teda formulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Posuňte všetky výrazy na ľavú stranu, aby ste dostali 0 na pravú stranu.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok sa rovná 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Zapíšte si korene, ktoré získate v prvej rovnici, a v odpovedi uspokojte druhú nerovnosť.

Zoberme si ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Rozhodnutie

Na samom začiatku prenesieme všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby napravo zostala 0. Získame:

Teraz prenesieme ľavú stranu rovnice na spoločného menovateľa:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica v systéme je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice :. Vypočítame diskrimináciu:

Získame dva korene :; ...

Teraz poďme vyriešiť druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak sa žiadny z faktorov nerovná 0.

Je nevyhnutné, aby boli splnené dve podmienky: ... Dostaneme to z dvoch koreňov prvej rovnice, hodí sa iba jeden - 3.

Odpoveď:.

V tejto lekcii sme si spomenuli, čo je to racionálny výraz, a tiež sme sa naučili, ako riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

V nasledujúcej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely situácií v reálnom živote a zvážime tiež pohybové problémy.

Zoznam referencií

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Education, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Education, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Education, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domáca úloha

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)

Algoritmus riešenia rovníc :

1. Rozbaľte zátvorky.

2. Zhromaždite výrazy obsahujúce neznáme na jednej strane rovnice a zostávajúce výrazy na druhej strane. (pri prevode zmeňte značku na opačnú )

3. Prineste podobné výrazy do každej časti rovnice.

4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom neznámeho.

(Poznámka: Často existujú rovnice, pre ktoré nie sú niektoré z týchto krokov potrebné.)