Dôkaz Fermatovej vety je elementárny, jednoduchý, zrozumiteľný. Poďme odhaliť! Dokázala Fermatova posledná veta? Zoznam nedokázaných viet

Pri rozhovoroch so stredoškolákmi o vedeckých prácach z matematiky často počujem toto: „Čo možno v matematike nájsť nové?“ Ale naozaj: dajú sa urobiť všetky veľké objavy a vety sa dajú dokázať?

8. augusta 1900 na Medzinárodnom matematickom kongrese v Paríži matematik David Hilbert načrtol zoznam problémov, ktoré podľa neho budú musieť byť vyriešené v 20. storočí. Na zozname bolo 23 položiek. Dvadsaťjeden z nich je teraz vyriešených. Posledným problémom na Gilbertovom zozname, ktorý sa mal vyriešiť, bola slávna Fermatova veta, s ktorou si vedci nedokázali poradiť 358 rokov. V roku 1994 Brit Andrew Wiles navrhol svoje riešenie. A ukázalo sa, že je to pravda.

Podľa Gilbertovho príkladu na konci minulého storočia sa veľa matematikov pokúsilo formulovať také strategické úlohy pre 21. storočie. Jeden taký zoznam preslávil bostonský miliardár Landon T. Clay. V roku 1998 bol na jeho náklady v Cambridge (Massachusetts, USA) založený Clay Mathematics Institute a boli udelené ceny za riešenie mnohých dôležitých problémov modernej matematiky. 24. mája 2000 vybrali odborníci ústavu sedem problémov - podľa počtu miliónov dolárov pridelených na udeľovanie ocenení. Zoznam bol pomenovaný Problémy s cenou tisícročia:

1. Cookov problém (formulovaný v roku 1971)

Povedzme, že ste vo veľkej spoločnosti a chcete sa uistiť, že je tu aj váš známy. Ak sa vám povie, že sedí v kúte, potom bude stačiť zlomok sekundy, aby ste sa po letmom pohľade presvedčili o pravdivosti informácií. Ak nebudú tieto informácie k dispozícii, budete nútení chodiť po celej miestnosti a skúmať hostí. To naznačuje, že riešenie problému často trvá dlhšie ako kontrola správnosti riešenia.

Stephen Cook formuloval problém: môže byť overenie správnosti riešenia problému časovo náročnejšie ako získanie samotného riešenia, bez ohľadu na overovací algoritmus. Tento problém je tiež jedným z nevyriešených problémov v oblasti logiky a informatiky. Jeho riešenie by mohlo spôsobiť revolúciu v základoch kryptografie používaných pri prenose a ukladaní údajov.

2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roku 1859)

Niektoré celé čísla nemožno vyjadriť ako súčin dvoch menších celých čísel, napríklad 2, 3, 5, 7 atď. Tieto čísla sa nazývajú prvočísla a hrajú dôležitú úlohu v čistej matematike a jej aplikáciách. Rozdelenie prvočísel medzi série všetkých prirodzených čísel nepodlieha žiadnemu vzoru. Nemecký matematik Riemann však urobil predpoklad, pokiaľ ide o vlastnosti postupnosti prvočísel. Ak sa preukáže Riemannova hypotéza, povedie to k revolučnej zmene v našich znalostiach šifrovania a k bezprecedentnému prielomu v oblasti internetovej bezpečnosti.

3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roku 1960)

Je to spojené s popisom súboru riešení niektorých algebraických rovníc vo viacerých premenných s celočíselnými koeficientmi. Príkladom takejto rovnice je výraz x2 + y2 \u003d z2. Euclid poskytol kompletný popis riešení tejto rovnice, ale pre zložitejšie rovnice je hľadanie riešení nesmierne náročné.

4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roku 1941)

V 20. storočí matematici objavili účinnú metódu na štúdium tvaru zložitých objektov. Hlavnou myšlienkou je použiť namiesto samotného objektu jednoduché „tehly“, ktoré sú zlepené dohromady a vytvárajú jeho podobu. Hodžova hypotéza je spojená s niektorými predpokladmi o vlastnostiach takýchto „tehál“ a predmetov.

5. Navier - Stokesove rovnice (formulované v roku 1822)

Ak sa plavíte na člne po jazere, objavia sa vlny a ak letíte v lietadle, objavia sa vo vzduchu turbulentné prúdy. Predpokladá sa, že tieto a ďalšie javy sú opísané rovnicami známymi ako Navier-Stokesove rovnice. Riešenia týchto rovníc nie sú známe a nie je ani známe, ako ich vyriešiť. Je potrebné preukázať, že riešenie existuje a je dostatočne plynulou funkciou. Riešenie tohto problému významne zmení metódy hydrodynamických a aerodynamických výpočtov.

6. Poincarého problém (formulovaný v roku 1904)

Ak pretiahnete gumičku cez jablko, môžete ju pomalým pohybom bez toho, aby ste ho stiahli z povrchu, stlačiť do istej miery. Na druhej strane, ak je rovnaká gumička správne utiahnutá okolo šišky, neexistuje spôsob, ako ju stlačiť do istej miery bez toho, aby ste šnúrku zlomili alebo ste ju zlomili. Hovoria, že povrch jablka je jednoducho spojený, ale povrch šišky nie. Ukázalo sa, že je také ťažké dokázať, že iba sféra je jednoducho spojená, takže matematici stále hľadajú správnu odpoveď.

7. Jang - Millsove rovnice (formulované v roku 1954)

Rovnice kvantovej fyziky popisujú svet elementárnych častíc. Fyzici Yang a Mills, ktorí objavili súvislosť medzi geometriou a časticovou fyzikou, napísali svoje rovnice. Našli teda spôsob, ako zjednotiť teórie elektromagnetických, slabých a silných interakcií. Z Yang-Millsových rovníc nasledovala existencia častíc, ktoré boli skutočne pozorované v laboratóriách na celom svete, preto Yang-Millsovu teóriu prijala väčšina fyzikov, a to aj napriek tomu, že v rámci tejto teórie stále nie je možné predpovedať hmotnosti elementárnych častíc.

Myslím si, že tento materiál uverejnený v blogu je zaujímavý nielen pre študentov, ale aj pre školákov, ktorí sa vážne zaoberajú matematikou. Pri výbere tém a oblastí výskumu je treba premýšľať.

Na svete nie je toľko ľudí, ktorí nikdy nepočuli o Fermatovej poslednej vete - možno je to jediný matematický problém, ktorý si získal tak veľkú popularitu a stal sa skutočnou legendou. Je spomenutý v mnohých knihách a filmoch, zatiaľ čo hlavným kontextom takmer všetkých odkazov je nemožnosť dokázať vetu.

Áno, táto veta je veľmi slávna a v istom zmysle sa stala „idolom“ uctievaným amatérskymi matematikmi a odborníkmi, ale len málokto vie, že jej dôkaz sa našiel, a stalo sa tak v roku 1995. Ale najskôr.

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná Fermatova posledná veta), ktorú sformuloval v roku 1637 geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je svojou podstatou veľmi jednoduchá a zrozumiteľná pre každého, kto má stredoškolské vzdelanie. Hovorí sa v ňom, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá žiadne prirodzené (teda nefrakčné) riešenie pre n\u003e 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné, ale najlepší matematici a obyčajní amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.

Prečo je taká slávna? Dozvieme sa to teraz ...

Existuje len málo dokázaných, nedokázaných a zatiaľ nepreukázaných viet? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neuveriteľne náročná úloha a napriek tomu jej formulácii porozumie každý, kto má 5. ročník na strednej škole, ale dôkazom nie je ani každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, ale zostal tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho sa skladá?

Začnime pytagorejskými nohavicami. Znenie je skutočne jednoduché - na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, „pythagorejské nohavice sú si rovnaké zo všetkých strán.“ Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom výroku, ktorý každý pozná - Pytagorovu vetu: v ktoromkoľvek trojuholníku s pravým uhlom sa štvorec postavený na preponu rovná súčtu štvorcov vytvorených na nohách.

V 5. storočí pred n. Pytagoras založil Pytagorovo bratstvo. Pytagorejci okrem iného študovali trojnásobné celé čísla vyhovujúce rovnosti x² + y² \u003d z². Dokázali, že existuje nekonečne veľa Pytagorejských trojčiat, a dostali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Pravdepodobne sa pokúsili hľadať trojky a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefunguje, opustili svoje zbytočné pokusy. Členmi bratstva boli viac filozofi a estetici ako matematici.

To znamená, že je ľahké nájsť množinu čísel, ktorá dokonale uspokojí rovnosť x² + y² \u003d z²

Počnúc 3, 4, 5 - skutočne, žiak základnej školy chápe, že 9 + 16 \u003d 25.

Alebo 5, 12, 13:25 + 144 \u003d 169. Skvelé.

Ukázalo sa teda, že NIE. Tu sa začína chytať. Jednoduchosť je zrejmá, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak absenciu. Ak je potrebné preukázať, že existuje riešenie, môžete a mali by ste toto riešenie iba uviesť.

Preukázať absenciu je ťažšie: napríklad niekto hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenie. Dať ho do mláky? ľahké: bum - tu je riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je zabitý. Ako dokázať neprítomnosť?

Povedzte: „Nenašiel som také riešenia“? Alebo ste možno vyzerali zle? Čo ak sú, len veľmi veľké, dobre, veľmi také, aby aj super výkonnému počítaču stále chýbala sila? Toto je zložité.

Vo vizuálnej podobe to možno znázorniť nasledovne: ak vezmete dva štvorce vhodných veľkostí a rozložíte ich na jednotkové štvorce, potom z tejto hromady jednotkových štvorcov získate tretí štvorec (obr. 2):


A ak urobíme to isté s treťou dimenziou (obr. 3), nebude to fungovať. Zostáva málo kociek alebo navyše:

Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n + y n \u003d z n. A nakoniec som dospel k záveru: pre n\u003e 2 celočíselné riešenia neexistujú. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy horia! Zostáva len jeho poznámka v Diophantovej aritmetike: „Našiel som skutočne úžasný dôkaz o tomto tvrdení, ale hranice tu sú príliš úzke, aby som ho mohol obsahovať.“

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva dohad. Ale pre Fermata bola sláva ustálená, že sa nikdy nemýlil. Aj keď nezanechal dôkazy o žiadnom výroku, tieto sa následne potvrdili. Fermat navyše dokázal svoju tézu pre n \u003d 4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do dejín ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali také veľké mysle ako Leonard Euler na hľadaní dôkazov (v roku 1770 navrhol riešenie pre n \u003d 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n \u003d 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n \u003d 7) a mnoho ďalších. V polovici 80. rokov minulého storočia sa ukázalo, že vedecký svet je na ceste k finálnemu riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a verili, že trojstoročná sága hľadania dôkazu Fermatova posledná veta bola prakticky na konci.

Je ľahké preukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu iba pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pre zložené n zostáva dôkaz platný. Ale tiež existuje nekonečne veľa prvočísel ...

V roku 1825, použitím metódy Sophie Germainovej, ženské matematičky, Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n \u003d 5. V roku 1839 rovnakou metódou ukázal Francúz Gabriel Lame pravdivosť vety pre n \u003d 7. Veta sa postupne dokázala pre takmer všetkých n menej ako sto.

Nemecký matematik Ernst Kummer nakoniec v brilantnej štúdii ukázal, že vetu vo všeobecnej podobe nemožno dokázať matematickými metódami 19. storočia. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, nebola udelená.

V roku 1907 sa zámožný nemecký priemyselník Paul Wolfskel z nešťastnej lásky rozhodol vziať si život. Ako pravý Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň zostavil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Pred polnocou sa skončilo podnikanie. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Z iného dôvodu nešiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu v priebehu svojho uvažovania. Wolfskel začal túto pasáž článku triediť s ceruzkou v ruke. Prešla polnoc, prišlo ráno. Medzera v dôkazoch bola vyplnená. A samotný dôvod na samovraždu vyzeral teraz úplne smiešne. Pavol trhal listy na rozlúčku a prepísal závet.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dedičia boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o cenu Wolfskehl. 100 000 mariek bolo spôsobených dôkazom Fermatovej vety. Žiadny fenik nemal vyvrátiť vetu ...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazov Fermatovej poslednej vety za beznádejnú úlohu a rozhodne odmietli strácať čas touto zbytočnou úlohou. Ale amatéri úžasne frflali. Niekoľko týždňov po oznámení sa na univerzitu v Göttingene dostala lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať predložené dôkazy, rozdal svojim študentom kartičky:

Drahá. ... ... ... ... ... ... ...

Ďakujem za rukopis, ktorý ste mi poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na stránke ... v rade .... Kvôli nej sú všetky dôkazy neplatné.
Profesor E. M. Landau

V roku 1963 Paul Cohen, opierajúc sa o Gödelove závery, dokázal nerozhodnuteľnosť jedného z Hilbertovych dvadsiatich troch problémov - hypotézy kontinua. Ale čo ak je Fermatova posledná veta tiež nerozhodnuteľná?! Skutoční fanatici Veľkej vety však neboli sklamaní ani v najmenšom. Príchod počítačov zrazu dal matematikom novú metódu dokazovania. Po druhej svetovej vojne skupiny programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.

V 80. rokoch zvýšil Samuel Wagstaff hranicu na 25 000 a v 90. rokoch matematici tvrdili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až 4 milióny. Ale ak od nekonečna odpočítame čo i len bilión biliónov, nebude sa zmenšovať. Matematikov štatistiky nepresvedčili. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať to pre VŠETKY n, ktoré idú do nekonečna.

V roku 1954 dvaja mladí japonskí priatelia matematici začali skúmať modulárne formy. Tieto formuláre generujú rady čísel, z ktorých každý má svoj vlastný riadok. Taniyama náhodou porovnal tieto série s radami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty a eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takýmito rôznymi objektmi sa nikdy nenašli spojenia.

Napriek tomu priatelia po dôkladnom vyskúšaní navrhli hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojitú - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého smeru v matematike, ale kým sa nepodarilo dokázať hypotézu Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla kedykoľvek zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, možno zahrnúť do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s dohadom Taniyama-Shimura. Po dokázaní, že akákoľvek eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice neexistuje a Fermatova posledná veta by bola dokázaná okamžite. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať hypotézu Taniyama-Shimura a nádej na úspech bola čoraz menšia.

V roku 1963, keď mal iba desať rokov, už Andrewa Wilesa fascinovala matematika. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Školák, študent, študent postgraduálneho štúdia sa na túto úlohu pripravil.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, bezhlavo dokázal hypotézu Taniyama-Shimura. Rozhodol sa pracovať úplne izolovane a tajne. „Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé ... Príliš veľa divákov zámerne zasahuje do dosiahnutia cieľa.“ Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo, Wiles nakoniec dokončil dôkaz hypotézy Taniyama-Shimura.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu dôkaz o Fermatovej poslednej vete (Wiles si svoju senzačnú správu prečítal na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), Na ktorom práce trvali viac ako sedem rokov.

Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začali sa vážne práce na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť starostlivo preskúmaný, aby bolo možné považovať dôkaz za dôkladný a presný. Wiles strávil hektické leto čakaním na spätnú väzbu recenzentov v nádeji, že získa ich súhlas. Koncom augusta zistili odborníci nedostatočne podložený rozsudok.

Ukázalo sa, že toto riešenie obsahuje hrubú chybu, aj keď je vo všeobecnosti správne. Wiles sa nevzdával, zavolal na pomoc známeho odborníka na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz o vete. Najúžasnejšie je, že táto práca v matematickom časopise „Annals of Mathematics“ zabrala až 130 (!) Stránok. Tým sa však príbeh ani zďaleka nekončil - posledný bod bol uvedený až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„… Pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som Nadii odovzdal rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Waltz). Povedal som, že matematici sú čudní ľudia?

O dôkaze tentoraz nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najopatrnejšej analýze a boli publikované v máji 1995 v Annals of Mathematics.

Od tohto momentu uplynulo veľa času, v spoločnosti však stále panuje názor na nerozhodnuteľnosť Fermovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom - len veľmi málo ľudí je spokojných s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie 130 strán!

Preto sa teraz sily veľmi mnohých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú pri hľadaní jednoduchého a stručného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nevedie ...

zdroj

- „Úlohy ľudstva

PROBLÉMY MATEMATIKY NEVYRIEŠENÉ ĽUDSTVOM

Hilbertove problémy

Na druhom medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži v roku 1990 predstavil najväčší nemecký matematik David Hilbert 23 kritických problémov v matematike. Potom sa tieto problémy (týkajúce sa základov matematiky, algebry, teórie čísel, geometrie, topológie, algebraickej geometrie, Lieových skupín, reálnej a komplexnej analýzy, diferenciálnych rovníc, matematickej fyziky, variačného počtu a teórie pravdepodobnosti) nevyriešili. 16 úloh bolo vyriešených z 23. Dve ďalšie nie sú správne matematické úlohy (jedna je formulovaná príliš vágne na to, aby pochopila, či už bola vyriešená alebo nie, druhá zďaleka nie je vyriešená, je fyzická, nie matematická). Zvyšných 5 problémy, dva neboli nijako vyriešené, ale tri boli vyriešené iba pre niektoré prípady

Landauove problémy

Doteraz existuje veľa otvorených otázok týkajúcich sa prvočísel (prvočíslo je číslo, ktoré má iba dvoch deliteľov: jeden a samotné číslo). Boli uvedené najdôležitejšie otázky Edmund Landau na piatom medzinárodnom matematickom kongrese:

Prvý problém Landau (Goldbachov problém): Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dve je možné vyjadriť ako súčet dvoch prvočísiel a každé nepárne číslo väčšie ako 5 možno predstaviť ako súčet troch prvočísiel?

Landauov druhý problém: je množina nekonečná „Jednoduché dvojčatá“ - prvočísla, rozdiel medzi ktorými sú 2?
Tretí Landauov problém (Legendreova hypotéza): je pravda, že pre každé prirodzené číslo n existuje vždy prvočíslo?
Štvrtý Landauov problém: Existuje nekonečná množina prvočísel tvaru, kde n je prirodzené číslo?

Miléniové výzvy (Problémy s cenou tisícročia)

Toto je sedem matematických úloh sa rozhodnutie každého z nich, z ktorého Clay Institute ponúkol cenu 1 000 000 amerických dolárov. Keď Clay Institute predložil týchto sedem problémov súdu matematikov, porovnal ich s 23 problémami od D. Hilberta, ktoré mali veľký vplyv na matematiku dvadsiateho storočia. Väčšina z Hilbertovych 23 problémov už bola vyriešená a iba jeden - Riemannova hypotéza - bol zahrnutý do zoznamu problémov tisícročia. K decembru 2012 bol vyriešený iba jeden zo siedmich tisícročných problémov (Poincarého hypotéza). Cenu za jej riešenie získal ruský matematik Grigory Perelman, ktorý ju odmietol.

Tu je zoznam týchto siedmich úloh:

# 1. Rovnosť tried P a NP

Ak môže byť kladná odpoveď na otázku rýchlo skontrolujte (pomocou niektorých pomocných informácií, nazývaných certifikát), je pravda, že samotná odpoveď (spolu s certifikátom) na túto otázku môže byť rýchlo nájsť? Problémy prvého typu patria do triedy NP a druhého do triedy P. Problém rovnosti týchto tried je jedným z najdôležitejších problémov v teórii algoritmov.

# 2. Hodgeova hypotéza

Dôležitý problém v algebraickej geometrii. Domnienka popisuje triedy komológie na zložitých projektívnych odrodách, ktoré sú realizované algebraickými podrodinami.

Č. 3. Poincarého hypotéza (dokázaná G. Ya. Perelmanom)

Je považovaný za najslávnejší topologický problém. Zjednodušene povedané tvrdí, že akýkoľvek 3D „objekt“, ktorý má niektoré vlastnosti trojrozmernej gule (napríklad každá slučka v nej musí byť stiahnuteľná), musí byť sférou až do deformácie. Cenu za preukázanie Poincarého dohadu získal ruský matematik G.Ya. Perelman, ktorý v roku 2002 publikoval sériu prác, z ktorých vyplýva platnosť Poincarého dohadu.

Č. 4. Riemannova hypotéza

Hypotéza tvrdí, že všetky netriviálne nuly Riemannovej zeta funkcie (tj majú nenulovú imaginárnu časť) majú skutočnú časť 1/2. Riemannova hypotéza bola Hilbertov ôsmy problém.

Č. 5. Young - Millsova teória

Problém z oblasti fyziky elementárnych častíc. Je potrebné dokázať, že pre každú jednoduchú skupinu kompaktných meradiel G existuje kvantová teória Yang - Mills pre štvorrozmerný priestor a má nenulovú hmotnostnú chybu. Toto tvrdenie je v súlade s experimentálnymi údajmi a numerickými simuláciami, zatiaľ však nebolo dokázané.

Č. 6. Existencia a plynulosť riešení rovníc Navier - Stokes

Rovnice Navier - Stokes opisujú pohyb viskóznej tekutiny. Jeden z najdôležitejších problémov hydrodynamiky.

Č. 7. Hypotéza Birch - Swinnerton-Dyer

Domnienka je spojená s rovnicami eliptických kriviek a súborom ich racionálnych riešení.

Neriešiteľné úlohy sú 7 zaujímavé matematické úlohy. Každý z nich bol navrhnutý súčasne slávnymi vedcami, zvyčajne vo forme hypotéz. Po mnoho desaťročí si matematici po celom svete lámali hlavu nad svojím riešením. Tí, ktorí uspejú, budú odmenení miliónom amerických dolárov, ktoré ponúkne Clay Institute.

Hlinený inštitút

Toto je názov súkromnej neziskovej organizácie so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. Založili ju v roku 1998 harvardský matematik A. Jeffy a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizácia a rozvoj matematických poznatkov. Za týmto účelom organizácia udeľuje ceny vedcom a sponzorom sľubným v oblasti výskumu.

Na začiatku 21. storočia Clayov matematický ústav ponúkol ocenenie tým, ktorí riešia najťažšie neriešiteľné problémy, a ich zoznam označil za Problémy tisícročia. Do Hilbertovho zoznamu bola zahrnutá iba Riemannova hypotéza.

Miléniové výzvy

Zoznam Inštitútu Clay pôvodne obsahoval:

• hypotéza Hodgeovho cyklu;
• rovnice kvantovej teórie Yang - Mills;
• poincarého hypotéza;
• problém rovnosti tried P a NP;
• riemannova hypotéza;
• existencia a plynulosť jeho riešení;
• problém Birch-Swinnerton-Dyer.

Tieto otvorené matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať veľa praktických implementácií.

Čo dokázal Grigory Perelman

V roku 1900 slávny vedec-filozof Henri Poincaré navrhol, že každé jednoducho spojené kompaktné 3-potrubie bez ohraničenia je homeomorfné s 3-sférou. Všeobecne sa jeho dôkaz nenašiel už celé storočie. Až v rokoch 2002 - 2003 petrohradský matematik G. Perelman publikoval množstvo prác o riešení problému Poincaré. Mali za následok výbuch bomby. V roku 2010 bola Poincarého hypotéza vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“ Clayovho inštitútu a sám Perelman bol požiadaný, aby kvôli nemu dostal značnú odmenu, ktorú však odmietol bez vysvetlenia dôvodov svojho rozhodnutia.

Najpochopiteľnejšie vysvetlenie toho, čo sa ruskému matematikovi podarilo dokázať, je možné si predstaviť, keď si predstavíme, že sa gumový disk pretiahne cez koblihu (torus) a potom sa pokúsia vytiahnuť okraje jeho kruhu do jedného bodu. To zjavne nie je možné. Ďalšou vecou je, ak tento experiment vykonáte s loptou. V tomto prípade bude zdanlivo trojrozmerná sféra, ktorá vyplýva z disku, ktorého obvod bol hypotetickou šnúrou vytiahnutý do bodu, v chápaní bežného človeka trojrozmerná, ale z hľadiska dvojrozmerného matematiky.

Poincaré naznačil, že trojrozmerná sféra je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch sa dá stiahnuť do jedného bodu, a Perelman to dokázal. Zoznam „Neriešiteľných úloh“ dnes teda pozostáva zo 6 problémov.

Teória Yang-Mills

Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná: pre každú jednoduchú skupinu kompaktných meradiel existuje kvantová priestorová teória vytvorená Yangom a Millsom a má súčasne nulovú hmotnostnú chybu.

Ak hovoríme jazykom zrozumiteľným bežnému človeku, interakcie medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny atď.) Sa delia na 4 typy: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Už mnoho rokov sa fyzici snažia vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Mal by sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Teória Yang-Mills je matematický jazyk, pomocou ktorého bolo možné popísať 3 zo 4 základných prírodných síl. Neplatí to pre gravitáciu. Preto sa nedá predpokladať, že sa Youngovi a Millsovi podarilo vytvoriť teóriu poľa.

Okrem toho je kvôli nelineárnosti navrhovaných rovníc mimoriadne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme série poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako je možné tieto rovnice vyriešiť silnou väzbou.

Navier-Stokesove rovnice

Tieto výrazy popisujú procesy, ako sú prúdy vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencie. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navierovej-Stokesovej rovnice, pre všeobecné to však nikto nedokázal. Vynikajúce výsledky zároveň poskytujú numerické simulácie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času atď. Zostáva dúfať, že niekto bude schopný aplikovať Navier-Stokesove rovnice v opačnom smere, to znamená s ich pomocou vypočítať parametre alebo dokázať, že neexistuje žiadna metóda riešenia.

Problém breza - Swinnerton-Dyer

Kategória „Nevyriešené problémy“ zahŕňa aj hypotézu navrhnutú britskými vedcami z University of Cambridge. Už pred 2300 rokmi dal starogrécky vedec Euklid úplný popis riešení rovnice x2 + y2 \u003d z2.

Ak pre každé z prvočísel spočítame počet bodov na krivke modulo jeho modulu, dostaneme nekonečnú množinu celých čísel. Ak ho konkrétne „zlepíte“ do 1 funkcie komplexnej premennej, získate funkciu Hasse-Weil zeta pre krivku tretieho rádu označenú písmenom L. Obsahuje informácie o správaní modulo všetky prvočísla naraz.

Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer predpokladali eliptické krivky. Podľa nej štruktúra a početnosť súboru jej racionálnych rozhodnutí súvisí so správaním L-funkcie v jednote. Birch-Swinnerton-Dyerov dohad, ktorý ešte nebol preukázaný, závisí od opisu algebraických rovníc stupňa 3 a je jedinou relatívne jednoduchou všeobecnou metódou na výpočet radu eliptických kriviek.

Aby sme pochopili praktický význam tohto problému, stačí povedať, že celá trieda asymetrických systémov je založená v modernej kryptografii na eliptických krivkách a domáce štandardy pre digitálne podpisy sú založené na ich aplikácii.

Rovnosť tried p a np

Ak sú problémy tisícročia čisto matematické, potom sa tento týka súčasnej teórie algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy tiež ako Cook-Levinov problém, je možné ľahko formulovať nasledovne. Predpokladajme, že kladnú odpoveď na určitú otázku je možné skontrolovať dostatočne rýchlo, t. J. V polynomiálnom čase (PV). Potom je správne povedať, že odpoveď na ňu možno nájsť pomerne rýchlo? Znie to ešte jednoduchšie: skutočne nie je riešenie problému zložitejšie ako ho nájsť? Ak sa niekedy preukáže rovnosť tried p a np, potom sa všetky problémy s výberom dajú vyriešiť v PV. Mnoho odborníkov v súčasnosti pochybuje o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nemôžu dokázať opak.

Riemannova hypotéza

Do roku 1859 nebol identifikovaný vzor, \u200b\u200bktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými otázkami. Avšak do polovice 19. storočia sa situácia zmenila a stali sa jedným z najrelevantnejších, ktoré matematici začali študovať.

Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila v tomto období, predpokladá, že v distribúcii prvočísiel existuje určitý vzorec.

Dnes veľa moderných vedcov verí, že ak sa to preukáže, bude treba revidovať mnoho základných princípov modernej kryptografie, ktoré tvoria základ väčšiny mechanizmov elektronického obchodu.

Podľa Riemannovej hypotézy sa môže povaha distribúcie prvočísel výrazne líšiť od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v distribúcii prvočísel. Napríklad existuje problém „dvojčiat“, rozdiel medzi nimi je 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Jedná sa o 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho tušili, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, potom bude otázna sila moderných krypto kľúčov.

Hypotéza Hodgeových cyklov

Tento stále nevyriešený problém bol formulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza predpokladá možnosť priblíženia tvaru ľubovoľného objektu „zlepením“ jednoduchých telies vyššej dimenzie. Táto metóda bola známa a dlho sa úspešne uplatňovala. Nie je však známe, do akej miery je možné zjednodušenie dosiahnuť.

Teraz viete, aké neriešiteľné problémy v súčasnosti existujú. Sú predmetom výskumu tisícov vedcov z celého sveta. Zostáva dúfať, že v blízkej budúcnosti budú vyriešené a ich praktické použitie pomôže ľudstvu vstúpiť do nového kola technologického rozvoja.

Pierre Fermat, ktorý čítal „Aritmetiku“ od Diophanta z Alexandrie a zamýšľal sa nad jej úlohami, mal vo zvyku zapisovať si výsledky svojich úvah na okraj knihy vo forme krátkych poznámok. Proti ôsmemu Diophantovmu problému na okraji knihy Fermat napísal: „ Naopak, je nemožné rozložiť kocku na dve kocky alebo biquadrat na dve biquadraty a všeobecne nie je väčší stupeň ako štvorec o dva stupne s rovnakým exponentom. Objavil som skutočne nádherný dôkaz toho, ale tieto polia sú pre neho príliš úzke.» / E.T.Bell „Tvorcovia matematiky“. M., 1979, s. 69 /. Dávam do pozornosti elementárny dôkaz vety o farme, ktorému by mohol porozumieť každý študent strednej školy, ktorý má rád matematiku.

Porovnajme Fermatov komentár k problému Diophantus s modernou formuláciou Fermatovej veľkej vety, ktorá má formu rovnice.
« Rovnica

x n + y n \u003d z n (kde n je celé číslo väčšie ako dve)

nemá riešenie v celých kladných číslach»

Komentár je v logickom spojení s úlohou, podobne ako v logickom spojení predikátu s predmetom. To, čo potvrdzuje Diophantov problém, naopak, potvrdzuje Fermatov komentár.

Fermatov komentár možno interpretovať nasledovne: ak má kvadratická rovnica s tromi neznámymi nekonečný súbor riešení pre množinu všetkých trojíc Pytagorových čísel, potom naopak platí rovnica s tromi neznámymi o stupeň väčší ako štvorec

V rovnici nie je ani náznak jeho spojitosti s problémom Diophantusa. Na jeho uplatnenie je potrebný dôkaz, ale podľa neho neexistuje podmienka, z ktorej vyplýva, že nemá riešenia v kladných celých číslach.

Varianty dôkazu rovnice, ktoré poznám, sa redukujú na nasledujúci algoritmus.

1. Ako záver sa berie rovnica Fermatovej vety, ktorej platnosť sa overuje pomocou dôkazu.
2. Rovnaká rovnica sa nazýva originál rovnica, z ktorej musí vychádzať jej dôkaz.

Výsledkom bola sformovaná tautológia: „ Ak rovnica nemá riešenie v kladných celých číslach, potom nemá riešenie v kladných celých číslach„Dôkaz tautológie je zámerne nesprávny a nemá zmysel. Dokazuje to však rozpor.

• Opačný predpoklad je predpokladom rovnice, ktorú chcete dokázať. Nemalo by to odporovať pôvodnej rovnici, ale je to v rozpore. Nemá zmysel dokazovať, čo sa prijíma bez dôkazov, a prijímať bez dôkazov, čo sa vyžaduje.
• Na základe prijatého predpokladu sa vykonávajú absolútne správne matematické operácie a akcie, aby sa preukázalo, že je v rozpore s pôvodnou rovnicou a je nepravdivá.

Preto už 370 rokov zostáva dôkaz rovnice Fermatovej poslednej vety nerealizovateľným snom odborníkov a amatérov matematiky.

Vzal som rovnicu ako záver vety a ôsmu Diofantovu úlohu a jej rovnicu ako podmienku vety.

"Ak rovnica." x 2 + y 2 \u003d z 2 (1) má nekonečnú množinu riešení na množine všetkých trojíc Pytagorových čísel, potom, naopak, rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 (2) nemá riešenie na množine kladných celých čísel. “

Dôkazy.

A) Každý vie, že rovnica (1) má nekonečnú množinu riešení na množine všetkých trojíc Pytagorových čísel. Dokážme, že žiadna trojica Pytagorových čísel, ktorá predstavuje riešenie rovnice (1), nie je riešením rovnice (2).

Na základe zákona reverzibility rovnosti sa strany rovnice (1) zamieňajú. Pytagorove čísla (z, x, y) možno interpretovať ako dĺžky strán pravouhlého trojuholníka a štvorcov ( x 2, y 2, z 2) možno interpretovať ako plochu štvorcov postavenú na jej prepone a nohách.

Násobky štvorcov štvorcov rovnice (1) vynásobíme ľubovoľnou výškou h :

z 2 h \u003d x 2 h + y 2 h (3)

Rovnicu (3) možno interpretovať ako rovnosť objemu rovnobežnostena k súčtu objemov dvoch rovnobežnostenov.

Nechajte výšku troch rovnobežnostenov h \u003d z :

z 3 \u003d x 2 z + y 2 z (4)

Objem kocky sa rozloží na dva objemy dvoch rovnobežnostenov. Nechajte objem kocky nezmenený a znížte výšku prvého rovnobežnostena na x a zmenšiť výšku druhého rovnobežnostena na r ... Objem kocky je väčší ako súčet objemov dvoch kociek:

z 3\u003e x 3 + y 3 (5)

Na množine trojitých pytagorejských čísel ( x, y, z ) o n \u003d 3 nemôže existovať riešenie rovnice (2). Preto je na množine všetkých trojitých pytagorejských čísel nemožné rozložiť kocku na dve kocky.

Nechajte v rovnici (3) výšku troch rovnobežnostenov h \u003d z 2 :

z 2 z 2 \u003d x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Objem rovnobežnostenu sa rozloží na súčet objemov dvoch rovnobežnostenov.
Ľavú stranu rovnice (6) nechajte nezmenenú. Na jeho pravej strane je výška z 2 znížiť na x v prvom volebnom období a do o 2 v druhom volebnom období.

Rovnica (6) sa zmenila na nerovnosť:

Objem rovnobežnostenu sa rozloží na dva objemy dvoch rovnobežnostenov.

Ľavú stranu rovnice (8) nechajte nezmenenú.
Na pravej strane výška z n-2 znížiť na x n-2 v prvom volebnom období a znížiť na y n-2 v druhom volebnom období. Rovnica (8) sa zmení na nerovnosť:

z n\u003e x n + y n

(9)

Na množine trojitých pytagorejských čísel nemôže byť jediné riešenie rovnice (2).

Následne na množinu všetkých trojitých Pytagorových čísel pre všetkých n\u003e 2 rovnica (2) nemá riešenie.

Dostal „postinno zázračný dôkaz“, ale iba pre trojčatá pytagorove čísla... Toto je nedostatok dôkazov a dôvod odmietnutia P. Fermata z neho.

B) Dokážme, že rovnica (2) nemá riešenie na množine trojíc nepytagorejských čísel, čo je zlyhanie rodiny ľubovoľnej trojice pytagorejských čísel z \u003d 13, x \u003d 12, y \u003d 5 a rodina ľubovoľnej trojice pozitívnych celých čísel z \u003d 21, x \u003d 19, y \u003d 16

Obe trojčatá čísel sú členmi svojich rodín:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Počet členov rodiny (10) a (11) sa rovná polovici produktu, čo je 13 - 12 a 21 - 20, t. J. 78 a 210.

Každý člen rodiny (10) obsahuje z \u003d 13 a premenné x a o 13\u003e x\u003e 0 , 13\u003e y\u003e 0 1

Každý člen rodiny (11) obsahuje z \u003d 21 a premenné x a o ktoré majú celočíselné hodnoty 21\u003e x\u003e 0 , 21\u003e y\u003e 0 ... Premenné sa postupne znižujú o 1 .

Trojice čísel v postupnosti (10) a (11) možno predstaviť ako postupnosť nerovností tretieho stupňa:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

a vo forme nerovností štvrtého stupňa:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Správnosť každej nerovnosti potvrdzuje povýšenie čísel na tretiu a štvrtú mocnosť.

Kocka väčšieho počtu sa nedá rozložiť na dve kocky menšieho počtu. Je to buď menej, alebo viac ako súčet kociek dvoch menších čísel.

Dvojkvadrát väčšieho počtu sa nedá rozložiť na dva dvojkvadraty menšieho počtu. Je to buď menej, alebo viac ako súčet bikvadrátov menšieho počtu.

S nárastom exponenta majú všetky nerovnosti, okrem ľavej krajnej nerovnosti, rovnaký význam:

Nerovnosti majú všetky rovnaký význam: stupeň väčšieho počtu je väčší ako súčet mocností menších ako dvoch čísel s rovnakým exponentom:

	13 n\u003e 12 n + 12 n; 13 n\u003e 12 n + 11 n; ...; 13 n\u003e 7 n + 4 n; ...; 13 n\u003e 1 n + 1 n	(12)
	21 n\u003e 20 n + 20 n; 21 n\u003e 20 n + 19 n; ...; ; ...; 21 n\u003e 1 n + 1 n	(13)

Termín vľavo od postupnosti (12) (13) je najslabšia nerovnosť. Jeho správnosť určuje správnosť všetkých nasledujúcich nerovností postupnosti (12) pre n\u003e 8 a postupnosť (13) pre n\u003e 14 .

Nemôže medzi nimi existovať jediná rovnosť. Ľubovoľne odobratá trojica kladných celých čísel (21,19,16) nie je riešením rovnice (2) Fermatovej veľkej vety. Ak ľubovoľne zobratá trojica kladných celých čísel nie je riešením rovnice, potom rovnica nemá riešenie na množine kladných celých čísel, čo sme museli dokázať.

S) Fermatov komentár k problému Diophantus uvádza, že je nemožné rozložiť “ vo všeobecnosti nie je žiadny stupeň väčší ako štvorec, o dva stupne s rovnakým exponentom».

Bozky stupeň väčší ako štvorec je skutočne nemožné rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom. Nevhodný stupeň väčší ako štvorec sa dá rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom.

Akákoľvek ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z, x, y) môžu patriť do rodiny, ktorej každý člen pozostáva z konštantného počtu z a dve čísla menšie ako z ... Každý člen rodiny môže byť reprezentovaný vo forme nerovnosti a všetky získané nerovnosti môžu byť reprezentované ako postupnosť nerovností:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n

(14)

Poradie nerovností (14) začína nerovnosťami, v ktorých je ľavá strana menšia ako pravá strana, a končí nerovnosťami, v ktorých je pravá strana menšia ako ľavá strana. S pribúdajúcim exponentom n\u003e 2 zvyšuje sa počet nerovností na pravej strane sekvencie (14). S exponentom n \u003d k všetky nerovnosti na ľavej strane postupnosti menia svoj význam a preberajú význam nerovností na pravej strane nerovností v postupnosti (14). V dôsledku zvýšenia exponentu pre všetky nerovnosti sa ukáže, že ľavá strana je väčšia ako pravá strana:

zk\u003e (z-l) k + (z-l) k; zk\u003e (z-l) k + (z-2) k; ...; z k\u003e 2 k + 1 k; z k\u003e 1 k + 1 k

(15)

S ďalším nárastom exponenta n\u003e k žiadna z nerovností nemení svoj význam a nemení sa na rovnosť. Na tomto základe možno tvrdiť, že akýkoľvek ľubovoľný trojnásobok kladných celých čísel (z, x, y) o n\u003e 2 , z\u003e x , z\u003e r

V ľubovoľnej trojici kladných celých čísel z môže byť ľubovoľne veľké prirodzené číslo. Pre všetky prirodzené čísla, ktoré nie sú väčšie ako z , Je dokázaná Fermatova posledná veta.

D) Bez ohľadu na to, aké veľké je číslo z , v prirodzenej sérii čísel pred ňou je veľká, ale konečná množina celých čísel a za ňou - nekonečná množina celých čísel.

Dokážme, že celá nekonečná množina prirodzených čísel je väčšia ako z , tvoria trojnásobky čísel, ktoré nie sú riešením rovnice Veľkej Fermatovej vety, napríklad ľubovoľne vzatý trojnásobok kladných celých čísel (z + 1, x, y) , kde z + 1\u003e x a z + 1\u003e r pre všetky hodnoty exponenta n\u003e 2 nie je riešením rovnice vety Veľkej Fermatovej.

Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) môže patriť do rodiny trojíc čísel, ktorých každý člen pozostáva z konštantného počtu z + 1 a dve čísla x a o berúc rôzne hodnoty menšie ako z + 1 ... Členovia rodiny môžu byť zastúpení vo forme nerovností, pri ktorých je konštantná ľavá strana menšia alebo viac ako pravá strana. Nerovnosti je možné usporiadať usporiadane ako postupnosť nerovností:

S ďalším nárastom exponenta n\u003e k do nekonečna žiadna z nerovností postupnosti (17) nezmení svoj význam a nezmení sa na rovnosť. V poradí (16) sa nerovnosť vytvorila z ľubovoľnej trojice kladných celých čísel (z + 1, x, y) , môže byť na pravej strane vo forme (z + 1) n\u003e x n + y n alebo byť na jeho ľavej strane ako (z + 1) n< x n + y n .

V každom prípade trojnásobok kladných celých čísel (z + 1, x, y) o n\u003e 2 , z + 1\u003e x , z + 1\u003e r v poradí (16) je nerovnosť a nemôže predstavovať rovnosť, t. j. nemôže predstavovať riešenie rovnice vety Veľkej Fermatovej.

Je ľahké a ľahké pochopiť pôvod postupnosti mocenských nerovností (16), v ktorej posledná nerovnosť na ľavej strane a prvá nerovnosť na pravej strane sú nerovnosti opačného významu. Naopak, nie je ľahké a ľahké pre školákov, študentov stredných škôl a študentov stredných škôl pochopiť, ako sa postupnosť nerovností (17) formuje zo sledu nerovností (16), v ktorých majú všetky nerovnosti rovnaký význam. .

V poradí (16) zvýšenie celočíselného stupňa nerovností o 1 jednotku premení poslednú nerovnosť na ľavej strane na prvú nerovnosť s opačným významom na pravej strane. Počet nerovností na deviatej strane postupnosti teda klesá, zatiaľ čo počet nerovností na pravej strane sa zvyšuje. Medzi poslednou a prvou mocenskou nerovnosťou opačného významu nevyhnutne existuje mocenská rovnosť. Jeho stupeň nemôže byť celé číslo, pretože medzi dvoma po sebe nasledujúcimi prirodzenými číslami sú iba celé čísla. Silovú rovnosť nečíselného stupňa podľa hypotézy vety nemožno považovať za riešenie rovnice (1).

Ak v poradí (16) budeme naďalej zvyšovať stupeň o 1 jednotku, potom sa posledná nerovnosť jeho ľavej strany zmení na prvú nerovnosť opačného významu pravej strany. Vo výsledku tak nezostane ani jedna ľavostranná nerovnosť a zostanú len pravostranné nerovnosti, ktoré predstavujú postupnosť zvyšovania mocenských nerovností (17). Ďalším zvýšením ich celého stupňa o 1 jednotku sa iba posilnia jej mocenské nerovnosti a kategoricky sa vylúči možnosť zdania rovnosti v celom stupni.

Preto vo všeobecnosti nemožno celočíselnú mocninu prirodzeného čísla (z + 1) postupnosti výkonových nerovností (17) rozložiť na dve celočíselné mocniny s rovnakým exponentom. Preto rovnica (1) nemá podľa potreby žiadne riešenia na nekonečnej množine prirodzených čísel.

Preto je Fermatova posledná veta dokázaná vo svojej univerzálnosti:

• v časti A) pre všetky trojčatá (z, x, y) Pytagorove čísla (Fermatov objav je skutočne úžasným dôkazom),
• v časti B) pre všetkých členov rodiny akejkoľvek trojice (z, x, y) Pytagorove čísla
• v časti C) pre všetky trojnásobky čísel (z, x, y) , nie veľké počty z
• v časti D) pre všetky trojnásobky čísel (z, x, y) prirodzená séria čísel.

Zmeny boli urobené dňa 05.09.2010.

Ktoré vety možno a nemožno dokázať rozporom

Vo vysvetľujúcom slovníku matematických pojmov je definícia daná dôkazom opačnej vety, protikladu inverznej vety.

„Dôkaz rozporom je metóda dokázania vety (propozície), ktorá spočíva v dokázaní nie samotnej vety, ale jej ekvivalentu (ekvivalentu), ktorý je opačný k inverznej (inverznej k opačnej) vete. Dôkaz rozporom sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu a ľahšie sa dokazuje opak. Pri dokazovaní rozporom sa záver vety nahradí jeho negáciou a odôvodnením sa dospeje k negácii stavu, t. na rozpor, na pravý opak (opak toho, čo sa uvádza; táto redukcia na absurditu dokazuje vetu. “)

Dôkaz rozporom je v matematike veľmi častý. Dôkaz rozporom je založený na práve vylúčenej tretiny, ktorým je právo na dva výroky (výroky) A a A (negácia A), jedno z nich je pravdivé a druhé nepravdivé. ““ / Vysvetľujúci slovník matematických výrazov: Sprievodca pre učiteľov / O. V. Manturov [a ďalší]; vyd. V. A. Ditkina. - M.: Education, 1965. - 539 s.: Ill.-C.112 /.

Nebolo by lepšie otvorene vyhlásiť, že metóda dokazovania rozporom nie je matematickou metódou, hoci sa v matematike používa, že je logickou metódou a patrí do logiky. Je prijateľné tvrdiť, že dôkaz rozporom „sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu“, hoci sa v skutočnosti používa vtedy a len vtedy, ak ho nie je možné nahradiť?

Osobitná pozornosť si zaslúži charakterizáciu vzťahu priamych a inverzných viet. „Konverzná veta pre danú vetu (alebo pre danú vetu) je veta, v ktorej podmienkou je záver a záverom je podmienka danej vety. Táto veta vo vzťahu ku konverznej vete sa nazýva priama veta (pôvodná). Zároveň bude konverzná veta na konverznú vetu danou vetou; preto sa priame a inverzné vety nazývajú vzájomne inverzné. Ak je priama (daná) veta pravdivá, potom obrátená veta nie je vždy pravdivá. Napríklad ak je štvoruholník kosoštvorec, potom sú jeho uhlopriečky navzájom kolmé (priama veta). Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku navzájom kolmé, potom je štvoruholník kosoštvorec - to nie je pravda, to znamená, že opačná veta nie je pravdivá. ““ / Vysvetľujúci slovník matematických výrazov: Sprievodca pre učiteľov / O. V. Manturov [a ďalší]; vyd. V. A. Ditkina. - M.: Education, 1965. - 539 s.: Ill.-C.261 /.

Táto charakteristika vzťahu medzi priamou a inverznou vetou nezohľadňuje skutočnosť, že stav priamej vety je braný tak, ako je uvedený, bez dôkazu, aby nebola zaručená jeho správnosť. Podmienka konverznej vety sa neberie tak, ako je uvedená, pretože ide o záver dokázanej priamej vety. Jeho správnosť potvrdzuje dôkaz priamej vety. Tento podstatný logický rozdiel medzi podmienkami priamej a inverznej vety sa ukazuje ako rozhodujúci v otázke, ktoré vety môžu a ktoré nemožno logickou metódou dokázať rozporom.

Predpokladajme, že máme na mysli priamu vetu, ktorú je možné dokázať obvyklou matematickou metódou, ale je to ťažké. Sformulujme to vo všeobecnej forme v krátkej podobe nasledovne: z A by mal E ... Symbol A záleží na danom stave vety, prijatom bez dôkazu. Symbol E význam záveru vety, ktorý je potrebné preukázať.

Priamu vetu dokážeme rozporom, logické metóda. Na dokázanie vety, ktorá má, sa používa logická metóda nie matematické stav a logické stav. Môže sa získať, ak sú matematické podmienky vety z A by mal E , doplniť opačnou podmienkou z A nerob to E .

Výsledkom je logická rozporuplná podmienka novej vety, ktorá obsahuje dve časti: z A by mal E a z A nerob to E ... Výsledná podmienka novej vety zodpovedá logickému zákonu vylúčeného stredu a zodpovedá dokázaniu vety rozporom.

Podľa zákona je jedna časť rozporuplnej podmienky nepravdivá, druhá časť pravdivá a tretia vylúčená. Dôkaz rozporom má svoju úlohu a cieľ presne určiť, ktorá časť z dvoch častí stavu vety je nepravdivá. Len čo sa stanoví falošná časť podmienky, zistí sa, že druhá časť je pravá a tretia je vylúčená.

Podľa vysvetľujúceho slovníka matematických výrazov „Dôkazom je úvaha, počas ktorej sa zisťuje pravdivosť alebo nepravdivosť každého tvrdenia (rozsudku, tvrdenia, vety)“... Dôkazy rozporom existuje zdôvodnenie, počas ktorého sa ustanovuje faloš (absurdnosť) záveru vyplývajúceho z nepravdivé podmienky dokázanej vety.

Dané: z A by mal E a od A nerob to E .

Dokázať: z A by mal E .

Dôkazy: Logická podmienka vety obsahuje rozpor, ktorý si vyžaduje jej rozlíšenie. Rozpor stavu musí nájsť svoje riešenie v dôkaze a jeho výsledku. Výsledok sa pri bezchybnom a bezchybnom uvažovaní ukáže ako nepravdivý. Pri logicky správnom odôvodnení môže byť dôvodom nesprávneho záveru iba rozporuplná podmienka: z A by mal E a z A nerob to E .

Nie je pochýb o tom, že jedna časť podmienky je nepravdivá, zatiaľ čo druhá v tomto prípade je pravdivá. Obe časti podmienky majú rovnaký pôvod, sú akceptované ako údaje, predpokladané, rovnako možné, rovnako prípustné atď. V priebehu logického uvažovania sa nenašla jediná logická vlastnosť, ktorá by odlišovala jednu časť podmienky od druhej. Preto v rovnakom rozsahu môže byť z A by mal E a možno z A nerob to E ... Vyhlásenie z A by mal E možno nepravdivé, potom vyhlásenie z A nerob to E bude pravda. Vyhlásenie z A nerob to E môže byť nepravdivé, potom vyhlásenie z A by mal E bude pravda.

Preto nie je možné dokázať priamu vetu rozporom.

Teraz dokážeme rovnakú priamu vetu obvyklou matematickou metódou.

Dané: A .

Dokázať: z A by mal E .

Dôkazy.

1. Z A by mal B

2. Z B by mal IN (podľa predtým dokázanej vety)).

3. Z IN by mal D (podľa predtým dokázanej vety).

4. Z D by mal D (podľa predtým dokázanej vety).

5. Z D by mal E (podľa predtým dokázanej vety).

Na základe zákona o priechodnosti z A by mal E ... Priama veta je dokázaná obvyklou metódou.

Nech má dokázaná priama veta správnu konverznú vetu: z E by mal A .

Dokážme to obvyklým matematický metóda. Dôkaz konverznej vety možno vyjadriť symbolicky vo forme algoritmu matematických operácií.

Dané: E

Dokázať: z E by mal A .

Dôkazy.

1. Z E by mal D

2. Z D by mal D (predtým dokázanou konverznou vetou).

3. Z D by mal IN (predtým dokázanou konverznou vetou).

4. Z IN nerob to B (konverzná veta nie je pravdivá). Preto z B nerob to A .

V tejto situácii nemá zmysel pokračovať v matematickom dôkaze konverznej vety. Dôvod situácie je logický. Je nemožné nahradiť nesprávnu konverznú vetu čímkoľvek. Preto je nemožné dokázať túto konverznú vetu obvyklou matematickou metódou. Celá nádej je v dôkaz tejto konverzačnej vety pomocou metódy rozporu.

Na preukázanie rozporuplnou metódou je potrebné nahradiť jeho matematickú podmienku logickou rozporuplnou podmienkou, ktorá vo svojom význame obsahuje dve časti - nepravdivú a pravdivú.

Konverzná veta uvádza: z E nerob to A ... Jej stav E , z ktorého vyplýva záver A , je výsledkom dokázania priamej vety obvyklou matematickou metódou. Túto podmienku je potrebné dodržať a doplniť o vyhlásenie z E by mal A ... V dôsledku pridania sa získa rozporuplná podmienka novej konverznej vety: z E by mal A a z E nerob to A ... Na základe toho logicky rozporuplnú podmienku, možno konverznú vetu dokázať pomocou správneho logické iba zdôvodnenie, a iba, logické rozporom. Ako dôkaz protirečenia sú všetky matematické činnosti a operácie podriadené logickým operáciám, a preto sa nepočítajú.

V prvej časti rozporuplného tvrdenia z E by mal A stav E bol dokázaný dôkazom priamej vety. V druhej časti z E nerob to A stav E bola prijatá a prijatá bez dôkazu. Niektoré z nich sú falošné a druhé pravdivé. Je potrebné dokázať, ktorá z nich je nepravdivá.

Dokazujeme pomocou správneho logické úvahy a dospieť k záveru, že jeho výsledkom je nesprávny, absurdný záver. Dôvodom nesprávneho logického záveru je rozporuplná logická podmienka vety, ktorá obsahuje dve časti - nepravú a pravdivú. Falošnou súčasťou môže byť iba vyhlásenie z E nerob to A , kde E bol prijatý bez dôkazu. Takto sa líši od E schválenie z E by mal A , čo dokazuje dôkaz o priamej vete.

Nasledujúce tvrdenie je preto pravdivé: z E by mal A , ako sa vyžaduje na preukázanie.

Výkon: iba konverzná veta je dokázaná logickou metódou rozporom, ktorá má priamu vetu dokázanú matematickou metódou a ktorú nemožno dokázať matematickou metódou.

Získaný záver nadobúda mimoriadny význam vo vzťahu k metóde dokazovania v rozpore s vetou Veľkého Fermata. Drvivá väčšina pokusov dokázať to nie je založená na obvyklej matematickej metóde, ale na logickej metóde dokazovania rozporom. Dôkaz Wilesovej Veľkej Fermatovej vety nie je výnimkou.

Dmitrij Abrarov vo svojom článku „Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov“ publikoval komentár k dôkazu Veľkej Fermatovej vety od Wilesa. Podľa Abrarova Wiles dokazuje Veľkú Fermatovu vetu pomocou pozoruhodného nálezu nemeckého matematika Gerharda Freya (nar. 1944), ktorý spojil potenciálne riešenie Fermatovej rovnice x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , s ďalšou, úplne odlišnou rovnicou. Táto nová rovnica je daná špeciálnou krivkou (nazývanou Freyova eliptická krivka). Freyova krivka je daná rovnicou veľmi jednoduchého tvaru:
.

"Frey sa zhodoval s každým riešením." (a, b, c) Fermatova rovnica, teda čísla vyhovujúce vzťahu a n + b n \u003d c nnad krivkou. V tomto prípade by odtiaľto nasledovala veľká Fermatova veta.(Citácia: Abrarov D. „Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov“)

Inými slovami, Gerhard Frey predpokladal, že rovnica veľkej Fermatovej vety x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , má riešenia v celých kladných číslach. Tieto riešenia sú podľa Freyho predpokladu riešením jeho rovnice
y 2 + x (x - a n) (y + b n) \u003d 0 , ktorá je daná jej eliptickou krivkou.

Andrew Wiles vzal tento úžasný nález Freyho a spolu s ním matematický metóda dokázala, že tento nález, teda Freyova eliptická krivka, neexistuje. Preto neexistuje rovnica a jej riešenia, ktoré sú dané neexistujúcou eliptickou krivkou.Wiles preto mal prijať záver, že rovnica Veľkej Fermatovej vety a samotná Fermatova veta neexistujú. Urobil však skromnejší záver, že rovnica veľkej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach.

Môže to byť nevyvrátiteľný fakt, že Wiles prijal predpoklad, ktorý je presne opačný v porovnaní s tým, čo uvádza Fermatova posledná veta. Zaväzuje Wilesa, aby protirečil Fermatovej poslednej vete. Budeme nasledovať jeho príklad a uvidíme, čo vyplynie z tohto príkladu.

Fermatova posledná veta tvrdí, že rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , nemá riešenie v kladných celých číslach.

Podľa logickej metódy dokazovania rozporom sa toto tvrdenie zachováva, berie sa tak, ako sa uvádza bez dôkazu, a potom sa dopĺňa o opačné tvrdenie vo význame: rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , má riešenia v celých kladných číslach.

Údajné vyhlásenie sa tiež prijíma v podobe uvedenej bez dôkazu. Obidve tvrdenia, považované z hľadiska základných logických zákonov, sú rovnako platné, rovnaké a rovnako možné. Správnym odôvodnením sa vyžaduje, aby sa zistilo, ktoré z nich je nepravdivé, aby sa potom dalo zistiť, či je druhý výrok pravdivý.

Správne zdôvodnenie končí falošným, absurdným záverom, ktorého logickým dôvodom môže byť iba preukázaná rozporuplná podmienka vety, ktorá obsahuje dve časti opačného významu. Boli logickým dôvodom absurdného záveru, ktorý bol výsledkom protirečenia.

V priebehu logicky správneho uvažovania sa však nenašiel jediný znak, pomocou ktorého by sa dalo zistiť, ktoré konkrétne tvrdenie je nepravdivé. Môže to byť tvrdenie: rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , má riešenia v celých kladných číslach. Na rovnakom základe to môže byť výrok: rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , nemá riešenie v kladných celých číslach.

Z odôvodnenia môže vyplynúť iba jeden záver: fermatovu poslednú vetu nemožno dokázať rozporom.

Bolo by úplne inou záležitosťou, keby Fermatova posledná veta bola konverznou vetou, ktorá má priamu vetu dokázanú obvyklou matematickou metódou. V takom prípade by sa to dalo dokázať rozporom. A keďže ide o priamu vetu, jej dôkaz by nemal byť založený na logickej metóde dokazovania rozporom, ale na obvyklej matematickej metóde.

Podľa D. Abrarova najslávnejší z moderných ruských matematikov, akademik V. I. Arnold, reagoval na Wilesov dôkaz „aktívne skepticky“. Akademik uviedol: „nejde o skutočnú matematiku - skutočná matematika je geometrická a silná v súvislosti s fyzikou.“ (Citácia: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov.“ Výrok akademika vyjadruje samotnú podstatu Wilesovej nematematický dôkaz vety Veľkej Fermata.

Protirečením nie je možné dokázať, že rovnica vety Veľkej Fermaty nemá riešenia, ani že má riešenia. Wilesova chyba nie je matematická, ale logická - použitie dôkazu v rozpore, keď jeho použitie nemá zmysel a nedokazuje vetu Veľkej Fermatovej.

Fermatova posledná veta sa nepreukazuje obvyklou matematickou metódou, ak je uvedená: rovnica x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , nemá riešenie v kladných celých číslach a ak je v ňom potrebné dokázať: rovnicu x n + y n \u003d z n kde n\u003e 2 , nemá riešenie v kladných celých číslach. V tejto podobe neexistuje veta, ale tautológia bez významu.

Poznámka. Môj dôkaz o BTF bol prediskutovaný na jednom z fór. Jeden z prispievateľov spoločnosti Trotil, odborník na teóriu čísel, urobil nasledujúce smerodajné vyhlásenie s názvom „Krátke prerozprávanie toho, čo urobil Mirgorodský.“ Citujem to doslovne:

« A. Dokázal, že ak z 2 \u003d x 2 + r potom z n\u003e x n + y n ... Toto je známy a celkom zrejmý fakt.

IN. Vzal dve trojčatá - Pytagorovu a Nepytagorovskú a jednoduchým hľadaním ukázal, že pre konkrétnu konkrétnu rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF splnený (a iba pre neho).

S. A potom autor vynechá skutočnosť, že < v ďalšom rozsahu môže byť = , nie len > ... Jednoduchý protipriklad - prechod n \u003d 1 v n \u003d 2 v Pytagorovej trojici.

D. Tento bod neprispieva ničím dôležitým k preukázaniu BTF. Záver: BTF nebolo preukázané. ““

Jeho záver zvážim bod po bode.

A. Dokázalo to BTF pre celú nekonečnú množinu trojitých pytagorejských čísel. Dokázané geometrickou metódou, ktorú, ako verím, som neobjavil ja, ale znovuobjavil. A objavil to, ako verím, sám P. Fermat. Práve toto mohol mať Fermat na mysli, keď napísal:

„Objavil som skutočne úžasný dôkaz toho, ale tieto polia sú pre neho príliš úzke.“ Tento môj predpoklad je založený na skutočnosti, že v Diophantovom probléme, proti ktorému na okraji knihy, Fermat napísal, hovoríme o riešeniach Diophantinovej rovnice, ktoré sú trojnásobkom Pytagorovho čísla.

Nekonečná množina trojitých pytagorejských čísel sú riešeniami diofatickej rovnice a vo Fermatovej vete, naopak, žiadne z riešení nemôže byť riešením rovnice Fermatovej vety. A s touto skutočnosťou priamo súvisí Fermatov skutočne úžasný dôkaz. Neskôr Fermat mohol rozšíriť svoju vetu na množinu všetkých prirodzených čísel. Na množine všetkých prirodzených čísel BTF nepatrí do „množiny mimoriadne krásnych viet“. To je môj predpoklad, ktorý nie je možné dokázať ani vyvrátiť. Môže byť prijatý aj odmietnutý.

IN. V tomto bode dokazujem, že rodina svojvoľne odobratého Pytagorovho tripletu čísel aj rodina svojvoľne odobratého nepytagorejského tripletu čísel BTF je spokojná. Toto je nevyhnutný, ale nedostatočný a stredný odkaz v mojom dôkaze o BTF. Príklady, ktoré som si vzal z rodiny trojitých Pytagorových čísel a rodiny trojitých iných ako Pytagorových čísel, majú význam konkrétnych príkladov, ktoré predpokladajú a nevylučujú existenciu podobných ďalších príkladov.

Trotilovo tvrdenie, ktoré som „jednoduchým hľadaním ukázal, že pre konkrétnu a určitú rodinu tripletov (78 a 210 kusov) je BTF splnené (a iba pre ňu), je nepodložené. Nemôže vyvrátiť skutočnosť, že rovnako dobre môžem zobrať ďalšie príklady Pytagorejských a nepytagorejských trojčiat, aby som získal konkrétnu špecifickú rodinu jedného a ostatných trojčiat.

Nech už vezmem akýkoľvek pár trojíc, ich vhodnosť na riešenie problému sa dá podľa môjho názoru skontrolovať iba metódou „jednoduchého vyhľadávania“. Akákoľvek iná metóda mi nie je známa a nevyžaduje sa. Ak sa to Trotilu nepozdáva, mal navrhnúť inú metódu, ktorá sa mu nepáči. Bez toho, aby ste na oplátku niečo ponúkali, je nesprávne odsúdiť „jednoduchú hrubú silu“, ktorá je v tomto prípade nenahraditeľná.

S. Vynechal som \u003d medzi< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + r (1), v ktorom je stupeň n\u003e 2 — celý kladné číslo. Rovnosť medzi nerovnosťami znamená povinné zohľadnenie rovnice (1) pre nečíselný stupeň n\u003e 2 ... Počítanie trotilu povinné berúc do úvahy rovnosť medzi nerovnosťami, v skutočnosti zvažuje nevyhnutné v dôkaze BTF zohľadnenie rovnice (1) pre neúplné význam stupňa n\u003e 2 ... Urobil som to pre seba a našiel som rovnicu (1) pre neúplné význam stupňa n\u003e 2 má riešenie troch čísel: z, (z-1), (z-1) s neceločíselným exponentom.