Kas yra palūkanos ir kaip jas išspręsti. Finansinės matematikos pagrindai

Išleisdami vaiką į mokyklą, daugelis tėvų nerimauja, kad negalės jiems padėti išspręsti paprastos problemos, todėl papuola į savo vaikų akis. Nereikia to bijoti, o kad išvengtumėte tokių situacijų, teks prisiminti kažkada įgytas žinias, o galbūt mokytis naujai. Jei siūlomos užduotys pradines klases, dar galite nuspręsti, tada ne visi susidoros su penktos klasės programa, o būtent šiame etape vaikas turės išmokti, kas yra domėjimasis, ir teks galvoti, kaip paaiškinti vaikui susidomėjimą matematika. . Pasiknisę atmintyje daugelis ras išeitį į klausimą, tačiau jei pamiršote, kaip skaičiuoti procentus, teks sėsti prie vadovėlių.

Vaiko mokymas skaičiuoti procentus

Matematikos mokytojas tiksliai žino, kaip vaikui paaiškinti matematikos procentus, jis mokys ir kitų aritmetinių veiksmų, tačiau ne visi vaikai yra apdovanoti gebėjimu savarankiškai suvokti informaciją iš klausos ar iš knygų. Tokiu atveju jie kreipsis į savo tėvus, kurie turėtų paaiškinti, kaip apskaičiuoti kažko procentą. Jei nežinote, kaip paaiškinti mokiniui susidomėjimą, pabandykite pamoką paversti įdomiu žaidimu. Tam gali prireikti nupiešti 100 figūrų, bet verta, nes taip galite viską aiškiai paaiškinti. Turėtumėte pasakyti, kad visos šimtas figūrų yra 100%, o jei 50 figūrų nudažysite bet kokia spalva, tada liks lygiai pusė nespalvotų figūrų, o pusė - 50%.

Greičiausiai šis žaidimas patiks vaikui, kol jūs turite erdvės manevruoti – galite nuspalvinti bet kokias figūras, prašydami vaiko jas suskaičiuoti. Juk čia viskas paprasta - 30 spalvotų figūrėlių - 30% ir pan. Kai vaikas per iliustruojančius pavyzdžius suprato, koks procentas yra, galite nuspręsti, kaip apskaičiuoti skaičiaus procentą. Jei nežinote, kaip paaiškinti savo vaikui procento 5,6 balo temą, paprašykite jo išspręsti paprastą uždavinį, apskaičiuojant 50 procentų bet kokio žmonių skaičiaus. Norėdami tai padaryti, jam pakanka 50 padalyti iš 100 ir padauginti iš bendro žmonių skaičiaus. Yra ir kitų galimybių, tačiau nepamirškite kiek primirštų proporcijų, kurios labiausiai tinka procentams skaičiuoti.

Mes taikome susidomėjimą gyvenimu

Kad vaikas geriau įsisavintų pomėgį, o jei dar nesupratote, kaip vaikui paaiškinti 5,6 balo procento problemas, pirmiausia pabandykite paaiškinti, kam jam to iš principo reikia. Norėdami tai padaryti, turėsite būti kūrybingi. Paimkite, pavyzdžiui, vaiką banke ir paskolos palūkanų normos pavyzdžiu pabandykite jam paaiškinti, kas yra palūkanos. Vaikas turėtų tuo susidomėti, ir jis supras, kad žinoti procentus svarbu, o dabar galite drąsiai pradėti mokytis procentų. Procentų prisiminimą galite naudoti ir kitose gyvenimo situacijose, svarbiausia, kad vaikui tai būtų įdomu, ir jis suprastų, kad nesuprasdamas procentų daug praras.

Pirmas dalykas, kurį vaikas turėtų išmokti, yra tai, kad procentas yra šimtoji skaičiaus dalis. Procentus paversti į dešimtaines trupmenas galite padalydami reikiamą skaičių iš 100, o norint paversti dešimtainę trupmeną į procentus, reikia daryti priešingai – trupmeninį skaičių padauginti iš 100. Jei vaikui įdomu mokytis procentų, pakvieskite jį įsiminkite lentelę, kurioje koeficientai nurodyti trupmenomis ir procentais, palengvindami informacijos įsisavinimą įdomių paveikslėlių pagalba.

Perėję į penktą klasę moksleiviai susiduria su naujo tipo matematinėmis problemomis – interesų problemomis. Daugeliui iš jų ši tema yra pakankamai sunki. Kaip paaiškinti dominantį radinį?

Instrukcijos

Vaikas paprastai greitai supranta pirminių skaičių problemas. Pavyzdžiui, jei viename rublyje yra 100 kapeikų, tai 50 kapeikų yra 50 proc. Daug sunkiau paaiškinti, kad procentais galima rasti bet kurią vertę. Išnagrinėję paprastus kiekius: gramus ir kilogramus, centimetrus ir metrus - pereikite prie sudėtingesnių klausimų.

1200 kostiumų – 100 proc.

X kostiumai – 30 proc.

X (1200 x 30) / 100.
Jums tereikia padauginti skaičius skersai ir išspręsti gautą lygtį. Nesijaudinkite, jei atrodo, kad jūsų vaikas sprendimą priima mechaniškai. Nors jam nereikia giliai mąstyti apie esmę, svarbiausia, kad jis įsimintų veiksmų algoritmą, to pakanka mokyklos problemoms išspręsti. Būkite kantrūs, nerėkkite ant vaiko ir nepykkite ant jo. Juk jam atrodo, kad ši informacija yra labai sudėtinga, nesuprantama ir visiškai nereikalinga. Pabandykite jam pasiūlyti praktinių užduočių, pavyzdžiui, už šeimos biudžetą.

Perėję į penktą klasę, moksleiviai susiduria su nauju tipu matematikos uždaviniai- dominančios užduotys. Daugeliui iš jų ši tema yra pakankamai sunki. Kaip paaiškinti dominantį radinį?

Rėmėja P & G Straipsnių tema "Kaip paaiškinti susidomėjimą" Kaip sutvarkyti pradinės mokyklos mokinio aplanką Kaip sutvarkyti sieninį laikraštį apie rusų kalbą Kaip išleisti titulinį studento esė

Instrukcijos

Papasakokite savo vaikui istoriją apie tai, kaip iš tikrųjų atsirado žodis procentas. Jis kilęs iš lotyniško žodžio „pro centum“, kuris verčiamas kaip „šimta dalis“. Vėliau Mathieu de la Porta komercinės aritmetikos vadovėlyje buvo padaryta rašybos klaida, dėl kurios atsirado % ženklas. Taigi, svarbiausia išmokti, kad procentas yra viena šimtoji bet kurio skaičiaus dalis.

Vaikas paprastai greitai supranta pirminių skaičių problemas. Pavyzdžiui, jei viename rublyje yra 100 kapeikų, tai 50 kapeikų yra 50 proc. Daug sunkiau paaiškinti, kad procentais galima rasti bet kurią vertę. Išnagrinėję paprastus kiekius: gramus ir kilogramus, centimetrus ir metrus - pereikite prie sudėtingesnių klausimų.

Jei vaikas negali suprasti pačios domėjimosi esmės, mokykite jį spręsti uždavinius pagal algoritmą, stengdamiesi, kad jis nepraleistų nė vieno sprendimo žingsnio. Pavyzdžiui, užduotis: drabužių fabrikas per metus pagamino 1200 kostiumų. Iš kurių 30% yra kostiumai mėlynos spalvos... Kiek mėlynų kostiumų pagamino gamykla? Pirmiausia išsiaiškinkite, kiek kostiumų yra 1%. Norėdami tai padaryti, padalykite bendrą sumą iš 100. 1200/100 = 12. Tai yra, kas 12 kostiumų yra 1 proc. Tada padauginkite 12 iš 30%, kad gautumėte norimą atsakymą.

Galite naudoti senąjį „senelio“ proporcijų metodą. Kažkodėl dabar retai rodomas mokyklose, bet veikia nepriekaištingai. Iš tos pačios užduoties:

1200 kostiumų – 100 proc.
X kostiumai – 30 proc.
X (1200 x 30) / 100.

Jums tereikia padauginti skaičius skersai ir išspręsti gautą lygtį. Nesijaudinkite, jei atrodo, kad jūsų vaikas sprendimą priima mechaniškai. Nors jam nereikia giliai mąstyti apie esmę, svarbiausia, kad jis įsimintų veiksmų algoritmą, to pakanka mokyklos problemoms išspręsti. Būkite kantrūs, nerėkkite ant vaiko ir nepykkite ant jo. Juk jam atrodo, kad ši informacija yra labai sudėtinga, nesuprantama ir visiškai nereikalinga. Pabandykite pasiūlyti jam praktinių užduočių, pavyzdžiui, už šeimos biudžetas.

Kaip paprasta

Kitos susijusios naujienos:

Skaičiaus procentinė dalis yra viena šimtoji šio skaičiaus dalis, žymima 1%. Šimtas procentų (100%) yra lygus pačiam skaičiui, o 10% skaičiaus yra lygi dešimtajai to skaičiaus. Atimtis procentais reiškia skaičiaus sumažėjimą tam tikra trupmena. Jums reikės skaičiuotuvo, popieriaus lapo, rašiklio ir žodinio skaičiavimo įgūdžių. Rėmėjas

Ekonomistai ir technikai dažnai turi skaičiuoti skaičiaus procentus. Buhalteriai turi teisingai apskaičiuoti mokesčius, bankininkai - pajamas (palūkanas) už indėlius, inžinieriai - leistinus parametrų nuokrypius. Visais tokiais atvejais būtina suskaičiuoti kokios nors žinomos reikšmės procentą. Tau

Viskas yra reliatyvu. Kai kurių reikšmių santykis viena su kita gali būti išreikštas procentais. Pavyzdžiui, apskaičiavę, kiek procentų skysčio yra 1 kg pomidorų ir agurkų, sužinosite, kurie bus sultingesni. Jums reikės 1) Popieriaus 2) Rašiklio 3) Skaičiuoklės Vietos rėmėjas

Vienas procentas skaičiaus vadinamas šimtąją šio skaičiaus dalimi ir reiškia 1%. Todėl 100% šio skaičiaus yra lygus pačiam skaičiui, kaip ir 20% skaičiaus yra lygi dvidešimt šimtųjų šio skaičiaus. Reikės skaičiuotuvo, pagrindinių matematikos žinių. Rėmėja P & G straipsnių apie „Kaip rasti procentą

Žodis „procentas“ reiškia šimtąją skaičiaus dalį, o trupmena atitinkamai yra kažko dalis. Todėl norint nustatyti skaičiaus procentą, reikia rasti jo trupmeną, atsižvelgiant į tai, kad pradinis skaičius yra visas šimtas. Norėdami atlikti šį veiksmą, turite mokėti išspręsti proporcijas. Rėmėjas

Žmogus nuolat susiduria su būtinybe skaičiuoti procentus, kartais net pats to nesuvokdamas. Ir ne tik matematikos egzamine, bet ir, pavyzdžiui, bandant nustatyti, kokią dalį visų šeimos pajamų sudaro komunaliniai mokesčiai ar mokėjimai už darželį. Ir daugelis

Susidomėjimo problemos neapsiriboja vien studentu. Paprastai atliekant mokyklines užduotis reikia rasti tam tikro procentų skaičiaus skaitinę išraišką arba tai, kiek procentų yra tam tikras skaičius. Norėdami sėkmingai susidoroti su tokiomis užduotimis, pirmiausia turite

Turint patirties, tikrai žinoma, kokią baimę kai kurios temos kelia moksleiviams, nepaisant to, kokioje klasėje jie mokosi ir kiek žinių jiems pavyko sukaupti savo „ižduose“.

Viena iš šių temų yra interesų tyrimas... Kodėl studentai bando juos apeiti? Tai irgi suprantama.Jiems tai tokia „baisi“ sąvoka, kad vos išgirdę šį terminą problemos tekste, vos nelinda po stalais pasislėpti.

Yra keletas priežasčių.

Natūralu – medžiagos nežinojimas, tai pirmoje vietoje. Antra…

Prie šito galėtume sustoti. Nes pakanka ir pirmos priežasties suprasti: mokiniai nesusiformavo TEISINGO supratimo, kas yra „procentas“. Tai reiškia, kad tolesnės medžiagos suvokimas prieštaraus jų žinioms šia tema.

Bet iš kur kyla nesusipratimas? Labai paprasta. Įsivaizduoju kažkokią loginę grandinę, kuri galiausiai priveda prie motyvacijos ir praktinio susitelkimo į pamokoje paaiškintą dominančią temą stoką.

Trumpai tariant, palūkanos yra viskas!

Jei bus susidomėjimas, bus ir dėmesys, taigi ir paskata interesų tyrimas... O iš ten – noras suprasti ir suprasti. O įsiminti medžiagą (jei reikia; asmeniškai aš nesu tuo tikras) ateis savaime.

Ir šiame straipsnyje noriu pateikti keletą kasdienio gyvenimo faktų, tačiau su matematiniu šališkumu tema „Procentai“. Nes manau, kad absoliučiai kiekvienas iš mūsų kasdien susiduria su šia sąvoka, bet galbūt apie tai net nežino.

kur mes galime "rasti" palūkanų? VISIŠKAI visur. Pasižiūrėk pats.

1) 80% miltų gaunama iš kviečių.

2) Pienas suteikia 25% grietinės, o grietinė - 20% sviesto.

3) Cukriniuose runkeliuose cukraus yra 20 %.

4) Džiovinami grybai praranda 79 % drėgmės.

5) Bitė vienu metu neša 60% 1 gramo nektaro.

6) Žmogus turi 7,5% kraujo nuo viso kūno svorio.

7) Pušis kasmet paauga 15 proc.

8) Žalvaris yra cinko ir vario lydinys atitinkamai 40% ir 60%.

9) 1 kubinis metras kviečiai sveria 70% 1 tonos, sniegas - 14,3% 1 tonos, o oras - 0,13% tonos.

10) Varnos skrydžio greitis yra 68% bokšto skrydžio greičio.

Tikimės, kad aukščiau pateikti faktai bent kažkaip davė idėją įsitikinti, kad kiekviename žingsnyje susitiksime su susidomėjimu.

Mes netgi vis dažniau vartojame šį terminą šnekamojoje kalboje.

• „Darbas už palūkanas“ – darbas už atlygį, skaičiuojamą priklausomai nuo pelno ar apyvartos.
• „Garantuoju šimtu procentų“ – patikima visais atžvilgiais; galima visiškai pasitikėti.
• „Banke už palūkanas“ – įdėti pinigus į indėlį su perspektyva gauti padidinimą iš investuotų pinigų.

Dabar kyla kitas klausimas: kaip suprasti, ką šie duomenys reiškia. Taip sakant,

Kol kas panagrinėkime teoriją.

proc - (lot. "Pro centum") viena šimtoji dalis. Jis žymimas „%“ ženklu. Naudojamas norint nurodyti kažko proporciją visumos atžvilgiu. Pavyzdžiui, 17% 500 kg reiškia 17 vienetų po 5 kg, tai yra 85 kg.

Tie. jei visuma padalinta į 100 lygių dalių, tai 1 dalis reikš 1 proc. 1 % = 1/100

Iš čia lengva suprasti, kad:

Akivaizdu, kad tuo viskas nesibaigia interesų tyrimas... Priešingai, tai tik prasideda. Šioje temoje yra įvairių problemų. O kituose straipsniuose juos būtinai analizuosime. Ir šio straipsnio pabaigoje dar kartą siūlau pasinerti į pasaulį, kuriame „protagonistas“ yra susidomėjimas.

• Ar žinojote, kad dar XV-XVI amžiais Chonos kultūros indėnai (Ekvadoras) lydydavo varį, kuriame buvo 99,5 proc.
• Maždaug 10 procentų amerikiečių namų šeimininkių aprengia savo augintinius šventiniais Hellowin kostiumais ir99 procentai JAV parduodamų moliūgų yra skirti vienam tikslui – papuošti šią šventę.
• 14% valgo arbūzą kartu su sėklomis.
• Chameleono liežuvis yra 200% ilgesnis už kūną.
• Tik 1% bakterijų sukelia žmonių ligas.
• Medūzos yra 95 procentai vandens.
• Tik 55% amerikiečių žino, kad saulė yra žvaigždė.
• 10 procentų vyrų ir 8 procentai moterų žemėje yra kairiarankiai.
• Pagrindinės ES gyventojų baimės: Atominis karas - 49%, klimato nelaimės - 43%, aplinkos tarša - 36%, avarijos branduoliniuose reaktoriuose - 35%, žmonių klonavimas - 28%, mirtinų bakterijų nutekėjimo pavojus iš genų laboratorijų - 26 %, nykimo miškai - 20%, gyvūnų ir augalų rūšių išnykimas - 17%, naftos atsargų išeikvojimas - 7%, informacijos perteklius - 5%, krentantys meteoritai - 3%, ateivių invazija - 1%.
• Ir galiausiai, dar vienas stebinantis faktas: žmogaus vyzdys padidėja 45 procentais, kai žmogus žiūri į ką nors malonaus.

Tikiuosi, kad ir jums, mielas skaitytojau, buvo malonu susipažinti su straipsniu, skirtu įdomiam tyrimui, ir sužinoti ką nors naujo ir naudingo sau.

Konkrečių interesų užduotys bus aptartos atskirame straipsnyje.

Žemiau palikite savo komentarą šia tema.

9B klasės mokinys

Vadovas: Drobkova Olga Sergeevna, matematikos mokytoja

ĮVADAS

Procentai yra viena iš sunkiausių matematikos temų, ir labai daug mokinių sunkiai ar net negali išspręsti uždavinių su procentais. O susidomėjimo supratimas ir gebėjimas skaičiuoti procentais būtinas kiekvienam žmogui. Manau, kad ši tema aktuali mūsų laikais. Iš tiesų beveik visose žmogaus veiklos srityse yra procentų. Sąvokos „palūkanos“ negalima apeiti nei apskaitoje, nei finansuose, nei statistikoje. Norėdami apskaičiuoti darbuotojo atlyginimą, turite žinoti mokesčių atskaitymo procentą; norėdami atidaryti sąskaitą „Sberbank“ ar imti paskolą, mūsų tėvai domisi palūkanų suma už indėlio sumą ir paskolos palūkanomis; norėdami sužinoti apytikslį kainų kilimą kitais metais, mus domina infliacijos procentas. Prekyboje dažniausiai vartojama sąvoka „procentas“. Dažnai girdime apie nuolaidas, antkainius, nuolaidas, pelną, paskolas ir kt. - Visa tai yra susidomėjimas. Šiuolaikinis žmogus turi gerai orientuotis dideliame informacijos sraute, priimti teisingus sprendimus įvairiose gyvenimo situacijose. Norėdami tai padaryti, turite gerai apskaičiuoti palūkanas.

Taigi, studijuodami šią temą, išsiaiškinsime, kokia yra susidomėjimo prasmė mūsų gyvenime.

Tyrimo tikslas: parodykite procentinių skaičiavimų taikymo sritį Tikras gyvenimas .

Užduotys:studijuoti literatūrą šia tema; apsvarstyti palūkanų poreikį; tyrinėti žmogaus veiklos sritis, kuriose naudojamasi susidomėjimu.

PROCENTŲ SAMPRATA

Procentas yra viena šimtoji skaičiaus. Procentai rašomi naudojant % ženklą.

Norėdami konvertuoti procentus į trupmenas, turite pašalinti % ženklą ir skaičių padalyti iš 100.

Norėdami konvertuoti dešimtainę trupmeną į procentą, turite padauginti trupmeną iš 100 ir pridėti % ženklą.

Norėdami konvertuoti paprastąją trupmeną į procentą, pirmiausia turite konvertuoti ją į dešimtainę trupmeną, tada padauginkite iš 100 ir pridėti % ženklą.

Kaip galite įsivaizduoti, procentai yra glaudžiai susiję su trupmenomis ir dešimtainėmis dalimis. Todėl verta prisiminti keletą paprastų lygybių. Kasdieniame gyvenime turite žinoti apie trupmenų ir procentų skaitinį ryšį. Taigi, pusė - 50%, ketvirtadalis - 25%, trys ketvirtadaliai - 75%, penktadalis - 20%, o trys penktadaliai - 60%.

Atmintinai žinodami toliau pateiktoje lentelėje pateiktus santykius, galėsite lengviau išspręsti daugelį problemų.

Palūkanos

2. PAGRINDINĖS INTERESŲ PROBLEMŲ RŪŠYS

Pagrindiniai susidomėjimo tikslai yra šie:

1 pavyzdys. Mokykloje mokosi 940 mokinių. Iš jų 15% lanko muzikos mokyklą. Kiek mokinių lanko muzikos mokyklą?

Sprendimas : nes 15% = 0,15, tada norint išspręsti problemą, reikia 940 padauginti iš 0,15. Mes gauname

Tai reiškia, kad muzikos mokyklą lanko 141 mokinys.

Atsakymas: 141 studentas.

Skaičiaus paieška procentais
2 pavyzdys. Mokyklos bibliotekoje yra 2100 vadovėlių, tai yra 40% visų knygų. Kiek knygų yra mokyklos bibliotekos kolekcijoje?

Sprendimas: Bendrą knygų skaičių pažymėkime per x – tai yra 100%. Pagal būklę 40% yra vadovėliai, jų yra 2100. Padarykime proporciją: Taigi,

Atsakymas: mokyklos bibliotekoje yra 5250 knygų.

3 pavyzdys. Mokykloje mokosi 800 mokinių, iš kurių 16 mokosi puikiai. Kiek procentų mokyklos mokinių yra 5 klasės?

Sprendimas: Iš viso mokykloje mokosi 800 mokinių, tai 100 proc. „5“ mokinių procentas žymimas x. Padarykime proporciją... Reiškia,

Atsakymas: 2% studentų yra puikūs studentai.

3 . INTERESŲ TYRIMAI

Siekdami išsiaiškinti, kokią vietą mūsų gyvenime užima susidomėjimas, nusprendėme pasidomėti, kur galime susidomėti:

1. Parduotuvėse per šventes atsiranda nuolaidos, kurios išreiškiamos procentais, pvz., drabužių parduotuvėje, perkant 2 prekes, 10% nuolaida ir pan.

Užduotis ... Sezoninio išpardavimo metu viršutinių drabužių parduotuvė kailinių kainas sumažino iš pradžių 20 proc., vėliau dar 10 proc. Kiek rublių galite sutaupyti perkant kailinius, jei jie kainavo 18 000 rublių iki kainos sumažinimo?

Sprendimas:

1 sprendimo būdas:

Kailinio kailio kaina yra 18 000 rublių - tai yra 100%. Sužinokime, kiek rublių bus 20% nuolaida: Taigi, patrinti. Taigi, kailio kaina bus 18 000-3600 = 14 400 rublių.Po antrojo nukainojimo nauja kailinių kaina sumažėjo dar 10%, o tai sieks 1440 rublių. Dėl to kailiniai atpigo 5040 rublių;

2 sprendimas:

18000-18000 ● 0,2 = 14400 (rub) - kailinio kaina su 20% nuolaida

14400-14400 ● 0,1 = 12960 (rub) - kailinio kaina po antros 10% nuolaidos

18000-12960 = 5040 (rub) - pirkėjas sutaupys.

2. Procentais nurodoma audinio sudėtis, pavyzdžiui, perkant kostiumą, kuriame 60% medvilnės ir 40% sintetikos ir pan.;

3. Procentais išreiškiami įvairūs statistiniai duomenys apie gyventojų skaičių, apie tam tikrų produktų produkciją ir kt.;

4. Perkant bet kokią prekę kreditu, turite mokėti paskaičiuoti palūkanas;

5. Mokykloje procentais skaičiuojama mokinių pažanga ir žinių kokybė;

6. Buhalteriai kaupiant darbo užmokesčio... Pavyzdžiui, Širos kaime papildomai mokama 30% šiaurinių ir 30% kaimo.

Užduotis ... Priėmus į darbą, įmonės direktorius jums siūlo 14 000 rublių atlyginimą. Kiek gausite sumokėję papildomus mokėjimus: 30% šiaurinių ir 30% kaimo ir išskaičiuojamo gyventojų pajamų mokesčio?

Sprendimas:

1 sprendimo būdas:

V šis priedas yra 60 proc., t.y.... Reiškia, rublių yra pašalpos. Taigi, kaupimas su priemokais bus lygus 14000 + 8400 = 22400 (14000 * 1,6 = 22400). Dabar paskaičiuokime, kiek pateks į rankas atskaičius pajamų mokestį asmenys(šis mokestis yra 13 proc. :

patrinti. - sudaro mokestį

22400-2912 = 19488 rubliai.

2 sprendimas:

buhalterijoje,

v Kasdienybė ir tt

Sunku įvardyti sritį, kurioje naudojamasi palūkanomis. Labai sunku visapusiškai apsvarstyti palūkanų skaičiavimo taikymą gyvenime, nes palūkanos naudojamos visose žmogaus gyvenimo srityse.

Savo darbe parodžiau procentų sąvokos naudojimą sprendžiant įvairius uždavinius, išnagrinėjau pagrindines dominančių problemų rūšis.

Ši tema palieka platų lauką tolesniems tyrimams. Interesų problemos turi didelę praktinę reikšmę ir įgytos žinios, tikiuosi, man pravers tolimesniame gyvenime. Planuoju plėtoti šią temą, išsamiau apsvarstyti susidomėjimą bankiniu sektoriumi. Norint būti šiuolaikiniu žmogumi, reikia mokėti pačiam skaičiuoti galimas paskolos įmokas arba bent apytiksliai žinoti, imti paskolą ar paskolą.

BIBLIOGRAFIJA

1. Borovskikh A. Kas yra palūkanos? / A. Borovskikh, N. Rozov // Matematika.- 2012.- Nr 1.- 23-25 ​​p.;
2. Valieva Y. Procentai praeityje ir dabartyje / Y. Valieva // Matematika.- 2012.- Nr.9.- 13-15 p.;
3. Djatlovas V. Problemų sprendimo technologijos. 15 paskaita. Žodiniai uždaviniai dalyvaujant susidomėjimui ir dalijantis turiniu / V. Djatlovas // Matematika.- 2013.- №11.- 44-49 p.;
4. I. I. Zubareva Matematika. 5 klasė: vadovėlis. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius. - 12-asis leidimas, red. ir pridėkite. - M .: Mnemosina, 2012 .-- 270 p .;
5. Petrova I.N. Palūkanos visoms progoms / I.N. Petrovas. - M., Išsilavinimas, 2006;
6. Tumasheva O.V. Matematikos pamoka 5-6 klasėse: mokymo priemonė / O.V. Tumaševa; Krasnojaras. valstybė Ped. Universitetas pavadintas V.P. Astafjeva. - Krasnojarskas, 2007 - 104 p.

Panagrinėkime pavyzdį:

Šaldytuvo kaina parduotuvėje padidėjo. Kokia buvo kaina, jei šaldytuvas iš pradžių kainavo RUB?

Sprendimas:

Pirmiausia nustatykime, kiek rublių pakeitė (šiuo atveju padidino) šaldytuvo kainą.

Pagal sąlygą – įjungta.

Bet nuo ko?

Žinoma, nuo pačios pradinės šaldytuvo kainos – rubliai.

Pasirodo, mes turime rasti iš rub:

Dabar žinome, kad kaina padidėjo RUB.

Belieka tik pagal taisyklę pridėti pakeitimo sumą prie pradinių išlaidų:

Nauja kaina rubliais.

Kitas pavyzdys(pabandykite tai išspręsti patys):

Knyga "Matematika manekenams" parduotuvėje kainuoja RUB. Akcijos metu visos knygos parduodamos su nuolaida

Kiek dabar teks mokėti už šią knygą?

Sprendimas:

Kas yra nuolaida, tikriausiai žinote? Nuolaida reiškia, kad prekės kaina buvo sumažinta

Kiek sumažėjo knygos kaina (rubliais)?

Iš pradinės kainos rubliais turite rasti:

Kaina sumažėjo, o tai reiškia, kad iš pradinių išlaidų reikia atimti, kiek ji sumažėjo:

Nauja kaina rubliais.

Paprasta, ar ne?

Tačiau yra būdas padaryti šį sprendimą dar lengvesnį ir trumpesnį!

Panagrinėkime pavyzdį:

Padidinkite skaičių.

Kas yra lygu iš?

Kaip sužinojome anksčiau, taip ir bus.

Dabar padidinkime patį skaičių x šia suma:

Pasirodo, mes pridėjome prie dešimtainio žymėjimo ir padauginome iš skaičiaus.

Apibendrinkime šią taisyklę:

Tarkime, kad turime padidinti skaičių.

iš skaičiaus yra.

Tada naujas numeris bus:.

Pavyzdžiui, padidinkime skaičių:

Dabar pabandykite patys:

1. Padidinkite skaičių
2. Padidinkite skaičių
3. Kiek procentų skaičius didesnis už skaičių?

Sprendimai:

3) Leiskite reikiamą kiekį proc lygus.

Tai reiškia, kad jei padidinsite skaičių, gausite:

Atsakymas į.

Jei skaičių x reikia sumažinti, viskas yra taip pat:

Taigi taisyklė tokia:

Pavyzdžiai:

1) Sumažinkite skaičių.

2) Įjungta kiek procentų ar skaičius mažesnis už skaičių?

3) Prekės su nuolaida kaina lygi p. Kokia kaina be nuolaidos?

Sprendimai:

2) Skaičius sumažintas x proc ir gavo:

Atsakymas į.

3) Tegul kaina be nuolaidos būna. Pasirodo, x buvo sumažintas ir gavosi:

Galiausiai panagrinėkime kito tipo užduotis, kurios dažnai sukelia painiavą.

Sudėtingų problemų sprendimas dėl susidomėjimo

Skaičius yra didesnis nei skaičius. Įjungta kiek procentų ar skaičius mažesnis už skaičių?

Koks keistas klausimas: žinoma!

Tiesa?

Bet ne.

Jei, pavyzdžiui, vienos spintos masė yra 25 kg didesnė už kitos, tai, be jokios abejonės, antrosios spintos masė yra 25 kg mažesnė už pirmosios.

Nosis proc tai neveiks!

Iš tiesų, pirmuoju atveju, kai sakome, kad skaičius didesnis už skaičių, skaičiuojame iš skaičiaus; o antruoju atveju, kai sakome, kad skaičius mažesnis už skaičių, skaičiuojame nuo skaičiaus. Ir kadangi skaičiai skiriasi, tai ir šie skaičiai skirsis!

Norėdami teisingai išspręsti šią problemą, parašykite sąlygą lygties forma:

Skaičius yra didesnis nei skaičius. Tai reiškia, kad jei skaičius padidinamas, gauname skaičių:

Dabar parašykime klausimą tokia forma: jei skaičius a sumažinamas proc, gauname numerį:

Išreikškime skaičių iš lygybės (1):

Ir pakeiskite (2):

Tai seka:

Taigi, mes gauname, kad skaičius yra mažesnis už skaičių!

Tokios užduotys dažnai pasitaiko per egzaminą.

Pavyzdžiui:

Pirmadienį įmonės akcijos pabrango tam tikru skaičiumi proc, o antradienį sumažėjo tiek pat proc... Dėl to jie pradėjo kainuoti pigiau nei pirmadienį atidarant prekybą. Įjungta kiek procentų ar pirmadienį pabrango įmonės akcijos?

Sprendimas:

Tegul akcijų kaina pirmadienį yra lygi ir reikalingas kiekis proc, parašytas kaip dešimtainė trupmena (ty jau padalinta iš) yra lygi.

Surašykime pagal formulę, kokia yra akcijos vertė pabrangus:

Be to, žinoma, kad ši galutinė kaina yra mažesnė už pradinę kainą. Tai yra, jei sumažinsime, gausime:

Anksčiau išreikštas pakaitalas:

Remiantis sveiku protu, tinka tik teigiamas sprendimas:

Dabar prisiminkime, kad tai kol kas yra tik reikiamo kiekio dešimtainis žymėjimas proc, tai yra ši suma proc padalytą. Norėdami išversti į palūkanų, reikia padauginti iš 100 %:

Kur mes panaudojame susidomėjimą gyvenime?

Na, pavyzdžiui, bankiniuose produktuose: indėliai, paskolos, hipotekos ir kt.

Jei gerai suprantate, kas yra palūkanos, ir mokate spręsti lygtis, tuomet galite nesunkiai apskaičiuoti, pavyzdžiui, mėnesinės paskolos įmokos dydį.

Arba kiek turite permokėti imdami būsto paskolą. Tokia užduotis yra egzamine 17 numeriu.

Palūkanos. Trumpai apie pagrindinį dalyką

Vienas procentas bet kurio skaičiaus yra viena šimtoji to skaičiaus.

1. Procentai ir dešimtainės dalys

2. Pakeiskite skaičių tam tikru procentu

Tarkime, kad norite padidinti skaičių.

iš skaičiaus yra.

Tada naujas numeris bus:.

Norėdami padidinti skaičių, turite jį padauginti iš.

Jei skaičių reikia sumažinti, tada:

Sumažinti skaičių tam tikra suma reiškia iš jo atimti šią vertę:

Norėdami sumažinti skaičių, turite jį padauginti iš.

Domėjimasis matematika. Susidomėjimo problemos.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie yra „labai lygūs...“)

Domėjimasis matematika.

Ką domėjimasis matematika? Kaip išspręsti interesų užduotys? Šie klausimai iškyla, deja, staiga... Kai absolventas perskaito USE užduotį. Ir jie jį glumina. Bet veltui. Tai labai paprastos sąvokos.

Vienintelis dalykas, kurį reikia prisiminti, yra geležis – kas yra vienas procentas ... Ši koncepcija yra Pagrindinis raktas problemų sprendimui su susidomėjimu ir apskritai darbui su susidomėjimu.

Vienas procentas yra viena šimtoji skaičiaus ... Ir viskas. Išminties nebėra.

Pagrįstas klausimas – ir šimtoji dalis Kokia data ? O štai užduotyje nurodytas numeris. Jei nurodyta kaina, vienas procentas yra viena šimtoji kainos. Kalbant apie greitį, vienas procentas yra viena šimtoji greičio. ir kt. Akivaizdu, kad pats aptariamas skaičius visada yra 100%. Ir jei paties skaičiaus nėra, tada procentai taip pat neturi prasmės ...

Kitas dalykas yra tai, kad sudėtingose ​​problemose pats skaičius bus taip paslėptas, kad jo nerasite. Tačiau mes dar nesiekiame to, kas sunku. Mes susidorojame su procentų matematikoje.

Ne veltui žodžių kirčiuoju vienas procentas, šimtasis... Prisimenant, kas yra vienas procentas, nesunkiai rasite ir du procentus, ir trisdešimt keturis, ir septyniolika, ir šimtą dvidešimt šešis! Rasite tiek, kiek jums reikės.

Ir tai, beje, yra pagrindinis įgūdis sprendžiant problemas su susidomėjimu.

Pabandykime?

Raskime 3% iš 400. Pirmiausia suraskime vienas procentas... Bus šimtoji, t.y. 400/100 = 4. Vienas procentas yra 4. O kiek procentų mums reikia? Trys. Taigi 4 padauginame iš trijų. Gauname 12. Štai ir viskas. Trys procentai iš 400 yra 12.

5% iš 20 bus 20 padalintas iš 100 (viena šimtoji dalis - 1%) ir padauginta iš penkių (5%):

5% iš 20 bus 1. Tai viskas.

Tai negalėjo būti lengviau. Padarykime tai greitai, kol nepamiršime, pasitreniruokime!

Sužinokite, kiek tai bus:
5% nuo 200 rublių.
8% nuo 350 kilometrų.
120% nuo 10 litrų.
15% 60 laipsnių.
4% yra puikūs studentai iš 25 studentų.
10% neturtingų studentų iš 20 žmonių.

Atsakymai (visiškai netvarkingi): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Šie skaičiai yra rublių, laipsnių, studentų ir kt. Aš nerašiau, kiek dalykų, kad būtų įdomiau nuspręsti ...

Ir jei mums reikia parašyti NS% nuo kažkokio skaičiaus, pavyzdžiui, nuo 50? Taip, viskas tas pats. Kiek yra vienas procentas iš 50? Tiesa, 50/100 = 0,5. Ir mes turime šiuos procentus - NS... Na, 0,5 padauginkime iš NS! Mes tai suprantame NS% nuo 50 yra - 0,5x.

Tikiuosi, kad taip domėjimasis matematika tu supranti. Ir jūs galite lengvai rasti bet kokį procentų skaičių iš bet kurio skaičiaus. Tai paprasta. Dabar galite atlikti apie 60% visų užduočių, kad galėtumėte susidomėti! Jau daugiau nei pusė. Na, ar baigsime likusią dalį? Gerai, kad ir ką sakytum!

Dėl interesų problemų dažnai susiduriama su priešinga situacija. Mums duota dydžių (nesvarbu), bet reikia rasti palūkanų ... Mes taip pat įsisavinsime šį paprastą procesą.

3 žmonės iš 120 – koks procentas? Nežinau? Na tada tegul būna NS proc.

Paskaičiuokime NS% nuo 120 žmonių. Žmonėse. Mes galime tai padaryti. Padalinkite 120 iš 100 (apskaičiuokite 1%) ir padauginkite iš NS(apskaičiuoti NS%). Gauname 1.2 NS.

Suvokkime rezultatą.

NS proc iš 120 žmonių, tai 1,2 NS žmogus ... Ir mes turime tris tokius žmones. Belieka sulyginti:

Prisimename, kad X paėmėme procentų skaičių. Taigi 3 žmonės iš 120 žmonių yra 2,5 proc.

Tai viskas.

Tai galima padaryti kitu būdu. Susitaikykite su paprastu išradingumu, be jokių lygčių. Svarstome kiek kartų 3 žmonės mažiau nei 120? Padalinkite 120 iš 3 ir gaukite 40. Taigi 3 yra 40 kartų mažiau nei 120.

Reikalingas žmonių skaičius procentais bus ta pati suma mažiau nei 100 proc. Juk 120 žmonių yra 100 proc. Padalinkite 100 iš 40, 100/40 = 2,5

Tai viskas. Gauta 2,5 proc.

Taip pat yra proporcijų nustatymo būdas, tačiau iš esmės tai tas pats sumažintoje versijoje. Visi šie metodai yra teisingi. Kaip jums patogiau, taip pažįstama, suprantamiau – apsvarstykite.

Mes vėl treniruojamės.

Apskaičiuokite, kiek procentų yra:
3 žmonės iš 12.
10 rublių nuo 800.
4 vadovėliai iš 160 knygų.
24 teisingi atsakymai į 32 klausimus.
2 atspėti atsakymai į 32 klausimus.
9 pataikymai iš 10 metimų.

Atsakymai (netvarkingi): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Skaičiuodami galite susidurti su trupmenomis. Įskaitant nepatogias, tokias kaip 1.333333... O kas tau liepė naudotis skaičiuokle? Pats? Nereikia. Suskaičiuoti be skaičiuotuvo kaip parašyta temoje "Trupmenos". Įdomybių yra visokių...

Taigi mes įvaldėme perėjimą nuo verčių prie procentų ir atvirkščiai. Galite imtis užduočių.

Susidomėjimo problemos.

Egzamine interesų problemos yra labai populiarios. Nuo paprasčiausių iki sudėtingiausių. Šiame skyriuje dirbame su paprastomis užduotimis. V paprastos užduotys, kaip taisyklė, nuo procentų reikia pereiti prie tų verčių, kurios aptariamos užduotyje. Į rublius, kilogramus, sekundes, metrus ir pan. Arba atvirkščiai. Mes jau žinome, kaip. Po to problema tampa aiški ir lengvai išsprendžiama. Netikite manimi? Pasižiūrėk pats.
Tegul mums tokia užduotis.

„Kelionė autobusu kainuoja 14 rublių. Per dienas mokyklines atostogos studentams įvesta 25% nuolaida. Kiek kainuoja autobusas mokinių atostogų metu?

Kaip apsispręsti? Jeigu išsiaiškintume, kiek 25 proc. rubliais– tada nėra ko spręsti. Iš pradinės kainos atimkite nuolaidą – ir viskas!

Bet mes jau žinome, kaip tai atpažinti! Kiek bus vienas procentas nuo 14 rublių? Šimtoji dalis. Tai yra, 14/100 = 0,14 rublio. O tokių procentų turime 25. Taigi 0,14 rublio padauginkime iš 25. Gauname 3,5 rublio. Tai viskas. Nustatėme nuolaidos dydį rubliais, belieka išsiaiškinti naują bilieto kainą:

14 – 3,5 = 10,5.

Dešimt su puse rublių. Tai yra atsakymas.

Kai tik jie perėjo nuo palūkanų prie rublių, viskas tapo paprasta ir aišku. Tai bendras požiūris į problemų sprendimą su susidomėjimu.

Žinoma, ne visos užduotys yra vienodai elementarios. Yra ir sunkesnių. Tik pagalvok! Mes juos išspręsime dabar. Sunkumas tas, kad yra priešingai. Mums pateikiamos tam tikros reikšmės, bet reikia rasti procentus. Pavyzdžiui, tokia užduotis:

„Anksčiau Vasya teisingai išsprendė dvi problemas už dvidešimties procentą. Išstudijavus temą vienoje naudingoje svetainėje, Vasja pradėjo teisingai spręsti 16 iš 20 problemų. Kiek procentų Vasja tapo išmintingesnė? Mes laikome 20 išspręstų problemų šimtaprocentiniam intelektui.

Kadangi klausimas yra apie palūkanas (o ne rublius, kilogramus, sekundes ir pan.), tada mes kreipiamės į palūkanas. Sužinokite, kiek procentų Vasya išsprendė prieš įdomu kiek procentų po to - Ir jis yra maiše!

Mes skaičiuojame. Dvi užduotys iš 20 – kiek procentų? 2 yra mažiau nei 20 kartų 10 kartų, tiesa? Vadinasi, užduočių skaičius procentais bus 10 kartų mažiau nei 100 proc. Tai yra, 100/10 = 10.

dešimt procentų. Taip, Vasya šiek tiek nusprendė ... Per egzaminą nėra ką veikti. Bet dabar jis tapo išmintingesnis ir išsprendžia 16 problemų iš 20. Svarstome, kiek tai bus? Kiek kartų 16 yra mažiau nei 20? Tiesiogiai ir nepasakysi... Teks skirstytis.

5/4 karto. Na, dabar padalijame 100 iš 5/4:

čia. 80% jau yra kietas. Ir svarbiausia - ne riba!

Bet tai dar ne atsakymas! Dar kartą perskaitėme problemą, kad nepadarytume klaidos iš netikėtumo. Taip, mūsų klausia kiek procentais išmintingesnė Vasja? Na, tai paprasta. 80 % – 10 % = 70 %. 70 proc.

70% yra teisingas atsakymas.

Kaip matote, atliekant paprastas užduotis, pakanka išversti nurodytas reikšmes į procentus arba duotus procentus į reikšmes, nes viskas tampa aišku. Akivaizdu, kad užduotyje gali būti papildomų skambučių ir švilpukų. Kurie dažnai neturi nieko bendra su procentais. Čia svarbiausia atidžiai perskaityti sąlygą ir žingsnis po žingsnio lėtai išskleisti galvosūkį. Apie tai kalbėsime kitoje temoje.

Tačiau interesų problemose yra viena rimta pasala! Daugelis į ją patenka, taip... Ši pasala atrodo visai nekaltai. Pavyzdžiui, čia yra galvosūkis.

„Gražus sąsiuvinis vasarą kainavo 40 rublių. Prieš startą mokslo metai, pardavėjas kainą pakėlė 25 proc. Tačiau sąsiuvinių pirkimas tapo toks prastas, kad jis kainą sumažino 10 proc. Jie vis tiek nepriima! Jam kainą teko sumažinti dar 15 proc. Štai ir prasidėjo prekyba! Kokia buvo galutinė sąsiuvinio kaina?

Na, kaip? Elementarus?

Jei greitai ir džiaugsmingai atsakėte "40 rublių!", Tada buvote užpultas ...

Gudrybė ta, kad procentai visada skaičiuojami nuo kažkas .

Taigi mes skaičiuojame. Kiek rublių Ar pardavėjas išpūtė kainą? 25% nuo 40 rublių - tai 10 rublių. Tai yra, pabrangęs sąsiuvinis pradėjo kainuoti 50 rublių. Tai suprantama, tiesa?

Ir dabar turime nuleisti kainą 10% nuo 50 rublių. Nuo 50, o ne nuo 40! 10% nuo 50 rublių yra 5 rubliai. Vadinasi, pirmą kartą sumažinus kainą, sąsiuvinis pradėjo kainuoti 45 rublius.

Svarstome antrąjį kainos sumažinimą. 15% nuo 45 rublių ( nuo 45, o ne 40 ar 50! ) Yra 6,75 rubliai. Todėl galutinė sąsiuvinio kaina yra:

45 - 6,75 = 38,25 rubliai.

Kaip matote, pasala yra ta, kad palūkanos kaskart skaičiuojamos nuo naujos kainos. Iš pastarųjų. Taip būna beveik visada. Jei nuoseklaus vertės didinimo-mažėjimo problema nenurodyta paprastu tekstu, nuo ko suskaičiuokite procentus, turite juos skaičiuoti nuo paskutinės reikšmės. Ir tai tiesa. Iš kur pardavėjas žino, kiek kartų šis sąsiuvinis pabrango, atpigo prieš jį ir kiek kainavo pačioje pradžioje...

Beje, dabar galite pagalvoti, kodėl paskutinė frazė buvo parašyta galvosūkyje apie protingą Vasiją? Šitas: " 20 išspręstų problemų skaičiuojame šimtaprocentiniam intelektui “? Atrodo, ir taip viskas aišku... Uh-h... Kaip pasakyti. Jei šios frazės nėra, Vasya savo pradines sėkmes gali vertinti kaip 100%. Tai yra, dvi išspręstos problemos. O 16 užduočių – aštuonis kartus daugiau. Tie. 800%! Vasya galės pagrįstai kalbėti apie savo išmintį net 700%!

Taip pat 16 užduočių galite atlikti 100%. Ir gaukite naują atsakymą. Taip pat teisinga...

Taigi išvada: interesų užduotyse svarbiausia aiškiai apibrėžti, nuo ko reikia skaičiuoti vieną ar kitą procentą.

Tai, beje, gyvenime būtina. Kur naudojamos palūkanos. Parduotuvėse, bankuose, visokiose akcijose. Ir tada tikitės 70% nuolaidos, bet gausite 7%. Ir ne nuolaidos, o didesnės kainos... Ir viskas nuoširdžiai, jis apsiskaičiavo.

Na, jūs turite supratimą apie matematikos procentus. Pažymėkime patį svarbiausią dalyką.

Praktinis patarimas:

1. Užduotis dėl interesų – pereikite nuo interesų prie konkrečių vertybių. Arba, jei reikia, nuo konkrečių verčių iki procentų. Atidžiai perskaitėme užduotį!

2. Mes mokomės labai atidžiai, nuo ko reikia skaičiuoti procentus. Jei tai nenurodyta paprastame tekste, tai būtinai yra numanoma. Kai reikšmė keičiama nuosekliai, laikoma, kad procentai yra nuo paskutinės vertės. Atidžiai perskaitėme problemą!

3. Baigę spręsti problemą, perskaitome ją dar kartą. Gali būti, kad radote tarpinį, o ne galutinį atsakymą. Atidžiai perskaitėme problemą!

Išspręskite kelias interesų problemas. Taip sakant, konsolidacijai. Šiose užduotyse stengiausi surinkti visus pagrindinius sunkumus, kurie laukia lemiamų. Tie grėbliai, ant kurių dažniausiai užlipama. Jie yra čia:

1. Elementari logika analizuojant paprastus uždavinius.

2. Teisingas pasirinkimas reikšmė, nuo kurios norite skaičiuoti procentą. Kiek žmonių suklupo tai! Bet yra labai paprasta taisyklė...

3. Palūkanų procentas. Smulkmena, bet tikrai gėdinga...

4. Ir dar viena šakutė. Procentų sujungimas su trupmenomis ir dalimis. Versti juos vienas į kitą.

„Matematikos olimpiadoje dalyvavo 50 žmonių. 68% mokinių išsprendė keletą problemų. 75% likusiųjų problemą išsprendė vidutiniškai, o likusieji – daug problemų. Kiek žmonių išsprendė daug problemų?

Raginimas. Jei mokiniai yra trupmeniniai, tai neteisinga. Atidžiai perskaitykite problemą, yra viena svarbus žodis... Kita problema:

„Vasya (taip, ta!) Labai mėgsta spurgas su uogiene. Kurie kepami kepykloje, viena stotelė nuo namų. Spurgos kainuoja 15 rublių už vienetą. Turėdama 43 rublius Vasja autobusu nuvažiavo į kepyklą už 13 rublių. O kepyklėlėje vyko akcija „Viskam nuolaida – 30%!!!“. Klausimas: kiek papildomų spurgų Vasya negalėjo nusipirkti dėl savo tinginystės (jis galėjo vaikščioti pėsčiomis, tiesa?) "

Trumpos užduotys.

Kiek procentų 4 yra mažiau nei 5?

Kiek procentų 5 yra daugiau nei 4?

Ilga užduotis...

Kolya įsidarbino paprastame darbe, susijusiame su palūkanų skaičiavimu. Pokalbio metu šefas gudriai šypsodamasis Koljai pasiūlė du atlygio variantus. Pagal pirmąjį variantą Koliai buvo nedelsiant paskirta 15 000 rublių per mėnesį norma. Pasak antrojo Kolia, jei jis sutiks, pirmus 2 mėnesius bus mokamas 50% sumažintas atlyginimas. Kaip pradedantysis. Bet tada jie padidins jo sumažintą atlyginimą net 80%!

Kolya apsilankė vienoje naudingoje interneto svetainėje... Todėl šešias sekundes pagalvojęs, švelniai šypsodamasis, pasirinko pirmąjį variantą. Viršininkas nusišypsojo ir nustatė Koliai nuolatinį 17 000 rublių atlyginimą.

Klausimas: Kiek pinigų per metus (tūkstančius rublių) Kolya laimėjo šiame interviu? Palyginti su blogiausiu atveju? Ir dar vienas dalykas: kad jie visą laiką šypsojosi!?)

Vėlgi, trumpa užduotis.

Raskite 20% iš 50%.

Vėl ilgai.)

Greitasis traukinys Nr. 205 „Krasnojarskas – Anapa“ sustojo stotyje „Syzran-gorod“. Vasilijus ir Kirilas nuėjo į stoties parduotuvę nusipirkti Lenai ledų ir sau mėsainio. Kai jie nusipirko viską, ko reikia, parduotuvės valytoja pasakė, kad jų traukinys jau prasidėjo... Vasilijus ir Kirilas greitai ir greitai nubėgo ir sugebėjo įšokti į vežimą. Klausimas: ar tokiomis sąlygomis pasaulio bėgimo čempionas turėtų laiko įšokti į vežimą?
Manome, kad normaliomis sąlygomis pasaulio čempionas bėga 30% greičiau nei Vasilijus ir Kirilas. Tačiau noras pasivyti automobilį (jis buvo paskutinis), pavaišinti Leną ledais ir suvalgyti mėsainį, jų greitį padidino 20%. O ledai su mėsainiu čempiono rankose ir šlepetėmis ant kojų jo greitį sumažintų 10%...

Bet problema be susidomėjimo... Įdomu, kodėl ji čia?)

Nustatykite, kiek sveria 3/4 obuolio, jei visas obuolys sveria 200 gramų?

Ir paskutinis.

Greitajame traukinyje Nr. 205 „Krasnojarskas – Anapa“ bendrakeleiviai išsprendė skandalo galvosūkį. Lena atspėjo 2/5 visų žodžių, o Vasilijus – trečdalį likusių. Tada Kirilas prisijungė ir išsprendė 30% viso nuskaitymo žodžio! Seryozha atspėjo paskutinius 5 žodžius. Kiek žodžių buvo skanavimo žodyje? Ar tiesa, kad Lena atspėjo daugiausiai žodžių?

Atsakymai yra tradicinėje netvarkoje ir be vienetų pavadinimų. Kur spurgos, kur studentai, kur rubliai su palūkanomis - tai tu pats...

dešimt; 50; Taip; 4; dvidešimt; Ne; 54; 2; 25; 150.

Tai kaip? Jei viskas dera – sveikiname! Palūkanos nėra jūsų problema. Galite saugiai eiti į darbą banke.)

Kažkas yra negerai? Neveikia? Nežinote, kaip greitai apskaičiuoti skaičiaus procentus? Nežinai labai paprastų ir aiškių taisyklių? Pavyzdžiui, nuo ko skaičiuoti palūkanas? Arba kaip trupmenas konvertuoti į procentus?

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testas. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

, straipsnių apie asmeninius finansus ciklas.

Šiandien kalbėsime apie susidomėjimą.

Neįmanoma investuoti nesuvokus, kas yra palūkanos ir kaip skaičiuojamas pelningumas.

Paprastai su paprastomis palūkanomis problemų nekyla, visi, kurie bent kartą laikė pinigus indėlyje banke, supranta, kad, pavyzdžiui, 10% metinė palūkanų norma už 50 000 rublių indėlį. duos 5000 pajamų per metus.

Sunkiau suvokti sudėtinių palūkanų poveikį, o tai labai svarbu būtent ilgalaikėje investicijoje, t.y. kai investuojama siekiant užtikrinti finansinę laisvę.

Tiesą sakant, naudojant sudėtines palūkanas, palūkanų pajamos yra reinvestuojamos, padidinant indėlio dydį. Štai pavyzdys, tarkime, kad turite 100 000 rublių. ir ant jų gauni 10% pajamų, t.y. 10 000 RUB metais.

Pirmaisiais metais gavote 10 000 rublių. ir jūsų įnašas padidėjo šiais 10 000 ir sudaro 110 000 rublių.

Antraisiais metais jūsų pajamos jau sieks 10% nuo 110 000 rublių, t.y. 11 000 rublių, kuriuos taip pat pridedate prie indėlio, kuris tampa 110 000 + 11 000 = 121 000 rublių.

Treti metai: jūsų 121 tūkstantis rublių vėl atneša 10%, tai yra 12 100 rublių rubliais, o jūsų įnašas trečiųjų metų pabaigoje bus 121 000 + 12 100 = 133 100 rublių.

ir kt.

Formalizuota forma sudėtinės palūkanos rašomos taip:

FV = PV (1 + r) ^ n

kur FV- būsima indėlio vertė;PV- pradinė indėlio kaina;r- grąžos norma (pelningumas);n- laikotarpių skaičius.

Na, patikrinkite mūsų pavyzdžio formulę FV = 10000 (1 + 0,1) ^ 3 = 133 100 rublių. Kaip matote, viskas susidėjo 🙂

Kai investuojate ilgą laiką, sudėtinių palūkanų vertė smarkiai išauga.

Įsivaizduokite šį pavyzdį, jei pienas per metus pabrangsta 10%, kiek jis kainuos po 20 metų? Jei šiandien pienas kainuoja 30 rublių už litrą, tai darant prielaidą, kad pieno kaina per metus padidės 10%, po 20 metų pienas kainuos FV = 30 (1 + 0,1) ^ 20 = 201 rublis 82 kapeikos!

Šis pavyzdys, beje, labai gerai parodo, kad reikia investuoti, išsaugoti savo kapitalą, nes pagal sudėtinių palūkanų formulę jie nusidėvi vienodai.

Ši formulė dar vadinama „Rothschildo formule“, „velnio formule“, o angliškai ir finansiniuose sluoksniuose ji vadinama „komponavimu“.

Viskas žemėje keičiasi pagal sudėtinių palūkanų formulę: infliacija, naftos ar kviečių suvartojimo didėjimas, pasaulio gyventojų skaičius ir kt.

Kai investuojate, palūkanos jums tinka. Štai pavyzdys.Anksčiau minėjau apie pensijas:

Kokią sumą vidutinis rusas galės sukaupti, jei investuos po 3000 rublių? per mėnesį 30 metų? Tarkime, kad jo investicijų augimas bus 5% per metus, o investicijų grąža bus 17% per metus.

Per 30 metų bus sukaupta 32 022 812 rublių. Taip jums tinka sudėtinės palūkanos, kurios yra toks svertas, padidinantis jūsų investicijas.

Tačiau tai taip pat neveikia, pavyzdžiui, imant paskolas.

Iš esmės yra programų, kurios leidžia apskaičiuoti sudėtines palūkanas ir susijusias anuiteto formules (anuitetas yra vienodų (arba pagal modelį besikeičiančių) ir tam pačiam laikotarpiui nutolusių viena nuo kitos mokėjimų serija, pvz. sukaupus 3000 rublių per mėnesį daugiau ir kas mėnesį vienodą paskolos grąžinimą laikui bėgant).

Galite išbandyti patys, aš naudojuštai tokia programa iPad , tai nemokama, jie taip pat turi „Android“ skirtų parinkčių.

Paveikslėlyje parodytas paskolos įmokų sumos apskaičiavimo naudojant šią programą pavyzdys.

Taip pat bus galima išbandyti kitus finansinius skaičiavimus, pavyzdžiui, skaičiuoti sudėtines palūkanas ir anuitetus.

Pabandykite, svarbiausia suprasti patį principą.

Mes ir toliau nagrinėjame elementarius matematikos uždavinius. Ši pamoka yra apie interesų problemas. Apsvarstysime keletą užduočių, taip pat paliesime tuos dalykus, kurie anksčiau nebuvo paminėti dominančioje studijoje, atsižvelgiant į tai, kad iš pradžių jie sukelia mokymosi sunkumų.

Dauguma užduočių, susijusių su procentais, susiveda į skaičiaus procentinę dalį, skaičiaus pagal procentą radimą, bet kurios dalies išreiškimą procentais arba kelių objektų, skaičių, dydžių santykio išreiškimą procentais.

Preliminarūs įgūdžiai Pamokos turinys

Metodai, kaip rasti susidomėjimą

Procentus galima rasti įvairiais būdais. Populiariausias būdas – skaičių padalyti iš 100 ir rezultatą padauginti iš pageidaujamo procento.

Pavyzdžiui, norėdami rasti 60% 200 rublių, pirmiausia turite padalyti šiuos 200 rublių į šimtą lygių dalių:

200 rublių: 100 = 2 rubliai.

Padalinę skaičių iš 100, taip randame vieną procentą to skaičiaus. Taigi, padalinę 200 rublių į 100 dalių, mes automatiškai radome 1% iš dviejų šimtų rublių, tai yra, sužinojome, kiek rublių reikia vienai daliai. Kaip matote iš pavyzdžio, viena dalis (vienas procentas) yra 2 rubliai.

1% nuo 200 rublių - 2 rubliai

Žinodami, kiek rublių yra vienoje dalyje (1 proc.), galite sužinoti, kiek rublių yra iš dviejų dalių, trijų, keturių, penkių ir kt. Tai yra, galite rasti bet kokį procentų skaičių. Norėdami tai padaryti, pakanka šiuos 2 rublius padauginti iš reikiamo dalių skaičiaus (procentais). Raskime šešiasdešimt vienetų (60%)

2 rubliai × 60 = 120 rublių.

2 rubliai × 5 = 10 rublių.

Rasti 90 proc.

2 rubliai × 90 = 180 rublių.

Rasti 100 proc.

2 rubliai × 100 = 200 rublių.

100% yra visas šimtas dalių ir jos visos yra 200 rublių.

Antrasis būdas yra pateikti procentą kaip paprastąją trupmeną ir rasti šią trupmeną iš skaičiaus, iš kurio norite rasti procentą.

Pavyzdžiui, suraskime tuos pačius 60% 200 rublių. Pirmiausia pateiksime 60 % trupmena. 60% yra šešiasdešimt dalių iš šimto, tai yra šešiasdešimt šimtųjų dalių:

Dabar užduotį galima suprasti kaip « rasti iš 200rubliai" ... Tai yra tas, kurį studijavome anksčiau. Prisiminkite, kad norėdami rasti skaičiaus trupmeną, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos skaitiklio

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Arba padauginkite skaičių iš trupmenos ():

Trečias būdas yra pateikti procentą dešimtainiu skaičiumi ir skaičių padauginti iš šio kablelio.

Pavyzdžiui, suraskime tuos pačius 60% 200 rublių. Pirmiausia mes atstovaujame 60 % kaip trupmeną. 60% procentų yra šešiasdešimt dalių iš šimto

Padalinkime į šią trupmeną. Perkelkite 60 skaičiaus kablelį dviem skaitmenimis į kairę:

Dabar randame 0,60 nuo 200 rublių. Norėdami rasti dešimtainę skaičiaus trupmeną, turite padauginti šį skaičių iš dešimtainės trupmenos:

200 × 0,60 = 120 rublių.

Pateiktas procentų nustatymo būdas yra patogiausias, ypač jei žmogus įpratęs naudotis skaičiuokle. Šis metodas leidžia rasti procentą vienu žingsniu.

Paprastai procentą išreikšti dešimtaine trupmena nėra sunku. Pakanka prieš procentą įrašyti „nulis sveikųjų skaičių“, jei procentas yra dviženklis skaičius, arba pridėti „nulis sveikųjų skaičių“ ir dar vieną nulį, jei procentas yra vienas skaitmuo. Pavyzdžiai:

60 % = 0,60 – priskiriamas nulis sveikųjų skaičių prieš 60, nes 60 yra dviženklis

6% = 0,06 - priskirtas nulis sveikųjų skaičių ir dar vienas nulis prieš skaičių 6, nes skaičius 6 yra vienaženklis.

Dalindami iš 100, naudojome metodą, kai kablelį perkėlėme dviem skaitmenimis į kairę. Atsakyme 0,60 išsaugomas nulis po skaičiaus 6. Bet jei atliekate šį padalijimą su kampu, nulis dingsta - atsakymas yra 0,6

Reikia atsiminti, kad dešimtainės trupmenos 0,60 ir 0,6 yra lygios tai pačiai reikšmei:

0,60 = 0,6

Tame pačiame „kampe“ galite tęsti skaidymą be galo, kiekvieną kartą likusiai daliai priskirdami nulį, tačiau tai bus beprasmis veiksmas:

Procentus galite išreikšti dešimtainiu tikslumu ne tik dalindami iš 100, bet ir daugindami. Pats procento ženklas (%) pakeičia 0,01 daugiklį. O jei atsižvelgsime į tai, kad procentų skaičius ir procento ženklas rašomi kartu, tai tarp jų yra „nematomas“ daugybos ženklas (×).

Taigi, 45% įrašas iš tikrųjų atrodo taip:

Pakeiskite procento ženklą koeficientu 0,01

Šis dauginimas iš 0,01 atliekamas perkeliant kablelį dviem skaitmenimis į kairę:

1 problema... Šeimos biudžetas – 75 tūkstančiai rublių per mėnesį. 70% jų yra tėčio uždirbti pinigai. Kiek mama uždirbo?

Sprendimas

Tik 100 procentų.Jei tėtis uždirbo 70% pinigų, tai mama uždirbo likusius 30% pinigų.

2 užduotis... Šeimos biudžetas – 75 tūkstančiai rublių per mėnesį. Iš jų 70% yra tėčio uždirbti pinigai, o 30% – mamos uždirbti pinigai. Kiek pinigų kiekvienas uždirbo?

Sprendimas

Raskime 70 ir 30 procentų iš 75 tūkstančių rublių. Tai lems, kiek pinigų kiekvienas uždirbo. Kad būtų patogiau, 70% ir 30% bus rašomi kaip dešimtainės trupmenos:

75 × 0,70 = 52,5 (tūkstantį rublių uždirbo tėtis)

75 × 0,30 = 22,5 (tūkstantis rublių. Motina uždirbo)

Apžiūra

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Atsakymas: 52,5 tūkstančiai rublių. tėtis uždirbo, 22,5 rub. Mama uždirbo.

3 problema... Atvėsusi duona praranda iki 4% savo svorio dėl vandens išgaravimo. Kiek kilogramų išgaruos atvėsus 12 tonų duonos.

Sprendimas

12 tonų išverskime į kilogramus. Vienoje tonoje yra tūkstantis kilogramų, o 12 tonų – 12 kartų daugiau:

1000 × 12 = 12 000 kg

Dabar rasime 4% iš 12000. Gautas rezultatas bus problemos atsakymas:

12 000 × 0,04 = 480 kg

Atsakymas: atvėsus 12 tonų duonos išgaruos 480 kilogramų.

4 problema... Išdžiovinti obuoliai praranda 84% savo svorio. Kiek džiovintų obuolių gausis iš 300 kg šviežių obuolių?

Raskite 84% iš 300 kg

300: 100 × 84 = 252 kg

Dėl džiovinimo 300 kg šviežių obuolių neteks 252 kg svorio. Norėdami atsakyti į klausimą, kiek išeis džiovintų obuolių, iš 300 reikia atimti 252

300 - 252 = 48 kg

Atsakymas: 300 kg šviežių obuolių bus 48 kg džiovintų obuolių.

5 problema... Sojų pupelių sėklose yra 20% aliejaus. Kiek aliejaus yra 700 kg sojų pupelių?

Sprendimas

Raskite 20% iš 700 kg

700 × 0,20 = 140 kg

Atsakymas: 700 kg sojų yra 140 kg aliejaus

6 problema... Grikiuose yra 10% baltymų, 2,5% riebalų ir 60% angliavandenių. Kiek šių produktų yra 14,4 centnerio grikių kruopų?

Sprendimas

Paverskite 14,4 centnerių į kilogramus. Viename centneryje 100 kilogramų, 14,4 centnerių - 14,4 karto daugiau

100 × 14,4 = 1440 kg

Raskite 10%, 2,5% ir 60% iš 1440 kg

1440 × 0,10 = 144 (kg baltymų)

1440 × 0,025 = 36 (kg riebalų)

1440 × 0,60 = 864 (kg angliavandenių)

Atsakymas: 14,4 cc grikių yra 144 kg baltymų, 36 kg riebalų, 864 kg angliavandenių.

7 problema... Medelynui mokiniai surinko 60 kg ąžuolo, akacijos, liepų ir klevo sėklų. Gilės sudarė 60 %, klevų sėklos 15 %, liepų sėklos 20 % visų sėklų, likusi dalis buvo akacijų sėklos. Kiek kilogramų akacijos sėklų surinko mokiniai?

Sprendimas

Ąžuolo, akacijos, liepų ir klevo sėklas imkime 100 proc. Iš šių 100 % atimkite ąžuolo, liepų ir klevo sėklų procentus. Taigi mes sužinome, kiek procentų yra akacijos sėklos:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Dabar randame akacijos sėklas:

60 × 0,05 = 3 kg

Atsakymas: Moksleiviai surinko 3 kg akacijos sėklų.

Apžiūra:

60 x 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 x 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

8 problema... Vyras pirko maistą. Pienas kainuoja 60 rublių, tai yra 48% visų pirkinių kainos. Nustatykite bendrą pinigų sumą, išleistą bakalėjos prekėms.

Sprendimas

Tai yra užduotis rasti skaičių pagal jo procentą, tai yra pagal žinomą jo dalį. Šią problemą galima išspręsti dviem būdais. Pirmasis yra išreikšti žinomą procentų skaičių kaip dešimtainę trupmeną ir rasti nežinomą skaičių iš tos trupmenos.

Išreikškite 48 % dešimtainiu tikslumu

48% : 100 = 0,48

Žinodami, kad 0,48 yra 60 rublių, galime nustatyti visų pirkinių sumą. Norėdami tai padaryti, turite rasti nežinomą skaičių pagal dešimtainę trupmeną:

60: 0,48 = 125 rubliai

Tai reiškia, kad bendra pinigų suma, išleista bakalėjos prekėms, yra 125 rubliai.

Antrasis būdas – pirmiausia išsiaiškinti, kiek pinigų yra viename procente, tada rezultatą padauginti iš 100

48% yra 60 rublių. Jei 60 rublių padalinsime iš 48, tada sužinosime, kiek rublių yra 1%

60: 48% = 1,25 rubliai

1% sudaro 1,25 rublio. Iš viso procentų 100. Jei 1,25 rublio padauginsime iš 100, gausime visą maistui išleistą pinigų sumą

1,25 × 100 = 125 rubliai

9 problema... 35% džiovintų slyvų išeina iš šviežių slyvų. Kiek šviežių slyvų reikia paimti, kad gautum 140 kg džiovintų? Kiek džiovintų slyvų gausite iš 600 kg šviežių slyvų?

Sprendimas

35% išreiškiame kaip dešimtainę trupmeną ir iš šios trupmenos randame nežinomą skaičių:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 kg

Norint gauti 140 kg džiovintų slyvų, reikia paimti 400 kg šviežių.

Atsakykime į antrą problemos klausimą – kiek džiovintų slyvų išeis iš 600 kg šviežių? Jei iš šviežių slyvų išeina 35% džiovintų slyvų, tai pakanka rasti šiuos 35% iš 600 kg šviežių slyvų

600 × 0,35 = 210 kg

Atsakymas: norint gauti 140 kg džiovintų slyvų, reikia paimti 400 kg šviežių. Iš 600 kg šviežių slyvų gaunasi 210 kg džiovintų.

10 problema... Riebalus žmogaus organizmas pasisavina 95 proc. Per mėnesį studentė suvartojo 1,2 kg riebalų. Kiek riebalų gali pasisavinti jo kūnas?

Sprendimas

Paversti 1,2 kg į gramus

1,2 × 1000 = 1200 g

Raskite 95% iš 1200 g

1200 x 0,95 = 1140 g

Atsakymas: mokinio organizmas gali pasisavinti 1140 g riebalų.

Skaičių išreiškimas procentais

Kaip minėta anksčiau, procentas gali būti pateikiamas kaip dešimtainė trupmena. Norėdami tai padaryti, pakanka šių procentų skaičių padalyti iš 100. Pavyzdžiui, 12% pateiksime kaip dešimtainę trupmeną:

komentuoti. Dabar mes nerandame kažko procento, o tiesiog užrašome kaip dešimtainę trupmeną.

Tačiau galimas ir atvirkštinis procesas. Dešimtainė trupmena gali būti išreikšta procentais. Norėdami tai padaryti, turite padauginti šią trupmeną iš 100 ir įdėti procento ženklą (%)

Perrašykite dešimtainę 0,12 kaip procentą

0,12 x 100 = 12 %

Šis veiksmas vadinamas procentais arba išreiškiantis skaičius šimtosiomis dalimis.

Daugyba ir dalyba yra atvirkštinės operacijos. Pavyzdžiui, jei 2 × 5 = 10, tada 10: 5 = 2

Taip pat padalijimas gali būti parašytas atvirkštine tvarka. Jei 10: 5 = 2, tada 2 × 5 = 10:

Tas pats atsitinka, kai dešimtainę trupmeną išreiškiame procentais. Taigi, 12% buvo išreikšti kaip dešimtainė trupmena taip: 12: 100 = 0,12, bet tada tie patys 12% buvo "grąžinti" dauginant, užrašant išraišką 0,12 × 100 = 12%.

Panašiai galite išreikšti procentais bet kokius kitus skaičius, įskaitant sveikuosius skaičius. Pavyzdžiui, išreikškime skaičių 3 procentais. Padauginkite šį skaičių iš 100 ir prie rezultato pridėkite procento ženklą:

3 × 100 = 300 %

Dideli procentai, pvz., 300%, iš pradžių gali sukelti painiavą, nes žmonės yra įpratę skaičiuoti 100% kaip didžiausią. Iš papildomos informacijos apie trupmenas žinome, kad vienas visas objektas gali būti pažymėtas vienu. Pavyzdžiui, jei yra visas nepjaustytas pyragas, jis gali būti žymimas 1

Tas pats pyragas gali būti vadinamas 100% pyragu. Šiuo atveju 1 ir 100% reikš tą patį visą pyragą:

Tortą perpjaukite per pusę. Šiuo atveju vienas pavirs dešimtainiu skaičiumi 0,5 (nes jis yra pusė vieno), o 100% pavirs į 50% (nes 50 yra pusė šimto)

Grąžinkime visą tortą atgal, vieną vienetą ir 100 proc.

Pavaizduokime dar du tokius pyragus su tais pačiais pavadinimais:

Jei vienas pyragas yra vienetas, tai trys pyragai yra trys vienetai. Kiekvienas pyragas yra šimtu procentų vientisas. Jei pridėsite šiuos tris šimtus, gausite 300%.

Todėl, konvertuodami sveikuosius skaičius į procentus, šiuos skaičius padauginame iš 100.

2 užduotis... Išreikškite skaičių 5 procentais

5 × 100 = 500 %

3 problema... Išreikškite skaičių 7 procentais

7 × 100 = 700 %

4 problema... Išreikškite skaičių 7,5 procentais

7,5 × 100 = 750 %

5 problema... Išreikškite skaičių 0,5 procentais

0,5 × 100 = 50 %

6 problema... Išreikškite skaičių 0,9 procentais

0,9 × 100 = 90 %

7 pavyzdys... Išreikškite skaičių 1,5 procentais

1,5 × 100 = 150 %

8 pavyzdys... Išreikškite skaičių 2,8 procentais

2,8 × 100 = 280 %

9 problema... Džordžas eina namo iš mokyklos. Pirmąsias penkiolika minučių jis įveikė 0,75 kelio. Likusį laiką jis įveikė likusius 0,25 takus. Išreikškite George'o nueitų kelių procentinę dalį.

Sprendimas

0,75 × 100 = 75 %

0,25 × 100 = 25 %

10 problema... Jonas buvo vaišinamas puse obuolio. Išreikškite šią pusę procentais.

Sprendimas

Pusė obuolio parašyta kaip trupmena 0,5. Norėdami išreikšti šią trupmeną procentais, padauginkite ją iš 100 ir prie rezultato pridėkite procento ženklą.

0,5 × 100 = 50 %

Trupmeniniai analogai

Vertė, išreikšta procentais, turi savo atitikmenį įprastos trupmenos pavidalu. Taigi, 50% analogas yra trupmena. Penkiasdešimt procentų taip pat galima vadinti puse.

25% analogas yra trupmena. Dvidešimt penkis procentus galima vadinti ir ketvirtadaliu.

20% analogas yra trupmena. Dvidešimt procentų taip pat galima vadinti penktadaliu.

40% analogas yra trupmena.

60% analogas yra trupmena

1 pavyzdys... Penki centimetrai yra 50% decimetro arba tik pusė. Visais atvejais ateina maždaug tokia pati vertė – penki centimetrai iš dešimties

2 pavyzdys... Du su puse centimetro yra 25% decimetro arba tik ketvirtadalis

3 pavyzdys... Du centimetrai yra 20% decimetro arba

4 pavyzdys... Keturi centimetrai yra 40% decimetro arba

5 pavyzdys... Šeši centimetrai yra 60% decimetro arba

Palūkanų sumažėjimas ir padidėjimas

Didinant arba mažinant reikšmę, išreikštą procentais, vartojamas prielinksnis „įjungta“.

Pavyzdžiai:

• Padidinti 50% reiškia padidinti vertę 1,5 karto;
• Padidinti 100% – reiškia padidinti vertę 2 kartus;
• Padidinti 200% reiškia padidinti 3 kartus;
• Sumažinti 50% – reiškia sumažinti reikšmę 2 kartus;
• Sumažinti 80% reiškia sumažinti 5 kartus.

1 pavyzdys... Dešimt centimetrų padidinta 50%. Kiek centimetrų gavai?

Norėdami išspręsti tokias problemas, pradinė vertė turi būti 100%. Pradinė vertė yra 10 cm. 50% jų yra 5 cm

Pradinis 10 cm buvo padidintas 50% (5 cm), o tai reiškia, kad jis pasirodė 10 + 5 cm, tai yra 15 cm

Dešimt centimetrų padidėjimo 50% analogas yra daugiklis 1,5. Jei iš jo padauginsite 10 cm, gausite 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Todėl posakiai „padidinti 50%“ ir „padidinti 1,5 karto“ sako tą patį.

2 pavyzdys... Penki centimetrai buvo padidinti 100%. Kiek centimetrų gavai?

Paimkime pirminius penkis centimetrus kaip 100%. Šimtas procentų iš šių penkių centimetrų bus 5 cm. Jei padidinsite 5 cm tais pačiais 5 cm, gausite 10 cm

Penkių centimetrų padidėjimo 100% analogas yra koeficientas 2. Iš jo padauginus 5 cm, gausite 10 cm

5 × 2 = 10 cm

Todėl posakiai „padidinti 100%“ ir „padidinti 2 kartus“ reiškia tą patį.

3 pavyzdys... Penki centimetrai padidėjo 200%. Kiek centimetrų gavai?

Paimkime pirminius penkis centimetrus kaip 100%. Du šimtai procentų yra du kartus šimtas procentų. Tai yra, 200% 5 cm bus 10 cm (5 cm kiekvienam 100%). Jei padidinsite 5 cm šiais 10 cm, gausite 15 cm

Penkių centimetrų padidėjimo 200% analogas yra koeficientas 3. Iš jo padauginus 5 cm, gausite 15 cm

5 × 3 = 15 cm

Todėl posakiai „padidinti 200%“ ir „padidinti 3 kartus“ reiškia tą patį.

4 pavyzdys... Dešimt centimetrų sumažėjo 50%. Kiek centimetrų liko?

Priimkime originalius 10 cm kaip 100%. Penkiasdešimt procentų 10 cm yra 5 cm. Jei sumažinsite 10 cm šiais 5 cm, bus 5 cm

Dešimt centimetrų sumažinimo 50% analogas yra daliklis 2. Jei iš jo padalinsite 10 cm, gausite 5 cm

10: 2 = 5 cm

Todėl posakiai „sumažinti 50%“ ir „sumažinti 2 kartus“ sako tą patį.

5 pavyzdys... Dešimt centimetrų sumažėjo 80%. Kiek centimetrų liko?

Priimkime originalius 10 cm kaip 100%. Aštuoniasdešimt procentų 10 cm yra 8 cm. Jei sumažinsite 10 cm šiais 8 cm, turėsite 2 cm

Dešimt centimetrų sumažinimo 80% analogas yra daliklis 5. Jei iš jo padalinsite 10 cm, gausite 2 cm

10: 5 = 2 cm

Todėl posakiai „sumažinti 80%“ ir „sumažinti 5 kartus“ sako tą patį.

Spręsdami procentų mažinimo ir didinimo uždavinius, reikšmę galite padauginti / padalyti iš užduotyje nurodyto koeficiento.

1 problema... Kiek pasikeitė reikšmė procentais, jei ji padidėjo 1,5 karto?

Užduotyje nurodyta vertė gali būti nurodyta kaip 100%. Tada padauginkite šį 100% iš koeficiento 1,5

100 % × 1,5 = 150 %

Dabar iš gautų 150% atimkite pradinį 100% ir gaukite atsakymą į problemą:

150% − 100% = 50%

2 užduotis... Kiek pasikeitė reikšmė procentais, jei sumažėjo 4 kartus?

Šį kartą vertė sumažės, todėl skirstysime. Užduotyje nurodyta reikšmė žymima 100%. Tada padalykite šį 100% iš 4 daliklio

Iš pradinių 100% atimkime gautus 25% ir gausime atsakymą į problemą:

100% − 25% = 75%

Tai reiškia, kad sumažėjus vertei 4 kartus, ji sumažėjo 75%.

3 problema... Kiek pasikeitė reikšmė procentais, jei sumažėjo 5 kartus?

Užduotyje nurodyta reikšmė žymima 100%. Tada padalykite šį 100% iš daliklio 5

Atimkite gautus 20% iš pradinių 100% ir gaukite atsakymą į problemą:

100% − 20% = 80%

Tai reiškia, kad sumažėjus vertei 5 kartus, ji sumažėjo 80%.

4 problema... Kiek pasikeitė reikšmė procentais, jei sumažėjo 10 kartų?

Užduotyje nurodyta reikšmė žymima 100%. Tada padalykite šį 100% iš 10

Iš pradinių 100% atimkime gautus 10% ir gausime atsakymą į problemą:

100% − 10% = 90%

Tai reiškia, kad sumažėjus vertei 10 kartų, ji sumažėjo 90%.

Problema rasti procentą

Norėdami ką nors išreikšti procentais, pirmiausia turite parašyti trupmeną, rodančią, kiek pirmasis skaičius yra nuo antrojo, tada padalinti iš šios trupmenos ir išreikšti rezultatą procentais.

Pavyzdžiui, tarkime, kad yra penki obuoliai. Šiuo atveju du obuoliai yra raudoni, trys - žali. Išreikškime raudonus ir žalius obuolius procentais.

Pirmiausia turite išsiaiškinti, kokia dalis yra raudoni obuoliai. Iš viso yra penki obuoliai ir du raudoni. Tai reiškia, kad du iš penkių ar du penktadaliai yra raudoni obuoliai:

Yra trys žali obuoliai. Tai reiškia, kad trys iš penkių ar trys penktadaliai yra žali obuoliai:

Turime dvi frakcijas ir. Padalinkime į šias trupmenas

Gavome dešimtaines trupmenas 0,4 ir 0,6. Dabar išreikškime šias dešimtaines trupmenas procentais:

0,4 × 100 = 40 %

0,6 × 100 = 60 %

Tai reiškia, kad 40% yra raudoni obuoliai, 60% yra žali.

Ir visi penki obuoliai yra 40% + 60%, tai yra 100%

2 užduotis... Motina dviem sūnums davė 200 rublių. Mama jaunesniajam broliui davė 80, o vyresniajam 120 rublių. Išreikškite kiekvienam broliui duodamus pinigus procentais.

Sprendimas

Jaunesnysis brolis gavo 80 rublių iš 200 rublių. Užrašome aštuoniasdešimt du šimtąją trupmeną:

Vyresnysis brolis gavo 120 rublių iš 200 rublių. Užrašome trupmeną šimtas dvidešimt du šimtai:

Turime trupmenas ir. Padalinkime į šias trupmenas

Gautus rezultatus išreikškime procentais:

0,4 × 100 = 40 %

0,6 × 100 = 60 %

Tai reiškia, kad 40% pinigų gavo jaunesnysis brolis, o 60% – vyresnysis.

Kai kurios trupmenos, rodančios, kiek pirmasis skaičius yra nuo antrojo, gali būti sutrumpintos.

Taigi frakcijas būtų galima sumažinti. Nuo to atsakymas į problemą nepasikeistų:

3 problema... Šeimos biudžetas – 75 tūkstančiai rublių per mėnesį. Iš jų 52,5 tūkst. - tėčio uždirbti pinigai. 22,5 tūkstančio rublių - mamos uždirbti pinigai. Išreikškite mamos ir tėčio uždirbtus pinigus procentais.

Sprendimas

Ši užduotis, kaip ir ankstesnė, yra užduotis rasti procentą.

Išreikškime tėčio uždirbtus pinigus procentais. Jis uždirbo 52,5 tūkstančio rublių iš 75 tūkstančių rublių

Padalinkime į šią trupmeną:

0,7 × 100 = 70 %

Tai reiškia, kad tėtis uždirbo 70% pinigų. Be to, nesunku atspėti, kad likusius 30% pinigų uždirbo mama. Juk 75 tūkstančiai rublių yra visi 100% pinigų. Norėdami įsitikinti, atliksime patikrinimą. Mama uždirbo 22,5 tūkst. nuo 75 tūkstančių rublių. Užrašome trupmeną, atliekame padalijimą ir rezultatą išreiškiame procentais:

4 problema... Mokinys praktikuojasi darydamas prisitraukimus ant juostos. Praėjusį mėnesį jis galėjo atlikti 8 prisitraukimus per rinkinį. Šį mėnesį jis gali atlikti 10 prisitraukimų per rinkinį. Kiek procentų jis padidino prisitraukimų skaičių?

Sprendimas

Sužinokite, kiek daugiau prisitraukimų mokinys daro einamąjį mėnesį nei praeitą

Sužinokite, kas yra dviejų prisitraukimų dalis iš aštuonių prisitraukimų. Norėdami tai padaryti, randame santykį nuo 2 iki 8

Padalinkime į šią trupmeną

Išreikškime rezultatą procentais:

0,25 × 100 = 25 %

Tai reiškia, kad studentas prisitraukimų skaičių padidino 25 proc.

Šią problemą galima išspręsti antruoju, greitesniu būdu – išsiaiškinkite, kiek kartų 10 prisitraukimų yra daugiau nei 8 prisitraukimai ir rezultatą išreikškite procentais.

Norėdami sužinoti, kiek kartų dešimt prisitraukimų yra daugiau nei aštuoni prisitraukimai, turite rasti santykį nuo 10 iki 8

Padalinkite gautą trupmeną

Išreikškime rezultatą procentais:

1,25 × 100 = 125 %

Šį mėnesį pasitraukimo rodiklis yra 125%. Šis teiginys turi būti suprantamas tiksliai taip "yra 125%", ne kaip Rodiklis išaugo 125 proc.... Tai du skirtingi teiginiai, išreiškiantys skirtingus kiekius.

Teiginys "yra 125%" turėtų būti suprantamas kaip "aštuoni prisitraukimai, kurie yra 100% plius du prisitraukimai, kurie yra 25% iš aštuonių prisitraukimų". Grafiškai tai atrodo taip:

O posakį „padidino 125%“ reikėtų suprasti kaip „prie dabartinių aštuonių prisitraukimų, kurie buvo 100%, buvo pridėta dar 100% (dar 8 prisitraukimai) plius dar 25% (2 prisitraukimai). “ Iš viso gaunama 18 prisitraukimų.

100 % + 100 % + 25 % = 8 + 8 + 2 = 18 prisitraukimų

Grafiškai šis teiginys atrodo taip:

Iš viso paaiškėja, kad 225 proc. Jei randame 225% iš aštuonių prisitraukimų, gauname 18 prisitraukimų.

8 × 2,25 = 18

5 problema... Praėjusį mėnesį atlyginimas siekė 19,2 tūkst. Einamąjį mėnesį ji siekė 20,16 tūkst. Kiek padidėjo atlyginimas?

Šią problemą, kaip ir ankstesnę, galima išspręsti dviem būdais. Pirmasis – pirmiausia išsiaiškinti, kiek rublių padidėjo atlyginimas. Toliau išsiaiškinkite, kokia šio padidinimo dalis yra iš praėjusio mėnesio atlyginimo

Sužinokime, kiek rublių padidėjo atlyginimas:

20,16 - 19,2 = 0,96 tūkst.

Sužinokime, kokia dalis 0,96 tūkst. svyruoja nuo 19.2. Norėdami tai padaryti, randame santykį nuo 0,96 iki 19,2

Atlikime padalijimą gautoje trupmenoje. Pakeliui atsiminkite:

Išreikškime rezultatą procentais:

0,05 × 100 = 5 %

Tai reiškia, kad atlyginimas padidėjo 5 proc.

Išspręskime problemą antruoju būdu. Sužinokite, kiek kartų 20,16 tūkst. daugiau nei 19,2 tūkst. Norėdami tai padaryti, randame santykį nuo 20,16 iki 19,2

Padalykime į gautą trupmeną:

Išreikškime rezultatą procentais:

1,05 × 100 = 105 %

Atlyginimas 105 proc. Tai reiškia, kad tai apima 100%, o tai sudarė 19,2 tūkst. rublių, plius 5%, tai yra 0,96 tūkst.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

6 problema... Šį mėnesį nešiojamasis kompiuteris pabrango 5 proc. Kokia jo kaina, jei praėjusį mėnesį jis kainavo 18,3 tūkst.

Sprendimas

5 % iš 18,3 radimas:

18,3 × 0,05 = 0,915

Pridėkite šiuos 5% prie 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 tūkstančių rublių.

Atsakymas: nešiojamojo kompiuterio kaina yra 19,215 tūkst.

7 problema... Nešiojamojo kompiuterio kaina šį mėnesį sumažėjo 10%. Kokia jo kaina, jei praėjusį mėnesį jis kainavo 16,3 tūkst.

Sprendimas

Raskite 10 % iš 16.3:

16,3 x 0,10 = 1,63

Atimkite šį 10% iš 16,3:

16,3–1,63 = 14,67 (tūkstantis rublių)

Panašias užduotis galima parašyti trumpai:

16,3 – (16,3 × 0,10) = 14,67 (tūkstantis rublių)

Atsakymas: nešiojamojo kompiuterio kaina yra 14,67 tūkst.

8 problema... Praėjusį mėnesį nešiojamojo kompiuterio kaina buvo 21 tūkstantis rublių. Šį mėnesį kaina pakilo iki 22,05 tūkst. Kiek pabrango?

Sprendimas

Nustatykite, kiek rublių padidėjo kaina

22.05–21 = 1,05 (tūkstantis rublių)

Sužinokime, kokia dalis 1,05 tūkst. yra nuo 21 tūkstančio rublių.

Rezultatą išreikškime procentais

0,05 × 100 = 5 %

Atsakymas: nešiojamojo kompiuterio kaina padidėjo 5 proc.

8 problema... Darbininkas pagal planą turėjo pagaminti 600 detalių, o jis pagamino 900 detalių. Kiek procentų jis įvykdė planą?

Sprendimas

Sužinome, kiek kartų 900 dalių yra daugiau nei 600 dalių. Norėdami tai padaryti, randame santykį nuo 900 iki 600

Šios trupmenos reikšmė yra 1,5. Išreikškime šią reikšmę procentais:

1,5 × 100 = 150 %

Tai reiškia, kad darbuotojas planą įvykdė 150 proc. Tai yra, jis jį užbaigė 100%, pagaminęs 600 dalių. Tada jis padarė dar 300 dalių, tai yra 50% pradinio plano.

Atsakymas: darbuotojas planą įvykdė 150 proc.

Procentų palyginimas

Daug kartų palyginome vertes įvairiais būdais. Pirmasis mūsų įrankis buvo skirtumas. Taigi, pavyzdžiui, norėdami palyginti 5 rublius ir 3 rublius, užrašėme skirtumą 5–3. Gavus 2 atsakymą, galima sakyti, kad „penki rubliai yra daugiau nei trys rubliai už du rublius“.

Atsakymas, gautas atimant kasdieniame gyvenime, vadinamas ne „skirtumu“, o „skirtumu“.

Taigi, skirtumas tarp penkių ir trijų rublių yra du rubliai.

Kitas įrankis, kurį naudojome verčių palyginimui, buvo santykis. Santykis leido mums sužinoti, kiek kartų pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį (arba kiek kartų pirmas skaičius yra antrasis).

Taigi, pavyzdžiui, dešimt obuolių yra penkis kartus daugiau nei du obuoliai. Kitaip tariant, dešimtyje obuolių yra du obuoliai penkis kartus. Šį palyginimą galima parašyti naudojant ryšį

Tačiau vertes galima palyginti procentais. Pavyzdžiui, palyginti dviejų prekių kainą ne rubliais, o įvertinti, kiek vienos prekės kaina yra didesnė ar mažesnė už kitos kainą procentais.

Norint palyginti vertes procentais, viena iš jų turi būti nurodyta kaip 100%, o antra pagal problemos sąlygas.

Pavyzdžiui, išsiaiškinkime, kiek procentų dešimt obuolių yra daugiau nei aštuoni obuoliai.

100%, turite nurodyti vertę, su kuria mes ką nors lyginame. Mes lyginame 10 obuolių su 8 obuoliais. Taigi, 100% mes skiriame 8 obuolius:

Dabar mūsų užduotis yra palyginti, kiek procentų 10 obuolių yra daugiau nei šie 8 obuoliai. 10 obuolių yra 8 + 2 obuoliai. Tai reiškia, kad prie aštuonių obuolių pridėję dar du obuolius, tam tikru procentų skaičiumi padidinsime 100%. Norėdami sužinoti, kuris iš jų, nustatykime, kiek procentų aštuonių obuolių sudaro du obuoliai

Pridėjus šiuos 25% prie aštuonių obuolių, gauname 10 obuolių. O 10 obuolių yra 8 + 2, tai yra 100% ir dar 25%. Iš viso gauname 125 proc.

Tai reiškia, kad dešimt obuolių yra daugiau nei aštuoni obuoliai 25%.

Dabar išspręskime atvirkštinę problemą. Sužinokime, kiek procentų aštuoni obuoliai yra mažiau nei dešimt obuolių. Atsakymas iš karto rodo, kad aštuoni obuoliai yra 25% mažiau. Tačiau taip nėra.

Mes lyginame aštuonis obuolius su dešimčia obuolių. Sutarėme, kad 100% priimsime tai, su kuo lyginame. Todėl šį kartą imame 10 obuolių 100%:

Aštuoni obuoliai yra 10–2, tai yra, 10 obuolių sumažinus 2 obuoliais, sumažinsime juos tam tikru procentų skaičiumi. Norėdami sužinoti, kuris iš jų, nustatykime, kiek procentų iš dešimties obuolių sudaro du obuoliai

Iš dešimties obuolių atėmus šiuos 20% gauname 8 obuolius. O 8 obuoliai yra 10–2, tai yra 100% ir minus 20%. Iš viso gauname 80 proc.

Tai reiškia, kad aštuoni obuoliai yra mažiau nei dešimt obuolių 20%.

2 užduotis... Kiek procentų yra 5000 rublių daugiau nei 4000 rublių?

Sprendimas

Paimkime 4000 rublių už 100%. 5 tūkstančiai daugiau nei 4 tūkstančiai už 1 tūkst. Tai reiškia, kad padidinę keturis tūkstančius vienu tūkstančiu, keturis tūkstančius padidinsime tam tikru procentu. Sužinokime, kuris. Norėdami tai padaryti, nustatykime, kokia tūkstančio dalis yra iš keturių tūkstančių:

Išreikškime rezultatą procentais:

0,25 × 100 = 25 %

1000 rublių nuo 4000 rublių yra 25%. Jei pridėsite šį 25% prie 4000, gausite 5000 rublių. Tai reiškia, kad 5000 rublių yra 25% daugiau nei 4000 rublių

3 problema... Kiek procentų yra 4000 rublių mažiau nei 5000 rublių?

Šį kartą lyginame 4000 su 5000. Paimkime 5000 kaip 100%. Penki tūkstančiai yra daugiau nei keturi tūkstančiai už tūkstantį rublių. Sužinokite, kokia tūkstančio dalis yra iš penkių tūkstančių

Tūkstantis nuo penkių tūkstančių yra 20 proc. Jei atimsite šiuos 20% iš 5000 rublių, gausime 4000 rublių.

Tai reiškia, kad 4000 rublių yra mažiau nei 5000 rublių 20%

Koncentracijos problemos, lydiniai ir mišiniai

Tarkime, yra noras pasidaryti kokias nors sultis. Turime vandens ir aviečių sirupo

Į stiklinę supilkite 200 ml vandens:

Įpilkite 50 ml aviečių sirupo ir išmaišykite gautą skystį. Rezultate gauname 250 ml aviečių sulčių. (200 ml vandens + 50 ml sirupo = 250 ml sulčių)

Kiek iš gautų sulčių yra aviečių sirupo?

Aviečių sirupas sudaro sultis. Apskaičiuojame šį santykį, gauname skaičių 0,20. Šis skaičius rodo ištirpusio sirupo kiekį susidariusiose sultyse. Paskambinkime šiuo numeriu sirupo koncentracija.

Ištirpusios medžiagos koncentracija yra ištirpusios medžiagos kiekio arba jos masės ir tirpalo tūrio santykis.

Koncentracija dažniausiai išreiškiama procentais. Sirupo koncentraciją išreikškime procentais:

0,20 x 100 = 20 %

Taigi, sirupo koncentracija aviečių sultyse yra 20%.

Tirpale esančios medžiagos gali būti nevienalytės. Pavyzdžiui, sumaišykite 3 litrus vandens ir 200 g druskos.

1 litro vandens masė yra 1 kg. Tada 3 litrų vandens masė bus 3 kg. 3 kg verčiame į gramus, gauname 3 kg = 3000 g.

Dabar į 3000 g vandens įberkite 200 g druskos ir sumaišykite gautą skystį. Gaunasi druskos tirpalas, kurio bendra masė bus 3000 + 200, tai yra 3200 g. Raskime druskos koncentraciją gautame tirpale. Norėdami tai padaryti, randame ištirpusios druskos masės ir tirpalo masės santykį

Tai reiškia, kad sumaišius 3 litrus vandens ir 200 g druskos, gaunamas 6,25 % druskos tirpalas.

Panašiai galima nustatyti medžiagos kiekį lydinyje arba mišinyje. Pavyzdžiui, lydinyje yra alavo, kurio masė 210 g, o sidabro - 90 g. Tada lydinio masė bus 210 + 90, tai yra 300 g. Lydinyje bus alavo ir sidabro. alavo procentas bus 70%, o sidabro - 30%

Sumaišius du tirpalus, gaunamas naujas tirpalas, susidedantis iš pirmojo ir antrojo tirpalų. Naujame tirpale gali būti kitokia medžiagos koncentracija. Naudingas įgūdis – gebėjimas spręsti koncentracijos, lydinio ir mišinio problemas. Apskritai tokių užduočių prasmė yra sekti pokyčius, atsirandančius maišant skirtingų koncentracijų tirpalus.

Sumaišykite dvi aviečių sultis. Pirmose 250 ml sulčių yra 12,8% aviečių sirupo. O antrosiose 300 ml tūrio sultyse yra 15% aviečių sirupo. Supilkite šias dvi sultis į didelę stiklinę ir išmaišykite. Dėl to gauname naujas 550 ml sultis.

Dabar nustatykime sirupo koncentraciją gautose sultyse. Pirmosiose nuvarvintose 250 ml tūrio sultyse buvo 12,8% sirupo. O 12,8% iš 250 ml yra 32 ml. Tai reiškia, kad pirmosiose sultyse buvo 32 ml sirupo.

Antrose nuvarvintose 300 ml tūrio sultyse buvo 15% sirupo. Ir 15% iš 300 ml yra 45 ml. Tai reiškia, kad antrose sultyse buvo 45 ml sirupo.

Supilame sirupų kiekius:

32 ml + 45 ml = 77 ml

Šie 77 ml sirupo yra naujose sultyse, kurių tūris yra 550 ml. Nustatykime sirupo koncentraciją šiose sultyse. Norėdami tai padaryti, randame 77 ml ištirpinto sirupo ir 550 ml sulčių tūrio santykį:

Tai reiškia, kad sumaišius 12,8% aviečių sultis, kurių tūris yra 250 ml, ir 15% aviečių sultis, kurių tūris yra 300 ml, gausite 14% aviečių sulčių, kurių tūris yra 550 ml.

1 problema... Yra 3 sprendimai jūros druska vandenyje: pirmame tirpale yra 10% druskos, antrajame yra 15% druskos ir trečiame - 20% druskos. Sumaišoma 130 ml pirmojo tirpalo, 200 ml antrojo tirpalo ir 170 ml trečiojo tirpalo. Nustatykite jūros druskos procentą gautame tirpale.

Sprendimas

Nustatykite gauto tirpalo tūrį:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Kadangi pirmame tirpale buvo 130 × 0,10 = 13 ml jūros druskos, antrajame tirpale 200 × 0,15 = 30 ml jūros druskos, o trečiajame - 170 × 0,20 = 34 ml jūros druskos, gautame tirpale bus 13 + 30 + 34 = 77 ml jūros druskos.

Gautame tirpale nustatykime jūros druskos koncentraciją. Norėdami tai padaryti, nustatome 77 ml jūros druskos ir 500 ml tirpalo tūrio santykį

Tai reiškia, kad gautame tirpale yra 15,4% jūros druskos.

2 užduotis... Kiek gramų vandens reikia įpilti į 50 g tirpalo, kuriame yra 8 % druskos, kad gautume 5 % tirpalą?

Sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad jei į esamą tirpalą įpilsite vandens, druskos kiekis jame nepasikeis. Pasikeis tik jo procentas, nes į tirpalą pridėjus vandens pasikeis jo masė.

Reikia įpilti tiek vandens, kad aštuoni procentai druskos taptų penkiais procentais.

Nustatykite, kiek gramų druskos yra 50 g tirpalo. Tam randame 8% iš 50

50 g × 0,08 = 4 g

8% iš 50 g yra 4 g. Kitaip tariant, aštuonioms dalims iš šimto yra 4 gramai druskos. Pažiūrėkime, kad šie 4 gramai būtų ne į aštuonias dalis, o į penkias dalis, tai yra 5 proc.

4 gramai - 5%

Dabar žinodami, kad 5% tirpalo yra 4 gramai, galime rasti viso tirpalo masę. Tam jums reikia:

4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g

80 gramų tirpalo yra masė, kuriai esant 4 gramai druskos sudarys 5% tirpalo. O norint gauti šiuos 80 gramų, į pradinius 50 gramų reikia įpilti 30 gramų vandens.

Tai reiškia, kad norint gauti 5% druskos tirpalą, į esamą tirpalą reikia įpilti 30 g vandens.

2 užduotis... Vynuogėse yra 91% drėgmės, o razinose - 7%. Kiek kilogramų vynuogių reikia norint pagaminti 21 kilogramą razinų?

Sprendimas

Vynuogės susideda iš drėgmės ir grynos medžiagos. Jei šviežiose vynuogėse yra 91% drėgmės, likusieji 9% sudarys gryną šių vynuogių medžiagą:

Razinose yra 93% grynos medžiagos ir 7% drėgmės:

Atkreipkite dėmesį, kad vynuoges paverčiant razinomis, dingsta tik šios vynuogės drėgmė. Gryna medžiaga išlieka nepakitusi. Vynuogėms pavirtus razinomis, susidariusiose razinose bus 7% drėgmės ir 93% grynos medžiagos.

Nustatykime, kiek grynos medžiagos yra 21 kg razinų. Tam randame 93% iš 21 kg

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Dabar grįžkime prie pirmosios nuotraukos. Mūsų užduotis buvo nustatyti, kiek vynuogių reikia paimti, norint gauti 21 kg razinų. Gryna medžiaga, sverianti 19,53 kg, sudarys 9% vynuogių:

Dabar, žinodami, kad 9% grynos medžiagos yra 19,53 kg, galime nustatyti, kiek vynuogių reikia norint gauti 21 kg razinų. Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių pagal jo procentą:

19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg

Tai reiškia, kad norint gauti 21 kg razinų, reikia paimti 217 kg vynuogių.

3 problema... Alavo ir vario lydinyje vario yra 85 proc. Kiek lydinio reikia vartoti, kad būtų 4,5 kg alavo?

Sprendimas

Jei lydinyje yra 85% vario, likę 15% bus alavo:

Kyla klausimas, kiek lydinio reikia paimti, kad jame būtų 4,5 alavo. Kadangi lydinyje yra 15% alavo, tai 4,5 kg alavo sudarys šiuos 15%.

O žinodami, kad 4,5 kg lydinio yra 15%, galime nustatyti viso lydinio masę. Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių pagal jo procentą:

4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg

Tai reiškia, kad reikia paimti 30 kg lydinio, kad jame būtų 4,5 kg alavo.

4 problema... Tam tikras kiekis 12% druskos rūgšties tirpalo buvo sumaišytas su tokiu pat kiekiu 20% tos pačios rūgšties tirpalo. Raskite susidariusios druskos rūgšties koncentraciją.

Sprendimas

Pavaizduokime pirmąjį sprendimą paveiksle tiesios linijos pavidalu ir jame pasirinkite 12%.

Kadangi tirpalų skaičius yra vienodas, šalia jo galite nupiešti tą pačią figūrą, iliustruojančią antrąjį tirpalą, kuriame druskos rūgšties kiekis yra 20%

Mes gavome du šimtus dalių tirpalo (100% + 100%), iš kurių trisdešimt dvi dalys yra druskos rūgštis (12% + 20%).

Nustatykite, kuri 32 dalis yra iš 200 dalių

Tai reiškia, kad sumaišius 12% druskos rūgšties tirpalą su tokiu pat kiekiu 20% tos pačios rūgšties tirpalo, gaunamas 16% druskos rūgšties tirpalas.

Norėdami patikrinti, įsivaizduokime, kad pirmojo tirpalo masė buvo 2 kg. Antrojo tirpalo masė taip pat bus 2 kg. Tada, sumaišius šiuos tirpalus, gausis 4 kg tirpalo. Pirmajame druskos rūgšties tirpale buvo 2 × 0,12 = 0,24 kg, o antrajame - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Tada naujame druskos rūgšties tirpale bus 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. druskos rūgšties koncentracija bus 16 proc.

Savarankiško sprendimo užduotys

ant, rasime 60% skaičiaus

Dabar skaičių padidinsime rastais 60%, t.y. pagal skaičių

Atsakymas: nauja vertė yra

12 uždavinys. Atsakykite į šiuos klausimus:

1) Išleido 80% sumos. Kiek procentų iš šios sumos liko?
2) Vyrai sudaro 75% visų gamyklų darbuotojų. Kiek procentų gamyklos darbuotojų sudaro moterys?
3) Merginos sudaro 40% klasės. Kiek procentų klasės yra berniukai?

A Sprendimas

Naudokime kintamąjį. Leisti būti P tai pradinis numeris, nurodytas užduotyje. Paimkime šį pradinį skaičių P už 100 proc.

Sumažinkite šį pradinį skaičių P 50 proc.

Naujasis skaičius dabar sudaro 50 % pradinio numerio. Sužinokite, kiek kartų didesnis už pradinį skaičių P daugiau nei naujasis numeris. Norėdami tai padaryti, mes nustatome santykį nuo 100% iki 50%

Pradinis skaičius yra du kartus didesnis už naują. Tai matyti net iš nuotraukos. O kad naujasis skaičius būtų lygus originalui, reikia jį padvigubinti. O padvigubinti skaičių reiškia jį padidinti 100%.

Tai reiškia, kad naująjį skaičių, kuris yra pusė pradinio skaičiaus, reikia padidinti 100 proc.

Atsižvelgiant į naują skaičių, jis taip pat laikomas 100 proc. Taigi, parodytame paveikslėlyje naujas skaičius yra pusė pradinio skaičiaus ir yra pasirašytas kaip 50%. Palyginti su pradiniu skaičiumi, naujas skaičius yra pusė. Bet jei vertinsime jį atskirai nuo originalo, tai turi būti laikoma 100%.

Todėl paveikslėlyje naujas skaičius, kuris pavaizduotas kaip linija, iš pradžių buvo nurodytas kaip 50%. Bet tada mes nurodėme šį skaičių kaip 100%.

Atsakymas: norint gauti pradinį skaičių, naujasis skaičius turi būti padidintas 100%.

16 problema. Praėjusį mėnesį mieste įvyko 15 eismo įvykių.
Šį mėnesį šis rodiklis nukrito iki 6. Kiek procentų sumažėjo nelaimingų atsitikimų skaičius?

Sprendimas

Praėjusį mėnesį įvyko 15 avarijų. Šį mėnesį 6. Tai reiškia, kad avarijų sumažėjo 9.
15 nelaimingų atsitikimų laikykime 100 proc. Sumažinus 15 nelaimingų atsitikimų 9, jų sumažinsime tam tikru procentu. Norėdami sužinoti, kuri iš jų, išsiaiškiname, kuri dalis iš 9 avarijų yra iš 15 avarijų

Atsakymas: gauto tirpalo koncentracija yra 12%.

18 uždavinys. Tam tikras kiekis 11 % tam tikros medžiagos tirpalo buvo sumaišytas su tokiu pat kiekiu 19 % tos pačios medžiagos tirpalo. Raskite gauto tirpalo koncentraciją.

Sprendimas

Abiejų tirpalų masė yra vienoda. Kiekvienas sprendimas gali būti laikomas 100%. Sudėjus tirpalus, gaunamas 200 % tirpalas. Pirmame tirpale buvo 11 % medžiagos, o antrajame – 19 % medžiagos. Tada gautame 200% tirpale bus 11% + 19% = 30% medžiagos.

Nustatykite gauto tirpalo koncentraciją. Norėdami tai padaryti, išsiaiškiname, kokia dalis trisdešimties medžiagos dalių yra iš dviejų šimtų medžiagos dalių:

1,10. Tai reiškia, kad pirmojo mėnesio kaina taps 1,10.

Antrą mėnesį kaina taip pat išaugo 10 proc. Prie dabartinės 1,10 kainos pridėkite dešimt procentų šios kainos, gausime 1,10 + 0,10 x 1,10. Ši suma lygi išraiškai 1,21 . Tai reiškia, kad antro mėnesio kaina taps 1,21.

Trečią mėnesį kaina taip pat išaugo 10 proc. Prie esamos kainos 1,21 pridėkite dešimt procentų šios kainos, gausime 1,21 + 0,10 x 1,21. Ši suma lygi 1,331 . Tada trečio mėnesio kaina taps 1,331.

Paskaičiuokime skirtumą tarp naujų ir senų kainų. Jei pradinė kaina buvo 1, tai ji padidėjo 1,331 – 1 = 0,331. Išreikškite šį rezultatą procentais, gausime 0,331 × 100 = 33,1%

Atsakymas: per 3 mėnesius maisto produktai pabrango 33,1 proc.

Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„Vkontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas