Viena ir 0 Pitagoro kelnių. Įvairūs Pitagoro teoremos įrodymo būdai: pavyzdžiai, aprašymai ir apžvalgos
Vienu dalyku galite būti šimtu procentų tikras, kad paklaustas, koks yra hipotenuzos kvadratas, bet kuris suaugęs žmogus drąsiai atsakys: „Kojų kvadratų suma“. Ši teorema yra tvirtai įsitvirtinusi kiekvieno išsilavinusio žmogaus galvoje, tačiau pakanka paprašyti ką nors įrodyti, tada gali kilti sunkumų. Todėl prisiminkime ir apsvarstykime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.
Trumpa biografijos apžvalga
Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, tačiau kažkodėl ją pagimdžiusio asmens biografija nėra tokia populiari. Tai galima pataisyti. Todėl prieš studijuodami skirtingus Pitagoro teoremos įrodymo būdus, turite trumpai susipažinti su jo asmenybe.
Pitagoras yra filosofas, matematikas, mąstytojas, kilęs iš „Šiandien“, labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, susiformavusių šio didžio žmogaus atminimui. Bet, kaip matyti iš jo pasekėjų raštų, Pitosoras iš Samoso gimė Samoso saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmens pjaustytojas, tačiau motina buvo kilmingos šeimos.
Pasak legendos, Pitagoro gimimą numatė moteris, vardu Pitija, kurios garbei buvo pavadintas berniukas. Pasak jos prognozės, gimęs berniukas žmonijai turėjo duoti daug naudos ir gerumo. Ką jis iš tikrųjų ir padarė.
Teoremos gimimas
Jaunystėje Pitagoras persikėlė į Egiptą susitikti su žymiais Egipto išminčiais. Susitikęs su jais, jis buvo priimtas studijuoti, kur sužinojo visus didžiuosius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.
Tikriausiai būtent Egipte Pitagoras buvo įkvėptas piramidžių didybės ir grožio ir sukūrė savo didžiąją teoriją. Tai gali šokiruoti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai mano, kad Pitagoras neįrodė savo teorijos. Savo žinias jis perdavė tik savo sekėjams, kurie vėliau atliko visus būtinus matematinius skaičiavimus.
Kaip ten bebūtų, šiandien žinomas ne vienas šios teoremos įrodymo būdas, bet keli iš karto. Šiandien mes galime tik spėti, kaip tiksliai senovės graikai atliko savo skaičiavimus, todėl čia mes apsvarstysime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.
Pitagoro teorema
Prieš pradėdami skaičiavimus, turite išsiaiškinti, kuri teorija turi būti įrodyta. Pitagoro teorema skamba taip: „Trikampyje, kuriame vienas iš kampų yra 90 o, kojų kvadratų suma lygi hipotenūzo kvadratui“.
Iš viso yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Tai gana didelė figūra, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausias iš jų.
Pirmasis metodas
Pirmiausia paskirkime tai, kas mums duota. Šie duomenys bus taikomi ir kitiems Pitagoro teoremos įrodymo būdams, todėl turėtumėte nedelsdami prisiminti visus turimus užrašus.
Tarkime, kad duotas stačiakampis trikampis, kurio kojos a, b ir hipotenuzė lygi c. Pirmasis įrodinėjimo būdas pagrįstas tuo, kad iš stačiakampio trikampio turi būti nubrėžtas kvadratas.
Norėdami tai padaryti, turite nubrėžti segmentą, lygų b kojele, iki a ilgio kojos, ir atvirkščiai. Tai turėtų padaryti du lygios pusės aikštė. Belieka tik nubrėžti dvi lygiagrečias linijas, o kvadratas yra paruoštas.
Gautos figūros viduje turite nupiešti dar vieną kvadratą, kurio kraštinė lygi originalaus trikampio hipotenuzei. Norėdami tai padaryti, iš viršūnių ac ir sv turite nubrėžti du lygiagrečius segmentus, lygius c. Taigi gauname tris kvadrato kraštus, iš kurių viena yra pradinio stačiakampio trikampio hipotenuzė. Belieka tik baigti ketvirtą segmentą.
Pagal gautą paveikslą galime daryti išvadą, kad išorinio kvadrato plotas yra (a + b) 2. Pažvelgus į paveikslo vidų, galima pamatyti, kad be vidinio kvadrato jame yra keturi stačiakampiai trikampiai. Kiekvieno jų plotas yra 0,5 av.
Todėl plotas yra: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Taigi (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2
Taigi, c 2 \u003d a 2 + b 2
Teorema yra įrodyta.
Antrasis metodas: panašūs trikampiai
Ši Pitagoro teoremos įrodymo formulė buvo gauta remiantis teiginiu iš geometrijos pjūvio apie panašius trikampius. Jame sakoma, kad stačiakampio trikampio koja yra jo hipotenuzos ir hipotenuzo segmento, kylančio iš 90 ° kampo viršūnės, proporcingas vidurkis.
Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl pradėkime nuo įrodymo. Nubrėžkime SD atkarpą, statmeną šonui AB. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampių kojos yra:
AC \u003d √AB * HELL, SV \u003d √AB * DV.
Norint atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą, įrodymas turi būti baigtas išardant abi nelygybes.
AC 2 \u003d AB * HELL ir SV 2 \u003d AB * DV
Dabar reikia susumuoti atsiradusias nelygybes.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (HELL * DV), kur HELL + DV \u003d AB
Pasirodo, kad:
AC 2 + SV 2 \u003d AB * AB
Ir todėl:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Pitagoro teoremos įrodymas ir įvairūs jos sprendimo būdai reikalauja visapusiško požiūrio į šią problemą. Tačiau ši galimybė yra viena iš paprasčiausių.
Kita skaičiavimo technika
Įvairių Pitagoro teoremos įrodymo būdų aprašymas gali nieko nepasakyti, kol nepradėsite savarankiškai praktikuoti. Daugelis būdų apima ne tik matematinius skaičiavimus, bet ir naujų figūrų konstravimą iš pradinio trikampio.
Šiuo atveju būtina užbaigti dar vieną stačiakampį VSD trikampį nuo BC kojos. Taigi, dabar yra du trikampiai su bendra koja prieš mūsų erą.
Žinant, kad tokių figūrų plotų santykis yra panašių tiesinių matmenų kvadratų, tada:
S avd * s 2 - S avd * a 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2
S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)
s 2 -w 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + b 2
Kadangi ši parinktis vargu ar tinka taikant skirtingus Pitagoro teoremos įrodymo 8 klasei metodus, galite naudoti šią techniką.
Lengviausias būdas įrodyti Pitagoro teoremą. Atsiliepimai
Istorikai mano, kad šis metodas pirmą kartą buvo naudojamas įrodyti teoremą dar senovės Graikijoje. Tai paprasčiausias, nes nereikia visiškai jokių skaičiavimų. Jei piešiate figūrą teisingai, tada bus aiškiai matomas teiginio, kad 2 + 2 \u003d c 2, įrodymas.
Šio metodo sąlygos šiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad stačiakampis trikampis ABC yra lygiašonis.
Mes laikome AC hipotenuzą kaip kvadrato kraštą ir pavaldiname tris jo puses. Be to, gautame kvadrate turite nubrėžti dvi įstrižas linijas. Taigi jo viduje yra keturi lygiašoniai trikampiai.
Taip pat reikia nubrėžti kvadratą prie kojų AB ir CB ir kiekvienoje iš jų nubrėžti po vieną įstrižą liniją. Pirmoji linija nubrėžta iš viršūnės A, antroji - nuo C.
Dabar reikia atidžiai pažvelgti į gautą piešinį. Kadangi kintamosios srovės hipotenuzoje yra keturi trikampiai, lygūs pradiniam, o du - ant kojų, tai rodo šios teoremos tiesą.
Beje, šio Pitagoro teoremos įrodymo metodo dėka gimė garsioji frazė: „ Pitagoro kelnės yra lygūs visomis kryptimis ".
J. Garfieldo įrodymas
Jamesas Garfieldas yra 20-asis Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Be to, kad paliko pėdsaką istorijoje kaip JAV valdovas, jis taip pat buvo gabus savamokslis.
Karjeros pradžioje jis buvo paprastas mokytojas liaudies mokykloje, tačiau netrukus tapo vienos iš aukštųjų mokyklų direktoriumi. Savęs tobulėjimo troškimas leido jam pasiūlyti naują teoriją, įrodančią Pitagoro teoremą. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokie.
Pirma, ant popieriaus lapo turite nupiešti du stačiakampius trikampius, kad vieno iš jų koja būtų antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnes reikia sujungti, kad galų gale būtų suformuota trapecija.
Kaip žinote, trapecijos plotas yra lygus jo pagrindų pusės sumos ir aukščio sandaugai.
S \u003d a + b / 2 * (a + b)
Jei atsižvelgsime į gautą trapeciją kaip figūrą, susidedančią iš trijų trikampių, tada jos plotą galima rasti taip:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2
Dabar reikia sulyginti dvi originalias išraiškas
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2
c 2 \u003d a 2 + b 2
Apie Pitagoro teoremą ir jos įrodinėjimo metodus galima parašyti ne vieną vadovėlio tomą. Bet ar yra prasmės, kai šių žinių negalima pritaikyti praktiškai?
Praktinis Pitagoro teoremos taikymas
Deja, šiuolaikiniame mokyklų programos šios teoremos naudojimas numatytas tik geometrinėse užduotyse. Absolventai netrukus paliks mokyklos sienas, niekada nežinodami, kaip praktiškai pritaikyti savo žinias ir įgūdžius.
Tiesą sakant, naudokite Pitagoro teoremą savo kasdienybė visi gali. Ir ne tik profesinė veikla, bet ir atliekant įprastus namų ruošos darbus. Panagrinėkime keletą atvejų, kai Pitagoro teorema ir jos įrodymo metodai gali būti labai reikalingi.
Teoremos ir astronomijos ryšys
Atrodytų, kaip galima sujungti žvaigždutes ir trikampius ant popieriaus. Iš tikrųjų astronomija yra mokslo sritis, kurioje Pitagoro teorema yra plačiai naudojama.
Pavyzdžiui, apsvarstykite šviesos pluošto judėjimą erdvėje. Yra žinoma, kad šviesa juda į abi puses tuo pačiu greičiu. Vadinama trajektorija AB, kuria juda šviesos pluoštas l. Ir pusę laiko reikia, kol šviesa pateks iš taško A į tašką B, paskambinkime t... Ir spindulio greitis - c. Pasirodo, kad: c * t \u003d l
Jei pažvelgsite į šį patį spindulį iš kitos plokštumos, pavyzdžiui, iš kosminio lainerio, kuris juda greičiu v, tai stebint tokius kūnus jų greitis pasikeis. Šiuo atveju net stacionarūs elementai judės greičiu v priešinga kryptimi.
Tarkime, komiksų laineris plaukia į dešinę. Tada taškai A ir B, tarp kurių mėtosi spindulys, pasislinks į kairę. Be to, kai spindulys juda iš taško A į tašką B, taškas A turi laiko judėti ir, atitinkamai, šviesa jau pateks į naują tašką C. Norėdami rasti pusę atstumo, per kurį taškas A pasislinko, reikia padauginti įdėklo greitį per pusę sijos kelionės laiko (t ").
Norėdami sužinoti, kiek šviesos spindulys galėtų nuvažiuoti per šį laiką, turite pažymėti pusę kelio su nauja raide s ir gauti tokią išraišką:
Jei įsivaizduosime, kad šviesos C ir B taškai, taip pat tarpinė linija yra lygiakraščio trikampio viršūnės, tada segmentas nuo taško A iki įdėklo padalins jį į du stačiakampius trikampius. Todėl Pitagoro teoremos dėka galite rasti atstumą, kurį galėtų įveikti šviesos spindulys.
Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats sėkmingiausias, nes tik nedaugeliui gali pasisekti išbandyti praktiškai. Todėl mes apsvarstysime labiau įprastas šios teoremos taikymo galimybes.
Mobiliojo signalo perdavimo spindulys
Jau neįmanoma įsivaizduoti šiuolaikinio gyvenimo be išmaniųjų telefonų. Bet ar jie būtų daug naudingi, jei negalėtų prisijungti prie abonentų mobiliuoju ryšiu?
Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuo mobiliojo ryšio operatoriaus antenos aukščio. Norėdami apskaičiuoti, kiek atstumu telefonas gali priimti signalą iš mobiliojo bokšto, galite pritaikyti Pitagoro teoremą.
Tarkime, reikia rasti apytikslį nejudančio bokšto aukštį, kad jis galėtų skleisti signalą 200 kilometrų spinduliu.
AB (bokšto aukštis) \u003d x;
Orlaivis (signalo perdavimo spindulys) \u003d 200 km;
OS (žemės rutulio spindulys) \u003d 6380 km;
OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x
Taikydami Pitagoro teoremą sužinome, kad minimalus bokšto aukštis turėtų būti 2,3 kilometro.
Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime
Kaip bebūtų keista, Pitagoro teorema gali būti naudinga net ir kasdieniuose reikaluose, pavyzdžiui, nustatant drabužių spintos aukštį. Iš pirmo žvilgsnio nereikia naudoti tokių sudėtingų skaičiavimų, nes matavimus galite atlikti tiesiog matavimo juosta. Tačiau daugeliui kyla klausimas, kodėl surinkimo procese kyla tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo atlikti daugiau nei tiksliai.
Faktas yra tas, kad drabužių spinta surenkama horizontalioje padėtyje ir tik tada ji pakyla ir yra sumontuota prie sienos. Todėl korpuso pusė konstrukcijos kėlimo procese turėtų laisvai praeiti tiek kambario aukštyje, tiek įstrižai.
Tarkime, kad turite drabužių spintą, kurios gylis yra 800 mm. Atstumas nuo grindų iki lubų - 2600 mm. Patyręs baldininkas jums pasakys, kad spintelės aukštis turėtų būti 126 mm mažesnis nei kambario aukštis. Bet kodėl būtent 126 mm? Pažvelkime į pavyzdį.
Turėdami idealius korpuso matmenis, mes patikriname Pitagoro teoremos veikimą:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - viskas suartėja.
Tarkime, spintelės aukštis yra ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Todėl ši spintelė netinka montuoti šiame kambaryje. Kadangi pakėlimas į vertikalią padėtį, gali sugadinti jo kūną.
Galbūt, apsvarstę skirtingus skirtingų mokslininkų Pitagoro teoremos įrodymo būdus, galime padaryti išvadą, kad tai daugiau nei tiesa. Dabar galite naudoti gautą informaciją kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.
»Gerbiamas Varviko universiteto matematikos profesorius, garsus mokslo populiarintojas Ianas Stewartas, skirtas skaičių vaidmeniui žmonijos istorijoje ir jų tyrimo aktualumui mūsų laikais.
Pitagoro hipotenuzė
Pitagoro trikampiai turi stačią kampą ir sveikas skaičius. Paprasčiausias iš jų turi ilgiausią 5 ilgio kraštą, likęs - 3 ir 4. Iš viso yra 5 taisyklingosios daugiakampės. Penkto laipsnio lygties negalima išspręsti naudojant penkto laipsnio šaknis - ar kitas šaknis. Tinkleliai plokštumoje ir trimatėje erdvėje neturi penkių skilčių sukimosi simetrijos, todėl tokios simetrijos nėra ir kristaluose. Tačiau juos galima rasti grotelėse keturių dimensijų erdvėje ir įdomiose struktūrose, žinomose kaip kvazikristalai.
Mažiausio Pitagoro trynuko hipotenuzė
Pitagoro teoremoje sakoma, kad ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė (pagarsėjusi hipotenuzė) labai paprastai ir gražiai susijusi su kitomis dviem šio trikampio kraštinėmis: hipotenuzos kvadratas yra lygus kitų dviejų pusių kvadratų sumai.
Tradiciškai mes šią teoremą vadiname Pitagoro vardu, tačiau iš tikrųjų jos istorija yra gana miglota. Molio lentelės rodo, kad senovės babiloniečiai Pitagoro teoremą žinojo dar prieš patį Pitagorą; atradėjo šlovę jam suteikė matematinis pitagoriečių kultas, kurio šalininkai tikėjo, kad visata remiasi skaitmeniniais dėsniais. Senovės autoriai Pitagoriečiams - taigi ir Pitagorui - priskyrė įvairias matematines teoremas, tačiau iš tikrųjų mes neįsivaizduojame, ką matematika darė pats Pitagoras. Mes net nežinome, ar pitagoriečiai galėtų įrodyti Pitagoro teoremą, ar jie tiesiog tikėjo, kad tai tiesa. Arba, greičiausiai, jie turėjo įtikinamų jos tiesos įrodymų, kurių vis dėlto nepakaks tam, ką šiandien laikome įrodymu.
Pitagoro įrodymai
Pirmasis žinomas Pitagoro teoremos įrodymas, kurį randame Euklido elementuose. Tai gana sudėtingas įrodymas, naudojant piešinį, kuriame Viktorijos laikų moksleiviai iškart atpažins „Pitagoro kelnes“; piešinys tikrai primena ant virvės džiūstančias apatines kelnaites. Žodžiu, yra šimtai kitų įrodymų, iš kurių dauguma argumentą tvirtina akivaizdžiau.
// pav. 33. Pitagoro kelnės
Vienas iš paprasčiausių įrodymų yra tam tikras matematikos galvosūkis. Paimkite bet kurį stačią trikampį, padarykite keturias jo kopijas ir surinkite juos kvadrato viduje. Vieną sukraunant, ant hipotenuzos matome kvadratą; kita vertus, kvadratai kitose dviejose trikampio pusėse. Tuo pačiu akivaizdu, kad plotai abiem atvejais yra vienodi.
// pav. 34. Kairė: kvadratas ant hipotenūzo (plius keturi trikampiai). Dešinėje: kitų dviejų pusių kvadratų suma (pridėjus tuos pačius keturis trikampius). Dabar neįtraukite trikampių
Perigalo skrodimas yra dar vienas įrodymas.
// pav. 35. Perigalės išpjova
Taip pat yra teoremos, naudojant kvadratų pakuotę plokštumoje, įrodymas. Galbūt Pitagoriečiai ar jų nežinomi pirmtakai atrado šią teoremą. Jei pažvelgsite į tai, kaip įstrižas kvadratas sutampa su dar dviem kvadratais, galite pamatyti, kaip supjaustyti didelę kvadratą į dalis ir tada iš jų sulenkti du mažesnius kvadratus. Taip pat galite pamatyti stačiakampius trikampius, kurių kraštai nurodo trijų susijusių kvadratų matmenis.
// pav. 36. Grindinio įrodymas
Yra įdomių įrodymų, naudojant panašius trikampius trigonometrijoje. Yra žinoma bent penkiasdešimt skirtingų įrodymų.
Pitagoro trynukai
Skaičių teorijoje Pitagoro teorema tapo vaisingos idėjos šaltiniu: rasti sveikųjų skaičių algebrinių lygčių sprendimus. Pitagoro trigubas yra a, b ir c sveikųjų skaičių aibė
Geometriniu požiūriu toks trigubas apibrėžia stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra sveikos.
Mažiausias Pitagoro tripleto hipotenuzas yra 5.
Kitos dvi šio trikampio kraštinės yra 3 ir 4. Čia
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Kita didžiausia hipotenuzė yra 10, nes
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Tačiau tai iš esmės tas pats trikampis, kurio kraštai yra dvigubi. Kita didžiausia ir tikrai kitokia hipotenuzė yra 13
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklidas žinojo, kad yra begalinis skaičius skirtingų Pitagoro trynukų variantų, ir pateikė tai, ką galima pavadinti jų visų suradimo formule. Vėliau Diofantas iš Aleksandrijos pasiūlė paprastą receptą, kuris iš esmės sutapo su euklidiniu.
Paimkite bet kuriuos du natūralius skaičius ir apskaičiuokite:
jų dvigubas darbas;
skirtumas tarp jų kvadratų;
jų kvadratų suma.
Trys gaunami skaičiai bus Pitagoro trikampio kraštinės.
Paimkime, pavyzdžiui, skaičius 2 ir 1. Apskaičiuokite:
dvigubas produktas: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
kvadratų skirtumas: 22 - 12 \u003d 3;
kvadratų suma: 22 + 12 \u003d 5,
ir gavome garsųjį trikampį 3-4-5. Jei imsime skaičius 3 ir 2, gausime:
dvigubas produktas: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
kvadratų skirtumas: 32 - 22 \u003d 5;
kvadratų suma: 32 + 22 \u003d 13,
ir gausime kitą garsiausią trikampį 5 - 12 - 13. Pabandykime paimti skaičius 42 ir 23 ir gauti:
dvigubas produktas: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
kvadratų skirtumas: 422 - 232 \u003d 1235;
kvadratų suma: 422 + 232 \u003d 2293,
apie 1235-1932-2293 trikampį dar niekas nėra girdėjęs.
Bet šie skaičiai taip pat veikia:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diofantinų taisyklėje yra dar viena ypatybė, apie kurią jau buvo užsimenama: gavę tris skaičius, galime paimti kitą savavališką skaičių ir juos visus padauginti iš jo. Taigi 3–4–5 trikampį galima paversti 6–8–10 trikampiu padauginus visas puses iš 2 arba į 15–20–25 trikampį viską padauginus iš 5.
Jei pereisime prie algebros kalbos, taisyklė įgauna tokią formą: tegul u, v ir k yra natūralieji skaičiai. Tada stačiakampis trikampis su šonais
2kuv ir k (u2 - v2) turi hipotenuzą
Yra ir kitų pagrindinių idėjos pateikimo būdų, tačiau visi jie virsta aukščiau aprašytu. Šis metodas leidžia jums gauti visus Pitagoro trynukus.
Taisyklingoji daugiakampė
Yra lygiai penkios taisyklingosios daugiakampės. Taisyklingasis daugiakampis (arba daugiakampis) yra trimatė figūra, turinti ribotą plokščių veidų skaičių. Veidai susilieja linijose, vadinamose briaunomis; kraštai susitinka taškuose, vadinamuose viršūnėmis.
Euklido „Pradžios“ kulminacija yra įrodymas, kad gali būti tik penkios taisyklingosios daugiakampės, tai yra daugiakampės, kuriose kiekvienas veidas yra taisyklingas daugiakampis (lygios kraštinės, vienodi kampai), visi veidai yra identiški ir visas viršūnes supa vienodas skaičius vienodai išdėstytų veidų. Čia yra penkios įprastos daugiakampės:
tetraedras su keturiais trikampiais veidais, keturiomis viršūnėmis ir šešiais kraštais;
kubas arba šešiakampis, turintis 6 kvadratinius veidus, 8 viršūnes ir 12 briaunų;
aštuonkampis su 8 trikampiais veidais, 6 viršūnėmis ir 12 briaunų;
dodekaedras su 12 penkiakampių veidų, 20 viršūnių ir 30 briaunų;
ikosaedras su 20 trikampių veidų, 12 viršūnių ir 30 briaunų.
// pav. 37. Penkios taisyklingosios daugiakampės
Taisyklingąją daugiakampę galima rasti ir gamtoje. 1904 m. Ernstas Haeckelis paskelbė mažų organizmų, vadinamų radiolarijais, piešinius; daugelis jų savo forma panašūs į penkias taisyklingąsias daugiakampes. Galbūt jis šiek tiek pakoregavo gamtą, o piešiniai ne visiškai atspindi konkrečių gyvų būtybių formą. Pirmosios trys struktūros taip pat stebimos kristaluose. Kristaluose nerasite dodekaedro ir ikosaedro, nors ten kartais pasitaiko netaisyklingų dodekaedrų ir ikosaedrų. Tikrieji dodekaedrai gali atsirasti kvazikristalų pavidalu, kurie visais atžvilgiais yra panašūs į kristalus, išskyrus tai, kad jų atomai nesudaro periodinės gardelės.
// pav. 38. Haeckelio piešiniai: radiatoriai taisyklingų daugiakampių pavidalu
// pav. 39. Taisyklingosios daugiakampės raidos
Gali būti įdomu iš popieriaus padaryti įprastų daugiakampių modelius, prieš tai išpjaunant tarpusavyje sujungtų veidų rinkinį - tai vadinama besiskleidžiančiu daugiakampiu; nuskaitymas yra sulankstytas išilgai kraštų ir atitinkami kraštai yra klijuojami kartu. Naudinga prie kiekvienos tokios poros krašto pridėti papildomą klijų pagalvėlę, kaip parodyta fig. 39. Jei tokios zonos nėra, galite naudoti lipnią juostą.
Penktojo laipsnio lygtis
Nėra algebrinės formulės 5 laipsnio lygtims išspręsti.
Apskritai, penktojo laipsnio lygtis atrodo taip:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.
Problema yra rasti tokios lygties sprendinių formulę (joje gali būti iki penkių sprendimų). Kvadratinių ir kubinių lygčių, taip pat ketvirtojo laipsnio lygčių nagrinėjimo patirtis rodo, kad tokia formulė turėtų egzistuoti penkto laipsnio lygtims ir, teoriškai, joje turėtų atsirasti penktojo, trečiojo ir antrojo laipsnių šaknys. Vėlgi, galime drąsiai manyti, kad tokia formulė, jei ji egzistuoja, bus labai labai sudėtinga.
Ši prielaida galiausiai pasirodė klaidinga. Iš tikrųjų tokios formulės nėra; bent jau nėra koeficientų a, b, c, d, e ir f formulės, sukonstruotos naudojant šaknis sudedant, atimant, dauginant ir dalijant ir ekstrahuojant. Taigi skaičius 5 yra kažkas labai ypatingas. Tokio neįprasto penketuko elgesio priežastys yra labai gilios, o juos suprasti reikėjo daug laiko.
Pirmasis problemos požymis buvo tas, kad kad ir kaip stengėsi matematikai rasti tokią formulę, kad ir kokie protingi jie būtų, jie visuomet žlugo. Kurį laiką visi tikėjo, kad priežastys yra neįtikėtinas formulės sudėtingumas. Buvo tikima, kad niekas paprasčiausiai negali tinkamai suprasti šios algebros. Tačiau laikui bėgant kai kurie matematikai ėmė abejoti, ar tokia formulė apskritai egzistuoja, ir 1823 m. Nielsas Hendrikas Abelis sugebėjo įrodyti priešingai. Tokios formulės nėra. Netrukus po to Evariste'as Galoisas rado būdą nustatyti, ar vieno ar kito laipsnio lygtis - 5-oji, 6-oji, 7-oji, apskritai bet kuri - yra išsprendžiama, naudodama tokią formulę.
Iš viso to išvada paprasta: skaičius 5 yra ypatingas. Galite išspręsti algebrines lygtis (naudodami n-osios šaknys laipsnių, kai skirtingos n) vertės yra 1, 2, 3 ir 4 laipsnių, bet ne 5 laipsnio. Čia akivaizdus modelis baigiasi.
Niekam nenuostabu, kad didesnių nei 5 galių lygtys elgiasi dar blogiau; ypač tas pats sunkumas yra susijęs su jais: ne bendrosios formulės jas išspręsti. Tai nereiškia, kad lygtys neturi sprendimų; tai taip pat nereiškia, kad neįmanoma rasti labai tikslių skaitinių šių sprendimų reikšmių. Viskas apie tradicinių algebros įrankių apribojimus. Tai primena, kad neįmanoma trispjauti kampo liniuote ir kompasu. Atsakymas egzistuoja, tačiau išvardyti metodai yra nepakankami ir neleidžia nustatyti, kas tai yra.
Kristalografinis apribojimas
Dviejų ir trijų matmenų kristalai neturi 5 spindulių sukimosi simetrijos.
Atomai kristale suformuoja gardelę, tai yra struktūrą, kuri periodiškai kartojasi keliomis nepriklausomomis kryptimis. Pavyzdžiui, tapetų raštas kartojamas išilgai ritinio; be to, jis dažniausiai kartojamas horizontaliai, kartais pereinant nuo vienos tapeto dalies prie kitos. Iš esmės tapetai yra dvimatis kristalas.
Yra 17 plokščių tapetų veislių (žr. 17 skyrių). Jie skiriasi simetrijos tipais, tai yra, kaip griežtai perkelti piešinį taip, kad jis tiksliai gulėtų pats savo pradinėje padėtyje. Simetrijos tipai visų pirma apima skirtingų variantų sukimosi simetrija, kur piešinys turėtų būti pasuktas tam tikru kampu aplink tam tikrą tašką - simetrijos centrą.
Sukimosi simetrijos tvarka yra tai, kiek kartų kūną galima pasukti į visą apskritimą, kad visos piešinio detalės grįžtų į pradinę padėtį. Pvz., 90 ° pasukimas yra 4 laipsnio sukimosi simetrija *. Galimų sukimosi simetrijos tipų sąrašas kristalinėje gardelėje vėl nurodo neįprastą skaičių 5: jo nėra. Yra parinkčių, kurių sukimosi simetrija yra 2, 3, 4 ir 6-oji tvarka, tačiau nė viename ekrano užsklandoje nėra 5-os laipsnio sukimosi simetrijos. Taip pat neegzistuoja kristalų daugiau nei 6 eilės sukimosi simetrija, tačiau pirmas sekos pažeidimas vis tiek įvyksta ties skaičiumi 5.
Tas pats atsitinka ir su kristalografinėmis sistemomis trimatėje erdvėje. Čia tinklelis kartojasi trimis nepriklausomomis kryptimis. Yra 219 skirtingų simetrijos tipų arba 230, jei skaičiuojate veidrodžio atspindys piešimas kaip atskira jo versija - nepaisant to, kad šiuo atveju nėra veidrodžio simetrijos. Vėlgi pastebimos 2, 3, 4 ir 6 eilių sukimosi simetrijos, bet ne 5. Šis faktas vadinamas kristalografiniu apribojimu.
Keturių matmenų erdvėje egzistuoja 5 laipsnio simetrijos gardelės; apskritai, esant pakankamai didelių matmenų grotelėms, galima bet kokia iš anksto nustatyta sukimosi simetrijos tvarka.
// pav. 40. Krištolo elementas Valgomoji druska. Tamsūs rutuliai reiškia natrio atomus, šviesūs - chloro atomus
Kvazikristalai
Nors 5-ojo laipsnio sukimosi simetrija neįmanoma 2D ir 3D gardelėse, ji gali egzistuoti šiek tiek mažiau taisyklingose \u200b\u200bstruktūrose, žinomose kaip kvazikristalai. Naudodamas Keplerio eskizus, Rogeris Penrose'as atrado plokštumines sistemas, turinčias bendresnį penkių kartų simetrijos tipą. Jie vadinami kvazikristalais.
Kvazikristalai egzistuoja gamtoje. 1984 m. Danielis Shechtmanas atrado, kad aliuminio ir mangano lydinys gali sudaryti kvazikristalus; Iš pradžių kristalografai jo žinią sutiko skeptiškai, tačiau vėliau atradimas buvo patvirtintas, o 2011 m. Šechtmanas buvo apdovanotas Nobelio premija chemijoje. 2009 m. Mokslininkų komanda, vadovaujama Luka Bindi, atrado kvazikristalus mineraliniame iš Rusijos Koryak Highlands - aliuminio, vario ir geležies derinyje. Šiandien šis mineralas vadinamas ikosaedritu. Masės spektrometru pamatavę mineralų įvairių deguonies izotopų kiekį, mokslininkai parodė, kad šis mineralas kilo ne iš Žemės. Ji susiformavo maždaug prieš 4,5 milijardo metų, tuo metu, kai Saulės sistema buvo dar tik besiformuojanti, ir didžiąją laiko dalį praleido asteroidų juostoje, skriejant aplink saulę, kol dėl kokių nors trikdžių pasikeitė jo orbita ir galiausiai paskatino Žemė.
// pav. 41. Kairė: viena iš dviejų kvazikristalinių gardelių, turinčių penkis kartus tikslią simetriją. Dešinėje: atominio aliuminio-paladžio-mangano kvazikristalo atominis modelis
Pitagoro kelnės Komiškas Pitagoro teoremos pavadinimas, atsiradęs dėl to, kad stačiakampio šonuose pastatyti ir skirtingomis kryptimis besiskiriantys kvadratai primena kelnių iškirpimą. Man patiko geometrija ... ir stojant į universitetą net gavau pagyrimą iš matematikos profesoriaus Chumakovo, kad paaiškinau lygiagrečių linijų ir Pitagoro kelnių be lentos savybes, piešiau ore rankomis. (N. Pirogovas. Seno gydytojo dienoraštis).
Frazeologinis rusų literatūrinės kalbos žodynas. - M.: Astrelis, AST... A.I.Fedorovas. 2008 m.
Sužinokite, kas yra „Pitagoro kelnės“, kituose žodynuose:
Kelnės - gaukite veikiantį „SuperStep“ nuolaidų kuponą „Akademik“ arba nusipirkite pigių kelnių su nemokamu pristatymu „SuperStep“.
Pitagoro kelnės - ... Vikipedija
Pitagoro kelnės - Žargas. shk. Šaudyklė. Pitagoro teorema, nustatanti santykį tarp kvadratų plotų, pastatytų ant hipotenuzos, ir stačiojo trikampio kojų. BTS, 835 ... Didelis rusiškų posakių žodynas
pitagorietiškos kelnės - Nuotaikingas Pitagoro teoremos pavadinimas, nustatantis ant hipotenuzos pastatytų kvadratų plotų ir stačiojo trikampio kojų santykį, kuris figūrose atrodo kaip kelnių pjūvis ... Daugelio posakių žodynas
pitagorietiškos kelnės (makiažas) - išnaša: apie gabų asmenį Plg. Tai neabejotinas išminčius. Senovėje jis tikriausiai būtų išradęs Pitagoro kelnes ... Saltykovas. Spalvingos raidės. Pitagoro kelnės (geom.): Stačiakampyje hipotenūzo kvadratas yra lygus kojų kvadratams (doktrina ... Didysis Michelsono aiškinamasis frazeologinis žodynas
Pitagoro kelnės yra lygios iš visų pusių - Mygtukų skaičius yra žinomas. Kodėl penis ankštas? (maždaug) apie kelnes ir vyrų lytinius organus. Pitagoro kelnės yra lygios iš visų pusių. Norėdami tai įrodyti, būtina pašalinti ir parodyti 1) apie Pitagoro teoremą; 2) apie plačias kelnes ... Tiesioginė kalba. Šnekamosios kalbos posakių žodynas
Pitagoro kelnės sudaro - Piѳagorovo kelnės (išrasti) kojinę. apie gabų vyrą. Trečiadienis Tai neabejotinas išminčius. Antikoje jis tikriausiai būtų išradęs Piѳagoro kelnes ... Saltykovą. Margūs laiškai. Piѳagorovo kelnės (geom.): Hipotenuzos stačiakampio kvadrate ... Didysis Michelsono aiškinamasis ir frazeologinis žodynas (originalo rašyba)
Pitagoro kelnės yra lygios visomis kryptimis - humoristinis Pitagoro teoremos įrodymas; taip pat juokauja apie gausias bičiulio kelnes ... Liaudies frazeologijos žodynas
Pvz., Grubus ...
PITAGORO KAMBARIAI VISOS ŠONOS YRA LYGIOS (MEGGALŲ SKAIČIUS ŽINOMAS. KODĖL KAIŠTIS ĮTemptas? / TAI ĮRODYTI, BŪTINA NUIMTI IR PARODYTI) - adj., grubus ... Aiškinamasis šiuolaikinių šnekamosios frazeologizmų ir posakių žodynas
kelnės - daiktavardis, daugiskaita, uptr. plg. dažnai morfologija: pl. ką? kelnės, (ne) kas? kelnės, kodėl? kelnės, (žr.) ką? kelnės ką? kelnės apie ką? apie kelnes 1. Kelnės yra drabužis, kuris turi dvi trumpas ar ilgas kojas ir dengia apatinę dalį ... Dmitrijevo aiškinamasis žodynas
Knygos
- Pitagoro kelnės ,. Šioje knygoje rasite fantazijos ir nuotykių, stebuklų ir fantastikos. Juokinga ir liūdna, įprasta ir paslaptinga ... Ko dar reikia linksmam skaitymui? Svarbiausia turėti ...
Romos architektas Vitruvius išskyrė Pitagoro teoremą „iš daugybės atradimų, kurie teikė paslaugas žmogaus gyvenimo plėtrai“ ir paragino su ja elgtis su didžiausia pagarba. Tai buvo dar I amžiuje prieš Kristų. e. XVI – XVII amžių sandūroje garsus vokiečių astronomas Johanesas Kepleris pavadino jį vienu iš geometrijos lobių, palyginamų su aukso matu. Vargu ar visoje matematikoje yra svaresnis ir reikšmingesnis teiginys, nes pagal mokslinių ir praktinių pritaikymų skaičių Pitagoro teorema yra neprilygstama.
Pitagoro teorema lygiašonio stačiojo trikampio atvejui.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos
„Traktato apie matavimo ašigalį“ (Kinija, III a. Pr. M. E.) Pitagoro teoremos iliustracija ir jos pagrindu rekonstruotas įrodymas.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos
S. Perkinsas. Pitagoras.
Galimo Pitagoro įrodymo projektas.
„Pitagoro mozaika“ ir trijų kvadratų an-Nayrizi plytelės Pitagoro teoremos įrodyme.
P. de Hoochas. Kieme šeimininkė ir tarnaitė. Maždaug 1660 m.
J. Ohterveltas. Klaidžiojantys muzikantai prie turtingo namo durų. 1665 metai.
Pitagoro kelnės
Pitagoro teorema yra bene labiausiai atpažįstama ir neabejotinai garsiausia matematikos istorijoje. Geometrijoje jis naudojamas pažodžiui kiekviename žingsnyje. Nepaisant formulavimo paprastumo, ši teorema anaiptol nėra akivaizdi: žiūrint į stačiakampį trikampį, kurio kraštinės< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Fig. 1 ir 2, primena paprasčiausią kvadratų ir jų lygių dalių ornamentą - geometrinį raštą, žinomą nuo neatmenamų laikų. Jie gali visiškai uždengti lėktuvą. Matematikas tokį plokštumos uždengimą daugiakampiais vadintų parketu arba plytelėmis. Ką su tuo turi Pitagoras? Pasirodo, jis pirmasis išsprendė teisingų parketų problemą, nuo kurios prasidėjo plytelių tyrimas. skirtingi paviršiai... Taigi, Pitagoras parodė, kad plokštumą aplink tašką be tarpų gali padengti tik vienodi taisyklingi daugiakampiai trijų tipų: šeši trikampiai, keturi kvadratai ir trys šešiakampiai.
Po 4000 metų
Pitagoro teoremos istorija siekia senovės laikus. Jis minimas karaliaus Hammurabi laikų (XVIII a. Pr. M. E.), Tai yra likus 1200 metų iki Pitagoro gimimo, Babilonijos derinimo tekstuose. Teorema buvo naudojama kaip parengta taisyklė daugelyje problemų, iš kurių paprasčiausia rasti kvadrato įstrižainę išilgai jos šono. Gali būti, kad babiloniečiai gavo savavališko stačiakampio trikampio santykį a 2 + b 2 \u003d c 2, paprasčiausiai „apibendrindami“ lygybę a 2 + a 2 \u003d c 2. Bet jiems tai atleistina - praktinei senolių geometrijai, kuri buvo sutrumpinta iki matavimų ir skaičiavimų, griežto pagrindimo nereikėjo.
Dabar, praėjus beveik 4000 metų, mes susiduriame su teorema, kuri užfiksuoja galimų įrodymų skaičiaus rekordą. Beje, jų rinkimas yra sena tradicija. Susidomėjimo Pitagoro teorema pikas krito antra pusė XIX - XX amžiaus pradžia. Ir jei pirmosiose kolekcijose buvo ne daugiau kaip dvi ar trys dešimtys įrodymų, tai XIX amžiaus pabaigoje jų skaičius priartėjo prie 100, o dar po pusės amžiaus jis viršijo 360, ir tai yra tik tie, kurie buvo surinkti iš įvairių šaltinių. Kas nesiėmė šios nesenstančios problemos sprendimo - nuo žymių mokslininkų ir mokslo populiarintojų iki kongresmenų ir moksleivių. Ir tai, kas nepaprasta, sprendimo originalumu ir paprastumu kai kurie mėgėjai nenusileido profesionalams!
Seniausi mums atėję Pitagoro teoremos įrodymai yra apie 2300 metų. Vienas jų - griežtas aksiomatinis - priklauso senovės graikų matematikui Euklidui, gyvenusiam IV – III amžiuje prieš Kristų. e. I elementų knygoje Pitagoro teorema įrašyta kaip „47 teiginys“. Grafiškiausi ir gražiausi įrodymai yra pagrįsti „Pitagoro kelnių“ pertvarkymu. Jie atrodo kaip keblus kvadrato formos pjūvis. Padarykite, kad gabalai judėtų teisingai - ir jie atskleis jums garsiosios teoremos paslaptį.
Štai elegantiškas įrodymas, gautas remiantis vieno senovės kinų traktato piešiniu (3 pav.), Ir iškart paaiškėja jo ryšys su kvadrato ploto padvigubinimo problema.
Būtent šį įrodymą septynmetis Guido, ankstyvas anglų rašytojo Aldouso Huxley apysakos „Mažasis Archimedas“ herojus, bandė paaiškinti savo jaunesniam draugui. Įdomu tai, kad pasakotojas, stebėjęs šį paveikslą, atkreipė dėmesį į įrodymo paprastumą ir įtikinamumą, todėl priskyrė jį ... pačiam Pitagorui. Bet pagrindinis veikėjas Fantastinė Evgenijaus Veltistovo istorija „Elektronikas - berniukas iš lagamino“ žinojo 25 Pitagoro teoremos įrodymus, įskaitant tuos, kuriuos pateikė Euklidas; tiesa, jis klaidingai jį pavadino paprasčiausiu, nors iš tikrųjų šiuolaikiniame „Elementų“ leidime jis užima pusantro puslapio!
Pirmasis matematikas
Pitagoras iš Samoso (570–495 m. Pr. Kr.), Kurio vardas jau seniai yra neatsiejamai susijęs su nuostabia teorema, tam tikra prasme gali būti vadinamas pirmuoju matematiku. Būtent su juo matematika prasideda kaip tikslusis mokslas, kur bet kokios naujos žinios yra ne vaizdinės reprezentacijos ir iš patirties gautų taisyklių rezultatas, o loginio samprotavimo ir išvadų rezultatas. Tai vienintelis būdas galutinai nustatyti bet kurio matematinio teiginio tiesą. Prieš Pitagorą naudotas tik dedukcinis metodas senovės graikų filosofas ir mokslininkas Thalesas iš Mileto, gyvenęs VII-VI amžių sandūroje prieš mūsų erą. e. Jis išreiškė pačią įrodymo idėją, tačiau ją taikė ne sistemingai, pasirinktinai, kaip taisyklė, akivaizdiems geometriniams teiginiams, tokiems kaip „skersmuo dalija apskritimą per pusę“. Pitagoras nuėjo kur kas toliau. Manoma, kad jis pristatė pirmuosius apibrėžimus, aksiomas ir įrodymo metodus, taip pat sukūrė pirmąjį geometrijos kursą, senovės graikams žinomą pavadinimu „Pitagoro tradicija“. Jis taip pat stovėjo ties skaičių ir stereometrijos teorijos ištakomis.
Kitas svarbus Pitagoro nuopelnas yra šlovingos matematikų mokyklos įkūrimas, kuris daugiau nei šimtmetį nulėmė šio mokslo raidą Senovės Graikijoje. Terminas „matematika“ (iš graikų kalbos žodžio μαθημa - doktrina, mokslas) taip pat siejamas su jo vardu, sujungiant keturias giminingas Pitagoro ir jo šalininkų sukurtos žinių sistemos disciplinas - pitagoriečius - geometriją, aritmetiką, astronomiją ir harmoniką.
Neįmanoma atskirti Pitagoro pasiekimų nuo jo mokinių pasiekimų: laikydamiesi papročio, jie priskyrė savo idėjas ir atradimus savo Mokytojui. Ankstyvieji pitagoriečiai nepaliko jokių kompozicijų, jie visą informaciją perdavė vienas kitam žodžiu. Taigi po 2500 metų istorikams nelieka nieko kito, kaip atkurti prarastas žinias iš kitų, vėlesnių autorių transkripcijų. Pagerbkime graikus: nors jie daugybe legendų apgaubė Pitagoro vardą, jie jam nepriskyrė nieko, ko jis negalėjo atrasti ar išplėtoti teorija. Jo vardą turinti teorema nėra išimtis.
Toks paprastas įrodymas
Nežinia, ar pats Pitagoras atrado sąsają tarp kraštinių ilgių stačiajame trikampyje, ar pasiskolino šias žinias. Senovės autoriai tvirtino, kad jis pats ir mėgo atpasakoti legendą, kaip savo atradimo garbei Pitagoras paaukojo jautį. Šiuolaikiniai istorikai linkę manyti, kad apie teoremą jis sužinojo susipažindamas su babiloniečių matematika. Mes taip pat nežinome, kokia forma Pitagoras suformulavo teoremą: aritmetiniu būdu, kaip įprasta šiandien, - hipotenuzos kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai arba geometriškai, senolių dvasia, - kvadratas, pastatytas ant stačiakampio trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojos.
Manoma, kad būtent Pitagoras pateikė pirmąjį teoremą, kuri turi jo vardą. Tai, žinoma, neišliko. Pagal vieną versiją Pitagoras galėjo naudotis savo mokykloje sukurta proporcijų doktrina. Juo visų pirma buvo grindžiama panašumo teorija, kuria grindžiami samprotavimai. Stačiakampiu trikampiu, kurio kojos a ir b, nubrėžkite aukštį iki hipotenuzos c. Gauname tris panašius trikampius, įskaitant pradinį. Jų atitinkamos pusės yra proporcingos: a: c \u003d m: a ir b: c \u003d n: b, iš kur a 2 \u003d c m ir b 2 \u003d c n. Tada a 2 + b 2 \u003d \u003d c · (m + n) \u003d c 2 (4 pav.).
Tai tik vieno iš mokslo istorikų pasiūlyta rekonstrukcija, tačiau įrodymas, matote, yra gana paprastas: reikia tik kelių eilučių, nieko nereikia užbaigti, perbraižyti, apskaičiuoti ... Nenuostabu, kad jis buvo atrastas ne kartą. Pavyzdžiui, jis yra Leonardo Pizos „Geometrijos praktikoje“ (1220 m.) Ir vis dar cituojamas vadovėliuose.
Šis įrodymas neprieštaravo pitagoriečių mintims apie proporcingumą: iš pradžių jie manė, kad bet kurių dviejų segmentų ilgių santykis, taigi ir tiesiosios linijos figūrų plotai, gali būti išreikštas natūraliais skaičiais. Jie neatsižvelgė į jokius kitus skaičius, net neleido trupmenų, pakeisdami juos santykiais 1: 2, 2: 3 ir kt. Tačiau ironiška, kad būtent Pitagoro teorema paskatino Pitagoriečius atrasti kvadrato įstrižainės ir jos šono nesuderinamumą. Visi bandymai skaičiais pavaizduoti šios įstrižainės ilgį - vieneto kvadratui jis lygus √2 - niekur nevedė. Paaiškėjo, kad lengviau įrodyti, jog problema neišsprendžiama. Tokiu atveju matematikai turi patikrintą metodą, įrodantį prieštaravimais. Beje, jis priskiriamas ir Pitagorui.
Natūraliais skaičiais neišreikštų santykių buvimas nutraukė daugelį Pitagoro idėjų. Tapo aišku, kad jų žinomų skaičių nepakanka net paprastoms užduotims išspręsti, o ką jau kalbėti apie visą geometriją! Šis atradimas buvo lūžio taškas plėtojant graikų matematiką, pagrindinę jos problemą. Iš pradžių tai paskatino sukurti nesulyginamų dydžių doktriną - iracionalumą, o paskui - išplėsti skaičiaus sampratą. Kitaip tariant, nuo jo prasidėjo šimtmečių senumo tikrųjų skaičių aibės tyrimų istorija.
Pitagoro mozaika
Jei padengsite lėktuvą dviejų skirtingų dydžių kvadratais, apgaubdami kiekvieną mažą kvadratą keturiais dideliais, gausite parketo „Pitagoro mozaiką“. Toks raštas seniai puošia akmenines grindis, primenant senovinius Pitagoro teoremos (taigi ir jos pavadinimo) įrodymus. Skirtingais būdais pritaikydami kvadratinę tinklelį ant parketo, galite gauti stačiakampio trikampio šonuose pastatytas kvadratų pertvaras, kurias pasiūlė skirtingi matematikai. Pvz., Jei sutvarkysite tinklelį taip, kad visi jo mazgai sutaptų su viršutinėmis dešiniosiomis mažų kvadratų viršūnėmis, viduramžių persų matematiko al-Nayrizi įrodymui pasirodys piešinio fragmentai, kuriuos jis įdėjo į Euklido pradžios komentarus. Nesunku pastebėti, kad didelių ir mažų kvadratų, originalių parketo elementų, ploto suma yra lygi vieno ant jo uždėto tinklelio kvadrato plotui. Ir tai reiškia, kad nurodytas padalinimas tikrai tinka parketui kloti: sujungę gautus daugiakampius į kvadratus, kaip parodyta paveikslėlyje, jais galite užpildyti visą plokštumą be tarpų ir persidengimų.
Pitagoro teorema visiems žinoma nuo mokyklos laikų. Žymus matematikas įrodė puikią hipotezę, kurią šiandien naudoja daugelis žmonių. Taisyklė skamba taip: stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Per daugelį dešimtmečių nė vienas matematikas negalėjo įrodyti šios taisyklės. Juk Pitagoras ilgą laiką ėjo į savo tikslą, kad dėl to kasdienybėje vyktų piešiniai.
- Trumpa šios teoremos eilutė, kuri buvo sugalvota netrukus po įrodymo, tiesiogiai įrodo hipotezės savybes: „Pitagoro kelnės yra lygios visomis kryptimis“. Ši dviejų eilučių įstrigo daugelio žmonių atmintyje - iki šiol eilėraštis prisimenamas skaičiuojant.
- Ši teorema buvo vadinama „Pitagoro kelnėmis“ dėl to, kad piešiant viduryje buvo gautas stačiakampis trikampis, kurio šonuose buvo kvadratai. Išvaizda šis piešinys buvo panašus į kelnes - todėl ir kilo hipotezės pavadinimas.
- Pitagoras didžiavosi sukurta teorema, nes ši hipotezė nuo panašių skiriasi maksimaliu įrodymų kiekiu. Svarbu: lygtis buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą dėl 370 teisingų įrodymų.
- Hipotezę įvairiais būdais įrodė daugybė matematikų ir profesorių iš skirtingų šalių.... Anglų matematikas Jonesas netrukus paskelbė, kad hipotezė tai įrodė naudodama diferencialinę lygtį.
- Šiuo metu niekas nežino paties Pitagoro teoremos įrodymo... Faktai apie matematikų įrodymus šiandien nežinomi. Manoma, kad Euklido piešinių įrodymas yra Pitagoro įrodymas. Tačiau kai kurie mokslininkai ginčija šį teiginį: daugelis mano, kad Euklidas teoremą įrodė pats, be hipotezės kūrėjo pagalbos.
- Šiandienos mokslininkai atrado, kad didysis matematikas nebuvo pirmasis, kuris atrado šią hipotezę.... Lygtis buvo žinoma ilgai prieš atradus Pitagorą. Šis matematikas sugebėjo tik vėl susieti hipotezę.
- Pitagoras nepavadino lygties „Pitagoro teorema“... Šis vardas prilipo po „garsios dviejų eilučių“. Matematikas norėjo, kad jo pastangos ir atradimai būtų pripažinti ir panaudoti visame pasaulyje.
- Moritzas Cantoras - didžiausias matematikas, rastas ir įžvelgtas senovės papiruso įrašuose su piešiniais... Netrukus po to Kantoras suprato, kad ši teorema egiptiečiams buvo žinoma jau 2300 m. Pr. Kr. Tik tada niekas nesinaudojo ir nebandė to įrodyti.
- Dabartiniai mokslininkai mano, kad hipotezė buvo žinoma jau VIII amžiuje prieš mūsų erą... To meto Indijos mokslininkai atrado apytikslį trikampio, aprūpinto stačiu kampu, hipotenuzos apskaičiavimą. Tiesa, tuo metu grubiais skaičiavimais niekas negalėjo tiksliai įrodyti lygties.
- Didysis matematikas Bartelis van der Waerdenas, įrodęs hipotezę, padarė svarbią išvadą: „Graikų matematiko nuopelnas nėra laikomas krypties ir geometrijos atradimu, o tik jo pagrindimu. Pitagoro rankose buvo skaičiavimo formulės, pagrįstos prielaidomis, netiksliais skaičiavimais ir neaiškiomis idėjomis. Tačiau iškiliam mokslininkui pavyko jį paversti tiksliuoju mokslu “.
- Garsus poetas sakė, kad savo piešinio atidarymo dieną jis pakėlė šlovingą auką jaučiams... Tik atradus hipotezę pasklido gandai, kad šimto jaučių auka „nuklydo po knygų ir leidinių puslapius“. Iki šios dienos protas juokauja, kad nuo tada visi jaučiai bijo naujo atradimo.
- Įrodymas, kad Pitagoras sugalvojo eilėraštį apie kelnes tam, kad įrodytų jo pateiktus piešinius: per didžiojo matematiko gyvenimą dar nebuvo kelnių... Jie buvo išrasti po kelių dešimtmečių.
- Pekka, Leibnizas ir keli kiti mokslininkai bandė įrodyti anksčiau žinomą teoremą, tačiau niekam nepavyko.
- Piešinių pavadinimas „Pitagoro teorema“ reiškia „įtikinėjimas kalba“... Taip verčiamas žodis Pitagoras, kurį matematikas priėmė kaip pseudonimą.
- Pitagoro apmąstymai apie jo paties valdymą: egzistavimo žemėje paslaptis slypi skaičiuose... Matematikas, remdamasis savo paties hipoteze, tyrė skaičių savybes, atskleidė tolygumą ir keistenumą bei sukūrė proporcijas.
Tikimės, kad jums patiko pasirinkimas su paveikslėliais - įdomūs faktai apie Pitagoro teoremą: geros kokybės internete sužinome naujų dalykų apie garsiąją teoremą (15 nuotraukų). Prašau palikti savo nuomonę komentaruose! Kiekviena nuomonė mums svarbi.
