Kako pretvoriti izraz u identično jednak. Identične transformacije izraza, njihovi tipovi
Identične transformacije
1. Koncept identiteta. Glavne vrste identičnih transformacija i faze njihovog proučavanja.
11 učenje različitih transformacija izraza i formula zauzima slab dio vremena učenja u školskom predmetu matematike. Najjednostavnije ^ "" obrazovanje, zasnovano na svojstvima aritmetičkih operacija, već je u osnovnoj školi. Ali glavno opterećenje na formiranje vještina i sposobnosti za izvođenje transformacija snosi kurs školske algebre 1> tada je povezano:
s naglim povećanjem broja izvršenih transformacija, njihova varijabilnost;
sa komplikovanošću aktivnosti da se opravdaju i razjasne uslovi primenljivosti;
i) sa izolacijom i proučavanjem generalizovanih koncepata identiteta, identične transformacije, ekvivalentne transformacije, logičke posledice.
Linija identičnih transformacija razvija se na sledeći način na kursu algebre u osnovnoj školi:
, 4 b razreda - otvarajuće zagrade, donoseći slične pojmove, izvaditi- M (Chsho faktor izvan zagrada;
7 Klasa - identične transformacije cjelobrojnih i frakcijskih izraza;
H klasa - identične transformacije izraza koji sadrže kvadratne korijene;
( > razred - identične transformacije trigonometrijskih izraza i mmrizhsny, koji sadrže stepen s racionalnim eksponentom.
Linija identičnih transformacija jedna je od važnih ideoloških linija kursa algebre. Stoga je nastava matematike u razredu 5-6 izgrađena na način da učenici već u ovim razredima steknu vještine najjednostavnijih identičnih transformacija (bez upotrebe pojma "identične transformacije"). Ove vještine se formiraju prilikom izvođenja vježbe dovođenja sličnih pojmova, otvaranja zagrada i zagrada, vađenja faktora iz zagrada itd. Razmatraju se i najjednostavnije konverzije numeričkih i literalnih izraza. Na ovom nivou učenja savladavaju se transformacije koje se izvode direktno na osnovu zakona i svojstava aritmetičkih operacija.
Glavne vrste zadataka u razredima 5-6, u čijem rješavanju se aktivno koriste svojstva i zakoni aritmetičkih operacija i kroz koje se formiraju vještine identičnih transformacija, uključuju:
opravdanost algoritama za izvođenje radnji nad brojevima proučavanih numeričkih skupova;
izračunavanje vrijednosti numeričkog izraza na najracionalniji način;
poređenje vrijednosti numeričkih izraza bez izvođenja navedenih radnji;
pojednostavljenje doslovnih izraza;
dokaz jednakosti vrijednosti dvoslovnih izraza itd.
Predstavite broj 153 kao zbir cifara; kao razlika dva broja, kao proizvod dva broja.
Zamislite broj 27 kao proizvod tri jednaka faktora.
Ove vježbe o predstavljanju istog broja u različitim oblicima zapisa doprinose asimilaciji koncepta identičnih transformacija. U početku, ove reprezentacije mogu biti proizvoljne, kasnije - svrsishodne. Na primjer, reprezentacija u obliku zbira cifrenih pojmova koristi se za objašnjenje pravila za sabiranje prirodnih brojeva "u kolonu", reprezentacija u obliku zbira ili razlike "prikladnih" brojeva - za brza izračunavanja različitih proizvodi, predstavljanje u obliku proizvoda faktora - da se pojednostave različiti razlomci.
Pronađite značenje izraza 928 36 + 72 36.
Racionalni način izračunavanja vrijednosti ovog izraza zasniva se na korištenju zakona raspodjele množenja u odnosu na sabiranje: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
U školskom predmetu matematike mogu se izdvojiti sljedeće faze savladavanja primjene transformacija alfanumeričkih izraza i formula.
pozornici. Počeci algebre. U ovoj fazi koristi se nepodeljeni sistem transformacija; predstavljena je pravilima za izvođenje radnji na jednom ili oba dijela formule.
Primjer. Riješite jednačine:
a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; v) 6 (2 - 4g) + 5g = 3 (1 - Zu).
Opća ideja koja stoji iza rješenja je da se ove formule pojednostave s nekoliko pravila. U prvom zadatku pojednostavljenje se postiže primjenom identiteta: 5x- Bx= (5 - 3) x. Transformacija identiteta zasnovana na ovom identitetu transformiše datu jednačinu u ekvivalentnu uršomie 2x - 2.
Druga jednadžba zahtijeva za svoje rješenje ne samo identičnu, već istinsku transformaciju; u ovom svojstvu, pra- || n se ovdje koristi prenošenjem pojmova jednačine iz jednog dijela jednačine u drugi s promijenjenim šikom. U rješavanju već tako jednostavnog zadatka kao što je b), koriste se obje mon in transformacije - i identične i ekvivalentne. Ova odredba vrijedi i za glomaznije zadatke, kao što je treći.
Krtica prve faze je naučiti kako brzo riješiti najjednostavnije jednadžbe, pojednostaviti formule koje definiraju funkcije, racionalno izvršiti proračune na osnovu svojstava radnji.
tit. Formiranje vještina primjene specifičnih vrsta transformacijaII tilt Koncepti identiteta i identične transformacije eksplicitno su uvedeni u predmet shn "sbry 7. razred. Tako se, na primjer, u udžbeniku Yu. N. Makarycheva" Algebra 7 "nnp" shle uvodi koncept identično jednakih izraza: "Dva izraza, čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koje varijable vrijednosti, prskaju identično jednaki", zatim koncept identiteta: „Jednakost uparena za bilo koje vrijednosti varijabli se zove identitet".
11 daje primjere:
U udžbeniku A.G. Mordkovichova "Algebra 7" odmah daje rafiniran koncept identiteta: „Identitet da li je jednakost istinita za bilo koje dozvoljeno vrijednosti njegovih sastavnih varijabli”.
Prilikom uvođenja pojma identičnih transformacija prije svega treba se otresti svrsishodnosti proučavanja identičnih transformacija. Da biste to učinili, možete razmotriti različite vježbe za pronalaženje značenja izraza.
liiiipiiMep, pronađite vrijednost izraza 37.1x + 37, ly sa X= 0,98, y = 0,02. Koristeći distributivno svojstvo množenja, izraz 37.1l + 37.1 at može se izraziti izrazom 37.1 (x + y), identično jednak njemu. Još impresivnije rješenje crva 1 za sljedeću vježbu: pronađite značenje izraza
() - (a-6) _ n p i. a) d = h> ^ = 2; b) a = 121, B - 38; c) a = 2,52, B = 1 -.
ab 9
11 nakon izvršenih transformacija, ispada da se skup vrijednosti ove refleksije sastoji od jednog broja 4.
U udžbeniku "Algebra 7" Yu. N. Makarycheva, uvođenje koncepta identične transformacije motivirano je razmatranjem primjera: "Pronaći značenje izraza xy - da na x = 2,3; y = 0,8; z = 0,2, potrebno je izvršiti 3 radnje: hu - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11 potrebno je istaći jednu vrstu transformacija specifična za kurs algebre i početke analize. Ovo su transformacije izraza koji sadrže tranzicije, i transformacije zasnovane na pravilima diferencijacije i integracije. Glavna razlika između ovih "analitičkih" transformacija i "algebarskih" transformacija je u karakteru skupa, koji se proteže kroz varijable u identitetima. U algebarskim identitetima, varijable prolaze kroz njih brojna područja, a u analitičkim skupovima ovi skupovi ■ vise oko određenih mnoge funkcije. Na primjer, pravilo diferencijalne sume: (Z "+ g)" ovdje / i g su varijable koje prolaze kroz skup
I I ali diferencibilne funkcije sa zajedničkim domenom definicije. Izvana, ove transformacije su slične transformacijama algebarskog tipa, pa ponekad kažu "algebra granica", "algebra diferencijacije".
Identiteti koji se proučavaju u školskom kursu algebre i algebarskom gradivu kursa algebre i principi analize mogu se podijeliti na dvije klase.
Prvi se sastoji od skraćenih identiteta množenja, pošteno
av in.
iiioGom komutativnog prstena, a identiteti su = -, a * 0, koji vrijedi u bilo kojem
Oom field.
Drugu klasu čine identiteti koji povezuju aritmetičke brojeve i osnovne elementarne funkcije, kao i kompozicije elementarnihHhixfunkcije. Većina identiteta ove klase također ima zajedničku matematičku osnovu, a to je da su eksponencijalne, eksponencijalne i logaritamske funkcije izomorfizmi različitih numeričkih grupa. Na primjer, vrijedi sljedeća tvrdnja: postoji jedinstveno kontinuirano izomorfno preslikavanje / aditivne grupe realnih brojeva u multiplikativnu grupu pozitivnih realnih brojeva, u kojoj je jedinica preslikana na dati broj a> 0, a f 1; ovo preslikavanje je dato inkrementalnom funkcijom s radiksom a:/(X)= a. Postoje slične izjave za stepen i logaritamske funkcije.
Metodologija proučavanja identiteta u oba razreda ima mnogo zajedničkih karakteristika. Generalno, identične transformacije koje se izučavaju u školskom kursu matematike uključuju:
transformacije izraza koji sadrže radikale i stepene s frakcijskim eksponentima;
transformacije izraza koji sadrže granične prelaze i transformacije zasnovane na pravilima diferencijacije i integracije.
Ovaj rezultat se može dobiti izvođenjem samo dva koraka - ako koristite izraz x (y-z), identično jednak izrazu xy-xz: x (y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Pojednostavili smo proračune zamjenom izraza xy-xz identično jednak izraz x (y - z).
Zove se zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim identična transformacija ili jednostavno transformacijom izraza".
Ovladavanje raznim vrstama transformacija u ovoj fazi počinje uvođenjem skraćenih formula za množenje. Zatim razmatramo transformacije povezane sa operacijom dizanja na stepen, sa raznim klasama elementarnih funkcija - eksponencijalnim, eksponencijalnim, logaritamskim, trigonometrijskim. Svaka od ovih vrsta transformacija prolazi kroz fazu proučavanja, u kojoj se pažnja usmjerava na asimilaciju njihovih karakterističnih osobina.
Kako se materijal akumulira, postaje moguće izdvojiti i na osnovu toga uvesti koncepte identičnih i ekvivalentnih transformacija.
Treba napomenuti da je koncept identične transformacije dat u školskom kursu algebre ne u potpunosti, već samo u primjeni na izraze. Transformacije su podijeljene u dvije klase: identične transformacije su transformacije izraza, i ekvivalent - pretvaranje formula. U slučaju kada postoji potreba da se pojednostavi jedan dio formule, u ovoj formuli se ističe izraz koji služi kao argument za primijenjenu identičnu transformaciju. Na primjer, jednadžbe 5x - Zx - 2 i 2x = 2 smatraju se ne samo ekvivalentnim, već istim.
U udžbenicima algebre Sh.A. Alimova i dr., Pojam identiteta nije eksplicitno uveden u 7-8 razredu i samo u 9. razredu u temi „Trigonometrijski identiteti“ pri rješavanju zadatka 1: „Dokazati da je za afkk, To < eZ , jednakost 1 + ctg 2 a = - \ - je tačna, ovaj koncept je uveden. Ovdje se učenicima objašnjava taj grijeh a
naznačena jednakost "važi za sve dozvoljene vrijednosti a, tj. tako da njegova leva i desna strana imaju smisla. Takve jednakosti se nazivaju identiteti, a problemi dokazivanja takvih jednakosti nazivaju se problemi dokazivanja identiteta."
Faza III. Organizacija integralnog sistema transformacija (sinteza).
Osnovni cilj ove faze je formiranje fleksibilnog i moćnog aparata pogodnog za korištenje u rješavanju različitih obrazovnih zadataka.
Razmještaj druge etape proučavanja transformacija odvija se kroz cijeli kurs osnovne školske algebre. Prelazak na treću fazu se vrši sa završnim ponavljanjem kursa u toku savladavanja već poznatog gradiva, savladanog u delovima, za pojedine vrste transformacija.
U toku algebre i na počecima analize, integralni sistem transformacija, u osnovi već formiran, nastavlja postepeno da se usavršava. Dodaju mu se i neke nove vrste transformacija (na primjer, vezane za trigonometrijske i logaritamske funkcije), međutim one ga samo obogaćuju, proširuju njegove mogućnosti, ali ne mijenjaju njegovu strukturu.
Metodologija proučavanja ovih novih transformacija se praktično ne razlikuje od one koja se koristi u kursu algebre.
Neophodno je istaći jednu vrstu transformacija, specifičnu za kurenovu algebru i početke analize. Ovo su transformacije izraza koji sadrže limit prelaza, i transformacije zasnovane na pravilima diferencijacije i integracije. Glavna razlika između ovih "analitičkih" transformacija i "algebarskih" transformacija je u prirodi skupa kroz koji varijable prolaze u identitetima. U algebarskim identitetima, varijable prolaze kroz njih brojna područja, a u analitici, ovi skupovi blistaju sa određenim mnoge funkcije. Na primjer, pravilo za razlikovanje iznosa: ( f + g )" = f + g "; ovdje fug - varijable koje prolaze kroz višestruke diferencibilne funkcije sa zajedničkim domenom definicije. Izvana, ove transformacije su slične transformacijama algebarskog tipa, pa ponekad kažu "algebra granica", "algebra diferencijacije".
Identiteti koji se izučavaju u školskom kursu algebre i algebarski materijal kursa algebre i principi analize mogu se podijeliti na dvije klase.
Prvi se sastoji od skraćenih identiteta množenja, pošteno
bilo komutativnom prstenu, a identitet - = -, a * 0, vrijedi u bilo kojem
as sa
Drugu klasu čine identiteti koji povezuju aritmetičke operacije i osnovne elementarne funkcije, kao i kompozicije elementarnih funkcija. Većina identiteta ove klase također ima zajedničku matematičku osnovu, a to je da su stepene, eksponencijalne i logaritamske funkcije izomorfizmi različitih numeričkih grupa. Na primjer, vrijedi sljedeća tvrdnja: postoji jedinstveno kontinuirano izomorfno preslikavanje / aditivne grupe realnih brojeva u multiplikativnu grupu pozitivnih realnih brojeva, u kojem je jedinica preslikana na dati broj a> 0, a f jedan; ovo preslikavanje je dato eksponencijalnom funkcijom s radixom i: / (x) = a *. Postoje slične izjave za stepen i logaritamske funkcije.
Metodologija proučavanja identiteta oba razreda ima mnogo zajedničkih karakteristika. Generalno, identične transformacije koje se izučavaju u školskom kursu matematike uključuju:
transformacije algebarskih izraza;
pretvaranje izraza koji sadrže radikale i stepene s razlomcima;
pretvaranje trigonometrijskih izraza;
pretvaranje izraza koji sadrže stupnjeve i logaritme;
transformacije izraza koji sadrže granične prijelaze i transformacije zasnovane na pravilima, diferencijaciji i integraciji.
2. Osobine organizacije sistema zadataka u proučavanju identičnih transformacija
Osnovni princip organizovanja svakog sistema zadataka je da se oni prezentiraju od jednostavnog do složenog vodeći računa o potrebi učenika da prevaziđu izvodljive poteškoće i kreiraju problemske situacije. Ovaj osnovni princip zahtijeva konkretizaciju u odnosu na osobenosti ovog nastavnog materijala. Evo primjera sistema vježbi na temu: "Kvadrat zbira i
razlika dva broja".
I la ovaj osnovni sistem vježbi se završava. Takav sistem treba da obezbedi asimilaciju osnovnog materijala.
Sljedeće vježbe (17-19) omogućavaju učenicima da se fokusiraju na uobičajene greške i doprinose razvoju interesovanja i njihovih kreativnih 1 pomagala.
U svakom konkretnom slučaju, broj vježbi u sistemu može biti manji ili veći, ali redoslijed njihovog izvođenja treba biti isti.
Za opisivanje različitih sistema zadataka u metodologiji matematike, koncept ciklus vježbanja. Ciklus vježbi karakteriše činjenica da je nekoliko aspekata proučavanja i tehnika slaganja gradiva povezano u niz vježbi. S obzirom na identične transformacije, koncept ciklusa se može dati na sljedeći način.
11. ciklus vježbi povezan je sa proučavanjem jednog identiteta, oko kojeg se grupišu drugi identiteti koji su s njim u prirodnoj vezi. U "zaustavi ciklusa zajedno sa izvršni uključuje zadatke koji zahtijevaju prepoznavanje< ii in niti primjenjivost identiteta koji se razmatra. Proučeni identitet se koristi za izvođenje proračuna na različitim numeričkim područjima.
Zadaci u svakom ciklusu su podijeljeni na dvije grupe. TO prvi uključuje zadatke obavljene pri inicijalnom upoznavanju identiteta. Izvode se u nekoliko lekcija, objedinjene jednom temom. Druga grupa vježbe povezuje proučavani identitet s različitim primjenama. Vježbe u ovoj grupi su obično raspoređene po različitim temama.
Opisana struktura ciklusa odnosi se na fazu formiranja vještina u primjeni određenih vrsta transformacija. U završnoj fazi - (Tanja sinteza, ciklusi se modificiraju. prvo, obje grupe shdapiy su kombinovane, formirajući Odmotani ciklus , a iz prve grupe su isključeni najjednostavniji u smislu formulacije ili složenosti izvođenja zapisa. Preostale vrste zadataka postaju složenije. drugo, dolazi do spajanja ciklusa vezanih za različite identitete, zbog čega se povećava uloga radnji na prepoznavanju primjenjivosti jednog ili drugog identiteta.
11RNNSDajmo konkretan primjer petlje.
Primjer. Ciklus zadataka za identitet x -y 2 = (x-y) (x + y).
Izvršenje prve grupe zadataka ovog ciklusa odvija se na sljedeći način -
uslovima. Učenici su se upravo upoznali sa formulacijom identiteta (tačnije sa dvije formulacije: „Razlika kvadrata dva izraza jednaka je umnošku zbira i razlike ovih izraza“ i „Proizvod od zbir i razlika dva izraza jednaka je razlici kvadrata ovih izraza"), zapisivanje u obliku formule, dokaza ... Nakon toga, postoje neki primjeri kako koristiti transformaciju zasnovanu na ovom identitetu. Konačno, učenici počinju samostalno raditi vježbe.
Prva grupa zadataka
Druga grupa zadataka
(Zadaci svake grupe mogu se prezentirati učenicima pomoću multimedijalnog projektora)
Hajde da izvršimo metodološku analizu ovog sistema tipova zadataka.
Zadatak a0 je namijenjen fiksiranju strukture identiteta koji se proučava. To se postiže zamjenom slova (x i y) u označavanju identiteta drugim slovima. Zadaci ovog tipa omogućavaju vam da razjasnite odnos između verbalnog izražavanja i simboličkog oblika identiteta.
Zadatak a 2) usmjeren je na uspostavljanje veze između ovog identiteta i brojevnog sistema. Izraz koji treba pretvoriti ovdje nije čisto doslovan, već alfanumerički. Za opisivanje izvršenih radnji potrebno je koristiti koncept zamjene slova broj u identitetu. Razvoj vještina
primjena operacije zamjene i produbljivanje razumijevanja o njoj koja se provodi pri izvršavanju zadataka tipa d 2).
Sljedeći korak u ovladavanju identitetom ilustriran je zadatkom a). U nominalnom zadatku, izraz predložen za transformaciju nema oblik rasp n kvadrata; transformacija postaje moguća tek kada. h (chp1k će primijetiti da se broj 121 može predstaviti kao kvadrat broja. Dakle, ovaj zadatak se ne izvodi u jednom koraku, već u dva: na prvomiiiiu postoji prepoznavanje mogućnosti svođenja ovog izraza na MPD razlike kvadrata, na drugom transformacija se izvodi korištenjem identiteta.
Na početku razvoja identiteta svaki korak se bilježi:
I "I / s 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £) (11 + do), kasnije, neke operacije prepoznavanja učenici izvode usmeno.
U primjeru dd) potrebno je uspostaviti veze između ovog identiteta i drugih vezanih za radnje s monomima; u q 3) treba dva puta primijeniti identičnost za razliku kvadrata; c) učenici će morati savladati određenu psihološku barijeru, probijajući se u područje iracionalnih brojeva.
Zadaci tipa b) imaju za cilj razvijanje vještina za zamjenu proizvoda (, v - y) (x + y) po razlici X 2 - at 2 . Sličnu ulogu imaju zadaci tipa c). U primjerima tipa d) potrebno je izabrati jedan od pravaca transformacije.
Općenito, zadaci prve grupe usmjereni su na ovladavanje strukturom identiteta, operacijama zamjene u najjednostavnijim najvažnijim slučajevima i idejama o reverzibilnosti transformacija koje provodi identitet,
Glavne karakteristike i ciljevi koje smo otkrili prilikom razmatranja prvog | ruševine ciklusa zadataka, odnose se na bilo koji ciklus vježbi koji čini bajonete upotrebe identiteta. Za svaki novouvedeni identitet, prva grupa zadataka u ciklusu mora zadržati karakteristike opisane ovdje; razlike mogu biti samo u broju zadataka.
1 Druga grupa zadataka u ciklusu, za razliku od prve, usmjerena je na što potpuniju upotrebu i uzimanje u obzir specifičnosti ovog konkretnog identiteta, t i pi. Zadaci ove grupe pretpostavljaju već formirane vještine korištenja identiteta za razliku kvadrata (u najjednostavnijim slučajevima); chi, zadaci ove grupe su da produbi razumijevanje identiteta razmatranjem njegove različite primjene u različitim situacijama, u kombinaciji s korištenjem materijala koji se odnosi na druge teme matematičkog kursa.
Razmotrimo rješenje zadatka l):
x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) = 5 (3-x) x = 3, ili \{\ 1-3) = -5. Jednačina x (x + 3) = -5 nema pravih korijena, dakle \ 3 je jedini korijen jednadžbe.
Vidimo da je upotreba identiteta za razliku kvadrata dio pn i I u rješenju primjera, što je vodeća ideja izvođenja transformacija.
Ciklusi zadataka povezanih sa identitetima za elementarne funkcije imaju svoje karakteristike, koje su posljedica činjenice da, na prvom mjestu... odgovarajući identiteti se proučavaju u vezi sa proučavanjem funkcionalnog materijala i, / u> - "toykh, pojavljuju se kasnije od identiteta prve grupe i sa njima se proučavaju
koristeći već formirane vještine izvođenja identičnih transformacija. Značajan dio upotrebe identičnih transformacija povezanih s elementarnim funkcijama pada na rješavanje iracionalnih i transcendentalnih jednačina. Ciklusi koji se odnose na asimilaciju identiteta uključuju samo najjednostavnije jednadžbe, ali je već ovdje preporučljivo poraditi na ovladavanju tehnikom rješavanja takvih jednadžbi: reducirati je zamjenom nepoznatog algebarskom jednadžbom.
Redoslijed koraka za ovo rješenje je sljedeći:
a) pronađite funkciju<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
b) izvršiti zamjenu at= cp (x) i riješimo jednačinu F (y) = 0;
c) riješiti svaku od jednačina <р(х) = gdje (u j) je skup korijena jednačine F (y) = 0.
Novo pitanje koje se mora uzeti u obzir prilikom proučavanja identiteta sa elementarnim funkcijama je razmatranje domena definicije. Evo primjera tri zadatka:
a) Nacrtajte funkciju y = 4 log 2 x.
b) Riješite jednačinu lg X + lg (x - 3) = 1.
c) Na kom skupu je formula lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( X 2 - 25) je identitet?
Tipična greška koju učenici čine pri rješavanju zadatka a) je korištenje jednakosti a 1. uvjet isključujući B> 0. U ovom slučaju, kao rezultat, ispada da željeni graf ima oblik parabole umjesto tačnog odgovora - desne grane parabole. U zadatku b) prikazan je jedan od izvora za dobijanje složenih sistema jednačina i nejednačina, kada je potrebno uzeti u obzir domene definisanja funkcija, au zadatku c) - vježba koja može poslužiti kao pripremna.
Ideja po kojoj su ovi zadaci kombinovani - potreba za proučavanjem područja definicije funkcije, može doći na vidjelo tek kada se uporede takvi zadaci koji su po svom vanjskom obliku heterogeni. Značaj ove ideje za matematiku je veoma velik. Može poslužiti kao osnova za nekoliko ciklusa vježbi - za svaku od klasa elementarnih funkcija.
U zaključku, napominjemo da proučavanje identičnih transformacija u školi ima veliku obrazovna vrijednost. Sposobnost obavljanja nekih proračuna, obavljanja proračuna, dugo vremena uz neprekidnu pažnju praćenja nekog predmeta neophodna je ljudima najrazličitijih profesija, bez obzira da li rade u oblasti mentalnog ili fizičkog rada. Specifičnost sekcije "Identične transformacije izraza" je takva da otvara široke mogućnosti studentima da razviju ove važne stručno značajne vještine.
Identične konverzije predstavljaju posao koji obavljamo sa numeričkim i literalnim izrazima, kao i izrazima koji sadrže varijable. Sve ove transformacije provodimo kako bismo izvorni izraz doveli u oblik koji će biti pogodan za rješavanje problema. Razmotrit ćemo glavne vrste identičnih transformacija u ovoj temi.
Identična konverzija izraza. Šta je to?
Prvi put se susrećemo sa konceptom identično transformisanog, nalazimo se na nastavi algebre u 7. razredu. Istovremeno, prvo se upoznajemo sa pojmom identično jednakih izraza. Hajde da razumijemo koncepte i definicije kako bismo olakšali razumijevanje teme.
Definicija 1
Identična konverzija izraza- to su radnje koje se izvode s ciljem zamjene originalnog izraza izrazom koji će biti identično jednak originalu.
Često se ova definicija koristi u skraćenom obliku, u kojem je riječ "identičan" izostavljena. Pretpostavlja se da u svakom slučaju izvršimo transformaciju izraza na način da dobijemo izraz identičan originalnom, i to ne treba posebno isticati.
Ilustrirajmo ovu definiciju primjerima.
Primjer 1
Ako zamijenimo izraz x + 3 - 2 na identičan izraz x + 1, tada ćemo izvršiti identičnu transformaciju izraza x + 3 - 2.
Primjer 2
Zamjena izraza 2 a 6 izrazom a 3 Je identična transformacija, dok je zamjena izraza x na izrazu x 2 nije identična transformacija, budući da su izrazi x i x 2 nisu identično jednake.
Skrećemo vam pažnju na formu pisanja izraza prilikom izvođenja identičnih transformacija. Obično zapisujemo originalni izraz i rezultirajući izraz kao jednakost. Dakle, pisanje x + 1 + 2 = x + 3 znači da je izraz x + 1 + 2 sveden na oblik x + 3.
Uzastopno izvršavanje radnji dovodi nas do lanca jednakosti, koji je nekoliko identičnih transformacija smještenih u nizu. Dakle, oznaku x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x shvatamo kao sekvencijalno izvođenje dve transformacije: prvo, izraz x + 1 + 2 je doveden u oblik x + 3, a on - u oblik 3 + x.
Identične transformacije i ODU
Brojni izrazi koje počinjemo učiti u 8. razredu nemaju smisla za sve vrijednosti varijabli. Izvođenje identičnih transformacija u ovim slučajevima zahtijeva od nas da obratimo pažnju na raspon dozvoljenih vrijednosti varijabli (ADV). Izvođenje identičnih transformacija može ostaviti ODZ nepromijenjenim ili ga suziti.
Primjer 3
Kada skače iz izražaja a + (- b) do izraza a - b varijabilni raspon a i b ostaje ista.
Primjer 4
Pređite od izraza x do izraza x 2 x dovodi do sužavanja raspona dopuštenih vrijednosti varijable x sa skupa svih realnih brojeva na skup svih realnih brojeva, iz kojih je nula isključena.
Primjer 5
Identična konverzija izraza x 2 x izraz x dovodi do proširenja raspona dozvoljenih vrijednosti varijable x sa skupa svih realnih brojeva osim nule na skup svih realnih brojeva.
Sužavanje ili proširenje raspona dozvoljenih vrijednosti varijabli prilikom izvođenja identičnih transformacija važno je u rješavanju problema, jer može utjecati na točnost proračuna i dovesti do grešaka.
Osnovne transformacije identiteta
Pogledajmo sada šta su identične transformacije i kako se izvode. Izdvojimo one vrste identičnih transformacija sa kojima se najčešće suočavamo u glavnu grupu.
Pored osnovnih identičnih transformacija, postoji niz transformacija koje se odnose na izraze određenog tipa. Za razlomke su to metode redukcije i redukcije na novi nazivnik. Za izraze s korijenima i potencijama, sve akcije koje se izvode na osnovu svojstava korijena i potencija. Za logaritamske izraze, radnje koje se izvode na osnovu svojstava logaritama. Za trigonometrijske izraze, sve radnje koje koriste trigonometrijske formule. Sve ove privatne transformacije su detaljno opisane u zasebnim temama koje se mogu naći na našem resursu. S tim u vezi, nećemo se zadržavati na njima u ovom članku.
Prijeđimo na razmatranje glavnih identičnih transformacija.
Permutacija pojmova, faktori
Počnimo s preuređivanjem pojmova. Mi se najčešće bavimo ovom identičnom transformacijom. I sljedeća izjava se ovdje može smatrati osnovnim pravilom: u bilo kojem zbiru, permutacija pojmova na mjestima ne utiče na rezultat.
Ovo pravilo se temelji na svojstvima pomaka i kombinacije zbrajanja. Ova svojstva nam omogućavaju da preuredimo termine na mjesta i tako dobijemo izraze koji su identično jednaki originalnim. Zato je permutacija pojmova na mjestima u zbiru transformacija identiteta.
Primjer 6
Imamo zbir tri člana 3 + 5 + 7. Ako zamijenimo pojmove 3 i 5, onda će izraz dobiti oblik 5 + 3 + 7. Postoji nekoliko opcija za preuređivanje uslova u ovom slučaju. Svi oni dovode do dobijanja izraza koji su identični originalnom.
Ne samo brojevi, već i izrazi mogu djelovati kao članovi u zbroju. Oni se, baš kao i brojevi, mogu preurediti na mjesta bez utjecaja na konačni rezultat proračuna.
Primjer 7
U zbiru tri člana 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a oblika 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · termini se mogu preurediti, na primjer, na sljedeći način (- 12) Zauzvrat, možete preurediti članove u nazivniku razlomka 1 a + b, a razlomak će poprimiti oblik 1 b + a. I izraz pod znakom korijena a 2 + 2 a + 5 je takođe suma u kojoj se termini mogu zameniti.
Na isti način kao i termini, u originalnim izrazima, možete promijeniti mjesta faktora i dobiti identično tačne jednačine. Ova radnja je regulirana sljedećim pravilom:
Definicija 2
U proizvodu, preraspoređivanje množitelja na mjestima ne utiče na rezultat izračuna.
Ovo pravilo se zasniva na svojstvima pomaka i kombinacije množenja, koji potvrđuju ispravnost identične transformacije.
Primjer 8
Posao 3 5 7 permutacija faktora može biti predstavljena u jednom od sljedećih oblika: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 ili 3 7 5.
Primjer 9
Preuređivanje faktora u proizvodu x + 1 x 2 - x + 1 x daje x 2 - x + 1 x x + 1
Proširene zagrade
Zagrade mogu sadržavati numeričke i varijabilne izraze. Ovi izrazi se mogu pretvoriti u identično jednake izraze, u kojima uopće neće biti zagrada ili će ih biti manje nego u originalnim izrazima. Ovaj način pretvaranja izraza naziva se proširenje zagrada.
Primjer 10
Izvodimo radnje sa zagradama u izrazu forme 3 + x - 1 x kako bi se dobio identično ispravan izraz 3 + x - 1 x.
Izraz 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x može se pretvoriti u identično jednak izraz bez zagrada 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.
Detaljno smo opisali pravila za pretvaranje izraza sa zagradama u temi "Proširene zagrade", koja je objavljena na našem resursu.
Grupisanje pojmova, faktori
U slučajevima kada se radi o tri ili više pojmova, možemo pribjeći takvom obliku identičnih transformacija kao što je grupisanje pojmova. Ova metoda transformacije znači spajanje nekoliko pojmova u grupu tako što se oni preuređuju i stavljaju u zagrade.
Prilikom grupisanja, termini se zamjenjuju tako da se termini koji se grupišu pojavljuju jedan pored drugog u izrazu. Zatim se mogu staviti u zagrade.
Primjer 11
Uzmimo izraz 5 + 7 + 1 ... Ako prvi pojam grupišemo sa trećim, dobićemo (5 + 1) + 7 .
Grupisanje faktora se vrši slično grupisanju pojmova.
Primjer 12
U radu 2 3 4 5 možemo grupisati prvi faktor sa trećim, a drugi sa četvrtim, i dolazimo do izraza (2 4) (3 5)... A kada bismo grupisali prvi, drugi i četvrti faktor, dobili bismo izraz (2 3 5) 4.
Termini i faktori koji su grupisani mogu biti predstavljeni i prostim brojevima i izrazima. Pravila grupisanja su detaljno obrađena u temi "Grupiranje pojmova i faktora".
Zamjena razlika sa zbirovima, parcijalnim proizvodima i obrnuto
Zamjena razlika zbirovima postala je moguća zahvaljujući našem poznavanju suprotnih brojeva. Sada oduzimamo od broja a brojevi b može se posmatrati kao dodatak broju a brojevi - b... Jednakost a - b = a + (- b) može se smatrati pravičnim i na osnovu toga zamijeniti razlike iznosima.
Primjer 13
Uzmimo izraz 4 + 3 − 2 , u kojoj je razlika brojeva 3 − 2 možemo zapisati kao zbir 3 + (− 2) ... Dobijamo 4 + 3 + (− 2) .
Primjer 14
Sve razlike u izrazu 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 može se zamijeniti sumama poput 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).
Možemo ići na zbrojeve iz bilo koje razlike. Slično, možemo izvršiti obrnutu zamjenu.
Zamjena dijeljenja množenjem recipročnom vrijednosti djelitelja omogućena je konceptom međusobno recipročnih brojeva. Ova transformacija se može zapisati jednakošću a: b = a (b - 1).
Ovo pravilo je korišteno kao osnova za pravilo za dijeljenje običnih razlomaka.
Primjer 15
Privatno 1 2: 3 5 može se zamijeniti proizvodom oblika 1 2 5 3.
Isto tako, po analogiji, dijeljenje se može zamijeniti množenjem.
Primjer 16
U slučaju izraza 1 + 5: x: (x + 3) zamijeniti podjelu sa x može se pomnožiti sa 1 x... Division by x + 3 možemo zamijeniti množenjem sa 1 x + 3... Transformacija nam omogućava da dobijemo izraz identičan originalu: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
Zamjena množenja dijeljenjem vrši se prema šemi a b = a: (b - 1).
Primjer 17
U izrazu 5 x x 2 + 1 - 3, množenje se može zamijeniti dijeljenjem kao 5: x 2 + 1 x - 3.
Izvođenje radnji na brojevima
Izvođenje radnji s brojevima poštuje pravilo redoslijeda radnji. Prvo, radnje se izvode sa potencijama brojeva i korijenima brojeva. Nakon toga logaritme, trigonometrijske i druge funkcije zamjenjujemo njihovim vrijednostima. Zatim se izvode radnje u zagradama. A onda se sve ostale radnje mogu izvoditi s lijeva na desno. Važno je zapamtiti da se množenje i dijeljenje obavljaju prije sabiranja i oduzimanja.
Operacije sa brojevima vam omogućavaju da konvertujete originalni izraz u identičan njemu jednak.
Primjer 18
Prepišite izraz 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, izvodeći sve moguće radnje sa brojevima.
Rješenje
Prije svega, obratimo pažnju na stepen 2 3 i korijen 4 i izračunaj njihove vrijednosti: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2.
Zamijenite dobijene vrijednosti u originalni izraz i dobijete: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).
Sada izvršimo radnje u zagradama: 8 − 1 = 7 ... I prijeđite na izraz 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).
Ostaje nam da izvršimo množenje brojeva 3 i 7 ... Dobijamo: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).
odgovor: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Radnjama na brojevima mogu prethoditi druge vrste identičnih transformacija, kao što su grupisanje brojeva ili proširene zagrade.
Primjer 19
Uzmimo izraz 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.
Rješenje
Prije svega, zamijenit ćemo količnik u zagradama 6: 3 na njegovu vrijednost 2 ... Dobijamo: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.
Proširimo zagrade: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.
Grupirajmo numeričke faktore u proizvodu, kao i pojmove koji su brojevi: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Izvršimo radnje u zagradama: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
odgovor:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
Ako radimo sa numeričkim izrazima, onda će cilj našeg rada biti pronaći značenje izraza. Ako transformišemo izraze varijablama, onda će cilj naših akcija biti pojednostavljenje izraza.
Izdvojite zajednički faktor
U slučajevima kada pojmovi u izrazu imaju isti faktor, onda ovaj zajednički faktor možemo izvaditi iz zagrada. Da bismo to učinili, prvo trebamo predstaviti originalni izraz kao proizvod zajedničkog faktora i izraza u zagradama, koji se sastoji od originalnih pojmova bez zajedničkog faktora.
Primjer 20
Brojčano 2 7 + 2 3 možemo izvući zajednički faktor 2 zagrade i dobijete identično ispravan izraz forme 2 (7 + 3).
Možete osvježiti svoje sjećanje na pravila stavljanja zajedničkog faktora izvan zagrada u odgovarajućem dijelu našeg resursa. U materijalu se detaljno razmatraju pravila za stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada i daje brojne primjere.
Smanjenje sličnih termina
Pređimo sada na zbrojeve koji sadrže slične pojmove. Postoje dvije moguće opcije: sume koje sadrže iste članove i sume čiji se članovi razlikuju po numeričkom koeficijentu. Radnje sa iznosima koje sadrže takve termine nazivaju se smanjenjem takvih termina. Izvodi se na sljedeći način: izvlačimo opći dio slova izvan zagrada i izračunavamo zbir brojčanih koeficijenata u zagradama.
Primjer 21
Razmotrite izraz 1 + 4 x - 2 x... Doslovni dio x možemo staviti izvan zagrada i dobiti izraz 1 + x (4 - 2)... Izračunajmo vrijednost izraza u zagradama i dobijemo zbir oblika 1 + x · 2.
Zamjena brojeva i izraza identično jednakim izrazima
Brojevi i izrazi od kojih je sastavljen originalni izraz mogu se zamijeniti identično jednakim izrazima. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji je njemu identično jednak.
Primjer 22 Primjer 23
Razmotrite izraz 1 + a 5, u kojem stepen od 5 možemo zamijeniti identično jednakim proizvodom, na primjer, oblika a a 4... Ovo će nam dati izraz 1 + a a 4.
Izvršena transformacija je umjetna. Ima smisla samo u pripremi za druge transformacije.
Primjer 24
Razmotrimo transformaciju sume 4 x 3 + 2 x 2... Evo termina 4 x 3 možemo zamisliti kao djelo 2 x 2 2 x... Kao rezultat, originalni izraz poprima oblik 2 x 2 2 x + 2 x 2... Sada možemo odabrati zajednički faktor 2 x 2 i stavi van zagrada: 2 x 2 (2 x + 1).
Dodajte i oduzmite isti broj
Dodavanje i oduzimanje istog broja ili izraza u isto vrijeme je umjetna tehnika za transformaciju izraza.
Primjer 25
Razmotrite izraz x 2 + 2 x... Od njega možemo dodati ili oduzeti jedan, što će nam omogućiti da u budućnosti izvršimo još jednu identičnu transformaciju - da izaberemo kvadrat binoma: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte sebi Google račun (nalog) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Identiteti. Identične transformacije izraza. 7. razred.
Pronađite vrijednost izraza pri x = 5 i y = 4 3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27 3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27 Nađite vrijednost izrazi kod x = 6 i y = 5 3 (x + y) = 3 (6 + 5) = 3 * 11 = 33 3x + 3y = 3 * 6 + 3 * 5 = 33
ZAKLJUČAK: Dobili smo isti rezultat. Iz svojstva distribucije slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, vrijednosti izraza 3 (x + y) i 3x + 3y jednake. 3 (x + y) = 3x + 3y
Razmotrimo sada izraze 2x + y i 2xy. za x = 1 i y = 2 uzimaju jednake vrijednosti: 2x + y = 2 * 1 + 2 = 4 2xy = 2 * 1 * 2 = 4 za x = 3, y = 4 vrijednosti izraza su različite 2x + y = 2 * 3 + 4 = 10 2xy = 2 * 3 * 4 = 24
ZAKLJUČAK: Izrazi 3 (x + y) i 3x + 3y su identično jednaki, ali izrazi 2x + y i 2xy nisu identično jednaki. Definicija: Dva izraza, čije su vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli, nazivaju se identično jednakima.
IDENTITET Jednakost 3 (x + y) i 3x + 3y vrijedi za sve vrijednosti x i y. Takve jednakosti se nazivaju identitetima. Definicija: Jednakost, istinita za sve vrijednosti varijabli, naziva se identitet. Prave numeričke jednakosti se također smatraju identitetima. Već smo se susreli sa identitetima.
Identiteti su jednakosti koje izražavaju osnovna svojstva radnji na brojeve. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac
Mogu se navesti i drugi primjeri identiteta: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Zamjena jednog izraza drugim, identično jednakim izrazom, naziva se konverzija identiteta ili jednostavno konverzija izraza.
Da biste dobili takve pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i rezultat pomnožiti ukupnim slovnim dijelom. Primjer 1. Dajemo slične pojmove 5x + 2x-3x = x (5 + 2-3) = 4x
Ako se ispred zagrada nalazi znak plus, onda se zagrade mogu izostaviti, a znak svakog pojma će ostati u zagradama. Primjer 2. Proširimo zagrade u izrazu 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c
Ako se ispred zagrada nalazi znak minus, tada se zagrade mogu izostaviti promjenom predznaka svakog člana u zagradama. Primjer 3. Otvorimo zagrade u izrazu a - (4 b - c) = a - 4 b + c
Domaći zadatak: str.5, br.91, 97, 99 Hvala na lekciji!
Na temu: metodološki razvoji, prezentacije i bilješke
Metodologija pripreme učenika za Jedinstveni državni ispit u sekciji "Izrazi i transformacija izraza"
Ovaj projekat je razvijen sa ciljem pripreme učenika za polaganje državne ispite u 9. razredu i dalje za jedinstveni državni ispit u 11. razredu....
Sadržaj lekcijeEksponencijacija binoma
Binom je polinom sa dva člana. U prethodnim lekcijama, digli smo binom na drugi i treći stepen, čime smo dobili skraćene formule za množenje:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ali binom se može podići ne samo na drugi i treći stepen, već i na četvrti, peti ili viši stepen.
Na primjer, napravimo binom a + b do četvrtog stepena:
(a + b) 4
Ovaj izraz predstavljamo kao proizvod binoma a + b i kocka istog binoma
(a + b)(a+ b) 3
kofaktor ( a + b) 3 se može zamijeniti desnom stranom formule kocke za zbir dva izraza. tada dobijamo:
(a + b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)
A ovo je uobičajeno množenje polinoma. Izvršimo to:
Odnosno, kada se konstruiše binom a + bčetvrti stepen je polinom a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Postavljanje binoma a + b do četvrtog stepena, možete izvesti i na ovaj način: predstavite izraz ( a + b) 4 kao proizvod stupnjeva (a + b) 2 (a + b) 2
(a + b) 2 (a + b) 2
Ali izraz ( a + b) 2 jednako a 2 + 2ab + b 2 ... Zamijenite u izrazu (a + b) 2 (a + b) 2 kvadrati zbira polinoma a 2 + 2ab + b 2
(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)
A ovo je, opet, uobičajeno množenje polinoma. Hajde da ga izvršimo. Dobićemo isti rezultat kao i ranije:
Eksponencijaliranje trinoma
Tročlan je polinom sa tri člana. Na primjer, izraz a + b + c je trogodišnji.
Ponekad se može pojaviti zadatak da se tri mandata podigne na stepen. Na primjer, kvadrirajmo trinom a + b + c
(a + b + c) 2
Dva pojma unutar zagrada mogu se staviti u zagrade. Na primjer, zaključimo zbir a+ b u zagradi:
((a + b) + c) 2
U ovom slučaju, iznos a + bće se tretirati kao jedan član. Onda se ispostavi da ne kvadriramo tročlani, već dva mandata. Suma a + bće biti prvi član i član c- drugi član. A mi već znamo kako kvadrirati binom. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za kvadrat zbira dva izraza:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Primijenimo ovu formulu na naš primjer:
Na isti način možete kvadrirati polinom koji se sastoji od četiri ili više članova. Na primjer, kvadrirajte polinom a + b + c + d
(a + b + c + d) 2
Predstavljamo polinom kao zbir dva izraza: a + b i c + d... Da bismo to učinili, stavljamo ih u zagrade:
((a + b) + (c + d)) 2
Sada upotrijebimo formulu za kvadrat zbira dva izraza:
Izolacija potpunog kvadrata iz kvadratnog trinoma
Još jedna identična transformacija koja može biti korisna u rješavanju problema je odabir potpunog kvadrata iz kvadratnog trinoma.
Kvadratni trinom je trinom drugog stepena. Na primjer, sljedeća tri člana su kvadratna:
Ideja izolacije kompletnog kvadrata od takvih trinoma je predstavljanje originalnog kvadratnog trinoma u obliku izraza ( a + b) 2 + c, gdje ( a + b) 2 je pun kvadrat, i c - neki numerički ili doslovni izraz.
Na primjer, izaberimo potpuni kvadrat iz trinoma 4x 2 + 16x+ 19 .
Prvo morate izgraditi izraz forme a 2 + 2ab+ b 2 ... Izgradićemo ga iz trinoma 4x 2 + 16x+ 19 ... Prvo, hajde da definišemo koji će članovi igrati ulogu varijabli a i b
Uloga varijable a igraće člana 2 x od prvog člana trinoma 4x 2 + 16x+ 19 , odnosno 4 x 2 se dobija ako je 2 x kvadrat:
(2x) 2 = 4x 2
Dakle, varijabla a je jednako 2 x
a = 2x
Sada se vraćamo na prvobitni tročlani izraz i odmah obraćamo pažnju na izraz 16 x... Ovaj izraz je dvostruki proizvod prvog izraza a(u našem slučaju to je 2 x) i drugi nam još nepoznat izraz b. Hajde da privremeno stavimo znak pitanja na njegovo mjesto:
2 × 2 x × ? = 16x
Ako pažljivo pogledate izraz 2 × 2 x × ? = 16x , tada postaje intuitivno jasno da pojam b u ovoj situaciji, broj 4 je zato što je izraz 2 × 2 x jednako 4 x, i da dobijete 16 x treba pomnožiti 4 x do 4.
2 × 2 x × 4 = 16x
Dakle, zaključujemo da je varijabla b jednako 4
b = 4
To znači da će naš puni kvadrat biti izraz (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Sada smo spremni da izaberemo kompletan kvadrat iz trinoma. 4x 2 + 16x+ 19 .
Dakle, vratimo se originalnom trinomu 4x 2 + 16x+ 19 a mi ćemo pokušati da u njega pažljivo uvedemo kompletan kvadrat koji smo dobili (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
4x 2 + 16x+ 19 =
Umjesto 4 x 2 pišemo (2 x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
I dok prepisujemo termin 19 kako je:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19
Sada obratimo pažnju na činjenicu da je dobijeni polinom (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 nije identično originalnom tročlanom 4x 2 + 16x+ 19 ... Ovo možete provjeriti donošenjem polinoma (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 na standardni pogled:
(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19
Vidimo da smo dobili polinom 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , ali trebalo je ispasti 4x 2 + 16x+ 19 ... To je zbog činjenice da je član 4 2 umjetno implantiran u originalni tročlani član kako bi se organizirao potpuni kvadrat tročlana 4x 2 + 16x+ 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Sada izraz (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 može se skupiti, odnosno napisati u obliku ( a + b) 2. U našem slučaju dobijamo izraz (2 x+ 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Preostali članovi −4 2 i 19 se mogu dodati. −4 2 je −16, dakle −16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 - 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3
znači, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3
Primjer 2... Odaberite cijeli kvadrat iz kvadratnog trinoma x 2 + 2x+ 2
Prvo, konstruišemo izraz forme a 2 + 2 ab + b 2. Uloga varijable a u ovom slučaju x igra jer x 2 = x 2 .
Sljedeći član originalnog trinoma 2 x prepisati u obliku udvostručenog proizvoda prvog izraza (imamo x) i drugi izraz b(ovo će biti 1).
2 × x× 1 = 2 x
Ako b= 1, zatim izraz x 2 + 2x+ 1 2 .
Vratimo se sada originalnom kvadratnom trinomu i u njega ugradimo cijeli kvadrat. x 2 + 2x+ 1 2
x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1
Kao iu prethodnom primjeru, član b(u ovom primjeru, ovo je 1) nakon sabiranja, odmah je oduzeto kako bi se očuvala vrijednost originalnog trinoma.
Razmotrimo sljedeći numerički izraz:
9 + 6 + 2
Vrijednost ovog izraza je 17
9 + 6 + 2 = 17
Pokušajmo odabrati cijeli kvadrat u ovom numeričkom izrazu. Da bismo to uradili, prvo konstruišemo izraz forme a 2 + 2ab+ b 2 ... Uloga varijable a u ovom slučaju igra broj 3, jer se prvi član izraza 9 + 6 + 2, odnosno 9, može predstaviti kao 3 2.
Drugi član 6 predstavljen je kao udvostručeni proizvod prvog člana 3 i drugog 1
2 × 3 × 1 = 6
Odnosno, varijabla bće biti jednaka jedan. Tada će izraz 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 biti savršen kvadrat. Hajde da to ugradimo u originalni izraz:
− 1 2 + 2
Presavijmo ceo kvadrat, a članovi −1 2 i 2 se mogu dodati:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Rezultat je izraz (3 + 1) 2 + 2, koji je i dalje 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Recimo da imamo kvadrat i dva pravougaonika. Kvadrat sa stranicom 3 cm, pravougaonik sa stranicama 2 cm i 3 cm i pravougaonik sa stranicama 1 cm i 2 cm
Izračunajmo površinu svakog oblika. Površina kvadrata će biti 3 2 = 9 cm 2, površina ružičastog pravokutnika - 2 × 3 = 6 cm 2, površina lila - 1 × 2 = 2 cm 2
Napišimo zbir površina ovih pravokutnika:
9 + 6 + 2
Ovaj izraz se može shvatiti kao sjedinjenje kvadrata i dva pravokutnika u jedan oblik:
Zatim se dobije brojka čija je površina 17 cm 2. Zaista, prikazana figura sadrži 17 kvadrata sa stranicom od 1 cm.
Pokušajmo formirati kvadrat od postojeće figure. Štaviše, najveći trg. Za to ćemo koristiti dijelove iz ružičastog i ljubičastog pravokutnika.
Da biste formirali najveći kvadrat od postojeće figure, možete ostaviti žuti kvadrat nepromijenjen i pričvrstiti polovicu ružičastog pravokutnika na dno žutog kvadrata:
Vidimo da nedostaje još jedan kvadratni centimetar prije formiranja kompletnog kvadrata. Možemo ga uzeti iz lila pravougaonika. Dakle, uzmite jedan kvadrat iz lila pravokutnika i pričvrstite ga na veliki kvadrat koji se formira:
Sada pogledajmo izbliza do čega smo došli. Naime, na žutom dijelu figure i ružičastom dijelu koji je zapravo uvećao prethodni žuti kvadrat. Da li to znači da je postojala stranica kvadrata jednaka 3 cm, a ova stranica je povećana za 1 cm, što je na kraju dovelo do povećanja površine?
(3 + 1) 2
Izraz (3 + 1) 2 je 16 jer je 3 + 1 = 4 i 4 2 = 16. Isti rezultat se može dobiti korištenjem formule za kvadrat zbira dva izraza:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Zaista, rezultirajući kvadrat sadrži 16 kvadrata.
Preostali jedan kvadrat iz ljubičastog pravokutnika može se pričvrstiti na rezultirajući veliki kvadrat. Uostalom, prvobitno se radilo o jednoj figuri:
(3 + 1) 2 + 1
Spajanje malog kvadrata postojećem velikom kvadratu opisuje se izrazom (3 + 1) 2 + 1. A ovo je odabir kompletnog kvadrata iz izraza 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 - 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Izraz (3 + 1) 2 + 1, kao i izraz 9 + 6 + 2, je 17. Zaista, površina formirane figure je 17 cm 2.
Primjer 4... Izvršimo odabir kompletnog kvadrata iz kvadratnog trinoma x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x× 3 + 3 2 - 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1
U nekim primjerima, kada se gradi izraz a 2 + 2ab+ b 2 nije moguće odmah odrediti vrijednosti varijabli a i b .
Na primjer, izaberimo cijeli kvadrat iz kvadratnog trinoma x 2 + 3x+ 2
Varijabilna a odgovara x... Drugi mandat 3 x ne može se predstaviti kao udvojeni proizvod prvog i drugog izraza. U ovom slučaju, drugi član treba pomnožiti sa 2, a da se vrijednost originalnog polinoma ne promijeni, odmah podijeliti sa 2. To će izgledati ovako.
Jednačine
Kako riješiti jednačine?
U ovom dijelu ćemo se prisjetiti (ili proučavati - kao i bilo ko drugi) najelementarnijih jednačina. Dakle, šta je jednačina? U ljudskom smislu, ovo je neka vrsta matematičkog izraza, gdje postoji znak jednakosti i nepoznato. Što se obično označava slovom "X". Riješite jednačinu je pronaći takve x vrijednosti koje, kada se zamijene u početni izraz, daće nam ispravan identitet. Da podsjetim da je identitet izraz koji ne izaziva sumnje čak ni kod osobe koja apsolutno nije opterećena matematičkim znanjem. Kao 2 = 2, 0 = 0, ab = ab, itd. Dakle, kako rješavate jednačine? Hajde da to shvatimo.
Postoje razne jednačine (bio sam iznenađen, zar ne?). Ali sva njihova beskonačna raznolikost može se podijeliti na samo četiri tipa.
4. Ostalo.)
Sve ostalo, naravno, najviše od svega, da...) Ovo uključuje i kubične, i eksponencijalne, i logaritamske, i trigonometrijske i sve druge. Blisko ćemo sarađivati s njima u relevantnim odjeljcima.
Moram odmah reći da će se ponekad jednačine prve tri vrste završiti tako da ih ni ne prepoznate... Ništa. Naučićemo kako da ih odmotamo.
A zašto su nam potrebne ove četiri vrste? I šta onda linearne jednačine rješavaju se na jedan način, kvadrat drugi, razlomak racionalno - treći, a odmor ne usuđuj se uopšte! Pa nije da se oni uopće ne odlučuju, nisam trebao vrijeđati matematiku.) Samo oni imaju svoje posebne tehnike i metode.
Ali za bilo koje (ponavljam - za bilo koji!) jednadžbe imaju pouzdanu i neometanu osnovu za rješavanje. Radi bilo gdje i bilo kada. Ova podloga - Zvuči zastrašujuće, ali stvar je vrlo jednostavna. I veoma (veoma!) bitan.
Zapravo, rješenje jednadžbe se sastoji od samih ovih transformacija. 99%. Odgovor na pitanje: " Kako riješiti jednačine?"laži, upravo u ovim transformacijama. Da li je nagovještaj jasan?)
Identične transformacije jednačina.
V bilo koje jednačine da bi se pronašlo nepoznato, potrebno je transformirati i pojednostaviti originalni primjer. I to tako pri promeni izgleda suština jednačine se nije promijenila. Takve transformacije se nazivaju identičan ili ekvivalentno.
Imajte na umu da su ove transformacije tačno na jednačine. Još uvijek postoje identične transformacije u matematici izrazi. Ovo je druga tema.
Sada ćemo ponoviti sve-sve-sve osnovno identične transformacije jednačina.
Osnovni jer se mogu primijeniti na bilo koji jednadžbe - linearne, kvadratne, frakcijske, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske itd. itd.
Prva transformacija identiteta: možete dodati (oduzeti) objema stranama bilo koje jednačine bilo koji(ali ista stvar!) broj ili izraz (uključujući izraz sa nepoznatom!). Ovo ne mijenja suštinu jednačine.
Inače, stalno ste koristili ovu transformaciju, samo ste mislili da neke članove prenosite s jedne strane jednačine na drugu sa promjenom predznaka. Vrsta:
Stvar je poznata, prebacimo dva udesno i dobijemo:
U stvari ti oduzeta sa obe strane jednačine dva. Rezultat je isti:
x + 2 - 2 = 3 - 2
Prijenos pojmova lijevo-desno s promjenom predznaka jednostavno je skraćena verzija prve identične transformacije. I zašto nam je potrebno tako duboko znanje? - pitate. Jednačine su niske. Mrdaj, za ime Boga. Samo ne zaboravite promijeniti znak. Ali u nejednakostima, navika transfera može biti zbunjujuća...
Druga transformacija identiteta: obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) istim nenula broj ili izraz. Ovdje se već pojavljuje razumljivo ograničenje: množenje sa nulom je glupo, ali dijeljenje uopće nije moguće. Ovu transformaciju koristite kada radite nešto kul
To je čist posao X= 2. Kako ste ga pronašli? Odabirom? Ili je samo upalilo? Da ne biste pokupili i ne čekali uvid, morate shvatiti da ste samo podijelio obje strane jednačine sa 5. Prilikom dijeljenja lijeve strane (5x), pet je smanjeno, ostavljajući čisti x. Što nam je trebalo. A kada se desna strana (10) podijeli sa pet, ispalo je, očigledno, dvojka.
To je sve.
Smiješno je, ali ove dvije (samo dvije!) identične transformacije leže u osnovi rješenja sve matematičke jednačine. Kako! Ima smisla pogledati primjere šta i kako, zar ne?)
Primjeri identičnih transformacija jednačina. Glavni problemi.
Počnimo sa prvi identična transformacija. Pomjerite lijevo-desno.
Primjer za najmlađe.)
Recimo da trebate riješiti sljedeću jednačinu:
3-2x = 5-3x
Zapamtite čaroliju: "sa x - lijevo, bez x - desno!" Ova čarolija je instrukcija kako primijeniti prvu identičnu transformaciju.) Koji izraz sa x-om imamo na desnoj strani? 3x? Odgovor je pogrešan! Sa naše desne strane - 3x! Oduzeti tri x! Stoga, kada se krećete ulijevo, znak će se promijeniti u plus. Ispostaviće se:
3-2x + 3x = 5
Dakle, X-ovi su skupljeni na gomilu. Hajdemo na brojke. Na lijevoj strani je trojka. koji je tvoj znak? Odgovor "sa ne" se ne prihvata!) Ispred trojke, zaista, ništa nije nacrtano. A to znači da je ispred tri plus. Dakle, matematičari su se složili. Ništa nije napisano, dakle plus. Stoga će trojka biti prebačena na desnu stranu sa minusom. Dobijamo:
-2x + 3x = 5-3
Ostale su sitnice. S lijeve strane - donesite slične, s desne strane - brojite. Odmah se dobija odgovor:
U ovom primjeru, jedna identična transformacija je bila dovoljna. Drugi nije bio potreban. Pa, u redu.)
Primjer za starije.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno validacijsko testiranje. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
