Kurs predavanja iz teorijske mehanike za tehničke škole. Predavanje iz tehničke mehanike

1 slajd

Kurs predavanja iz teorijske mehanike Dinamika (I dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007. Elektronski kurs za obuku napisan je na osnovu predavanja autora za studente koji su studirali na specijalnostima SZD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974-2006). Nastavni materijal odgovara kalendarskim planovima u obimu od tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali efekte animacije tokom prezentacije, morate koristiti preglednik Power Point koji nije niži od onog ugrađenog u Microsoft Office operativnog sistema Windows-XP Professional. Komentari i sugestije možete slati na e-mail: [email protected]... Moskovski državni univerzitet za železnički inženjering (MIIT) Katedra za teorijsku mehaniku Naučno-tehnički centar za transportne tehnologije

2 slajd

Sadržaj Predavanje 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalne tačke. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednačine kretanja. Dva glavna zadatka dinamike. Primjeri rješavanja direktnog problema dinamike Predavanje 2. Rješenje inverznog problema dinamike. Opće upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Kretanje tijela bačenog pod uglom prema horizontu, bez obzira na otpor zraka. Predavanje 3. Pravolinijske vibracije materijalne tačke. Uslov za nastanak vibracija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. Prigušene oscilacije. Smanjenje fluktuacija. Predavanje 4. Prinudne oscilacije materijalne tačke. Rezonancija. Utjecaj otpora kretanju pri prisilnim vibracijama. Predavanje 5. Relativno kretanje materijalne tačke. Sile inercije. Posebni slučajevi kretanja za različite vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sistema. Mehanički sistem. Vanjske i unutrašnje sile. Centar mase sistema. Teorema o kretanju centra masa. Zakoni o očuvanju. Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o kretanju centra mase. Predavanje 7. Impuls moći. Količina pokreta. Teorema o promjeni količine kretanja. Zakoni o očuvanju. Ojlerova teorema. Primjer rješavanja problema korištenja teoreme o promjeni impulsa. Moment momenta. Teorema o promjeni ugaonog momenta .. Predavanje 8. Zakoni održanja. Elementi teorije momenata inercije. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela. Primjer rješavanja zadatka o upotrebi teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema. Osnovna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonskiy A.A. Kurs teorijske mehanike. Dio 2. M.: Viša škola. 1977 368 s. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: Nauka. 1986 416 s. 3. Zbirka zadataka za seminarske radove / Ed. AA. Yablonsky. M.: Viša škola. 1985 366 str. 4. Bondarenko A. N. “Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dynamics ”(elektronski priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slajd

Predavanje 1. Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava mehaničko kretanje sa najopštije tačke gledišta. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na objekt. Sekcija se sastoji od tri sekcije: Dinamika materijalne tačke Dinamika mehaničkog sistema Analitička mehanika ■ Dinamika tačke - proučava kretanje materijalne tačke uzimajući u obzir sile koje izazivaju ovo kretanje. Glavni objekt je materijalna tačka - materijalno tijelo s masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: - postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne zavise od materije i njenog kretanja. - postoji apsolutno vrijeme (ne zavisi od materije i njenog kretanja). Iz ovoga slijedi: - postoji apsolutno nepomičan referentni okvir - vrijeme ne zavisi od kretanja referentnog okvira - mase pokretnih tačaka ne zavise od kretanja referentnog okvira. Ove pretpostavke se koriste u klasičnoj mehanici, koju je kreirao Galileo i Njutna.I dalje ima prilično široko polje primene, budući da mehanički sistemi koji se razmatraju u primenjenim naukama nemaju tako velike mase i brzine kretanja, za šta je potrebno uzeti u obzir njihov uticaj na geometriju prostora, vremena. , kretanje, kao što se radi u relativističkoj mehanici (teoriji relativnosti). njihova dinamička interakcija Radnje pod uticajem različitih sila. ■ Zakon inercije (Galileo-Newtonov zakon) - Izolovana materijalna tačka, tijelo zadržava stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok ga primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje. To implicira ekvivalenciju stanja mirovanja i kretanja po inerciji (Galileov zakon relativnosti). Referentni okvir u odnosu na koji je zakon inercije ispunjen naziva se inercijskim. Svojstvo materijalne tačke da nastoji zadržati brzinu svog kretanja (njeno kinematičko stanje) nepromijenjenom naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja (Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) - Ubrzanje koje se materijalnoj tački daje silom je direktno proporcionalno sili i obrnuto proporcionalno masi ove tačke: ili Ovdje je m masa tačke (mjera inercije), mjerena u kg, brojčano jednaka težina podijeljena sa ubrzanjem gravitacije: F je sila koja djeluje, mjerena u N (1 N daje ubrzanje od 1 m/s2 tački mase od 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sistema - proučava kretanje skupa materijalnih tačaka i čvrstih tela, ujedinjenih opštim zakonima interakcije, uzimajući u obzir sile koje izazivaju ovo kretanje. ■ Analitička mehanika - proučava kretanje neslobodnih mehaničkih sistema koristeći opšte analitičke metode. jedan

4 slajd

Predavanje 1 (nastavak - 1.2) Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke: - diferencijalna jednačina kretanja tačke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe kretanja tačke u koordinatnom obliku. Ovaj rezultat se može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupisanja, vektorska relacija se rastavlja na tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo odnos vektora radijusa s koordinatama i vektora sile sa projekcijama: ili: Zamijenite ubrzanje tačke u vektorskoj postavci kretanja u osnovna jednadžba dinamike: Prirodne jednačine kretanja materijalne tačke se dobijaju projektovanjem vektorske diferencijalne jednadžbe kretanja na prirodne (pokretne) koordinatne ose: ili: - prirodne jednačine kretanja tačke. ■ Osnovna jednačina dinamike: - odgovara vektorskoj metodi zadavanja kretanja tačke. ■ Zakon nezavisnosti delovanja sila - Ubrzanje materijalne tačke pod dejstvom više sila jednako je geometrijskom zbiru ubrzanja tačke od dejstva svake od sila posebno: ili važi zakon za bilo koje kinematičko stanje tijela. Sile interakcije, primijenjene na različite tačke (tijela), nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti akcije i reakcije (III Newtonov zakon) - Svakoj akciji odgovara jednaka po veličini i suprotno usmjerena reakcija: 2

5 slajd

Dva glavna problema dinamike: 1. Direktan problem: Zadato je kretanje (jednačine kretanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim djelovanjem dolazi do određenog kretanja. 2. Inverzni problem: Sile pod čijim djelovanjem dolazi do kretanja. Potrebno je pronaći parametre kretanja (jednačine kretanja, putanju kretanja). Oba problema se rješavaju korištenjem osnovne jednadžbe dinamike i njene projekcije na koordinatne ose. Ako se razmatra kretanje neslobodne tačke, tada se, kao u statici, koristi princip slobode od veza. Kao rezultat reakcije, veze su uključene u sastav sila koje djeluju na materijalnu tačku. Rješenje prvog problema povezano je s operacijama diferencijacije. Rješenje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednačina, a to je mnogo teže od diferencijacije. Inverzni problem je komplikovaniji od direktnog. Razmotrimo rješenje direktnog problema dinamike na primjerima: Primjer 1. Kabina lifta težine G podiže se sajlom sa ubrzanjem a. Odredite napetost kabla. 1. Odaberemo objekat (kabina lifta se progresivno kreće i može se smatrati materijalnom tačkom). 2. Odbacimo vezu (kabel) i zamijenimo reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednačinu dinamike: Odredimo reakciju sajle: Odredimo napetost sajle: Pri ravnomjernom kretanju kabine ay = 0 i napetost sajle je jednaka težini: T = G. Kada se sajla pokida, T = 0 i ubrzanje kabine je jednako ubrzanju gravitacije: ay = -g. 3 4. Projektujmo osnovnu jednačinu dinamike na y-osu: y Primjer 2. Tačka mase m kreće se duž horizontalne površine (Oxy ravan) prema jednadžbi: x = a coskt, y = b coskt. Odrediti silu koja djeluje na tačku. 1. Odaberite objekt (materijalnu tačku). 2. Odbacujemo vezu (ravan) i zamjenjujemo je reakcijom N. 3. Sistemu sila dodamo nepoznatu silu F. 4. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 5. Projektiramo osnovnu jednačinu dinamike na x, y osi: Određujemo projekcije sile: Modul sile: Kosinus smjera : Dakle, veličina sile je proporcionalna udaljenosti tačke od centra koordinata i usmjerena je prema centru duž prave koja povezuje tačka do centra. Putanja tačke je elipsa sa središtem u početku: O r Predavanje 1 (nastavak - 1.3)

6 slajd

Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primjer 3: Teret težine G je okačen na sajlu dužine l i kreće se duž kružne staze u horizontalnoj ravni određenom brzinom. Ugao odstupanja kabla od vertikale je jednak. Odredite napetost užeta i brzinu opterećenja. 1. Odaberite objekt (tovar). 2. Odbacujemo vezu (kabel) i zamjenjujemo reakcijom R. 3. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: Iz treće jednačine određujemo reakciju kabla: Određujemo napetost kabla: Zamijenjujemo vrijednost reakcija kabla, normalno ubrzanje u drugu jednačinu i odrediti brzinu opterećenja: 4. Projektovati dinamiku osnovne jednačine na osovinu, n, b: Primer 4: Automobil težine G kreće se duž konveksnog mosta (poluprečnik zakrivljenosti je R) brzinom V. Odrediti pritisak automobila na most. 1. Odaberemo objekat (automobil, zanemarujemo dimenzije i posmatramo ga kao tačku). 2. Odbacujemo vezu (hrapava površina) i zamjenjujemo reakcijom N i silom trenja Ffr. 3. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 4. Projektujemo osnovnu jednačinu dinamike na osu n: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu odgovara nultom pritisku na mostu (Q = 0): 4

7 slajd

Predavanje 2 Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti dobijamo: Dakle, pod dejstvom istog sistema sila, materijalna tačka može izvršiti čitavu klasu kretanja određenih početnim uslovima. Polazne koordinate uzimaju u obzir ishodište tačke. Početna brzina, data projekcijama, uzima u obzir efekat na njeno kretanje duž razmatranog odseka putanje sila koje deluju na tačku pre nego što stignu u ovu deonicu, tj. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U opštem slučaju, kretanje tačke sile koja djeluje na tačku su varijable koje zavise od vremena, koordinata i brzine. Kretanje tačke opisuje se sistemom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih, postojaće šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,… ., C6 se nalaze iz šest početnih uslova pri t = 0: Primjer rješenja 1 inverzni zadatak: Slobodna materijalna tačka mase m kreće se pod djelovanjem sile F, konstantne veličine i veličine. ... U početnom trenutku brzina tačke je bila v0 i poklapala se u pravcu sa silom. Odrediti jednačinu kretanja tačke. 1. Napravite osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Smanjite red derivacije: 2. Odaberite kartezijanski referentni okvir, usmjeravajući os x duž smjera sile i projektirajte osnovnu jednadžbu dinamike na ovu osu: ili xyz 4. Odvojite varijable: 5. Izračunajte integrale obje strane jednačine: 6. Predstavljamo projekciju brzine kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme: 8. Izračunajte integrale obje strane jednačine jednadžba: 7. Odvojite varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uslove t = 0, vx = v0, x = x0: Kao rezultat, dobijamo jednačinu uniforme kretanje (duž x-ose): 5

8 slajd

Opće upute za rješavanje direktnog i inverznog problema. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe kretanja: 1.1. Odaberite koordinatni sistem - pravougaoni (fiksni) sa nepoznatom putanjom kretanja, prirodni (pokretni) sa poznatom putanjom, na primer, kružnica ili prava linija. U potonjem slučaju može se koristiti jedna pravolinijska koordinata. Poravnajte ishodište sa početnim položajem tačke (na t = 0) ili sa ravnotežnom pozicijom tačke, ako postoji, na primer, kada tačka vibrira. 6 1.2. Nacrtajte tačku na poziciji koja odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (za t> 0) tako da koordinate budu pozitivne (s> 0, x> 0). U ovom slučaju također pretpostavljamo da je projekcija brzine u ovoj poziciji također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, na primjer, po povratku u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u razmatranom trenutku vremena tačka udaljava od ravnotežnog položaja. Ova preporuka je važna u budućnosti kada se radi sa silama otpora zavisnim od brzine. 1.3. Oslobodite materijalnu tačku od veza, zamijenite njihovo djelovanje reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projektirajte na odabrane ose, izrazite date ili reaktivne sile u terminima vremenskih varijabli, koordinata ili brzina, ako zavise od njih. 2. Rješenje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako se jednadžba ne svodi na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Podijelite varijable, na primjer: ili 2.4. Izračunajte neodređene integrale na lijevoj i desnoj strani jednačine, na primjer: 2.3. Ako postoje tri varijable u jednadžbi, onda napravite promjenu varijabli, na primjer: a zatim podijelite varijable. Komentar. Umjesto izračunavanja neodređenih integrala, možete izračunati određene integrale s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početne uslove). Tada nije potrebno posebno određivanje konstante, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Koristeći početne uslove, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odrediti konstantu integracije: 2.5. Izrazite brzinu kao derivaciju koordinata u vremenu, na primjer, i ponovite paragrafe 2.2 - 2.4. Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik, koji ima standardno rješenje, onda se koristi ovo gotovo rješenje. Integracijske konstante se još uvijek nalaze iz početnih uslova. Vidi, na primjer, oklijevanje (predavanje 4, str. osam). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

9 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila zavisi od vremena. Teret težine P počinje da se kreće po glatkoj horizontalnoj površini pod dejstvom sile F, čija je vrednost proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji je prešao teret za vrijeme t. 3. Sastaviti osnovnu jednačinu dinamike: 5. Smanjiti red derivacije: 4. Projektovati osnovnu jednačinu dinamike na x-osu: ili 7 6. Odvojiti varijable: 7. Izračunati integrale obe strane jednadžba: 9. Predstavimo projekciju brzine kao vremenski izvod koordinate: 10. Izračunaj integrale obje strane jednačine: 9. Odvoji varijable: 8. Odredi vrijednost konstante C1 od početne uslov t = 0, vx = v0 = 0: Kao rezultat, dobijamo jednačinu kretanja (duž x-ose), koja daje vrijednost pređenog puta za vrijeme t: 1. Biramo referentni okvir ( Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet kretanja uzimamo kao materijalnu tačku (tijelo se kreće translacijsko), oslobađamo ga od veze (referentne ravni) i zamjenjujemo reakcijom (normalna reakcija glatka površina) : 11. Odrediti vrijednost konstante C2 iz početnog uvjeta t = 0, x = x0 = 0: Primjer 3 rješavanja inverznog problema: Sila zavisi od koordinata. Materijalna tačka mase m izbačena je naviše sa površine Zemlje brzinom v0. Zemljina gravitacija je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti od tačke do centra gravitacije (centra Zemlje). Odrediti zavisnost brzine od udaljenosti y do centra Zemlje. 1. Biramo referentni okvir (Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 3. Projektiramo osnovnu jednačinu dinamike na y-osu: ili Koeficijent od proporcionalnost se može naći korišćenjem težine tačke na površini Zemlje: R Otuda diferencijalna jednačina izgleda ovako: ili 4. Smanji red derivacije: 5. Izvrši promenu varijable: 6. Odvoji varijable: 7. Izračunajte integrale obe strane jednačine: 8. Zamenite granice: Kao rezultat, dobijamo izraz za brzinu kao funkciju y-koordinate: Maksimalna brzina leta na visini se može naći izjednačavanjem brzine sa nula: Maksimalna visina leta kada nazivnik nestane: Dakle, pri postavljanju Zemljinog radijusa i gravitacionog ubrzanja dobija se II kosmička brzina:

10 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog zadatka: Sila zavisi od brzine. Brod mase m imao je brzinu v0. Otpor vode kretanju plovila proporcionalan je brzini. Odredite vrijeme u kojem će brzina čamca pasti za polovicu nakon gašenja motora, kao i udaljenost koju je brod prešao do potpunog zaustavljanja. 8 1. Biramo referentni okvir (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Uzimamo objekt kretanja kao materijalnu tačku (brod se kreće naprijed), oslobađamo ga od veza (vode) i zamijeniti ga reakcijom (uzgona sila - Arhimedova sila), a također i silom otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastaviti osnovnu jednačinu dinamike: 5. Projektovati osnovnu jednačinu dinamike na x-osu: ili 6. Smanjiti red derivacije: 7. Odvojiti varijable: 8. Izračunati integrale obe strane od jednadžba: 9. Zamijenite granice: Dobija se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, odakle se može odrediti vrijeme kretanja: Vrijeme kretanja, tokom kojeg će brzina pasti za polovicu: Zanimljivo je napomenuti da kada se brzina približi nuli, vrijeme kretanja teži beskonačnosti, tj konačna brzina ne može biti nula. Nije li to "perpetual motion"? Međutim, pređena udaljenost do stajališta je konačna vrijednost. Da bismo odredili pređeni put, okrećemo se izrazu koji se dobije nakon snižavanja reda derivacije i vršimo promenu varijable: Nakon integracije i zamene granica dobijamo: Pređeni put do zaustavljanja: ■ Kretanje tačka bačena pod uglom prema horizontu u homogenom gravitacionom polju bez uzimanja u obzir otpora vazduha Eliminišući vreme iz jednačina kretanja, dobijamo jednačinu putanje: Vreme leta se određuje izjednačavanjem y koordinate sa nulom: Domet leta određuje se zamjenom vremena leta:

11 slajd

Predavanje 3 Pravolinijske oscilacije materijalne tačke - Oscilatorno kretanje materijalne tačke nastaje pod uslovom: postoji sila vraćanja koja teži da vrati tačku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od ovog položaja. 9 Postoji sila vraćanja, ravnotežni položaj je stabilan. Nema vraćajuće sile, ravnotežni položaj je nestabilan. Nema obnavljajuće sile, ravnotežni položaj je indiferentan. Uvijek je usmjerena na ravnotežni položaj, vrijednost je direktno proporcionalna linearnom izduženju (skraćenju) opruge, jednaka odstupanju tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, numerički jednak sili pod kojim opruga mijenja svoju dužinu za jedan, mjereno u N/m u sistemu SI. x y O Vrste vibracija materijalne tačke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne vibracije uzimajući u obzir otpor medija (prigušene vibracije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne vibracije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne vibracije - nastaju pod uticajem samo povratne sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberimo koordinatni sistem sa centrom u ravnotežnom položaju (tačka O) i projiciramo jednačinu na x-osu: Svedimo rezultirajuću jednačinu na standardni (kanonski) oblik: Ova jednačina je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čiji je oblik rješenja određen korijenima karakteristike jednadžbe dobivene univerzalnom zamjenom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki: Opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik: Brzina tačke: Početni uslovi: Definisati konstante: Dakle, jednačina slobodnih oscilacija ima oblik: Jednačina se može predstaviti jednočlanim izrazom: - početna faza. Nove konstante a i - povezane su sa konstantama C1 i C2 relacijama: Odredimo a i: Uzrok pojave slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili početna brzina v0.

12 slajd

10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne tačke - Oscilatorno kretanje materijalne tačke nastaje u prisustvu povratne sile i sile otpora kretanju. Ovisnost sile otpora kretanju o pomaku ili brzini određena je fizičkom prirodom medija ili veze koja sprječava kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost o brzini (viskozni otpor): - koeficijent viskoznosti xy O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na osu: Dovedemo jednačinu u standardni oblik: gdje Karakteristična jednačina ima korijen : Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima drugačiji oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1.n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - slučaj visoke viskozne otpornosti: - pravi korijeni, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - realni višestruki korijeni. ove funkcije su također aperiodične:

13 slajd

Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija rješenja slobodnih oscilacija. Metode povezivanja opruga. Ekvivalentna krutost. y y 11 Dif. jednačina Character. jednadžba Korijeni karakter. jednadžbe Rješenje diferencijalne jednadžbe Grafikon nk n = k

14 slajd

Predavanje 4 Prisilne vibracije materijalne tačke - Uz povratnu silu djeluje i sila koja se periodično mijenja, nazvana remetilačka sila. Snaga uznemiravanja može biti različite prirode. Na primjer, u konkretnom slučaju, inercijski učinak neuravnotežene mase m1 rotacionog rotora uzrokuje harmonično promjenjive projekcije sile: Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na osu: Dovedemo jednačinu na standardni oblik: 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opšte rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je posebno rješenje nehomogene jednadžbe: Odabiremo posebno rješenje u obliku desne strane: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t. Tada: ili Tako, uz istovremeno djelovanje sila koje vraćaju i remete, materijalna tačka vrši složeno oscilatorno kretanje, koje je rezultat sabiranja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) oscilacija. Ako je str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilne oscilacije visoke frekvencije), tada je faza oscilacija suprotna fazi ometajuće sile:

15 slajd

Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent je odnos amplitude prisilnih vibracija i statičkog otklona tačke pod dejstvom konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih vibracija: Statički otklon se može naći iz jednadžba ravnoteže: Ovdje: Dakle: Dakle, na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prisilnih vibracija) dinamički faktor: Rezonancija - nastaje kada se frekvencija prisilnih vibracija poklopi sa frekvencijom prirodnih vibracija (p = k). To se najčešće događa prilikom pokretanja i zaustavljanja rotacije loše balansiranih rotora pričvršćenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija jednakih frekvencija: Posebno rješenje u obliku desne strane ne može se uzeti, jer dobijete linearno zavisno rješenje (pogledajte opće rješenje). Opšte rješenje: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Uzmite određeno rješenje u obliku i izračunajte izvode: Tako se dobija rješenje: ili Prisilne oscilacije u rezonanciji imaju amplitudu koja se neograničeno povećava proporcionalno vremenu. Utjecaj otpora kretanju pri prisilnim vibracijama. Diferencijalna jednačina u prisustvu viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se bira iz tabele (predavanje 3, strana 11), ovisno o odnosu n i k (vidi). Uzimamo određeno rješenje u obliku i izračunavamo izvode: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Izjednačavanjem koeficijenata za iste trigonometrijske funkcije, dobijamo sistem jednadžbi: Podižemo obje jednačine na stepen i dodamo ih potenciji obje jednačine , dobijamo amplitudu prisilnih oscilacija: Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom, dobijamo fazni pomak prisilnih oscilacija: Dakle, jednadžba kretanja za prisilne vibracije, uzimajući u obzir otpor kretanju, npr. za n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajd

Predavanje 5 Relativno kretanje materijalne tačke - Pretpostavimo da se pokretni (neinercijalni) koordinatni sistem Oxyz kreće po određenom zakonu u odnosu na stacionarni (inercijalni) koordinatni sistem O1x1y1z1. Kretanje materijalne tačke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sistem Oxyz je relativno, u odnosu na stacionarni sistem O1x1y1z1 je apsolutno. Kretanje mobilnog sistema Oxyz u odnosu na stacionarni sistem O1x1y1z1 je prenosivo kretanje. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutno ubrzanje tačke: Zamijenite apsolutno ubrzanje tačke u osnovnu jednačinu dinamike: Prenesite pojmove s translacijskim i Coriolisovim ubrzanjem na desnu stranu: Preneseni članovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim silama inercije, jednake: Tada se relativno gibanje točke može smatrati apsolutnim, ako silama koje djeluju dodamo translacijske i Coriolisove sile inercije: U projekcijama na osu pokretnog koordinatnog sistema, imamo: rotacija je ravnomerna, tada je εe = 0: 2. Translaciono krivolinijsko kretanje: Ako je kretanje pravolinijsko, onda =: Ako je kretanje pravolinijsko i uniformno, tada je pokretni sistem inercijalan i relativni kretanje se može smatrati apsolutnim: kretanje (princip relativnosti klasične mehanike). Uticaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela - Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralelno). Zemlja rotira oko svoje ose od zapada ka istoku ugaonom brzinom: poluprečnik Zemlje je oko 6370 km. S R - puna reakcija neglatke površine. G je sila gravitacije Zemlje prema centru. F - centrifugalna sila inercije. Uslov relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i inercije je sila gravitacije (težina): Veličina sile gravitacije (težine) na površini Zemlje jednaka je P = mg. Centrifugalna sila inercije je mali dio sile gravitacije: Odstupanje sile gravitacije od smjera sile gravitacije je također malo: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela je izuzetno mali i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Maksimalna vrijednost sile inercije (pri φ = 0 - na ekvatoru) iznosi samo 0,00343 vrijednosti sile gravitacije

17 slajd

Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Uticaj Zemljine rotacije na kretanje tela u gravitacionom polju Zemlje - Stavimo da telo pada na Zemlju sa određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ. Odaberimo pokretni referentni okvir koji je kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući ose x i y tangencijalno na paralelu i na meridijan: Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, vjerujemo da je sila gravitacije usmjerena okomito na površinu Zemlje zbog malog otklona, ​​kao što je gore razmotreno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno paralelno s y-osi prema zapadu. Coriolisova inercijska sila jednaka je suprotnom smjeru. Projektujmo jednačinu relativnog kretanja na osu: Rešenje prve jednačine daje: Početni uslovi: Rešenje treće jednačine daje: Početni uslovi: Treća jednačina ima oblik: Početni uslovi: Njeno rešenje daje: Dobijeno rešenje pokazuje da tijelo pri padu skreće na istok. Izračunajmo vrijednost ovog odstupanja, na primjer, pri padu sa visine od 100 m. Vrijeme pada nalazi se iz rješenja druge jednačine: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela je izuzetno mali za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim proračunima. Rješenje druge jednadžbe također podrazumijeva postojanje brzine duž y-ose, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokovati odgovarajuće ubrzanje i Coriolisovu inercijsku silu. Učinak ove brzine i sile inercije povezane s njom na promjenu kretanja bit će čak i manji od razmatrane Coriolisove sile inercije povezane s vertikalnom brzinom.

18 slajd

Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sistema. Sistem materijalnih tačaka ili mehanički sistem - Skup materijalnih tačaka ili materijalnih tačaka ujedinjenih opštim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake od tačaka ili tela zavisi od položaja i kretanja svih ostalih) Sistem slobodnih tačaka - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sistem, u kojem se planete smatraju materijalnim tačkama). Sistem neslobodnih tačaka ili neslobodni mehanički sistem - kretanje materijalnih tačaka ili tela je ograničeno ograničenjima nametnutim sistemu (na primer, mehanizam, mašina, itd.). 16 Sile koje djeluju na sistem. Pored ranije postojeće klasifikacije sila (aktivne i reaktivne sile), uvodi se i nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na tačke i tijela sistema iz tačaka ili tijela koja nisu dio ovog sistem. 2. Unutrašnje sile (i) - sile interakcije između materijalnih tačaka ili tela uključenih u ovaj sistem. Jedna te ista sila može biti i vanjska i unutrašnja sila. Sve zavisi od toga koji se mehanički sistem razmatra. Na primjer: U sistemu Sunca, Zemlje i Mjeseca, sve gravitacijske sile između njih su unutrašnje. Kada se posmatra sistem Zemlja i Mesec, gravitacione sile koje se primenjuju sa Sunca su spoljašnje: C Z L Na osnovu zakona delovanja i reakcije, svaka unutrašnja sila Fk odgovara drugoj unutrašnjoj sili Fk ', jednakoj po veličini i suprotnoj u smjer. Iz ovoga proizilaze dva izuzetna svojstva unutrašnjih sila: Glavni vektor svih unutrašnjih sila sistema jednak je nuli: Glavni moment svih unutrašnjih sila sistema u odnosu na bilo koji centar jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Napomena. Iako su ove jednačine slične jednačinama ravnoteže, nisu, jer se unutrašnje sile primjenjuju na različite tačke ili tijela sistema i mogu uzrokovati da se ove tačke (tijela) pomjeraju jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednačina proizilazi da unutrašnje sile ne utiču na kretanje sistema posmatranog kao celine. Centar mase sistema materijalnih tačaka. Da bi se opisali kretanje sistema kao celine, uvodi se geometrijska tačka, nazvana centar mase, čiji je vektor radijusa određen izrazom, gde je M masa čitavog sistema: Ili u projekcijama na koordinatu ose: Formule za centar mase su slične formulama za centar gravitacije. Međutim, koncept centra mase je opštiji jer nije povezan sa gravitacionim silama ili silama gravitacije.

19 slajd

Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorema o kretanju centra mase sistema - Razmotrimo sistem od n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku tačku osnovnu jednačinu dinamike: ili Zbrojimo ove jednačine na svim tačkama: Na lijevoj strani jednačine uvodimo mase pod znakom izvoda i zamjenjujemo zbir izvoda derivacijom od zbir: Iz definicije centra mase: Zamijenite u rezultirajuću jednačinu: Nakon uklanjanja mase sistema izvan znaka derivacije dobijamo ili: Proizvod mase sistema i ubrzanja njegovog centra, masa je jednaka glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne ose: Centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka čija je masa jednaka masi celog sistema, na koju se primenjuju sve spoljne sile koje deluju na sistem. Posljedice iz teoreme o kretanju centra mase sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sistema jednak nuli, Re = 0, tada je brzina centar mase je konstantan, vC = const (centar mase se kreće jednoliko pravolinijski - zakon održanja centra mase kretanja). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na x-osu jednaka nuli, Rxe = 0, tada je brzina centra mase duž x-ose konstantna, vCx = const (centar mase se kreće jednoliko duž ose). Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. Primjer: Dvije osobe mase m1 i m2 nalaze se u čamcu mase m3. U početnom trenutku čamac sa ljudima mirovao je. Odredite kretanje čamca ako se osoba težine m2 pomaknula do pramca čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor spoljnih sila sistema jednak nuli, Re = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase je nula, vC = 0, tada je vektor radijusa od centar mase ostaje konstantan, rC = const (centar mase miruje - zakon održanja položaja centra mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na osu x jednaka nuli, Rxe = 0, a u početnom trenutku je brzina centra mase duž ove ose jednaka na nulu, vCx = 0, tada koordinata centra mase duž x ose ostaje konstantna, xC = const (centar mase se ne kreće duž ove ose). Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. 1. Predmet kretanja (čamac s ljudima): 2. Odbacujemo veze (voda): 3. Zamijenjujemo vezu reakcijom: 4. Dodajte aktivne sile: 5. Zapišite teoremu o centru mase: Projektujte na x-osa: O Odredite koliko daleko da promijenite sjedišta do osobe mase m1 tako da čamac ostane na mjestu: Čamac će se pomjeriti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

20 slajd

Predavanje 7 Impuls sile - mera mehaničke interakcije, koja karakteriše prenos mehaničkog kretanja sa strane sila koje deluju na tačku u datom vremenskom periodu: 18 do tačke sila u istom vremenskom intervalu: Pomnožite sa dt: Integrisaćemo u datom vremenskom intervalu: Količina pomeranja tačke je mera mehaničkog kretanja, određena vektorom jednakim proizvodu mase tačke i vektorom njene brzine: Teorema o promeni količina kretanja sistema - Razmotrite sistem n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku tačku osnovnu jednačinu dinamike: ili Broj kretanja sistema materijalnih tačaka je geometrijski zbir iznosa kretanja materijalnih tačaka: Po definiciji centra mase: Vektor momenta sistema jednak je proizvodu mase čitavog sistema vektorom brzine centra mase sistema. Zatim: U projekcijama na koordinatne ose: Derivat vektora količine gibanja sistema u odnosu na vrijeme jednak je glavnom vektoru vanjskih sila sistema. Sumirajmo ove jednačine nad svim tačkama: Na lijevoj strani jednačine uvodimo mase pod znakom derivacije i zamjenjujemo zbir izvoda derivatom zbira: Iz definicije impulsa sistema : U projekcijama na koordinatne ose:

21 slajd

Ojlerova teorema - Primjena teoreme o promjeni količine gibanja sistema na kretanje kontinuiranog medija (vode). 1. Odabiremo volumen vode u krivolinijskom kanalu turbine kao objekt kretanja: 2. Odbacujemo ograničenja i zamjenjujemo njihovo djelovanje reakcijama (Rpov - rezultanta površinskih sila) 3. Dodajte aktivne sile (Rpov - rezultanta zapreminskih sila): 4. Zapišite teoremu o promjeni količine gibanja sistema: Količina kretanja vode u vremenima t0 i t1 predstavljena je kao zbir: Promjena količine kretanja vode u vremenskom intervalu: Promjena količine kretanja vode za beskonačno mali vremenski interval dt:, gdje je F1 F2 Uzimajući proizvod gustine, površine poprečnog presjeka i brzine za drugu masu dobijamo: Zamjena diferencijala impulsa sistema u teoreme promjene dobijamo: Posljedice iz teoreme o promjeni količine kretanja sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sistema jednak nuli, Re = 0, tada je vektor kvantiteta kretanja konstantan, Q = const je zakon održanja impulsa sistema). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na x osu jednaka nuli, Rxe = 0, tada je projekcija impulsa sistema na x osu konstantna, Qx = konst. Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. Predavanje 7 (nastavak 7.2) Primjer: Granata mase M, koja je letjela brzinom v, eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od fragmenata mase m1 porasla je u smjeru kretanja do vrijednosti v1. Odredite brzinu druge krhotine. 1. Predmet kretanja (granata): 2. Predmet je slobodan sistem, veze i njihove reakcije su odsutne. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite teoremu o promjeni impulsa: Projektujte na osu: β Odvojite varijable i integrirajte: Desni integral je praktično nula, jer vrijeme eksplozije t

22 slajd

Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Moment impulsa tačke ili ugaoni moment kretanja u odnosu na određeni centar je mjera mehaničkog kretanja, određena vektorom jednakim vektorskom proizvodu radijus vektora materijalne tačke na vektor njegovog momenta kretanja: kinetički moment sistema materijalnih tačaka u odnosu na određeni centar je geometrijski zbir momenata broja kretanja svih materijalnih tačaka u odnosu na isti centar: U projekcijama na osu: U projekcijama na osi: Teorema o promeni ugaonog momenta sistema - Razmotrimo sistem od n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku tačku osnovnu jednačinu dinamike: ili Zbrojimo ove jednačine po svim tačkama: Zamijenimo zbir izvoda derivacijom zbira: Izraz u zagradi je moment momenta momenta količine kretanja sistema. Odavde: Pomnožimo svaki vektor jednakosti sa radijus vektorom na lijevoj strani: Da vidimo da li je moguće pomaknuti znak izvoda izvan vektorskog proizvoda: Tako smo dobili: Derivat vektora ugaonog momenta sistema u odnosu na neki centar u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sistema u odnosu na isti centar. U projekcijama na koordinatne ose: Derivat ugaonog momenta sistema u odnosu na određenu osu u vremenu jednak je glavnom momentu spoljnih sila sistema u odnosu na istu osu.

23 slajd

Predavanje 8 21 ■ Posljedice iz teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sistema u odnosu na neki centar jednak na nulu, MOe = 0, tada je vektor ugaonog momenta sistema u odnosu na istu centralnu konstantu, KO = const je zakon održanja ugaonog momenta sistema). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment spoljnih sila sistema u odnosu na x osu jednak nuli, Mxe = 0, tada je ugaoni moment sistema u odnosu na x osu konstantan, Kx = const. Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. 2. Moment inercije krutog tijela oko ose: Moment inercije materijalne tačke oko ose jednak je proizvodu mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke do ose. Moment inercije krutog tijela oko ose jednak je zbroju proizvoda mase svake tačke na kvadrat udaljenosti ove tačke do ose. ■ Elementi teorije momenata inercije - Kada se kruto tijelo rotira, mjera inercije (otpora promjeni kretanja) je moment inercije oko ose rotacije. Razmotrimo osnovne koncepte definicije i metode izračunavanja momenata inercije. 1. Moment inercije materijalne tačke oko ose: Prilikom prelaska sa diskretne male mase na beskonačno malu masu tačke, granica takve sume je određena integralom: aksijalni moment inercije krutog tela . Osim aksijalnog momenta inercije krutog tijela, postoje i druge vrste momenata inercije: centrifugalni moment inercije krutog tijela. polarni moment inercije krutog tijela. 3. Teorema o momentima inercije krutog tijela oko paralelnih ose - formula za prelazak na paralelne ose: Moment inercije oko prvobitne ose Statički momenti inercije oko originalnih ose Masa tela Udaljenost između osa z1 i z2 Dakle: Ako osa z1 prolazi kroz centar mase, tada su statički momenti jednaki nuli:

24 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment inercije homogenog štapa konstantnog poprečnog presjeka oko ose: xz L Odaberemo elementarnu zapreminu dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Izračunati moment inercije oko centralnoj osi (koja prolazi kroz centar gravitacije), dovoljno je promijeniti položaj ose i postaviti granice integracije (-L/2, L/2). Ovde ćemo demonstrirati formulu za prelazak na paralelne ose: zS 5. Moment inercije homogenog čvrstog cilindra oko ose simetrije: H dr r Odaberimo elementarnu zapreminu dV = 2πrdrH (tanki cilindar poluprečnika r): Elementarna masa: Ovdje smo koristili formulu za zapreminu cilindra V = πR2H. Za izračunavanje momenta inercije šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment inercije tankog cilindra oko ose simetrije (t

25 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko ose: Napišimo teoremu o promjeni ugaonog momenta krutog tijela koje rotira oko fiksne ose: kinetički moment rotirajućeg krutog tijela tijelo je: Moment vanjskih sila oko ose rotacije jednak je momentu (reakcije i sila bez momenta gravitacije): Zamijenite ugaoni moment i moment u teoremu Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na uže prebačeno preko čvrstog bloka težine G3 = G1 / 4. U nekom trenutku, jedan od njih je počeo da se penje po užetu relativnom brzinom u. Odredite brzinu dizanja svakog od ljudi. 1. Odaberite objekt kretanja (blok sa ljudima): 2. Odbacite veze (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu sa reakcijama (ležište): 4. Dodajte aktivne sile (gravitaciju): 5. Napišite niz teoremu o promjeni kinetičkog momenta sistema u odnosu na osi rotacije bloka: R Pošto je moment vanjskih sila jednak nuli, ugaoni moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0, došlo je do ravnoteže i Kz0 = 0. Nakon početka kretanja jedne osobe u odnosu na uže, cijeli sistem je počeo da se kreće, ali sistem ugaonog momenta mora ostati jednak nuli: Kz = 0. Kinetički moment sistema je zbir kinetičkih momenata ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednaka brzini sajle, Primjer: Odrediti period malih slobodnih oscilacija homogenog štapa mase M i dužine l, obješene jednim krajem na fiksnu os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period oscilacije: Moment inercije šipke:

26 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.4 - dodatni materijal) 24 ■ Elementarna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko ose materijalne simetrije, čija je jedna od tačaka nepomična. Slobodni žiroskop je fiksiran tako da mu centar mase ostaje nepomičan, a osa rotacije prolazi kroz centar mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, tj. osa rotacije menja svoj položaj kao i osa sopstvene rotacije tela tokom sfernog kretanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se pretpostavlja da je vektor ugaonog momenta (kutnog momenta) rotora usmjeren duž vlastite ose rotacije. Dakle, uprkos činjenici da u opštem slučaju rotor sudjeluje u tri rotacije, u obzir se uzima samo kutna brzina vlastite rotacije ω = dφ / dt. Razlog tome je što se u modernoj tehnologiji rotor žiroskopa rotira ugaonom brzinom od 5000-8000 rad/s (oko 50.000-80.000 o/min), dok su druge dvije ugaone brzine povezane s precesijom i nutacijom njegovog vlastita osa rotacije desetine hiljada puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora održava konstantan smjer u prostoru u odnosu na inercijski (zvjezdani) referentni okvir (demonstrirano Foucaultovim klatnom, koje drži ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852). Ovo proizilazi iz zakona održanja ugaonog momenta u odnosu na centar mase rotora, pod uslovom da se zanemari trenje u ležajevima osovina ovjesa rotora, vanjskih i unutrašnjih okvira: Djelovanje sile na osu slobodnog žiroskopa. U slučaju sile primijenjene na osu rotora, moment vanjskih sila u odnosu na centar mase nije jednak nuli: sila, a u smjeru vektora momenta ove sile, tj. neće se okretati oko x-ose (unutrašnja suspenzija), već oko y-ose (spoljna suspenzija). Kada se sila prekine, os rotora će ostati u nepromijenjenom položaju koji odgovara posljednjem trenutku djelovanja sile, jer od ovog trenutka, moment vanjskih sila ponovo postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajnog djelovanja sile (udara), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu sposobnost da se suprotstavi nasumičnim utjecajima koji teže promjeni položaja ose rotacije rotora, a pod stalnim djelovanjem sile održava položaj ravnine okomite na djelujuću silu. u kojoj leži osa rotora. Ova svojstva se koriste u radu inercijalnih navigacijskih sistema.

Predavanja iz teorijske mehanike

Dinamika tačke

Predavanje 1

Osnovni pojmovi dinamike

U poglavlju Dynamics proučava se kretanje tijela pod djelovanjem sila koje se na njih primjenjuju. Stoga, pored pojmova koji su uvedeni u odjeljku kinematika, ovdje je potrebno koristiti nove koncepte koji odražavaju specifičnosti djelovanja sila na različita tijela i reakcije tijela na te utjecaje. Razmotrimo glavne od ovih koncepata.

a) snaga

Sila je kvantitativni rezultat uticaja drugih tijela na dato tijelo. Sila je vektorska veličina (slika 1).

Tačka A početka vektora sile F pozvao tačka primene sile... Prava linija MN na kojoj se nalazi vektor sile naziva se linija dejstva sile. Dužina vektora sile, mjerena na određenoj skali, naziva se numerička vrijednost ili modul vektora sile... Modul sile se označava kao ili. Djelovanje sile na tijelo očituje se ili u njegovoj deformaciji, ako je tijelo nepomično, ili u davanju ubrzanja kada se tijelo kreće. Na ovim manifestacijama sile zasniva se uređaj različitih uređaja (merača sile ili dinamometara) za merenje sila.

b) sistem snaga

Skup sila koji se razmatra formira sistem snaga. Svaki sistem koji se sastoji od n sila može se napisati u sljedećem obliku:

c) slobodno tijelo

Tijelo koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da ne doživi direktnu (mehaničku) interakciju s drugim tijelima naziva se besplatno ili izolovan... Djelovanje jednog ili drugog sistema sila na tijelo može se razjasniti samo ako je ovo tijelo slobodno.

d) rezultantna sila

Ako bilo koja sila ima isti učinak na slobodno tijelo kao određeni sistem sila, tada se ta sila naziva rezultanta ovog sistema sila... Ovo je napisano na sljedeći način:

,

što znači ekvivalencija djelovanje na jedno te isto slobodno tijelo rezultanta i neki sistem od n sila.

Hajdemo sada da razmotrimo složenije koncepte koji se odnose na kvantitativno određivanje rotacionih efekata sila.

e) moment sile oko tačke (centra)

Ako tijelo pod djelovanjem sile može rotirati oko neke fiksne tačke O (slika 2), tada se za kvantifikaciju ovog rotacijskog efekta uvodi fizička veličina koja se naziva moment sile oko tačke (centra).

Zove se ravan koja prolazi kroz datu fiksnu tačku i liniju djelovanja sile ravan dejstva sile... Na slici 2, ovo je ravan OAV.

Moment sile u odnosu na tačku (centar) je vektorska veličina jednaka vektorskom proizvodu radijus vektora tačke primjene sile vektorom sile:

( 1)

Prema pravilu vektorskog množenja dva vektora, njihov vektorski proizvod je vektor okomit na ravan položaja vektora faktora (u ovom slučaju na ravan trokuta OAB), usmjeren u smjeru iz kojeg je najkraći rotacija prvog vektora faktora u drugi vektor je faktor vidljivo na kazaljci sata (sl. 2). Sa ovim redosledom vektora faktora vektorskog proizvoda (1), rotacija tela pod dejstvom sile biće vidljiva na kazaljci sata (slika 2) Pošto je vektor okomit na ravan delovanja sile, njena lokacija u prostoru određuje položaj ravni djelovanja sile.u odnosu na centar jednaka je udvostručenoj površini OAV i može se odrediti formulom:

, (2)

gdje magnitudeh, jednako najkraćoj udaljenosti od date tačke O do linije djelovanja sile, naziva se rame sile.

Ako položaj ravnine djelovanja sile u prostoru nije bitan za karakteristiku rotacijskog djelovanja sile, onda se u ovom slučaju karakterizira rotacijsko djelovanje sile, umjesto vektora momenta sile. se koristi algebarski moment sile:

(3)

Algebarski moment sile u odnosu na dati centar jednak je proizvodu modula sile na njegovom ramenu, uzetom sa predznakom plus ili minus. U ovom slučaju pozitivan moment odgovara rotaciji tijela pod djelovanjem date sile prema kazaljci sata, a negativni moment odgovara rotaciji tijela duž kazaljke sata. Iz formula (1), (2) i (3) slijedi da moment sile u odnosu na tačku je nula samo ako je rame ove silehjednak nuli... Takva sila ne može rotirati tijelo oko određene tačke.

f) Moment sile oko ose

Ako tijelo pod djelovanjem sile može rotirati oko neke fiksne ose (na primjer, rotacija okvira vrata ili prozora u šarkama kada se otvore ili zatvore), tada se za kvantifikaciju ovog rotacijskog efekta uvodi fizička veličina koja se zove moment sile oko date ose.

z

 b F xy

Na slici 3 prikazan je dijagram u skladu sa kojim se određuje moment sile u odnosu na z os:

Ugao  čine dva okomita pravca z i na ravni trokuta O ab i OAV, respektivno. Od  O ab je projekcija OAV na ravan xy, onda prema teoremi stereometrije o projekciji ravne figure na ovu ravan imamo:

pri čemu znak plus odgovara pozitivnoj vrijednosti cos, odnosno oštrim uglovima , a znak minus odgovara negativnoj vrijednosti cos, odnosno tupim uglovima , što je posljedica smjera vektora. Zauzvrat, SO ab=1/2abh, gdje h  ab ... Veličina segmenta ab jednaka je projekciji sile na ravan xy, tj. . ab = F xy .

Na osnovu navedenog, kao i jednakosti (4) i (5), definiramo moment sile u odnosu na osu z na sljedeći način:

Jednakost (6) nam omogućava da formuliramo sljedeću definiciju momenta sile u odnosu na bilo koju osu: Moment sile u odnosu na datu osu jednak je projekciji na ovu osu vektora momenta ove sile u odnosu na bilo koju osu. tačka ove ose i definisan je kao proizvod projekcije sile na ravan okomitu na ovu osu, uzet sa znakom plus ili minus na ramenu ove projekcije u odnosu na tačku preseka ose sa ravninom projekcije . U ovom slučaju, predznak trenutka se smatra pozitivnim ako je, gledajući iz pozitivnog smjera ose, rotacija tijela oko ove ose vidljiva na kazaljci sata. Inače, moment sile oko ose uzima se negativnim. Budući da je ovu definiciju momenta sile oko ose prilično teško zapamtiti, preporučuje se zapamtiti formulu (6) i sl. 3, koja objašnjava ovu formulu.

Iz formule (6) slijedi da moment sile oko ose je nula ako paralelna je s osi (u ovom slučaju njena projekcija na ravan okomitu na osu je nula), ili linija djelovanja sile siječe os (tada rame projekcije h=0). Ovo u potpunosti odgovara fizičkom značenju momenta sile oko ose kao kvantitativne karakteristike rotacionog dejstva sile na telo koje ima os rotacije.

g) tjelesnu težinu

Odavno je uočeno da pod dejstvom sile telo postepeno dobija brzinu i nastavlja da se kreće ako se sila ukloni. Ovo svojstvo tijela, da se odupru promjeni njihovog kretanja, nazivalo se inercija ili inercija tela. Kvantitativna mjera inertnosti tijela je njegova masa.Štaviše, masa tijela je kvantitativna mjera djelovanja gravitacijskih sila na dato tijelo što je veća masa tijela, to je veća sila gravitacije koja djeluje na tijelo. Kao što je prikazano ispod, eh Ove dvije definicije tjelesne težine su povezane.

Ostatak koncepata i definicija dinamike bit će razmotren kasnije u odjeljcima gdje se prvi put pojavljuju.

2. Veze i reakcije veze

Ranije u odjeljku 1, tačka (c), dat je koncept slobodnog tijela, kao tijela koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da nije u direktnom kontaktu sa drugim tijelima. Većina stvarnih tijela koja nas okružuju u direktnom je kontaktu s drugim tijelima i ne mogu se kretati u jednom ili drugom smjeru. Tako, na primjer, tijela na površini stola mogu se kretati u bilo kojem smjeru, osim u smjeru okomitom na površinu stola prema dolje. Vrata pričvršćena na šarke mogu se rotirati, ali se ne mogu translatorno, itd. Tijela koja se ne mogu kretati u prostoru u jednom ili drugom smjeru nazivaju se nije besplatno.

Sve što ograničava kretanje datog tijela u prostoru naziva se ograničenjima. To može biti bilo koja druga tijela koja sprječavaju kretanje ovog tijela u nekim smjerovima ( fizičke veze); u širem smislu, to mogu biti neki uslovi nametnuti kretanju tela, koji ograničavaju ovo kretanje. Dakle, možete postaviti uslov da se kretanje materijalne tačke dešava duž date krive. U ovom slučaju, veza je određena matematički u obliku jednadžbe ( jednačina ograničenja). Pitanje tipova veza će biti detaljnije razmotreno u nastavku.

Većina veza nametnutih tijelima su praktično fizičke veze. Stoga se postavlja pitanje interakcije ovog tijela i povezanosti nametnute ovom tijelu. Na ovo pitanje odgovara aksiom o interakciji tijela: Dva tijela djeluju jedno na drugo silama jednakim po veličini, suprotnog smjera i smještene na istoj pravoj liniji. Ove sile se nazivaju interakcijske sile. Sile interakcije se primjenjuju na različita tijela koja djeluju. Tako, na primjer, kada su dato tijelo i veza u interakciji, jedna od sila interakcije se primjenjuje sa strane tijela na vezu, a druga sila interakcije se primjenjuje sa strane veze na ovo tijelo. Ova posljednja moć se zove jačinom reakcije veze ili jednostavno, komunikacijska reakcija.

Prilikom rješavanja praktičnih zadataka dinamike potrebno je znati pronaći smjer reakcija različitih vrsta veza. Opće pravilo određivanja smjera reakcije veze ponekad može pomoći u tome: Reakcija veze je uvijek usmjerena suprotno od smjera u kojem ova veza sprječava kretanje datog tijela. Ako se ovaj smjer može definitivno naznačiti, tada će reakcija veze biti određena smjerom. Inače, smjer reakcije veze je neizvjestan i može se naći samo iz odgovarajućih jednačina kretanja ili ravnoteže tijela. Detaljnije, pitanje o vrstama veza i smjeru njihovih reakcija treba proučiti u udžbeniku: S.M. Targ Kratki kurs iz teorijske mehanike "Gimnazija", M., 1986. Poglavlje 1, §3.

U odeljku 1, tačka (c), rečeno je da se dejstvo bilo kog sistema sila može u potpunosti utvrditi samo ako se ovaj sistem sila primeni na slobodno telo. Budući da većina tijela, u stvarnosti, nije slobodna, onda se radi proučavanja kretanja ovih tijela postavlja pitanje kako ta tijela učiniti slobodnima. Na ovo pitanje je odgovoreno aksiom veza predavanja on filozofija kod kuće. Predavanja bili su ... socijalna psihologija i etnopsihologija. 3. Teorijski Ishodi U socijaldarvinizmu je bilo ...

Teorijski Mehanika

Vodič za učenje >> Fizika

Sažetak predavanja on predmet TEORIJSKI MEHANIKA Za studente specijalnosti: 260501,65 ... - redovni Sažetak predavanja sastavljeno na osnovu: L.V. Butorin, E.B. Busygin. Teorijski Mehanika... Priručnik za obuku...

državna autonomna institucija

Kalinjingradska oblast

profesionalna obrazovna organizacija

Visoka škola za usluge i turizam

Kurs predavanja sa primjerima praktičnih zadataka

"Osnove teorijske mehanike"

po discipliniTehnička mehanika

za studente3 kurs

specijalnost02/20/04 Zaštita od požara

Kalinjingrad

ODOBREN

Zamjenik direktora za UR GAU KO VET KSTN. Myasnikova

ODOBREN

Metodičko vijeće GAU KO POO KST

RAZMATRANO

Na sastanku PCC-a

Urednički tim:

Kolganova A.A., metodolog

Falaleeva A.B., nastavnica ruskog jezika i književnosti

Cvetaeva L.V., predsjednica PCC-aopšte matematičke i prirodne nauke

Sastavio:

I.V. Nezvanova nastavnik GAU KO VET KST

Sadržaj

1. Teorijske informacije

1. Teorijske informacije

1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

1. Teorijske informacije

1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Bibliografija

Statika: osnovni pojmovi i aksiomi.

1. Teorijske informacije

Statika - dio teorijske mehanike, koji razmatra svojstva sila primijenjenih na tačke krutog tijela i uslove za njihovu ravnotežu. Glavni zadaci:

1. Transformacije sistema sila u ekvivalentne sisteme sila.

2. Određivanje uslova ravnoteže za sisteme sila koje djeluju na kruto tijelo.

Materijalna tačka naziva najjednostavnijim modelom materijalnog tijela

bilo koji oblik, čije su dimenzije dovoljno male i koji se može uzeti kao geometrijska tačka određene mase. Svaki skup materijalnih tačaka naziva se mehanički sistem. Apsolutno čvrsto tijelo je mehanički sistem čije se udaljenosti između tačaka ne mijenjaju nikakvim interakcijama.

Snaga To je mjera mehaničke interakcije materijalnih tijela jedno s drugim. Sila je vektorska veličina, jer je određena sa tri elementa:

numerička vrijednost;

smjer;

tačka primene (A).

Jedinica mjere za silu je Njutn (N).

Slika 1.1

Sistem sila je kombinacija sila koje djeluju na tijelo.

Uravnotežen (jednak nuli) sistem sila naziva se sistem koji, primijenjen na tijelo, ne mijenja svoje stanje.

Sistem sila koje djeluju na tijelo može se zamijeniti jednom rezultantom koja djeluje kao sistem sila.

Aksiomi statike.

Aksiom 1: Ako se na tijelo primjenjuje uravnotežen sistem sila, ono se kreće jednoliko i pravolinijski ili miruje (zakon inercije).

Aksiom 2: Apsolutno kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dvije sile ako i samo ako su te sile jednake po veličini, djeluju u jednoj pravoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima. Slika 1.2

Aksiom 3: Mehaničko stanje tijela neće biti poremećeno ako se sistemu sila koje djeluju na njega doda ili oduzme uravnotežen sistem sila.

Aksiom 4: Rezultanta dvije sile primijenjene na tijelo jednaka je njihovom geometrijskom zbroju, odnosno izražena je u veličini i smjeru dijagonalom paralelograma izgrađenog na tim silama kao na stranicama.

Slika 1.3.

Aksiom 5: Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo uvijek su jednake po veličini i usmjerene duž jedne prave u suprotnim smjerovima.

Slika 1.4.

Vrste veza i njihove reakcije

Linkovi nazivaju se sva ograničenja koja ometaju kretanje tijela u prostoru. Telo, koje nastoji pod dejstvom primenjenih sila da izvrši pokret, koji je sprečen vezom, delovaće na njega nekom silom tzv. sila pritiska na komunikaciju ... Prema zakonu jednakosti djelovanja i reakcije, veza će na tijelo djelovati istim modulom, ali suprotno usmjerenom silom.
Sila kojom ova veza djeluje na tijelo, sprječavajući jedno ili drugo kretanje, naziva se jačina reakcije (reakcije) veze .
Jedna od glavnih odredbi mehanike je princip oslobađanja obveznica : svako neslobodno tijelo može se smatrati slobodnim ako odbacimo veze i zamijenimo njihovo djelovanje reakcijama veza.

Reakcija veze je usmjerena u smjeru suprotnom od onog gdje veza ne dozvoljava tijelu da se kreće. Glavne vrste veza i njihove reakcije prikazane su u tabeli 1.1.

Tabela 1.1

Vrste veza i njihove reakcije

Ime komunikacije

Simbol

1

Glatka površina (podrška) - površina (oslonac), trenje na kojoj se dato tijelo može zanemariti.
Uz besplatnu podršku, reakcijausmjeren okomito na tangentu povučenu kroz tačkuA tjelesni kontakt1 sa potpornom površinom2 .

2

Navoj (fleksibilan, neprotegljiv). Veza, izvedena u obliku nerastavljive niti, ne dozvoljava tijelu da se udalji od točke ovjesa. Stoga je reakcija niti usmjerena duž niti do točke njegovog ovjesa.

3

Štap bez težine - štap čija se težina može zanemariti u odnosu na percipirano opterećenje.
Reakcija bestežinskog zglobnog pravolinijskog štapa usmjerena je duž ose štapa.

4

Pomična šarka, šarka pomična podrška. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.

7

Kruti završetak. U ravni krutog završetka postojaće dve komponente reakcije, i moment para silakoji sprečava da se greda okreće1 u odnosu na tačkuA .
Kruto fiksiranje u prostoru oduzima tijelu 1 svih šest stupnjeva slobode - tri pomaka duž koordinatnih osa i tri rotacije oko ovih osa.
U prostornom krutom završetku postojaće tri komponente, , i tri momenta para sila.

Sistem konvergirajućih sila

Sistem konvergirajućih sila se naziva sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački. Dvije sile koje se konvergiraju u jednoj tački, prema trećem aksiomu statike, mogu se zamijeniti jednom silom -rezultantno .
Glavni vektor sistema sila - vrijednost jednaka geometrijskom zbiru sila sistema.

Rezultantni ravan sistem konvergentnih sila može se odreditigrafički i analitički.

Sabiranje sistema snaga . Sabiranje ravnog sistema sila koje se konvergiraju vrši se ili sukcesivnim sabiranjem sila sa konstrukcijom međurezultante (slika 1.5), ili konstruisanjem poligona sila (slika 1.6).

Slika 1.5 Slika 1.6

Projekcija sile osovine - algebarska veličina jednaka proizvodu modula sile na kosinus ugla između sile i pozitivnog smjera ose.
ProjekcijaFx(Slika 1.7) osovinske sile Xpozitivan ako je ugao α oštar, negativan ako je ugao α tup. Ako snagaje okomita na osu, tada je njegova projekcija na osu jednaka nuli.

Slika 1.7

Projekcija sile na ravan Ooh- vektor , zatvoren između projekcija početka i kraja silena ovaj avion. One. projekcija sile na ravan je vektorska veličina koju karakteriše ne samo numerička vrijednost, već i smjer u ravniniOoh (Slika 1.8).

Slika 1.8

Zatim modul za projekciju u avionu Ooh će biti jednako:

Fxy = F cosα,

gdje je α ugao između smjera sile i njegovu projekciju.
Analitički način postavljanja sila . Za analitički način određivanja snagepotrebno je odabrati koordinatni sistemOhyz, u odnosu na koji će se odrediti smjer sile u prostoru.
Vektor koji prikazuje snagu, može se nacrtati ako su poznati modul ove sile i uglovi α, β, γ koje sila formira sa koordinatnim osa. DotA primjena sile odvojeno po svojim koordinatamaX, at, z... Možete podesiti jačinu njegovih projekcijaFx, Fy, Fzna koordinatnim osama. Modul sile u ovom slučaju određuje se formulom:

a kosinusi smjera su:

, .

Analitički način sabiranja sila : projekcija vektora sume na neku osu jednaka je algebarskom zbiru projekcija članova vektora na istu osu, tj. ako:

zatim , , .
Znajući Rx, Ry, Rz, možemo definirati modul

i kosinus smjera:

, , .

Slika 1.9

Za ravnotežu sistema konvergentnih sila potrebno je i dovoljno da rezultanta ovih sila bude jednaka nuli.
1) Uslov geometrijske ravnoteže za konvergentni sistem sila : za ravnotežu sistema sila koje se konvergiraju potrebno je i dovoljno da poligon snage izgrađen od ovih sila,

je zatvoren (kraj vektora posljednjeg člana

sila mora biti kombinovana sa početkom vektora prvog člana sile). Tada će glavni vektor sistema sila biti jednak nuli ()
2) Uslovi analitičke ravnoteže . Modul glavnog vektora sistema sila određuje se formulom. = 0. Ukoliko , tada radikalni izraz može biti jednak nuli samo ako svaki član istovremeno nestane, tj.

Rx= 0, Ry= 0, R z = 0.

Prema tome, za ravnotežu prostornog sistema sila koje se konvergiraju, potrebno je i dovoljno da sumi projekcija ovih sila na svaku od tri koordinate osa budu jednaki nuli:

Za ravnotežu ravnog sistema sila koje se konvergiraju, potrebno je i dovoljno da sume projekcija sila na svaku od dvije koordinatne osi budu jednake nuli:

Sabiranje dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru.

Slika 1.9

Dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru svode se na jednu rezultantnu silu, paralelnu s njima i usmjerenu u istom smjeru. Veličina rezultante jednaka je zbroju veličina ovih sila, a tačka njene primjene C dijeli udaljenost između linija djelovanja sila na unutrašnji način na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama ovih sila, to je

B A C

R = F 1 + F 2

Sabiranje dvije nejednake paralelne sile usmjerene u suprotnim smjerovima.

Dvije antiparalelne sile koje nisu jednake po veličini svode se na jednu rezultantnu silu paralelnu s njima i usmjeravaju prema većoj sili. Veličina rezultante jednaka je razlici veličina ovih sila, a tačka njene primjene, C, dijeli udaljenost između linija djelovanja sila izvana na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama ovih sila, tj. je

Par sila i moment sile u odnosu na tačku.

Trenutak moći u odnosu na tačku O naziva se, uzet sa odgovarajućim predznakom, proizvod veličine sile na udaljenosti h od tačke O do linije djelovanja sile ... Ovaj proizvod se uzima sa znakom plus ako je snaga teži da rotira tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a sa predznakom - ako je sila teži da rotira tijelo u smjeru kazaljke na satu, tj ... Dužina okomice h se nazivarame snage tačka O. Učinak djelovanja sile tj. ugaono ubrzanje tijela je veće, što je veća vrijednost momenta sile.

Slika 1.11

Sa par prednosti naziva se sistem koji se sastoji od dvije paralelne sile jednake po veličini usmjerene u suprotnim smjerovima. Razmak h između linija djelovanja sila naziva seramena . Trenutak par sila m (F, F") je proizvod veličine jedne od sila koje čine par na ramenu para, uzete sa odgovarajućim predznakom.

Piše se ovako: m (F, F") = ± F × h, pri čemu se proizvod uzima sa znakom plus, ako par sila teži da rotira tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i sa znakom minus, ako je par sila sile teži da rotiraju tijelo u smjeru kazaljke na satu.

Teorema o zbiru momenata sila para.

Zbir momenata sila para (F, F") u odnosu na bilo koju tačku 0, uzet u ravni djelovanja para, ne zavisi od izbora ove tačke i jednak je momentu par.

Teorema ekvivalentnog para. Posljedice.

Teorema. Dva para, čiji su momenti međusobno jednaki, su ekvivalentna, tj. (F, F ") ~ (P, P")

Zaključak 1 ... Par sila se može prenijeti na bilo koje mjesto u ravnini svog djelovanja, kao i rotirati pod bilo kojim uglom i promijeniti rame i veličinu sila para, uz zadržavanje momenta para.

Zaključak 2. Par sila nema rezultantu i ne može se uravnotežiti jednom silom koja leži u ravni para.

Slika 1.12

Sabiranje i uslov ravnoteže za sistem parova na ravni.

1. Teorema o sabiranju parova koji leže u istoj ravni. Sistem parova, proizvoljno smještenih u istoj ravni, može se zamijeniti jednim parom, čiji je moment jednak zbiru momenata ovih parova.

2. Teorema o ravnoteži sistema parova na ravni.

Da bi apsolutno kruto tijelo mirovalo pod djelovanjem sistema parova, proizvoljno smještenih u istoj ravni, potrebno je i dovoljno da zbir momenata svih parova bude jednak nuli, tj.

Centar gravitacije

Gravitacija - rezultanta sila privlačenja na Zemlju, raspoređena po cijelom volumenu tijela.

Telo težišta - to je takva tačka koja je nepromenljivo povezana sa ovim telom kroz koju prolazi linija dejstva sile gravitacije ovog tela u bilo kom položaju tela u prostoru.

Metode za pronalaženje centra gravitacije

1. Metoda simetrije:

1.1. Ako homogeno tijelo ima ravan simetrije, onda težište leži u ovoj ravni

1.2. Ako homogeno tijelo ima os simetrije, onda težište leži na ovoj osi. Težište uniformnog tijela okretanja leži na osi rotacije.

1.3 Ako homogeno tijelo ima dvije ose simetrije, onda je težište u tački njihovog preseka.

2. Metoda cijepanja: Tijelo se cijepa na najmanji broj dijelova, čije su sile gravitacije i položaj centara gravitacije poznati.

3. Metoda negativnih masa: Prilikom određivanja težišta tijela sa slobodnim šupljinama treba koristiti metodu pregrađivanja, ali masu slobodnih šupljina treba smatrati negativnom.

Koordinate težišta ravne figure:

Položaji težišta jednostavnih geometrijskih figura mogu se izračunati pomoću poznatih formula. (Slika 1.13)

Bilješka: Težište simetrije figure je na osi simetrije.

Težište šipke je na sredini visine.

1.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Teret je okačen na šipku i u ravnoteži. Odredite napore u štapu. (slika 1.2.1)

Rješenje:

Sile koje nastaju u šipkama za pričvršćivanje jednake su po veličini silama s kojima šipke podržavaju opterećenje. (5. aksiom)

Određujemo moguće smjerove reakcija veza "krutih štapova".

Sile su usmjerene duž štapova.

Slika 1.2.1.

Oslobodimo tačku A od veza, zamjenjujući djelovanje veza njihovim reakcijama. (Slika 1.2.2)

Konstrukciju sa poznatom silom započinjemo crtanjem vektoraFu nekom obimu.

Od kraja vektoraFpovući linije paralelne reakcijamaR 1 iR 2 .

Slika 1.2.2

Ukrštanje linija stvara trokut. (Slika 1.2.3.). Poznavajući skalu konstrukcija i mjerenjem dužine stranica trokuta, moguće je odrediti veličinu reakcija u štapovima.

Za preciznije proračune možete koristiti geometrijske odnose, posebno teoremu o sinusima: omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog ugla je konstantna vrijednost

za ovaj slučaj:

Slika 1.2.3

komentar: Ako se smjer vektora (reakcija veze) na datoj shemi i u trokutu sila ne poklapa, onda reakcija na shemi treba biti usmjerena u suprotnom smjeru.

Primjer 2: Odredite analitički veličinu i smjer rezultujućeg ravnog sistema sila koje se konvergiraju.

Rješenje:

Slika 1.2.4

1. Odrediti projekciju svih sila sistema na Ox (slika 1.2.4)

Algebarskim dodavanjem projekcija dobijamo projekciju rezultante na Ox osu.

Znak označava da je rezultanta usmjerena ulijevo.

2. Odrediti projekciju svih sila na osu Oy:

Algebarskim dodavanjem projekcija dobijamo projekciju rezultante na osu Oy.

Znak označava da je rezultanta usmjerena prema dolje.

3. Odredite modul rezultante vrijednostima projekcija:

4. Odrediti vrijednost ugla rezultante sa Ox osom:

i vrijednost ugla sa Oy osom:

Primjer 3: Izračunajte zbir momenata sila u odnosu na tačku O (slika 1.2.6).

OA= AB= VD = DE = CB = 2m

Slika 1.2.6

Rješenje:

1. Moment sile u odnosu na tačku numerički je jednak proizvodu modula i ramena sile.

2. Moment sile je jednak nuli ako linija djelovanja sile prolazi kroz tačku.

Primjer 4: Odredite položaj težišta figure prikazane na slici 1.2.7

Rješenje:

Podijelili smo cifru na tri:

1-pravougaonik

A 1 = 10 * 20 = 200 cm 2

2-trougao

A 2 = 1/2 * 10 * 15 = 75 cm 2

3-krug

A 3 =3,14*3 2 = 28,3 cm 2

CG na slici 1: x 1 = 10 cm, y 1 = 5cm

CG na slici 2: x 2 = 20 + 1/3 * 15 = 25 cm, y 2 = 1/3 * 10 = 3,3 cm

CG na slici 3: x 3 = 10 cm, y 3 = 5cm

Slično, y With = 4,5 cm

Kinematika: osnovni pojmovi.

Osnovni kinematički parametri

Putanja - linija ocrtana materijalnom tačkom pri kretanju u prostoru. Putanja može biti ravna i zakrivljena, ravna i prostorna.

Jednačina putanje za kretanje u ravnini: y =f ( x)

Prijeđena udaljenost. Putanja se mjeri duž putanje u smjeru vožnje. Oznaka -S, mjerne jedinice - metri.

Jednačina kretanja tačke Je jednačina koja određuje položaj pokretne tačke kao funkciju vremena.

Slika 2.1

Položaj tačke u svakom trenutku vremena može se odrediti razdaljinom koja se prijeđe duž putanje od neke fiksne tačke, koja se smatra ishodištem (slika 2.1). Ovaj način postavljanja kretanja se zoveprirodno ... Dakle, jednačina kretanja se može predstaviti kao S = f (t).

Slika 2.2

Položaj tačke se takođe može odrediti ako su njene koordinate poznate kao funkcija vremena (slika 2.2). Zatim, u slučaju kretanja po ravni, moraju se dati dvije jednačine:

U slučaju prostornog kretanja dodaje se i treća koordinataz= f 3 ( t)

Ovaj način specificiranja kretanja se zovekoordinata .

Brzina putovanja Je vektorska veličina koja u ovom trenutku karakterizira brzinu i smjer kretanja duž putanje.

Brzina je vektor u svakom trenutku usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru smjera kretanja (slika 2.3).

Slika 2.3

Ako tačka prijeđe jednake udaljenosti u jednakim vremenskim periodima, tada se kretanje nazivauniforma .

Prosječna brzina na putu ΔSodređuje se prema:

gdjeΔS- put pređen u vremenu Δt; Δ t- vremenski interval.

Ako tačka prelazi nejednake putanje u jednakim vremenskim intervalima, tada se kretanje nazivaneujednačen ... U ovom slučaju, brzina je promjenjiva veličina i ovisi o vremenuv= f( t)

Brzina u ovom trenutku je definisana kao

Ubrzanje tačke je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine u veličini i smjeru.

Brzina tačke kada se kreće od tačke M1 do tačke Mg menja se po veličini i pravcu. Prosječno ubrzanje u ovom vremenskom periodu

Ubrzanje trenutno:

Obično se radi praktičnosti razmatraju dvije međusobno okomite komponente ubrzanja: normalna i tangencijalna (slika 2.4)

Normalno ubrzanje a n , karakterizira promjenu brzine duž

smjer i definira se kao

Normalno ubrzanje je uvijek okomito na brzinu prema centru luka.

Slika 2.4

Tangencijalno ubrzanje a t , karakterizira promjenu brzine u veličini i uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju; pri ubrzanju njegov smjer se poklapa sa smjerom brzine, a pri usporavanju je usmjeren suprotno od smjera vektora brzine.

Vrijednost punog ubrzanja je definirana kao:

Analiza tipova i kinematičkih parametara kretanja

Ujednačeno kretanje - ovo kretanje konstantnom brzinom:

Za ravno, ravnomjerno kretanje:

Za zakrivljeno, ujednačeno kretanje:

Zakon ravnomernog kretanja :

Ekvivalentno kretanje – ovo je kretanje sa konstantnim tangencijalnim ubrzanjem:

Za pravolinijsko jednako kretanje

Za krivolinijsko kretanje jednake varijable:

Zakon jednakog kretanja:

Kinematički grafovi

Kinematički grafovi - ovo su grafikoni promjena putanje, brzine i ubrzanja u odnosu na vrijeme.

Ujednačeno kretanje (slika 2.5)

Slika 2.5

Ekvivalentno kretanje (slika 2.6)

Slika 2.6

Najjednostavniji pokreti krutog tijela

Translacioni pokret naziva se kretanje krutog tijela, u kojem svaka prava linija na tijelu tokom kretanja ostaje paralelna sa svojim početnim položajem (slika 2.7)

Slika 2.7

U translatornom kretanju, sve tačke tijela kreću se na isti način: brzine i ubrzanja u svakom trenutku su iste.

Atrotaciono kretanje sve tačke tela opisuju kružnicu oko zajedničke nepokretne ose.

Fiksna osa oko koje se okreću sve tačke tela naziva seosa rotacije.

Samo za opisivanje rotacijskog kretanja tijela oko fiksne oseugaoni parametri. (slika 2.8)

φ - ugao rotacije tela;

ω – ugaona brzina, određuje promjenu ugla rotacije u jedinici vremena;

Promjena ugaone brzine tokom vremena određena je ugaonim ubrzanjem:

2.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Zadata je jednačina kretanja tačke. Odredite brzinu tačke na kraju treće sekunde kretanja i prosječnu brzinu za prve tri sekunde.

Rješenje:

1. Jednačina brzine

2. Brzina na kraju treće sekunde (t=3 c)

3. Prosječna brzina

Primjer 2: Prema datom zakonu kretanja odredite vrstu kretanja, početnu brzinu i tangencijalno ubrzanje tačke, vrijeme zaustavljanja.

Rješenje:

1. Vrsta kretanja: jednaka varijabla ()
2. Kada se uporede jednačine, očigledno je da

- početni put, pređen prije početka brojanja 10m;

- početna brzina 20m/s

- konstantno tangencijalno ubrzanje

- ubrzanje je negativno, dakle, kretanje je usporeno, ubrzanje je usmjereno u smjeru suprotnom brzini kretanja.

3. Možete definirati vrijeme u kojem će brzina tačke biti nula.

3.Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

Dynamics - dio teorijske mehanike, u kojem se uspostavlja veza između kretanja tijela i sila koje na njih djeluju.

Dve vrste problema se rešavaju u dinamici:

odrediti parametre kretanja za date sile;

odrediti sile koje djeluju na tijelo, prema datim kinematičkim parametrima kretanja.

Ispodmaterijalna tačka podrazumijevaju određeno tijelo koje ima određenu masu (tj. sadrži određenu količinu materije), ali nema linearne dimenzije (beskonačno mali volumen prostora).
Izolirano smatra se materijalna tačka na koju druge materijalne tačke ne utiču. U stvarnom svijetu, izolirane materijalne točke, poput izoliranih tijela, ne postoje, ovaj koncept je uslovan.

Prilikom translacionog kretanja sve tačke tela se kreću na isti način, pa se telo može uzeti kao materijalna tačka.

Ako su dimenzije tijela male u odnosu na putanju, ono se može smatrati i materijalnom tačkom, dok se tačka poklapa sa težištem tijela.

Prilikom rotacionog kretanja tijela, tačke se možda neće kretati na isti način, u ovom slučaju se neke odredbe dinamike mogu primijeniti samo na pojedinačne tačke, a materijalni objekt se može smatrati skupom materijalnih tačaka.

Stoga se dinamika dijeli na dinamiku točke i dinamiku materijalnog sistema.

Aksiomi dinamike

Prvi aksiom ( princip inercije): in Svaka izolovana materijalna tačka je u stanju mirovanja ili ravnomernog i pravolinijskog kretanja sve dok je primenjene sile ne izvedu iz ovog stanja.

Ovo stanje se zove državainercija. Uklonite tačku iz ovog stanja, tj. da joj da malo ubrzanja, može vanjska sila.

Svako tijelo (tačka) posjedujeinercija. Tjelesna masa je mjera inercije.

Po masi su pozvanikoličina supstance u zapremini tela, u klasičnoj mehanici se smatra konstantnom vrijednošću. Jedinica mjere za masu je kilogram (kg).

Drugi aksiom (Drugi Newtonov zakon je osnovni zakon dinamike)

F = ma

gdjeT - masa tačke, kg;a - ubrzanje tačke, m/s 2 .

Ubrzanje koje se materijalnoj tački daje silom proporcionalno je veličini sile i poklapa se sa smjerom sile.

Gravitacija djeluje na sva tijela na Zemlji, daje tijelu ubrzanje sile teže usmjereno prema centru Zemlje:

G = mg,

gdjeg - 9,81 m/s², ubrzanje gravitacije.

Treći aksiom (Treći Newtonov zakon): cmulje interakcije dvaju tijela jednake su veličine i usmjerene duž jedne prave linije u različitim smjerovima.

U interakciji, ubrzanja su obrnuto proporcionalna masama.

Četvrti aksiom (zakon nezavisnosti delovanja sila): toSvaka sila sistema sila djeluje onako kako bi djelovala sama.

Ubrzanje koje tački daje sistem sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja koje svaka sila daje tački posebno (slika 3.1):

Slika 3.1

Koncept trenja. Vrste trenja.

Trenje- otpor koji proizlazi iz kretanja jednog grubog tijela po površini drugog. Prilikom klizanja tijela javlja se trenje klizanja, dok se kotrljanje - trenje ljuljanja.

Trenje klizanja

Slika 3.2.

Razlog je mehaničko zahvatanje izbočina. Sila otpora kretanju tokom klizanja naziva se sila trenja klizanja (slika 3.2)

Zakoni trenja klizanja:

1. Sila trenja klizanja je direktno proporcionalna normalnoj sili pritiska:

gdjeR- sila normalnog pritiska, usmerena okomito na noseću površinu;f- koeficijent trenja klizanja.

Slika 3.3.

U slučaju kretanja tijela duž nagnute ravni (slika 3.3)

Trenje kotrljanja

Otpor kotrljanja povezan je sa međusobnom deformacijom tla i točka i značajno je manje trenje klizanja.

Za ravnomjerno kotrljanje kotača, mora se primijeniti silaF dv (Slika 3.4)

Uvjet kotrljanja točka je da moment kretanja ne smije biti manji od momenta otpora:

Slika 3.4.

Primjer 1: Primjer 2: Na dvije materijalne tačke sa masomm 1 = 2kg im 2 = 5 kg, primjenjuju se iste sile. Brže uporedite vrijednosti.

Rješenje:

Prema trećem aksiomu, dinamika ubrzanja je obrnuto proporcionalna masama:

Primjer 3: Odrediti rad gravitacije pri pomicanju tereta od tačke A do tačke C duž nagnute ravni (slika 3.7). Sila gravitacije tijela je 1500N. AB = 6 m, BC = 4 m. Primjer 3: Odrediti rad sile rezanja za 3 min. Brzina rotacije obratka 120 o/min, prečnik obratka 40mm, sila rezanja 1kN. (Slika 3.8)

Rješenje:

1. Rad u rotacionom kretanju:

2. Ugaona brzina 120 o/min

Slika 3.8.

3. Broj okretaja za dato vrijeme jez= 120 * 3 = 360 rev.

Ugao rotacije za to vrijeme je φ = 2πz= 2 * 3,14 * 360 = 2261rad

4. Radite u 3 okreta:W= 1 * 0,02 * 2261 = 45,2 kJ

Bibliografija

Olofinskaya, V.P. "Tehnička mehanika", Moskva "Forum" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Teorijska mehanika. Otpornost materijala.- Rn-D; Feniks, 2010

Teorijska mehanika- ovo je dio mehanike, koji postavlja osnovne zakone mehaničkog kretanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je nauka u kojoj se proučavaju kretanja tijela tokom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, otpora materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i mašina, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehanički pokret- ovo je promjena tokom vremena u relativnom položaju materijalnih tijela u prostoru.

Mehanička interakcija- to je takva interakcija zbog koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika- ovo je dio teorijske mehanike, koji se bavi problemima ravnoteže krutih tijela i transformacije jednog sistema sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike
• Apsolutno solidno(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, rastojanje između bilo koje tačke u kojem se ne mijenja.
• Materijalna tačka To je tijelo čije se dimenzije, prema uslovima problema, mogu zanemariti.
• Slobodno tijelo Je tijelo čije kretanje nije podložno ikakvim ograničenjima.
• Neslobodno (vezano) tijelo Je li tijelo sa ograničenjima nametnutih njegovom kretanju.
• Veze- to su tijela koja sprečavaju kretanje predmeta koji se razmatra (tijela ili sistema tijela).
• Komunikacijska reakcija To je sila koja karakterizira učinak veze na kruto tijelo. Ako silu kojom kruto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju, sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze se primjenjuje na čvrstu supstancu.
• Mehanički sistem Je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih tačaka.
• Solid može se posmatrati kao mehanički sistem čiji se položaj i rastojanje između tačaka ne menjaju.
• Snaga Vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
  Silu kao vektor karakterizira tačka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica mjere za modul sile je Njutn.
• Linija prisilne akcije Je prava linija duž koje je usmjeren vektor sile.
• Koncentrisana snaga- sila primijenjena u jednoj tački.
• Raspodijeljene sile (distribuirano opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve tačke volumena, površine ili dužine tijela.
  Raspodijeljeno opterećenje je postavljeno silom koja djeluje na jedinicu volumena (površinu, dužinu).
  Dimenzija raspoređenog opterećenja je N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Spoljna sila Je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada razmatranom mehaničkom sistemu.
• Unutrašnja snaga Je sila koja djeluje na materijalnu tačku mehaničkog sistema iz druge materijalne tačke koja pripada sistemu koji se razmatra.
• Sistem sile To je skup sila koje djeluju na mehanički sistem.
• Ravni sistem sila To je sistem sila čije linije djelovanja leže u istoj ravni.
• Prostorni sistem snaga To je sistem sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravni.
• Sistem konvergirajućih sila To je sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački.
• Proizvoljni sistem sila To je sistem sila čije se linije djelovanja ne seku u jednoj tački.
• Ekvivalentni sistemi sila- to su sistemi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
  Prihvaćena oznaka:.
• Equilibrium- ovo je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se ravnomjerno kreće pravolinijski.
• Uravnotežen sistem snaga To je sistem sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja svoje mehaničko stanje (ne debalansira).
  .
• Rezultirajuća sila To je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sistema sila.
  .
• Trenutak snage Je vrijednost koja karakterizira sposobnost rotacije sile.
• Par sila Sistem od dvije paralelne, jednake po veličini, suprotno usmjerene sile.
  Prihvaćena oznaka:.
  Pod dejstvom para sila, telo će se rotirati.
• Projekcija sile osovine Je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
  Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa sa pozitivnim smjerom ose.
• Projekcija sile na ravan Je vektor na ravni, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravan.
• Zakon 1 (zakon inercije). Izolovana materijalna tačka miruje ili se kreće ravnomjerno i pravolinijski.
  Ujednačeno i pravolinijsko kretanje materijalne tačke je kretanje po inerciji. Stanje ravnoteže između materijalne tačke i krutog tela ne shvata se samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste inercijalnog kretanja, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne ose.
• Zakon 2.Čvrsto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dvije sile samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke linije djelovanja.
  Ove dvije sile se nazivaju balansne sile.
  Općenito, sile se nazivaju balansirajućim ako kruto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
• Zakon 3. Bez narušavanja stanja (reč "stanje" ovde znači stanje kretanja ili mirovanja) krutog tela, može se dodavati i ispuštati sile protivteža.
  Posljedica. Bez narušavanja stanja krutog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju tačku u tijelu.
  Dva sistema sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja krutog tijela.
• Zakon 4. Rezultanta dvije sile primijenjene u jednoj tački, primijenjene u istoj tački, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma izgrađenog na tim silama i usmjerena je duž ove
  dijagonale.
  Modul rezultante je jednak:
  
• Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije)... Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž jedne prave linije.
  Treba to imati na umu akcija- sila primijenjena na tijelo B, i kontraakcija- sila primijenjena na tijelo A nisu izbalansirani, jer su vezani za različita tijela.
• Zakon 6 (zakon otvrdnjavanja)... Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se očvrsne.
  Ne treba zaboraviti da su uslovi ravnoteže, koji su neophodni i dovoljni za čvrsto telo, neophodni, ali ne i dovoljni za odgovarajuće nečvrsto telo.
• Zakon 7 (zakon oslobađanja od veza). Neslobodno kruto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije
• Glatka površina ograničava kretanje duž normale na površinu oslonca. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
• Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela duž normale na referentnu ravan. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.
• Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravni okomitoj na os rotacije.
• Zglobni bestežinski štap suprotstavlja se kretanju tijela duž linije šipke. Reakcija će biti usmjerena duž linije šipke.
• Slijepi prekid sprečava svako kretanje i rotaciju u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila sa momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike, koji ispituje opšta geometrijska svojstva mehaničkog kretanja, kao procesa koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti se smatraju geometrijskim tačkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike
• Zakon gibanja tačke (tijela) Je zavisnost položaja tačke (tijela) u prostoru o vremenu.
• Putanja tačke Je geometrijski položaj tačke u prostoru tokom njenog kretanja.
• Brzina tačke (tela).- Ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja tačke (tijela) u prostoru.
• Ubrzanje u tački (tijelo).- Ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine tačke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika tačke
• Putanja tačke
  U vektorskom referentnom okviru, putanja je opisana izrazom:.
  U referentnom koordinatnom sistemu putanja je određena prema zakonu kretanja tačke i opisana je izrazima z = f (x, y)- u svemiru, ili y = f (x)- u avionu.
  U prirodnom referentnom okviru, putanja je unaprijed određena.
• Određivanje brzine tačke u vektorskom koordinatnom sistemu
  Kada se specificira kretanje tačke u vektorskom koordinatnom sistemu, odnos kretanja i vremenskog intervala naziva se prosečna vrednost brzine u ovom vremenskom intervalu:.
  Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, vrijednost brzine se dobija u datom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
  Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja tačke, vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
  zaključak: brzina tačke je vektorska veličina jednaka izvodu zakona kretanja u odnosu na vrijeme.
  Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
• Određivanje brzine tačke u koordinatnom sistemu
  Stope promjene koordinata tačaka:
  .
  Modul pune brzine tačke sa pravougaonim koordinatnim sistemom biće jednak:
  .
  Smjer vektora brzine određen je kosinusima uglova smjera:
  ,
  gdje su uglovi između vektora brzine i koordinatnih osa.
• Određivanje brzine tačke u prirodnom referentnom okviru
  Brzina tačke u prirodnom referentnom okviru određuje se kao derivat zakona kretanja tačke:.
  Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela
• U kinematici čvrstih tijela rješavaju se dva glavna zadatka:
  1) zadatak kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tela u celini;
  2) određivanje kinematičkih karakteristika tačaka tela.
• Translacijsko kretanje krutog tijela
  Translacijsko kretanje je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna sa svojim prvobitnim položajem.
  Teorema: tokom translacionog kretanja, sve tačke tela kreću se po istim putanjama i u svakom trenutku imaju istu brzinu i ubrzanje po veličini i pravcu.
  zaključak: translacijsko kretanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.
• Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose
  Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je kretanje krutog tijela u kojem dvije tačke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.
  Položaj tijela je određen uglom rotacije. Jedinica za ugao je radijani. (Radijan je centralni ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku, ukupni ugao kružnice sadrži 2π radijani.)
  Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose.
  Ugaona brzina i kutno ubrzanje tijela određuju se metodom diferencijacije:
  - ugaona brzina, rad/s;
  - ugaono ubrzanje, rad/s².
  Ako sečete tijelo ravninom okomitom na os, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M onda pokažite Mće opisati oko tačke WITH radijus kruga R... Tokom dt dolazi do elementarne rotacije kroz ugao, dok se tačka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
  Modul linearne brzine:
  .
  Ubrzanje tačke M sa poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
  ,
  gdje .
  Kao rezultat, dobijamo formule
  tangencijalno ubrzanje: ;
  normalno ubrzanje: .

Dynamics

Dynamics- Ovo je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela u zavisnosti od razloga koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike
• Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
• Težina To je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mjere za masu je kilogram (kg).
• Materijalna tačka Je tijelo s masom čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
• Težište mehaničkog sistema- geometrijska tačka čije su koordinate određene formulama:
  
  gdje m k, x k, y k, z k- masa i koordinate k-ta tačka mehaničkog sistema, m Je masa sistema.
  U homogenom gravitacionom polju položaj centra mase se poklapa sa položajem težišta.
• Moment inercije materijalnog tijela oko ose To je kvantitativna mjera rotacijske inercije.
  Moment inercije materijalne tačke oko ose jednak je umnošku mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke od ose:
  .
  Moment inercije sistema (tijela) oko ose jednak je aritmetičkom zbiru momenata inercije svih tačaka:
  
• Sila inercije materijalne tačke Je li vektorska veličina jednaka po veličini proizvodu mase tačke na modul ubrzanja i usmjerena suprotno od vektora ubrzanja:
• Sila inercije materijalnog tijela Da li je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tijela po modulu ubrzanja centra mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja centra mase:,
  gdje je ubrzanje centra mase tijela.
• Impuls elementarne sile Je li vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile na beskonačno mali vremenski interval dt:
  .
  Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
  .
• Elementarni rad snage Je skalar dA jednako skalarnom proi

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 32852 puta

Pdf Odaberite jezik ... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratka recenzija

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon što ste prethodno odabrali jezik

• Statika
  • Osnovni koncepti statike
  • Vrste sila
  • Aksiomi statike
  • Veze i njihove reakcije
  • Sistem konvergirajućih sila
    • Metode za određivanje rezultantnog sistema konvergentnih sila
    • Uslovi ravnoteže za sistem konvergentnih sila
  • Moment sile u odnosu na centar kao vektor
    • Algebarska veličina momenta sile
    • Svojstva momenta sile oko centra (tačke)
  • Teorija parova sila
    • Sabiranje dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru
    • Sabiranje dvije paralelne sile usmjerene u suprotnim smjerovima
    • Parovi snaga
    • Teoreme o paru sila
    • Uslovi ravnoteže za sistem parova sila
  • Ruka poluge
  • Proizvoljni ravni sistem sila
    • Slučajevi svođenja ravnog sistema sila na jednostavniji oblik
    • Uslovi analitičke ravnoteže
  • Centar paralelnih snaga. Centar gravitacije
    • Centar paralelnih snaga
    • Težište krutog tijela i njegove koordinate
    • Težište zapremine, ravni i prave
    • Metode za određivanje položaja centra gravitacije
• Osnove proračuna čvrstoće
  • Zadaci i metode čvrstoće materijala
  • Klasifikacija opterećenja
  • Klasifikacija konstruktivnih elemenata
  • Deformacije šipki
  • Osnovne hipoteze i principi
  • Unutrašnje snage. Metoda preseka
  • voltaža
  • Istezanje i stezanje
  • Mehaničke karakteristike materijala
  • Dozvoljeni naponi
  • Tvrdoća materijala
  • Dijagrami uzdužnih sila i napona
  • Shift
  • Geometrijske karakteristike presjeka
  • Torzija
  • Bend
    • Diferencijalna ograničenja savijanja
    • Čvrstoća na savijanje
    • Normalni naponi. Proračun snage
    • Naponi na smicanje savijanja
    • Krutost pri savijanju
  • Elementi opće teorije naponskog stanja
  • Teorije snage
  • Torziona krivina
• Kinematika
  • Kinematika tačke
    • Putanja tačke
    • Metode za određivanje kretanja tačke
    • Tačkasta brzina
    • Ubrzanje tačke
  • Kinematika krutog tijela
    • Translacijsko kretanje krutog tijela
    • Rotacijsko kretanje krutog tijela
    • Kinematika zupčanika
    • Ravnoparalelno kretanje krutog tijela
  • Složeno kretanje tačke
• Dynamics
  • Osnovni zakoni dinamike
  • Dinamika tačke
    • Diferencijalne jednadžbe slobodne materijalne tačke
    • Dva problema dinamike tačke
  • Dinamika krutog tijela
    • Klasifikacija sila koje djeluju na mehanički sistem
    • Diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema
  • Opće teoreme dinamike
    • Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema
    • Teorema promjene momenta
    • Teorema o promjeni ugaonog momenta
    • Teorema o promjeni kinetičke energije
• Sile koje djeluju u mašinama
  • Sile u zahvatu cilindričnog zupčanika
  • Trenje u mehanizmima i mašinama
    • Trenje klizanja
    • Trenje kotrljanja
  • Efikasnost
• Mašinski dijelovi
  • Mehanički prijenos
    • Vrste mehaničkih transmisija
    • Osnovni i izvedeni parametri mehaničkih transmisija
    • Zupčanik
    • Fleksibilni prijenos veze
  • Osovine
    • Svrha i klasifikacija
    • Proračun dizajna
    • Provjerite proračun osovina
  • Ležajevi
    • Klizni ležajevi
    • Kotrljajni ležajevi
  • Povezivanje dijelova mašine
    • Vrste rastavljivih i jednodijelnih priključaka
    • Veze sa ključem
• Standardizacija normi, zamjenjivost
  • Tolerancije i slijetanja
  • Jedinstveni sistem tolerancije i sletanja (ESDP)
  • Geometrijska tolerancija i položaj

Format: pdf

Veličina: 4MB

ruski jezik

Primjer izračunavanja cilindričnog zupčanika
Primjer izračunavanja cilindričnog zupčanika. Izvršen je izbor materijala, proračun dopuštenih napona, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami posmičnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U zadatku se analizira konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti, provedena je komparativna analiza različitih poprečnih presjeka grede.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je provjeriti čvrstoću čelične osovine za dati promjer, materijal i dopuštena naprezanja. U toku rješavanja iscrtavaju se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova torzije. Sopstvena težina osovine se ne uzima u obzir.

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije šipke
Zadatak je provjeriti čvrstoću čelične šipke pri zadanom dopuštenom naprezanju. U toku rješenja crtaju se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir.

Primjena teoreme o očuvanju kinetičke energije
Primjer rješavanja zadatka o primjeni teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema

Određivanje brzine i ubrzanja tačke prema datim jednačinama kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzine i ubrzanja tačke prema datim jednačinama kretanja

Određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja
Primjer rješavanja problema određivanja brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela pri ravnoparalelnom kretanju

Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke Ritterovom metodom i metodom rezanja čvorova

Podijelite članak sa svojim prijateljima:

Slični članci

• 

  Knedle od Choux tijesta sa višnjama
• 

  Lisnato pecivo sa kremom od putera
• 

  Prsa sa pečurkama i sirom u rerni recept sa fotografijom