Riešenie goniometrických rovníc. Najjednoduchšie goniometrické rovnice Tangenta sa rovná 1 rovnici
Raz som bol svedkom rozhovoru dvoch žiadateľov:
– Kedy by ste mali pridať 2πn a kedy by ste mali pridať πn? Len si nepamätám!
– A ja mám ten istý problém.
Chcel som im len povedať: "Nemusíte sa učiť naspamäť, ale rozumieť!"
Tento článok je určený predovšetkým študentom stredných škôl a dúfam, že im pomôže vyriešiť najjednoduchšie trigonometrické rovnice s „porozumením“:
Číselný kruh
Spolu s pojmom číselná os existuje aj pojem číselný kruh. Ako vieme v pravouhlom súradnicovom systéme sa kružnica so stredom v bode (0;0) a polomerom 1 nazýva jednotková kružnica. Predstavme si číselnú os ako tenkú niť a navinieme ju okolo tejto kružnice: počiatok (bod 0) pripevníme k „správnemu“ bodu jednotkovej kružnice, kladnú poloos obtočíme proti smeru hodinových ručičiek a zápornú polos -osi v smere (obr. 1). Takýto jednotkový kruh sa nazýva číselný kruh.
Vlastnosti číselného kruhu
- Každé reálne číslo leží v jednom bode číselného kruhu.
- V každom bode číselného kruhu je nekonečný počet reálnych čísel. Keďže dĺžka jednotkovej kružnice je 2π, rozdiel medzi ľubovoľnými dvoma číslami v jednom bode kruhu sa rovná jednému z čísel ±2π; ±4π ; ±6π ; ...
Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel bodu A, môžeme nájsť všetky čísla bodu A.
Nakreslíme si priemer AC (obr. 2). Keďže x_0 je jedno z čísel bodu A, potom čísla x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... a iba oni budú čísla bodu C. Vyberme si jedno z týchto čísel, povedzme x_0+π, a pomocou neho zapíšme všetky čísla bodu C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Všimnite si, že čísla v bodoch A a C možno spojiť do jedného vzorca: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pre k = 0; ±2; ±4; ... získame čísla bod A a pre k = ±1 … – čísla bodu C);
Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo C priemeru AC, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch.
- Dve protiľahlé čísla sú umiestnené v bodoch kruhu, ktoré sú symetrické vzhľadom na os x.
Nakreslíme zvislú tetivu AB (obr. 2). Keďže body A a B sú symetrické okolo osi Ox, číslo -x_0 sa nachádza v bode B, a preto sú všetky čísla bodu B dané vzorcom: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Čísla v bodoch A a B zapíšeme pomocou jedného vzorca: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo B zvislej tetivy AB, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch. Uvažujme vodorovnú tetivu AD a nájdime čísla bodu D (obr. 2). Keďže BD je priemer a číslo -x_0 patrí bodu B, potom -x_0 + π je jedno z čísel bodu D a teda všetky čísla tohto bodu sú dané vzorcom x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Čísla v bodoch A a D možno zapísať pomocou jedného vzorca: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pre k= 0; ±2; ±4; … dostaneme čísla bodu A a pre k = ±1; ±3; ±5; … – čísla bodu D).
Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo D vodorovnej tetivy AD, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch.
Šestnásť hlavných bodov číselného kruhu
V praxi riešenie väčšiny najjednoduchších goniometrických rovníc zahŕňa šestnásť bodov na kružnici (obr. 3). Čo sú to za bodky? Červené, modré a zelené bodky rozdeľujú kruh na 12 rovnakých častí. Keďže dĺžka polkruhu je π, potom je dĺžka oblúka A1A2 π/2, dĺžka oblúka A1B1 je π/6 a dĺžka oblúka A1C1 je π/3.
Teraz môžeme označiť jedno číslo naraz: 
π/3 na C1 a
Vrcholy oranžového štvorca sú stredmi oblúkov každej štvrtiny, preto sa dĺžka oblúka A1D1 rovná π/4 a teda π/4 je jedno z čísel bodu D1. Pomocou vlastností číselného kruhu môžeme pomocou vzorcov zapísať všetky čísla na všetkých vyznačených bodoch nášho kruhu. Súradnice týchto bodov sú vyznačené aj na obrázku (popis ich získavania vynecháme).
Po zvládnutí vyššie uvedeného máme teraz dostatočnú prípravu na riešenie špeciálnych prípadov (pre deväť hodnôt čísla a) najjednoduchšie rovnice.
Riešte rovnice
1)sinx=1⁄(2).
– Čo sa od nás vyžaduje?
– Nájdite všetky čísla x, ktorých sínus sa rovná 1/2.
Pripomeňme si definíciu sínusu: sinx – ordináta bodu na číselnom kruhu, na ktorom sa nachádza číslo x. Na kružnici máme dva body, ktorých súradnica sa rovná 1/2. Toto sú konce horizontálnej tetivy B1B2. To znamená, že požiadavka „vyriešiť rovnicu sinx=1⁄2“ je ekvivalentná požiadavke „nájdi všetky čísla v bode B1 a všetky čísla v bode B2“.
2)sinx=-√3⁄2 .
Musíme nájsť všetky čísla v bodoch C4 a C3.
3) sinx=1. Na kružnici máme iba jeden bod s 1 súradnicou - bod A2, a preto potrebujeme nájsť iba všetky čísla tohto bodu.
Odpoveď: x=π/2+2πk, k∈Z.
4)sinx=-1 .
Iba bod A_4 má ordinátu -1. Všetky čísla tohto bodu budú koňmi rovnice.
Odpoveď: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
Na kružnici máme dva body so súradnicou 0 - body A1 a A3. Čísla môžete označiť v každom z bodov samostatne, ale vzhľadom na to, že tieto body sú diametrálne odlišné, je lepšie ich spojiť do jedného vzorca: x=πk,k∈Z.
Odpoveď: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Pripomeňme si definíciu kosínusu: cosx je úsečka bodu na číselnom kruhu, na ktorom sa nachádza číslo x. Na kružnici máme dva body s úsečkou √2⁄2 - konce vodorovnej tetivy D1D4. Musíme nájsť všetky čísla v týchto bodoch. Zapíšme si ich a spojme ich do jedného vzorca.
Odpoveď: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Potrebujeme nájsť čísla v bodoch C_2 a C_3.
Odpoveď: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Iba body A2 a A4 majú súradnicu 0, čo znamená, že všetky čísla v každom z týchto bodov budú riešením rovnice. 
.
Riešením rovnice sústavy sú čísla v bodoch B_3 a B_4 k nerovnosti cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odpoveď: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Všimnite si, že pre akúkoľvek prípustnú hodnotu x je druhý faktor kladný, a preto je rovnica ekvivalentná systému
Riešením systémovej rovnice je počet bodov D_2 a D_3. Čísla bodu D_2 nespĺňajú nerovnosť sinx≤0,5, ale čísla bodu D_3 áno.
blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.
Hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc sú: redukcia rovníc na najjednoduchšie (pomocou goniometrických vzorcov), zavádzanie nových premenných a faktoring. Pozrime sa na ich použitie s príkladmi. Venujte pozornosť formátu zápisu riešení goniometrických rovníc.
Nevyhnutnou podmienkou úspešného riešenia goniometrických rovníc je znalosť goniometrických vzorcov (téma 13 práce 6).
Príklady.
1. Rovnice zredukované na najjednoduchšie.
1) Vyriešte rovnicu
Riešenie:
odpoveď:
2) Nájdite korene rovnice
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, patriace do segmentu.
Riešenie:
odpoveď:
2. Rovnice redukujúce na kvadratické.
1) Vyriešte rovnicu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Riešenie: Pomocou vzorca sin 2 x = 1 – cos 2 x dostaneme
odpoveď:
2) Vyriešte rovnicu cos 2x = 1 + 4 cosx.
Riešenie: Pomocou vzorca cos 2x = 2 cos 2 x – 1 dostaneme
odpoveď:
3) Vyriešte rovnicu tgx – 2ctgx + 1 = 0
Riešenie:
odpoveď:
3. Homogénne rovnice
1) Vyriešte rovnicu 2sinx – 3cosx = 0
Riešenie: Nech cosx = 0, potom 2sinx = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1. To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cosx. dostaneme
odpoveď:
2) Riešte rovnicu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Riešenie:
Použijeme vzorce 1 = sin 2 x + cos 2 x a sin 2x = 2 sinxcosx, dostaneme
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Nech cosx = 0, potom sin 2 x = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cos 2 x .
dostaneme
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označme tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
yi = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .
odpoveď: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Rovnice formulára a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Vyriešte rovnicu.
Riešenie:
odpoveď:
5. Rovnice riešené rozkladom.
1) Vyriešte rovnicu sin2x – sinx = 0.
Koreň rovnice f (X) = φ ( X) môže slúžiť iba ako číslo 0. Skontrolujte toto:
cos 0 = 0 + 1 – rovnosť je pravdivá.
Číslo 0 je jediným koreňom tejto rovnice.
odpoveď: 0.
Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému!!!
Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ďalej sa budeme zaoberať ich vzorcami.
Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.
1. Rovnica `sin x=a`.
Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.
Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.
Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Rovnica `cos x=a`
Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, nemá medzi reálnymi číslami žiadne riešenia.
Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.
Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch. 
3. Rovnica `tg x=a`
Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.
Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Rovnica `ctg x=a`
Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.
Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke
Pre sínus: 
Pre kosínus: 
Pre tangens a kotangens: 
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:
Metódy riešenia goniometrických rovníc
Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:
- s pomocou premeny na najjednoduchšie;
- vyriešiť najjednoduchšiu rovnicu získanú pomocou koreňových vzorcov a tabuliek napísaných vyššie.
Pozrime sa na hlavné metódy riešenia pomocou príkladov.
Algebraická metóda.
Táto metóda zahŕňa nahradenie premennej a jej nahradenie rovnosťou.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,
nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizácia.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.
Riešenie. Presuňme všetky členy rovnosti doľava: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a faktorizujeme ľavú stranu:
`sin x – 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcia na homogénnu rovnicu
Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu zredukovať na jednu z dvoch foriem:
`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).
Potom obe časti vydeľte `cos x \ne 0` - pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.
Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 hriech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` hriech^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedme nahradenie `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Choďte do polovice rohu
Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Riešenie. Aplikujme vzorce s dvojitým uhlom, výsledkom čoho je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Zavedenie pomocného uhla
V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, vydeľte obe strany `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.
Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich druhých mocnín je rovný 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Označme ich takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potom:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:
Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Riešenie. Vydelíme obe strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).
`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.
Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, potom berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Zlomkové racionálne goniometrické rovnice
Ide o rovnosti so zlomkami, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje goniometrické funkcie.
Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Dajme rovnítko medzi čitateľom zlomku a nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, vždy sú úlohy na Jednotnú štátnu skúšku, preto si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!
Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť ju odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.
Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Analyzovali sa všetky aktuálne úlohy časti 1 z FIPI Task Bank. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.
Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa spravidla riešia pomocou vzorcov. Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšie trigonometrické rovnice sú:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a je ľubovoľné číslo.
A tu sú vzorce, pomocou ktorých si môžete ihneď zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.
Pre sínus:
Pre kosínus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pre dotyčnicu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pre kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
V skutočnosti ide o teoretickú časť riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc. Navyše všetko!) Vôbec nič. Počet chýb v tejto téme je však jednoducho mimo tabuľky. Najmä ak sa príklad mierne odchyľuje od predlohy. prečo?
Áno, pretože veľa ľudí zapisuje tieto listy, bez toho, aby ste vôbec pochopili ich význam! Zapisuje opatrne, aby sa niečo nestalo...) Toto treba vyriešiť. Trigonometria pre ľudí, alebo ľudia pre trigonometriu, predsa!?)
Poďme na to?
Jeden uhol sa bude rovnať arccos, druhý: - arccos a.
A vždy to takto dopadne. Pre akékoľvek A.
Ak mi neveríte, ukážte myšou na obrázok alebo sa ho dotknite na tablete.) Zmenil som číslo A na niečo negatívne. Každopádne máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.
Preto môže byť odpoveď vždy napísaná ako dve série koreňov:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Spojme tieto dve série do jednej:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
A to je všetko. Získali sme všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice s kosínusom.
Ak pochopíte, že to nie je nejaká nadvedecká múdrosť, ale len skrátená verzia dvoch sérií odpovedí, Zvládnete aj úlohy „C“. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu... Tam odpoveď s plus/mínus nefunguje. Ak však s odpoveďou naložíte obchodným spôsobom a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, všetko sa vyrieši.) V skutočnosti to preto skúmame. Čo, ako a kde.
V najjednoduchšej goniometrickej rovnici
sinx = a
dostaneme aj dve série koreňov. Vždy. A tieto dve série sa dajú aj nahrať v jednom riadku. Len tento riadok bude zložitejší:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ale podstata zostáva rovnaká. Matematici jednoducho navrhli vzorec na vytvorenie jedného namiesto dvoch záznamov sérií koreňov. To je všetko!
Skontrolujeme matematikov? A nikdy nevieš...)
V predchádzajúcej lekcii sa podrobne diskutovalo o riešení (bez akýchkoľvek vzorcov) goniometrickej rovnice so sínusom:
Odpoveď viedla k dvom sériám koreňov:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ak tú istú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Vlastne je to nedokončená odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpoveď by bola:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
To vyvoláva zaujímavú otázku. Odpovedať cez x 1; x 2 (toto je správna odpoveď!) a cez osamelý X (a toto je správna odpoveď!) - sú to isté alebo nie? Teraz to zistíme.)
V odpovedi nahrádzame s x 1 hodnoty n =0; 1; 2; atď., počítame, dostaneme rad koreňov:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 a tak ďalej.
S rovnakým striedaním v reakcii s x 2 , dostaneme:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 a tak ďalej.
Teraz nahraďme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do všeobecného vzorca pre single X . To znamená, že zvýšime mínus jedna na nulovú mocninu, potom na prvú, druhú atď. No, samozrejme, do druhého člena dosadíme 0; 1; 2 3; 4 atď. A počítame. Dostávame sériu:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak ďalej.
To je všetko, čo môžete vidieť.) Všeobecný vzorec nám dáva presne tie isté výsledky rovnako ako obe odpovede oddelene. Proste všetko naraz, v poriadku. Matematici sa nenechali oklamať.)
Kontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie goniometrických rovníc s dotyčnicou a kotangensom. Ale nebudeme.) Už sú jednoduché.
Všetky tieto náhrady a kontroly som napísal konkrétne. Tu je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych goniometrických rovníc, len krátke zhrnutie odpovedí. Pre túto stručnosť sme museli vložiť plus/mínus do kosínusového riešenia a (-1) n do sínusového riešenia.
Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, kde si stačí zapísať odpoveď na elementárnu rovnicu. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť alebo potom musíte urobiť niečo s odpoveďou: vybrať korene na intervale, skontrolovať ODZ atď., Tieto vloženia môžu človeka ľahko znepokojiť.
Čo mám teda robiť? Áno, odpoveď buď napíšte v dvoch sériách, alebo rovnicu/nerovnicu vyriešte pomocou trigonometrického kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa stane ľahším.)
Môžeme zhrnúť.
Na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc existujú hotové vzorce odpovedí. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité zapísanie riešenia rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:
sinx = 0,3
jednoducho: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Žiadny problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
jednoducho: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Zostal jeden: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ak žiarite vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
potom už svietiš, toto... tamto... z kaluže.) Správna odpoveď: neexistujú žiadne riešenia. nerozumieš prečo? Prečítajte si, čo je oblúkový kosínus. Okrem toho, ak sú na pravej strane pôvodnej rovnice tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 atď. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť prevedené na radiány.
A ak narazíte na nerovnosť, ako
potom je odpoveď:
x πn, n ∈ Z
existuje vzácny nezmysel, áno...) Tu musíte vyriešiť pomocou trigonometrického kruhu. Čo budeme robiť v príslušnej téme.
Pre tých, ktorí hrdinsky čítajú tieto riadky. Jednoducho nemôžem oceniť vaše titanské úsilie. Bonus pre vás.)
Bonus:
Pri zapisovaní vzorcov v alarmujúcej bojovej situácii sa aj ostrieľaní nerdi často zamotajú, kde πn, a kde 2π n. Tu je pre vás jednoduchý trik. In všetci vzorce v hodnote πn. Okrem jedinej formuly s oblúkovým kosínusom. Stojí tam 2πn. Dvaja peen. Kľúčové slovo - dve. V tomto istom vzorci sú dve podpísať na začiatku. Plus a mínus. A tam a tam - dve.
Ak si teda napísal dve znamenie pred arc cosínusom, je ľahšie zapamätať si, čo sa stane na konci dve peen. A deje sa to aj naopak. Osobe bude chýbať znamenie ± , dostane sa na koniec, píše správne dve Pien a príde k rozumu. Niečo je pred nami dve podpísať! Osoba sa vráti na začiatok a opraví chybu! Takto.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
