Tečaj predavanj iz teoretične mehanike za tehnične šole. Predavanje tehnična mehanika

1 diapozitiv

Tečaj predavanj teoretična mehanika Dinamika (I del) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronski tečaj je bil napisan na podlagi avtorjevih predavanj za študente, ki so študirali na specialnostih SZD, PGS in SDM na NIIZhT in MIIT (1974-2006). Učno gradivo ustreza koledarskim načrtom v obsegu treh semestrov. Za popolno implementacijo animacijskih učinkov med predstavitvijo morate uporabiti pregledovalnik Power Point, ki ni nižji od tistega, ki je vgrajen v Microsoft Office operacijskega sistema Windows-XP Professional. Pripombe in predloge lahko pošljete po e-pošti: [email protected]... Moskovska državna univerza za železniški inženiring (MIIT) Oddelek za teoretično mehaniko Znanstveno-tehnični center za prometne tehnologije

2 diapozitiv

Vsebina Predavanje 1. Uvod v dinamiko. Zakoni in aksiomi dinamike materialne točke. Osnovna enačba dinamike. Diferencialne in naravne enačbe gibanja. Dve glavni nalogi dinamike. Primeri reševanja direktnega problema dinamike Predavanje 2. Rešitev inverznega problema dinamike. Splošna navodila za reševanje inverznega problema dinamike. Primeri reševanja inverznega problema dinamike. Gibanje telesa, vrženega pod kotom proti obzorju, ne glede na zračni upor. Predavanje 3. Premočrtne nihanje materialne točke. Pogoj za nastanek vibracij. Razvrstitev vibracij. Proste vibracije brez upoštevanja upornih sil. Dušene oscilacije. Zmanjšanje nihanj. Predavanje 4. Prisilna nihanja materialne točke. Resonanca. Vpliv odpornosti proti gibanju pri prisilnih vibracijah. Predavanje 5. Relativno gibanje materialne točke. Sile vztrajnosti. Posebni primeri gibanja za različne vrste prenosnih premikov. Vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje in gibanje teles. Predavanje 6. Dinamika mehanskega sistema. Mehanski sistem. Zunanje in notranje sile. Masno središče sistema. Izrek o gibanju središča mase. Ohranjevalni zakoni. Primer reševanja problema z uporabo izreka o gibanju središča mase. Predavanje 7. Impulz moči. Količina gibanja. Izrek o spremembi količine gibanja. Ohranjevalni zakoni. Eulerjev izrek. Primer reševanja problema uporabe izreka o spreminjanju količine gibanja. Trenutek zagona. Izrek o spremembi kotne količine .. Predavanje 8. Ohranjevalni zakoni. Elementi teorije vztrajnostnih momentov. Kinetični moment togega telesa. Diferencialna enačba vrtenja togega telesa. Primer reševanja problema o uporabi izreka o spremembi kotnega momenta sistema. Osnovna teorija žiroskopa. Priporočeno branje 1. Yablonskiy A.A. Tečaj teoretične mehanike. 2. del. M .: Višja šola. 1977 368 s. 2. Meshchersky I.V. Zbirka problemov iz teoretične mehanike. M .: Znanost. 1986 416 s. 3. Zbirka nalog za seminarske naloge / Ed. A.A. Yablonski. M.: Višja šola. 1985 366 str. 4. Bondarenko A. N. »Teoretična mehanika v primerih in problemih. Dinamika ”(elektronski priročnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 diapozitiv

Predavanje 1 Dinamika je veja teoretične mehanike, ki proučuje mehansko gibanje z najbolj splošnega vidika. Gibanje se obravnava v povezavi s silami, ki delujejo na predmet. Odsek je sestavljen iz treh sklopov: Dinamika materialne točke Dinamika mehanskega sistema Analitična mehanika ■ Dinamika točke - preučuje gibanje materialne točke ob upoštevanju sil, ki to gibanje povzročajo. Glavni predmet je materialna točka - materialno telo z maso, katere dimenzije lahko zanemarimo. Osnovne predpostavke: - obstaja absolutni prostor (ima čisto geometrijske lastnosti, ki niso odvisne od materije in njenega gibanja. - obstaja absolutni čas (ni odvisen od materije in njenega gibanja). Iz tega sledi: - obstaja absolutno negibni referenčni okvir - čas ni odvisen od gibanja referenčnega okvira - mase gibljivih točk niso odvisne od gibanja referenčnega okvira Te predpostavke se uporabljajo v klasični mehaniki, ki sta jo ustvarila Galileo in Newton Še vedno ima dokaj široko področje uporabe, saj mehanski sistemi, ki jih obravnavamo v uporabnih znanostih, nimajo tako velikih mas in hitrosti gibanja, za kar je treba upoštevati njihov vpliv na geometrijo prostora, časa, gibanja. , kot je to storjeno v relativistični mehaniki (teoriji relativnosti) njihova dinamična interakcija Dejanja pod vplivom različnih sil. ■ Zakon vztrajnosti (Galileo-Newtonov zakon) - Izolirana materialna točka, telo ohranja stanje mirovanja ali enakomernega pravokotnega gibanja, dokler ga uporabljene sile ne prisilijo, da to stanje spremeni. To pomeni enakovrednost stanja mirovanja in gibanja po vztrajnosti (Galilejev zakon relativnosti). Referenčni okvir, v zvezi s katerim je izpolnjen zakon vztrajnosti, se imenuje inercialni. Lastnost materialne točke, da si prizadeva ohraniti hitrost svojega gibanja (svoje kinematično stanje) nespremenjeno, se imenuje vztrajnost. ■ Zakon sorazmernosti sile in pospeška (Osnovna enačba dinamike - Newtonov II zakon) - Pospešek, ki se materialni točki daje s silo, je neposredno sorazmeren s silo in obratno sorazmeren z maso te točke: ali tukaj je m masa točke (merila vztrajnosti), merjena v kg, številčno enaka teža, deljena s pospeškom zaradi gravitacije: F je delujoča sila, merjena v N (1 N daje pospešek 1 m/s2 točki z masa 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamika mehanskega sistema - preučuje gibanje niza materialnih točk in trdnih teles, združenih s splošnimi zakoni interakcije, ob upoštevanju sil, ki to gibanje povzročajo. ■ Analitična mehanika - preučuje gibanje neprostih mehanskih sistemov z uporabo splošnih analitskih metod. eno

4 diapozitiv

Predavanje 1 (nadaljevanje - 1.2) Diferencialne enačbe gibanja materialne točke: - diferencialna enačba gibanja točke v vektorski obliki. - diferencialne enačbe gibanja točke v koordinatni obliki. Ta rezultat je mogoče dobiti s formalno projekcijo vektorske diferencialne enačbe (1). Po združevanju se vektorska relacija razbije na tri skalarne enačbe: V koordinatni obliki: Uporabimo razmerje vektorja polmera s koordinatami in vektorja sile s projekcijami: ali: Pospešek točke v vektorski nastavitvi gibanja nadomestimo v osnovna enačba dinamike: Naravne enačbe gibanja materialne točke dobimo s projekcijo vektorske diferencialne enačbe gibanja na naravne (premične) koordinatne osi: ali: - naravne enačbe gibanja točke. ■ Osnovna enačba dinamike: - ustreza vektorski metodi za določanje gibanja točke. ■ Zakon neodvisnosti delovanja sil - Pospešek materialne točke pod delovanjem več sil je enak geometrijski vsoti pospeškov točke od delovanja vsake od sil posebej: ali velja zakon. za katero koli kinematsko stanje teles. Sile interakcije, ki delujejo na različne točke (telesa), niso uravnotežene. ■ Zakon enakosti delovanja in reakcije (III Newtonov zakon) - Vsakemu dejanju ustreza enaka po velikosti in nasprotno usmerjena reakcija: 2

5 diapozitiv

Dva glavna problema dinamike: 1. Neposredni problem: Gibanje je podano (enačbe gibanja, trajektorija). Potrebno je določiti sile, pod katerimi se določeno gibanje pojavi. 2. Inverzni problem: Sile, pod vplivom katerih pride do gibanja. Potrebno je najti parametre gibanja (enačbe gibanja, trajektorijo gibanja). Oba problema sta rešena z uporabo osnovne enačbe dinamike in njene projekcije na koordinatne osi. Če upoštevamo gibanje nesvobodne točke, se tako kot v statiki uporablja načelo proste vezi. Kot rezultat reakcije so vezi vključene v sestavo sil, ki delujejo na materialno točko. Rešitev prvega problema je povezana z diferenciacijskimi operacijami. Rešitev inverznega problema zahteva integracijo ustreznih diferencialnih enačb, kar je veliko težje kot diferenciacija. Inverzni problem je bolj zapleten kot neposredni problem. Oglejmo si rešitev neposrednega problema dinamike na primerih: Primer 1. Kabina dvigala z maso G je dvignjena s kablom s pospeškom a. Določite napetost kabla. 1. Izberemo predmet (kabina dvigala se premika progresivno in ga lahko obravnavamo kot materialno točko). 2. Priključek (kabel) zavržemo in zamenjamo z reakcijo R. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: Določimo reakcijo kabla: Določimo napetost kabla: Z enakomernim gibanjem kabine ay = 0 in napetost kabla je enaka teži: T = G. Ko se kabel zlomi, je T = 0 in pospešek kabine je enak pospešku teže: ay = -g. 3 4. Projicirajmo osnovno enačbo dinamike na os y: y Primer 2. Točka mase m se giblje vzdolž vodoravne površine (ravnina Oxy) po enačbah: x = a coskt, y = b coskt. Določite silo, ki deluje na točko. 1. Izberite predmet (materialno točko). 2. Povezavo (ravnino) zavržemo in jo nadomestimo z reakcijo N. 3. Sistemu sil dodamo neznano silo F. 4. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 5. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na osi x, y: Določimo projekcije sile: Modul sile: Smerni kosinus : Tako je velikost sile sorazmerna z oddaljenostjo točke od središča koordinat in je usmerjena proti središču vzdolž premice, ki povezuje točka do središča. Pot točke je elipsa s središčem v izhodišču: O r Predavanje 1 (nadaljevanje - 1.3)

6 diapozitiv

Predavanje 1 (nadaljevanje 1.4) Primer 3: Tovor z utežjo G je obešen na vrvi dolžine l in se premika po krožni poti v vodoravni ravnini z določeno hitrostjo. Kot odstopanja kabla od navpičnice je enak. Določite napetost vrvi in hitrost obremenitve. 1. Izberite predmet (tovor). 2. Priključek (kabel) zavržemo in zamenjamo z reakcijo R. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: Iz tretje enačbe določimo reakcijo kabla: Določimo napetost kabla: Nadomestimo vrednost kabelsko reakcijo, normalni pospešek v drugo enačbo in določimo hitrost obremenitve: 4. Projektiramo dinamiko osnovne enačbe na os, n, b: Primer 4: Avtomobil z maso G se giblje po konveksnem mostu (polmer ukrivljenosti je R) pri hitrosti V. Določi pritisk avtomobila na most. 1. Izberemo predmet (avto, dimenzije zanemarimo in ga obravnavamo kot točko). 2. Vez (hrapava površina) zavržemo in nadomestimo z reakcijami N in torno silo Ffr. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 4. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na os n: Od tu določimo normalno reakcijo: Določimo tlak avtomobila na mostu: Od tu lahko določimo hitrost ustreza ničelnemu tlaku na mostu (Q = 0): 4

7 diapozitiv

Predavanje 2 Po zamenjavi najdenih vrednosti konstant dobimo: Tako lahko materialna točka pod delovanjem istega sistema sil izvede cel razred gibov, določenih z začetnimi pogoji. Izhodiščne koordinate upoštevajo izvor točke. Začetna hitrost, podana s projekcijami, upošteva učinek na njegovo gibanje vzdolž obravnavanega odseka poti sil, ki delujejo na točko, preden prispejo na ta odsek, t.j. začetno kinematično stanje. Rešitev inverznega problema dinamike - V splošnem primeru so gibanje točke sile, ki deluje na točko, spremenljivke, ki so odvisne od časa, koordinat in hitrosti. Gibanje točke je opisano s sistemom treh diferencialnih enačb drugega reda: Po integraciji vsake od njih bo šest konstant C1, C2,…., C6: vrednosti konstant C1, C2,… ., C6 najdemo iz šestih začetnih pogojev pri t = 0: Primer rešitve 1 inverzni problem: Prosta materialna točka mase m se premika pod delovanjem sile F, konstantne velikosti in velikosti. ... V začetnem trenutku je bila hitrost točke v0 in je sovpadala v smeri s silo. Določite enačbo gibanja točke. 1. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 3. Znižamo vrstni red izpeljanke: 2. Izberemo kartezinski referenčni okvir, usmerimo os x vzdolž smeri sile in na to os projiciramo osnovno enačbo dinamike: ali xyz 4. Ločite spremenljivke: 5. Izračunajte integrale obeh strani enačbe : 6. Predstavite projekcijo hitrosti kot izvod koordinata glede na čas: 8. Izračunajte integrale obeh stranic enačbe enačba: 7. Ločite spremenljivke: 9. Za določitev vrednosti konstant C1 in C2 uporabimo začetne pogoje t = 0, vx = v0, x = x0: Kot rezultat dobimo enačbo enotnega gibanje (vzdolž osi x): 5

8 diapozitiv

Splošna navodila za reševanje neposrednega in inverznega problema. Postopek rešitve: 1. Sestavljanje diferencialne enačbe gibanja: 1.1. Izberite koordinatni sistem - pravokoten (fiksen) z neznano potjo gibanja, naravni (premični) z znano potjo, na primer krog ali ravna črta. V slednjem primeru se lahko uporabi ena ravna koordinata. Izhodišče poravnajte z začetnim položajem točke (pri t = 0) ali z ravnotežnim položajem točke, če obstaja, na primer, ko točka vibrira. 6 1.2. Nariši točko na položaju, ki ustreza poljubnemu trenutku v času (za t> 0), tako da so koordinate pozitivne (s> 0, x> 0). V tem primeru tudi domnevamo, da je pozitivna tudi projekcija hitrosti v tem položaju. V primeru nihanja projekcija hitrosti spremeni predznak, na primer ob vrnitvi v ravnotežni položaj. Tukaj je treba domnevati, da se v obravnavanem trenutku točka odmakne od ravnotežnega položaja. To priporočilo je pomembno v prihodnosti pri delu z upornimi silami, ki so odvisne od hitrosti. 1.3. Osvobodite materialno točko povezav, nadomestite njihovo delovanje z reakcijami, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapiši osnovni zakon dinamike v vektorski obliki, projiciraj na izbrane osi, izrazi dane ali reaktivne sile s časovnimi spremenljivkami, koordinatami ali hitrostmi, če so od njih odvisne. 2. Rešitev diferencialnih enačb: 2.1. Izvod znižajte, če enačba ni reducirana na kanonično (standardno) obliko. na primer: ali 2.2. Razdeljene spremenljivke, na primer: ali 2.4. Izračunaj nedoločene integrale na levi in desni strani enačbe, na primer: 2.3. Če so v enačbi tri spremenljivke, spremenite spremenljivke, na primer: in nato razdelite spremenljivke. Komentar. Namesto izračunavanja nedoločenih integralov lahko izračunate določene integrale s spremenljivo zgornjo mejo. Spodnje meje predstavljajo začetne vrednosti spremenljivk (začetne pogoje). Potem ni potrebna ločena določitev konstante, ki se samodejno vključi v rešitev, na primer: z uporabo začetnih pogojev, na primer t = 0 , vx = vx0, določimo konstanto integracije: 2.5. Hitrost izrazite na primer z izpeljavo koordinat v času in ponovite odstavke 2.2 - 2.4. Opomba. Če se enačba zmanjša na kanonično obliko, ki ima standardno rešitev, se uporabi ta že pripravljena rešitev. Integracijske konstante še vedno najdemo iz začetnih pogojev. Glej na primer omahovanje (predavanje 4, str. osem). 2. predavanje (nadaljevanje 2.2)

9 diapozitiv

2. predavanje (nadaljevanje 2.3) 2. primer reševanja inverznega problema: Sila je odvisna od časa. Tovor z utežjo P se začne premikati po gladki vodoravni površini pod delovanjem sile F, katere vrednost je sorazmerna s časom (F = kt). Določite razdaljo, ki jo je tovor prevozil v času t. 3. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 5. Znižamo vrstni red izpeljanke: 4. Projiciramo osnovno enačbo dinamike na os x: ali 7 6. Ločimo spremenljivke: 7. Izračunamo integrale obeh stranic enačbo: 9. Predstavimo projekcijo hitrosti kot časovno izpeljanko koordinate: 10. Izračunaj integrale obeh strani enačbe: 9. Ločimo spremenljivke: 8. Določimo vrednost konstante C1 od začetne pogoj t = 0, vx = v0 = 0: Kot rezultat dobimo enačbo gibanja (vzdolž osi x), ki poda vrednost prevožene razdalje za čas t: 1. Izberemo referenčni okvir ( kartezijeve koordinate), tako da ima telo pozitivno koordinato: 2. Predmet gibanja vzamemo kot materialno točko (telo se premika translacijsko), ga osvobodimo povezave (referenčne ravnine) in nadomestimo z reakcijo (normalna reakcija gladka površina) : 11. Določi vrednost konstante C2 iz začetnega pogoja t = 0, x = x0 = 0: 3. primer reševanja inverznega problema: Sila je odvisna od koordinate. Materialna točka mase m se vrže navzgor s površine Zemlje s hitrostjo v0. Zemljina gravitacija je obratno sorazmerna s kvadratom razdalje od točke do težišča (središče Zemlje). Določi odvisnost hitrosti od razdalje y do središča Zemlje. 1. Izberemo referenčni okvir (kartezijanske koordinate), da ima telo pozitivno koordinato: 2. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 3. Osnovno enačbo dinamike projiciramo na os y: ali Koeficient sorazmernost lahko najdemo s pomočjo teže točke na površini Zemlje: R Od tod diferencial enačbe izgleda takole: ali 4. Znižaj vrstni red odvoda: 5. Izvedi spremembo spremenljivke: 6. Loči spremenljivke: 7. Izračunaj integrale obeh strani enačbe: 8. Zamenjaj meje: Kot rezultat dobimo izraz za hitrost kot funkcijo y-koordinate: Največjo višinsko hitrost leta lahko najdemo tako, da hitrost enačimo z nič: Največja višina leta, ko imenovalec izgine: Tako se pri nastavitvi zemeljskega polmera in gravitacijskega pospeška dobi II kozmična hitrost:

10 diapozitiv

2. predavanje (nadaljevanje 2.4) 2. primer reševanja inverzne naloge: Sila je odvisna od hitrosti. Ladja mase m je imela hitrost v0. Odpor vode proti gibanju plovila je sorazmeren s hitrostjo. Določite čas, v katerem se bo hitrost čolna po izklopu motorja zmanjšala za polovico, kot tudi razdaljo, ki jo je čoln prevozil do popolne ustavitve. 8 1. Izberemo referenčni okvir (kartezijanske koordinate), da ima telo pozitivno koordinato: 2. Predmet gibanja vzamemo kot materialno točko (ladja se premika naprej), ga osvobodimo vezi (vode) in zamenjajte ga z reakcijo (vzgonska sila - Arhimedova sila) in tudi s silo upora proti gibanju. 3. Dodajte aktivno silo (gravitacijo). 4. Sestavimo osnovno enačbo dinamike: 5. Projiciramo osnovno enačbo dinamike na os x: ali 6. Znižamo vrstni red izpeljanke: 7. Ločimo spremenljivke: 8. Izračunamo integrale obeh stranic odvoda. enačba: 9. Nadomestite meje: Dobi se izraz, ki povezuje hitrost in čas t, od koder lahko določite čas gibanja: Čas gibanja, med katerim se bo hitrost zmanjšala za polovico: Zanimivo je, da ko se hitrost približa nič, čas gibanja teži k neskončnosti, tj končna hitrost ne more biti nič. Ali ni "perpetual motion"? Vendar pa je prevožena razdalja do postajališča končna vrednost. Za določitev prevožene razdalje se obrnemo na izraz, ki ga dobimo po znižanju vrstnega reda odvoda, in spremenimo spremenljivko: Po integraciji in zamenjavi mej dobimo: Prevožena razdalja do postajališča: ■ Gibanje točka, vržena pod kotom proti obzorju v enakomernem gravitacijskem polju brez upoštevanja zračnega upora. Odstranitev časa iz enačb gibanja dobimo enačbo trajektorije: Čas letenja se določi tako, da se koordinata y enači z ničlo: Razpon leta se določi z zamenjavo časa letenja:

11 diapozitiv

Predavanje 3 Premočrtno nihanje materialne točke - Nihanje materialne točke se pojavi pod pogojem: obstaja obnovitvena sila, ki teži k vrnitvi točke v ravnotežni položaj za kakršno koli odstopanje od tega položaja. 9 Obstaja obnovitvena sila, ravnotežni položaj je stabilen. Ni obnovitvene sile, ravnotežni položaj je nestabilen. Ni obnovitvene sile, ravnotežni položaj je indiferenten. Vedno je usmerjena v ravnotežni položaj, vrednost je premosorazmerna z linearnim raztezkom (skrajšanjem) vzmeti, enaka odstopanju telesa od ravnotežnega položaja: c je koeficient togosti vzmeti, številčno enak sili pod katerim vzmet spremeni svojo dolžino za eno, merjeno v N / m v sistemu SI. x y O Vrste tresljajev materialne točke: 1. Proste vibracije (brez upoštevanja upora medija). 2. Proste vibracije ob upoštevanju odpornosti medija (dušene vibracije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne vibracije ob upoštevanju odpornosti medija. ■ Proste vibracije - nastanejo pod vplivom samo obnovitvene sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Izberimo koordinatni sistem s središčem v ravnotežnem položaju (točka O) in projiciramo enačbo na os x: Zmanjšajmo dobljeno enačbo na standardno (kanonično) obliko: Ta enačba je homogena linearna diferencialna enačba drugega reda, katere oblika rešitve je določena s koreninami karakteristike enačbe, pridobljene z univerzalno substitucijo: Korenine karakteristične enačbe so imaginarne in enake: Splošna rešitev diferencialne enačbe ima obliko: Točkovna hitrost: Začetni pogoji: Določite konstante: Torej ima enačba prostih nihanj obliko: Enačbo lahko predstavimo z enočlenskim izrazom: - začetna faza. Novi konstanti a in - sta povezani s konstantama C1 in C2 z razmerji: Določimo a in: Vzrok za nastanek prostih nihanj je začetni premik x0 in/ali začetna hitrost v0.

12 diapozitiv

10 Predavanje 3 (nadaljevanje 3.2) Dušeno nihanje materialne točke - Oscilatorno gibanje materialne točke se pojavi ob prisotnosti obnovitvene sile in sile upora proti gibanju. Odvisnost sile upora proti gibanju od premika ali hitrosti je določena s fizično naravo medija ali povezave, ki preprečuje gibanje. Najenostavnejša odvisnost je linearna odvisnost od hitrosti (viskozni upor): - koeficient viskoznosti xy O Osnovna enačba dinamike: Projekcija enačbe dinamike na os: Enačbo privedemo v standardno obliko: kjer ima karakteristična enačba korenine. : Splošna rešitev te diferencialne enačbe ima drugačno obliko, odvisno od vrednosti korenov: 1.n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - primer visoke viskozne odpornosti: - prave korenine, razl. ali - te funkcije so aperiodične: 3. n = k: - realni večkratni koreni. te funkcije so tudi aperiodične:

13 diapozitiv

Predavanje 3 (nadaljevanje 3.3) Klasifikacija rešitev prostih nihanj. Načini povezovanja vzmeti. Enakovredna togost. y y 11 Dif. enačba Znak. enačba Korenini znak. enačbe Rešitev diferencialne enačbe Graf nk n = k

14 diapozitiv

Predavanje 4 Prisilne vibracije materialne točke - Skupaj z obnovitveno silo deluje periodično spreminjajoča se sila, imenovana moteča sila. Moteča sila je lahko drugačne narave. Na primer, v določenem primeru inercialni učinek neuravnotežene mase m1 vrtečega se rotorja povzroči harmonično spreminjajoče se projekcije sile: Osnovna enačba dinamike: Projekcija enačbe dinamike na os: Enačbo pripeljemo na standardna oblika: 12 Rešitev te nehomogene diferencialne enačbe je sestavljena iz dveh delov x = x1 + x2: x1 je splošna rešitev ustrezne homogene enačbe in x2 je posebna rešitev nehomogene enačbe: Izberemo določeno rešitev v obliki desne strani: Dobljena enakost mora biti izpolnjena za kateri koli t. Nato: ali Tako materialna točka ob hkratnem delovanju obnovitvene in moteče sile izvede kompleksno nihajno gibanje, ki je rezultat seštevanja (superpozicije) prostih (x1) in prisilnih (x2) nihanj. Če je p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilna nihanja visoke frekvence), potem je faza nihanja nasprotna fazi moteče sile:

15 diapozitiv

Predavanje 4 (nadaljevanje 4.2) 13 Dinamični koeficient je razmerje med amplitudo prisilnih tresljajev in statičnim upogibom točke pod delovanjem konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih tresljajev: Statični upogib je mogoče najti iz ravnotežna enačba: Tukaj: Zato: Tako na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvenca prisilnih tresljajev) dinamični faktor: Resonanca - nastane, ko frekvenca prisilnih tresljajev sovpada s frekvenco naravnih vibracij (p = k). Najpogosteje se to zgodi pri zagonu in zaustavitvi vrtenja slabo uravnoteženih rotorjev, pritrjenih na elastična vzmetenja. Diferencialna enačba nihanj z enakimi frekvencami: posebne rešitve v obliki desne strani ni mogoče vzeti, ker dobite linearno odvisno rešitev (glej splošno rešitev). Splošna rešitev: Nadomestek v diferencialni enačbi: Vzemite določeno rešitev v obliki in izračunajte izpeljanke: Tako dobimo rešitev: ali Prisilna nihanja pri resonanci imajo amplitudo, ki se neomejeno povečuje sorazmerno s časom. Vpliv odpornosti proti gibanju pri prisilnih vibracijah. Diferencialna enačba ob prisotnosti viskoznega upora ima obliko: Splošna rešitev je izbrana iz tabele (predavanje 3, stran 11), odvisno od razmerja n in k (glej). Določeno rešitev vzamemo v obliki in izračunamo izpeljanke: Nadomestimo v diferencialno enačbo: Ko izenačimo koeficiente za iste trigonometrične funkcije, dobimo sistem enačb: Obe enačbi dvignemo na potenco in ju dodamo moči obeh enačb , dobimo amplitudo prisilnih nihanj: Če drugo enačbo delimo s prvo, dobimo fazni premik prisilnih nihanj: Tako je enačba gibanja za prisilne nihanje, ob upoštevanju upora proti gibanju, npr. za n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 diapozitiv

Predavanje 5 Relativno gibanje materialne točke - Recimo, da se premikajoči (neinercialni) koordinatni sistem Oxyz giblje po določenem zakonu glede na stacionarni (inercialni) koordinatni sistem O1x1y1z1. Gibanje materialne točke M (x, y, z) glede na gibljivi sistem Oxyz je relativno, glede na stacionarni sistem O1x1y1z1 pa je absolutno. Gibanje mobilnega sistema Oxyz glede na stacionarni sistem O1x1y1z1 je prenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Osnovna enačba dinamike: Absolutni pospešek točke: Absolutni pospešek točke nadomestite v osnovno enačbo dinamike: Prenesite člene s translacijskim in Coriolisovim pospeškom na desno stran: Preneseni členi imajo dimenzijo sil in se štejejo za ustrezne vztrajnostne sile, enake: Potem lahko relativno gibanje točke štejemo za absolutno, če delujočim silam dodamo translacijsko in Coriolisovo vztrajnostno silo: V projekcijah na os gibljivega koordinatnega sistema imamo: vrtenje je enakomerno, potem je εe = 0: 2. Translacijsko krivolinijsko gibanje: Če je gibanje premočrtno, potem =: Če je gibanje premočrtno in enakomerno, je gibljivi sistem inercialen in relativno gibanje se lahko šteje za absolutno: gibanje (načelo relativnosti klasične mehanike). Vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje teles - Predpostavimo, da je telo v ravnotežju na površju Zemlje na poljubni širini φ (vzporedno). Zemlja se vrti okoli svoje osi od zahoda proti vzhodu s kotno hitrostjo: polmer Zemlje je približno 6370 km. S R - popolna reakcija negladke površine. G je sila teže Zemlje na središče. Ф - vztrajnostna centrifugalna sila. Pogoj relativnega ravnovesja: Rezultanta sil privlačnosti in vztrajnosti je sila teže (teža): Velikost sile teže (teže) na zemeljski površini je enaka P = mg. Centrifugalna vztrajnostna sila je majhen del sile težnosti: Majhen je tudi odklon sile teže od smeri sile teže: Tako je vpliv vrtenja Zemlje na ravnovesje teles izjemno majhen. in se pri praktičnih izračunih ne upošteva. Največja vrednost vztrajnostne sile (pri φ = 0 - na ekvatorju) je le 0,00343 vrednosti sile teže

17 diapozitiv

Predavanje 5 (nadaljevanje 5.2) 15 Vpliv Zemljinega vrtenja na gibanje teles v gravitacijskem polju Zemlje - Postavimo, da telo pade na Zemljo z določene višine H nad zemeljskim površjem na zemljepisni širini φ. Izberimo gibljiv referenčni okvir, ki je togo povezan z Zemljo in usmerja osi x in y tangencialno na vzporednico in na poldnevnik: Tako je sila teže poistovetena s silo gravitacije. Poleg tega menimo, da je sila gravitacije usmerjena pravokotno na površino Zemlje zaradi majhnosti njenega upogiba, kot je razloženo zgoraj. Coriolisov pospešek je enak in usmerjen vzporedno z osjo y proti zahodu. Coriolisova vztrajnostna sila je enaka nasprotni smeri. Projiciramo enačbo relativnega gibanja na os: Rešitev prve enačbe daje: Začetne pogoje: Rešitev tretje enačbe daje: Začetne pogoje: Tretja enačba ima obliko: Začetni pogoji: Njena rešitev daje: Dobljeno rešitev kaže, da se telo pri padcu odmika proti vzhodu. Izračunajmo vrednost tega odstopanja, na primer pri padcu z višine 100 m. Čas padca najdemo iz rešitve druge enačbe: Tako je vpliv vrtenja Zemlje na gibanje teles enak izjemno majhna za praktične višine in hitrosti in se ne upošteva pri tehničnih izračunih. Rešitev druge enačbe pomeni tudi obstoj hitrosti vzdolž osi y, ki bi morala prav tako povzročiti in povzročiti ustrezen pospešek in Coriolisovo inercialno silo. Vpliv te hitrosti in z njo povezane vztrajnostne sile na spremembo gibanja bo celo manjši od obravnavane Coriolisove vztrajne sile, povezane z navpično hitrostjo.

18 diapozitiv

Predavanje 6 Dinamika mehanskega sistema. Sistem materialnih točk ali mehanski sistem - Nabor materialnih točk ali materialnih točk, ki jih združujejo splošni zakoni interakcije (položaj ali gibanje vsake točke ali telesa je odvisno od položaja in gibanja vseh drugih) Sistem prostih točk - katerih gibanje ni omejeno z nobenimi povezavami (na primer planetarni sistem, v katerem planeti veljajo za materialne točke). Sistem neprostih točk ali neprosti mehanski sistem – gibanje materialnih točk ali teles je omejeno z omejitvami, ki so naložene sistemu (na primer mehanizem, stroj itd.). 16 Sile, ki delujejo na sistem. Poleg predhodno obstoječe klasifikacije sil (aktivne in reaktivne sile) se uvaja nova klasifikacija sil: 1. Zunanje sile (e) - delujejo na točke in telesa sistema iz točk ali teles, ki niso del tega sistem. 2. Notranje sile (i) - sile interakcije med materialnimi točkami ali telesi, vključenimi v ta sistem. Ena in ista sila je lahko tako zunanja kot notranja sila. Vse je odvisno od tega, kateri mehanski sistem se upošteva. Na primer: V sistemu Sonca, Zemlje in Lune so vse gravitacijske sile med njimi notranje. Če upoštevamo sistem Zemlja in Luna, so gravitacijske sile, ki delujejo s Sonca, zunanje: C З Л Na podlagi zakona delovanja in reakcije vsaka notranja sila Fk ustreza drugi notranji sili Fk ', enaki po velikosti in nasprotni v smer. Iz tega sledita dve izjemni lastnosti notranjih sil: Glavni vektor vseh notranjih sil sistema je enak nič: Glavni moment vseh notranjih sil sistema glede na katero koli središče je enak nič: Ali v projekcijah na koordinato osi: Opomba. Čeprav so te enačbe podobne ravnotežnim enačbam, niso, saj notranje sile delujejo na različne točke ali telesa sistema in lahko povzročijo, da se te točke (telesa) premikajo ena glede na drugo. Iz teh enačb izhaja, da notranje sile ne vplivajo na gibanje sistema kot celote. Masno središče sistema materialnih točk. Za opis gibanja sistema kot celote je uvedena geometrijska točka, imenovana središče mase, katere polmer je določen z izrazom, kjer je M masa celotnega sistema: ali v projekcijah na koordinato osi: Formule za težišče so podobne formulam za težišče. Vendar pa je koncept središča mase bolj splošen, saj ni povezan z gravitacijskimi silami ali silami gravitacije.

19 diapozitiv

Predavanje 6 (nadaljevanje 6.2) 17 Izrek o gibanju masnega središča sistema - Razmislite o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko zapišemo osnovno enačbo dinamike: ali seštejemo te enačbe po vseh točkah: Na levi strani enačbe uvedemo mase pod predznakom odvoda in vsoto odvodov zamenjamo z izpeljanko vsota: Iz definicije masnega središča: Nadomestimo v dobljeno enačbo: Po odstranitvi mase sistema izven predznaka odvodnice dobimo ali: Zmnožek mase sistema in pospeška njegovega središča, masa je enaka glavnemu vektorju zunanjih sil. V projekcijah na koordinatne osi: Masno središče sistema se premika kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega sistema, na katero delujejo vse zunanje sile, ki delujejo na sistem. Posledice iz izreka o gibanju masnega središča sistema (zakoni ohranjanja): 1. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, Re = 0, potem je hitrost središče mase je konstantno, vC = const (središče mase se giblje enakomerno pravolinijsko - zakon ohranjanja gibanja središča mase). 2. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, Rxe = 0, potem je hitrost središča mase vzdolž osi x konstantna, vCx = const (središče mase se enakomerno premika vzdolž osi). Podobne trditve veljajo za osi y in z. Primer: Dve osebi z maso m1 in m2 sta v čolnu z maso m3. V začetnem trenutku je čoln z ljudmi miroval. Določi gibanje čolna, če se je oseba, ki tehta m2, premaknila do premca čolna na razdalji a. 3. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, Re = 0 in je v začetnem trenutku hitrost središča mase nič, vC = 0, potem je vektor polmera središče mase ostane konstantno, rC = const (središče mase miruje – zakon o ohranitvi položaja središča mase). 4. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, Rxe = 0 in je v začetnem trenutku hitrost središča mase vzdolž te osi nič, vCx = 0, potem koordinata središča mase vzdolž osi x ostane konstantna, xC = const (središče mase se ne premika vzdolž te osi). Podobne trditve veljajo za osi y in z. 1. Predmet gibanja (čoln z ljudmi): 2. Odvržemo povezave (voda): 3. Povezavo zamenjamo z reakcijo: 4. Dodajanje aktivnih sil: 5. Zapiši izrek o masnem središču: Projektiramo na x -os: O Določite, kako daleč naj zamenjate sedeže do osebe z maso m1, tako da čoln ostane na mestu: Čoln se bo premaknil za razdaljo l v nasprotni smeri.

20 diapozitiv

Predavanje 7 Impulz sile - mera mehanske interakcije, ki označuje prenos mehanskega gibanja s strani sil, ki delujejo na točko v določenem časovnem obdobju: 18 na točko sil v istem časovnem obdobju: Pomnožimo z dt : Integrirali bomo v danem časovnem intervalu: Količina gibanja točke je mera mehanskega gibanja, določena z vektorjem, ki je enak zmnožku mase točke z vektorjem njene hitrosti: Izrek o spremembi zagon sistema - Razmislite o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko zapišimo osnovno enačbo dinamike: ali Število gibanja sistema materialnih točk je geometrijska vsota količin gibanja materialnih točk: Po definiciji težišča mase: Vektor gibalne količine sistema je enak zmnožku mase celotnega sistema z vektorjem hitrosti središča mase sistema. Potem: V projekcijah na koordinatne osi: Odvod vektorja gibalne količine sistema glede na čas je enak glavnemu vektorju zunanjih sil sistema. Seštejmo te enačbe po vseh točkah: Na levi strani enačbe uvedemo mase pod predznakom izvoda in nadomestimo vsoto odvodov z izpeljanko vsote: Iz definicije gibalne količine sistema : V projekcijah na koordinatne osi:

21 diapozitiv

Eulerjev izrek - Uporaba izreka o spremembi gibalne količine sistema na gibanje neprekinjenega medija (vode). 1. Za objekt gibanja izberemo prostornino vode v krivolinijskem kanalu turbine: 2. Odpravimo omejitve in njihovo delovanje nadomestimo z reakcijami (Rпов - rezultanta površinskih sil) 3. Sestavimo aktivne sile (Rпов - rezultanta volumetričnih sil): 4. Zapiši izrek o spremembi količine gibanja sistema: Količina gibanja vode v časih t0 in t1 je predstavljena kot vsota: Sprememba količine gibanja vode v času interval: Sprememba količine gibanja vode za neskončno majhen časovni interval dt:, kjer F1 F2 Če vzamemo zmnožek gostote, površine preseka in hitrosti za drugo maso, dobimo: Zamenjava diferenciala gibalne količine sistema v izrek spremembe dobimo: Posledice iz izreka o spremembi gibalne količine sistema (ohranjevalni zakoni): 1. Če je v časovnem intervalu glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, je Re = 0, potem je količinski vektor gibanja konstanten, Q = const je zakon o ohranitvi gibalne količine sistema). 2. Če je v časovnem intervalu projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na os x enaka nič, Rxe = 0, potem je projekcija gibalne količine sistema na os x konstantna, Qx = konst. Podobne trditve veljajo za osi y in z. Predavanje 7 (nadaljevanje 7.2) Primer: Granata mase M, ki je letela s hitrostjo v, je eksplodirala na dva dela. Hitrost enega od drobcev mase m1 se je v smeri gibanja povečala na vrednost v1. Določite hitrost drugega drobca. 1. Predmet gibanja (granata): 2. Predmet je prosti sistem, povezave in njihove reakcije so odsotne. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite izrek o spremembi gibalne količine: Projektirajte na os: β Ločite spremenljivke in integrirajte: Desni integral je praktično nič, saj čas eksplozije t

22 diapozitiv

Predavanje 7 (nadaljevanje 7.3) 20 Kotna količina točke ali kotna količina gibanja glede na določeno središče je mera mehanskega gibanja, ki jo določi vektor, ki je enak vektorskemu produktu vektorja polmera materialne točke z vektor njegove gibalne količine: kinetični moment sistema materialnih točk glede na določeno središče je geometrijski vsota momentov števila premikov vseh materialnih točk glede na isto središče: v projekcijah na os: v projekcijah na os: Izrek o spremembi kotne količine gibanja sistema - Razmislite o sistemu n materialnih točk. Sile, ki delujejo na vsako točko, razdelimo na zunanje in notranje ter jih nadomestimo z ustreznima rezultantama Fke in Fki. Za vsako točko zapišimo osnovno enačbo dinamike: ali Te enačbe seštejmo po vseh točkah: Vsoto odvodov zamenjaj z izpeljanko vsote: Izraz v oklepaju je moment momenta gibalne količine sistema. Od tukaj: Vsak od vektorjev enakosti pomnožimo z vektorjem polmera na levi strani: Poglejmo, ali je mogoče premakniti predznak odvoda izven vektorskega produkta: Tako smo dobili: Odvod kotnega gibanja sistema glede na neko središče v času je enak glavnemu momentu zunanjih sil sistema glede na isto središče. V projekcijah na koordinatne osi: Odvod kotne količine sistema glede na določeno os v času je enak glavnemu momentu zunanjih sil sistema glede na isto os.

23 diapozitiv

Predavanje 8 21 ■ Posledice iz izreka o spremembi kotne gibalne količine sistema (ohranjevalni zakoni): 1. Če je v časovnem intervalu vektor glavnega momenta zunanjih sil sistema glede na neko središče enak nič, MOe = 0, potem je vektor kotne količine sistema glede na isto središčno konstanto, KO = const je zakon o ohranitvi kotne količine sistema). 2. Če je v časovnem intervalu glavni moment zunanjih sil sistema glede na os x enak nič, Mxe = 0, potem je kotni moment sistema glede na os x konstanten, Kx = const. Podobne trditve veljajo za osi y in z. 2. Vztrajnostni moment togega telesa okoli osi: Vztrajnostni moment materialne točke okoli osi je enak zmnožku mase točke s kvadratom razdalje točke do osi. Vztrajnostni moment togega telesa okoli osi je enak vsoti produktov mase vsake točke s kvadratom razdalje te točke do osi. ■ Elementi teorije vztrajnostnih momentov - Ko se togo telo vrti, je mera vztrajnosti (upora proti spremembi gibanja) vztrajnostni moment okoli osi vrtenja. Razmislimo o osnovnih pojmih definicije in metodah izračunavanja vztrajnostnih momentov. 1. Vztrajnostni moment materialne točke okoli osi: Pri prehodu iz diskretne majhne mase na neskončno majhno maso točke je meja takšne vsote določena z integralom: osnim vztrajnostnim momentom togega telesa. . Poleg aksialnega vztrajnostnega momenta togega telesa obstajajo še druge vrste vztrajnostnih momentov: centrifugalni vztrajnostni moment togega telesa. polarni vztrajnostni moment togega telesa. 3. Izrek o vztrajnostnih momentih togega telesa glede vzporednih osi - formula za prehod na vzporedne osi: Vztrajnostni moment okoli prvotne osi Statični vztrajnostni momenti okoli prvotnih osi Masa telesa Razdalja med osema z1 in z2 Tako: Če os z1 poteka skozi središče mase, so statični momenti enaki nič:

24 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.2) 22 Vztrajnostni moment homogene palice konstantnega prečnega prereza okoli osi: xz L Izberemo elementarni volumen dV = Adx na razdalji x: x dx Osnovna masa: Izračunamo vztrajnostni moment o osrednja os (ki poteka skozi težišče), je dovolj, da spremenite položaj osi in nastavite meje integracije (-L / 2, L / 2). Tukaj bomo prikazali formulo za prehod na vzporedne osi: zС 5. Vztrajnostni moment homogenega trdnega valja okoli osi simetrije: H dr r Izberemo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanek valj polmera r): Osnovna masa: Tu smo uporabili formulo za prostornino valja V = πR2H. Za izračun vztrajnostnega momenta votlega (debelega) valja je dovolj, da nastavite meje integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Vztrajnostni moment tankega valja okoli osi simetrije (t

25 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.3) 23 ■ Diferencialna enačba vrtenja togega telesa okoli osi: Napišimo izrek o spremembi kotne količine togega telesa, ki se vrti okoli fiksne osi: kinetični moment vrtečega se togega telesa telo je: Moment zunanjih sil okoli osi vrtenja je enak navoru (reakcije in sila brez momenta gravitacije): Nadomestimo kotni moment in navor v izrek Primer: Dve osebi enake teže G1 = G2 visita na vrvi, vrženi čez trden blok s težo G3 = G1 / 4. V nekem trenutku je eden od njiju začel plezati po vrvi z relativno hitrostjo u. Določite hitrost dviga vsakega od ljudi. 1. Izberite predmet gibanja (blok z ljudmi): 2. Zavrzite povezave (podporna naprava bloka): 3. Zamenjajte povezavo z reakcijami (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (teža): 5. Zapišite izrek o spremembi kinetičnega momenta sistema glede na osi vrtenja bloka: R Ker je moment zunanjih sil enak nič, mora kotni moment ostati konstanten: V začetnem trenutku časa t = 0, je prišlo do ravnotežja in Kz0 = 0. Po začetku gibanja ene osebe glede na vrv se je celoten sistem začel premikati, vendar mora sistem kotne količine ostati enak nič: Kz = 0. Kinetični moment sistem je vsota kinetičnih momentov obeh ljudi in bloka: Tukaj je v2 hitrost druge osebe, enaka hitrosti kabla, Primer: Določi obdobje majhnih prostih nihanj homogene palice mase M in dolžino l, obešeno z enim koncem na fiksno vrtilno os. Ali: v primeru majhnih nihanj sinφ φ: obdobje nihanja: vztrajnostni moment droga:

26 diapozitiv

Predavanje 8 (nadaljevanje 8.4 - dodatno gradivo) 24 ■ Osnovna teorija žiroskopa: Žiroskop je togo telo, ki se vrti okoli osi materialne simetrije, katere ena od točk je negibljiva. Prosti žiroskop je pritrjen tako, da njegovo središče mase ostane nepremično, os vrtenja pa poteka skozi središče mase in lahko zavzame poljuben položaj v prostoru, t.j. os vrtenja spreminja svoj položaj kot os lastne rotacije telesa med sferičnim gibanjem. Glavna predpostavka približne (elementarne) teorije žiroskopa je, da se predpostavlja, da je vektor kotne količine (kotne količine) rotorja usmerjen vzdolž lastne osi vrtenja. Tako se kljub dejstvu, da v splošnem primeru rotor sodeluje v treh vrtenjih, upošteva le kotno hitrost lastnega vrtenja ω = dφ / dt. Razlog za to je, da se v sodobni tehnologiji rotor žiroskopa vrti s kotno hitrostjo reda 5000-8000 rad/s (približno 50.000-80.000 vrt/min), medtem ko sta drugi dve kotni hitrosti povezani s precesijo in nutacijo njegove lastna os vrtenja je več deset tisočkrat manjša od te hitrosti. Glavna lastnost prostega žiroskopa je, da os rotorja ohranja konstantno smer v prostoru glede na inercialni (zvezdni) referenčni okvir (dokazuje Foucaultovo nihalo, ki ohranja ravnino nihanja nespremenjeno glede na zvezde, 1852) . To izhaja iz zakona o ohranitvi kotne količine glede na središče mase rotorja, pod pogojem, da se zanemari trenje v ležajih osi vzmetenja rotorja, zunanjih in notranjih okvirjih: Delovanje sile na os prostega žiroskopa. V primeru delovanja sile, ki deluje na os rotorja, moment zunanjih sil glede na središče mase ni enak nič: sila in v smeri vektorja momenta te sile, t.j. se ne vrti okoli osi x (notranje vzmetenje), ampak okoli y-osi (zunanje vzmetenje). Ko se sila konča, bo os rotorja ostala v nespremenjenem položaju, ki ustreza zadnjemu trenutku sile, ker od tega trenutka postane trenutek zunanjih sil spet enak nič. V primeru kratkotrajnega delovanja sile (udarca) os žiroskopa praktično ne spremeni svojega položaja. Tako hitro vrtenje rotorja daje žiroskopu sposobnost preprečevanja naključnih vplivov, ki težijo k spremembi položaja osi vrtenja rotorja, in pod stalnim delovanjem sile ohranja položaj ravnine, pravokotne na delujočo silo. v katerem leži os rotorja. Te lastnosti se uporabljajo pri delovanju inercialnih navigacijskih sistemov.

Predavanja iz teoretične mehanike

Dinamika točke

Predavanje 1

Osnovni pojmi dinamike

V poglavju Dinamika preučuje se gibanje teles pod delovanjem nanje uporabljenih sil. Zato poleg konceptov, ki so bili predstavljeni v razdelku kinematika, tu je treba uporabiti nove koncepte, ki odražajo posebnosti delovanja sil na različna telesa in reakcijo teles na te vplive. Oglejmo si glavne od teh konceptov.

a) moč

Sila je kvantitativni rezultat vpliva drugih teles na dano telo. Sila je vektorska količina (slika 1).

Točka A začetka vektorja sile F poklical točka uporabe sile... Premica MN, na kateri se nahaja vektor sile, se imenuje linijo delovanja sile. Dolžina vektorja sile, merjena na določenem merilu, se imenuje številčna vrednost ali modul vektorja sile... Modul sile je označen kot oz. Delovanje sile na telo se kaže bodisi v njegovi deformaciji, če je telo negibno, bodisi v dajanju pospeška, ko se telo premika. Na teh manifestacijah sile temelji naprava različnih naprav (merilcev sile ali dinamometrov) za merjenje sil.

b) sistem sil

Nabor obravnavanih sil se oblikuje sistem sil. Vsak sistem, sestavljen iz n sil, lahko zapišemo v naslednji obliki:

c) prosto telo

Telo, ki se lahko premika v prostoru v katero koli smer, ne da bi doživljalo neposredno (mehansko) interakcijo z drugimi telesi, se imenuje prost oz izolirani... Učinek enega ali drugega sistema sil na telo je mogoče razjasniti le, če je to telo prosto.

d) rezultantna sila

Če ima katera koli sila enak učinek na prosto telo kot določen sistem sil, se ta sila imenuje rezultanta tega sistema sil... To je zapisano takole:

kar pomeni enakovrednost delovanje na eno in isto prosto telo rezultante in nekega sistema n sil.

Nadaljujmo z obravnavanjem bolj zapletenih konceptov, povezanih s kvantitativnim določanjem rotacijskih učinkov sil.

e) moment sile okoli točke (središče)

Če se telo pod delovanjem sile lahko vrti okoli neke fiksne točke O (slika 2), potem se za količinsko opredelitev tega rotacijskega učinka uvede fizična količina, ki se imenuje moment sile okoli točke (centra).

Imenuje se ravnina, ki poteka skozi dano fiksno točko in črto delovanja sile ravnina delovanja sile... Na sliki 2 je to ravnina ОАВ.

Moment sile glede na točko (središče) je vektorska količina, ki je enaka vektorskemu produktu vektorja polmera točke uporabe sile z vektorjem sile:

( 1)

Po pravilu vektorskega množenja dveh vektorjev je njun vektorski zmnožek vektor, pravokoten na ravnino lokacije vektorjev faktorjev (v tem primeru ravnino trikotnika OAB), usmerjen v smeri, iz katere je najkrajša rotacija prvega vektorja faktorja v drugi vektor je faktor vidna proti uri (slika 2). S tem vrstnim redom vektorjev faktorjev vektorskega produkta (1) bo rotacija telesa pod delovanjem sile vidna proti uri (slika 2) Ker je vektor pravokoten na ravnino delovanja sile, njena lega v prostoru določa položaj ravnine delovanja sile glede na središče je enaka podvojeni površini ОАВ in jo je mogoče določiti s formulo:

, (2)

kje velikosth, ki je enaka najkrajši razdalji od dane točke O do črte delovanja sile, se imenuje rama sile.

Če položaj ravnine delovanja sile v prostoru ni bistven za karakteristiko rotacijskega delovanja sile, potem je v tem primeru za karakterizacijo rotacijskega delovanja sile namesto vektorja momenta sile se uporablja algebraični moment sile:

(3)

Algebraični moment sile glede na dano središče je enak zmnožku modula sile njegovega ramena, vzetega s predznakom plus ali minus. V tem primeru pozitivni moment ustreza vrtenju telesa pod delovanjem dane sile proti uri, negativni moment pa vrtenju telesa vzdolž kazalke ure. Iz formul (1), (2) in (3) sledi, da moment sile glede na točko je nič le, če je rama te silehenako nič... Takšna sila ne more zavrteti telesa okoli določene točke.

f) Moment sile okoli osi

Če se telo pod delovanjem sile lahko vrti okoli neke fiksne osi (na primer vrtenje vratnega ali okenskega okvirja v tečajih, ko se odprejo ali zaprejo), se za količinsko opredelitev tega rotacijskega učinka uvede fizična količina, ki se imenuje moment sile okoli določene osi.

 b F xy

Slika 3 prikazuje diagram, v skladu s katerim se določi moment sile glede na os z:

Kot  tvorita dve pravokotni smeri z in na ravnine trikotnikov O ab in OAV. Ker  O ab je projekcija ОАВ na ravnino xy, potem imamo po stereometričnem izreku o projekciji ravninske figure na to ravnino:

pri čemer predznak plus ustreza pozitivni vrednosti cos, torej ostrim kotom , predznak minus pa negativni vrednosti cos, torej topim kotom , ki je posledica smeri vektorja. Po drugi strani pa SO ab=1/2abh, kje h  ab ... Velikost segmenta ab je enaka projekciji sile na ravnino xy, t.j. . ab = F xy .

Na podlagi zgoraj navedenega ter enakosti (4) in (5) definiramo moment sile glede na os z na naslednji način:

Enakost (6) nam omogoča, da oblikujemo naslednjo definicijo momenta sile glede na katero koli os: Moment sile glede na dano os je enak projekciji na to os vektorja momenta te sile glede na katero koli os. točka te osi in je definiran kot produkt projekcije sile na ravnino, pravokotno na to os, vzeta s predznakom plus ali minus na rami te projekcije glede na točko presečišča osi s projekcijsko ravnino . V tem primeru se predznak trenutka šteje za pozitiven, če je, gledano iz pozitivne smeri osi, na uri vidno vrtenje telesa okoli te osi. V nasprotnem primeru je moment sile okoli osi negativen. Ker je to definicijo momenta sile okoli osi precej težko zapomniti, je priporočljivo, da si zapomnimo formulo (6) in sliko 3, ki pojasnjuje to formulo.

Iz formule (6) izhaja, da moment sile okoli osi je nič, če je vzporedna z osjo (v tem primeru je njena projekcija na ravnino, pravokotno na os, enaka nič), ali pa linija delovanja sile seka os (takrat ramo projekcije h=0). To v celoti ustreza fizičnemu pomenu momenta sile okoli osi kot kvantitativne značilnosti rotacijskega učinka sile na telo, ki ima vrtilno os.

g) telesna teža

Že dolgo je bilo ugotovljeno, da telo pod delovanjem sile postopoma pridobiva hitrost in se še naprej premika, če je sila odstranjena. Ta lastnost teles, da se uprejo spremembi svojega gibanja, se je imenovala vztrajnost ali vztrajnost teles. Kvantitativno merilo inertnosti telesa je njegova masa. Poleg tega telesna masa je kvantitativno merilo učinka gravitacijskih sil na dano telo večja kot je masa telesa, večja je gravitacijska sila, ki deluje na telo. Kot je prikazano spodaj, eh Ti dve definiciji telesne teže sta povezani.

Preostali koncepti in definicije dinamike bodo obravnavani kasneje v poglavjih, kjer se prvič pojavijo.

2. Vezi in vezne reakcije

Prej v 1. točki (c) je bil dan koncept prostega telesa kot telesa, ki se lahko premika v prostoru v katero koli smer, ne da bi bilo v neposrednem stiku z drugimi telesi. Večina resničnih teles, ki nas obdajajo, je v neposrednem stiku z drugimi telesi in se ne morejo premikati v eno ali drugo smer. Tako se na primer telesa na površini mize lahko premikajo v katero koli smer, razen v smeri, ki je pravokotna na površino mize navzdol. Vrata, pritrjena na tečajih, se lahko vrtijo, ne morejo pa translacijsko itd. Telesa, ki se ne morejo premikati v prostoru v eno ali drugo smer, imenujemo ni zastonj.

Vse, kar omejuje gibanje določenega telesa v prostoru, se imenuje omejitve. Lahko so katera koli druga telesa, ki preprečujejo gibanje tega telesa v nekaterih smereh ( fizične povezave); v širšem smislu so lahko nekateri pogoji naloženi gibanju telesa, ki omejujejo to gibanje. Torej lahko postavite pogoj, da se gibanje materialne točke zgodi vzdolž dane krivulje. V tem primeru je povezava matematično določena v obliki enačbe ( omejitvena enačba). Vprašanje o vrstah povezav bo podrobneje obravnavano v nadaljevanju.

Večina povezav, naloženih telesom, so praktično fizične povezave. Zato se postavlja vprašanje o medsebojnem delovanju tega telesa in o povezanosti, ki je temu telesu vsiljena. Na to vprašanje odgovarja aksiom o medsebojnem delovanju teles: dve telesi delujeta drug na drugega s silami, enakimi po velikosti, v nasprotni smeri in na isti ravni črti. Te sile imenujemo sile interakcije. Medsebojne sile se uporabljajo za različna medsebojno delujoča telesa. Torej, na primer, ko dano telo in povezava medsebojno delujeta, se ena od interakcijskih sil uporabi s strani telesa na povezavo, druga sila interakcije pa s strani povezave na to telo. Ta zadnja moč se imenuje z močjo vezne reakcije ali preprosto, komunikacijska reakcija.

Pri reševanju praktičnih problemov dinamike je treba znati najti smer reakcij različnih vrst povezav. Pri tem lahko včasih pomaga splošno pravilo določanja smeri vezne reakcije: Reakcija vezi je vedno usmerjena nasprotno smeri, v kateri ta vez preprečuje gibanje danega telesa. Če je to smer mogoče natančno navesti, bo reakcija povezave določena s smerjo. V nasprotnem primeru je smer vezne reakcije negotova in jo je mogoče najti le iz ustreznih enačb gibanja oziroma ravnotežja telesa. Podrobneje je treba vprašanje o vrstah povezav in smeri njihovih reakcij preučiti v učbeniku: S.M. Targ Kratek tečaj teoretične mehanike "Srednja šola", M., 1986. 1. poglavje, §3.

V 1. točki (c) je bilo rečeno, da je učinek katerega koli sistema sil mogoče v celoti določiti le, če ta sistem sil uporabimo na prosto telo. Ker večina teles v resnici ni svobodna, se za preučevanje gibanja teh teles postavlja vprašanje, kako ta telesa narediti svobodna. Na to vprašanje je odgovorjeno aksiom povezav predavanj na filozofija doma. Predavanja so bili ... socialna psihologija in etnopsihologija. 3. Teoretično Rezultati V socialnem darvinizmu je bilo ...

Teoretično Mehanika

Študijski vodnik >> Fizika

Povzetek predavanja na predmet TEORETIČNO MEHANIKA Za študente specialnosti: 260501,65 ... - redni Povzetek predavanja sestavljeno na podlagi: L.V. Butorin, E.B. Busygin. Teoretično Mehanika... Priročnik za usposabljanje ...

državna avtonomna ustanova

Kaliningradska regija

strokovna izobraževalna organizacija

Visoka šola za storitve in turizem

Tečaj predavanj s primeri praktičnih nalog

"Osnove teoretične mehanike"

po discipliniTehnična mehanika

za študente3 seveda

posebnost20.02.04 Požarna varnost

Kaliningrad

ODOBREN

Namestnik direktorja za UR GAU KO VET KSTN. Mjasnikova

ODOBREN

Metodski svet GAU KO POO KST

UPOŠTEVAN

Na seji PCC

Uredniška ekipa:

Kolganova A.A., metodologinja

Falaleeva A.B., učiteljica ruskega jezika in književnosti

Cvetaeva L.V., predsednica PCCsplošne matematične in naravoslovne discipline

Sestavil:

I. V. Nezvanova učitelj GAU KO VET KST

Vsebina

Dinamika: osnovni pojmi in aksiomi

Bibliografija

Statika: osnovni pojmi in aksiomi.

Teoretični podatki

Statika - del teoretične mehanike, ki obravnava lastnosti sil, ki delujejo na točke togega telesa, in pogoje za njihovo ravnotežje. Glavne naloge:

1. Transformacije sistemov sil v enakovredne sisteme sil.

2. Določanje ravnotežnih pogojev za sisteme sil, ki delujejo na togo telo.

Materialna točka imenujemo najpreprostejši model materialnega telesa

katero koli obliko, katere dimenzije so dovolj majhne in jo je mogoče vzeti kot geometrijsko točko z določeno maso. Vsak niz materialnih točk se imenuje mehanski sistem. Popolnoma trdno telo je mehanski sistem, katerega razdalje med točkami se ne spreminjajo z nobenimi interakcijami.

Moč Je merilo mehanske interakcije materialnih teles med seboj. Sila je vektorska količina, saj jo določajo trije elementi:

številčna vrednost;

smer;

točka uporabe (A).

Merska enota za silo je Newton (N).

Slika 1.1

Sistem sil je kombinacija sil, ki delujejo na telo.

Uravnotežen (enako enak nič) sistem sil imenujemo sistem, ki, ko se nanese na telo, ne spremeni svojega stanja.

Sistem sil, ki delujejo na telo, lahko nadomestimo z eno rezultanto, ki deluje kot sistem sil.

Aksiomi statike.

Aksiom 1: Če na telo uporabimo uravnotežen sistem sil, se giblje enakomerno in pravocrtno ali miruje (zakon vztrajnosti).

2. aksiom: Absolutno togo telo je v ravnotežju pod delovanjem dveh sil, če in samo če sta ti sili enaki po velikosti, delujeta v eni ravni črti in sta usmerjeni v nasprotni smeri. Slika 1.2

3. aksiom: Mehansko stanje telesa ne bo moteno, če sistemu sil, ki nanj delujejo, dodamo ali odštejemo uravnotežen sistem sil.

4. aksiom: Rezultanta dveh sil, ki delujeta na telo, je enaka njuni geometrijski vsoti, to pomeni, da je izražena v velikosti in smeri z diagonalo paralelograma, zgrajenega na teh silah kot na straneh.

Slika 1.3.

Aksiom 5: Sili, s katerimi dve telesi delujeta drug na drugega, sta vedno enaki po velikosti in usmerjeni vzdolž ene premice v nasprotni smeri.

Slika 1.4.

Vrste vezi in njihove reakcije

Povezave imenujemo vse omejitve, ki preprečujejo gibanje telesa v prostoru. Telo, ki si prizadeva pod delovanjem uporabljenih sil izvesti gibanje, ki ga ovira povezava, bo nanj delovalo z neko silo, imenovano sila pritiska na komunikacijo ... Po zakonu enakosti delovanja in reakcije bo povezava delovala na telo z enakim modulom, vendar nasprotno usmerjeno silo.
Imenuje se sila, s katero ta povezava deluje na telo in preprečuje eno ali drugo gibanje moč reakcije (reakcije) vezi .
Ena glavnih določil mehanike je načelo sproščanja vezi : vsako nesvobodno telo lahko štejemo za svobodno, če zavržemo povezave in njihovo delovanje nadomestimo z reakcijami povezav.

Reakcija povezave je usmerjena v nasprotno smer od tiste, kjer povezava ne omogoča premikanja telesa. Glavne vrste vezi in njihove reakcije so prikazane v tabeli 1.1.

Tabela 1.1

Vrste vezi in njihove reakcije

Ime komunikacije

Simbol

Gladka površina (podpora) - površina (podpora), trenje, na katerem lahko dano telo zanemarimo.
Z brezplačno podporo, reakcijausmerjen pravokotno na tangento, potegnjeno skozi točkoA telesni stik1 s podporno površino2 .

Nit (fleksibilna, neraztegljiva). Povezava, izvedena v obliki neraztegljive niti, ne omogoča, da se telo odmakne od točke vzmetenja. Zato je reakcija niti usmerjena vzdolž niti do točke njenega vzmetenja.

Breztežna palica - palica, katere težo lahko zanemarimo v primerjavi z zaznano obremenitvijo.
Reakcija breztežne zgibne premočrtne palice je usmerjena vzdolž osi palice.

Premični tečaj, tečajno premična opora. Reakcija je usmerjena vzdolž normale na podporno površino.

Togo zaključevanje. V ravnini togega zaključka bosta dve komponenti reakcije, in trenutek para silki preprečuje obračanje žarka1 glede na točkoA .
Togo fiksiranje v prostoru odvzame telesu 1 vseh šest stopenj svobode - tri premike vzdolž koordinatnih osi in tri rotacije okoli teh osi.
V prostorskem togem zaključku bodo tri komponente, , in tri momente parov sil.

Sistem konvergentnih sil

Sistem konvergentnih sil imenujemo sistem sil, katerih linije delovanja se v eni točki sekajo. Dve sili, ki se zbližujeta v eni točki, lahko po tretjem aksiomu statike nadomestimo z eno silo -rezultat .
Glavni vektor sistema sil - vrednost, ki je enaka geometrijski vsoti sil sistema.

Rezultirajući ravninski sistem konvergentnih sil je mogoče določitigrafično in analitično.

Seštevanje sistema sil . Dodajanje ravnega sistema konvergentnih sil se izvede bodisi z zaporednim seštevanjem sil s konstrukcijo vmesne rezultante (slika 1.5), bodisi z izgradnjo poligona sil (slika 1.6).

Slika 1.5 Slika 1.6

Projekcija osne sile - algebraična količina, enaka zmnožku modula sile s kosinusom kota med silo in pozitivno smerjo osi.
ProjekcijaFx(slika 1.7) osne sile Xpozitiven, če je kot α oster, negativen, če je kot α tup. Če je močje pravokotna na os, potem je njena projekcija na os enaka nič.

Slika 1.7

Projiciranje sile na ravnino ooo- vektor , zaprta med projekcijama začetka in konca silena to ravnino. tiste. projekcija sile na ravnino je vektorska količina, za katero je značilna ne le številčna vrednost, temveč tudi smer v ravniniooo (Slika 1.8).

Slika 1.8

Nato projekcijski modul na letalu ooo bo enako:

Fxy = F cosα,

kjer je α kot med smerjo sile in njegova projekcija.
Analitični način določanja sil . Za analitični način določanja močipotrebno je izbrati koordinatni sistemOhyz, glede na katerega bo določena smer sile v prostoru.
Vektor, ki prikazuje moč, lahko narišemo, če so znani modul te sile in koti α, β, γ, ki jih tvori sila s koordinatnimi osemi. DotA uporaba sile ločeno po svojih koordinatahX, pri, z... Nastavite lahko moč njegovih projekcijFx, Fy, Fzna koordinatnih osih. Modul sile v tem primeru je določen s formulo:

in kosinus smeri so:

, .

Analitični način seštevanja sil : projekcija vektorja vsote na neko os je enaka algebraični vsoti projekcij členov vektorjev na isto os, t.j., če:

potem , , .
Poznavanje Rx, Ry, Rz, lahko definiramo modul

in kosinus smeri:

, , .

Slika 1.9

Za ravnotežje sistema konvergentnih sil je potrebno in zadostno, da je rezultanta teh sil enaka nič.
1) Pogoj geometrijskega ravnotežja za konvergentni sistem sil : za ravnotežje sistema konvergentnih sil je potrebno in zadostno, da je poligon moči zgrajen iz teh sil,

je bil zaprt (konec vektorja zadnjega izraza

silo je treba združiti z začetkom vektorja prvega člena sile). Potem bo glavni vektor sistema sil enak nič ()
2) Pogoji analitičnega ravnotežja . Modul glavnega vektorja sistema sil je določen s formulo. = 0. V kolikor , potem je radikalni izraz lahko enak nič le, če vsak člen hkrati izgine, t.j.

Rx= 0, Ry= 0, R z = 0.

Posledično je za ravnotežje prostorskega sistema konvergentnih sil potrebno in zadostno, da so vsote projekcij teh sil na vsako od treh koordinat osi enake nič:

Za ravnotežje ravnega sistema konvergentnih sil je potrebno in zadostno, da sta vsota projekcij sil na vsako od obeh koordinatnih osi enaka nič:

Seštevek dveh vzporednih sil, usmerjenih v eno smer.

Slika 1.9

Dve vzporedni sili, usmerjeni v eno smer, se zmanjšata na eno rezultantno silo, vzporedno z njima in usmerjeno v isto smer. Velikost rezultante je enaka vsoti velikosti teh sil in točka njene uporabe C razdeli razdaljo med linijami delovanja sil znotraj na dele, ki so obratno sorazmerni z velikostjo teh sil, tj.

B A C

R = F 1 + F 2

Seštevek dveh neenakih vzporednih sil, usmerjenih v nasprotni smeri.

Dve antiparalelni sili, ki nista enaki po velikosti, se zmanjšata na eno rezultantno silo, ki je vzporedna z njima in usmerjena proti večji sili. Velikost rezultante je enaka razliki v velikostih teh sil in točka njene uporabe C deli razdaljo med zunanjima linijama delovanja sil na dele, ki so obratno sorazmerni z velikostjo teh sil, tj. je

Par sil in moment sile glede na točko.

Trenutek moči glede na točko O se imenuje z ustreznim predznakom produkt velikosti sile z razdaljo h od točke O do premice sile ... Ta izdelek se vzame z znakom plus, če je moč teži k vrtenju telesa v nasprotni smeri urinega kazalca in z znakom - če je sila teži k vrtenju telesa v smeri urinega kazalca, tj ... Dolžina navpičnice h se imenujeramo moči točka O. Učinek delovanja sile t.j. večji je kotni pospešek telesa, večja je vrednost momenta sile.

Slika 1.11

Z nekaj prednostmi imenujemo sistem, sestavljen iz dveh enakih po velikosti vzporednih sil, usmerjenih v nasprotni smeri. Razdalja h med linijama delovanja sil se imenujeramenski par . Trenutek par sil m (F, F ") je zmnožek velikosti ene od sil, ki sestavljajo par na rami para, vzete z ustreznim predznakom.

Lahko ga zapišemo takole: m (F, F ") = ± F × h, kjer je zmnožek vzet z znakom plus, če se par sil nagiba k vrtenju telesa v nasprotni smeri urinega kazalca in z znakom minus, če je par sil sile se nagiba k vrtenju telesa v smeri urinega kazalca.

Izrek o vsoti momentov sil para.

Vsota momentov sil para (F, F ") glede na katero koli točko 0, vzeta v ravnini delovanja para, ni odvisna od izbire te točke in je enaka momentu par.

Ekvivalentni izrek o parih. Posledice.

Izrek. Dva para, katerih momenti so med seboj enaki, sta enakovredna, t.j. (F, F ") ~ (P, P")

Posledica 1 ... Par sil je mogoče prenesti na katero koli mesto v ravnini njegovega delovanja, pa tudi zavrteti pod katerim koli kotom in spremeniti ramo in velikost sil para, hkrati pa ohraniti moment para.

Posledica 2. Par sil nima rezultante in ga ni mogoče uravnotežiti z eno silo, ki leži v ravnini para.

Slika 1.12

Seštevanje in ravnotežni pogoj za sistem parov na ravnini.

1. Izrek o seštevanju parov, ki ležijo v isti ravnini. Sistem parov, poljubno nameščenih v isti ravnini, lahko nadomestimo z enim parom, katerega moment je enak vsoti momentov teh parov.

2. Izrek o ravnotežju sistema parov na ravnini.

Da absolutno togo telo miruje pod delovanjem sistema parov, poljubno nameščenih v isti ravnini, je potrebno in zadostno, da je vsota momentov vseh parov enaka nič, tj.

Težišče

Gravitacija - rezultanta privlačnih sil na Zemljo, razporejenih po celotnem volumnu telesa.

Težišče telesa - to je taka točka, ki je vedno povezana s tem telesom, skozi katero poteka linija delovanja sile teže tega telesa v katerem koli položaju telesa v prostoru.

Metode za iskanje težišča

1. Metoda simetrije:

1.1. Če ima homogeno telo simetrično ravnino, potem težišče leži v tej ravnini

1.2. Če ima homogeno telo simetrično os, potem težišče leži na tej osi. Težišče enotnega vrtilnega telesa leži na osi vrtenja.

1.3 Če ima homogeno telo dve simetrični osi, je težišče na točki njunega preseka.

2. Način cepljenja: Telo se razcepi na najmanjše število delov, katerih sile teže in položaj težišč so znane.

3. Metoda negativnih mas: Pri določanju težišča telesa s prostimi votlinami je treba uporabiti metodo razdelitve, vendar je treba maso prostih votlin šteti za negativno.

Koordinate težišča ravne figure:

Položaje težišč preprostih geometrijskih figur je mogoče izračunati z znanimi formulami. (Slika 1.13)

Opomba: Težišče simetrije figure je na osi simetrije.

Težišče palice je na sredini višine.

1.2. Primeri reševanja praktičnih problemov

Primer 1: Tovor je obešen na palici in je v ravnotežju. Določite napore v palici. (slika 1.2.1)

rešitev:

Sile, ki nastanejo v pritrdilnih palicah, so po velikosti enake silam, s katerimi palice podpirajo obremenitev. (5. aksiom)

Določimo možne smeri reakcij vezi "toge palice".

Sile so usmerjene vzdolž palic.

Slika 1.2.1.

Točko A osvobodimo povezav, zamenjajmo delovanje povezav z njihovimi reakcijami. (Slika 1.2.2)

Konstrukcijo začnemo z znano silo, tako da narišemo vektorFv nekem obsegu.

Od konca vektorjaFnarišite črte, vzporedne z reakcijamiR 1 inR 2 .

Slika 1.2.2

Prečkanje črt ustvari trikotnik. (Slika 1.2.3.). Če poznamo obseg konstrukcij in izmerimo dolžino stranic trikotnika, je mogoče določiti velikost reakcij v palicah.

Za natančnejše izračune lahko uporabite geometrijske odnose, zlasti izrek o sinusih: razmerje med stranico trikotnika in sinusom nasprotnega kota je konstantna vrednost

za ta primer:

Slika 1.2.3

Komentar: Če smer vektorja (reakcija vezi) na dani shemi in v trikotniku sil ne sovpadata, bi morala biti reakcija na shemi usmerjena v nasprotno smer.

2. primer: Analitično določite velikost in smer nastalega ploščatega sistema konvergentnih sil.

rešitev:

Slika 1.2.4

1. Določi projekcijo vseh sil sistema na Ox (slika 1.2.4)

Če algebraično seštejemo projekcije, dobimo projekcijo rezultante na os Ox.

Znak označuje, da je rezultanta usmerjena v levo.

2. Določi projekcijo vseh sil na os Oy:

Če algebraično seštejemo projekcije, dobimo projekcijo rezultante na os Oy.

Znak označuje, da je rezultanta usmerjena navzdol.

3. Določite modul rezultante z vrednostmi projekcij:

4. Določite vrednost kota rezultante z osjo Ox:

in vrednost kota z osjo Oy:

3. primer: Izračunajte vsoto momentov sil glede na točko O (slika 1.2.6).

OA= AB= VD = DE = CB = 2m

Slika 1.2.6

rešitev:

1. Moment sile glede na točko je številčno enak zmnožku modula in ramena sile.

2. Moment sile je enak nič, če poteka črta delovanja sile skozi točko.

4. primer: Določite položaj težišča slike, prikazane na sliki 1.2.7

rešitev:

Sliko razdelimo na tri:

1-pravokotnik

A 1 = 10 * 20 = 200 cm 2

2-trikotnik

A 2 = 1/2 * 10 * 15 = 75 cm 2

3-krog

A 3 =3,14*3 2 = 28,3 cm 2

CG na sliki 1: x 1 = 10 cm, y 1 = 5 cm

CG na sliki 2: x 2 = 20 + 1/3 * 15 = 25 cm, y 2 = 1/3 * 10 = 3,3 cm

CG na sliki 3: x 3 = 10 cm, y 3 = 5 cm

Podobno, y Z = 4,5 cm

Kinematika: osnovni pojmi.

Osnovni kinematični parametri

Pot - črta, ki jo začrta materialna točka pri premikanju v prostoru. Pot je lahko ravna in ukrivljena, ravna in prostorska.

Enačba poti za gibanje ravnine: y =f ( x)

Prevožena razdalja. Pot se meri vzdolž poti v smeri vožnje. Oznaka -S, merske enote - metri.

Enačba gibanja točke Je enačba, ki določa položaj gibljive točke kot funkcijo časa.

Slika 2.1

Položaj točke v vsakem trenutku je mogoče določiti z razdaljo, prevoženo vzdolž trajektorije od neke fiksne točke, ki se šteje za izhodišče (slika 2.1). Ta način nastavljanja gibanja se imenujenaravno ... Tako lahko enačbo gibanja predstavimo kot S = f (t).

Slika 2.2

Položaj točke lahko določimo tudi, če poznamo njene koordinate kot funkcijo časa (slika 2.2). Nato je treba v primeru gibanja po ravnini podati dve enačbi:

V primeru prostorskega gibanja se doda še tretja koordinataz= f 3 ( t)

Ta način določanja gibanja se imenujekoordinirati .

Potovalna hitrost Je vektorska količina, ki označuje trenutno hitrost in smer gibanja vzdolž poti.

Hitrost je vektor, ki je v vsakem trenutku usmerjen tangencialno na trajektorijo v smeri smeri gibanja (slika 2.3).

Slika 2.3

Če točka v enakih časovnih obdobjih prepotuje enake razdalje, se imenuje gibanjeuniforma .

Povprečna hitrost na poti ΔSdoloča:

kjeΔS- prevožena razdalja v času Δt; Δ t- časovni interval.

Če točka v enakih časovnih intervalih prepotuje neenake poti, se gibanje imenujeneenakomerno ... V tem primeru je hitrost spremenljiva količina in je odvisna od časav= f( t)

Hitrost v tem trenutku je opredeljena kot

Točkovni pospešek je vektorska količina, ki označuje hitrost spremembe hitrosti v velikosti in smeri.

Hitrost točke pri premikanju od točke M1 do točke Mg se spremeni po velikosti in smeri. Povprečni pospešek v tem časovnem obdobju

Pospešek v tem trenutku:

Običajno se zaradi udobja upoštevata dve medsebojno pravokotni komponenti pospeška: normalna in tangencialna (slika 2.4)

Normalni pospešek a n , označuje spremembo hitrosti vzdolž

smer in je opredeljena kot

Normalni pospešek je vedno pravokoten na hitrost proti središču loka.

Slika 2.4

Tangencialni pospešek a t , označuje spremembo hitrosti v velikosti in je vedno usmerjen tangencialno na trajektorijo; pri pospeševanju njegova smer sovpada s smerjo hitrosti, pri pojemku pa je usmerjena nasprotno smeri vektorja hitrosti.

Vrednost celotnega pospeška je opredeljena kot:

Analiza vrst in kinematičnih parametrov gibanj

Enotno gibanje - to gibanje s konstantno hitrostjo:

Za ravno, enakomerno gibanje:

Za ukrivljeno, enakomerno gibanje:

Zakon enakomernega gibanja :

Ekvivalentno gibanje – to je gibanje s konstantnim tangencialnim pospeškom:

Za pravokotno enakomerno gibanje

Za krivolinijsko enako spremenljivo gibanje:

Zakon enakega gibanja:

Kinematični grafi

Kinematični grafi - to so grafi sprememb poti, hitrosti in pospeška v odvisnosti od časa.

Enotno gibanje (slika 2.5)

Slika 2.5

Ekvivalentno gibanje (slika 2.6)

Slika 2.6

Najpreprostejši gibi togega telesa

Translacijsko gibanje se imenuje gibanje togega telesa, pri katerem vsaka ravna črta na telesu med gibanjem ostane vzporedna s svojim začetnim položajem (slika 2.7)

Slika 2.7

Pri translacijskem gibanju se vse točke telesa premikajo na enak način: hitrosti in pospeški v vsakem trenutku so enaki.

Prirotacijskega gibanja vse točke telesa opisujejo krog okoli skupne fiksne osi.

Imenuje se fiksna os, okoli katere se vrtijo vse točke telesaos vrtenja.

Samo za opis rotacijskega gibanja telesa okoli fiksne osikotni parametri. (slika 2.8)

φ - kot vrtenja telesa;

ω – kotna hitrost, določa spremembo kota vrtenja na enoto časa;

Sprememba kotne hitrosti skozi čas je določena s kotnim pospeškom:

2.2. Primeri reševanja praktičnih problemov

Primer 1: Podana je enačba gibanja točke. Določite hitrost točke na koncu tretje sekunde gibanja in povprečno hitrost prve tri sekunde.

rešitev:

1. Enačba hitrosti

2. Hitrost ob koncu tretje sekunde (t=3 c)

3. Povprečna hitrost

2. primer: Po podanem zakonu gibanja določite vrsto gibanja, začetno hitrost in tangencialni pospešek točke, čas ustavljanja.

rešitev:

1. Vrsta gibanja: enaka spremenljivka ()
2. Pri primerjavi enačb je očitno, da

- začetna pot, prehojena pred začetkom štetja 10m;

- začetna hitrost 20m / s

- konstanten tangencialni pospešek

- pospešek je negativen, zato je gibanje upočasnjeno, pospešek je usmerjen v smer, nasprotno hitrosti gibanja.

3. Določite lahko čas, ko bo hitrost točke enaka nič.

3.Dinamika: osnovni pojmi in aksiomi

Dinamika - del teoretične mehanike, v katerem se vzpostavi povezava med gibanjem teles in silami, ki nanje delujejo.

V dinamiki se rešujeta dve vrsti problemov:

določiti parametre gibanja za dane sile;

določi sile, ki delujejo na telo, glede na dane kinematične parametre gibanja.

Spodajmaterialna točka pomenijo določeno telo, ki ima določeno maso (tj. vsebuje določeno količino snovi), vendar nima linearnih dimenzij (neskončno majhen prostornina).
Izolirana upošteva se materialna točka, na katero druge materialne točke ne vplivajo. V resničnem svetu izolirane materialne točke, tako kot izolirana telesa, ne obstajajo, ta koncept je pogojen.

Pri translacijskem gibanju se vse točke telesa premikajo na enak način, zato lahko telo vzamemo kot materialno točko.

Če so dimenzije telesa majhne v primerjavi s potjo, ga lahko štejemo tudi za materialno točko, medtem ko točka sovpada s težiščem telesa.

Med rotacijskim gibanjem telesa se točke morda ne premikajo na enak način, v tem primeru lahko nekatere določbe dinamike uporabimo le za posamezne točke, materialni predmet pa lahko obravnavamo kot množico materialnih točk.

Zato se dinamika deli na dinamiko točke in dinamiko materialnega sistema.

Aksiomi dinamike

Prvi aksiom ( načelo vztrajnosti): v Vsaka izolirana materialna točka je v stanju mirovanja ali enakomernega in pravokotnega gibanja, dokler je uporabljene sile ne pripeljejo iz tega stanja.

To stanje se imenuje državavztrajnost. Odstranite točko iz tega stanja, t.j. da bi ji dala nekaj pospeška, lahko zunanja sila.

Vsako telo (točka) imavztrajnost. Telesna masa je merilo vztrajnosti.

Po masi se imenujejokoličina snovi v volumnu telesa, v klasični mehaniki velja za konstantno vrednost. Merska enota za maso je kilogram (kg).

Drugi aksiom (Newtonov drugi zakon je osnovni zakon dinamike)

F = ma

kjeT - masa točke, kg;a - točkovni pospešek, m / s 2 .

Pospešek, ki se materialni točki daje s silo, je sorazmeren z velikostjo sile in sovpada s smerjo sile.

Gravitacija deluje na vsa telesa na Zemlji, daje telesu pospešek teže, usmerjen proti središču Zemlje:

G = mg,

kjeg - 9,81 m / s², gravitacijski pospešek.

Tretji aksiom (Newtonov tretji zakon): cmulji interakcije dveh teles so enaki po velikosti in usmerjeni vzdolž ene ravne črte v različnih smereh.

Pri interakciji so pospeški obratno sorazmerni z masami.

Četrti aksiom (zakon neodvisnosti delovanja sil): toVsaka sila sistema sil deluje tako, kot bi delovala sama.

Pospešek, ki ga točki daje sistem sil, je enak geometrijski vsoti pospeškov, ki jih točki daje vsaka sila posebej (slika 3.1):

Slika 3.1

Koncept trenja. Vrste trenja.

Trenje- upor, ki nastane zaradi gibanja enega grobega telesa po površini drugega. Pri drsenju teles pride do drsnega trenja, pri kotaljenju pa do nihajnega trenja.

Drsno trenje

Slika 3.2.

Razlog je mehanski vprijem izrastkov. Sila upora proti gibanju med drsenjem se imenuje sila trenja drsenja (slika 3.2)

Zakoni drsnega trenja:

1. Sila drsnega trenja je neposredno sorazmerna s silo normalnega tlaka:

kjeR- sila normalnega tlaka, usmerjena pravokotno na podporno površino;f- koeficient drsnega trenja.

Slika 3.3.

V primeru gibanja telesa po nagnjeni ravnini (slika 3.3)

Trenje kotaljenja

Kotalni upor je povezan z medsebojno deformacijo tal in kolesa in je bistveno manjše drsno trenje.

Za enakomerno kotaljenje kolesa je treba uporabiti siloF dv (Slika 3.4)

Kotalni pogoj kolesa je, da gibalni moment ne sme biti manjši od upornega momenta:

Slika 3.4.

Primer 1: 2. primer: Na dve materialni točki z masom 1 = 2 kg inm 2 = 5 kg, delujejo enake sile. Hitreje primerjajte vrednosti.

rešitev:

Po tretjem aksiomu je dinamika pospeška obratno sorazmerna z masami:

3. primer: Določite delo teže pri premikanju bremena od točke A do točke C po nagnjeni ravnini (slika 3. 7). Sila težnosti telesa je 1500N. AB = 6 m, BC = 4 m. 3. primer: Določite delo rezalne sile v 3 min. Hitrost vrtenja obdelovanca 120 vrt/min, premer obdelovanca 40 mm, rezalna sila 1kN. (Slika 3.8)

rešitev:

1. Delo v rotacijskem gibanju:

2. Kotna hitrost 120 vrt./min

Slika 3.8.

3. Število vrtljajev za določen čas jez= 120 * 3 = 360 vrt.

Kot vrtenja v tem času je φ = 2πz= 2 * 3,14 * 360 = 2261rad

4. Delajte v 3 zavojih:W= 1 * 0,02 * 2261 = 45,2 kJ

Bibliografija

Olofinskaya, V.P. "Tehnična mehanika", Moskva "Forum" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Teoretična mehanika. Odpornost materialov.- Rn-D; Phoenix, 2010

Teoretična mehanika- to je del mehanike, ki določa osnovne zakonitosti mehanskega gibanja in mehanske interakcije materialnih teles.

Teoretična mehanika je veda, v kateri se preučujejo gibanja teles skozi čas (mehanska gibanja). Služi kot osnova za druge veje mehanike (teorija elastičnosti, odpornost materialov, teorija plastičnosti, teorija mehanizmov in strojev, hidroaerodinamika) in številne tehnične discipline.

Mehansko gibanje- to je sčasoma sprememba relativnega položaja materialnih teles v prostoru.

Mehanska interakcija- to je takšna interakcija, zaradi katere se spremeni mehansko gibanje ali se spremeni relativni položaj delov telesa.

Statika togega telesa

Statika- to je del teoretične mehanike, ki obravnava probleme ravnotežja togih teles in pretvorbe enega sistema sil v drugega, ki mu je enak.

Osnovni pojmi in zakoni statike

Popolnoma trdna(telo, telo) je materialno telo, v katerem se razdalja med nobenimi točkami ne spreminja.
Materialna točka Je telo, katerega dimenzije glede na pogoje problema lahko zanemarimo.
Prosto telo Je telo, katerega gibanje ni predmet nobenih omejitev.
Nesvobodno (vezano) telo Je telo z omejitvami za njegovo gibanje.
Povezave- to so telesa, ki preprečujejo gibanje obravnavanega predmeta (telo ali sistem teles).
Komunikacijska reakcija Je sila, ki označuje učinek vezi na togo telo. Če silo, s katero togo telo deluje na vez, upoštevamo kot dejanje, potem je reakcija vezi reakcija. V tem primeru se sila - delovanje nanaša na vez, reakcija vezi pa na trdno snov.
Mehanski sistem Je niz medsebojno povezanih teles ali materialnih točk.
Trdno se lahko obravnava kot mehanski sistem, katerega položaj in razdalja med točkami se ne spreminjata.
Moč Je vektorska količina, ki označuje mehansko delovanje enega materialnega telesa na drugega.
Za silo kot vektor je značilna točka uporabe, smer delovanja in absolutna vrednost. Merska enota za modul sile je Newton.
Prisilna akcijska linija Je ravna črta, vzdolž katere je usmerjen vektor sile.
Koncentrirana moč- sila, ki deluje na eni točki.
Porazdeljene sile (razporejena obremenitev)- to so sile, ki delujejo na vse točke volumna, površine ali dolžine telesa.
Porazdeljena obremenitev je določena s silo, ki deluje na enoto prostornine (površino, dolžino).
Dimenzija porazdeljene obremenitve je N / m 3 (N / m 2, N / m).
Zunanja sila Je sila, ki deluje iz telesa, ki ne pripada obravnavanemu mehanskemu sistemu.
Notranja moč Je sila, ki deluje na materialno točko mehanskega sistema iz druge materialne točke, ki pripada obravnavanemu sistemu.
Sistem sile Je niz sil, ki delujejo na mehanski sistem.
Ploščati sistem sil Je sistem sil, katerih linije delovanja ležijo v isti ravnini.
Prostorski sistem sil Je sistem sil, katerih linije delovanja ne ležijo v isti ravnini.
Sistem konvergentnih sil Je sistem sil, katerih linije delovanja se sekajo v eni točki.
Samovoljni sistem sil Je sistem sil, katerih linije delovanja se v eni točki ne sekajo.
Ekvivalentni sistemi sil- to so sistemi sil, katerih zamenjava enega z drugim ne spremeni mehanskega stanja telesa.
Sprejeta oznaka:.
Ravnotežje- to je stanje, v katerem telo pod delovanjem sil miruje ali se giblje enakomerno v ravni črti.
Uravnotežen sistem sil Je sistem sil, ki ob delovanju na prosto trdno telo ne spremeni svojega mehanskega stanja (ne neuravnoteži).
.
Posledica sile Je sila, katere delovanje na telo je enako delovanju sistema sil.
.
Trenutek moči Je vrednost, ki označuje rotacijsko sposobnost sile.
Par sil Je sistem dveh vzporednih, enakih po velikosti, nasprotno usmerjenih sil.
Sprejeta oznaka:.
Pod delovanjem para sil se bo telo vrtelo.
Projekcija osne sile Je segment, zaprt med navpičnicama, vlečenimi od začetka in konca vektorja sile na to os.
Projekcija je pozitivna, če smer odseka črte sovpada s pozitivno smerjo osi.
Projiciranje sile na ravnino Je vektor na ravnini, zaprt med navpičnicama, vlečenimi od začetka in konca vektorja sile na to ravnino.
Zakon 1 (zakon vztrajnosti). Izolirana materialna točka miruje ali se giblje enakomerno in pravokotno.
Enakomerno in pravokotno gibanje materialne točke je gibanje po vztrajnosti. Stanje ravnotežja med materialno točko in togim telesom ne razumemo le kot stanje mirovanja, temveč tudi kot gibanje po vztrajnosti. Za togo telo obstajajo različne vrste inercialnega gibanja, na primer enakomerno vrtenje togega telesa okoli fiksne osi.
zakon 2. Trdno telo je v ravnotežju pod delovanjem dveh sil le, če sta ti sili enaki po velikosti in usmerjeni v nasprotni smeri vzdolž skupne črte delovanja.
Ti dve sili se imenujeta uravnoteženi.
Na splošno se sile imenujejo uravnotežene, če togo telo, na katerega te sile delujejo, miruje.
Zakon 3. Ne da bi motili stanje (beseda "stanje" tukaj pomeni stanje gibanja ali počitka) togega telesa, lahko dodajamo in spuščamo protiutežne sile.
Posledica. Brez kršitve stanja togega telesa se sila lahko prenese vzdolž njegove linije delovanja na katero koli točko v telesu.
Dva sistema sil se imenujeta enakovredna, če je mogoče enega od njiju nadomestiti z drugim, ne da bi pri tem kršili stanje togega telesa.
Zakon 4. Rezultanta dveh sil, ki delujeta na eni točki, delujeta na isti točki, je po velikosti enaka diagonali paralelograma, zgrajenega na teh silah, in je usmerjena vzdolž tega
diagonale.
Modul rezultante je enak:
Zakon 5 (zakon enakosti delovanja in reakcije)... Sili, s katerimi dve telesi delujeta drug na drugega, sta enaki po velikosti in usmerjeni v nasprotni smeri vzdolž ene premice.
Upoštevati je treba, da dejanje- sila, ki deluje na telo B, in protiukrep- sila, ki deluje na telo A niso uravnoteženi, saj so pritrjeni na različna telesa.
Zakon 6 (zakon utrjevanja)... Ravnotežje netrdnega telesa se ne poruši, ko se strdi.
Ne smemo pozabiti, da so pogoji ravnotežja, ki so nujni in zadostni za trdno snov, nujni, ne pa zadostni za ustrezno netrdno.
Zakon 7 (zakon osvoboditve vezi). Nesvobodno togo telo lahko štejemo za prosto, če je duševno osvobojeno vezi, pri čemer se delovanje vezi nadomesti z ustreznimi reakcijami vezi.

Povezave in njihove reakcije

Gladka površina omejuje gibanje vzdolž normale na podporno površino. Reakcija je usmerjena pravokotno na površino.
Zgibna premična opora omejuje gibanje telesa vzdolž normale na referenčno ravnino. Reakcija je usmerjena vzdolž normale na podporno površino.
Zgibna fiksna podpora preprečuje vsako gibanje v ravnini, pravokotni na os vrtenja.
Zgibna breztežna palica preprečuje gibanje telesa vzdolž linije palice. Reakcija bo usmerjena vzdolž črte palice.
Slepa prekinitev preprečuje kakršno koli gibanje in vrtenje v ravnini. Njegovo delovanje je mogoče nadomestiti s silo, predstavljeno v obliki dveh komponent in par sil z momentom.

Kinematika

Kinematika- del teoretične mehanike, ki preučuje splošne geometrijske lastnosti mehanskega gibanja kot procesa, ki se dogaja v prostoru in času. Premikajoči se predmeti obravnavajo kot geometrijske točke ali geometrijska telesa.

Osnovni pojmi kinematike

Zakon gibanja točke (telesa) Je odvisnost položaja točke (telesa) v prostoru od časa.
Točkovna pot Je geometrijski položaj točke v prostoru med njenim gibanjem.
Točkovna (telesna) hitrost- To je značilnost časovne spremembe položaja točke (telesa) v prostoru.
Točkovni (telesni) pospešek- To je značilnost spremembe v času hitrosti točke (telesa).

Določanje kinematičnih značilnosti točke

Točkovna pot
V vektorskem referenčnem okviru je trajektorija opisana z izrazom:.
V referenčnem koordinatnem sistemu je trajektorija določena po zakonu gibanja točke in je opisana z izrazi z = f (x, y)- v vesolju, oz y = f (x)- v letalu.
V naravnem referenčnem okviru je trajektorija določena vnaprej.
Določanje hitrosti točke v vektorskem koordinatnem sistemu
Pri določanju gibanja točke v vektorskem koordinatnem sistemu se razmerje gibanja in časovnega intervala imenuje povprečna vrednost hitrosti v tem časovnem intervalu:.
Če vzamemo časovni interval kot neskončno majhno vrednost, dobimo vrednost hitrosti v danem času (trenutna vrednost hitrosti): .
Vektor povprečne hitrosti je usmerjen vzdolž vektorja v smeri gibanja točke, vektor trenutne hitrosti je usmerjen tangencialno na trajektorijo v smeri gibanja točke.
zaključek: hitrost točke je vektorska količina, ki je enaka izvodu zakona gibanja glede na čas.
Lastnost izpeljanega finančnega instrumenta: izpeljanka katere koli količine glede na čas določa hitrost spremembe te količine.
Določanje hitrosti točke v koordinatnem sistemu
Stopnje spreminjanja koordinat točk:
.
Modul polne hitrosti točke s pravokotnim koordinatnim sistemom bo enak:
.
Smer vektorja hitrosti je določena s kosinusi smernih kotov:
,
kjer so koti med vektorjem hitrosti in koordinatnimi osmi.
Določanje hitrosti točke v naravnem referenčnem sistemu
Hitrost točke v naravnem referenčnem sistemu je določena kot izpeljanka zakona gibanja točke:.
Glede na prejšnje sklepe je vektor hitrosti usmerjen tangencialno na trajektorijo v smeri gibanja točke in v osi določa samo ena projekcija.

Kinematika togega telesa

V kinematiki trdnih snovi se rešujeta dve glavni nalogi:
1) naloga gibanja in določitev kinematičnih značilnosti telesa kot celote;
2) določitev kinematičnih značilnosti točk telesa.
Translacijsko gibanje togega telesa
Translacijsko gibanje je gibanje, pri katerem ravna črta, potegnjena skozi dve točki telesa, ostane vzporedna s prvotnim položajem.
izrek: pri translacijskem gibanju se vse točke telesa gibljejo po istih trajektorijah in imajo v vsakem trenutku enako velikost in smer hitrosti in pospeška.
zaključek: translacijsko gibanje togega telesa določa gibanje katere koli njegove točke, v zvezi s čimer se naloga in študij njegovega gibanja zmanjša na kinematiko točke.
Rotacijsko gibanje togega telesa okoli fiksne osi
Rotacijsko gibanje togega telesa okoli fiksne osi je gibanje togega telesa, pri katerem dve točki, ki pripadata telesu, ostaneta ves čas gibanja negibni.
Položaj telesa je določen s kotom vrtenja. Enota kota je radian. (Radijan je osrednji kot kroga, katerega dolžina loka je enaka polmeru, skupni kot kroga vsebuje 2π radianov.)
Zakon rotacijskega gibanja telesa okoli fiksne osi.
Kotno hitrost in kotni pospešek telesa določimo z diferenciacijsko metodo:
- kotna hitrost, rad / s;
- kotni pospešek, rad/s².
Če telo odrežete z ravnino, pravokotno na os, izberite točko na osi vrtenja Z in poljubna točka M nato pokažite M bo opisal okoli točke Z polmer kroga R... Med dt pride do elementarnega vrtenja skozi kot, medtem ko točka M se bo premikal po poti na daljavo .
Modul linearne hitrosti:
.
Točkovni pospešek M z znano potjo jo določajo njene komponente:
,
kje .
Kot rezultat dobimo formule
tangencialni pospešek: ;
normalen pospešek: .

Dinamika

Dinamika- To je del teoretične mehanike, v katerem se preučujejo mehanska gibanja materialnih teles, odvisno od razlogov, ki jih povzročajo.

Osnovni pojmi dinamike

Inercija- to je lastnost materialnih teles, da vzdržujejo stanje mirovanja ali enakomernega pravokotnega gibanja, dokler zunanje sile ne spremenijo tega stanja.
Utež Je kvantitativno merilo vztrajnosti telesa. Merska enota za maso je kilogram (kg).
Materialna točka Je telo z maso, katere dimenzije pri reševanju tega problema zanemarjamo.
Težišče mehanskega sistema- geometrijska točka, katere koordinate so določene s formulami:

kje m k, x k, y k, z k- masa in koordinate k-točko mehanskega sistema, m Je masa sistema.
V homogenem gravitacijskem polju položaj težišča sovpada s položajem težišča.
Vztrajnostni moment materialnega telesa okoli osi Je kvantitativno merilo vztrajnosti med rotacijskim gibanjem.
Vztrajnostni moment materialne točke okoli osi je enak zmnožku mase točke s kvadratom oddaljenosti točke od osi:
.
Vztrajnostni moment sistema (telesa) okoli osi je enak aritmetični vsoti vztrajnostnih momentov vseh točk:
Sila vztrajnosti materialne točke Je vektorska količina, ki je po velikosti enaka produktu mase točke z modulom pospeška in je usmerjena nasprotno vektorju pospeška:
Sila vztrajnosti materialnega telesa Ali je vektorska količina enaka po velikosti zmnožku telesne mase z modulom pospeška masnega središča telesa in usmerjena nasprotno vektorju pospeška središča mase:,
kjer je pospešek težišča telesa.
Elementarni impulz sile Je vektorska količina, ki je enaka produktu vektorja sile za neskončno majhen časovni interval dt:
.
Skupni impulz sile za Δt je enak integralu osnovnih impulzov:
.
Osnovno delo moči Je skalar dA enako skalarnemu proi

Ogled: ta članek je bil prebran 32852 krat

Pdf Izberite jezik ... Ruski Ukrajinski Angleščina

Kratek pregled

Celotno gradivo je preneseno zgoraj, po predhodnem izboru jezika

Statika
- Osnovni pojmi statike
- Vrste sil
- Aksiomi statike
- Povezave in njihove reakcije
- Sistem konvergentnih sil
  - Metode za določanje rezultantnega sistema konvergentnih sil
  - Ravnotežni pogoji za sistem konvergentnih sil
- Moment sile glede na središče kot vektor
  - Algebraična velikost momenta sile
  - Lastnosti momenta sile okoli središča (točke)
- Teorija parov sil
  - Seštevanje dveh vzporednih sil, usmerjenih v eno smer
  - Seštevek dveh vzporednih sil, usmerjenih v nasprotni smeri
  - Pari sil
  - Izrek o parih silah
  - Ravnotežni pogoji za sistem parov sil
- Ročica vzvoda
- Samovoljni ploščati sistem sil
  - Primeri redukcije ravninskega sistema sil na enostavnejšo obliko
  - Pogoji analitičnega ravnotežja
- Center vzporednih sil. Težišče
  - Center vzporednih sil
  - Težišče togega telesa in njegove koordinate
  - Težišče prostornine, ravnine in črte
  - Metode za določanje položaja težišča
Osnove izračunov moči
- Naloge in metode trdnosti materialov
- Razvrstitev obremenitev
- Razvrstitev konstrukcijskih elementov
- Deformacije palic
- Osnovne hipoteze in načela
- Notranje sile. Metoda odseka
- Napetost
- Raztezanje in stiskanje
- Mehanske značilnosti materiala
- Dovoljene napetosti
- Trdota materialov
- Izrisi vzdolžnih sil in napetosti
- Shift
- Geometrijske značilnosti odsekov
- Torzija
- Bend
  - Diferencialne omejitve upogibanja
  - Upogibna trdnost
  - Normalne napetosti. Izračun moči
  - Strižne upogibne napetosti
  - Upogibna togost
- Elementi splošne teorije napetostnega stanja
- Teorije moči
- Torzijski upogib
Kinematika
- Kinematika točke
  - Točkovna pot
  - Metode za določanje premikanja točke
  - Točkovna hitrost
  - Točkovni pospešek
- Kinematika togega telesa
  - Translacijsko gibanje togega telesa
  - Rotacijsko gibanje togega telesa
  - Kinematika zobnika
  - Ravnovzporedno gibanje togega telesa
- Kompleksno gibanje točk
Dinamika
- Osnovni zakoni dinamike
- Dinamika točke
  - Diferencialne enačbe proste materialne točke
  - Dva problema točkovne dinamike
- Dinamika trdega telesa
  - Razvrstitev sil, ki delujejo na mehanski sistem
  - Diferencialne enačbe gibanja mehanskega sistema
- Splošni izreki dinamike
  - Izrek o gibanju masnega središča mehanskega sistema
  - Izrek o spremembi impulza
  - Izrek o spremembi kotne količine
  - Izrek o spremembi kinetične energije
Sile, ki delujejo v strojih
- Sile pri vklopu čelnega zobnika
- Trenje v mehanizmih in strojih
  - Drsno trenje
  - Trenje kotaljenja
- Učinkovitost
Strojni deli
- Mehanski prenos
  - Vrste mehanskih menjalnikov
  - Osnovni in izpeljani parametri mehanskih prenosov
  - Prestavni menjalnik
  - Prilagodljivi prenos povezave
- gredi
  - Namen in razvrstitev
  - Dizajnerski izračun
  - Preverite izračun gredi
- Ležaji
  - Drsni ležaji
  - Kotalni ležaji
- Povezovanje delov stroja
  - Vrste snemljivih in enodelnih povezav
  - Povezave s ključem
Standardizacija norm, zamenljivost
- Tolerance in pristanki
- Enotni sistem toleranc in pristankov (ESDP)
- Geometrijska toleranca in položaj

Format: pdf

Velikost: 4MB

ruski jezik

Primer izračuna čelnega zobnika
Primer izračuna čelnega zobnika. Izvedeni so bili izbor materiala, izračun dovoljenih napetosti, izračun kontaktne in upogibne trdnosti.

Primer reševanja problema upogibanja žarka
V primeru so izdelani diagrami strižnih sil in upogibnih momentov, najdemo nevaren odsek in izberemo I-žarek. V problemu je analizirana konstrukcija diagramov z uporabo diferencialnih odvisnosti, izvedena je primerjalna analiza različnih prerezov žarka.

Primer reševanja problema torzije gredi
Naloga je preveriti trdnost jeklene gredi za dani premer, material in dovoljene napetosti. Med reševanjem se izrišejo diagrami navorov, strižnih napetosti in torzijskih kotov. Lastna teža gredi se ne upošteva.

Primer reševanja problema napetosti-stiskanja palice
Naloga je preveriti trdnost jeklene palice pri dani dovoljeni napetosti. Med reševanjem se izrišejo diagrami vzdolžnih sil, normalnih napetosti in premikov. Lastna teža palice se ne upošteva.

Uporaba izreka o ohranjanju kinetične energije
Primer reševanja problema o uporabi izreka o ohranjanju kinetične energije mehanskega sistema

Določanje hitrosti in pospeška točke po danih enačbah gibanja
Primer reševanja naloge za določitev hitrosti in pospeška točke po danih enačbah gibanja

Določanje hitrosti in pospeška točk togega telesa med ravninsko vzporednim gibanjem
Primer reševanja problema določanja hitrosti in pospeška točk togega telesa med ravninsko vzporednim gibanjem

Določanje sil v palicah ravnega nosilca
Primer reševanja problema določanja sil v palicah ravne rešetke po Ritterjevi metodi in po metodi rezanja vozlišč

Podobni članki

Pogovorite se:

Pita z zelišči Kako kuhati pito z zelišči v pečici: Izdelava torte običajno vključuje samo tri korake: testo, ...
Pust boršč s fižolom in papalino: Malo jih ni poskusilo boršča s papalino v paradižniku, a preden je bil priljubljen ...
Pite z zelišči Recept za pito na hitro roko z zelišči: 7. jul 2012 22:03 "Ocvrte pite z zelišči" ali kutaba z zelišči ...
Zdravje in lepota iz narave: Zagotovo ste okusili nacionalno tatarsko jed - čebureke ...