Aké číselné sekvencie sa nazývajú monotónne. Číselné sekvencie

Ak je každé prirodzené číslo n spojené s nejakým skutočným číslom x n, potom hovorí, že dané číselná postupnosť

x 1 , X 2 , … x n , …

Číslo x 1 sa nazýva člen sekvencie s číslom 1 alebo prvý termín v poradí, číslo x 2 - člen sekvencie s číslom 2 alebo druhý člen sekvencie atď. Zavolá sa číslo x n člen sekvencie číslovanýn.

Existujú dva spôsoby, ako určiť postupnosť čísel - pomocou a pomocou opakujúci sa vzorec.

Poradie s bežné výrazové vzorce Je postupná úloha

x 1 , X 2 , … x n , …

pomocou vzorca vyjadrujúceho závislosť pojmu x n od jeho počtu n.

Príklad 1. Poradie čísel

1, 4, 9, … n 2 , …

uvedené pomocou bežného výrazu vzorec

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekvenovanie pomocou vzorca vyjadrujúceho člena sekvencie x n v zmysle členov sekvencie s predchádzajúcimi číslami sa nazýva sekvenovanie pomocou opakujúci sa vzorec.

x 1 , X 2 , … x n , …

zavolal zvyšujúca sa postupnosť, viac predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre všetkých n

x n + 1 > X n

Príklad 3. Postupnosť prirodzených čísel

1, 2, 3, … n, …

je zvyšujúca sa postupnosť.

Definícia 2. Číselná postupnosť

x 1 , X 2 , … x n , …

zavolal klesajúca postupnosť, ak každý člen tejto postupnosti menej predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre všetkých n \u003d 1, 2, 3, ... nerovnosť

x n + 1 < X n

Príklad 4. Postupnosť

dané vzorcom

je zostupná postupnosť.

Príklad 5. Poradie čísel

1, - 1, 1, - 1, …

dané vzorcom

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nie je ani sa nezvyšuje, ani neznižuje postupnosť.

Definícia 3. Zvyšovanie a znižovanie číselných sekvencií sa nazýva monotónne sekvencie.

Obmedzené a neobmedzené sekvencie

Definícia 4. Číselná postupnosť

x 1 , X 2 , … x n , …

zavolal ohraničený zhora, ak existuje také číslo M, že každý člen tejto postupnosti menej čísla M.

Inými slovami, pre všetkých n \u003d 1, 2, 3, ... nerovnosť

Definícia 5. Numerická postupnosť

x 1 , X 2 , … x n , …

zavolal obmedzené zdola, ak je také číslo m, že každý člen tejto postupnosti viac čísla m.

Inými slovami, pre všetkých n \u003d 1, 2, 3, ... nerovnosť

Definícia 6. Číselná postupnosť

x 1 , X 2 , … x n , …

volal obmedzený, ak je ohraničené zhora aj zdola.

Inými slovami, existujú čísla M a m pre všetky n \u003d 1, 2, 3, ... nerovnosť

m< x n < M

Definícia 7. Číselné postupnosti, ktoré nie sú obmedzenésa volajú neobmedzené sekvencie.

Príklad 6. Poradie čísel

1, 4, 9, … n 2 , …

dané vzorcom

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ohraničené zdolanapríklad číslo 0. Avšak táto postupnosť zhora neobmedzene.

Príklad 7. Postupnosť

dané vzorcom

je obmedzená postupnosťpretože pre všetkých n \u003d 1, 2, 3, ... nerovnosť

Na našom webe sa tiež môžete oboznámiť so školiacimi materiálmi vyvinutými učiteľmi školiaceho strediska Resolvent pre prípravu na jednotnú štátnu skúšku a OGE z matematiky.

Pre školákov, ktorí sa chcú dobre pripraviť a uspieť Zjednotená štátna skúška z matematiky alebo ruštiny pre vysoké skóre vedie školiace stredisko Resolvent

prípravné kurzy pre školákov v 10. a 11. ročníku

Definícia 1. Sekvencia sa nazýva neklesajúca [nerastúca], ak každý prvok sekvencie, počnúc druhým, nie je menší [nie viac ako] jeho predchádzajúci prvok, to znamená, ak nerovnosť

Definícia 2. Sekvencia sa nazýva monotónna, ak je buď neklesajúca alebo nerastúca.

Ak prvky neklesajúcej postupnosti pre všetky čísla vyhovujú prísnej nerovnosti, potom sa táto postupnosť nazýva zväčšujúca.

Podobne, ak prvky nerastúcej postupnosti pre všetky čísla vyhovujú prísnej nerovnosti, potom sa táto postupnosť nazýva klesajúca.

Upozorňujeme, že akákoľvek monotónna sekvencia je a priori ohraničená na jednej strane (buď zhora alebo zdola). Akákoľvek neklesajúca sekvencia je v skutočnosti ohraničená zdola (hodnota jej prvého prvku môže byť považovaná za dolnú hranicu) a akákoľvek nerastúca sekvencia je ohraničená zhora (hodnota jeho prvého prvku môže byť tiež braná ako horná hranica).

Z toho vyplýva, že neklesajúca sekvencia bude ohraničená na oboch stranách alebo bude jednoducho ohraničená vtedy a len vtedy, ak je ohraničená zhora, a nerastúca sekvencia bude ohraničená vtedy a len vtedy, ak je ohraničená zdola.

Uvažujme o príkladoch monotónnych sekvencií.

1. Poradie nie je klesajúce. Je ohraničený zdola hodnotou svojho prvého prvku, ale nie je ohraničený zhora.

2. Postupnosť klesá. Je ohraničený na oboch stranách: na vrchu hodnotou prvého prvku 2 a na spodku napríklad číslom 1.

Definícia1. Sekvencia sa volá klesajúci (nerastúci ) ak pre všetkých
nerovnosť platí
.

Definícia2. Poradie
zavolal pribúdajúce (neklesajúci ) ak pre všetkých
nerovnosť platí
.

Definícia3. Menujú sa, nerastú, pribúdajú a neklesajú sekvencie monotónna sekvencie, nazývajú sa aj znižujúce sa a zvyšujúce sa sekvencie striktne monotónna sekvencie.

Je zrejmé, že neredukujúca sa sekvencia je ohraničená zdola, nerastúca sekvencia je ohraničená zhora. Preto je každá monotónna sekvencia zjavne ohraničená na jednej strane.

Príklad1. Poradie
zvyšuje, neznižuje,
klesá
nezvyšuje sa
- nemonotónna postupnosť.

Pre monotónne sekvencie zohráva dôležitú úlohu nasledujúce.

Veta1. Ak je neklesajúca (nerastúca) sekvencia ohraničená vyššie (dole), potom konverguje.

Dôkazy... Nechajte postupnosť
neklesá a je ohraničený zhora, t.j.
a veľa ďalších
zhora ohraničený. Veta 1 v § 2 existuje
... Dokážme to
.

Vezmime
svojvoľne. Pretože a- presná horná hranica, počet existuje N také, že
... Pretože postupnosť neklesá, potom pre všetky
máme, t.j.
, tak
pre všetkých
, a to znamená, že
.

Pre nerastúcu sekvenciu ohraničenú zdola je dôkaz podobný ( študenti môžu toto tvrdenie preukázať sami doma). Veta je dokázaná.

Komentovať... Vetu 1 je možné formulovať rôzne.

Veta2. Aby sa monotónna sekvencia zbiehala, je potrebné a postačujúce, aby bola obmedzená.

Dostatočnosť bola stanovená vo Vete 1, nevyhnutnosť - vo Vete 2 § 5.

Podmienka monotónnosti nie je nevyhnutná na to, aby sa sekvencia zbiehala, pretože konvergujúca sekvencia nemusí byť nevyhnutne monotónna. Napríklad postupnosť
nie monotónne, ale konverguje k nule.

Dôsledok... Ak postupnosť
zväčšuje (zmenšuje) a je potom ohraničený hore (dole)
(
).

Podľa vety 1
(
).

Definícia4. Ak a
o
, potom sa volá postupnosť kontraktačný systém vnorených líniových segmentov .

Veta3 (princíp vnorených úsečiek). Akýkoľvek kontrakčný systém vnorených segmentov má a navyše má jedinečný bod odpatriace do všetkých segmentov tohto systému.

Dôkazy... Dokážme to odexistuje. Pretože
potom
a teda postupnosť
neznižuje, ale postupnosť
nezvyšuje sa. Čím
a
obmedzené od. Potom podľa vety 1 existujú
a
, ale od
potom
=
... Nájdený bod odpatrí do všetkých segmentov systému, pretože k vete 1
,
, t.j.
pre všetky hodnoty n.

Ukážme si to teraz od- jediný. Predpokladajme, že existujú dva také body: oda da nechajme definitivitu
... Potom segment
patrí do všetkých segmentov
, t.j.
pre všetkých n, čo je nemožné, keďže
a teda, počnúc určitým počtom,
... Veta je dokázaná.

Upozorňujeme, že tu je nevyhnutné brať do úvahy uzavreté intervaly, t.j. segmenty. Ak vezmeme do úvahy systém zmluvných intervalov, potom je zásada všeobecne nesprávna. Napríklad intervaly
samozrejme kontrakt k veci
ale bod
nepatrí do žiadneho intervalu tohto systému.

Uvažujme teraz o príkladoch konvergujúcich monotónnych sekvencií.

1) Číslo e.

Zvážte teraz postupnosť
... Ako sa správa? Základňa

stupňa
, tak
? Na druhej strane,
a
, tak
? Alebo neexistuje žiadny limit?

Ak chcete odpovedať na tieto otázky, zvážte pomocnú postupnosť
... Dokážme, že klesá a je ohraničený zdola. V takom prípade budeme potrebovať

Lemma... Ak
, potom pre všetky prírodné hodnoty nmáme

(Bernoulliho nerovnosť).

Dôkazy... Použime metódu matematickej indukcie.

Ak
potom
, t.j. nerovnosť je pravdivá.

Predpokladajme, že to platí pre
a preukázať svoju platnosť pre
+1.

Správny
... Túto nerovnosť vynásobíme
:

Touto cestou, . Podľa princípu matematickej indukcie teda Bernoulliho nerovnosť platí pre všetky prírodné hodnoty n... Lema je dokázaná.

Ukážme, že postupnosť
klesá. Máme

\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulliho nerovnosť ׀
, čo znamená, že postupnosť
klesá.

Ohraničenosť zdola vyplýva z nerovnosti
\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulliho nerovnosť ׀
pre všetky prírodné hodnoty n.

Podľa vety 1 existuje
, ktorá sa označuje listom e... preto
.

Číslo eiracionálne a transcendentálne, e\u003d 2,718281828 .... Je známe, že je základom prirodzených logaritmov.

Poznámky... 1) Bernoulliho nerovnosť sa dá dokázať
o
... Skutočne, ak
potom
... Potom, Bernoulliho nerovnosťou, pre
... Preto, na
máme
, t.j.
o
.

2) Vo vyššie uvedenom príklade základ stupňa má tendenciu k 1 a exponent n- do , to znamená, že existuje neistota formy ... Neistota tohto druhu, ako sme ukázali, sa odhalí pomocou pozoruhodného limitu
.

2)
(*)

Dokážme, že táto postupnosť konverguje. Za týmto účelom ukážeme, že je ohraničený zdola a nezvyšuje sa. V tomto prípade použijeme nerovnosť
pre všetkých
, čo je dôsledok nerovnosti
.

Máme
cm. nerovnosť vyššie
, t.j. postupnosť je zospodu ohraničená číslom
.

Ďalej
 od

, t.j. postupnosť sa nezvyšuje.

Podľa vety 1 existuje
, ktoré označujeme x... Rovnosť (*) zodpovedajúca limitu pri
, dostaneme

, t.j.
odkiaľ
(berieme znamienko plus, pretože všetci členovia postupnosti sú kladní).

Pri výpočte sa používa postupnosť (*)
približne. Za vziať akékoľvek kladné číslo. Napríklad nájdeme
... Nechaj sa
... Potom
, Touto cestou,
.

3)
.

Máme
... Pretože
o
, existuje číslo N, také, že pre všetkých
nerovnosť platí
... Takže postupnosť
počnúc od nejakého čísla N, klesá a je ohraničený zdola, pretože
pre všetky hodnoty n... Preto podľa vety 1 existuje
... Pretože
, máme
.

Takže
.

4)
, napravo - n korene.

Ukážme to matematickou indukciou
pre všetky hodnoty n... Máme
... Nechaj sa
... Potom odtiaľto získame výrok podľa princípu matematickej indukcie. Pomocou tejto skutočnosti zistíme, t.j. postupnosť
zväčšuje a je zhora ohraničený. Preto existuje od
.

Touto cestou,
.

Weierstrassova veta o limite monotónnej sekvencie

Akákoľvek monotónne ohraničená sekvencia (x n) má konečný limit rovný presnej hornej hranici, sup (x n) pre neklesajúcu a presnú dolnú hranicu, inf (x n) pre nerastúcu postupnosť.
Akákoľvek monotónna neviazaná sekvencia má nekonečný limit rovný plus nekonečnu pre neklesajúcu a mínus nekonečna pre nerastúcu sekvenciu.

Dôkazy

1) neklesajúca ohraničená sekvencia.

(1.1) .

Pretože je postupnosť ohraničená, má konečnú presnú hornú hranicu
.
Znamená to, že:

• pre všetky n,
  (1.2) ;
• pre každé kladné číslo existuje také číslo v závislosti od ε, takže
  (1.3) .

.
Tu sme tiež použili (1.3). V kombinácii s (1.2) nájdeme:
o.
Odvtedy
,
alebo
o.
Je dokázaná prvá časť vety.

2) Teraz nech je sekvencia nerastúca obmedzená postupnosť:
(2.1) za všetky n.

Pretože je postupnosť ohraničená, má konečnú presnú dolnú hranicu
.
To znamená nasledovné:

• pre všetkých n platí nasledujúce nerovnosti:
  (2.2) ;
• pre každé kladné číslo existuje číslo závisiace od ε, pre ktoré
  (2.3) .

.
Tu sme tiež použili (2.3). Ak vezmeme do úvahy (2.2), zistíme:
o.
Odvtedy
,
alebo
o.
To znamená, že počet je limitom postupnosti.
Je dokázaná druhá časť vety.

Teraz zvážime neobmedzené sekvencie.
3) Nech je postupnosť neobmedzená neklesajúca postupnosť.

Pretože postupnosť neklesá, pre všetky n platia nasledujúce nerovnosti:
(3.1) .

Pretože sekvencia neklesá a je neobmedzená, je neobmedzená na pravej strane. Potom pre každé číslo M existuje číslo závisiace od M, pre ktoré
(3.2) .

Pretože postupnosť neklesá, potom máme:
.
Tu sme tiež použili (3.2).

.
To znamená, že limit sekvencie je plus nekonečno:
.
Je dokázaná tretia časť vety.

4) Na záver zvážte prípad, kedy je neobmedzená nerastúca postupnosť.

Podobne ako v predchádzajúcom, pretože sekvencia sa teda nezvyšuje
(4.1) za všetky n.

Pretože je postupnosť nerastúca a neohraničená, je neohraničená na ľavej strane. Potom pre každé číslo M existuje číslo závisiace od M, pre ktoré
(4.2) .

Pretože sa postupnosť nerastie, potom máme:
.

Pre každé číslo M teda existuje prirodzené číslo závislé od M, takže pre všetky čísla platia tieto nerovnosti:
.
To znamená, že limit sekvencie je mínus nekonečno:
.
Veta je dokázaná.

Ukážka riešenia problému

Pomocou Weierstrassovej vety ukážte konvergenciu postupnosti:
, , . . . , , . . .
Potom nájdite jeho limit.

Predstavme si postupnosť vo forme opakujúcich sa vzorcov:
,
.

Dokážme, že daná postupnosť je zvrchu ohraničená hodnotou
(W1) .
Dôkaz vykonávame metódou matematickej indukcie.
.
Nechaj sa. Potom
.
Nerovnosť (A1) je dokázaná.

Dokážme, že postupnosť sa monotónne zvyšuje.
;
(P2) .
Pretože, menovateľ zlomku a prvý faktor v čitateli sú kladné. Vzhľadom na ohraničenosť pojmov postupnosti nerovnosťou (A1) je pozitívny aj druhý faktor. preto
.
To znamená, že postupnosť sa striktne zvyšuje.

Pretože sekvencia sa zvyšuje a je zhora ohraničená, jedná sa o ohraničenú sekvenciu. Podľa Weierstrassovej vety má teda svoj limit.

Nájdeme túto hranicu. Označme to:
.
Využijeme skutočnosť, že
.
Aplikujeme to na (A2) pomocou aritmetických vlastností limitov konvergujúcich sekvencií:
.
Koreň podmienku spĺňa.