Číslo pí je. Číslo pi - význam, história, kto to vynašiel

Pi je jedným z najpopulárnejších matematických pojmov. Píšu sa o ňom obrázky, nakrúcajú sa filmy, hrá sa na hudobných nástrojoch, sú mu venované básne, sviatky, hľadá sa a nachádza v posvätných textoch.

Kto objavil pi?

Kto a kedy prvýkrát objavil číslo π, stále zostáva záhadou. Je známe, že už stavitelia starovekého Babylonu ho pri svojom návrhu naplno využívali. Tabuľky s klinovým písmom, ktoré sú staré tisíce rokov, dokonca uchovávajú problémy, ktoré sa navrhovali riešiť pomocou π. Pravda, potom sa verilo, že π sa rovná trom. Dokazuje to tabuľka nájdená v meste Susa, dvesto kilometrov od Babylonu, kde bolo číslo π označené ako 3 1/8.

V procese výpočtu π Babylončania zistili, že polomer kruhu ako tetiva doň vstupuje šesťkrát a rozdelili kruh na 360 stupňov. A zároveň urobili to isté s obežnou dráhou slnka. Preto sa rozhodli zvážiť, že rok má 360 dní.

V starovekom Egypte sa π rovnalo 3,16.
V starovekej Indii - 3 088.
V Taliansku na prelome letopočtu sa verilo, že π sa rovná 3,125.

V staroveku sa najstaršia zmienka o π týka slávneho problému kvadratúry kruhu, to znamená nemožnosti použiť kompas a pravítko na zostavenie štvorca, ktorého plocha sa rovná ploche určitého kruhu. Archimedes prirovnal π k zlomku 22/7.

Najbližší ľudia k presnej hodnote π sa dostali do Číny. Bol vypočítaný v 5. storočí nášho letopočtu. e. slávny čínsky astronóm Tzu Chun Zhi. π bolo vypočítané celkom jednoducho. Bolo potrebné napísať nepárne čísla dvakrát: 11 33 55 a potom ich rozdelením na polovicu umiestniť prvé do menovateľa zlomku a druhé do čitateľa: 355/113. Výsledok súhlasí s modernými výpočtami π až do siedmej číslice.

Prečo π – π?

Teraz už aj školáci vedia, že číslo π je matematická konštanta rovnajúca sa pomeru obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru a rovná sa π 3,1415926535 ... a potom za desatinnou čiarkou - do nekonečna.

Číslo získalo svoje označenie π komplexným spôsobom: najprv v roku 1647 použil matematik Outrade toto grécke písmeno na označenie dĺžky kruhu. Vzal prvé písmeno gréckeho slova περιφέρεια - „periféria“. Už v roku 1706 anglický učiteľ William Jones vo svojom diele „Review of the Achievements of Mathematics“ nazval pomer obvodu kruhu k jeho priemeru písmenom π. A meno upevnil matematik z 18. storočia Leonard Euler, pred autoritou ktorého ostatní sklonili hlavy. Takže z π sa stalo π.

Jedinečnosť čísla

Pi je skutočne jedinečné číslo.

1. Vedci sa domnievajú, že počet číslic v čísle π je nekonečný. Ich postupnosť sa neopakuje. Navyše nikto nikdy nebude môcť nájsť opakovania. Keďže číslo je nekonečné, môže obsahovať úplne všetko, dokonca aj Rachmaninovovu symfóniu, Starý zákon, vaše telefónne číslo a rok, v ktorom nastane Apokalypsa.

2. π súvisí s teóriou chaosu. K tomuto záveru prišli vedci po vytvorení Baileyho počítačového programu, ktorý ukázal, že postupnosť čísel v π je absolútne náhodná, čo je v súlade s teóriou.

3. Vypočítať celé číslo je takmer nemožné – zabralo by to príliš veľa času.

4. π je iracionálne číslo, to znamená, že jeho hodnotu nemožno vyjadriť zlomkom.

5. π – transcendentálne číslo. Nedá sa získať vykonaním akýchkoľvek algebraických operácií s celými číslami.

6. Tridsaťdeväť desatinných miest v čísle π stačí na výpočet dĺžky kruhu obopínajúceho známe kozmické objekty vo Vesmíre s chybou polomeru atómu vodíka.

7. Číslo π je spojené s pojmom „zlatý pomer“. V procese merania Veľkej pyramídy v Gíze archeológovia zistili, že jej výška súvisí s dĺžkou jej základne, rovnako ako polomer kruhu súvisí s jej dĺžkou.

Záznamy týkajúce sa π

V roku 2010 dokázal matematik z Yahoo Nicholas Zhe vypočítať dve kvadrilióny desatinných miest (2x10) v čísle π. Trvalo to 23 dní a matematik potreboval veľa asistentov, ktorí pracovali na tisíckach počítačov, zjednotených pomocou distribuovanej výpočtovej techniky. Metóda umožnila vykonávať výpočty takou fenomenálnou rýchlosťou. Vypočítať to isté na jednom počítači by trvalo viac ako 500 rokov.

Na to, aby ste si to všetko jednoducho zapísali na papier, by ste potrebovali papierovú pásku dlhú viac ako dve miliardy kilometrov. Ak takýto záznam rozšírite, jeho koniec presiahne slnečnú sústavu.

Číňan Liu Chao vytvoril rekord v zapamätaní si postupnosti číslic čísla π. V priebehu 24 hodín a 4 minút povedal Liu Chao 67 890 desatinných miest bez toho, aby urobil jedinú chybu.

π má veľa fanúšikov. Hrá sa na hudobných nástrojoch a ukazuje sa, že to „znie“ vynikajúco. Pamätajú si to a vymýšľajú na to rôzne techniky. Pre zábavu si to stiahnu do počítača a navzájom sa chvália, kto ich stiahol najviac. Stavajú sa mu pomníky. Napríklad v Seattli je taký pamätník. Nachádza sa na schodoch pred Múzeom umenia.

π sa používa v dekoráciách a interiérovom dizajne. Venujú sa mu básne, hľadá sa v svätých knihách a pri vykopávkach. Existuje dokonca aj „Klub π“.
Podľa najlepších tradícií π nie je číslu venovaný jeden, ale dva celé dni v roku! Prvýkrát sa Deň π oslavuje 14. marca. Musíte si navzájom zablahoželať presne o 1 hodinu, 59 minút a 26 sekúnd. Dátum a čas teda zodpovedajú prvým číslicam čísla - 3,1415926.

Po druhýkrát sa sviatok π slávi 22. júla. Tento deň je spojený s takzvaným „približným π“, ktorý Archimedes zapísal ako zlomok.
Zvyčajne v tento deň študenti, školáci a vedci organizujú zábavné flash moby a akcie. Matematici, ktorí sa zabávajú, používajú π na výpočet zákonitostí padajúceho sendviča a navzájom si dávajú komické odmeny.
A mimochodom, π skutočne možno nájsť vo svätých knihách. Napríklad v Biblii. A tam sa číslo π rovná... trom.

MESTSKÁ ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA "STREDNÁ VZDELÁVACIA ŠKOLA NOVOAGANSKAYA č. 2"

História pôvodu

Pí čísla.

Účinkuje Shevchenko Nadezhda,

žiak 6. ročníka "B"

Vedúci: Olga Aleksandrovna Chekina, učiteľka matematiky

mesto Novoagansk

2014

Plán.

1. Udržiavanie.

Ciele.

II. Hlavná časť.

1) Prvým krokom k pi.

2) Nevyriešená záhada.

3) Zaujímavé fakty.

III. Záver

Referencie.

Úvod

Ciele mojej práce

1) Nájdite históriu vzniku pí.

2) Povedzte zaujímavé fakty o čísle pí

3) Urobte prezentáciu a pripravte správu.

4) Pripravte si prejav na konferenciu.

Hlavná časť.

Pi (π) je písmeno gréckej abecedy používané v matematike na označenie pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru. Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιφέρεια - kruh, obvod a περίμετρος - obvod. Všeobecne uznávaným sa stal po práci L. Eulera z roku 1736, ale ako prvý ho použil anglický matematik W. Jones (1706). Ako každé iracionálne číslo, π je reprezentované ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok:

π = 3,141592653589793238462643.

Prvý krok pri štúdiu vlastností čísla π urobil Archimedes. Vo svojej eseji „Measuring a Circle“ odvodil slávnu nerovnosť: [vzorec]
To znamená, že π leží v intervale dĺžky 1/497. V systéme desiatkových čísel sa získajú tri správne platné čísla: π = 3,14…. Archimedes, ktorý poznal obvod pravidelného šesťuholníka a postupne zdvojnásobil počet jeho strán, vypočítal obvod pravidelného 96-uholníka, z ktorého vyplýva nerovnosť. 96-uholník sa vizuálne len málo líši od kruhu a dobre sa mu približuje.
V tej istej práci, postupne zdvojnásobujúc počet strán štvorca, Archimedes našiel vzorec pre oblasť kruhu S = π R2. Neskôr ho doplnil aj o vzorce pre obsah gule S = 4 π R2 a objem gule V = 4/3 π R3.

V starých čínskych dielach existujú rôzne odhady, z ktorých najpresnejšie je známe čínske číslo 355/113. Zu Chongzhi (5. storočie) dokonca považoval tento význam za presný.
Ludolf van Zeijlen (1536-1610) strávil desať rokov výpočtom čísla π s 20 desatinnými číslicami (tento výsledok bol publikovaný v roku 1596). Pomocou Archimedovej metódy priviedol zdvojnásobenie na n-uholník, kde n=60·229. Ludolf, ktorý načrtol svoje výsledky v eseji „O kruhu“, to ukončil slovami: „Kto má túžbu, nech ide ďalej. Po jeho smrti bolo v jeho rukopisoch objavených 15 presnejších číslic čísla π. Ludolf odkázal, aby znaky, ktoré našiel, boli vytesané na jeho náhrobnom kameni. Na jeho počesť sa číslo π niekedy nazývalo „Ludolfovo číslo“.

Záhada záhadného čísla ale dodnes nie je vyriešená, hoci vedcov stále znepokojuje. Pokusy matematikov úplne vypočítať celý rad čísel často vedú ku kurióznym situáciám. Napríklad matematici bratia Chudnovskí z Brooklynskej polytechnickej univerzity navrhli superrýchly počítač špeciálne na tento účel. Rekord sa im však nepodarilo dosiahnuť – rekord zatiaľ patrí japonskému matematikovi Yasumasovi Kanadovi, ktorý dokázal vypočítať 1,2 miliardy čísel nekonečnej postupnosti.

Zaujímavosti
Neoficiálny sviatok „Pi Day“ sa oslavuje 14. marca, čo sa v americkom dátumovom formáte (mesiac/deň) píše ako 3/14, čo zodpovedá približnej hodnote Pi.
Ďalším dátumom spojeným s číslom π je 22. júl, ktorý sa nazýva „Približný deň Pi“, keďže v európskom dátumovom formáte je tento deň zapísaný ako 22/7 a hodnota tohto zlomku je približná hodnota čísla π.
Svetový rekord v zapamätaní si znakov čísla π patrí Japoncovi Akirovi Haraguchimu. Zapamätal si číslo π na 100 000 desatinné miesto. Vymenovať celé číslo mu trvalo takmer 16 hodín.
Toto číslo zaujalo nemeckého kráľa Fridricha II. natoľko, že mu venoval... celý palác Castel del Monte, na pomery ktorého sa dá vypočítať Pi. Teraz je magický palác pod ochranou UNESCO.

Záver
V súčasnosti je číslo π spojené s ťažko viditeľnou množinou vzorcov, matematických a fyzikálnych faktov. Ich počet naďalej rýchlo rastie. To všetko hovorí o rastúcom záujme o najdôležitejšiu matematickú konštantu, ktorej štúdium trvá viac ako dvadsaťdva storočí.

Moja práca sa dá využiť na hodinách matematiky.

Výsledky mojej práce:

1. Našiel som históriu vzniku čísla pí.
2. Hovorila o zaujímavostiach o čísle pí.
3. Naučil som sa veľa o pi.
4. Dokončil prácu a vystúpil na konferencii.

Čomu sa rovná Pi? poznáme a pamätáme si zo školy. Rovná sa 3,1415926 a tak ďalej... Bežnému človeku stačí vedieť, že toto číslo získame vydelením obvodu kruhu jeho priemerom. Mnoho ľudí však vie, že číslo Pi sa objavuje v neočakávaných oblastiach nielen matematiky a geometrie, ale aj fyziky. No, ak sa ponoríte do detailov podstaty tohto čísla, všimnete si medzi nekonečným radom čísel veľa prekvapivých vecí. Je možné, že Pi skrýva najhlbšie tajomstvá vesmíru?

Nekonečné číslo

Samotné číslo Pi sa v našom svete objavuje ako dĺžka kruhu, ktorého priemer sa rovná jednej. Ale napriek skutočnosti, že segment rovný Pi je celkom konečný, číslo Pi začína ako 3,1415926 a ide do nekonečna v radoch čísel, ktoré sa nikdy neopakujú. Prvým prekvapivým faktom je, že toto číslo, používané v geometrii, nemožno vyjadriť ako zlomok celých čísel. Inými slovami, nemôžete to napísať ako pomer dvoch čísel a/b. Okrem toho je číslo Pi transcendentálne. To znamená, že neexistuje rovnica (polynóm) s celočíselnými koeficientmi, ktorej riešením by bolo číslo Pi.

Skutočnosť, že číslo Pi je transcendentálne, dokázal v roku 1882 nemecký matematik von Lindemann. Práve tento dôkaz sa stal odpoveďou na otázku, či je možné pomocou kompasu a pravítka nakresliť štvorec, ktorého plocha sa rovná ploche daného kruhu. Tento problém je známy ako hľadanie kvadratúry kruhu, ktoré znepokojuje ľudstvo už od staroveku. Zdalo sa, že tento problém má jednoduché riešenie a chystá sa ho vyriešiť. Ale bola to práve nepochopiteľná vlastnosť čísla Pi, ktorá ukázala, že problém kvadratúry kruhu neexistuje.

Minimálne štyri a pol tisícročia sa ľudstvo snaží získať pre Pi stále presnejšiu hodnotu. Napríklad v Biblii v Tretej knihe Kráľov (7:23) sa číslo Pi považuje za 3.

Hodnotu Pi pozoruhodnej presnosti možno nájsť v pyramídach v Gíze: pomer obvodu a výšky pyramíd je 22/7. Tento zlomok dáva približnú hodnotu Pi rovnajúcu sa 3,142... Ak, samozrejme, Egypťania tento pomer nenastavili náhodou. Rovnakú hodnotu už získal v súvislosti s výpočtom čísla Pi v 3. storočí pred Kristom veľký Archimedes.

V Papyrus of Ahmes, staroegyptskej učebnici matematiky, ktorá pochádza z roku 1650 pred Kristom, je Pi vypočítané ako 3,160493827.

V staroindických textoch okolo 9. storočia pred Kristom bola najpresnejšia hodnota vyjadrená číslom 339/108, čo sa rovnalo 3,1388...

Takmer dvetisíc rokov po Archimedesovi sa ľudia snažili nájsť spôsoby, ako vypočítať Pi. Boli medzi nimi slávni aj neznámi matematici. Napríklad rímsky architekt Marcus Vitruvius Pollio, egyptský astronóm Claudius Ptolemaios, čínsky matematik Liu Hui, indický mudrc Aryabhata, stredoveký matematik Leonardo z Pisy, známy ako Fibonacci, arabský vedec Al-Khwarizmi, z ktorého mena je slovo objavil sa „algoritmus“. Všetci a mnohí ďalší ľudia hľadali čo najpresnejšie metódy na výpočet Pi, no až do 15. storočia nikdy nedostali viac ako 10 desatinných miest kvôli zložitosti výpočtov.

Napokon v roku 1400 indický matematik Madhava zo Sangamagramu vypočítal Pi s presnosťou na 13 číslic (hoci v posledných dvoch sa stále mýlil).

Počet znakov

V 17. storočí Leibniz a Newton objavili analýzu infinitezimálnych veličín, ktorá umožnila vypočítať Pi progresívnejšie - prostredníctvom mocninných radov a integrálov. Sám Newton vypočítal 16 desatinných miest, ale vo svojich knihách to neuviedol - to sa stalo známym po jeho smrti. Newton tvrdil, že Pi vypočítal čisto z nudy.

Približne v rovnakom čase sa ozvali aj ďalší menej známi matematici a navrhli nové vzorce na výpočet čísla Pi pomocou goniometrických funkcií.

Napríklad toto je vzorec, ktorý použil na výpočet Pi učiteľ astronómie John Machin v roku 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Pomocou analytických metód Machin z tohto vzorca odvodil číslo Pi na sto desatinných miest.

Mimochodom, v tom istom roku 1706 dostalo číslo Pi oficiálne označenie vo forme gréckeho písmena: William Jones ho použil vo svojej práci o matematike, pričom prevzal prvé písmeno gréckeho slova „periféria“, čo znamená „kruh“. .“ Veľký Leonhard Euler, narodený v roku 1707, spopularizoval toto označenie, ktoré dnes pozná každý školák.

Pred érou počítačov matematici pracovali na výpočte čo najväčšieho počtu znakov. V tejto súvislosti sa niekedy objavili vtipné veci. Amatérsky matematik W. Shanks vypočítal v roku 1875 707 číslic Pi. Týchto sedemsto znakov bolo zvečnených na stene Palais des Discoverys v Paríži v roku 1937. O deväť rokov neskôr však pozorní matematici zistili, že len prvých 527 znakov bolo správne vypočítaných. Múzeum muselo vynaložiť značné výdavky na opravu chyby - teraz sú všetky údaje správne.

Keď sa objavili počítače, počet číslic Pi sa začal počítať v úplne nepredstaviteľných poradích.

Jeden z prvých elektronických počítačov, ENIAC, vytvorený v roku 1946, mal obrovskú veľkosť a generoval toľko tepla, že sa miestnosť zahriala až na 50 stupňov Celzia, vypočítalo sa prvých 2037 číslic Pi. Tento výpočet trval stroju 70 hodín.

Ako sa počítače zlepšovali, naše znalosti o Pi sa posúvali stále ďalej a ďalej do nekonečna. V roku 1958 bolo vypočítaných 10 tisíc číslic čísla. V roku 1987 Japonci vypočítali 10 013 395 znakov. V roku 2011 japonský výskumník Shigeru Hondo prekonal hranicu 10 biliónov znakov.

Kde inde sa môžete stretnúť s Pi?

Takže naše znalosti o čísle Pi často zostávajú na úrovni školy a s istotou vieme, že toto číslo je nenahraditeľné predovšetkým v geometrii.

Okrem vzorcov pre dĺžku a plochu kruhu sa číslo Pi používa vo vzorcoch pre elipsy, gule, kužele, valce, elipsoidy atď.: na niektorých miestach sú vzorce jednoduché a ľahko zapamätateľné, ale v iných obsahujú veľmi zložité integrály.

Potom sa s číslom Pi môžeme stretnúť v matematických vzorcoch, kde na prvý pohľad geometriu nevidno. Napríklad neurčitý integrál 1/(1-x^2) sa rovná Pi.

Pi sa často používa v sériovej analýze. Ako príklad uvádzame jednoduchý rad, ktorý konverguje k Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Spomedzi sérií sa Pi najviac neočakávane objavuje v slávnej Riemannovej funkcii zeta. Nie je možné o tom hovoriť v skratke, povedzme, že jedného dňa číslo Pi pomôže nájsť vzorec na výpočet prvočísel.

A úplne prekvapivo: Pi sa objavuje v dvoch najkrajších „kráľovských“ vzorcoch matematiky – Stirlingovom (ktorý pomáha nájsť približnú hodnotu faktoriálu a gama funkcie) a Eulerovom vzorci (ktorý spája až päť matematických konštánt).

Najneočakávanejší objav však čakal matematikov v teórii pravdepodobnosti. Je tam aj číslo Pi.

Napríklad pravdepodobnosť, že dve čísla budú relatívne prvočísla, je 6/PI^2.

Pi sa objavuje v Buffonovom probléme hádzania ihlou, formulovanom v 18. storočí: aká je pravdepodobnosť, že ihla hodená na linajkový papier prekročí jednu z čiar. Ak je dĺžka ihly L a vzdialenosť medzi čiarami je L a r > L, potom môžeme približne vypočítať hodnotu Pi pomocou pravdepodobnostného vzorca 2L/rPI. Len si to predstavte – Pi môžeme získať z náhodných udalostí. A mimochodom, Pi je prítomný v normálnom rozdelení pravdepodobnosti, objavuje sa v rovnici slávnej Gaussovej krivky. Znamená to, že Pi je ešte zásadnejšie ako len pomer obvodu k priemeru?

S Pí sa môžeme stretnúť aj vo fyzike. Pi sa objavuje v Coulombovom zákone, ktorý opisuje silu interakcie medzi dvoma nábojmi, v treťom Keplerovom zákone, ktorý ukazuje periódu otáčania planéty okolo Slnka, a dokonca sa objavuje aj v usporiadaní elektrónových orbitálov atómu vodíka. A čo je opäť najneuveriteľnejšie, číslo Pi je skryté vo vzorci Heisenbergovho princípu neurčitosti - základnom zákone kvantovej fyziky.

Tajomstvo Pi

V románe Carla Sagana Kontakt, na ktorom je natočený aj rovnomenný film, mimozemšťania hovoria hrdinke, že medzi znakmi Pí je tajný odkaz od Boha. Od určitej pozície prestávajú byť čísla v čísle náhodné a predstavujú kód, v ktorom sú zapísané všetky tajomstvá Vesmíru.

Tento román v skutočnosti odrážal záhadu, ktorá zamestnávala mysle matematikov na celom svete: je Pi normálne číslo, v ktorom sú číslice rozptýlené rovnako často, alebo je s týmto číslom niečo zlé? A hoci sa vedci prikláňajú k prvej možnosti (ale nevedia to dokázať), číslo Pi vyzerá veľmi záhadne. Jeden Japonec raz vypočítal, koľkokrát sa čísla od 0 do 9 vyskytujú v prvom bilióne číslic pí. A videl som, že čísla 2, 4 a 8 boli bežnejšie ako ostatné. Toto môže byť jeden z náznakov, že Pi nie je úplne normálne a čísla v ňom skutočne nie sú náhodné.

Spomeňme si na všetko, čo sme čítali vyššie, a položme si otázku, aké iné iracionálne a transcendentálne číslo sa tak často vyskytuje v reálnom svete?

A v zásobe sú ďalšie zvláštnosti. Napríklad súčet prvých dvadsiatich číslic Pi je 20 a súčet prvých 144 číslic sa rovná „číslu šelmy“ 666.

Hlavná postava amerického televízneho seriálu „Podozrivý“, profesor Finch, povedal študentom, že kvôli nekonečnosti čísla Pi v ňom možno nájsť akúkoľvek kombináciu čísel, od čísel vášho dátumu narodenia až po zložitejšie čísla. . Napríklad na pozícii 762 je sekvencia šiestich deviatok. Táto poloha sa nazýva Feynmanov bod podľa slávneho fyzika, ktorý si všimol túto zaujímavú kombináciu.

Vieme tiež, že číslo Pi obsahuje postupnosť 0123456789, ale nachádza sa na 17 387 594 880. číslici.

To všetko znamená, že v nekonečne čísla Pi možno nájsť nielen zaujímavé kombinácie čísel, ale aj zakódovaný text „Vojna a mier“, Bibliu a dokonca aj Hlavné tajomstvo vesmíru, ak také existuje.

Mimochodom, o Biblii. Slávny popularizátor matematiky Martin Gardner v roku 1966 uviedol, že milióntou číslicou pí (vtedy ešte neznámou) bude číslo 5. Svoje výpočty vysvetlil tým, že v anglickej verzii Biblie sa v 3. kniha, 14. kapitola, 16 verš (3-14-16) siedme slovo obsahuje päť písmen. Miliónte číslo bolo dosiahnuté o osem rokov neskôr. Bolo to číslo päť.

Oplatí sa potom tvrdiť, že číslo Pi je náhodné?

Nikdy som nerozmýšľal nad príbehom o pôvode čísla Pi. Čítal som celkom zaujímavé fakty o Leibnizovi a Newtonovi. Newton vypočítal 16 desatinných miest, ale vo svojej knihe to neuviedol. dakujem za dobry clanok.

Odpoveď

Raz som na fóre o mágii čítal, že číslo PI má nielen magický, ale aj rituálny význam. S týmto číslom sa spája mnoho rituálov, ktoré kúzelníci používali už od dávnych čias objavenia tohto čísla.

Odpoveď

súčet prvých dvadsiatich číslic čísla pí je 20... Je to vážne? V dvojkovej sústave alebo čo?

Odpoveď

1. Odpoveď

   1. 100 je súčet nie prvých 20 desatinných miest, ale 20 desatinných miest.

      Odpoveď

1. s priemerom = 1, obvodom = pi, a preto sa kruh nikdy neuzavrie!

   Odpoveď

Úvod

Článok obsahuje matematické vzorce, takže ak si chcete prečítať, prejdite na stránku, aby ste ich správne zobrazili.Číslo \(\pi\) má bohatú históriu. Táto konštanta označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Vo vede sa číslo \(\pi \) používa pri akýchkoľvek výpočtoch zahŕňajúcich kruhy. Počnúc objemom plechovky sódy až po obežné dráhy satelitov. A nielen kruhy. V skutočnosti pri štúdiu zakrivených čiar číslo \(\pi \) pomáha pochopiť periodické a oscilačné systémy. Napríklad elektromagnetické vlny a dokonca aj hudba.

V roku 1706, v knihe A New Introduction to Mathematics od britského vedca Williama Jonesa (1675-1749), bolo písmeno gréckej abecedy \(\pi\) prvýkrát použité na vyjadrenie čísla 3.141592.... Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιϕερεια - kruh, obvod a περιµετρoς - obvod. Toto označenie sa stalo všeobecne akceptovaným po práci Leonharda Eulera v roku 1737.

Geometrické obdobie

Nemennosť pomeru dĺžky akéhokoľvek kruhu k jeho priemeru bola zaznamenaná už dlho. Obyvatelia Mezopotámie používali pomerne približnú aproximáciu čísla \(\pi\). Ako vyplýva zo starovekých problémov, vo svojich výpočtoch používajú hodnotu \(\pi ≈ 3\).

Presnejšiu hodnotu pre \(\pi\) používali starí Egypťania. V Londýne a New Yorku sa uchovávajú dva kusy staroegyptského papyrusu, ktorý sa nazýva „Rinda papyrus“. Papyrus zostavil pisár Armes niekedy v rokoch 2000-1700. BC Armes napísal vo svojom papyruse, že plocha kruhu s polomerom \(r\) sa rovná ploche štvorca so stranou rovnou \(\frac(8)(9) \) z. priemer kruhu \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), teda \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Preto \(\pi = 3,16\).

Staroveký grécky matematik Archimedes (287-212 pred n. l.) ako prvý postavil problém merania kruhu na vedecký základ. Získal skóre \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metóda je pomerne jednoduchá, ale pri absencii hotových tabuliek trigonometrických funkcií bude potrebná extrakcia koreňov. Navyše, aproximácia konverguje k \(\pi \) veľmi pomaly: s každou iteráciou sa chyba zníži iba štvornásobne.

Analytické obdobie

Napriek tomu sa až do polovice 17. storočia všetky pokusy európskych vedcov o výpočet čísla \(\pi\) scvrkli na zväčšenie strán mnohouholníka. Napríklad holandský matematik Ludolf van Zeijlen (1540-1610) vypočítal približnú hodnotu čísla \(\pi\) s presnosťou na 20 desatinných miest.

Výpočet mu trval 10 rokov. Zdvojnásobením počtu strán vpísaných a opísaných mnohouholníkov pomocou Archimedovej metódy dospel k \(60 \cdot 2^(29) \) - trojuholníku na výpočet \(\pi \) s 20 desatinnými miestami.

Po jeho smrti bolo v jeho rukopisoch objavených 15 presnejších číslic čísla \(\pi\). Ludolf odkázal, aby znaky, ktoré našiel, boli vytesané na jeho náhrobnom kameni. Na jeho počesť sa číslo \(\pi\) niekedy nazývalo „Ludolfovo číslo“ alebo „Ludolfova konštanta“.

Jedným z prvých, ktorí zaviedli metódu odlišnú od metódy Archimedes, bol François Viète (1540-1603). Dospel k výsledku, že kruh, ktorého priemer sa rovná jednej, má obsah:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Na druhej strane je oblasť \(\frac(\pi)(4)\). Nahradením a zjednodušením výrazu môžeme získať nasledujúci nekonečný vzorec súčinu na výpočet približnej hodnoty \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Výsledný vzorec predstavuje prvý presný analytický výraz pre číslo \(\pi\). Okrem tohto vzorca dal Viet pomocou metódy Archimeda pomocou vpísaných a opísaných mnohouholníkov, počínajúc 6-uholníkom a končiac mnohouholníkom so stranami \(2^(16) \cdot 6 \) aproximáciu čísla \(\pi \) s 9 so správnymi znamienkami.

Anglický matematik William Brounker (1620-1684) pomocou nepretržitého zlomku získal na výpočet \(\frac(\pi)(4)\ nasledujúce výsledky:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Tento spôsob výpočtu aproximácie čísla \(\frac(4)(\pi)\) vyžaduje pomerne veľa výpočtov na získanie čo i len malej aproximácie.

Hodnoty získané v dôsledku substitúcie sú buď väčšie alebo menšie ako číslo \(\pi\), a zakaždým sú bližšie k skutočnej hodnote, ale na získanie hodnoty 3,141592 bude potrebné vykonať pomerne veľké výpočty.

Ďalší anglický matematik John Machin (1686-1751) v roku 1706 na výpočet čísla \(\pi\) so 100 desatinnými miestami použil vzorec odvodený Leibnizom v roku 1673 a použil ho takto:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Séria rýchlo konverguje a s jej pomocou dokážete vypočítať číslo \(\pi \) s veľkou presnosťou. Tieto typy vzorcov sa používali na nastavenie niekoľkých záznamov počas počítačovej éry.

V 17. storočí so začiatkom obdobia matematiky premenných hodnôt sa začala nová etapa vo výpočte \(\pi\). Nemecký matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) našiel v roku 1673 rozklad čísla \(\pi\), vo všeobecnosti ho možno zapísať ako nasledujúci nekonečný rad:

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]

Séria sa získa dosadením x = 1 do \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Leonhard Euler rozvíja Leibnizovu myšlienku vo svojich prácach o použití radov pre arktan x pri výpočte čísla \(\pi\). Traktát „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (O rôznych spôsoboch vyjadrenia kvadratúry kruhu približnými číslami), napísaný v roku 1738, pojednáva o metódach na zlepšenie výpočtov pomocou Leibnizovho vzorca.

Euler píše, že rad pre arkustangens bude konvergovať rýchlejšie, ak má argument tendenciu k nule. Pre \(x = 1\) je konvergencia radu veľmi pomalá: na výpočet s presnosťou 100 číslic je potrebné pridať \(10^(50)\) členy radu. Výpočty môžete urýchliť znížením hodnoty argumentu. Ak vezmeme \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), dostaneme rad

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Podľa Eulera, ak vezmeme 210 členov tohto radu, dostaneme 100 správnych číslic čísla. Výsledný rad je nepohodlný, pretože je potrebné poznať pomerne presnú hodnotu iracionálneho čísla \(\sqrt(3)\). Euler vo svojich výpočtoch použil aj expanzie arkustangens na súčet arkustangens menších argumentov:

\[kde x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Neboli zverejnené všetky vzorce na výpočet \(\pi\), ktoré Euler používal vo svojich zápisníkoch. V publikovaných prácach a zošitoch uvažoval o 3 rôznych sériách na výpočet arkustangensu a tiež uviedol veľa vyhlásení o počte sčítateľných členov potrebných na získanie približnej hodnoty \(\pi\) s danou presnosťou.

V nasledujúcich rokoch dochádzalo k spresňovaniu hodnoty čísla \(\pi\) rýchlejšie a rýchlejšie. Napríklad v roku 1794 Georg Vega (1754-1802) identifikoval už 140 znakov, z ktorých sa len 136 ukázalo ako správnych.

Výpočtové obdobie

20. storočie sa nieslo v znamení úplne novej etapy vo výpočte čísla \(\pi\). Indický matematik Srinivasa Ramanujan (1887-1920) objavil mnoho nových vzorcov pre \(\pi\). V roku 1910 získal vzorec na výpočet \(\pi\) prostredníctvom expanzie arctangens v Taylorovom rade:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Pri k=100 sa dosiahne presnosť 600 správnych číslic čísla \(\pi\).

Nástup počítačov umožnil výrazne zvýšiť presnosť získaných hodnôt v kratšom čase. V roku 1949, len za 70 hodín, pomocou ENIAC, skupina vedcov vedená Johnom von Neumannom (1903-1957) získala 2037 desatinných miest pre číslo \(\pi\). V roku 1987 David a Gregory Chudnovsky získali vzorec, pomocou ktorého boli schopní vytvoriť niekoľko rekordov vo výpočte \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Každý člen série dáva 14 číslic. V roku 1989 bolo získaných 1 011 196 691 desatinných miest. Tento vzorec je vhodný na výpočet \(\pi \) na osobných počítačoch. V súčasnosti sú bratia profesormi na Polytechnickom inštitúte New York University.

Dôležitým nedávnym vývojom bol objav vzorca v roku 1997 Simonom Plouffom. Umožňuje extrahovať ľubovoľnú šestnástkovú číslicu čísla \(\pi\) bez výpočtu predchádzajúcich. Vzorec sa nazýva „formula Bailey-Borwain-Plouffe“ na počesť autorov článku, kde bol vzorec prvýkrát publikovaný. Vyzerá to takto:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

V roku 2006 Simon pomocou PSLQ vymyslel niekoľko pekných vzorcov na výpočet \(\pi\). Napríklad,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

kde \(q = e^(\pi)\). V roku 2009 japonskí vedci pomocou superpočítača T2K Tsukuba System získali číslo \(\pi\) s 2 576 980 377 524 desatinnými miestami. Výpočty trvali 73 hodín 36 minút. Počítač bol vybavený 640 štvorjadrovými procesormi AMD Opteron, ktoré poskytovali výkon 95 biliónov operácií za sekundu.

Ďalší úspech vo výpočtoch \(\pi\) patrí francúzskemu programátorovi Fabriceovi Bellardovi, ktorý koncom roka 2009 na svojom osobnom počítači so systémom Fedora 10 vytvoril rekord vypočítaním 2 699 999 990 000 desatinných miest čísla \(\pi\ ). Za posledných 14 rokov ide o prvý svetový rekord, ktorý bol vytvorený bez použitia superpočítača. Pre vysoký výkon použil Fabrice formulu bratov Chudnovských. Celkovo výpočet trval 131 dní (103 dní výpočtov a 13 dní overovania výsledku). Bellarov úspech ukázal, že takéto výpočty nevyžadujú superpočítač.

Len o šesť mesiacov neskôr prekonali Francoisov rekord inžinieri Alexander Yi a Singer Kondo. Na dosiahnutie rekordu 5 biliónov desatinných miest \(\pi\) bol použitý aj osobný počítač, ale s pôsobivejšími vlastnosťami: dva procesory Intel Xeon X5680 na 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diskovej pamäte a operačný systém Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Na výpočty použili Alexander a Singer vzorec bratov Chudnovských. Proces výpočtu trval 90 dní a 22 TB miesta na disku. V roku 2011 vytvorili ďalší rekord, keď pre číslo \(\pi\) vypočítali 10 biliónov desatinných miest. Výpočty prebiehali na tom istom počítači, na ktorom bol nastavený ich predchádzajúci záznam a trvali spolu 371 dní. Na konci roka 2013 Alexander a Singerou zlepšili rekord na 12,1 bilióna číslic čísla \(\pi\), čo im zabralo len 94 dní na výpočet. Toto zlepšenie výkonu sa dosahuje optimalizáciou výkonu softvéru, zvýšením počtu procesorových jadier a výrazným zlepšením odolnosti softvéru voči chybám.

Aktuálny rekord je rekord Alexander Yee a Singer Kondo, čo je 12,1 bilióna desatinných miest \(\pi\).

Pozreli sme sa teda na metódy výpočtu čísla \(\pi\) používané v staroveku, analytické metódy a pozreli sme sa aj na moderné metódy a záznamy na výpočet čísla \(\pi\) na počítačoch.

Zoznam zdrojov

1. Žukov A.V. Všadeprítomné číslo Pi - M.: Vydavateľstvo LKI, 2007 - 216 s.
2. F.Rudio. Na kvadratúre kruhu s aplikáciou histórie problematiky zostavenej F. Rudiom. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP ZSSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270s.
4. Shukhman, E.V. Približný výpočet Pi pomocou série pre arctan x v publikovaných a nepublikovaných prácach Leonharda Eulera / E.V. Shukhman. — Dejiny vedy a techniky, 2008 – č. 4. – S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236s.
6. Shumikhin, S. Číslo Pi. História 4000 rokov / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan a číslo Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Vo svete vedy. 1988 – č.4. – s. 58-66.
8. Alex Yee. Číselný svet. Režim prístupu: numberworld.org

Páčilo sa?

Povedz

Dnes má narodeniny Pi, ktoré sa z iniciatívy amerických matematikov oslavujú 14. marca o 1 hodine a 59 minútach popoludní. To súvisí s presnejšou hodnotou Pi: všetci sme zvyknutí považovať túto konštantu za 3,14, ale číslo môže pokračovať takto: 3, 14159... Preložením tohto na kalendárny dátum dostaneme 03,14, 1: 59.

Foto: AiF/ Nadežda Uvarová

Profesor Katedry matematickej a funkčnej analýzy Juhouralskej štátnej univerzity Vladimir Zalyapin hovorí, že 22. júl by sa mal stále považovať za „deň Pi“, pretože v európskom formáte dátumu je tento deň napísaný ako 22/7 a hodnota tohto zlomku sa približne rovná hodnote Pi.

„História čísla, ktoré udáva pomer obvodu k priemeru kruhu, siaha až do staroveku,“ hovorí Zalyapin. - Už Sumeri a Babylončania vedeli, že tento pomer nezávisí od priemeru kruhu a je konštantný. V textoch možno nájsť jednu z prvých zmienok o čísle Pi egyptský pisár Ahmes(okolo roku 1650 pred Kristom). K rozvoju tejto tajomnej veličiny prispeli starí Gréci, ktorí si veľa požičali od Egypťanov. Podľa legendy, Archimedes bol tak unesený výpočtami, že si nevšimol, ako rímski vojaci dobyli jeho rodné mesto Syrakúzy. Keď sa k nemu rímsky vojak priblížil, Archimedes zakričal po grécky: „Nedotýkaj sa mojich kruhov! Ako odpoveď ho vojak bodol mečom.

Platón dostal na svoj čas pomerne presnú hodnotu Pi – 3,146. Ludolf van Zeilen strávil väčšinu svojho života výpočtom prvých 36 desatinných miest čísla Pi a po jeho smrti boli vyryté na jeho náhrobný kameň.“

Iracionálne a nenormálne

Podľa profesora bola snaha o výpočet nových desatinných miest vždy určená túžbou získať presnú hodnotu tohto čísla. Predpokladalo sa, že Pi je racionálne, a preto ho možno vyjadriť ako jednoduchý zlomok. A to je zásadne nesprávne!

Číslo Pi je obľúbené aj preto, že je mystické. Od staroveku existovalo náboženstvo uctievačov konštanty. Okrem tradičnej hodnoty Pi - matematickej konštanty (3,1415...), vyjadrujúcej pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, existuje mnoho ďalších významov čísla. Takéto fakty sú zaujímavé. V procese merania rozmerov Veľkej pyramídy v Gíze sa ukázalo, že má rovnaký pomer výšky k obvodu svojej základne ako polomer kruhu k jej dĺžke, to znamená ½ Pi.

Ak spočítate dĺžku zemského rovníka pomocou Pi na deviate desatinné miesto, chyba vo výpočtoch bude len asi 6 mm. Tridsaťdeväť desatinných miest v Pi stačí na výpočet obvodu kruhu obklopujúceho známe kozmické objekty vo vesmíre, pričom chyba nie je väčšia ako polomer atómu vodíka!

Štúdium Pi zahŕňa aj matematickú analýzu. Foto: AiF/ Nadežda Uvarová

Chaos v číslach

Podľa profesora matematiky v roku 1767 Lambert stanovil iracionalitu čísla Pi, teda nemožnosť reprezentovať ho ako pomer dvoch celých čísel. To znamená, že postupnosť desatinných miest Pi je chaos stelesnený v číslach. Inými slovami, „chvost“ desatinných miest obsahuje ľubovoľné číslo, akúkoľvek postupnosť čísel, akékoľvek texty, ktoré boli, sú a budú, ale tieto informácie jednoducho nie je možné extrahovať!

"Nie je možné poznať presnú hodnotu Pi," pokračuje Vladimír Iľjič. - Ale tieto pokusy nie sú opustené. V roku 1991 Chudnovského dosiahol nových 2260000000 desatinných miest konštanty a v roku 1994 - 4044000000. Potom sa počet správnych číslic pí zvýšil ako lavína.“

Číňan je držiteľom svetového rekordu v zapamätaní pí Liu Chao, ktorý si dokázal bezchybne zapamätať 67 890 desatinných miest a reprodukovať ich v priebehu 24 hodín a 4 minút.

O „zlatom reze“

Mimochodom, spojenie medzi „pí“ a ďalšou úžasnou veličinou – zlatým rezom – nebolo v skutočnosti nikdy dokázané. Ľudia si už dlho všimli, že „zlatý“ podiel – známy aj ako číslo Phi – a číslo Pi delené dvomi sa navzájom líšia o menej ako 3 % (1,61803398... a 1,57079632...). Pre matematiku sú však tieto tri percentá príliš významným rozdielom na to, aby sa tieto hodnoty považovali za identické. Rovnakým spôsobom môžeme povedať, že číslo Pi a číslo Phi sú príbuzné inej známej konštanty - Eulerovho čísla, pretože jeho koreň je blízky polovici čísla Pi. Jedna polovica Pi je 1,5708, Phi je 1,6180, odmocnina z E je 1,6487.

Toto je len časť hodnoty Pi. Foto: Snímka obrazovky

Pi má narodeniny

Na South Ural State University oslavujú narodeniny konštanty všetci učitelia a študenti matematiky. Vždy to tak bolo – nedá sa povedať, že by sa záujem objavil až v posledných rokoch. Číslo 3.14 je dokonca vítané špeciálnym sviatočným koncertom!