Kokios skaičių sekos vadinamos monotoninėmis. Skaičių sekos

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n yra susietas su kažkuo realiuoju skaičiumi x n, tada jie sako, kad duotas skaitinė seka

x 1 , x 2 , … x n , …

Skaičius x 1 vadinamas sekos nariu su numeriu 1 arba pirmasis terminas iš eilės, skaičius x 2 - sekos narys su 2 numeriu arba antrasis sekos narys ir t. Skambinamas skaičius x n sekos narys sunumeruotasn.

Yra du būdai nurodyti skaičių sekas - su ir su pasikartojanti formulė.

Sekos su bendrų terminų formulės Ar seka užduotis

x 1 , x 2 , … x n , …

naudojant formulę, išreiškiančią termino x n priklausomybę nuo jo skaičiaus n.

1 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikiama naudojant bendrojo termino formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekvencija naudojant formulę, išreiškiančią sekos narį x n pagal sekos narius su ankstesniais skaičiais, vadinama seka naudojant pasikartojanti formulė.

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino didėjanti seka, daugiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n

x n + 1 > x n

3 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių seka

1, 2, 3, … n, …

yra didėjanti seka.

Apibrėžimas 2. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino mažėjanti seka, jei kiekvienas šios sekos narys mažiau ankstesnis narys.

Kitaip tariant, visiems n \u003d 1, 2, 3, ... nelygybė

x n + 1 < x n

4 pavyzdys. Seka

pateikiama pagal formulę

yra mažėjančia seka.

5 pavyzdys. Skaičių seka

1, - 1, 1, - 1, …

pateikiama pagal formulę

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nėra nei didėja, nei mažėja seka.

Apibrėžimas 3. Vadinamos didėjančios ir mažėjančios skaitinės sekos monotoniškos sekos.

Ribotos ir neribotos sekos

Apibrėžimas 4. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino apribota iš viršaus, jei yra skaičius M toks, kad kiekvienas šios sekos narys mažiau skaičiai M.

Kitaip tariant, visiems n \u003d 1, 2, 3, ... nelygybė

Apibrėžimas 5. Skaitinė seka

x 1 , x 2 , … x n , …

paskambino ribotas iš apačios, jei yra skaičius m toks, kad kiekvienas šios sekos narys daugiau skaičiai m.

Kitaip tariant, visiems n \u003d 1, 2, 3, ... nelygybė

Apibrėžimas 6. Skaičių seka

x 1 , x 2 , … x n , …

vadinamas ribotu, jei jis ribota tiek aukščiau, tiek apačioje.

Kitaip tariant, yra skaičiai M ir m tokie, kad visiems n \u003d 1, 2, 3, ... nelygybė

m< x n < M

Apibrėžimas 7. Skaitinės sekos, kurios nėra ribojamiyra vadinami neribotos sekos.

6 pavyzdys. Skaičių seka

1, 4, 9, … n 2 , …

pateikiama pagal formulę

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

apribota iš apačios, pavyzdžiui, skaičius 0. Tačiau ši seka neribotas iš viršaus.

7 pavyzdys. Seka

pateikiama pagal formulę

yra ribota sekanes visiems n \u003d 1, 2, 3, ... nelygybė

Mūsų svetainėje taip pat galite susipažinti su mokymo medžiaga „Resolvent“ mokytojų parengta mokymo medžiaga rengiantis vieningam valstybiniam egzaminui ir matematikos OGE.

Moksleiviams, norintiems gerai pasiruošti ir praeiti Vieningas matematikos ar rusų kalbos valstybinis egzaminas už aukštą rezultatą veda „Resolvent“ mokymo centras

parengiamieji kursai 10 ir 11 klasių moksleiviams

Apibrėžimas 1. Seka vadinama nesumažinančia [nedidinančia], jei kiekvienas sekos elementas, pradedant antruoju, yra ne mažesnis kaip [ne daugiau kaip] ankstesnis jos elementas, tai yra, jei visiems skaičiams nelygybė

Apibrėžimas 2. Seka vadinama monotonine, jei ji nemažėja arba nedidėja.

Jei nemažėjančios visų skaičių sekos elementai tenkina griežtą nelygybę, tai ši seka vadinama didėjančia.

Panašiai, jei visų skaičių nedidančios sekos elementai tenkina griežtą nelygybę, tai ši seka vadinama mažėjančia.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kokia monotoninė seka akivaizdžiai ribojama iš vienos pusės (arba viršuje, arba žemiau). Iš tiesų, bet kuri nemažėjanti seka yra ribojama iš apačios (jos pirmojo elemento reikšmė gali būti laikoma apatine riba), o bet kokia nedidėjanti seka yra ribojama iš viršaus (jos pirmojo elemento vertė taip pat gali būti laikoma viršutine riba).

Iš to seka, kad nemažėjanti seka bus ribojama iš abiejų pusių arba tiesiog ribojama, jei ir tik tada, jei ji ribojama iš viršaus, o nedidėjanti seka bus ribojama tada ir tik tada, jei ji bus ribojama iš apačios.

Panagrinėkime monotoniškų sekų pavyzdžius.

1. Seka nemažėja. Iš apačios jį riboja pirmojo elemento vertė, bet neapsiriboja iš viršaus.

2. Seka mažėja. Jis ribojamas iš abiejų pusių: aukščiau jo pirmojo elemento 2 verte, o žemiau, pavyzdžiui, skaičiumi 1.

Apibrėžimas1. Seka vadinama mažėja (nedidėja ) jei visiems
laikosi nelygybė
.

Apibrėžimas2. Seka
paskambino didėja (nemažėja ) jei visiems
laikosi nelygybė
.

Apibrėžimas3. Vadinamos mažėjančios, nedidėjančios, didėjančios ir nemažėjančios sekos monotoniškas taip pat vadinamos mažėjančios ir didėjančios sekos griežtai monotoniškas sekos.

Akivaizdu, kad nemažėjanti seka ribojama iš apačios, nedidėjanti seka - iš viršaus. Todėl bet kokia monotoninė seka akivaizdžiai ribojama iš vienos pusės.

Pavyzdys1. Seka
didėja, nemažėja,
mažėja
nedidėja
- nemonotoninė seka.

Kalbant apie monotonines sekas, svarbų vaidmenį atlieka šie dalykai.

Teorema1. Jei nemažėjanti (nedidėjanti) seka yra apribota aukščiau (žemiau), tada ji suartėja.

Įrodymai... Tegul seka
nemažėja ir yra ribojamas iš viršaus, t.y.
ir daugelis
apribota iš viršaus. Pagal 2 straipsnio 1 teoremą egzistuoja
... Įrodykime tai
.

Paimkime
savavališkai. Nes ir- tiksli viršutinė riba, skaičius yra N toks kad
... Kadangi seka nemažėja, tada visiems
mes turime, t.y.
, taigi
visiems
, ir tai reiškia
.

Ne didėjančios sekos, apribotos iš apačios, įrodymas yra panašus į ( mokiniai gali savarankiškai įrodyti šį teiginį namuose). Teorema yra įrodyta.

Pakomentuokite... 1 teorema gali būti suformuluota skirtingai.

Teorema2. Kad monotoninė seka suartėtų, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribota.

Pakankamumas nustatytas 1 teoremoje, būtinumas - 5 § 2 teoremoje.

Monotoniškumo sąlyga nebūtina, kad seka suartėtų, nes konverguojanti seka nebūtinai yra monotoninė. Pavyzdžiui, seka
nėra monotoniškas, bet konverguoja į nulį.

Pasekmė... Jei seka
didėja (mažėja) ir ribojasi aukščiau (žemiau), tada
(
).

Iš tiesų, pagal 1 teoremą
(
).

Apibrėžimas4. Jei ir
prie
, tada seka vadinama sutartinių lizdų linijų segmentų sistema .

Teorema3 (įdėtųjų linijų segmentų principas). Bet kuri sutartų lizdinių segmentų sistema turi unikalų tašką nuopriklausantys visiems šios sistemos segmentams.

Įrodymai... Įrodykime, kad esmė nuoegzistuoja. Nes
tada
taigi ir seka
nemažėja, bet seka
nedidėja. Kur
ir
ribotas nuo. Tada pagal 1 teoremą egzistuoja
ir
, bet nuo to laiko
tada
=
... Rastas taškas nuopriklauso visiems sistemos segmentams, nes 1 teoremos pasekmė
,
, t.y.
visoms vertybėms n.

Parodykime dabar tą esmę nuo- vienintelė. Tarkime, yra du tokie taškai: nuoir dir leisk aiškumui
... Tada segmentas
priklauso visiems segmentams
, t.y.
visiems n, o tai neįmanoma, nes
ir todėl, pradedant nuo tam tikro skaičiaus,
... Teorema yra įrodyta.

Atkreipkite dėmesį, kad čia būtina atsižvelgti į uždarus intervalus, t. segmentai. Jei atsižvelgsime į sutarčių sudarymo intervalų sistemą, principas paprastai yra neteisingas. Pavyzdžiui, intervalai
akivaizdžiai susitraukė iki taško
bet taškas
nepriklauso jokiam šios sistemos intervalui.

Dabar apsvarstykime konverguojančių monotoninių sekų pavyzdžius.

1) skaičius e.

Dabar apsvarstykite seką
... Kaip ji elgiasi? Bazė

laipsnį
, taigi
? Iš kitos pusės,
ir
, taigi
? O gal nėra ribos?

Norėdami atsakyti į šiuos klausimus, apsvarstykite pagalbinę seką
... Įrodykime, kad jis mažėja ir yra ribojamas iš apačios. Šiuo atveju mums reikės

Lemma... Jei
, tada - visoms gamtos vertybėms nmes turime

(Bernoulli nelygybė).

Įrodymai... Panaudokime matematinės indukcijos metodą.

Jei
tada
, t.y. nelygybė yra tiesa.

Tarkime, kad tai tiesa
ir įrodyti jo galiojimą
+1.

Teisingai
... Šią nelygybę padauginame iš
:

Šiuo būdu, . Vadinasi, pagal matematinės indukcijos principą Bernoulli nelygybė galioja visoms gamtos vertybėms n... Lemma yra įrodyta.

Parodykime tą seką
mažėja. Mes turime

\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulli nelygybė ׀
, o tai reiškia, kad seka
mažėja.

Ribos iš apačios kyla iš nelygybės
\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulli nelygybė ׀
visoms gamtos vertybėms n.

Pagal 1 teoremą egzistuoja
, kuris žymimas raide e... todėl
.

Skaičius eneracionalus ir transcendentinis, e\u003d 2.718281828 .... Žinoma, kad tai yra natūralių logaritmų pagrindas.

Pastabos... 1) Bernoulli nelygybė gali būti naudojama tam įrodyti
prie
... Iš tiesų, jei
tada
... Tada, dėl Bernoulli nelygybės, už
... Vadinasi,
mes turime
, t.y
prie
.

2) Aukščiau pateiktame pavyzdyje laipsnio bazė linkęs į 1, o rodiklis n- į , tai yra yra formos neapibrėžtumas ... Tokio pobūdžio netikrumas, kaip parodėme, atskleidžiamas nepaprastos ribos pagalba
.

2)
(*)

Įrodykime, kad ši seka suartėja. Norėdami tai padaryti, parodysime, kad jis yra ribotas iš apačios ir nedidėja. Šiuo atveju mes naudojame nelygybę
visiems
, kuri yra nelygybės pasekmė
.

Mes turime
cm. nelygybė aukščiau
, t.y. seka žemiau ribojama skaičiumi
.

Toliau
 nuo

, t.y. seka nedidėja.

Pagal 1 teoremą egzistuoja
, kurį žymime x... Peržengiama lygybės (*) riba
, mes gauname

, t.y.
iš kur
(mes paimame pliuso ženklą, nes visi sekos nariai yra teigiami).

Skaičiuojant naudojama seka (*)
maždaug. Per imk bet kokį teigiamą skaičių. Pavyzdžiui, rasime
... Leisti būti
... Tada
,. Šiuo būdu,
.

3)
.

Mes turime
... Nes
prie
, yra skaičius N, toks, kad visiems
laikosi nelygybė
... Taigi seka
pradedant nuo kažkokio skaičiaus N, mažėja ir yra ribojamas iš apačios, nes
visoms vertybėms n... Vadinasi, pagal 1 teoremą egzistuoja
... Nes
, mes turime
.

Taigi,
.

4)
, Dešinėje - n šaknis.

Matematine indukcija parodykime tai
visoms vertybėms n... Mes turime
... Leisti būti
... Tada iš čia gauname teiginį pagal matematinės indukcijos principą. Naudodamiesi šiuo faktu, randame, t.y. seka
didėja ir yra ribojamas iš viršaus. Todėl jis egzistuoja nuo
.

Šiuo būdu,
.

Weierstrasso teorema apie monotoniškos sekos ribą

Bet kokia monotonija apribota seka (x n) turi ribinę ribą, lygią tiksliajai viršutinei ribai, sup (x n) mažėjančiai ir tiksliajai apatinei ribai, inf (x n) nedidėjančiai sekai.
Bet kuri monotoninė neribota seka turi begalinę ribą, lygią pliuso begalybei nemažėjančiai ir minusinei begalybei - nedidėjančiai sekai.

Įrodymai

1) nemažėjanti ribota seka.

(1.1) .

Kadangi seka yra ribota, ji turi galutinę tikslią viršutinę ribą
.
Tai reiškia kad:

• visiems n,
  (1.2) ;
• bet kuriam teigiamam skaičiui egzistuoja toks skaičius, priklausomai nuo ε, taigi
  (1.3) .

.
Čia mes taip pat naudojome (1.3). Kartu su (1.2) randame:
.
Nuo tada
,
arba
.
Pirmoji teoremos dalis yra įrodyta.

2) Dabar tegul būna seka nedidėja ribota seka:
(2.1) visiems n.

Kadangi seka yra ribota, ji turi galutinę tikslią apatinę ribą
.
Tai reiškia:

• visų n atveju egzistuoja šios nelygybės:
  (2.2) ;
• bet kuriam teigiamam skaičiui egzistuoja skaičius, priklausomai nuo kurio ε
  (2.3) .

.
Čia mes taip pat naudojome (2.3). Atsižvelgdami į (2.2), randame:
.
Nuo tada
,
arba
.
Tai reiškia, kad skaičius yra sekos riba.
Antroji teoremos dalis yra įrodyta.

Dabar apsvarstykime neribotas sekas.
3) Tegul seka būna neribota nemažėjanti seka.

Kadangi seka nemažėja, visoms n galioja šios nelygybės:
(3.1) .

Kadangi seka nemažėja ir neribojama, dešinėje pusėje ji nėra ribojama. Tada bet kuriam skaičiui M yra skaičius, priklausantis nuo M, kuriam
(3.2) .

Kadangi seka nemažėja, tada turime:
.
Čia mes taip pat naudojome (3.2).

.
Tai reiškia, kad sekos riba yra plius begalybė:
.
Trečioji teoremos dalis yra įrodyta.

4) Galiausiai apsvarstykite atvejį, kai yra neribota nedidėjanti seka.

Panašus į ankstesnį, nes seka nedidėja, tada
(4.1) visiems n.

Kadangi seka nedidėja ir nėra ribojama, kairėje pusėje ji nėra ribojama. Tada bet kuriam skaičiui M yra skaičius, priklausantis nuo M, kuriam
(4.2) .

Kadangi seka nedidėja, tada mes turime:
.

Taigi, bet kuriam skaičiui M yra natūralusis skaičius, priklausantis nuo M, todėl visiems skaičiams galioja šios nelygybės:
.
Tai reiškia, kad sekos riba yra minus begalybė:
.
Teorema yra įrodyta.

Problemos sprendimo pavyzdys

Naudodamiesi Weierstrasso teorema, įrodykite sekos konvergenciją:
, , . . . , , . . .
Tada raskite jo ribą.

Atvaizduokime seką pasikartojančių formulių pavidalu:
,
.

Įrodykime, kad nurodytą seką iš viršaus riboja vertė
(W1) .
Įrodymą atliekame matematinės indukcijos metodu.
.
Leisti būti . Tada
.
Įrodyta nelygybė (A1).

Įrodykime, kad seka monotoniškai didėja.
;
(P2) .
Kadangi trupmenos vardiklis ir pirmasis skaitiklio faktorius yra teigiami. Dėl sekos narių apribojimo nelygybe (A1) antrasis veiksnys taip pat yra teigiamas. todėl
.
Tai yra, seka griežtai didėja.

Kadangi seka didėja ir ribojama iš viršaus, tai yra ribojama seka. Todėl pagal Weierstrasso teoremą ji turi ribą.

Suraskime šią ribą. Pažymėkime tai:
.
Mes panaudosime tai
.
Tai taikome (A2), naudodami konverguojančių sekų ribų aritmetines savybes:
.
Šaknis tenkina sąlygą.