Šiuolaikinio gamtos mokslo pažanga. Trinties jėgų darbas nustatomas pagal formulę
Myakishev G.Ya., Kondrasheva L., Kryukov S. Trinties jėgų darbas // Kvantinis. - 1991. - Nr.5. - P. 37-39.
Specialiu susitarimu su žurnalo „Kvant“ redakcija ir redaktoriais
Trinties jėga, kaip ir bet kuri kita jėga, veikia ir atitinkamai keičia kūno kinetinę energiją, su sąlyga, kad jėgos taikymo taškas juda pasirinktoje atskaitos sistemoje. Tačiau trinties jėga labai skiriasi nuo kitų vadinamųjų konservatyvių jėgų (gravitacijos ir elastingumo), nes jos darbas priklauso nuo trajektorijos formos. Štai kodėl trinties jėgų darbas jokiomis aplinkybėmis negali būti pavaizduotas sistemos potencialios energijos pasikeitimo forma. Be to, papildomų sunkumų skaičiuojant darbus sukuria statinės trinties jėgos specifika. Egzistuoja nemažai fizinio mąstymo stereotipų, kurie, nors ir beprasmiai, yra labai stabilūs.
Apsvarstysime keletą klausimų, susijusių su ne visai teisingu trinties jėgos vaidmens, keičiant kūnų sistemos energiją, supratimu.
Apie slydimo trinties jėgą
Dažnai sakoma, kad slydimo trinties jėga visada atlieka neigiamą darbą ir dėl to padidėja sistemos vidinė (šiluminė) energija.
Šis teiginys reikalauja svarbaus paaiškinimo – jis teisingas tik tuo atveju, jei kalbame ne apie vienos atskiros slydimo trinties jėgos darbą, o apie bendrą visų tokių sistemoje veikiančių jėgų darbą. Faktas yra tas, kad bet kurios jėgos darbas priklauso nuo atskaitos sistemos pasirinkimo ir gali būti neigiamas vienoje sistemoje, bet teigiamas kitoje. Visų sistemoje veikiančių trinties jėgų bendras darbas nepriklauso nuo atskaitos sistemos pasirinkimo ir visada yra neigiamas. Štai konkretus pavyzdys.
Pastatykime plytą ant judančio vežimėlio, kad ji pradėtų juo slysti (1 pav.). Su žeme susijusioje atskaitos sistemoje trinties jėga F 1, veikdamas plytą tol, kol slydimas sustos, atlieka teigiamą darbą A 1 . Tuo pačiu metu trinties jėga F 2, veikdamas vežimėlį (ir dydžiu lygus pirmajai jėgai), atlieka neigiamą darbą A 2, modulis didesnis nei darbas A 1, nuo troleibuso tako s daugiau plytų takas s - l (l- plytos kelias vežimėlio atžvilgiu). Taigi, mes gauname
\(~A_1 = \mu mg(s - l), A_2 = -\mu mgs\) ,
o bendras trinties jėgų darbas
\(~A_(tr) = A_1 + A_2 = -\mu mgl< 0\) .
Todėl sistemos kinetinė energija mažėja (virsta šiluma):
\(~\Delta E_k = -\mu mgl\) .
Ši išvada turi bendrą reikšmę. Iš tiesų dviejų jėgų (ne tik trinties jėgų), kurios sąveikauja tarp kūnų, darbas nepriklauso nuo atskaitos sistemos pasirinkimo (įrodykite tai patys). Visada galite pereiti prie atskaitos sistemos, kurios atžvilgiu vienas iš kūnų yra ramybės būsenoje. Jame judantį kūną veikiančios trinties jėgos darbas visada yra neigiamas, nes trinties jėga nukreipta prieš santykinį greitį. Tačiau jis yra neigiamas bet kurioje kitoje atskaitos sistemoje. Todėl visada bet kokiam kūnų skaičiui sistemoje, A tr< 0. Эта работа и уменьшает механическую энергию системы.
Apie statinės trinties jėgą
Kai tarp besiliečiančių kūnų veikia statinė trinties jėga, šių kūnų nei mechaninė, nei vidinė (šiluminė) energija nekinta. Ar tai reiškia, kad statinės trinties jėgos atliktas darbas yra lygus nuliui? Kaip ir pirmuoju atveju, šis teiginys yra teisingas tik atsižvelgiant į bendrą visų sąveikaujančių kūnų statinių trinties jėgų darbą. Viena statinė trinties jėga gali atlikti darbą, tiek neigiamą, tiek teigiamą.
Apsvarstykite, pavyzdžiui, knygą, gulinčią ant stalo traukinyje, kuris įsibėgėja. Būtent statinė trinties jėga suteikia knygai tokį patį greitį kaip ir traukinio, tai yra padidina jo kinetinę energiją, atlikdama tam tikrą darbo kiekį. Kitas dalykas – tokio paties dydžio, bet priešingos krypties jėga veikia iš knygos ant stalo, taigi ir visą traukinį. Ši jėga atlieka lygiai tą patį darbą, bet tik neigiamą. Dėl to išeina, kad bendras dviejų statinių trinties jėgų atliktas darbas lygus nuliui, o kūnų sistemos mechaninė energija nekinta.
Apie automobilio judėjimą neslystant ratams
Labiausiai paplitusi klaidinga nuomonė yra susijusi su šia problema.
Pirmiausia leiskite automobiliui pailsėti, o tada pradėkite greitėti (2 pav.). Vienintelė išorinė jėga, suteikianti automobilio pagreitį, yra statinė trinties jėga F tr, veikiantis varančiuosius ratus (neatsižvelgiame į oro pasipriešinimo ir riedėjimo trinties jėgą). Pagal masės centro judėjimo teoremą trinties jėgos impulsas yra lygus automobilio impulso pokyčiui:
\(~F_(tr) \Delta t = \Delta(M \upsilon_c) = M \upsilon_c\) ,
jei masės centro greitis judėjimo pradžioje buvo lygus nuliui, o pabaigoje υ c. Įgydamas pagreitį, t.y. didindamas greitį, automobilis vienu metu gauna tam tikrą kinetinės energijos dalį. O kadangi impulsą suteikia trinties jėga, natūralu manyti, kad kinetinės energijos padidėjimą lemia tos pačios jėgos darbas. Šis teiginys pasirodo visiškai neteisingas. Trinties jėga pagreitina automobilį, bet neatlieka jokio darbo. Kaip tai?
Apskritai, šioje situacijoje nėra nieko paradoksalaus. Kaip pavyzdį užtenka panagrinėti labai paprastą modelį – lygų kubą su šone pritvirtinta spyruokle (3 pav.). Kubas perkeliamas link sienos, suspaudžiant spyruoklę, o tada atleidžiamas. „Nustumdama“ nuo sienos, mūsų sistema (kubas su spyruokle) įgauna tam tikrą impulsą ir kinetinę energiją. Akivaizdu, kad vienintelė išorinė jėga, veikianti sistemą horizontaliai, yra sienos reakcijos jėga F p. Būtent ji sistemai suteikia pagreitį. Tačiau, žinoma, nedirbama – juk šios jėgos taikymo taškas yra nejudantis (su žeme susietoje koordinačių sistemoje), nors jėga veikia tam tikrą baigtinį laiką Δ t.
Panaši situacija būna ir greitėjant automobiliui neslystant. Trinties jėgos, veikiančios automobilio varantįjį ratą, taikymo taškas, t. y. rato sąlyčio su keliu taškas, bet kuriuo momentu yra ramybėje kelio atžvilgiu (su keliu susietame atskaitos rėme) . Kai automobilis pajuda, jis vienu metu dingsta, o kitame iškart pasirodo.
Ar tai neprieštarauja mechaninės energijos tvermės dėsniui? Žinoma ne. Mūsų atveju su automobiliu sistemos kinetinės energijos pokytis atsiranda dėl jos vidinės energijos, išsiskiriančios deginant kurą.
Paprastumo dėlei apsvarstykite grynai mechaninę sistemą: spyruoklinį žaislinį automobilį. Tokio automobilio variklis naudoja ne vidinę degalų, o suspaustos spyruoklės potencialią energiją. Iš pradžių suvyniojama spyruoklė ir jos potenciali energija E p1 skiriasi nuo nulio. Jei žaislo variklis yra tiesiog ištempta spyruoklė, tada \(~E_(p1) = \frac(k (\Delta l)^2)(2)\). Kinetinė energija lygi nuliui, o bendra pradinė automobilio energija yra lygi E 1 = E p1. Galutinėje būsenoje, kai išnyksta spyruoklės deformacija, potencinė energija lygi nuliui, o kinetinė energija \(~E_(k2) = \frac(M \upsilon_c^2)(2)\). Bendra energija E 2 = E k2. Pagal energijos tvermės dėsnį (neatsižvelgiame į trintį),
\(~\frac(M \upsilon_c^2)(2) = \frac(k (\Delta l)^2)(2)\) .
Tikro automobilio atveju
\(~\frac(M \upsilon_c^2)(2) = \Delta U\) ,
kur Δ U- energija, gaunama deginant kurą.
Jei automobilio ratai slysta, tada A tr<0, так как точка соприкосновения колес с дорогой движется против направления силы трения. Следовательно,
\(~\frac(M \upsilon_c^2)(2) = \frac(k (\Delta l)^2)(2) + A_(tr)\) .
Matyti, kad galutinėje būsenoje automobilio kinetinė energija yra mažesnė nei neslystant.
Santykiniam vienam kūnui judant kito paviršiumi, atsiranda trinties jėgos, tai yra, kūnai sąveikauja vienas su kitu. Tačiau tokio tipo sąveika iš esmės skiriasi nuo anksčiau aptartų. Reikšmingiausias skirtumas yra tai, kad sąveikos jėgą lemia ne santykinė kūnų padėtis, o jų santykinis greitis. Vadinasi, šių jėgų darbas priklauso ne tik nuo pradinės ir galutinės kūnų padėties, bet ir nuo trajektorijos formos bei judėjimo greičio. Kitaip tariant, trinties jėgos nėra potencialios.
Pažvelkime atidžiau į įvairių tipų trinties darbą.
Paprasčiausias atvejis yra statinė trintis. Užtenka pasakyti, kad nesant judėjimo darbas lygus nuliui, todėl statinė trintis neatlieka jokio darbo.
Kai vienas kūnas juda kito paviršiumi, atsiranda sausos trinties jėga. Pagal Kulono-Amontono dėsnį trinties jėgos dydis yra pastovus ir nukreiptas judėjimo greičiui priešinga kryptimi. Vadinasi, bet kuriuo laiko momentu, bet kuriame trajektorijos taške greičio ir trinties jėgos vektoriai yra nukreipti priešingomis kryptimis, kampas tarp jų lygus 180°(Prisiminti cos180° = −1). Taigi trinties jėgos atliktas darbas yra lygus trinties jėgos ir trajektorijos ilgio sandaugai S:
A mp = −F mp S. (1)
Tarp dviejų taškų galite nutiesti bet kokį skaičių trajektorijų, kurių ilgis gali skirtis plačiose ribose; judant kiekviena iš šių trajektorijų, trinties jėga atliks skirtingą darbą.
Darbo sąvokos naudojimas taip pat naudingas esant trinties jėgoms. Pažiūrėkime į paprastą pavyzdį. Tegul ant horizontalaus paviršiaus yra blokas, kuriam stūmimas suteikiamas greitis v o. Raskime atstumą, kurį blokas nuvažiuos prieš sustodamas esant sausai trinčiai, kurios koeficientas lygus μ
. Kadangi sustojus kinetinė energija tampa lygi nuliui, kūno kinetinės energijos pokytis yra lygus:
Pagal kinetinės energijos teoremą pastarosios pokytis lygus išorinių jėgų darbui. Vienintelė jėga, atliekanti darbą, yra trinties jėga, kuri šiuo atveju yra lygi:
A = −μmgS.
Sulyginę šias išraiškas, lengvai randame kelią į stotelę:
S = v o 2 /(2μg).
Kad atitinkamas blokas judėtų horizontaliu paviršiumi pastoviu greičiu, jam turi būti taikoma pastovi, horizontaliai nukreipta jėga. F dydžiu lygus trinties jėgai. Ši išorinė jėga padarys teigiamą darbą A, dydžiu lygus trinties jėgos darbui. Bloko kinetinė energija tokiu judesiu nepadidės. Atkreipkite dėmesį, kad šiame teiginyje nėra prieštaravimų su kinetinės energijos teorema – taigi, bendra išorinė jėga, veikianti bloką, yra lygi nuliui. Nepaisant to, būtina tvirtai suprasti, kad bet kokios jėgos darbas yra energijos perėjimo iš vienos formos į kitą matas, todėl būtina nustatyti, kokie sistemos (stulpelio ir paviršiaus) pokyčiai įvyko dėl darbas atliktas. Atsakymas žinomas: buvo šildomas ir paviršius, ir blokas. Kitaip tariant, išorinės jėgos darbas nuėjo didinti vidinę, šiluminę energiją. Panašiai stabdant pradinė bloko kinetinė energija virto vidine energija. Bet kokiu atveju trinties jėgos darbas padidina šiluminę energiją.
Judant klampioje terpėje, kūną veikia pasipriešinimo jėga, priklausanti nuo greičio ir nukreipta priešinga greičio vektoriui kryptimi, todėl šių jėgų darbas visada yra neigiamas, priklauso nuo kūno trajektorijos. Vadinasi, klampios trinties jėgos nėra potencialios. Energijos transformacijos, vykstančios esant klampiai trinčiai, yra panašios į anksčiau aptartas, tačiau jų skaičiavimą apsunkina jėgų priklausomybė nuo greičio. Nepotencialios jėgos, dėl kurių padidėja vidinė energija, vadinamos išsklaidymo 1. Tokių jėgų pavyzdžiai yra trinties jėgos.
Norėdami apskaičiuoti pastovios jėgos darbą, siūloma formulė:
Kur S- kūno judėjimas veikiant jėgai F, a- kampas tarp jėgos ir poslinkio krypčių. Kartu jie sako, kad „jei jėga yra statmena poslinkiui, tai jėgos atliktas darbas lygus nuliui. Jei, nepaisant jėgos veikimo, jėgos taikymo taškas nejuda, tai jėga neatlieka jokio darbo. Pavyzdžiui, jei koks nors krovinys nejudėdamas kabo ant pakabos, tai jį veikianti gravitacijos jėga neveikia.
Taip pat sakoma: „Mechanikoje įdiegta darbo kaip fizinio dydžio samprata tik iš dalies atitinka darbo idėją kasdienine prasme. Išties, pavyzdžiui, krautuvo darbas keliant svorius vertinamas kuo daugiau, kuo didesnis pakeliamas krovinys ir tuo didesnis jo aukštis turi būti keliamas. Tačiau tuo pačiu kasdieniu požiūriu „fiziniu darbu“ esame linkę vadinti bet kokią žmogaus veiklą, kurioje jis deda tam tikras fizines pastangas. Bet pagal mechanikoje pateiktą apibrėžimą ši veikla negali būti lydima darbo. Gerai žinomame mite apie Atlasą, laikantį dangaus skliautą ant jo pečių, žmonės minėjo pastangas, kurių reikia norint išlaikyti didžiulį svorį, ir laikė šias pastangas didžiuliu darbu. Čia nėra darbo mechanikams, o Atlaso raumenis galima tiesiog pakeisti stipria kolona.
Šie argumentai primena garsųjį I. V. pareiškimą. Stalinas: „Jei yra žmogus, yra problema, jei nėra žmogaus, nėra problemos“.
Fizikos vadovėlis 10 klasei siūlo tokią išeitį iš šios situacijos: „Kai žmogus nejudėdamas laiko krovinį Žemės gravitacijos lauke, darbas yra atliktas ir ranka jaučiamas nuovargis, nors matomas krovinio judėjimas lygus nuliui. Taip yra dėl to, kad žmogaus raumenys nuolat susitraukia ir tempiasi, o tai lemia mikroskopinius krūvio judesius. Viskas gerai, bet kaip apskaičiuoti šiuos susitraukimus ir tempimus?
Pasirodo tokia situacija: žmogus bando perkelti spintelę per atstumą S kodėl jis elgiasi prievarta? F laikui t, t.y. perduoda jėgos impulsą. Jei spinta turi mažą masę ir nėra trinties jėgų, tada spinta juda ir tai reiškia, kad darbas atliktas. Bet jei spinta didelės masės ir turi dideles trinties jėgas, tai žmogus, veikdamas tuo pačiu jėgos impulsu, spintos nejudina, t.y. jokie darbai neatliekami. Kažkas čia nedera su vadinamaisiais gamtosaugos įstatymais. Arba paimkite pavyzdį, parodytą pav. 1. Jei jėga F a, Tai. Kadangi natūraliai kyla klausimas, kur dingo energija, lygi darbo skirtumui ()?
1 paveikslas. Jėga F yra nukreiptas horizontaliai (), tada darbas yra , o jei kampu a, Tai
Pateiksime pavyzdį, rodantį, kad darbas atliekamas, jei kūnas lieka nejudantis. Paimkime elektros grandinę, susidedančią iš srovės šaltinio, reostato ir magnetoelektrinės sistemos ampermetro. Kai reostatas yra visiškai įdėtas, srovės stipris yra be galo mažas, o ampermetro adata yra lygi nuliui. Pradedame palaipsniui judinti reostato reokordą. Ampermetro adata pradeda nukrypti, sukdama prietaiso spiralines spyruokles. Tai atlieka Ampero jėga: srovės rėmo ir magnetinio lauko sąveikos jėga. Jei sustabdote reochordą, nustatomas pastovus srovės stiprumas ir rodyklė nustoja judėti. Sakoma, kad jei kūnas nejuda, tai jėga neveikia. Bet ampermetras, laikydamas adatą toje pačioje padėtyje, vis tiek eikvoja energiją, kur U- į ampermetro rėmą tiekiama įtampa, - srovės stiprumas rėme. Tie. Ampero jėga, laikanti rodyklę, vis dar veikia, kad išlaikytų spyruokles susuktas.
Parodykime, kodėl kyla tokie paradoksai. Pirma, gaukime visuotinai priimtą darbo posakį. Panagrinėkime pagreičio darbą išilgai horizontalaus lygaus iš pradžių nejudančio masės kūno paviršiaus m dėl horizontalios jėgos įtakos jai F laikui t. Šis atvejis atitinka kampą 1 pav. Parašykime II Niutono dėsnį forma. Padauginkite abi lygybės puses iš nuvažiuoto atstumo S: . Nuo tada gauname arba . Atkreipkite dėmesį, kad padauginus abi lygties puses iš S, tokiu būdu atsisakome dirbti toms jėgoms, kurios nejudina kūno (). Be to, jei jėga F veikia kampu a iki horizonto, mes taip paneigiame visos galios darbą F, „leidžiantis“ dirbti tik jo horizontaliam komponentui: .
Atlikime dar vieną darbo formulės išvedimą. Parašykime Niutono II dėsnį diferencine forma
Kairė lygties pusė yra elementarus jėgos impulsas, o dešinė – elementarus kūno impulsas (judesio kiekis). Atkreipkite dėmesį, kad dešinė lygties pusė gali būti lygi nuliui, jei kūnas nejuda () arba juda tolygiai (), o kairioji pusė nėra lygi nuliui. Paskutinis atvejis atitinka tolygaus judėjimo atvejį, kai jėga subalansuoja trinties jėgą 
.
Tačiau grįžkime prie nejudančio kūno pagreitinimo problemos. Integravę (2) lygtį, gauname, t.y. jėgos impulsas lygus kūno gaunamam impulsui (judesio kiekiui). Padalinus kvadratu ir padalinus iš abiejų lygties pusių, gauname
Taip gauname kitą darbo skaičiavimo išraišką
(4)
kur jėgos impulsas. Ši išraiška nesusieta su keliu S peržengė kūnas laiku t, todėl jį galima naudoti jėgos impulso atliekamam darbui apskaičiuoti net ir kūnui nejudant.
Tuo atveju, kai galia F veikia kampu a(1 pav.), tada išskaidome į du komponentus: traukos jėgą ir jėgą, kurią vadiname levitacijos jėga, ji linkusi mažinti gravitacijos jėgą. Jei jis lygus , tada kūnas bus beveik nesvarios būsenos (levitacijos būsena). Naudojant Pitagoro teoremą: 
, suraskime jėga F atliktą darbą
arba (5)
Kadangi , ir , tada traukos jėgos darbas gali būti pavaizduotas visuotinai priimta forma: .
Jei levitacijos jėga yra , tada levitacijos darbas bus lygus
(6)
Būtent tokį darbą atliko Atlasas, laikydamas skliautą ant savo pečių.
Dabar pažvelkime į trinties jėgų darbą. Jei trinties jėga yra vienintelė jėga, veikianti išilgai judėjimo linijos (pavyzdžiui, automobilis, važiuojantis horizontaliu keliu greičiu, išjungė variklį ir pradėjo stabdyti), tada trinties jėgos atliktas darbas bus lygus kinetinės energijos skirtumas ir gali būti apskaičiuojamas naudojant visuotinai priimtą formulę:
(7)
Tačiau jei kūnas juda grublėtu horizontaliu paviršiumi tam tikru pastoviu greičiu, trinties jėgos darbas negali būti apskaičiuojamas pagal visuotinai priimtą formulę, nes šiuo atveju judesiai turi būti laikomi laisvo kūno judėjimu ( ), t.y. kaip judėjimas inercija, o greitis V nesukuriamas jėga, jis buvo įgytas anksčiau. Pavyzdžiui, kūnas judėjo idealiai lygiu paviršiumi pastoviu greičiu ir tuo momentu, kai jis patenka į šiurkštų paviršių, įsijungia traukos jėga. Šiuo atveju kelias S nesusietas su jėgos veikimu. Jei eisime keliu m, tai esant greičiui m/s jėgos veikimo laikas bus s, m/s – s, m/s – s. Kadangi trinties jėga laikoma nepriklausoma nuo greičio, akivaizdu, kad tame pačiame kelio m atkarpoje jėga per 200 s atliks daug daugiau darbo nei per 10 s, nes pirmuoju atveju jėgos impulsas yra , o antruoju - . Tie. šiuo atveju trinties jėgos darbas turi būti apskaičiuojamas pagal formulę:
(8)
Žymi „įprastą“ trinties darbą 
ir atsižvelgiant į tai, kad , formulė (8), praleidžiant minuso ženklą, gali būti pavaizduota formoje
Su mechaniniu darbu (jėgos darbu) jau esi susipažinęs iš pagrindinės mokyklos fizikos kurso. Prisiminkime ten pateiktą mechaninio darbo apibrėžimą šiais atvejais.
Jei jėga nukreipta ta pačia kryptimi kaip ir kūno judėjimas, tai jėgos atliekamas darbas
Šiuo atveju jėgos atliktas darbas yra teigiamas.
Jei jėga nukreipta priešingai kūno judėjimui, tai jėgos atliekamas darbas
Šiuo atveju jėgos atliktas darbas yra neigiamas.
Jei jėga f_vec nukreipta statmenai kūno poslinkiui s_vec, tai jėgos atliktas darbas lygus nuliui:
Darbas yra skaliarinis dydis. Darbo vienetas vadinamas džauliu (simbolis: J), pagerbiant anglų mokslininką Jamesą Joule'ą, suvaidinusį svarbų vaidmenį atrandant energijos tvermės dėsnį. Iš (1) formulės seka:
1 J = 1 N * m.
1. Išilgai stalo 2 m buvo perkeltas 0,5 kg sveriantis blokas, veikiant jį 4 N tamprumo jėga (28.1 pav.). Trinties koeficientas tarp bloko ir stalo yra 0,2. Koks darbas veikia bloką?
a) gravitacija m?
b) normalios reakcijos jėgos?
c) tamprumo jėgos?
d) slydimo trinties jėgos tr?
Visą darbą, kurį atlieka kelios kūną veikiančios jėgos, galima rasti dviem būdais:
1. Raskite kiekvienos jėgos darbą ir sudėkite šiuos darbus, atsižvelgdami į ženklus.
2. Raskite visų kūną veikiančių jėgų atstojamąjį ir apskaičiuokite rezultato darbą.
Abu metodai leidžia pasiekti tą patį rezultatą. Norėdami tuo įsitikinti, grįžkite į ankstesnę užduotį ir atsakykite į 2 užduoties klausimus.
2. Kam jis lygus:
a) visų bloką veikiančių jėgų atliktų darbų suma?
b) visų bloką veikiančių jėgų rezultatas?
c) darbo rezultatas? Bendruoju atveju (kai jėga f_vec nukreipta savavališku kampu į poslinkį s_vec) jėgos veikimo apibrėžimas yra toks.
Pastovios jėgos darbas A yra lygus jėgos modulio F sandaugai iš poslinkio modulio s ir kampo α tarp jėgos krypties ir poslinkio krypties kosinuso:
A = Fs cos α (4)
3. Parodykite, kad bendras darbo apibrėžimas leidžia daryti išvadas, parodytas šioje diagramoje. Suformuluokite juos žodžiu ir užsirašykite į sąsiuvinį.
4. Jėga veikiama ant stalo esančiam blokui, kurio modulis yra 10 N. Koks yra kampas tarp šios jėgos ir bloko judėjimo, jei, perkeliant bloką 60 cm išilgai stalo, ši jėga veikia darbas: a) 3 J; b) –3 J; c) –3 J; d) –6 J? Padarykite aiškinamuosius brėžinius.
2. Gravitacijos darbas
Tegul kūnas, kurio masė yra m, vertikaliai juda nuo pradinio aukščio h n iki galutinio aukščio h k.
Jeigu kūnas juda žemyn (h n > h k, 28.2 pav., a), judėjimo kryptis sutampa su gravitacijos kryptimi, todėl gravitacijos darbas teigiamas. Jei kūnas juda aukštyn (h n< h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.
Abiem atvejais darbas atliekamas gravitacijos būdu
A = mg(h n – h k). (5)
Dabar suraskime gravitacijos atliktą darbą, kai juda kampu vertikaliai.
5. Nedidelis m masės blokas nuslydo išilgai pasvirusios s ilgio ir h aukščio plokštumos (28.3 pav.). Pasvirusi plokštuma sudaro kampą α su vertikale.
a) Koks kampas tarp gravitacijos krypties ir bloko judėjimo krypties? Padarykite aiškinamąjį brėžinį.
b) Išreikškite gravitacijos darbą m, g, s, α.
c) Išreikškite s kaip h ir α.
d) Išreikškite gravitacijos darbą m, g, h.
e) Kokį darbą atlieka gravitacija, kai blokas juda aukštyn išilgai tos pačios plokštumos?
Atlikę šią užduotį esate įsitikinę, kad gravitacijos darbas išreiškiamas formule (5) net tada, kai kūnas juda kampu vertikaliai – tiek žemyn, tiek aukštyn.
Bet tada formulė (5) gravitacijos darbui galioja, kai kūnas juda bet kuria trajektorija, nes bet kurią trajektoriją (28.4 pav., a) galima pavaizduoti kaip mažų „pasvirusių plokštumų“ rinkinį (28.4 pav., b). . 
Taigi,
darbas, atliktas gravitacijos judant bet kuria trajektorija, išreiškiamas formule
A t = mg(h n – h k),
kur h n – pradinis kūno aukštis, h k – jo galutinis aukštis.
Gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos.
Pavyzdžiui, gravitacijos darbas judant kūnui iš taško A į tašką B (28.5 pav.) 1, 2 ar 3 trajektorija yra toks pat. Iš čia visų pirma išplaukia, kad gravitacijos jėga judant uždara trajektorija (kai kūnas grįžta į pradinį tašką) yra lygi nuliui. 
6. M masės rutulys, kabantis ant l ilgio sriegio, išlaikant siūlą įtemptą, buvo nukreiptas 90º kampu ir paleido be stūmimo.
a) Kokį darbą atlieka gravitacija per laiką, per kurį rutulys pasislenka į pusiausvyros padėtį (28.6 pav.)?
b) Kokį darbą per tą patį laiką atlieka sriegio tamprumo jėga?
c) Kokį darbą atlieka rezultatyviosios jėgos, veikiančios rutulį per tą patį laiką?
3. Tamprumo jėgos darbas
Kai spyruoklė grįžta į nedeformuotą būseną, tamprumo jėga visada atlieka teigiamą darbą: jos kryptis sutampa su judėjimo kryptimi (28.7 pav.). 
Raskime darbą, kurį atlieka tamprumo jėga.
Šios jėgos modulis yra susietas su deformacijos moduliu x ryšiu (žr. § 15)
Tokios jėgos atliktą darbą galima rasti grafiškai.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį, kad pastovios jėgos atliktas darbas yra skaitiniu būdu lygus stačiakampio plotui po jėgos ir poslinkio grafiku (28.8 pav.). 
28.9 paveiksle parodytas tamprumo jėgos F(x) grafikas. Protiškai suskirstykime visą kūno judėjimą į tokius mažus intervalus, kad kiekviename iš jų jėgą būtų galima laikyti pastovia. 
Tada kiekvieno iš šių intervalų darbas yra lygus figūros plotui po atitinkama grafiko dalimi. Visas darbas yra lygus šių sričių darbų sumai.
Vadinasi, šiuo atveju darbas yra skaitiniu būdu lygus figūros plotui po priklausomybės F(x) grafiku. 
7. Naudodamiesi 28.10 pav., įrodykite, kad
elastinės jėgos atliktas darbas spyruoklei grįžtant į nedeformuotą būseną išreiškiamas formule
A = (kx 2)/2. (7)
8. Naudodami 28.11 paveiksle pateiktą grafiką įrodykite, kad spyruoklės deformacijai pasikeitus nuo x n iki x k, tamprumo jėgos darbas išreiškiamas formule
Iš (8) formulės matome, kad tamprumo jėgos darbas priklauso tik nuo pradinės ir galutinės spyruoklės deformacijos.Todėl jei kūnas iš pradžių deformuojamas, o po to grįžta į pradinę būseną, tai tamprumo jėgos darbas yra lygus. nulis. Prisiminkime, kad gravitacijos darbas turi tą pačią savybę.
9. Pradiniu momentu 400 N/m standumo spyruoklės įtempimas yra 3 cm. Spyruoklė ištempiama dar 2 cm.
a) Kokia galutinė spyruoklės deformacija?
b) Kokį darbą atlieka spyruoklės tamprumo jėga?
10. Pirmuoju momentu 200 N/m standumo spyruoklė ištempiama 2 cm, o paskutiniu momentu suspaudžiama 1 cm Kokį darbą atlieka spyruoklės tamprumo jėga?
4. Trinties jėgos darbas
Leiskite kūnui slysti išilgai fiksuotos atramos. Kūną veikianti slydimo trinties jėga visada nukreipta priešingai judesiui, todėl slydimo trinties jėgos darbas yra neigiamas bet kuria judėjimo kryptimi (28.12 pav.). 
Todėl, jei bloką perkelsite į dešinę, o kaištį tokiu pat atstumu į kairę, tada, nors jis grįš į pradinę padėtį, bendras darbas, atliktas slydimo trinties jėga, nebus lygus nuliui. Tai yra svarbiausias skirtumas tarp slydimo trinties ir gravitacijos bei elastingumo darbo. Prisiminkime, kad šių jėgų darbas judant kūnui uždara trajektorija yra lygus nuliui.
11. 1 kg masės blokas buvo perkeltas išilgai stalo taip, kad jo trajektorija būtų kvadratas, kurio kraštinė buvo 50 cm.
a) Ar blokas grįžo į pradinį tašką?
b) Kokį bendrą darbą atlieka bloką veikianti trinties jėga? Trinties koeficientas tarp bloko ir stalo yra 0,3.
5. Galia
Dažnai svarbu ne tik atliekamas darbas, bet ir darbų atlikimo greitis. Jai būdinga galia.
Galia P yra atlikto darbo A ir laikotarpio t, per kurį šis darbas buvo atliktas, santykis:
(Kartais galia mechanikoje žymima raide N, o elektrodinamikoje – raide P. Mums patogiau naudoti tą patį galios žymėjimą.)
Galios vienetas yra vatas (simbolis: W), pavadintas anglų išradėjo Jameso Watto vardu. Iš (9) formulės išplaukia, kad
1 W = 1 J/s.
12. Kokią jėgą išvysto žmogus 2 s tolygiai pakeldamas 10 kg sveriantį vandens kibirą į 1 m aukštį?
Galią dažnai patogu išreikšti ne darbu ir laiku, o jėga ir greičiu.
Panagrinėkime atvejį, kai jėga nukreipta išilgai poslinkio. Tada jėgos A = Fs atliktas darbas. Pakeitę šią išraišką galios formule (9), gauname:
P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)
13. Automobilis važiuoja horizontaliu keliu 72 km/h greičiu. Tuo pačiu metu jo variklis išvysto 20 kW galią. Kokia yra pasipriešinimo jėga automobilio judėjimui?
Užuomina. Kai automobilis juda horizontaliu keliu pastoviu greičiu, traukos jėga yra lygi pasipriešinimo automobilio judėjimui jėgai.
14. Kiek laiko užtruks tolygiai pakelti 4 tonas sveriantį betoninį bloką į 30 m aukštį, jei krano variklio galia 20 kW, o krano elektros variklio naudingumo koeficientas – 75 %?
Užuomina. Elektros variklio naudingumo koeficientas lygus krovinio kėlimo ir variklio darbo santykiui. 
Papildomi klausimai ir užduotys
15. Iš balkono buvo išmestas 200 g sveriantis kamuolys, kurio aukštis 10, o kampas 45º į horizontalę. Skrydžio metu pasiekęs maksimalų 15 m aukštį kamuolys nukrito ant žemės.
a) Kokį darbą atlieka gravitacija keliant rutulį?
b) Kokį darbą atlieka gravitacija, kai kamuolys nuleidžiamas?
c) Kokį darbą atlieka gravitacija viso rutulio skrydžio metu?
d) Ar sąlygoje yra papildomų duomenų?
16. 0,5 kg masės rutulys pakabinamas ant spyruoklės, kurios standumas 250 N/m, ir yra pusiausvyroje. Kamuolys pakeliamas taip, kad spyruoklė nedeformuotųsi ir atleidžiama be stūmimo.
a) Į kokį aukštį buvo pakeltas rutulys?
b) Kokį darbą atlieka gravitacija per tą laiką, per kurį rutulys pajuda į pusiausvyros padėtį?
c) Kokį darbą atlieka tamprumo jėga per tą laiką, per kurį rutulys pasislenka į pusiausvyros padėtį?
d) Kokį darbą atlieka visų jėgų, veikiančių rutulį, atstojamoji per tą laiką, per kurį rutulys juda į pusiausvyros padėtį?
17. 10 kg sveriančios rogės be pradinio greičio nuslysta nuo apsnigto kalno, kurio pasvirimo kampas yra α = 30º, ir nuvažiuoja tam tikrą atstumą horizontaliu paviršiumi (28.13 pav.). Trinties koeficientas tarp rogių ir sniego yra 0,1. Kalno pagrindo ilgis l = 15 m. 
a) Kokio dydžio trinties jėga rogėms judant horizontaliu paviršiumi?
b) Kokį darbą atlieka trinties jėga, rogėms judant horizontaliu paviršiumi 20 m atstumu?
c) Kokio dydžio trinties jėga rogėms judant palei kalną?
d) Kokį darbą atlieka trinties jėga nuleidžiant roges?
e) Kokį darbą atlieka gravitacija nuleidžiant roges?
f) Kokį darbą atlieka roges besileidžiančios nuo kalno atsirandančios jėgos?
18. 1 toną sveriantis automobilis juda 50 km/h greičiu. Variklis išvysto 10 kW galią. Benzino sąnaudos yra 8 litrai 100 km. Benzino tankis – 750 kg/m 3, o savitoji degimo šiluma – 45 MJ/kg. Koks yra variklio efektyvumas? Ar yra kokių nors papildomų duomenų apie būklę?
Užuomina. Šilumos variklio naudingumo koeficientas lygus variklio atliekamo darbo ir kuro degimo metu išsiskiriančios šilumos kiekio santykiui.
Atkreipkite dėmesį, kad darbas ir energija turi tuos pačius matavimo vienetus. Tai reiškia, kad darbas gali būti paverstas energija. Pavyzdžiui, norint pakelti kūną į tam tikrą aukštį, tada jis turės potencinę energiją, reikia jėgos, kuri atliks šį darbą. Kėlimo jėgos atliktas darbas virs potencialia energija.
Darbo nustatymo pagal priklausomybės grafiką F(r) taisyklė: darbas yra skaitine prasme lygus figūros plotui po jėgos ir poslinkio grafiku.
Kampas tarp jėgos vektoriaus ir poslinkio
1) Teisingai nustatykite jėgos, kuri atlieka darbą, kryptį; 2) Pavaizduojame poslinkio vektorių; 3) Perkeliame vektorius į vieną tašką ir gauname norimą kampą.
Paveiksle kūną veikia sunkio jėga (mg), atramos reakcija (N), trinties jėga (Ftr) ir lyno F tempimo jėga, kurios veikiamas kūnas. juda r.
Gravitacijos darbas
Žemės reakcijos darbas
Trinties jėgos darbas
Darbas atliekamas lyno įtempimu
Darbas atliekamas rezultatine jėga
Rezultatinės jėgos atliktas darbas gali būti rastas dviem būdais: 1 metodas - kaip visų kūną veikiančių jėgų darbo suma (atsižvelgiant į „+“ arba „-“ ženklus), mūsų pavyzdyje.
2 metodas - pirmiausia suraskite gaunamą jėgą, tada tiesiogiai jos darbą, žr. pav
Tamprumo jėgos darbas
Norint rasti tamprumo jėgos atliktą darbą, reikia atsižvelgti į tai, kad ši jėga kinta, nes priklauso nuo spyruoklės pailgėjimo. Iš Huko dėsnio išplaukia, kad didėjant absoliučiajam pailgėjimui, jėga didėja.
Norėdami apskaičiuoti tamprumo jėgos darbą spyruoklės (kūno) pereinant iš nedeformuotos būsenos į deformuotą būseną, naudokite formulę
Galia
Skaliarinis dydis, apibūdinantis darbo greitį (galima nubrėžti analogiją su pagreičiu, kuris apibūdina greičio kitimo greitį). Nustatoma pagal formulę
Efektyvumas
Efektyvumas – tai mašinos atlikto naudingo darbo ir viso per tą patį laiką sunaudotos (paduodamos energijos) darbo santykis.
Efektyvumas išreiškiamas procentais. Kuo šis skaičius artimesnis 100%, tuo didesnis mašinos našumas. Efektyvumas negali būti didesnis nei 100, nes neįmanoma atlikti daugiau darbų naudojant mažiau energijos.
Nuožulniosios plokštumos efektyvumas – tai gravitacijos atliekamo darbo ir darbo, sugaišto judant išilgai pasvirusios plokštumos, santykis.
Svarbiausia prisiminti
1) Formulės ir matavimo vienetai;
2) Darbas atliekamas prievarta;
3) Mokėti nustatyti kampą tarp jėgos ir poslinkio vektorių
Jei jėgos atliktas darbas judant kūnui uždaru keliu yra lygus nuliui, tai tokios jėgos vadinamos konservatyvus arba potencialus. Darbas, kurį atlieka trinties jėga, judant kūną uždaru keliu, niekada nėra lygus nuliui. Trinties jėga, skirtingai nuo gravitacijos ar tamprumo jėgos, yra nekonservatyvus arba nepotencialus.
Yra sąlygų, kurioms esant formulė negali būti naudojama 
Jei jėga yra kintama, jei judėjimo trajektorija yra lenkta linija. Tokiu atveju kelias yra padalintas į mažas atkarpas, kurioms šios sąlygos yra įvykdytos, ir apskaičiuojamas elementarus kiekvienos iš šių atkarpų darbas. Bendras darbas šiuo atveju yra lygus elementarių darbų algebrinei sumai: 
Tam tikra jėga atliekamo darbo vertė priklauso nuo atskaitos sistemos pasirinkimo.
