Primeri sistemov linearnih enačb: metoda reševanja. Algoritem za reševanje racionalnih enačb Algoritam za reševanje preprostih enačb

"Gaussova in Cramerjeva metoda" - Gaussova metoda. Elementarne transformacije. Delimo prvo enačbo sistema (1) z a11. (pet). Gauss je umrl 23. februarja 1855 v Göttingenu. Gaussova metoda je klasična metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Nato v prvo enačbo nadomestimo x2 in x3 in najdemo x1. Naj bo koeficient.

"Enačbe in neenakosti" - Sestoji iz naslednjega: v en koordinatni sistem nariše grafe dveh funkcij. 4. Grafična metoda za določanje števila korenin enačbe. 3. Koliko korenin ima enačba? 2. Poiščite vsoto števil, ki izpolnjujejo neenakost. Rešitev sistema grafično. 3. Poiščite interval, ki vsebuje največje celo število, ki izpolnjuje neenakost.

"Gauss-Markov izrek" - Dokažimo, da so ocene (7.3) nepristranske. Oblikujmo vektorje in matriko koeficientov, ki temeljijo na sistemu (7.2). Če matrica X ni kolinearna in vektor naključnih motenj izpolnjuje naslednje zahteve: Kje. (7,7). Da dobimo potreben pogoj za ekstrem, ločimo (7.6) glede na vektor parametrov.

"Metode za reševanje sistemov enačb" - B. 1. Izračunaj: 14. 6. Koliko odstotkov je število 8 od njegovega kvadrata? 12. 7. Poiščite največji koren enačbe. 9. Katera funkcija je prikazana na sliki? Poiščite pomen izraza. %. H. O. B. 15x + 10 (1 - x) \u003d 1.

"Iracionalna enačba" - Poiščite napako. Enačbe, v katerih je spremenljivka pod korenskim znakom, imenujemo iracionalne. ? X - 6 \u003d 2? x - 3 \u003d 0? x + 4 \u003d 7? 5 - x \u003d 0? 2 - x \u003d x + 4. PROBLEM: Študenti ne znajo vedno zavestno uporabljati informacij o iracionalnih enačbah. Ali je število x koren enačbe: a)? x - 2 \u003d? 2 - x, x0 \u003d 4 b)? 2 - x \u003d? x - 2, x0 \u003d 2 c)? x - 5 \u003d? 2x - 13, x0 \u003d 6 d)? 1 - x \u003d? 1 + x, x0 \u003d 0.

"Reševanje enačb s parametrom" - Rešitev. Primer. 6. razred. Primeri: V 5. razredu lahko pri ponavljanju lastnosti števil upoštevate primere. Pri izvenšolskih urah matematike v 6. razredu se upošteva rešitev enačb s parametri oblike: 1) ax \u003d 6 2) (a - 1) x \u003d 8,3 3) bx \u003d -5. Z a \u003d -1/2 dobimo enačbo 0x \u003d 0. Enačba ima neskončen nabor rešitev.

Skupaj je 49 predstavitev

Preprosto povedano, gre za enačbe, v katerih je vsaj ena s spremenljivko v imenovalcu.

Na primer:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Primer ne delne racionalne enačbe:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frak (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kako se rešujejo delne racionalne enačbe?

Glavno, česar se moramo spomniti pri delnih racionalnih enačbah, je, da v njih pišemo. In po iskanju korenin jih obvezno preverite glede dopustnosti. V nasprotnem primeru se lahko pojavijo tuje korenine in celotna odločitev se bo štela za napačno.

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

Zapišite in rešite DHS.

Vsak člen v enačbi pomnožite s skupnim imenovalcem in prekinite nastale ulomke. Imenovalci bodo izginili.

Zapišite enačbo, ne da bi odprli oklepaje.

Rešite nastalo enačbo.

Najdene korenine preverite z ODZ.

V odgovor zapišite korenine, ki so opravile preverjanje v 7. koraku.

Ne zapomnite si algoritma, 3-5 rešenih enačb - in zapomnil si ga bo sam.

Primer ... Rešite delno racionalno enačbo \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Sklep:

Odgovor: \(3\).

Primer ... Poiščite korenine delne racionalne enačbe \\ (\u003d 0 \\)

Sklep:

\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \\)\(=0\) ODZ: \\ (x + 2 ≠ 0⇔x ≠ -2 \\) \\ (x + 5 ≠ 0 ⇔x ≠ -5 \\) \\ (x ^ 2 + 7x + 10 ≠ 0 \\) \\ (D \u003d 49-4 \\ cdot 10 \u003d 9 \\) \\ (x_1 ≠ \\ frac (-7 + 3) (2) \u003d - 2 \\) \\ (x_2 ≠ \\ frac (-7-3) (2) \u003d - 5 \\)		ODZ zapišemo in "rešimo". \\ (X ^ 2 + 7x + 10 \\) razširite s formulo: \\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x_1) (x-x_2) \\). Na srečo smo že našli \\ (x_1 \\) in \\ (x_2 \\).
\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Očitno je skupni imenovalec ulomkov \\ ((x + 2) (x + 5) \\). Z njo pomnožimo celotno enačbo.
\\ (\\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \\ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \\) \\ (- \\ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Zmanjšanje frakcij
\\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x \u003d 0 \\)		Razširite oklepaje
\\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x \u003d 0 \\)		Navajamo podobne izraze
\\ (2x ^ 2 + 9x-5 \u003d 0 \\)		Poiščite korenine enačbe
\\ (x_1 \u003d -5; \\) \\ (x_2 \u003d \\ frac (1) (2). \\)		Ena od korenin ne ustreza ODZ, zato v odgovor zapišemo le drugi koren.

Odgovor: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Racionalni izrazi in racionalne enačbe

Kako reševati kvadratne enačbe smo se že naučili. Zdaj pa razširimo preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi imenujejo se izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih stopenj in znakov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe v obliki :, kjer - racionalni izrazi.

Prej smo upoštevali le tiste racionalne enačbe, ki se reducirajo na linearne. Zdaj pa poglejmo tiste racionalne enačbe, ki jih lahko tudi zmanjšamo na kvadratne.

Primer 1

Reši enačbo :.

Sklep:

Ulomek je 0, če in samo, če je njegov števec 0 in imenovalec ni 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba. Preden jo rešimo, razdelimo vse njene koeficiente na 3. Dobimo:

Dobimo dve korenini :; ...

Ker 2 ni nikoli enak 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: ... Ker nobena od korenin zgoraj dobljene enačbe ne sovpada z neveljavnimi vrednostmi spremenljivke, ki so bile pridobljene z reševanjem druge neenakosti, sta obe rešitvi te enačbe.

Odgovor:.

Algoritem za reševanje racionalne enačbe

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse izraze na levo stran, da dobite 0 na desni strani.

2. Pretvorite in poenostavite levo stran, privedite vse frakcije k skupnemu imenovalcu.

3. Nastali ulomek je enak 0 v skladu z naslednjim algoritmom: .

4. Zapišite korenine, ki jih dobite v prvi enačbi, v odgovor pa izpolnite drugo neenakost.

Primer reševanja racionalne enačbe

Vzemimo še en primer.

2. primer

Reši enačbo: .

Sklep

Na samem začetku vse pogoje prenesemo na levo stran, tako da ostane 0 na desni. Dobimo:

Zdaj pripeljemo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: Izračunamo diskriminacijo:

Dobimo dve korenini :; ...

Zdaj pa razrešimo drugo neenakost: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo, če noben od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: ... Dobimo tisto od dveh korenin prve enačbe, ki ustreza samo eni - 3.

Kako reševati kvadratne enačbe smo se že naučili. Zdaj pa razširimo preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi imenujejo se izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih stopenj in znakov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe v obliki :, kjer - racionalni izrazi.

Prej smo upoštevali le tiste racionalne enačbe, ki se reducirajo na linearne. Zdaj pa poglejmo tiste racionalne enačbe, ki jih lahko tudi zmanjšamo na kvadratne.

Primer 1

Reši enačbo :.

Sklep:

Ulomek je 0, če in samo, če je njegov števec 0 in imenovalec ni 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba. Preden jo rešimo, razdelimo vse njene koeficiente na 3. Dobimo:

Dobimo dve korenini :; ...

Odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse izraze na levo stran, da dobite 0 na desni strani.

2. Pretvorite in poenostavite levo stran, privedite vse frakcije k skupnemu imenovalcu.

3. Nastali ulomek je enak 0 v skladu z naslednjim algoritmom: .

4. Zapišite korenine, ki jih dobite v prvi enačbi, v odgovor pa izpolnite drugo neenakost.

Vzemimo še en primer.

2. primer

Reši enačbo: .

Sklep

Na samem začetku vse pogoje prenesemo na levo stran, tako da ostane 0 na desni. Dobimo:

Zdaj pripeljemo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: Izračunamo diskriminacijo:

Dobimo dve korenini :; ...

Zdaj pa razrešimo drugo neenakost: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo, če noben od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: ... Dobimo tisto od dveh korenin prve enačbe, ki ustreza samo eni - 3.

Odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalen izraz, in se tudi naučili, kako reševati racionalne enačbe, ki se zmanjšajo na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji bomo racionalne enačbe obravnavali kot modele iz resničnih situacij in razmislili tudi o težavah z gibanjem.

Bibliografija

Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Učbenik za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

Festival pedagoških idej "Odprta lekcija" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Domača naloga