Násobenie čísel s rovnakými mocninami. Vlastnosti stupňov: formulácie, dôkazy, príklady

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo rovnakým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní okruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla power-to-power:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na tréning

1. Nezabudnite na obvyklé vlastnosti stupňov:

2. Tu si pripomíname, že sme sa zabudli naučiť tabuľku stupňov:

predsa - toto resp. Riešenie sa nájde automaticky: .

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitá „príprava číslo“, menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, vo vede sa často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desatinné, alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

• — základ titulu;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

Podľa definície:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaký základ. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť indikátor stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať tieto jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme si definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť zmenou jediného pre nás nevýhodného mínusu!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň so záporným celým číslom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa, aby sme sa toho zbavili! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

odpovede:

1. Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno znásobiť a ktoré nie? Ako vynásobíte číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak tituly majú rovnaký základ;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakým základom musí základ zostať rovnaký a musia sa pridať exponenty:

Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:

Zvážte, ako znásobiť právomoci, s konkrétnymi príkladmi.

Jednotka v exponente sa nepíše, ale pri násobení stupňov sa berú do úvahy:

Pri násobení môže byť počet stupňov ľubovoľný. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemôžete napísať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najskôr vykoná umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, musíte najprv vykonať umocnenie a až potom - násobenie:

www.algebraclass.ru

Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie mocniny

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšeme za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Rozdelenie právomocí

Čísla s mocninami možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty v $\frac$. Odpoveď: $\frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

stupňa vlastnosti

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.

Nehnuteľnosť #1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a exponenty sa sčítavajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je ľubovoľné číslo a "m", "n" sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch alebo viacerých mocnín.

Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezentujte ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezentujte ako diplom.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v naznačenej vlastnosti išlo len o násobenie mocnín s rovnakými základmi.. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť #2
Súkromné ​​tituly

Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

Napíšte podiel ako mocninu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Vypočítajte.

11 3 – 2 4 2 – 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Používame vlastnosť čiastkových stupňov.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č. 3
Umocňovanie

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ moci nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.

(a n b n) = (a b) n

To znamená, že ak chcete vynásobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.

Príklad. Vypočítajte.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Príklad. Vypočítajte.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Vo viac ťažké príklady môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať na mocninách s rôznymi základmi a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

Napríklad 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Príklad umocnenia desatinného zlomku.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Vlastnosti 5
Mocnosť kvocientu (zlomky)

Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.

(a: b) n \u003d a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.

Príklad. Vyjadrite výraz ako čiastkové mocniny.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme zvyšovania moci zlomku podrobnejšie venujeme na ďalšej strane.

Stupne a korene

Operácie s mocnosťami a koreňmi. Stupeň s negatívom ,

nulové a zlomkové indikátor. O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel.

Operácie so stupňami.

1. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich ukazovatele sčítajú:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom ich ukazovatele odpočítané .

3. Stupeň súčinu dvoch alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov.

4. Stupeň pomeru (zlomok) sa rovná pomeru stupňov dividendy (čitateľ) a deliteľa (menovateľ):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri zvýšení stupňa na mocninu sa ich ukazovatele násobia:

Všetky vyššie uvedené vzorce sa čítajú a vykonávajú v oboch smeroch zľava doprava a naopak.

PRÍKLAD (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operácie s koreňmi. Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň(radikálny výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Koreň pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri povýšení koreňa na moc stačí povýšiť na túto moc koreňové číslo:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny o m-krát a súčasne zvýšite číslo odmocniny na m -tý stupeň, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocniny o m-krát a súčasne vytiahnete odmocninu m-tého stupňa z radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzeným ukazovateľom; ale operácie s mocnosťami a koreňmi môžu viesť aj k negatívne, nula A zlomkové ukazovatele. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň určitého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň vydelený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m : a n = a m-n možno použiť nielen na m, viac ako n, ale aj pri m, menej ako n .

PRÍKLAD a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ak chceme vzorec a m : a n = a m — n bol spravodlivý m = n, potrebujeme definíciu nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať koreň n-tého stupňa z m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

kde a ≠ 0 , neexistuje.

Pravdaže, ak to predpokladáme X je určité číslo, potom v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0· X, t.j. a= 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

— ľubovoľné číslo.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu X, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 X. Ale táto rovnosť platí ľubovoľné číslo x, čo sa malo dokázať.

0 0 — ľubovoľné číslo.

Riešenie. Zvážte tri hlavné prípady:

1) X = 0 – táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) kedy X> 0 dostaneme: x / x= 1, t.j. 1 = 1, odkiaľ nasleduje,

čo X- ľubovoľné číslo; ale s prihliadnutím na to

náš prípad X> 0, odpoveď je X > 0 ;

Pravidlá pre násobenie právomocí s rôznymi základmi

STUPEŇ S RACIONÁLNYM UKAZOVATEĽOM,

FUNKCIA NAPÁJANIA IV

§ 69. Násobenie a delenie právomocí s rovnakými základmi

Veta 1. Na vynásobenie mocnín s rovnakým základom stačí spočítať exponenty a základ nechať rovnaký, tzn.

Dôkaz. Podľa definície stupňa

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Uvažovali sme o súčine dvoch mocností. V skutočnosti dokázaná vlastnosť platí pre ľubovoľný počet mocnín s rovnakými základmi.

Veta 2. Na delenie mocnín s rovnakými základňami, keď je ukazovateľ dividendy väčší ako ukazovateľ deliteľa, stačí odpočítať ukazovateľ deliteľa od ukazovateľa dividendy a základ nechať rovnaký, tj. pri t > n

(a =/= 0)

Dôkaz. Pripomeňme, že podiel delenia jedného čísla druhým je číslo, ktoré po vynásobení deliteľom dáva dividendu. Preto dokážte vzorec , kde a =/= 0, je to ako dokazovanie vzorca

Ak t > n , potom číslo t - p bude prirodzené; preto podľa vety 1

Veta 2 je dokázaná.

Všimnite si, že vzorec

nami dokázané len za predpokladu, že t > n . Preto z dokázaného zatiaľ nie je možné vyvodiť napríklad tieto závery:

Okrem toho sme ešte neuvažovali o stupňoch so zápornými exponentmi a ešte nevieme, aký význam môže mať výraz 3 - 2 .

Veta 3. Na zvýšenie mocniny na mocninu stačí vynásobiť exponenty, pričom základ exponentu zostane rovnaký, t.j

Dôkaz. Použitím definície stupňa a vety 1 tejto časti dostaneme:

Q.E.D.

Napríklad (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Ústne.) Určite X z rovníc:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Upravené) Zjednodušte:

520. (Upravené) Zjednodušiť:

521. Prezentujte tieto výrazy ako stupne s rovnakým základom:

1) 32 a 64; 3) 85 a 163; 5) 4 100 a 32 50;

2) -1000 a 100; 4) -27 a -243; 6) 81 75 8 200 a 3 600 4 150.

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšeme za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Rozdelenie právomocí

Čísla s mocninami možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty v $\frac$. Odpoveď: $\frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

stupňa vlastnosti

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.

Nehnuteľnosť #1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a exponenty sa sčítavajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je ľubovoľné číslo a "m", "n" sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch alebo viacerých mocnín.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v naznačenej vlastnosti išlo len o násobenie mocnín s rovnakými základmi.. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť #2
Súkromné ​​tituly

Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

• Napíšte podiel ako mocninu
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Vypočítajte.

11 3 – 2 4 2 – 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Používame vlastnosť čiastkových stupňov.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č. 3
Umocňovanie

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ moci nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme zvyšovania moci zlomku podrobnejšie venujeme na ďalšej strane.

Ako znásobiť sily

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno znásobiť a ktoré nie? Ako vynásobíte číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak tituly majú rovnaký základ;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakým základom musí základ zostať rovnaký a musia sa pridať exponenty:

Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:

Zvážte, ako znásobiť právomoci, s konkrétnymi príkladmi.

Jednotka v exponente sa nepíše, ale pri násobení stupňov sa berú do úvahy:

Pri násobení môže byť počet stupňov ľubovoľný. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemôžete napísať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najskôr vykoná umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, musíte najprv vykonať umocnenie a až potom - násobenie:

Násobenie mocnín s rovnakým základom

Tento videonávod je k dispozícii na základe predplatného

Máte už predplatné? Vstúpiť

V tejto lekcii sa naučíme, ako násobiť mocniny s rovnakým základom. Najprv si pripomeňme definíciu stupňa a sformulujme vetu o platnosti rovnosti . Potom uvedieme príklady jeho aplikácie na konkrétne čísla a dokážeme to. Vetu použijeme aj na riešenie rôznych problémov.

Téma: Stupeň s prírodným indikátorom a jeho vlastnosti

Lekcia: Násobenie mocnín s rovnakými základmi (vzorec)

1. Základné definície

Základné definície:

n- exponent,

— n-tá mocnina čísla.

2. Veta 1

Veta 1. Pre akékoľvek číslo ale a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravda:

Inými slovami: ak ale- ľubovoľné číslo; n A k prirodzené čísla, potom:

Preto pravidlo 1:

3. Vysvetlenie úloh

záver:špeciálne prípady potvrdili správnosť vety č.1. Dokážme to vo všeobecnom prípade, teda pre akýkoľvek ale a akékoľvek prírodné n A k.

4. Dôkaz vety 1

Dané číslo ale- akýkoľvek; čísla n A k- prirodzené. dokázať:

Dôkaz je založený na definícii stupňa.

5. Riešenie príkladov pomocou 1. vety

Príklad 1: Prezentujte ako diplom.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 1.

g)

6. Zovšeobecnenie 1. vety

Tu je zovšeobecnenie:

7. Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenia 1. vety

8. Riešenie rôznych problémov pomocou 1. vety

Príklad 2: Vypočítajte (môžete použiť tabuľku základných stupňov).

ale) (podľa tabuľky)

b)

Príklad 3: Napíšte ako mocninu so základom 2.

ale)

Príklad 4: Určite znamienko čísla:

, a - negatívny, pretože exponent na -13 je nepárny.

Príklad 5: Nahraďte ( ) mocninou so základňou r:

Máme, tj.

9. Zhrnutie

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra 7. 6. vydanie. M.: Osveta. 2010

1. Školský asistent (Zdroj).

1. Vyjadrite ako titul:

a B C d e)

3. Napíšte ako mocninu so základom 2:

4. Určte znamienko čísla:

ale)

5. Nahraďte ( ) mocninou čísla so základom r:

a) r4() = r15; b) ( ) r5 = r6

Násobenie a delenie mocnín s rovnakými exponentmi

V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s rovnakými exponentmi. Najprv si pripomeňme základné definície a teorémy o násobení a delení mocnín s rovnakými základmi a povýšení mocniny na mocninu. Potom sformulujeme a dokážeme vety o násobení a delení mocnín s rovnakými exponentmi. A potom s ich pomocou vyriešime množstvo typických problémov.

Pripomenutie základných definícií a teorémov

Tu a- základ stupňa

— n-tá mocnina čísla.

Veta 1. Pre akékoľvek číslo ale a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravda:

Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa exponenty sčítajú, základ zostáva nezmenený.

Veta 2. Pre akékoľvek číslo ale a akékoľvek prírodné n A k, také že n > k rovnosť je pravda:

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa exponenty odčítajú a základ zostáva nezmenený.

Veta 3. Pre akékoľvek číslo ale a akékoľvek prírodné n A k rovnosť je pravda:

Všetky vyššie uvedené vety sa týkali mocností s rovnakým dôvodov, táto lekcia bude brať do úvahy stupne s rovnakým ukazovatele.

Príklady na násobenie mocnín s rovnakými exponentmi

Zvážte nasledujúce príklady:

Vypíšme výrazy na určenie stupňa.

záver: Z príkladov to môžete vidieť , ale to treba ešte dokázať. Sformulujeme vetu a dokážeme ju vo všeobecnom prípade, teda pre ľubovoľný ale A b a akékoľvek prírodné n.

Vyhlásenie a dôkaz 4. vety

Pre akékoľvek čísla ale A b a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravda:

Dôkaz Veta 4 .

Podľa definície stupňa:

Takže sme to dokázali .

Na násobenie mocnín s rovnakým exponentom stačí vynásobiť základy a exponent ponechať nezmenený.

Vyhlásenie a dôkaz 5. vety

Sformulujeme vetu na delenie mocnín s rovnakými exponentmi.

Pre akékoľvek číslo ale A b() a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravda:

Dôkaz Veta 5 .

Zapíšme si a podľa definície stupňa:

Výrok viet v slovách

Tak sme to dokázali.

Na vzájomné rozdelenie stupňov s rovnakými exponentmi stačí rozdeliť jednu základňu druhou a exponent ponechať nezmenený.

Riešenie typických problémov pomocou vety 4

Príklad 1: Vyjadrite sa ako produkt síl.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 4.

Ak chcete vyriešiť nasledujúci príklad, zapamätajte si vzorce:

Zovšeobecnenie vety 4

Zovšeobecnenie vety 4:

Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenej vety 4

Pokračovanie v riešení typických problémov

Príklad 2: Napíšte ako stupeň produktu.

Príklad 3: Napíšte ako mocninu s exponentom 2.

Príklady výpočtov

Príklad 4: Počítajte tým najracionálnejším spôsobom.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a iné Algebra 7 .M .: Vzdelávanie. 2006

2. Školský asistent (Zdroj).

1. Prítomný ako súčin síl:

ale) ; b) ; v) ; G);

2. Napíšte ako stupeň produktu:

3. Napíšte v tvare stupňa s indikátorom 2:

4. Počítajte čo najracionálnejším spôsobom.

Hodina matematiky na tému „Násobenie a delenie právomocí“

Sekcie: Matematika

Pedagogický cieľ:

žiak sa naučí rozlišovať medzi vlastnosťami násobenia a delenia mocnín s prirodzeným exponentom; uplatniť tieto vlastnosti v prípade rovnakých základov;

študent bude mať príležitosť vedieť vykonávať transformácie stupňov s rôznymi základmi a vedieť vykonávať transformácie v kombinovaných úlohách.

Úlohy:

organizovať prácu študentov opakovaním predtým preštudovaného materiálu;

zabezpečiť úroveň reprodukcie vykonávaním cvičení rôznych typov;

organizovať sebahodnotenie žiakov prostredníctvom testovania.

Jednotky činnosti doktríny: určenie stupňa s prirodzeným indikátorom; zložky stupňa; definícia súkromného; asociatívny zákon násobenia.

I. Organizácia ukážky zvládnutia doterajších vedomostí študentmi. (krok 1)

a) Aktualizácia vedomostí:

2) Formulujte definíciu stupňa s prirodzeným ukazovateľom.

a n \u003d a a a a ... a (n-krát)

b k \u003d b b b b a ... b (k-krát) Svoju odpoveď zdôvodnite.

II. Organizácia sebahodnotenia stážistu podľa stupňa vlastníctva relevantných skúseností. (Krok 2)

Test na samovyšetrenie: (individuálna práca v dvoch verziách.)

A1) Vyjadrite súčin 7 7 7 7 x x x ako mocninu:

A2) Vyjadrite ako súčin stupeň (-3) 3 x 2

A3) Vypočítajte: -2 3 2 + 4 5 3

Počet úloh v teste vyberám v súlade s prípravou ročníka.

Na test dávam kľúč na samotestovanie. Kritériá: vyhovuje-nevyhovuje.

III. Edukačná a praktická úloha (3. krok) + krok 4. (vlastnosti si žiaci sformulujú sami)

vypočítajte: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Zjednodušte: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

V priebehu riešenia úloh 1) a 2) žiaci navrhujú riešenie a ja ako učiteľ organizujem hodinu, aby som našiel spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakými základmi.

Učiteľ: vymyslite spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakým základom.

Na klastri sa zobrazí záznam:

Téma hodiny je formulovaná. Násobenie právomocí.

Učiteľ: vymyslite pravidlo na delenie stupňov s rovnakými základmi.

Zdôvodnenie: aké opatrenie kontroluje divíziu? a 5: a 3 = ? že a 2 a 3 = a 5

Vraciam sa k schéme - zhluk a dopĺňam zápis - ..pri delení odčítajte a dopĺňajte tému hodiny. ...a delenie stupňov.

IV. Komunikácia so študentmi o hraniciach vedomostí (ako minimum a maximum).

Učiteľ: úlohou minima pre dnešnú hodinu je naučiť sa aplikovať vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakými základmi a maxima: aplikovať násobenie a delenie spolu.

Napíš na tabuľu am a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Organizácia štúdia nového materiálu. (krok 5)

a) Podľa učebnice: č. 403 (a, c, e) úlohy s rôznym znením

č.404 (a,e,f) samostatná práca, potom organizujem vzájomnú kontrolu, dávam kľúče.

b) Pre akú hodnotu m platí rovnosť? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Úloha: vymyslite podobné príklady na delenie.

c) č. 417 písm. a), č. 418 písm. Pasce na študentov: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Zhrnutie toho, čo sa naučili, vykonanie diagnostickej práce (ktorá povzbudzuje študentov, nie učiteľov, aby si túto tému preštudovali) (krok 6)

diagnostická práca.

Test(umiestnite kľúče na zadnú stranu testu).

Možnosti úlohy: prezentujte v stupňoch kvocient x 15: x 3; predstavujú ako mocninu súčin (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pre ktoré m je rovnosť a 16 a m = a 32 pravda; nájdite hodnotu výrazu h 0: h 2 s h = 0,2; vypočítajte hodnotu výrazu (5 2 5 0) : 5 2 .

Zhrnutie lekcie. Reflexia. Triedu rozdelím na dve skupiny.

Nájdite argumenty skupiny I: v prospech vedomostí o vlastnostiach stupňa a skupiny II - argumenty, ktoré povedia, že sa bez vlastností zaobídete. Počúvame všetky odpovede, vyvodzujeme závery. V nasledujúcich lekciách môžete ponúknuť štatistické údaje a pomenovať rubriku „Nepasuje mi to do hlavy!“

Priemerný človek zje počas života 32 10 2 kg uhoriek.

Osa je schopná vykonať nepretržitý let 3,2 10 2 km.

Pri praskaní skla sa trhlina šíri rýchlosťou asi 5 10 3 km/h.

Žaba zožerie za svoj život viac ako 3 tony komárov. Pomocou stupňa napíšte v kg.

Najplodnejšia je oceánska ryba - mesiac (Mola mola), ktorá na jeden výter nakladie až 300 000 000 ikier s priemerom okolo 1,3 mm. Napíšte toto číslo pomocou stupňa.

VII. Domáca úloha.

Odkaz na históriu. Aké čísla sa nazývajú Fermatove čísla.

S.19. #403, #408, #417

Použité knihy:

Učebnica "Algebra-7", autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a ďalší.

Didaktický materiál pre 7. ročník, L.V. Kuznecovová, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopédia matematiky.

Časopis "Quantum".

Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady.

Po určení stupňa čísla je logické hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu uvedieme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a . Na základe tejto definície a používania vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n , jeho zovšeobecnenie a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi a m:a n =a m−n ;

vlastnosť stupňa produktu (a b) n =a n b n, jeho rozšírenie (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

podielová vlastnosť v naturáliách (a:b) n =a n:b n ;

umocnenie (a m) n =a m n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

porovnanie stupňa s nulou:

• ak a>0 , potom a n >0 pre ľubovoľné prirodzené n ;
• ak a=0, potom an=0;
• ak a 2 m >0 , ak a 2 m−1 n ;
• ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pre 0m n a pre a>0 platí nerovnosť a m >a n.

Okamžite si všimneme, že všetky písomné rovnosti sú identické predmetom špecifikované podmienky a ich pravú a ľavú stranu je možné zameniť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m a n = a m + n s zjednodušenie výrazovčasto používané v tvare a m+n = a m a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom možno súčin mocnín s rovnakými základmi tvaru a m a n zapísať ako súčin . Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou a s prirodzeným exponentom m+n , teda a m+n . Tým je dôkaz hotový.

Uveďme príklad, ktorý potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, podľa hlavnej vlastnosti stupňa môžeme napísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Skontrolujeme jeho platnosť, pre ktorú vypočítame hodnoty výrazov 2 2 ·2 3 a 2 5 . Pri umocňovaní máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 a 2 5 =2 2 2 2 2=32, keďže dostaneme rovnaké hodnoty, potom rovnosť 2 2 2 3 = 2 5 je pravdivé a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Hlavná vlastnosť stupňa založená na vlastnostiach násobenia sa dá zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými základňami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k platí rovnosť a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Napríklad (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 = (2.1) 17 .

Môžete prejsť na ďalšiu vlastnosť stupňov s prirodzeným indikátorom - vlastnosť čiastkových právomocí s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

Predtým, ako poskytneme dôkaz o tejto vlastnosti, diskutujme o význame dodatočných podmienok vo vyhlásení. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením zoznámili, zhodli sme sa, že nulou sa deliť nedá. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. V skutočnosti pre m>n je exponent am−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo sa stane, keď m−n), alebo záporné číslo (čo sa stane, keď mm−n an =a (m−n) +n =am Zo získanej rovnosti am−n ·an =am a zo súvislosti medzi násobením a delením vyplýva, že am−n je parciálna mocnina am a an To dokazuje vlastnosť parciálnych mocnin s rovnakými základmi.

Vezmime si príklad. Vezmime si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, uvažovaná vlastnosť stupňa zodpovedá rovnosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Teraz zvážte vlastnosť stupňa produktu: prirodzený stupeň n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu stupňov a n a b n , teda (a b) n =a n b n .

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Posledný súčin, založený na vlastnostiach násobenia, možno prepísať ako , čo sa rovná a n b n .

Tu je príklad: .

Táto vlastnosť sa rozširuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n .

Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov s mocninou 7 máme .

Ďalšou vlastnosťou je prírodná vlastnosť: podiel reálnych čísel a a b , b≠0 k prirodzenej mocnine n sa rovná podielu mocnín a n a b n , teda (a:b) n =a n:b n .

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) n bn =((a:b) b) n =an a z rovnosti (a:b) n bn =an vyplýva, že (a:b) n je podiel an k bn .

Napíšme túto vlastnosť pomocou príkladu konkrétnych čísel: .

Teraz poďme na hlas vlastnosť umocnenia: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine a s exponentom m·n , teda (a m) n =a m·n .

Napríklad (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .

Dôkazom mocenskej vlastnosti v určitom stupni je nasledujúci reťazec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená na stupeň v rámci stupňa v rámci stupňa atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je to rovnosť . Pre väčšiu názornosť si uveďme príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

Začneme dôkazom porovnávacej vlastnosti nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

Najprv zdôvodnime, že a n >0 pre ľubovoľné a>0 .

Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Na základe preukázanej vlastnosti 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 a .

Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0 .

Prejdime k negatívnym základom.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2 m , kde m je prirodzené číslo. Potom . Podľa pravidla násobenia záporných čísel sa každý zo súčinov tvaru a a rovná súčinu modulov čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny. a stupeň a 2 m . Tu sú príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .

Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho násobenie zvyšným záporné číslo a výsledkom je záporné číslo. Na základe tejto vlastnosti je (−5) 3 17 n n súčinom ľavej a pravej časti n skutočných nerovností a vlastnosti nerovníc, pričom dokazovaná nerovnosť má tvar a n n . Napríklad vďaka tejto vlastnosti sú nerovnosti 3 7 7 a .

Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými kladnými bázami je menej ako jeden stupeň väčší, ktorého ukazovateľ je menší; a dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna, stupeň je väčší, ktorého ukazovateľ je väčší. Obraciame sa na dôkaz tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m>n a 0m n . Za týmto účelom napíšeme rozdiel a m − a n a porovnáme ho s nulou. Zapísaný rozdiel po vybratí a n zo zátvoriek bude mať tvar a n ·(a m−n −1) . Výsledný súčin je záporný ako súčin kladného čísla an a záporného čísla am−n−1 (an je kladný ako prirodzená mocnina kladného čísla a rozdiel am−n−1 je záporný, pretože m−n >0 v dôsledku počiatočnej podmienky m>n , z čoho vyplýva, že pre 0m−n je menšia ako jedna). Preto a m − a n m n , čo sa malo dokázať. Napríklad dáme správnu nerovnosť.

Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň an kladné číslo a rozdiel am−n−1 je kladné číslo, keďže m−n>0 na základe počiatočnej podmienky a pre a>1 stupeň am−n je väčší ako jedna . Preto a m − a n >0 a a m >a n , čo sa malo dokázať. Túto vlastnosť ilustruje nerovnosť 3 7 >3 2 .

Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi

Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Definovali sme stupeň so záporným celočíselným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom, aby všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi vyjadrené rovnosťami zostali v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia ako pre nulové, tak aj pre záporné exponenty, pričom samozrejme základy stupňov sú nenulové.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n;
• (a:b)n=an:bn;
• (a m) n = a m n;
• ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a n n a a−n>b−n ;
• ak m a n sú celé čísla a m>n , potom pre 0m n a pre a>1 je splnená nerovnosť a m >a n.

Pre a=0 majú mocniny a m a a n zmysel iba vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Nie je ťažké dokázať každú z týchto vlastností, na to stačí použiť definície stupňa s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti akcií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q , (ap ) −q =ap (−q) a (a −p) −q =a (−p) (−q) . Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcej podkapitole dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0 , potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0 q =a 0 =1 , odkiaľ (a 0) q =a 0 q . Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p 0 . Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 0 = a 0 = 1 , odkiaľ (a 0) 0 = a 0 0 .

Dokážme teraz, že (a −p) q =a (−p) q . Podľa definície stupňa so záporným exponentom celého čísla potom . Vlastnosťou kvocientu v stupňoch máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p q) , ktorú možno na základe pravidiel násobenia zapísať ako a (−p) q .

Podobne .

A .

Rovnakým princípom je možné dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej z napísaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n , čo platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré platí podmienka a . Napíšeme a transformujeme rozdiel medzi ľavou a pravou časťou tejto nerovnosti: . Keďže podľa podmienky a n n , teda b n − a n >0 . Súčin a n ·b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n − a n a a n b n . Odkiaľ teda a −n >b −n , ktoré sa malo dokázať.

Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnakým spôsobom ako analogická vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň sme definovali zlomkovým exponentom rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, stupne so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako stupne s celočíselnými exponentmi. menovite:

1. vlastnosť súčinu mocnín s rovnakým základom pre a>0 a ak a , potom pre a≥0;
2. vlastnosť čiastkových právomocí s rovnakými základmi pre a>0;
3. zlomková vlastnosť produktu pre a>0 a b>0, a ak a , potom pre a>0 a (alebo) b>0;
4. podielová vlastnosť na zlomkovú mocninu pre a>0 a b>0, a ak , potom pre a≥0 a b>0;
5. stupeň vlastnosť v stupni pre a>0 a ak a , potom pre a≥0;
6. vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi: pre ľubovoľné kladné čísla a a b platí a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p ;
7. vlastnosť porovnávania mocnín s racionálnymi exponentmi a rovnakými základmi: pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Dôkaz vlastností stupňov so zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa so zlomkovým exponentom, na vlastnostiach aritmetického odmocniteľa n-tého stupňa a na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Dajme dôkaz.

Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom a potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme , pričom exponent získaného stupňa možno previesť takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje presne tým istým spôsobom:


Ostatné rovnosti sú dokázané podobnými princípmi:


Obraciame sa na dôkaz ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b platí a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p . Racionálne číslo p zapíšeme ako m/n , kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p 0 v tomto prípade budú ekvivalentné podmienkam m 0, resp. Pre m>0 a am m . Z tejto nerovnosti podľa vlastnosti koreňov máme , a keďže a a b sú kladné čísla, potom na základe definície stupňa so zlomkovým exponentom možno výslednú nerovnosť prepísať ako , teda a p p .

Podobne, keď m m >b m , odkiaľ , to znamená a p >b p.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q . Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, získajme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienke p>q zodpovedať podmienka m 1 >m 2, ktorá vyplýva z pravidla pre porovnávanie obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi. Potom vlastnosťou porovnávania mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pre 0m 1 m 2 a pre a>1 nerovnosť a m 1 >a m 2 . Tieto nerovnosti z hľadiska vlastností koreňov možno prepísať, resp A . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam, resp. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi

Z toho, ako je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre ľubovoľné a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q;
3. (ab) p = apbp;
4. (a:b)p=ap:bp;
5. (a p) q = a p q;
6. pre všetky kladné čísla a a b , a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p ;
7. pre iracionálne čísla p a q , p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

• Algebra - 10. ročník. Goniometrické rovnice Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc" Ďalšie materiály Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály […]
• Vyhlásený je konkurz na pozíciu „PREDAJCA – KONZULTANT“: Náplň práce: predaj mobilné telefóny a príslušenstvo pre mobilnej komunikácieúdržba služieb predplatiteľov Beeline, Tele2, MTS pripojenie tarifných plánov a služieb Beeline a Tele2, MTS […]
• Rovnobežník vzorca A je mnohosten so 6 stranami, z ktorých každá je rovnobežník. Kváder je kváder, ktorého každá plocha je obdĺžnik. Každý rovnobežnosten sa vyznačuje 3 […]
• Spoločnosť na ochranu práv spotrebiteľov Astana Ak chcete získať PIN kód pre prístup k tomuto dokumentu na našej webovej stránke, pošlite SMS správu s textom zan na číslo Predplatitelia GSM operátorov (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) odoslaním SMS na izbu, […]
• PRAVOPIS Н A НН V RÔZNYCH ČASTIACH REČI 2. Vymenujte výnimky z týchto pravidiel. 3. Ako rozlíšiť slovesné prídavné meno s príponou -n- od príčastia s […]
• Prijať zákon o rodinných usadlostiach Prijať federálny zákon o bezodplatnom prideľovaní každému ochotnému občanovi Ruská federácia alebo rodina občanov pozemku na usporiadanie Rodovej usadlosti za týchto podmienok: 1. Pozemok je pridelený na […]
• KONTROLA GOSTEKHNADZOR BRYANSKÉHO KRAJA Potvrdenie o zaplatení štátnej dane (Stiahnuť-12,2 kb) Žiadosti o registráciu pre fyzické osoby (Stiahnuť-12 kb) Žiadosti o registráciu pre právnické osoby (Stiahnuť-11,4 kb) 1. Pri registrácii nového vozidla: 1.žiadosť 2.pas […]
• Už dlho sme nehrali turnaje 1x1. A je čas obnoviť túto tradíciu. Kým nebudeme môcť zorganizovať samostatný rebríček a turnaje pre hráčov 1v1, odporúčame vám použiť profily vašich tímov na webovej stránke. Odčítajte alebo pripočítajte body za zápasy v zápasoch […]

Jednou z hlavných charakteristík algebry a vlastne celej matematiky je titul. Samozrejme, v 21. storočí je možné všetky výpočty vykonávať na online kalkulačke, ale pre rozvoj mozgu je lepšie sa naučiť, ako to urobiť sami.

V tomto článku zvážime najdôležitejšie otázky týkajúce sa tejto definície. Konkrétne pochopíme, čo to je vo všeobecnosti a aké sú jeho hlavné funkcie, aké vlastnosti existujú v matematike.

Pozrime sa na príklady, ako vyzerá výpočet, aké sú základné vzorce. Budeme analyzovať hlavné typy veličín a ako sa líšia od iných funkcií.

Pochopíme, ako pomocou tejto hodnoty vyriešiť rôzne problémy. Na príkladoch si ukážeme, ako zvýšiť na nulový stupeň, iracionálne, negatívne atď.

Online kalkulačka umocňovania

Aký je stupeň čísla

Čo znamená výraz „umocniť číslo“?

Stupeň n čísla a je súčinom faktorov veľkosti a n-krát za sebou.

Matematicky to vyzerá takto:

a n = a * a * a * …a n .

Napríklad:

• 2 3 = 2 v treťom kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 v kroku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 v kroku. štyri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 v 5 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 v 4 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Nižšie je tabuľka štvorcov a kociek od 1 do 10.

Tabuľka stupňov od 1 do 10

Nižšie sú uvedené výsledky zvyšovania prirodzených čísel na kladné mocniny - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. stupeň	3. trieda
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Vlastnosti stupňa

Čo je charakteristické pre takúto matematickú funkciu? Pozrime sa na základné vlastnosti.

Vedci zistili nasledovné znaky charakteristické pre všetky stupne:

• an* am = (a) (n+m);
• an: am = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

Pozrime sa na príklady:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Na druhej strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Podobne: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inak 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Čo ak je to inak? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Ako vidíte, pravidlá fungujú.

Ale ako byť so sčítaním a odčítaním? Všetko je jednoduché. Najprv sa vykoná umocnenie a až potom sčítanie a odčítanie.

Pozrime sa na príklady:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16

V tomto prípade však musíte najskôr vypočítať sčítanie, pretože v zátvorkách sú akcie: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Ako vyrábať výpočty v zložitejších prípadoch? Poradie je rovnaké:

• ak existujú zátvorky, musíte začať s nimi;
• potom umocnenie;
• potom vykonávať operácie násobenia, delenia;
• po sčítaní, odčítaní.

Existujú špecifické vlastnosti, ktoré nie sú charakteristické pre všetky stupne:

1. Koreň n-tého stupňa z čísla a do stupňa m sa zapíše ako: a m / n .
2. Pri zvyšovaní zlomku na mocninu: Čitateľ aj jeho menovateľ podliehajú tomuto postupu.
3. Pri zvýšení súčinu rôznych čísel na mocninu bude výraz zodpovedať súčinu týchto čísel na danú mocninu. To znamená: (a * b) n = a n * b n .
4. Keď zvyšujete číslo na zápornú mocninu, musíte deliť 1 číslom v rovnakom kroku, ale so znamienkom „+“.
5. Ak je menovateľ zlomku v zápornej mocnine, potom sa tento výraz bude rovnať súčinu čitateľa a menovateľa v kladnej mocnine.
6. Ľubovoľné číslo na mocninu 0 = 1 a na krok. 1 = pre seba.

Tieto pravidlá sú dôležité v jednotlivých prípadoch, podrobnejšie sa nimi budeme zaoberať nižšie.

Stupeň so záporným exponentom

Čo robiť so záporným stupňom, to znamená, keď je ukazovateľ záporný?

Na základe vlastností 4 a 5(pozri bod vyššie) ukázalo sa:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

A naopak:

1 / A (- n) \u003d An, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Čo ak je to zlomok?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupeň s prirodzeným indikátorom

Chápe sa ako stupeň s exponentmi rovnými celým číslam.

Dôležité informácie:

Ao = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… atď.

Ai = A,11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3… atď.

Taktiež, ak (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...výsledok bude so znamienkom „+“. Ak sa záporné číslo zvýši na nepárnu mocninu, potom je to naopak.

Charakteristické sú pre ne aj všeobecné vlastnosti a všetky vyššie popísané špecifické črty.

Zlomkový stupeň

Tento pohľad možno napísať ako schému: A m / n. Číta sa ako: odmocnina n-tého stupňa čísla A k mocnine m.

Pomocou zlomkového ukazovateľa môžete robiť čokoľvek: zmenšiť, rozložiť na časti, zvýšiť na iný stupeň atď.

Stupeň s iracionálnym exponentom

Nech α je iracionálne číslo a А ˃ 0.

Aby sme pochopili podstatu stupňa s takýmto ukazovateľom, Pozrime sa na rôzne možné prípady:

• A \u003d 1. Výsledok sa bude rovnať 1. Pretože existuje axióma - 1 sa rovná jednej vo všetkých mocninách;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 sú racionálne čísla;

• 0˂А˂1.

V tomto prípade naopak: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 za rovnakých podmienok ako v druhom odseku.

Napríklad exponent je číslo π. Je to racionálne.

r 1 - v tomto prípade sa rovná 3;

r 2 - sa bude rovnať 4.

Potom pre A = 1, 1 π = 1.

A = 2, potom 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, potom (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takéto stupne sú charakterizované všetkými matematickými operáciami a špecifickými vlastnosťami opísanými vyššie.

Záver

Poďme si to zhrnúť – na čo sú tieto hodnoty, aké sú výhody takýchto funkcií? Samozrejme, v prvom rade zjednodušujú život matematikom a programátorom pri riešení príkladov, keďže umožňujú minimalizáciu výpočtov, redukciu algoritmov, systematizáciu údajov a mnoho ďalšieho.

Kde inde môžu byť tieto znalosti užitočné? V akejkoľvek pracovnej špecializácii: medicína, farmakológia, stomatológia, stavebníctvo, technológia, strojárstvo, dizajn atď.

Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavíme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, dávať lajkovacie výrazy, pracovať so základom a exponentom, využívať vlastnosti mocnín.

Čo sú mocenské výrazy?

V školskom kurze len málo ľudí používa frázu „silové výrazy“, ale tento výraz sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.

Definícia 1

Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje stupne.

Uvádzame niekoľko príkladov mocninných výrazov, počnúc stupňom s prirodzeným exponentom a končiac stupňom so skutočným exponentom.

Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Rovnako ako mocniny s nulovým exponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátor môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.

Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz sa poďme pozrieť na ich premenu.

Hlavné typy transformácií mocenských výrazov

Najprv zvážime základné transformácie identity výrazov, ktoré možno vykonať pomocou mocenských výrazov.

Príklad 1

Vypočítajte hodnotu mocninového výrazu 2 3 (4 2 − 12).

Riešenie

Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel medzi týmito dvoma číslami. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Zostáva nám nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 8 4 = 32. Tu je naša odpoveď.

odpoveď: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Príklad 2

Zjednodušte vyjadrovanie pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Riešenie

Výraz, ktorý sme dostali v podmienke problému, obsahuje podobné pojmy, ktoré môžeme priniesť: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odpoveď: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Príklad 3

Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.

Riešenie

Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odpoveď: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz prejdime k analýze identické premeny, ktoré možno použiť konkrétne na mocninné výrazy.

Práca so základom a exponentom

Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. napr. (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 A . S takýmito záznamami sa ťažko pracuje. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.

Transformácie stupňa a ukazovateľa sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, oddelene od seba. Najdôležitejšie je, že v dôsledku transformácií sa získa výraz, ktorý je identický s pôvodným.

Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 môžete vykonávať operácie na prechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné výrazy v základe stupňa (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získajte mocenský výraz jednoduchá forma a 2 (x + 1).

Používanie vlastností napájania

Vlastnosti stupňov, zapísané ako rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov so stupňami. Vzhľadom na to uvádzame tie hlavné a A b sú nejaké kladné čísla a r A s- ľubovoľné reálne čísla:

Definícia 2

• a ra s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m a n = a m + n, kde m A n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.

Vlastnosti stupňov môžete použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy stupňov kladné alebo obsahujú premenné, ktorých rozsah prijateľných hodnôt je taký, že základy na nich nadobúdajú iba kladné hodnoty. V skutočnosti vo vnútri školské osnovy v matematike je úlohou žiaka vybrať vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.

Pri príprave na prijatie na vysoké školy sa môžu vyskytnúť úlohy, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu ODZ a iným ťažkostiam s riešením. V tejto časti zvážime iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme "Transformovanie výrazov pomocou vlastností exponentov".

Príklad 4

Reprezentovať výraz a2, 5 (a2) - 3: a - 5, 5 ako titul so základom a.

Riešenie

Na začiatok použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

odpoveď: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformáciu mocninných výrazov podľa vlastnosti stupňov je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.

Príklad 5

Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Riešenie

Ak uplatníme rovnosť (a b) r = a r b r, sprava doľava, potom dostaneme súčin v tvare 3 7 1 3 21 2 3 a potom 21 1 3 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi spočítajme exponenty: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Príklad 6

Daný mocenský výraz a 1, 5 - a 0, 5 - 6, zadajte novú premennú t = a 0, 5.

Riešenie

Predstavte si titul a 1, 5 ako a 0, 5 3. Použitie vlastnosti stupňa v stupni (a r) s = a r s sprava doľava a získajte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Vo výslednom výraze môžete jednoducho zaviesť novú premennú t = a 0, 5: dostať t 3 − t − 6.

odpoveď: t 3 − t − 6 .

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Bežne sa zaoberáme dvoma variantmi mocninných výrazov so zlomkami: výraz je zlomok so stupňom alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky transformácie základných zlomkov sú pre takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa, pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.

Príklad 7

Zjednodušte vyjadrenie sily 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Riešenie

Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, vložte pred zlomok mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Dodatočný faktor je potrebné vybrať tak, aby pre žiadne hodnoty premenných nezanikol z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad 8

Preneste zlomky do nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 do menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do menovateľa x + 8 y 1 2 .

Riešenie

a) Vyberieme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , preto berieme ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. V tejto oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Venujte pozornosť menovateľovi:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Vynásobte tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.

Našli sme teda ďalší faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . V rozsahu prijateľných hodnôt premenných X A r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Príklad 9

Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Riešenie

a) Použite najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý možno čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15 . Môžeme aj znížiť x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Medzi hlavné operácie so zlomkami patrí redukcia na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú akcie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.

Príklad 10

Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Riešenie

Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odčítajme čitateľov:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz vynásobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Znížime o stupeň x 12 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Okrem toho môžete zjednodušiť vyjadrenie mocniny v menovateli pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Príklad 11

Zjednodušte vyjadrenie sily x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Riešenie

Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformáciách x mocnín x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocniny s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Od posledného produktu prejdeme na zlomok x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť násobiče so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a naopak zmenou znamienka exponentu. Toto opatrenie zjednodušuje ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 môžeme nahradiť x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

V úlohách sú mocninné výrazy, ktoré obsahujú nielen stupne so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Je žiaduce zredukovať takéto výrazy len na odmocniny alebo len na mocniny. Prechod na stupne je vhodnejší, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Takýto prechod je výhodný najmä vtedy, keď vám DPV premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez toho, aby ste museli pristupovať k modulu alebo rozdeliť DPV do niekoľkých intervalov.

Príklad 12

Vyjadrite výraz x 1 9 x x 3 6 ako mocninu.

Riešenie

Platný rozsah premennej X je určená dvoma nerovnosťami x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .

V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Pomocou vlastností stupňov zjednodušíme výsledné mocninné vyjadrenie.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odpoveď: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Prevod mocnin s premennými v exponente

Tieto transformácie sú pomerne jednoduché, ak správne používate vlastnosti stupňa. napr. 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Môžeme nahradiť súčin stupňa, v zmysle ktorého sa nájde súčet nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom na ľavej strane výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teraz vydeľme obe strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ premennej x nadobúda iba kladné hodnoty:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmenšme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nakoniec je pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradený mocninami pomerov, čo vedie k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Zavedme novú premennú t = 5 7 x , ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálna rovnica k riešeniu kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Prevod výrazov s mocninami a logaritmami

V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príklady takýchto výrazov sú: 1 4 1 - 5 log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne analyzovali v téme "Transformácia logaritmických výrazov".

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter