Riešenie exponenciálnych systémov. Systémy exponenciálnych rovníc a nerovníc

V štádiu prípravy na záverečné testovanie si stredoškoláci potrebujú zdokonaliť vedomosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto stredoškoláci, bez ohľadu na úroveň ich prípravy, musia starostlivo ovládať teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Absolventi, ktorí sa naučili zvládať tento typ úloh, budú môcť počítať s vysokým skóre pri zložení skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie spolu so Shkolkovo!

Pri opakovaní preberaných látok sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Implementujeme úplne nový spôsob prípravy na záverečný test. Štúdiom na našej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť presne tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia školy "Shkolkovo" zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetok materiál potrebný na úspešné zloženie skúšky v najjednoduchšej a najdostupnejšej forme.

Hlavné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretický odkaz".

Pre lepšie osvojenie si učiva odporúčame precvičiť si zadania. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste porozumeli výpočtovému algoritmu. Potom pokračujte v úlohách v časti „Katalógy“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobovali ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbených“. Môžete ich teda rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!

V tejto lekcii sa budeme zaoberať riešením zložitejších exponenciálnych rovníc, pripomenieme si hlavné teoretické ustanovenia týkajúce sa exponenciálnej funkcie.

1. Definícia a vlastnosti exponenciálnej funkcie, technika riešenia najjednoduchších exponenciálnych rovníc

Spomeňte si na definíciu a hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie. Práve na vlastnostiach je založené riešenie všetkých exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru , kde základ je stupeň a x je nezávislá premenná, argument; y - závislá premenná, funkcia.

Ryža. 1. Graf exponenciálnej funkcie

Graf ukazuje rastúci a klesajúci exponent, znázorňujúci exponenciálnu funkciu na báze väčšej ako jedna a menšej ako jedna, ale väčšej ako nula.

Obe krivky prechádzajú bodom (0;1)

Vlastnosti exponenciálnej funkcie:

Doména: ;

Rozsah hodnôt: ;

Funkcia je monotónna, zvyšuje sa ako , klesá ako .

Monotónna funkcia preberá každú zo svojich hodnôt s jednou hodnotou argumentu.

Keď sa argument zvýši z mínus na plus nekonečno, funkcia sa zvýši z nuly vrátane do plus nekonečna. Naopak, keď sa argument zväčší z mínus do plus nekonečna, funkcia sa zníži z nekonečna na nulu vrátane.

2. Riešenie typických exponenciálnych rovníc

Pripomeňme si, ako vyriešiť najjednoduchšie exponenciálne rovnice. Ich riešenie je založené na monotónnosti exponenciálnej funkcie. Takmer všetky zložité exponenciálne rovnice sú redukované na takéto rovnice.

Rovnosť exponentov s rovnakými základmi je spôsobená vlastnosťou exponenciálnej funkcie, a to jej monotónnosťou.

Spôsob riešenia:

Vyrovnajte základy stupňov;

Rovnaké exponenty.

Prejdime na zložitejšie exponenciálne rovnice, naším cieľom je zredukovať každú z nich na najjednoduchšie.

Zbavme sa koreňa na ľavej strane a znížme stupne na rovnakú základňu:

Aby sa zložitá exponenciálna rovnica zredukovala na jednoduchú, často sa používa zmena premenných.

Použime vlastnosť stupňa:

Predstavujeme náhradu. Nechaj potom

Výslednú rovnicu vynásobíme dvoma a všetky členy prenesieme na ľavú stranu:

Prvý koreň nevyhovuje intervalu hodnôt y, zahodíme ho. Dostaneme:

Privedieme stupne k rovnakému indikátoru:

Predstavujeme náhradu:

Nechaj potom . Pri tejto náhrade je zrejmé, že y nadobúda striktne kladné hodnoty. Dostaneme:

Vieme, ako riešiť podobné kvadratické rovnice, napíšeme odpoveď:

Aby ste sa uistili, že korene sú nájdené správne, môžete skontrolovať podľa Vietovej vety, to znamená nájsť súčet koreňov a ich súčin a skontrolovať pomocou zodpovedajúcich koeficientov rovnice.

Dostaneme:

3. Technika riešenia homogénnych exponenciálnych rovníc druhého stupňa

Pozrime sa na nasledujúci dôležitý typ exponenciálnych rovníc:

Rovnice tohto typu sa nazývajú homogénne druhého stupňa vzhľadom na funkcie f a g. Na jeho ľavej strane je štvorcová trojčlenka vzhľadom na f s parametrom g alebo štvorcová trojčlenka vzhľadom na g s parametrom f.

Spôsob riešenia:

Táto rovnica sa dá vyriešiť ako kvadratická, ale jednoduchšie je to urobiť naopak. Mali by sa zvážiť dva prípady:

V prvom prípade dostaneme

V druhom prípade máme právo deliť najvyšším stupňom a dostaneme:

Mali by ste zaviesť zmenu premenných, dostaneme kvadratickú rovnicu pre y:

Všimnite si, že funkcie f a g môžu byť ľubovoľné, ale nás zaujíma prípad, keď ide o exponenciálne funkcie.

4. Príklady riešenia homogénnych rovníc

Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu rovnice:

Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo rovnicu okamžite deliť , bez toho, aby sme brali do úvahy prípad, keď:

Dostaneme:

Predstavujeme náhradu: (podľa vlastností exponenciálnej funkcie)

Dostali sme kvadratickú rovnicu:

Korene určíme podľa Vietovej vety:

Prvý koreň nespĺňa interval hodnôt y, zahodíme ho, dostaneme:

Používame vlastnosti stupňa a redukujeme všetky stupne na jednoduché základy:

Je ľahké si všimnúť funkcie f a g:

"Nerovnosti s jednou premennou" - Nemôžete sa prestať učiť. Zadajte najväčšie celé číslo, ktoré patrí do intervalu. Učíme sa z príkladov. Riešením nerovnosti s jednou premennou je hodnota premennej. Lineárna nerovnosť. Nájdi chybu. Nerovnosti. Ciele lekcie. Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky jej riešenia. Odkaz na históriu.

"Algoritmus na riešenie nerovností" - Funkcia. Úloha. Deje sa. Veľa riešení. Riešenie nerovností. Nerovnosti. Riešenie nerovností. Zvážte diskriminačné. Riešime nerovnosť intervalovou metódou. Najjednoduchšia lineárna nerovnosť. Algoritmus na riešenie nerovností. Os. Teraz poďme vyriešiť kvadratickú nerovnosť.

"Logaritmické rovnice a nerovnosti" - Zistite, či je číslo kladné alebo záporné. Účel lekcie. Vyriešte rovnicu. Vlastnosti logaritmov. Logaritmy. Vzorce na prechod na nový základ. Precvičovanie zručností pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Definícia logaritmu. Vypočítajte. Uveďte priebeh riešenia nasledujúcich rovníc.

"Dôkaz nerovností" - Aplikácia metódy matematickej indukcie. Pre n=3 dostaneme. Dokázať, že pre akékoľvek n ? N dôkaz. podľa Bernoulliho vety, podľa potreby. Čo však jasne dokazuje, že náš predpoklad je nesprávny. Metóda je založená na nezápornej vlastnosti štvorcového trojčlenu, ak a. Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť.

"Riešenie nerovníc metódou intervalov" - Riešenie nerovníc metódou intervalov. 2. Algoritmus riešenia nerovnosti intervalovou metódou. Graf funkcie je daný: Vyriešte nerovnosť:

"Riešenie iracionálnych rovníc a nerovníc" - Cudzie korene. Súbor úloh. Zadajte násobiteľ pod znak koreňa. Práca s úlohou. Iracionálne rovnice a nerovnice. Aktualizácia znalostí. Iracionálna rovnica. Definícia. Vyberte si tie, ktoré sú iracionálne. Iracionálne rovnice. Pre aké hodnoty A platí rovnosť? Iracionálne nerovnosti.

Spôsoby riešenia sústav rovníc

Na začiatok si stručne pripomeňme, aké metódy riešenia sústav rovníc vo všeobecnosti existujú.

Existovať štyri hlavné spôsoby riešenia sústav rovníc:

Substitučná metóda: vezmite ktorúkoľvek z týchto rovníc a vyjadrite $y$ pomocou $x$, potom sa $y$ dosadí do rovnice systému, odkiaľ sa nachádza premenná $x.$. Potom môžeme jednoducho vypočítajte premennú $y.$

Metóda sčítania: pri tejto metóde je potrebné vynásobiť jednu alebo obe rovnice takými číslami, že keď sa obe sčítajú, jedna z premenných „zmizne“.

Grafická metóda: obe rovnice sústavy sa zobrazia na súradnicovej rovine a nájde sa ich priesečník.

Metóda zavádzania nových premenných: v tejto metóde nahrádzame niektoré výrazy, aby sme systém zjednodušili, a potom aplikujeme jednu z vyššie uvedených metód.

Systémy exponenciálnych rovníc

Definícia 1

Sústavy rovníc pozostávajúce z exponenciálnych rovníc sa nazývajú sústavy exponenciálnych rovníc.

Budeme uvažovať o riešení sústav exponenciálnych rovníc pomocou príkladov.

Príklad 1

Vyriešte sústavu rovníc

Obrázok 1.

Riešenie.

Na vyriešenie tohto systému použijeme prvú metódu. Najprv vyjadrime $y$ v prvej rovnici pomocou $x$.

Obrázok 2

Dosaďte $y$ do druhej rovnice:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

odpoveď: $(-4,6)$.

Príklad 2

Vyriešte sústavu rovníc

Obrázok 3

Riešenie.

Tento systém je ekvivalentný systému

Obrázok 4

Na riešenie rovníc aplikujeme štvrtú metódu. Nech $2^x=u\ (u >0)$ a $3^y=v\ (v >0)$, dostaneme:

Obrázok 5

Výslednú sústavu riešime sčítacou metódou. Pridajme rovnice:

\ \

Potom to dostaneme z druhej rovnice

Keď sa vrátim k náhrade, dostal som nový systém exponenciálnych rovníc:

Obrázok 6

Dostaneme:

Obrázok 7

odpoveď: $(0,1)$.

Systémy exponenciálnych nerovností

Definícia 2

Systémy nerovníc pozostávajúce z exponenciálnych rovníc sa nazývajú systém exponenciálnych nerovností.

Budeme uvažovať o riešení sústav exponenciálnych nerovníc na príkladoch.

Príklad 3

Vyriešte systém nerovností

Obrázok 8

Riešenie:

Tento systém nerovností je ekvivalentný systému

Obrázok 9

Ak chcete vyriešiť prvú nerovnosť, spomeňte si na nasledujúcu vetu o ekvivalencii pre exponenciálne nerovnosti:

Veta 1. Nerovnosť $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kde $a >0,a\ne 1$ je ekvivalentná množine dvoch systémov

\}