Geometrický obraz racionálnych čísel. Geometrický obraz platných čísel
Komplexné čísla
Základné pojmy
Počiatočné údaje o čísle patria do éry veku kamennej - paleomelitída. Toto je "jeden", "malý" a "veľa". Boli zaznamenané vo forme potopov, uzlín atď. Rozvoj pracovných procesov a vzhľad vlastníctva prinútili človeka, aby vymyslel čísla a ich mená. Najprv sa objavili prírodné čísla N.S skóre položiek. Potom, spolu s potrebou účtu, ľudia majú potrebu merať dĺžky, štvorce, zväzky, čas a iné hodnoty, kde sme museli zohľadniť časti použitého opatrenia. Takto vznikli frakcie. Formálne zdôvodnenie pojmov frakčného a záporného čísla sa uskutočnilo v 19. storočí. Mnoho celé čísla Z. - Toto sú prirodzené čísla, prirodzené s mínusom a nulovým znamením. Celé a frakčné čísla vytvorili súbor racionálnych čísel Q,ale nebolo dostatočné na štúdium neustále sa meniace premenné. Opäť ukázal nedokonalosť matematiky: neschopnosť vyriešiť rovnicu formulára h. 2 \u003d 3, v súvislosti s ktorými sa objavili iracionálne čísla I.Kombinácia množiny racionálnych čísel Q.a iracionálne čísla I.- Mnohé platné (alebo skutočné) čísla R.. Výsledkom je, že číselná priamka bola vyplnená: každé skutočné číslo zodpovedalo. Ale na súpravu R. Neexistuje žiadna možnosť vyriešiť rovnicu formulára h. 2 = – ale 2. V dôsledku toho je potrebné znova rozšíriť koncept čísla. Takže v roku 1545 sa objavili komplexné čísla. Ich tvorcom J. Kardano ich zavolal "čisto negatívne". Názov "Mimic" predstavil Francúz R. Descarten v roku 1637, v roku 1777, Euler ponúkol používať prvé písmeno francúzskeho čísla i. Na označenie imaginárnej jednotky. Tento symbol vstúpil do univerzálneho používania vďaka K. Gauss.
Počas 17. - 18. storočia pokračovala diskusia o aritmetickej povahe rozdielov, ich geometrický výklad pokračoval. Danchanin G. Plavidlo, Francúz J. Argan a nemecký K. Gauss nezávisle od seba ponúkol, že zobrazuje komplexný počet bodov na rovine koordinácie. Neskôr sa ukázalo, že je ešte vhodnejšie znázorniť číslo nie je samotným bodom, a vektor, ktorý ide do tohto bodu od začiatku súradníc.
Iba do konca 18. - začiatkom 19. storočia, komplexné čísla obsadili hodné miesto v matematickej analýze. Ich prvé použitie je v teórii diferenciálnych rovníc av teórii hydrodynamiky.
Definícia 1.Integrované číslo nazývaný výraz zobrazenia x. a y. - skutočné čísla a I. - imaginárna jednotka ,.
Dva komplexné čísla a rovný Potom a len vtedy, keď.
Ak sa číslo volá Čisto imaginárny; \\ T Ak je číslo platným číslom, znamená to, že sada R. Skde S - mnoho komplexných čísel.
Konjugátintegrované číslo sa nazýva komplexné číslo.
Geometrický obraz komplexných čísel.
Akékoľvek integrované číslo môže byť zobrazené bodom. M.(x., y.) Lietadlo Oxy.Pár platných čísel je indikovaný súradnicami polomerov-vektora 
. Môžu byť inštalovaná viacnásobná korešpondencia medzi množinou vektorov v rovine a mnoho komplexných čísel :.
Definícia 2.Skutočná časť h..
Označenie: x. \u003d Re. z.(z latinskej realis).
Definícia 3.Imaginárna časť Integrované číslo sa nazýva platné číslo y..
Označenie: y. \u003d Im. z.(z latinského imaginarius).
Re. z. odložená na osi ( Oh)Im. z. odložená na osi ( Oy.) Potom je vektor zodpovedajúci integrovaným číslom je polomer-vektorový bod M.(x., y.), (alebo M. (Re. z.Im. z.)) (Obr. 1).
Definícia 4.Lietadlo, ktorých body sú v súlade s mnohými komplexnými číslami, nazývaný komplexná rovina. Axcia osi sa nazýva platná osVzhľadom k tomu, že ide o aktívne čísla. Origis je nazývaná imaginárna osJe to čisto imaginárne komplexné čísla. Uvádza sa veľa komplexných čísel S.
Definícia 5.Modulintegrované číslo z. = (x., y.) Nazýva sa dĺžka vektora :, t.j. 
.
Definícia 6.Argument Integrované číslo sa nazýva uhol medzi smerom pozitívnej osi ( Ohovárať) a vektor: 
.
Skutočné čísla II.
§ 44 Geometrický obraz platných čísel
Geometricky platné čísla, rovnako ako racionálne čísla, sú zobrazené priamymi bodmi.
Nechať L. - ľubovoľné rovné a o - niektoré z jeho bodu (obr. 58). Každé pozitívne skutočné číslo α V súlade s bodom, ktorý leží vpravo od oh α Jednotiek dĺžky.
Ak napríklad α \u003d 2 1356 ... potom
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
je zrejmé, že bod a v tomto prípade by mal byť na priamke l. vpravo od bodov zodpovedajúcich číslam
2; 2,1; 2,13; ... ,
ale vľavo od bodov zodpovedajúcich číslam
3; 2,2; 2,14; ... .
Možno preukázať, že tieto podmienky sú určené na priame l. Jediný bod A, ktorý považujeme za geometrický obraz platného čísla α = 2,1356... .
Podobne každý negatívny skutočný počet β Vložte v súlade s bodom vľavo od vzdialenosti v diaľke β | Jednotiek dĺžky. Nakoniec, číslo "nula" v súlade s bodom O.
Číslo 1 teda ukazuje priamku l. bod A, ktorý sa nachádza na vzdialenosti vo vzdialenosti jednej jednotky dĺžky (obr. 59), číslo - √2 - bod vľavo od jednej vo vzdialenosti v √2 dĺžky dĺžky a tak ďalej.
Ukážte, ako nasmerovať l. Pomocou cirkulácie a pravítka môžete nájsť body zodpovedajúce skutočným číslam √2, √3, √4, √5, atď. Nechajte Av jesť segment odobratý na dĺžku jednotky (obr. 60).
V bode a obnoviť kolmo na tento segment a odložiť segment reproduktora na ňu, rovný segmentu AV. Potom, aplikovať pythagora teorem na obdĺžnikový trojuholník ABC, získavame; Sun \u003d √AN 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
V dôsledku toho má segment lietadla dĺžku √2. Teraz obnovte kolmo na segment lietadla v bode a vyberte bodu D, aby bol segment CD rovný jednotke AV dĺžky. Potom z pravouhlého trojuholníka BCD nájde:
CD \u003d √) 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
V dôsledku toho má rez BD dĺžku √3. Pokračovanie vyššie opísaného procesu by sme mohli získať segmenty BE, BF, ..., ktorých dĺžky sú vyjadrené číslami √4, √5 atď.
Teraz priame l. je ľahké nájsť tie body, ktoré slúžia ako geometrický obraz čísel √2, √3, √4, √5 atď.
Klávanie, napríklad vpravo od bodu o segmente lietadla (obr. 61), dostaneme bod C, ktorý slúži ako geometrický obraz čísla √2. Rovnakým spôsobom, uvedenie do pravého bodu o rezanej BD, dostaneme bod d ", ktorý je geometrickým spôsobom čísla √3, a tak ďalej.
Nemyslite si však, že s pomocou obehu a pravítka na numerickom priamom l. Môžete nájsť bod zodpovedajúci akémukoľvek danému platnému číslu. Bolo dokázané, napríklad, že k dispozícii len kupujúci a vládca nemožno vybudovať, ktorej dĺžka je vyjadrená číslom π \u003d 3.14 .... Preto na numerickej priamej l. Použitie takýchto konštrukcií nemôžete zadať bod zodpovedajúci tomuto číslu, avšak takýto bod existuje.
Takže, každé skutočné číslo α Môžete vložiť do úplného určitého bodu l. . Tento bod sa bude brániť z východiskového bodu diaľkovej vzdialenosti α | jednotky dĺžky a byť na pravej strane oh α \u003e 0, a vľavo od oh, ak α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l. . V skutočnosti nechajte číslo α zodpovedá bodu A a číslu β - bod V. Potom, ak α > β , bude to správne (obr. 62, a); ak α < β , Budem ležať vľavo (obr. 62, b).
Hovoríme v § 37 o geometrickom obraze racionálnych čísel, sme nastavili otázku: či sa môže byť bod priamy považovaný za geometrický obraz niektorých racionálny ČÍSLA? Potom sme nemohli odpovedať na túto otázku; Teraz to môžeme odpovedať na to veľmi určite. Existujú body, ktoré slúžia ako geometrický obraz iracionálnych čísel (napríklad √2). Preto nie každý DOT priamy zobrazuje racionálne číslo. Ale v tomto prípade sa navrhuje ďalšia otázka: akýkoľvek bod číselnej rovnosti možno považovať za geometrický obraz niektorých Platný ČÍSLA? Táto otázka sa vyrieši už pozitívne.
V skutočnosti, nechať A - ľubovoľný bod L. ležiace na pravej strane (obr. 63).
Dĺžka segmentu OA je vyjadrená niektorým pozitívnym skutočným číslom. α (pozri § 41). Preto bod A je geometrickým spôsobom α . Podobne sa zistí, že každý bod b, ležiaci vľavo od o, možno považovať za geometrický obraz negatívneho aktuálneho čísla - β kde β - dĺžka rezu. Nakoniec, bod o slúži ako geometrický obraz počtu nuly. Je jasné, že dva rôzne body priame l. Môže existovať geometrický spôsob rovnakého aktuálneho čísla.
Na základe vyššie uvedených dôvodov, dôvody, na ktorých je označené ako "počiatočný" bod o (s dĺžkou dĺžky), nazývaný Číselné priame.
Výkon. Súprava všetkých platných čísel a súbor všetkých bodov numerickej priamky sú vo vzájomne jedinečnom súlade.
To znamená, že jedno platné číslo zodpovedá jednému, celkom určitému počtu numerickej rovnosti a naopak, každý bod numerickej čiary zodpovedá jednému, celkom určité platné číslo.
Cvičenia
320. Zistite, ktorý z týchto dvoch bodov je na numerickej priamej ľavej strane a aké právo, ak tieto body zodpovedajú číslam:
a) 1 454545 ... a 1 455454 ...; c) 0 a - 1,56673 ...;
b) - 12 0003 ... a - 12 0002 ...; d) 13.24 ... a 13.00 hod.
321. Zistite, ktorý z týchto dvoch bodov je na numerickej priamej ďalej od začiatočného bodu o, ak tieto body zodpovedajú číslam:
a) 5,2397 ... a 4 4996 ...; .. b) -0.3567 ... a 0,3557 ....
d) - 15.0001 a - 15,1000 ...;
322. V tomto odseku sa ukázalo, že vybudovať dĺžku dĺžky v √ n. Pomocou cirkulácie a pravítka môžete urobiť nasledovne: Najprv vytvorte dĺžku √2 dĺžky, potom dĺžka √3 atď., Kým nedosiahneme dĺžku dĺžky √ n. . Ale s každým pevným strhnúť \u003e 3 Tento proces možno urýchliť. Ako by ste sa napríklad stali budovaním dĺžky √10?
323 *. Ako s cirkusom a pravítkou nájdete v číselnom priamom bode zodpovedajúce číslu 1 / α Ak je poloha bodu zodpovedajúce číslu α Známe?
Kapitola 1. Premenné Lepidlá a funkcie§1.1. Skutočné čísla
Prvý známy s platnými číslami sa vyskytuje v školskom priebehu matematiky. Akékoľvek platné číslo predstavuje konečnú alebo nekonečnú desatinnú frakciu.
Platné (skutočné) čísla sú rozdelené do dvoch tried: trieda racionálnej a triedy iracionálnych čísel. Racionálny nazývané čísla, ktoré majú výhľad, kde m. a n. - celé vzájomne jednoduché čísla, ale 
. (Mnohé racionálne čísla sú označené písmenom Q.). Zostávajúce platné čísla sa nazývajú iracionálny. Racionálne čísla sú reprezentované konečnou alebo nekonečnou periodickou frakciou (rovnako ako bežné frakcie), potom iracionálne bude skutočné čísla, ktoré môžu byť reprezentované nekonečnými neperiodickými frakciami.
Napríklad číslo 
- racionálne, a 
, 
, 
atď. - iracionálne čísla.
Skutočné čísla môžu byť rozdelené aj na algebraické korene polynómu s racionálnymi koeficientmi (zahŕňajú najmä všetky racionálne čísla - korene rovnice 
) - A na transcendentné - všetky ostatné (napríklad čísla 
iné).
Súpravy všetkých prirodzených, celých, platných čísel zodpovedajúcim spôsobom: N.Z., R.
(Počiatočné písmená slov Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Obraz reálnych čísel na číselnej osi. Intervaly
Geometricky (pre jasnosť) Skutočné čísla sú zobrazené bodmi na nekonečné (v oboch smeroch) priamej čiary, nazývanej číselný
osi. Na tento účel sa bod nasníma na priamou čiarou (začiatok referenčného - bod 0), je uvedený pozitívny smer zobrazený šípkou (zvyčajne vpravo) a je zvolená jednotka, ktorá je defakovaná neobmedzená Pokyny z bodu 0. A celé čísla sú znázornené. Pre zobrazenie čísla s jedným desatinným znakom je potrebné rozdeliť každý segment pre desať častí atď. Každé skutočné číslo je teda reprezentované bodom na numerickej osi. Späť, každý bod 
zodpovedá platnému číslu rovnému dĺžke segmentu 
A prijaté s označením "+" alebo "-" v závislosti od toho, či je bod vpravo alebo vľavo od začiatku odkazu. Medzi sadou všetkých platných čísel a súborom všetkých bodov numerickej osi je teda vytvorená vzájomne hodnotná korešpondencia. Podmienky "Platné" a "bod numerickej osi" sa používajú ako synonymá.
Symbol 
Označujeme skutočné číslo a bod zodpovedajúcim. Kladné čísla sa nachádzajú v pravom bode 0, negatívny - doľava. Ak 
Potom na číselnej osi 
leží vľavo od bodu 
. Dať bod 
zodpovedá číslu, potom sa číslo nazýva koordinný bod, písať 
; \\ T Častejšie je samotný bod označený rovnakým písmenom ako číslo. Bod 0 - začiatok súradníc. Axis označuje aj písmeno 
(Obr.1.1).
Obr. 1.1. Číslo os.
Kombinácia všetkých čísel leží medzi čísla údajov a sa nazýva interval alebo medzera; Končí a môže patriť k nemu a nemusí patriť. Nárok. Nechať 
. Kombinácia čísel spĺňajúcich stav 
, sa nazýva interval (v úzkom zmysle) alebo interval otvorenia, označený symbolom 
(Obr.1.2).
Obr. 1.2. Interval
Súhrn čísel tak, že 
nazývaný uzavretý interval (segment, segment) a označil 
; \\ T Číselná os je uvedená takto:
Obr. 1.3. Uzavretý interval
Z otvorenej medzery sa líši len v dvoch bodoch (koncoch) a. Tento rozdiel je však základný, podstatný, ako uvidíme v budúcnosti, napríklad pri štúdiu vlastností funkcií.
Vynechanie slov "Mnoho všetkých čísel (bodov) x. Takéto "atď.
a 
, označuje 
a 
semiotvorné alebo semi-zaseknuté, intervaly (niekedy: polo-intervaly);
alebo 
Znamená: 
alebo 
A označuje 
alebo 
;
alebo 
prostriedok 
alebo 
A označuje 
alebo 
;
, označuje 
mnohé z všetkých platných čísel. Ikony 
Symboly "nekonečna"; Nazývajú sa nekompenzívne alebo ideálne čísla. 
§1.3. Absolútna hodnota (alebo modul) platného čísla
Definícia. Absolútna hodnota (alebo modul) Čísla sa nazývajú toto číslo, ak 
alebo 
Ak 
. Určený symbol absolútnej hodnoty 
. Tak, 
Napríklad, 
, 
, 
.
Geometricky znamená bod vzdialenosti a. pred začiatkom súradníc. Ak máme dva body a potom môže byť vzdialenosť medzi nimi reprezentovaná ako 
(alebo 
). Napríklad, 
Táto vzdialenosť 
.
Vlastnosti absolútnych hodnôt.
1. Z definície to vyplýva 
, 
, t.j 
.
2. Absolútne množstvo sumy a rozdielu nepresahuje výšku absolútnych hodnôt: 
.
1) ak 
T. 
. 2) ak 
potom. ▲.
3. 
.
, potom majetkom 2: 
. 
. Podobne, ak predložíte 
, potom prísť do nerovnosti 
▲
4. 
- Z definície: Zvážte prípady 
a 
.
5. 
za predpokladu, že 
Vyplýva z definície.
6. nerovnosť 
,
prostriedok 
. Táto nerovnosť spĺňa body, ktoré ležia 
a 
.
7. nerovnosť 
ekvivalentné nerovnosti 
. . Toto je interval s centrom na dĺžke dĺžky. 
. To sa nazýva 
body susedstva (čísla). Ak 
, susedstvo sa nazýva punktúra: toto alebo 
. (Obr.1.4).
8. 
Odkiaľ vyplýva, že nerovnosť 
(
) Je rovnocenná nerovnosti 
alebo 
; \\ T A nerovnosť 
určuje súbor bodov, za ktoré 
. Ide o body ležiace mimo segmentu 
presne: 
a 
.
§1.4. Niektoré koncepty, notácie
Predstavujeme niektoré rozšírené koncepty, označenia z teórie súprav, matematickej logiky a iných častí modernej matematiky.
1 . Koncepcia Nasadiť sa Je to jeden z hlavných matematiky, počiatočnej, univerzálnej - a preto nie je možné určiť. Je možné ho opísať len (nahradiť synonymá): Toto je zbierka, súbor niektorých objektov, vecí kombinovaných akýmkoľvek príznakom. Tieto objekty sa nazývajú prvky sady. Príklady: Množstvo piesku na brehu, hviezdy vo vesmíre, študenti v publiku, korene rovnice, bodky segmentu. Súpravy, ktorých prvky sú podstatou čísla numerické súpravy. Pre niektoré štandardné sady sa zavádzajú špeciálne označenia, napríklad, N., Z., R -pozri § 1.1.
Nechať A. - Väčšina I. x. Je to jeho prvok, potom píšu: 
; \\ T čítať " x. patrí A.» ( 
znamenie inklúzie pre položky). Ak objekt x. Nie sú zahrnuté v A., potom napíšte 
; \\ T Čítanie: " x. nepatrí A." Napríklad, 
N.; 8,51
N.; \\ T Ale 8,51 
R..
Ak x. je všeobecné označenie prvkov sady A., potom napíšte 
. Ak je možné zapísať označenie všetkých prvkov, potom napísať 
, 
A tak ďalej. Súprava, ktorá neobsahuje jeden prvok, sa nazýva prázdny súbor a označuje symbol ; Napríklad sada koreňov (platných) rovníc 
Je prázdny.
Mnohí koniecAk sa skladá z konečného počtu položiek. Ak je to všetko prirodzené číslo n, v odrode A. Tam sú prvky viac ako n, potom A. zavolaný nekonečný Rôzne: V IT prvkach nekonečne veľa.
Ak každý prvok súboru ^ A. Patrí a nastaviť B.T. 
nazývaná časť alebo podmnožina množiny B. a písať 
; \\ T čítať " A. obsiahnuté v B.» ( 
Tam je podpísať sada). Napríklad, N.Z.R.Ak 
, potom hovoria, že mnohí A. a B. a písať 
. Inak písať 
. Napríklad, ak 
, ale 
veľa koreňov rovnice 
potom.
Kombinácia prvkov oboch súborov A. a B. zavolaný Združenie A určené 
(niekedy 
). Kombinácia prvkov patriacich a A. a B.zavolal priesečník A určené 
. Kombinácia všetkých prvkov súboru ^ A.nie je obsiahnuté B.zavolal rozdiel A určené 
. Tieto operácie môžu byť schematicky zobrazené ako:
Ak existuje viacero zodpovedajúcich sád súborov, hovorí sa, že tieto súbory sú ekvivalentné a napísané 
. Veľa A.ekvivalentom viacerých prirodzených čísel N.\u003d zavolal Účtovníctvo alebo vypočítané. Inými slovami, nastavená sa nazýva zodpovedná, ak ich prvky môžu byť očíslované, nájsť v nekonečnom sekvencia 
, ktorých členovia sú odlišné: 
pre 
A môže byť napísaný vo forme. Iné nekonečné súbory sa nazývajú nezabezpečený. Nehody okrem najviac N, Bude napríklad nastavené 
, Z. Ukazuje sa, že mnohé racionálne a algebraické čísla sú počítateľné a ekvivalentné súpravy všetkých iracionálnych, transcendentálnych, reálnych čísel a bodov akéhokoľvek intervalu sú zbytočné. Hovorí sa, že tieto majú moc kontinua (výkon - zovšeobecnenie koncepcie množstva (číslo) prvkov pre nekonečnú súpravu).
2
. Nech sú dve vyhlásenia, dva fakty: a 
. Symbol 
znamená: "Ak je to pravda, potom pravda a" alebo "z toho nasleduje", "implicitné jesť koreň rovnice má nehnuteľnosť z angličtiny Existovať - existujú.
Nahrávanie: 
alebo 
znamená: existuje (aspoň jedna) položka 
. A záznam 
alebo 
znamená: každý má nehnuteľnosť. Môžeme napísať najmä: 
a.
Existujú nasledujúce formy komplexných čísel: algebraický (X + iy), trigonometrický (R (cos + Isin 
)),
indikatívny (Re I. 
).
Akékoľvek komplexné číslo z \u003d x + iy môže byť zobrazené na rovine xow vo forme bodu A (X, Y).
Lietadlo, na ktorých je znázornené komplexné čísla, sa nazýva rovina komplexného striedavého Z (v rovine, nastavili z symbolu).
OK os - platná os, t.j. Obsahuje platné čísla. Ou - imaginárna os s imaginárnymi číslami.
x + iy. - algebraická forma komplexného čísla.
Stiahnuť trigonometrickú formu integrovaného čísla.
Získané hodnoty nahrádzame v počiatočnom formulári :, t.j.
r (cos.
+ Isin.
)
- trigonometrická forma nahrávania integrovaného čísla.
Orientačná forma vstupu integrovaného čísla vyplýva z EULER vzorec: 
, potom 
z \u003d. re. i. 
- orientačná forma nahrávania integrovaného čísla.
Akcie na komplexné čísla.
1. pridávanie. Z 1 + Z2 \u003d (X1 + IY1) + (X2 + I2) \u003d (X1 + X2) + I (Y1 + Y2);
2 . Odčítanie. Z1 -Z 2 \u003d (X1 + IY1) - (X2 + ИY2) \u003d (X1-X2) + I (Y1-Y2);
3. násobenie. Z 1 Z 2 \u003d (X1 + IY1) * (X2 + IY2) \u003d X1x2 + I (X1Y2 + X2Y1 + ИY1Y2) \u003d (X1x2-Y1Y2) + I (X1Y2 + X2Y1);
4
. Divízia. Z 1 / Z2 \u003d (X1 + IY1) / (X2 + IY2) \u003d [(X1 + IY1) * (x2-IY2)] / [(x2 + IY2) * (x2-IY2)] \u003d 
Dva komplexné čísla, ktoré sa líšia iba obrazom imaginárnej jednotky, t.j. Z \u003d X + IY (Z \u003d X-IY) sa nazývajú konjugát.
Zloženie.
z1 \u003d R (COS 
+ Isin. 
); Z2 \u003d R (COS 
+ Isin. 
).
Produkt Z1 * Z2 komplexné čísla je :, t.j. Modul práce je rovný produktu modulov a argument práce sa rovná súčtu továrenských argumentov.
;
;
Súkromné.
Ak sú komplexné čísla uvedené v trigonometrickej forme.
Ak sú komplexné čísla uvedené v indikatívnej forme.
Do určitej miery.
1. Vypočítané číslo je nastavené algebraický formulár.
z \u003d x + iy, potom z n nájsť binoma Newton vzorca:
- Počet kombinácií z n prvkov M (počet metód, koľko môžu mať n prvkov z M).
; \\ T n! \u003d 1 * 2 * ... * N; 0! \u003d 1; 
.
Požiadať o komplexné číslo.
V výslednom vyjadrení je potrebné nahradiť stupne ich hodnôt:
i 0 \u003d 1 odtiaľto, vo všeobecnom prípade, dostaneme: i 4k \u003d 1
i 1 \u003d I I 4K + 1 \u003d I
i 2 \u003d -1 i 4K + 2 \u003d -1
i 3 \u003d -I i 4K + 3 \u003d -I
Príklad.
i 31 \u003d i 28 i 3 \u003d -I
i 1063 \u003d i 1062 i \u003d i
2. trigonometrický formulár.
z \u003d r (cos 
+ Isin. 
), T.
- vzorec Moorav.
Tu môže byť ako "+" a "-" (celok).
3. Ak je uvedené komplexné číslo indikatívny Formulár:
Odstránenie koreňa.
Zvážte rovnicu: 
.
Jeho riešenie bude koreňom N-Essential z komplexného čísla Z: 
.
Koreň N-esh z komplexného čísla Z má presne n roztoky (hodnoty). Koreň aktívneho počtu N-ESI má len jedno riešenie. V zložitých - n riešeniach.
Ak je uvedené komplexné číslo trigonometrický formulár:
z \u003d r (cos 
+ Isin. 
), koreň N-estee z Z sa nachádza podľa vzorca:
kde k \u003d 0,1 ... n-1.
Riadky. Numerické riadky.
Nechajte variabilný A dostáva hodnoty 1, A 2 a 3, ... a n. Takáto premenovaná sada čísel sa nazýva sekvencia. Je nekonečná.
Číselné číslo sa nazýva výraz A 1 + A 2 + A 3 + ... + A N + ... \u003d 
. Číselné čísla A 1, A 2 a 3, ... a N - riadkové členovia.
Napríklad.
a 1 - prvý člen série.
n - N-TH alebo zdieľaný člen série.
Číslo sa považuje za špecifikované, ak je známy NTH (generálny člen série).
Numerická séria má nekonečný počet členov.
Číslice - aritmetický postup (1,3,5,7…).
nový termín je podľa vzorca A n \u003d A 1 + D (N-1); D \u003d n-A n-1.
Menovateľ - geometrický postup. B n \u003d b1 q n-1; 
.
Zvážte súčet prvých n členov série a označte ho SN.
SN \u003d A1 + A2 + ... + A N.
SN - N-AYA čiastočný súčet riadku.
Zvážte limit: 
S je súčet rady.
Riadok konvergentný Ak je tento limit konečný (existuje koncový limit S).
Riadok rozdielny Ak je tento limit nekonečný.
V budúcnosti je naša úloha nasledovná: Zriadiť, čo číslo.
Jedným z najjednoduchších, ale často nájdených radov je geometrický postup.
, C \u003d const.
Geometrický postup jekonvergentný
vedľa, Ak 
a rozchádzajú sa, ak 
.
Tiež stretnúť harmonický riadok(riadok 
). Táto séria rozdielny
.
Lístok 1.
Racionálny Čísla - čísla zaznamenané vo forme p / q, kde Q - Prírodné. Číslo a P- Integer.
Dve čísla A \u003d P1 / Q1 a B \u003d P2 / Q2 Calling rovnaký, ak P1Q2 \u003d P2Q1, a p2Q1 a A\u003e B, ak p1q2
Lístok 2.
Komplexné čísla.Komplexné čísla
Algebraická rovnica je rovnica formulára: p n ( x.) \u003d 0, kde p n ( x.) - polynómový n.- v podstate. Pár reálnych čísel x. a w. Nazývame objednané, ak je uvedené, ktorý z nich sa považuje za prvý, a čo je druhé. Označenie objednaného páru: ( x., y.). Integrované číslo sa nazýva ľubovoľný objednaný pár reálnych čísel. z. = (x., y.) -Complexné číslo.
x.Execlaptická časť z., y.-V z.. Ak x. \u003d 0 I. y. \u003d 0, potom z. \u003d 0. Zvážte Z1 \u003d (X 1, Y 1) a Z2 \u003d (X2, Y2).
Definícia 1. Z 1 \u003d Z 2, ak x 1 \u003d x 2 a y1 \u003d y2.
Koncepty\u003e I.< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrický obraz a trigonometrická forma komplexných čísel.
M ( x., y.) « z. = x. + iy..
½ ½ \u003d r \u003d ½ z.½ \u003d. (Obrázok)
r sa nazýva integrovaný modul číslo z..
j sa nazýva argument integrovaného čísla z.. Je určená s presnosťou ± 2P n..
h.\u003d rcosj, y.\u003d RSINJ.
z.= x.+ iy. \u003d R (cosj + i.sinj) - trigonometrická forma komplexných čísel.
Schválenie 3.
\u003d (Cos + i. hriech)
\u003d (Cos + i. hriech)
\u003d (Cos (+) + i. SIN (+))
\u003d (Cos (-) + i. hriech (-)) pre ¹0.
Schválenie 4.
Ak z. \u003d R (cosj + i. Sinj), potom "prirodzené n.:
\u003d (Cos nj + i. hriech. nj.),
TICKET 3.
Nechať X.- Harmonogram, ktorý obsahuje aspoň jedno číslo (neštandardná súprava).
x.Î X.- x. obsiahnuté v H.. ; x.Ï X.- x. nepatrí H..
Definícia: Veľa H. Vyzýva sa obmedzené zhora (dno), ak je číslo M.(m.) takéto x. Î X. Uskutočňuje sa nerovnosť x. £ M. (x. ³ m.), s číslom M. Nazýva sa horná (dolná) tvár sady H.. Veľa H. Vyzýva sa obmedzené zhora, ak $ M., " x. Î H.: x. £ M.. Definícia Neobmedzený súbor viacerých. Veľa X. nazývaný neobmedzený zhora, ak " M. $ x. Î H.: x.> M. Definícia veľa X. nazývané obmedzenia, ak je obmedzený zhora a nižšie, to znamená M., m. Takéto " x. Î H.: m. £ x. £ M.Ekvivalentná definícia ogm mn-va: mnoho X. Vyzývame Limited, ak $ A. > 0, " x. Î X.: ½ x.½£ A.. Definícia: najmenší z horných tvárí obmedzený na vrchole sady H. Nazýva sa jeho presná horná tvár a označuje sup H.
(Superum). \u003d Sup. H.. Podobne môžete určiť presné
spodná strana. Ekvivalent definíciapresná horná tvár:
Číslo sa nazýva presná horná časť okraja set H., Ak: 1) " x. Î X.: h. £ (tento stav ukazuje, že - jeden z horných tvárí). 2) " < $ x Î X.: h. \u003e (Tento stav ukazuje -
najmenšie z horných tvárí).
Sup X.= :
1. " x.Î X.: x. £ .
2. " < $ x.Î X.: x.> .
inf X. (Infimálne) - toto je presný spodný okraj. Otázku budeme položiť: Má všetky obmedzené, mnohí majú presné tváre?
Príklad: H.= {x.: x.\u003e 0) nemá najmenší počet.
Veta na podstate presného horného (dna) tváre. Akýkoľvek prázdny limit na vrchole (dno) Mn-in xîr má okraj pin (dno).
Veta na separácii numerického MN-Q:▀▀▄
TICKET 4.
Ak každá povaha čísla n (n \u003d 1,2,3 ..) je doručená na akumuláciu XN, potom hovoria, že je definovaný a spýtal sa sekvenciax1, X2 ..., Write (XN), (xn). Príklad: Xn \u003d (- 1) ^ N: -1.1, -1.1, ... po-to-call limit. Na vrchole (dno), ak mn-at body x \u003d x1, x2, ... XN ležiace na numerickej osi obmedzené zhora (dno), t.j. $ C: xn £ c " Obmedzenie príspevku:Číslo, ktoré volajú limit príspevku, ak pre všetky ε\u003e 0 $: n (n \u003d n / (ε)). "N\u003e n vykonávajúce nerovnosť Xn-A |<ε. Т.е. – ε
pre n\u003e N..
Jedinečnosť Obmedzená a konvergujúca sekvencia
Nehnuteľnosť1: Konvergovaná sekvencia má len jeden limit.
Dôkaz: Od škaredého letiska ale a b. Limity konvergentnej sekvencie (x n) a A nie je rovná b. Zvážte nekonečne malé sekvencie (α n) \u003d (x n-A) a (p n) \u003d (x n -b). Pretože Všetky prvky B.M. Sekvencia (α n -p n) má rovnakú hodnotu B-A, potom nehnuteľnosť B.M. Sekvencie b-a \u003d 0 t.j. B \u003d A a my sme prišli na rozpor.
Nehnuteľnosť2: Konvergujúca sekvencia je obmedzená.
Dôkaz: Nech je limit konvergentnej sekvencie (x n), potom α n \u003d x n-A je prvok B.M. Sekvencie. Vezmite ľubovoľné ε\u003e 0 a na ňom nájdeme n ε: / x n -a /< ε при n> N ε. Naznačujú sa B najväčším číslam ε + / A /, / x1 /, / x2 /, ..., / x n ε-1 /, x n ε. Samozrejme, že / x n /
POZNÁMKA: Obmedzená postupnosť nemusí konvergovať.
Lístok 6.
Sekvencia A n sa nazýva nekonečne malá, čo znamená, že limit tejto sekvencie po rovnakej úrovni 0.
n - nekonečne malé û lim (n ® + ¥) a n \u003d 0, ktorý je pre ľubovoľný ε\u003e 0 je N, takže pre akékoľvek N\u003e n sa vykonáva | A N |<ε
Teorem.Množstvo je nekonečne malé.
n b n ®bester malá þ a n + b n je nekonečne malý.
Dôkazov.
n - nekonečne malé û "ε\u003e 0 $ n 1:" n\u003e n 1 þ | a n |<ε
b n - nekonečne malé û "ε\u003e 0 $ n 2:" n\u003e n 2 þ | B n |<ε
Dali sme n \u003d max (n 1, n 2), potom pre všetky n\u003e n þ oba nerovnosti sa vykonávajú súčasne:
| a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N.
Nastavme sa "ε 1\u003e 0, vložte ε \u003d ε 1/2. Potom pre ľubovoľné ε 1\u003e 0 $ n \u003d Maxn 1 n 2:" n\u003e n þ | A n + B n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
k dispozícii je n + b n - nekonečne malé.
Teorem Práca je nekonečne malé jesť nekonečne malé.
n, B n je nekonečne malé þ a n b n - nekonečne malé.
DOSTOVANIE:
Nastaviť "ε 1\u003e 0, dal sme ε \u003d Öε 1, pretože n a B n je nekonečne malé pre tento ε\u003e 0, potom bude n 1:" n\u003e n þ | a n |<ε
$ N 2: "n\u003e n 2 þ | B n |<ε
Vezmite n \u003d max (n 1; n2), potom "n\u003e n \u003d | a n |<ε
| a n b n | \u003d | a n || b n |<ε 2 =ε 1
"ε 1\u003e 0 $ n:" n\u003e n | a n b n |<ε 2 =ε 1
lim A N B n \u003d 0 û A n b n je nekonečne malé, čo bolo potrebné na preukázanie.
Teorem Produkt obmedzenej sekvencie na nekonečne malej sekvencii je nekonečne malá sekvencia
n - obmedzená postupnosť
n-bičovo nízka sekvencia þ a n a n je nekonečne malá sekvencia.
Dôkaz: Od N - Limited û $ C\u003e 0: "nî N. Þ | a n | £ c
Nastavme sa "ε 1\u003e 0; vložte ε \u003d ε 1 / c; ako n je nekonečne malý, potom ε\u003e 0 $ n:" n\u003e nþ | a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1\u003e 0 $ N:" n\u003e n þ | a n a n | \u003d Cε \u003d ε 1 þ LIM (n ® ¥) a n a n \u003d 0û A n a n - nekonečne malé Sekvencia sa nazýva Bbp (postupnosť), ak píšete. Samozrejme, BBP nie je obmedzený. Opačný súhlas je všeobecne nesprávny (príklad). Ak pre veľký n.Členovia, potom to znamená, že čo najskôr. Podobne sa určí význam nahrávania. Nekonečne veľké sekvencien \u003d 2 n ;
b n \u003d (- 1) N2N; C n \u003d -2 n Definícia (nekonečne veľké sekvencie) 1) LIM (n ® ¥) a n \u003d + ¥, ak "ε\u003e 0 $ n:" n\u003e n þ a n\u003e ε kde ε- je malé. 2) lim (n ® ¥) a n \u003d - ¥, ak "ε\u003e 0 $ n:" n\u003e n þ a n<-ε 3) lim (n ® ¥) a n \u003d ¥ û "ε\u003e 0 $ n:" n\u003e n þ | a n |\u003e ε Letenka 7. Veta "na konvergencii monoton. post " Akýkoľvek monotónny príspevok je konvergujúci, t.j. má limity. PrístaviskoNech je to (xn) monotónne prijaté. A obmedzené zhora. X - Všetky čísla MN-IN, ktoré berú EL-T tohto príspevku podľa SL. Theorems sú MN obmedzené. Preto podľa ACC. Veta má konečnú presnú špičku. GRAND SUPX XN®SUPX (označuje SUPX cez X *). Pretože x * presné. Tvár, potom xn £ x * "n." E\u003e 0 SNA-X $ XM (Nech m je n s vekom): XM\u003e x * -e s "n\u003e m \u003d\u003e zo špecifikovaných 2 nerovností Druhá nerovnováha x *-£ xn £ x * + e s N\u003e m je ekvivalentná ½xn-x * ½ Lístok 8. Vystavovateľ alebo číslo e Číslo Rómov. Šiť so všeobecným členom xn \u003d (1 + 1 / n) ^ n (do stupňov n) (1). Ukazuje sa, že príspevok (1) je monotónne zrušený, je obmedzený zhora a menej ako converging, limit tohto POS-TZEN-SIA je exponent a je označený symbolom E "2,7128 ... Číslo E. TICKET 9. Princíp vnorených segmentov Nechajte počet segmentov, ... ,, ... Okrem toho tieto segmenty uspokojujú Cl. USL: 1) Každý príspevok je investovaný do predchádzajúceho, t.j. Ì, "n \u003d 1,2, ...; 2) dĺžky segmentov ®0 s rastúcou n, t.j. Lim (n® ¥) (BN-A) \u003d 0. Post so zadanými kópiami sú vnorené. TeoremAkýkoľvek čas vnorených segmentov obsahuje jediný T-KU so stĺpikmi patriacimi ku všetkým segmentom súčasne s celkovým bodom všetkých segmentov, na ktoré sú dotiahnuté. Prístavisko(A) - po ľavom koncom segmentov ylawlu. Monotónne nie je zostupné a obmedzené z vyššie uvedeného čísla B1. (BN) -Aftélové konce monotónne rastie, preto tieto post-yawl. Konvergovanie, t.j. Numbers Numbers C1 \u003d LIM (N® ¥) A a C2 \u003d LIM (N® ¥) BN \u003d\u003e C1 \u003d C2 \u003d\u003e C - ich všeobecná hodnota. Naozaj má limit lim (N® ¥) (BN-A) \u003d LIM (N® ¥) (BN) - LIM (N® ¥) (A) na základe stavu 2) o \u003d LIM (N® ¥) ( BN a) \u003d C2-C1 \u003d\u003e C1 \u003d C2 \u003d C Je jasné, že je to spoločné pre všetky segmenty, pretože "n £ c £ bn. Teraz dokážeme, že je to sám. Predpokladajme, že $ je odlišné s ', na ktorom sú všetky segmenty dotiahnuté. Ak si vezmete akékoľvek nepoškvrnené segmenty a c ', na jednej strane, celý "chvost" obce (A), (BN) by mal byť v blízkosti T-Ki S' '(pretože A a BN konvergovať s "v rovnakom čase). Rozpor Docking t-mu. TICKET 10. BOLZANO-WEIERSTRASS THEOREM
Z akéhokoľvek požiaru. Je možné zvoliť príspevok. Submisívny. 1. Keďže príspevok je obmedzený, potom $ m a m, takže "m £ xn £ m," n. D1 \u003d - segment, v ktorom všetky príspevky T-Ki ležia. Rozdeli sme ho na polovicu. Aspoň v jednom z polovice bude existovať nekonečné číslo t - na post. D2 je polovica, kde je nekonečné číslo t-na post. Rozdeľujeme ho na polovicu. Cestujúcimi, v jednom z polovice. D2 Nah-Xia nekonečné číslo t-k ambulancii. Táto polovica je D3. Rozdeľujeme rez d3 ... atď. Dostaneme príspevok vnorených segmentov, ktorých dĺžky sa usilujú o 0. Podľa T - o vnorených segmentoch, $ jednotu. T-ka s, mačka. patriaci Všetky segmenty D1, akékoľvek T-Ku DN1. V segmente D2 si vyberiem T-KU XN2 tak, že N2\u003e N1. V segmente D3 ... atď. Výsledkom je, že prvý príspevok xnkîdk. Lístok 11. TICKET 12. zásadný Na záver zvážte otázku kritéria pre konvergenciu číselného sekvencie. Nechaj to tak: Dostali sme nasledujúce tvrdenie: Ak sa sekvencia konverguje, sa vykoná stav. Cauchy: Numerická sekvencia spĺňa stav Cauchy zásadný. Môžete dokázať, že opačné vyhlásenie je platné. Preto máme kritérium (nevyhnutné a dostatočné podmienky) konvergencie sekvencie. Zvedavé kritérium. Aby sa sekvencia mala obmedziť, je to nevyhnutné a dostatočné, bolo by to zásadné. Druhý bod kaucí kritériá. Členov sekvencií a kde n.a m.- akékoľvek neobmedzené konvergentné. Lístok 13. Jednostranné limity. Definícia 13.11.Číslo ALE nazývaný limit funkcie y \u003d f (x) Ako h.Hľadám k. x 0 Vľavo (vpravo), ak taká f (x) -a|<ε при x 0 - x< δ
(x - X 0< δ
). Označenia: Veta 13.1 (Druhá definícia limitu). Funkcia y \u003d f (x) má na x, Hľadám k. h. 0, obmedzte sa rovná ALEv tom a len ak existujú obidva jednostranné limit v tomto bode a sú rovnaké ALE. Dôkazov. 1) Ak potom x 0 - x< δ, и для x - X 0< δ
|f (x) - a|<ε, то есть 1) Ak je, potom je 1: | f (x) - a| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f (x) - a| < ε при x - X 0<
Δ 2. Výber z čísel Δ 1 a δ 2 menej a prijímanie ho pre δ, získame to, keď x - X 0| < δ |f (x) - a| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentár. Vzhľadom k tomu, rovnocennosť požiadaviek obsiahnutých v určení limitu 13.7 a podmienky existencie a rovnosti jednostranných limitov sa preukáže, tento stav možno považovať za druhú definíciu limitu. Definícia 4 (Heine) Číslo ALE Nazýva sa limit funkcie, ak akýkoľvek argument BBP hodnotí sekvenciu zodpovedajúcich funkcií funkcie konverguje ALE. Definícia 4 (Cauchy). Číslo ALE zavolal, ak. Je dokázané, že tieto definície sú ekvivalentné. TICKET 14 A 15 Vlastnosti limitu F-Connection v bode 1) Ak existuje limit v t-ke, potom je to jediné 2) Ak je v limite tke x0 f-│ f (x) lim (x®x0) f (x) \u003d a lIM (X®X0) G (X) B \u003d\u003e Potom v tomto T-ke $ limit, rozdiel, diela a súkromné. Oddelenie týchto 2 f-chorých. a) lim (x®x0) (f (x) ± g (x) \u003d a ± b b) lim (x®x0) (f (x) * g (x)) \u003d A * b c) lim (x®x0) (f (x): g (x)) \u003d A / b d) lim (x®x0) c \u003d c e) lim (x®x0) c * f (x) \u003d c * a Veta 3. Ak ( resp. ) Potom $ susedstve, v ktorom sa vykonáva nerovnosť \u003e B (resp Veriť v teorem 3 B \u003d 0.Dostaneme: ak ( resp. ), potom $, na všetkých bodoch, ktoré budú \u003e 0 (resp<0),
tí. Funkcia ušetrí znak svojho limitu. Teorem 4. (O maximálnom prechode v nerovnosti). Ak v niektorých susedstve bodu (okrem toho, že môže byť tento bod), podmienka a tieto funkcie majú limity v bode, potom. V jazyku a. Zavádzame funkciu. Je jasné, že v susedstve tohto. Potom, na teorem o zachovaní funkcie hodnoty jeho limitu, máme, ale Teorem 5.(O hranici strednej funkcie). (1) ak Lístok 16. Definícia 14.1.Funkcia y \u003d α (x) sa nazýva nekonečne malý x → X 0, Ak Vlastnosti sú nekonečne malé. 1. Súčet dvoch nekonečne malých je nekonečne malý. Dôkazov. Ak α (x.) I. β (x.) - nekonečne malé, keď x → X 0, potom sú tu 1 a δ 2 α (X.)|<ε/2 и |β(x.)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x) + p (x) | ≤ | α (x )\u003e + | β (x)|<ε, то есть |(α (x) + β (x))-0|<ε. Следовательно, Komentár. Z toho vyplýva, že súčet akéhokoľvek konečného čísla je nekonečne malé, je nekonečne malé. 2. Ak α ( h.) - nekonečne malé x → X 0, ale f (X.) - Funkcia obmedzená v určitom okolí x 0T. α (x) f (x) - nekonečne malé x → X 0. Dôkazov. Vyberte číslo M. také, že f (x) Corollary 1. Práca je nekonečne malá na konečnom počte, sú nekonečne malé. Corollary 2. Práca dvoch alebo viacerých nekonečne malých je nekonečne malé. Corollary 3. Lineárna kombinácia nekonečne malých je nekonečne malá. 3. (Definícia tretieho limitu). Ak potom potrebnú a dostatočnou podmienkou je, že funkcia f (X.) Môže byť reprezentovaný ako f (x) \u003d A + α (x), kde α (x.) - nekonečne malé x → X 0. Dôkazov. 1)
Potom f (x) -a|<ε при x → X 0, t.j α (x) \u003d f (x) -a - nekonečne malé x → X 0. Teda , f (x) \u003d A + α (X). 2) f (x) \u003d A + α (x). Potom Komentár. Iné stanovenie limitu je teda ekvivalentné predchádzajúcemu dvom. Nekonečne veľké funkcie. Definícia 15.1. Funkcia F (x) sa nazýva nekonečne veľká na x x 0, ak Pre nekonečne veľké, môžete zadať rovnaký klasifikačný systém, ako pre nekonečne malé, a to: 1. nekonečne veľké f (x) a g (x) sa považujú za hodnoty jednej objednávky, ak 2. Ak sa f (x) považuje za nekonečne veľké číslo ako g (x). 3. Nekonečne veľká f (x) sa nazýva hodnota K-THROURE ROZPEČNOSTNOSTI REKONÁLNE INIVITELY LAGE G (X), ak. Komentár. Poznamenávame, že X je nekonečne veľký (v\u003e 1 a x) vyššie poradie ako X K pre ľubovoľný K, a log A X je nekonečne veľké nižšie poradie ako akýkoľvek stupeň x k. Veta 15.1. Ak je α (x) nekonečne malé pri X → X 0, potom 1 / α (x) je nekonečne veľké v x → x 0. Dôkazov. Dokážeme, že keď X - X 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, | 1 / α (x)\u003e m. Tak, to znamená, 1 / α (x) je nekonečne veľký v X → X 0. Lístok 17. Veta 14.7 (prvý nádherný limit). . Dôkazov. Zvážte obvod polomeru jednotky so stredom na začiatku súradníc a predpokladá sa, že uhol AOS je X (Radian). Porovnajte oblasť trojuholníka AOS, AOV Sektory a AOC Trojuholník, kde je priamy OS dotyčník k kruhu prechádzajúcej bodom (1; 0). Je to zrejmé. Použitie vhodných geometrických vzorcov pre oblasť obrázkov, odtiaľto 
Na riadku s prirodzeným číslom môžete nahradiť poslednú nerovnosť iné prirodzené číslo 
, potom
a v určitom okolí t. (Okrem toho najviac t.) Podmienka je splnená (2), potom funkcia má pozvanie a tento limit sa rovná ALE. Pod podmienkou (1) $ za (tu - najmenšie okolie bodu). Ale potom, vďaka stavu (2), bude tiež umiestnený v susedstve bodu ALE, tí. .
, t.j α (x) + β (x) - nekonečne malé.
Tak, | f (x) -a|<ε при |x - X 0| < δ(ε). Cледовательно, .
alebo SINX
