X Kuba mínus 1. Skrátené multiplikačné formulácie - Knowledge Hypermarket

Algebra

Znížené multiplikačné vzorce sa používajú na konverziu výrazov. Identity sa používajú na reprezentáciu celého expresie vo forme polynómu a rozkladu polynómov na multiplikátoroch.

• 1 Štvorcové množstvo (A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2
• 2 Rozdiel štvorcových (A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B2
• 3 Rozdiely v štvorcových 2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)
• 4 Suma kocky (A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B2
• 5 Rozdiel kocky (A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 2
• 6 Množstvo kocky A 3 + B3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B2)
• 7 Kubické rozdiely A 3 - B3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B2)

Formuláry pre štvorce

((A + B) ^ 2 \u003d A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 \\ t

((A - B) ^ 2 \u003d A ^ 2 - 2AB + B ^ 2 \\ t

(A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A + B) (A - B) \\ t

Cube vzorce

(A + B) ^ 3 \u003d A ^ 3 + 3A ^ 2B + 3AB ^ 2 + B ^ 3 \\ t

(A - B) ^ 3 \u003d A ^ 3 - 3A ^ 2B + 3AB ^ 2 - B ^ 3 \\ t

(A ^ 3 + B ^ 3 \u003d (A + B) (A ^ 2 - AB + B ^ 2) \\ t

(A ^ 3 - B ^ 3 \u003d (A - B) (A ^ 2 + AB + B ^ 2) \\ t

Vzorce pre štvrtý stupeň

((A + B) ^ 4 \u003d A ^ 4 + 4A ^ 3B + 6A ^ 2B ^ 2 + 4AB ^ 3 + B ^ 4 \\ t

(A - B) ^ 4 \u003d A ^ 4 - 4A ^ 3B + 6A ^ 2B ^ 2 - 4AB ^ 3 + B ^ 4 \\ t

(A ^ 4 - B ^ 4 \u003d (A - B) (A + B) (A ^ 2 + B ^ 2));
z toho vyplýva z (A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A + B) (A - B)).

Formuly skrátenej násobenia

1. štvorcové množstvo

2. Štvorcový rozdiel

3. Súčet a rozdiel štvorcov

4. Suma do tretieho stupňa (suma kocky)

5. Rozdiel v treťom stupni (rozdiel kocky)

6. Suma a rozdiel kocky

7. Znížené multiplikačné vzorce pre štvrtý stupeň

8. Formuly skrátenej množenia pre piaty titul

9. Formuly skrátenej množenia pre šiesty titul

10. Formuly skrátenej množenia pre stupeň N, kde n. - akékoľvek prirodzené číslo

11. Znížené multiplikačné vzorce pre stupeň N, kde n. - dokonca kladné číslo

12. Formuly skrátenej množenia pre stupeň N, kde n. - nepárne kladné číslo

Vzorce skráteného násobenia.

Štúdium vzorcov skrátenej multiplikácie: štvorec sumy a štvorec rozdielu dvoch výrazov; Štvorcové rozdiely dvoch výrazov; CUBA SUMS A CUBE Rozdiel dvoch výrazov; Množstvo a rozdiely kocky z dvoch výrazov.

Použitie vzorcov skráteného násobenia pri riešení príkladov.

Zjednodušiť výrazy, rozklad polynómov na multiplikátoroch, prinášajúcich polynómy na štandardné vzorce skrátenej násobenia. Je potrebné známe skrátené multiplikačné vzorce.

Nechajte A, B r. Potom:

1. Námestie súčtu dvoch výrazov je rovnocenné Námestie prvého výrazu plus skrútený produkt prvého výrazu na druhom plus štvorcový námestie druhého výrazu.

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2

2. Námestie rozdielu dvoch výrazov je rovnocenné Námestie prvej expresie mínus dvakrát produktu prvého výrazu na druhom plus štvorcový druhý výraz.

(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B2

3. Rozdiely v štvorcovýchdva výrazy sa rovnajú produktom týchto výrazov a ich sumu.

a 2 - B2 \u003d (A -B) (A + B)

4. Suma kockydva výrazy sa rovnajú na Kube prvého výrazu plus strojný produkt štvorcového prvého výrazu na druhom plus strojný produkt prvej expresie na námestí druhej plus kocky druhej expresie.

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3

5. Rozdiel kockydva výrazy sa rovnajú na Kube prvého výrazu mínus strojnásobné dielo štvorca prvého výrazu na druhom plus strojnásobná práca prvého výrazu na námestí druhej mínusovej kocky druhého výrazu.

(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B3

6. Množstvo kockydva výrazy sa rovnajú množstvom súčtu prvého a druhého výrazu na neúplnom námestí rozdielu týchto výrazov.

a 3 + B3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B2)

7. Kubické rozdiely Dva výrazy sa rovnajú produktom prvého a druhého výrazu na neúplnom námestí súčtu týchto výrazov.

a 3 - B3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B2)

Použitie vzorcov skráteného násobenia pri riešení príkladov.

Príklad 1.

Vypočítať

a) Použitie súčtu súčtu dvoch výrazov, máme

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

b) Použitie vzorca námestia rozdielu dvoch výrazov, dostaneme

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604

Príklad 2.

Vypočítať

Použitie vzorce veľkosti štvorcov dvoch výrazov, dostaneme

Príklad 3.

Zjednodušiť výraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Používame štvorcové vzorce súčtu a štvorec rozdielu dvoch výrazov

(x-y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2H + v 2 + x 2 + 2H + y2 \u003d 2x 2 + 2Y 2

Formuly skrátenej množenia v jednej tabuľke:

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B2
2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B3
A 3 + B3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B2)
A 3 - B3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B2)

Pri výpočte algebraických polynómov na zjednodušenie výpočtov sa používajú formuly skrátenej násobenia. Všetky takéto vzorce sú sedem. Všetci potrebujú vedieť srdcom.

Treba tiež pripomenúť, že namiesto "A" a "B" vo vzorcoch, oba čísla a akékoľvek iné algebraické polynómy môžu byť vo vzorcoch.

Rozdiely v štvorcových

Pamätajte si!

Rozdiely v štvorcových Dve čísla sa rovná produktu týchto čísel a ich sumu.

2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)

• 15 2 - 2 2 \u003d (15 - 2) (15 + 2) \u003d 13 · 17 \u003d 221
• 9A 2 - 4B 2 C 2 \u003d (3A - 2BC) (3A + 2BC)

Štvorcové množstvo

Pamätajte si!

Námestie množstva dvoch čísel sa rovná štvorcovi prvého čísla plus dvojitý produkt prvého čísla na druhý plus námestie druhého čísla.

(A. + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B2

Všimnite si, že s týmto vzorcom skráteného multiplikácie je jednoduché nájdite veľké číslabez použitia kalkulačky alebo množenia v stĺpci. Vysvetlime príklad:

Nájsť 112 2.

• Rozšírte 112 na súčet čísiel, ktorých štvorcoch si pamätáme dobre.
  112 = 100 + 1
• Píšeme sumu čísla v zátvorkách a umiestnite námestie nad zátvorky.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Používame súčet štvorcového zhrnutia:
  112 2 \u003d (100 + 12) 2 \u003d 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 \u003d 10 000 + 2 400 + 144 \u003d 12 544

Pamätajte, že vzorec štvorcovej sumy je platný aj pre všetky algebraické polynómy.

• (8A + C) 2 \u003d 64A 2 + 16AC + C 2

Výstraha!

(A + B) 2 nie je rovné (A 2 + B2)

Rozdiel štvorcových

Pamätajte si!

Námestie rozdielu dvoch čísel sa rovná námestiu prvého čísla mínus dvakrát produktu prvého do druhého a štvorec druhého čísla.

(A. - b) 2 \u003d A 2 - 2AB + B2

Treba tiež zapamätať si veľmi užitočnú transformáciu:

(A - B) 2 \u003d (B - A) 2

Vzorec je vyššie dokázaný jednoduchým zverejnením konzol:

(A - B) 2 \u003d 2 -2AB + B2 \u003d B2- 2AB + A 2 \u003d (B - A) 2

Suma kocky

Pamätajte si!

Kocka z dvoch čísel je rovnaká ako Kuba prvého čísla plus strojnásobná práca námestia prvého čísla na druhú plus strojom TRIXPED PRVÝMI PRVÝMI PLUSOM PLUSKÝMI PROSTREDNÍCTVOM.

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3

Ako si spomenúť na sumu kocky

Pamätajte, že tento "hrozný" vzorec je celkom jednoduchý.

• Naučte sa, že na začiatku ide "A 3".
• Dva polynómy v strede majú koeficienty 3.
• Pripomeňme, že akékoľvek číslo v nulovom stupni je 1. (A 0 \u003d 1, B 0 \u003d 1). Je ľahké vidieť, že vo vzorci existuje zníženie stupňa "A" a zvýšenie stupňa "B". To možno vidieť:
  (A + B) 3 \u003d A3 B 0 + 3A 2 B1 + 3A 1 B2 + B3 A 0 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B3

Výstraha!

(A + B) 3 nie je rovné 3 + B3

Rozdiel kocky

Pamätajte si!

Rozdiel kocky Dve čísla sa rovná Kube prvého čísla mínus strojnásobné dielo námestia prvého čísla na druhom plus strojnásobný produkt prvého čísla na štvorec druhého mínus druhá kocka.

(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

Tento vzorec sa pripomína ako predchádzajúci, ale len berúc do úvahy striedanie značiek "+" a "-". Pred prvým termínom "A 3" znamená "+" (podľa pravidiel matematiky, nepisujeme ho). Takže predtým, ako bude nasledujúci člen stáť "-", potom znova "+", atď.

(A - B) 3 \u003d + A3- 3A 2B + 3AB 2 - B3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B3

Množstvo kocky

Nezamieňajte sa s kockou!

Pamätajte si!

Množstvo kocky Je rovný množstvu súčtu dvoch čísel na neúplnom námestí rozdielu.

a 3 + B3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B2)

Množstvo kociek je produktom dvoch konzol.

• Prvá konzola je súčtom dvoch čísel.
• Druhá konzola je neúplným námetom rozdielu rozdielu. Nedokončené štvorec rozdielu sa nazýva výraz:
  (A 2 - AB + B 2)
  Tento štvorec je neúplný, ako v strede namiesto dvojitej práce obvyklý produkt čísel.

Kubické rozdiely

Nezamieňajte sa s rozdielnym kockom!

Pamätajte si!

Kubické rozdiely Je rovná produktu rozdielu dvoch čísel na neúplné štvorcové množstvo.

a 3 - B3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B2)

Buďte opatrní pri písaní značiek.

Uplatňovanie vzorcov skráteného násobenia

Treba pripomenúť, že všetky vyššie uvedené vzorce sú tiež použité a priamo doľava.

Mnoho príkladov v učebniciach sú určené na to, že budete zbierať polynómové početné s pomocou vzorcov.

• a 2 + 2A + 1 \u003d (A + 1) 2
• (AS - 4B) (AC + 4B) \u003d A 2 C 2 - 16B 2

Stolový stôl si môžete stiahnuť so všetkými vzorcami skrátenej množenia v sekcii "

Vzorce skrátenej expresie sú veľmi často aplikované v praxi, takže sa to najlepšie naučili srdcom. Až do tohto bodu budeme slúžiť ako viera a pravda, ktorú odporúčame tlač a udržať po celú dobu pred našimi očami:

Prvé štyri vzorce z určeného tabuľky vzorcov skrátenej multiplikácie vám umožňujú vzpriamenať do štvorca a množstvo kocky alebo rozdiel dvoch výrazov. Piata je určená na krátky násobenie rozdielu a súčtu dvoch výrazov. A šieste a siedme vzorce sa používajú na násobenie súčtu dvoch výrazov A a B na ich nekompletnom námestí rozdielu (tzv. Vyjadrenie formulára A 2 -A · B + B2) a rozdiel dvoch výrazov A A B na neúplnom námestí ich súčet (A 2 + A · B + B2).

Stojí za zmienku oddelene, že každá rovnosť v tabuľke je totožnosť. To vysvetľuje, prečo vzorce skrátenej množenia sa nazývajú aj identity skrátenej násobenia.

Pri riešení príkladov, najmä v ktorých rozklad polynómov na multiplikátoroch, FSU sa často používa vo forme preskupených miest s ľavými a pravou časťou:

Posledné tri identity v tabuľke majú svoje vlastné mená. Vzorec A 2 -B 2 \u003d (A-B) · (A + B) Štvorcový rozdiel vzorca, a 3 + B3 \u003d (A + B) · (A 2 -A · B + B2) - výška Cubesa a 3 -B 3 \u003d (A-B) · (A 2 + A · B + B2) - cUBIC Rozdiel vzorca. Všimnite si, že sme nezískali zodpovedajúce vzorce s preskupenými časťami z predchádzajúcej tabuľky.

Ďalšie vzorce

Tabuľka vzorec pre skrátenú násobenie nebráni pridať niekoľko ďalších identít.

Rozsah pôsobnosti skráteného multiplikácie (FSU) a príklady

Hlavným účelom vzorcov skrátenej multiplikácie (FSU) je vysvetlené ich menom, to znamená, že spočíva v krátkych násobených výrazoch. Avšak, sféra aplikácie FSU je oveľa širšia a nie je obmedzená na krátky násobenie. Uvádzame hlavné smery.

Ústredná aplikácia vzorca skrátenej násobenia sa nepochybne zistilo, že v realizácii identických transformácií výrazov. Najčastejšie sa tieto vzorce používajú v procese zjednodušte výrazy.

Príklad.

Zjednodušte výraz 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Rozhodnutie.

V tomto výraze môže byť konštrukcia námestia vykonaná skrátená, máme 9 · Y- (1 + 3 · y) 2 \u003d 9 · y- (1 2 + 2 · 1,3 ± + (3 · y) 2). Zostáva len odhaliť zátvorky a priniesť podobných členov: 9 · y- (1 2 + 2 · 1,3 y + (3 · y) 2) \u003d 9 · Y-1-6 · y-9 · y 2 \u003d 3 · y-1-9 · y2.

V čitateľovi je výrazom kocky dvoch výrazov 2 · x a Z2, a v denominátori - rozdiel štvorcov týchto výrazov. Po použití zodpovedajúcich vzorcov sa počiatočná frakcia bude zobrazovať . Teraz môžete skrátiť rovnaké multiplikátory v numerátore a menovateľovi :.

Budeme vydať všetky rozhodnutie stručne:

Odpoveď:

.

Vzorce skráteného násobenia niekedy umožňujú racionálne vypočítať hodnoty výrazov. Ako príklad, ukážeme, ako môžete vytvoriť číslo 79 na štvorcové pomocou rozdielu Square Formula: 79 2 \u003d (80-1) 2 \u003d 80 2 -2 · 80 · 1 + 1 2 \u003d 6 400-160 + 1 \u003d 6 241. Tento prístup vám umožňuje vykonávať podobné výpočty aj orálne.

Na záver, povedzme viac o jednej dôležitej transformácii - výber námestia Bicoon, ktorý je založený na vzorec pre skrátené množenie štvorcového množstva. Napríklad expresia 4 · x 2 + 4 · x-3 môže byť transformovaná na formu (2 · x) 2 + 2 · x · 1 + 1 2 -4 a prvé tri termíny sa nahradia pomocou súčet súčtu sumy. Takže výraz má formu (2 · x + 1) 2 -4. Takéto transformácie sú široko používané napríklad, keď.

Zoznam referencií.

• ALGEBRA: štúdie. pre 7 cl. všeobecné vzdelanie. Inštitúcie / [yu. N. Makrychev, N. G. Mindyuk, K. I. NESHKOV, S. B. SUVOROV]; Ed. S. A. Telikovsky. - 17. ed. - M.: Osvietenie, 2008. - 240 s. : IL. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. ročník. V 2 TSP. 1. Návod pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií / A. Mordkovich. - 13. ed., ACT. - M.: Mnemozina, 2009. - 160 p.: IL. ISBN 978-5-346-01198-9.
• GUSEV V. A., Mordkovich A. G. Matematika (prospech pre žiadateľov v technických školách): Štúdie. prospech. - m.; Vyššie. SHK., 1984.-351 p., IL.

Matematické výrazy (vzorce) skrátené množenie (Štvorcové množstvá a rozdiely, množstvo kocky a rozdiely, rozdiel štvorcov, množstvo a rozdiel kocky) sú extrémne nahradené v mnohých oblastiach presných vied. Tieto 7 znakových nahrávok nie sú nahradené zjednodušením výrazov, riešenie rovníc, s násobkom polynómov, redukujúcich frakcií, riešenie integrálov a mnohých ďalších vecí. Takže to bude veľmi užitočné zistiť, ako sa získavajú, pre ktoré sú potrebné, a čo je najdôležitejšie, ako si ich zapamätať a potom platiť. Potom formuly skrátenej násobenia V praxi to najťažšie uvidí, čo je H.a čo je u. Samozrejme, že žiadne obmedzenia a. a b.nie, čo znamená, že to môže byť číselné alebo listové výrazy.

A tak tu:

najprv x 2 - u 2. \u003d (x - y) (x + y) . Kalkulovať rozdiely v štvorcových Dva výrazy musia znásobiť rozdiel medzi týmito výrazmi na ich sumách.

Druhý (x + y) 2 \u003d x 2. + 2H + IN 2 . Nájsť Štvorcové množstvo Na štvorec prvého výrazu je potrebné pridať dve výrazy na pridanie dvojitého produktu prvého výrazu na druhú plus štvorcový druhý výraz.

Tretí (x - y) 2 \u003d x 2. - 2h + v 2. Kalkulovať rozdiel štvorcovýchz námestia prvého výrazu sú potrebné dve výrazy, aby ste odobrali dvojitý produkt prvého výrazu na druhom plus štvorcový druhý výraz.

Štvrtý (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3H 2 + 3. Kalkulovať suma kockydve vyjadrenia musia byť pridané do Kuby prvého výrazu, aby sa pridali strojnásobné dielo štvorca prvého výrazu na druhom plus strojný produkt prvého výrazu na námestí plus kocky z druhého výrazu.

Piaty (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3H 2 - 3.. Kalkulovať rozdiel kockyz prvej expresnej kocky sú potrebné dve výrazy, aby sa vytvorili strojnásobné dielo štvorca prvej expresie na druhom plus strojnásobný produkt prvej expresie na druhej mínusovej kocke druhej expresie.

Šesť x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) Kalkulovať množstvo kockydva výrazy musia znásobiť sumy prvého a druhého výrazu na neúplnom námestí rozdielu týchto výrazov.

Siedmy x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + HU + U 2) Ak chcete vykonať výpočet kubické rozdielydva výrazy musia znásobiť rozdiel medzi prvým a druhým výrazom na neúplnom námestí súčtu týchto výrazov.

Nie je ťažké si uvedomiť, že všetky vzorce sa aplikujú na prácu výpočtov av opačnom smere (vpravo doľava).

Asi pred 4 tisíc rokmi o existencii týchto vzorov. Boli široko používané obyvatelia starovekého Babylona a Egypta. Ale v tých epochách, prejavili verbálne alebo geometricky a počas výpočtov nepoužívali písmená.

Rozumieme dôkaz o Square Summa(A + B) 2 \u003d A2 + 2AB + B2.

Najprv to matematický vzor Dokázal staroveký grécky vedec EUCLIDE, ktorý pracoval v Alexandrii v BC III, použil geometrický spôsob, ako EVOF vzorec, pretože vedci starovekej Ellala nepoužili písmená na označenie čísel. Boli univerzálne používané nie "A 2", ale "štvorec na segmente A", nie "AB", ale "obdĺžnik, uzavretý medzi segmentmi A a B".