Jedna i 0 pitagorejskih hlača. Različiti načini dokazivanja pitagorejskog teorema: primjeri, opisi i prikazi
Možemo biti sto posto sigurni da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze bilo koja odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbir kvadrata nogu." Ovaj je teorem čvrsto ukorijenjen u svijesti svake obrazovane osobe, ali samo trebate zamoliti nekoga da to dokaže i tada mogu nastati poteškoće. Stoga, sjetimo se i razmotrimo različite načine dokazivanja pitagorejskog teorema.
Kratki pregled biografije
Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je rodila nije toliko popularna. Ovo je popravljivo. Stoga, prije proučavanja različitih načina dokazivanja pitagorejskog teorema, trebate se ukratko upoznati s njegovom ličnošću.
Pitagora je filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Današnjih dana. Vrlo je teško razlikovati njegovu biografiju od legendi nastalih u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kako slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora iz Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio obični kamenac, ali majka je poticala iz plemićke porodice.
Prema legendi, rođenje Pitagore predvidjela je žena koja se zvala Pitija, u čiju je čast dječak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnogo dobrobiti i dobrote čovječanstvu. Što je on zapravo i učinio.
Rođenje teoreme
U mladosti se Pitagora preselio u Egipat da bi se tamo sastao sa poznatim egipatskim mudracima. Nakon sastanka s njima, primljen je na studije, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.
Vjerovatno je u Egiptu Pitagora bio nadahnut veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. To bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari vjeruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Svoje znanje prenosio je samo svojim sljedbenicima, koji su kasnije dovršili sve potrebne matematičke proračune.
Bilo kako bilo, danas nije poznata nijedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izračunavali, pa ćemo ovdje razmotriti različite načine dokazivanja pitagorejskog teorema.
Pitagorin teorem
Prije započinjanja bilo kakvih proračuna, morate shvatiti koja će teorija biti dokazana. Pitagorin teorem glasi ovako: "U trokutu, u kojem je jedan od uglova 90 °, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."
Ukupno postoji 15 različitih načina za dokazivanje pitagorejskog teorema. Ovo je prilično velika brojka, pa obratimo pažnju na najpopularnije od njih.
Metod jedan
Prvo, odredimo ono što nam je dato. Ti će se podaci odnositi i na druge metode dokazivanja Pitagorinog teorema, pa biste se odmah trebali sjetiti svih dostupnih zapisa.
Recimo, dat je pravokutni trokut, s katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokazivanja temelji se na činjenici da trebate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.
Da biste to učinili, trebate nacrtati segment jednak kraku b do kraka dužine a i obrnuto. Ovo bi trebalo biti dva jednake strane trg. Preostalo je samo povući dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.
Unutar rezultirajuće figure trebate nacrtati još jedan kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova ac i sv trebate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka c. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo završiti četvrti segment.
Na temelju dobivene slike možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutrašnjost slike, možete vidjeti da pored unutarnjeg kvadrata sadrži četiri pravokutna trokuta. Površina svakog od njih je 0,5 av.
Stoga je površina: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Dakle (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2
I, prema tome, c 2 \u003d a 2 + b 2
Teorem je dokazan.
Metoda dva: slični trokuti
Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na osnovu izjave iz odjeljka o geometriji o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta proporcionalni prosjek njegove hipotenuze i segmenta hipotenuze koji proizlazi iz vrha kuta od 90 °.
Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment SD okomito na stranicu AB. Na osnovu gornje izjave, krakovi trokuta su:
AC \u003d √AB * PAKLO, SV \u003d √AB * DV.
Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora dovršiti kvadriranjem obje nejednakosti.
AC 2 \u003d AB * PAKLO i SV 2 \u003d AB * DV
Sada morate sabrati rezultirajuće nejednakosti.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (PAKLA * DV), gdje PAKO + DV \u003d AB
Ispada da:
AC 2 + SV 2 \u003d AB * AB
I zbog toga:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Dokazi Pitagorinog teorema i razni načini njegovog rješavanja zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.
Još jedna tehnika proračuna
Opis različitih načina dokazivanja pitagorejskog teorema možda neće ništa reći dok ne počnete samostalno vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i izgradnju novih oblika iz izvornog trokuta.
U ovom slučaju, potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD od kraka BC. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkom nogom BC.
Znajući da područja takvih figura imaju omjer kvadrata njihovih sličnih linearnih dimenzija, onda:
S avd * s 2 - S avd * a 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2
S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)
s 2 -w 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + b 2
Budući da je ova opcija teško pogodna za različite metode dokazivanja Pitagorinog teorema za razred 8, možete koristiti sljedeću tehniku.
Najlakši način da se dokaže Pitagorin teorem. Recenzije
Povjesničari vjeruju da je ova metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema još u drevnoj Grčkoj. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate lik, tada će biti jasno vidljiv dokaz tvrdnje da je 2 + u 2 \u003d c 2.
Uvjeti za ovu metodu malo će se razlikovati od prethodne. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.
Hipotenuzu AC uzimamo kao stranicu kvadrata i podređujemo njegove tri strane. Pored toga, u rezultirajućem kvadratu trebate nacrtati dvije dijagonalne linije. Tako da se unutar njega nalaze četiri jednakokračna trokuta.
Također trebate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i ucrtati po jednu dijagonalnu liniju u svaku od njih. Prva linija povučena je iz vrha A, druga iz C.
Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da na AC hipotenuzi postoje četiri trokuta jednaka prvobitnom i dva na katetama, to ukazuje na istinitost ove teoreme.
Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja pitagorejskog teorema rođena je poznata fraza: „ Pitagorine hlače su jednaki u svim smjerovima. "
Dokaz J. Garfielda
James Garfield je 20. predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio traga u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadarena samouka osoba.
Na početku karijere bio je običan učitelj u narodnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvojem omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorinog teorema. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.
Prvo trebate nacrtati dva pravokutna trokuta na listu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trokuta trebaju biti povezani kako bi na kraju stvorili trapez.
Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polus zbira njegovih osnova i visine.
S \u003d a + b / 2 * (a + b)
Ako rezultirajući trapez smatramo likom koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može naći na sljedeći način:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2
Sada morate izjednačiti dva originalna izraza
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2
c 2 \u003d a 2 + b 2
O Pitagorinom teoremu i metodama njegovog dokazivanja može se napisati više od jednog sveska udžbenika. Ali ima li smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?
Praktična primjena Pitagorinog teorema
Nažalost, u modernom školski programi upotreba ovog teorema predviđena je samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školske zidove, nikad ne znajući kako svoje znanje i vještine mogu primijeniti u praksi.
U stvari, upotrijebite Pitagorin teorem u svom svakodnevni život svi mogu. I ne samo u profesionalna aktivnost, ali i u uobičajenim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.
Veza između teorema i astronomije
Čini se kako se zvijezde i trokuti na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je naučno područje u kojem se Pitagorin teorem široko koristi.
Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog zraka u svemiru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazvana je putanja AB, kojom se svjetlosni snop kreće l. I polovina vremena potrebno je da svjetlost dođe od točke A do točke B, nazovimo t... I brzina snopa - c. Ispada da: c * t \u003d l
Ako upravo ovaj zrak pogledate iz druge ravni, na primjer, iz svemirske obloge koja se kreće brzinom v, tada će se takvim promatranjem tijela njihova brzina promijeniti. U tom će se slučaju čak i nepokretni elementi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.
Recimo da komični brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih se zrak baca, pomaknuti ulijevo. Štoviše, kada se snop pomakne od točke A do točke B, točka A ima vremena za pomicanje i, u skladu s tim, svjetlost će već stići u novu točku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se točka A pomaknula, morate pomnožiti brzinu košuljice sa polovinom vremena putovanja snopa (t ").
A da biste pronašli udaljenost koju bi zrak svjetlosti mogao prijeći za to vrijeme, trebate označiti polovinu puta novim slovima s i dobiti sljedeći izraz:
Ako zamislimo da su točke svjetlosti C i B, kao i svemirska obloga vrhovi jednakokračnog trokuta, tada će ga segment od točke A do obloge podijeliti u dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla preći.
Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo nekolicina može imati dovoljno sreće da ga isproba u praksi. Stoga ćemo razmotriti prizemnije primjene ovog teorema.
Polumjer prenosa mobilnog signala
Savremeni život već je nemoguće zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali da li bi im bilo od velike koristi ako ne bi mogli povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije?!
Kvalitet mobilne komunikacije direktno zavisi od visine antene mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko telefon može primiti signal s mobilnog tornja, možete primijeniti Pitagorin teorem.
Recimo da trebate pronaći približnu visinu nepokretnog tornja kako bi mogao širiti signal u radijusu od 200 kilometara.
AB (visina tornja) \u003d x;
Avion (radijus prenosa signala) \u003d 200 km;
OS (radijus globusa) \u003d 6380 km;
OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x
Primjenjujući Pitagorin teorem, otkrivamo da bi minimalna visina kule trebala biti 2,3 kilometra.
Pitagorin teorem u svakodnevnom životu
Čudno, Pitagorin teorem može biti koristan čak i u svakodnevnim stvarima, kao što je, na primjer, određivanje visine garderobe. Na prvi pogled nije potrebno koristiti tako složene proračune, jer možete jednostavno vršiti mjerenja vrpcom. Ali mnogi se pitaju zašto se određeni problemi javljaju tijekom procesa montaže, ako su sva mjerenja izvršena više nego tačno.
Činjenica je da se garderoba sastavlja u vodoravnom položaju i tek tada se podiže i postavlja uza zid. Stoga bi strana ormara u procesu podizanja konstrukcije trebala slobodno prolaziti i po visini i dijagonalno prema sobi.
Pretpostavimo da imate ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do plafona - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će vam da visina ormara treba biti manja za 126 mm od visine sobe. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.
Sa idealnim dimenzijama ormara provjeravamo djelovanje Pitagorinog teorema:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - sve se konvergira.
Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. Zatim:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu sobu. Budući da ga podizanje u vertikalni položaj može oštetiti njegovo tijelo.
Možda, razmotrivši različite načine dokazivanja pitagorejskog teorema od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je to više nego istina. Sada možete koristiti informacije primljene u vašem svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.
»Uvaženi profesor matematike na Univerzitetu Warwick, poznati popularizator nauke Ian Stewart, posvećen ulozi brojeva u istoriji čovječanstva i važnosti njihovog proučavanja u naše vrijeme.
Pitagorina hipotenuza
Pitagorini trokuti imaju pravi kut i cijele stranice. Najjednostavniji od njih ima najdužu stranicu dužine 5, ostali - 3 i 4. Ukupno postoji 5 pravilnih poliedra. Jednadžba petog stepena ne može se riješiti korištenjem korijena petog stepena - ili bilo kojih drugih korijena. Rešetke na ravni i u trodimenzionalnom prostoru nemaju petokraku simetriju rotacije, pa takve simetrije nema ni u kristalima. Međutim, mogu se naći u rešetkama u četverodimenzionalnom prostoru i u zanimljivim strukturama poznatim pod nazivom kvazikristali.
Hipotenuza najmanjeg pitagorejskog tripleta
Pitagorin teorem kaže da se najduža stranica pravokutnog trokuta (ozloglašena hipotenuza) vrlo jednostavno i lijepo odnosi na druge dvije stranice ovog trokuta: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice.
Tradicionalno ovaj teorem nazivamo imenom Pitagora, ali zapravo je njegova povijest prilično nejasna. Glinene ploče sugeriraju da su drevni Babilonci znali Pitagorin teorem mnogo prije samog Pitagore; slavu otkrivača donio mu je matematički kult pitagorejaca, čije su pristalice vjerovale da je svemir zasnovan na numeričkim zakonima. Drevni autori pripisivali su pitagorejcima - a time i Pitagori - razne matematičke teoreme, ali zapravo nemamo pojma čime se Pitagora bavio. Ne znamo čak ni jesu li pitagorejci mogli dokazati pitagorejski teorem ili su jednostavno vjerovali da je to istina. Ili su, najvjerovatnije, imali uvjerljive dokaze njegove istinitosti, koji bi bez obzira na to bili nedovoljni za ono što danas smatramo dokazom.
Dokazi Pitagore
Prvi poznati dokaz Pitagorinog teorema nalazimo u Euklidovim elementima. Ovo je prilično složen dokaz korištenjem crteža na kojem bi viktorijanski školarci odmah prepoznali "pitagorejske hlače"; crtež zaista podsjeća na gaće koje se suše na užetu. Poznate su doslovno stotine drugih dokaza, od kojih većina čini argumentiranu tvrdnju očiglednijom.
// sl. 33. Pitagorine hlače
Jedan od najjednostavnijih dokaza je vrsta matematičke slagalice. Uzmite bilo koji pravokutni trokut, napravite četiri kopije i sakupite ih u kvadrat. S jednim slaganjem vidimo kvadrat na hipotenuzi; s druge strane, kvadratići na druge dvije strane trokuta. Štaviše, jasno je da su površine u oba slučaja jednake.
// sl. 34. Lijevo: kvadrat na hipotenuzi (plus četiri trokuta). Desno: zbroj kvadrata na druge dvije stranice (plus ista četiri trokuta). Sada izuzmite trokute
Perigalovo seciranje je još jedna zagonetka.
// sl. 35. Disekcija perigala
Tu je i dokaz teoreme koja koristi pakovanje kvadrata u ravni. Možda su tako pitagorejci ili njihovi nepoznati prethodnici otkrili ovu teoremu. Ako pogledate kako se kosi kvadrat preklapa sa dva druga kvadrata, možete vidjeti kako veliki kvadrat izrezati na komade, a zatim ih preklopiti u dva manja kvadrata. Također možete vidjeti pravokutne trokute, čije stranice daju dimenzije tri uključena kvadrata.
// sl. 36. Dokaz za asfaltiranje
Postoje zanimljivi dokazi koji koriste slične trokute u trigonometriji. Poznato je najmanje pedeset različitih dokaza.
Pitagorine trojke
U teoriji brojeva, pitagorejski teorem postao je izvor plodne ideje: pronaći cjelovita rješenja algebarskih jednadžbi. Pitagorina trojka je skup cijelih brojeva a, b i c takav da
Geometrijski, ova trojka definira pravokutni trokut sa cjelobrojnim stranicama.
Najmanja hipotenuza pitagorejskog tripleta je 5.
Druge dvije stranice ovog trokuta su 3 i 4. Ovdje
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Sljedeća najveća hipotenuza je 10 jer
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Međutim, ovo je u osnovi isti trokut s udvostručenim stranicama. Sljedeća najveća i zaista različita hipotenuza je 13, za nju
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklid je znao da postoji beskonačan broj različitih varijanti pitagorejskih trojki i dao je ono što se može nazvati formulom za pronalaženje svih. Kasnije je Diofant Aleksandrijski predložio jednostavan recept koji se u osnovi podudarao s euklidskim.
Uzmite bilo koja dva prirodna broja i izračunajte:
njihov udvostručeni rad;
razlika između njihovih kvadrata;
zbroj njihovih kvadrata.
Tri rezultirajuća broja bit će stranice pitagorejskog trokuta.
Uzmimo, na primjer, brojeve 2 i 1. Izračunajte:
dvostruki proizvod: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
razlika kvadrata: 22 - 12 \u003d 3;
zbroj kvadrata: 22 + 12 \u003d 5,
i dobili smo poznati trokut 3-4-5. Ako umjesto toga uzmemo brojeve 3 i 2, dobit ćemo:
dvostruki proizvod: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
razlika kvadrata: 32 - 22 \u003d 5;
zbroj kvadrata: 32 + 22 \u003d 13,
i dobivamo sljedeći najpoznatiji trokut 5 - 12 - 13. Pokušajmo uzeti brojeve 42 i 23 i dobiti:
dvostruki proizvod: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
razlika kvadrata: 422 - 232 \u003d 1235;
zbroj kvadrata: 422 + 232 \u003d 2293,
niko nikada nije čuo za trokut 1235-1932-2293.
Ali i ovi brojevi rade:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Postoji još jedna značajka u diofantskom pravilu, koja je već nagoviještena: primivši tri broja, možemo uzeti još jedan proizvoljan broj i sve ih pomnožiti. Tako se trokut 3–4–5 može transformirati u trokut 6–8–10 množenjem svih stranica s 2 ili u trokut 15–20–25 množenjem svega 5.
Ako pređemo na jezik algebre, pravilo poprima sljedeći oblik: neka su u, v i k prirodni brojevi. Zatim pravokutni trokut sa stranicama
2kuv i k (u2 - v2) ima hipotenuzu
Postoje i drugi načini iznošenja glavne ideje, ali svi se svode na gore opisani. Ova metoda vam omogućava da dobijete sve pitagorejske trojke.
Pravilni poliedri
Postoji tačno pet pravilnih poliedra. Pravilni poliedar (ili poliedar) je trodimenzionalna figura s konačnim brojem ravnih lica. Lica se međusobno konvergiraju na linijama koje se nazivaju ivice; ivice se sastaju u tačkama koje se nazivaju vrhovi.
Vrhunac euklidskih "Početaka" dokaz je da može postojati samo pet pravilnih poliedara, odnosno poliedara u kojima je svako lice pravilni poligon (jednake stranice, jednaki uglovi), sva su lica identična i svi vrhovi su okruženi jednakim brojem jednako razmaknutih lica. Evo pet pravilnih poliedara:
tetraedar sa četiri trokutaste stranice, četiri temena i šest ivica;
kocka ili heksaedar, sa 6 kvadratnih stranica, 8 vrhova i 12 ivica;
oktaedar sa 8 trokutastih stranica, 6 vrhova i 12 ivica;
dodekaedar sa 12 peterokutnih stranica, 20 vrhova i 30 ivica;
ikosaedar sa 20 trokutastih stranica, 12 vrhova i 30 ivica.
// sl. 37. Pet pravilnih poliedara
Redovni poliedri mogu se naći i u prirodi. 1904. godine Ernst Haeckel objavio je crteže sićušnih organizama poznatih kao radiolarijanci; mnogi od njih oblikom podsjećaju na pet pravilnih poliedara. Možda je, međutim, malo ispravio prirodu, a crteži ne odražavaju u potpunosti oblik određenih živih bića. Prve tri strukture su također uočene u kristalima. U kristalima nećete naći dodekaedar i ikosaedar, iako tamo ponekad nailaze nepravilni dodekaedri i ikosaedri. Pravi dodekaedri mogu se pojaviti kao kvazikristali, koji su u svemu slični kristalima, osim što njihovi atomi ne čine periodičnu rešetku.
// sl. 38. Haeckelovi crteži: radiolarijani u obliku pravilnih poliedra
// sl. 39. Razvoj pravilnih poliedra
Može biti zanimljivo napraviti modele pravilnih poliedara od papira tako što ćete prethodno izrezati skup međusobno povezanih lica - to se naziva rasklapanje poliedra; skeniranje je presavijeno duž ivica i odgovarajuće ivice su zalijepljene. Korisno je dodati jedan dodatak ljepila na jedan od rubova svakog takvog para, kao što je prikazano na sl. 39. Ako takvog područja nema, možete koristiti ljepljivu traku.
Jednačina petog stepena
Ne postoji algebarska formula za rješavanje jednadžbi 5. stepena.
Općenito, jednadžba petog stepena izgleda ovako:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.
Problem je pronaći formulu za rješenja takve jednadžbe (može imati do pet rješenja). Iskustvo bavljenja kvadratnim i kubnim jednadžbama, kao i jednadžbama četvrtog stepena, sugerira da bi takva formula trebala postojati i za jednadžbe petog stepena, a u teoriji bi se u njoj trebali pojaviti korijeni petog, trećeg i drugog stepena. Opet, možemo sa sigurnošću pretpostaviti da će takva formula, ako postoji, biti vrlo, vrlo teška.
Ispostavilo se da je ta pretpostavka na kraju bila pogrešna. Zaista, takva formula ne postoji; barem ne postoji formula koeficijenata a, b, c, d, e i f, konstruisana sabiranjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem i ekstrakcijom korijena. Dakle, postoji nešto vrlo posebno u vezi s brojem 5. Razlozi za ovo neobično ponašanje petorice vrlo su duboki i trebalo je dugo vremena da ih se razumije.
Prvi znak problema bio je u tome što, koliko god su se matematičari trudili pronaći takvu formulu, bez obzira koliko bili pametni, oni su uvijek propadali. Neko su vrijeme svi vjerovali da se razlozi kriju u nevjerovatnoj složenosti formule. Vjerovalo se da niko jednostavno ne može pravilno razumjeti ovu algebru. Međutim, s vremenom su neki matematičari počeli sumnjati da takva formula uopće postoji, a 1823. godine Niels Hendrik Abel uspio je dokazati suprotno. Ne postoji takva formula. Ubrzo nakon toga, Evariste Galois je pronašao način da utvrdi da li je jednačina jednog ili drugog stepena - 5., 6., 7., općenito bilo koja - rješiva \u200b\u200b- koristeći ovu vrstu formule.
Zaključak iz svega ovoga je jednostavan: broj 5 je poseban. Možete riješiti algebarske jednadžbe (koristeći korijeni nth stepeni za različite vrednosti n) za stepene 1, 2, 3 i 4, ali ne i za 5. stepen. Tu se očiti obrazac završava.
Nikog ne iznenađuje da se jednadžbe moći veće od 5 ponašaju još gore; s njima je posebno povezana ista poteškoća: ne opšte formule da ih reši. To ne znači da jednadžbe nemaju rješenja; to takođe ne znači da je nemoguće pronaći vrlo precizne numeričke vrijednosti ovih rješenja. Sve je u vezi s ograničenjima tradicionalnih alata algebre. To podsjeća na nemogućnost trisekcije ugla ravnalom i šestarom. Odgovor postoji, ali navedene metode su nedovoljne i ne dopuštaju vam da utvrdite o čemu se radi.
Kristalografsko ograničenje
Kristali u dvije i tri dimenzije nemaju rotacijsku simetriju sa pet zraka.
Atomi u kristalu tvore rešetku, odnosno strukturu koja se periodično ponavlja u nekoliko neovisnih pravaca. Na primjer, uzorak na tapeti se ponavlja duž duljine role; pored toga, obično se ponavlja vodoravno, ponekad sa pomicanjem s jednog komada tapeta na drugi. U osnovi, tapeta je dvodimenzionalni kristal.
Postoji 17 vrsta ravnih tapeta (vidi poglavlje 17). Razlikuju se u vrstama simetrije, odnosno u načinima krutog pomicanja crteža tako da tačno leži na sebi u svom prvobitnom položaju. Tipovi simetrije uključuju, posebno, različite opcije simetrija rotacije, pri čemu crtež treba rotirati za određeni ugao oko određene tačke - centra simetrije.
Redoslijed rotacije simetrije je koliko se puta tijelo može rotirati do punog kruga tako da se svi detalji crteža vrate u svoje prvobitne položaje. Na primjer, rotacija od 90 ° je simetrija rotacije 4. reda *. Popis mogućih tipova rotacione simetrije u kristalnoj rešetki ponovo upućuje na neobičan broj 5: njega nema. Postoje opcije sa simetrijom rotacije 2, 3, 4 i 6. reda, ali nijedna pozadina nema rotacijsku simetriju 5. reda. Simetrija rotacije reda više od 6 u kristalima također ne postoji, ali prvo kršenje niza ipak se događa kod broja 5.
Isto se događa sa kristalografskim sistemima u trodimenzionalnom prostoru. Ovdje se mreža ponavlja u tri nezavisna smjera. Postoji 219 različitih vrsta simetrije ili 230 ako računate zrcalni odraz crtanje kao njegova zasebna verzija - uprkos činjenici da u ovom slučaju ne postoji zrcalna simetrija. Opet se uočavaju simetrije rotacije redova 2, 3, 4 i 6, ali ne i 5. Ova činjenica naziva se kristalografsko ograničenje.
U četverodimenzionalnom prostoru postoje rešetke sa simetrijom 5. reda; općenito, za rešetke dovoljno velike dimenzije moguć je bilo koji unaprijed određeni redoslijed rotacije simetrije.
// sl. 40. Kristalna ćelija kuhinjska so. Tamne kuglice predstavljaju atome natrijuma, a svijetle - atome hlora
Kvazikristali
Iako rotacijska simetrija 5. reda nije moguća u 2D i 3D rešetkama, ona može postojati u nešto manje pravilnim strukturama poznatim pod nazivom kvazikristali. Koristeći Keplerove skice, Roger Penrose otkrio je planarne sisteme s općenitijim tipom peterostruke simetrije. Zovu se kvazikristali.
Kvazikristali postoje u prirodi. 1984. Daniel Shechtman otkrio je da legura aluminijuma i mangana može stvarati kvazikristale; u početku su kristalografi njegovu poruku dočekali s određenim skepticizmom, ali kasnije je otkriće potvrđeno, a 2011. Shekhtman je nagrađen nobelova nagrada u hemiji Tim naučnika pod vodstvom Luke Bindija 2009. godine otkrio je kvazikristale u mineralu iz ruskog gorja Koryak - kombinaciji aluminijuma, bakra i gvožđa. Danas se ovaj mineral naziva ikozaedrit. Nakon što su masenim spektrometrom izmjerili sadržaj različitih izotopa kiseonika u mineralu, naučnici su pokazali da ovaj mineral nije porijeklom sa Zemlje. Nastao je prije otprilike 4,5 milijardi godina, u vrijeme kada je Sunčev sistem tek nastajao, i provodio je većinu vremena u pojasu asteroida, kružeći oko Sunca, sve dok neki poremećaj nije promijenio svoju orbitu i odveo ga na kraju do Zemlja.
// sl. 41. Lijevo: jedna od dvije kvazikristalne rešetke s pet puta tačnom simetrijom. Desno: atomski model ikozaedarskog kvazikristala aluminijum-paladijum-mangan
Pitagorine hlače Komično ime za Pitagorinu teoremu nastalo je zbog činjenice da kvadrati izgrađeni na bočnim stranama pravokutnika i razilazeći se u različitim smjerovima nalikuju kroju hlača. Volio sam geometriju ... a na prijemnom ispitu za univerzitet dobio sam čak i pohvale od profesora matematike Čumakova za objašnjenje svojstava paralelnih linija i pitagorejskih hlača bez daske, crtanje u zraku rukama (N. Pirogov. Dnevnik starog ljekara).
Frazeološki rečnik ruskog književnog jezika. - M.: Astrel, AST... A. I. Fedorov. 2008.
Pogledajte što je "pitagorejske hlače" u drugim rječnicima:
Hlače - nabavite ispravni SuperStep kupon za popust na Akademiku ili kupite jeftine hlače s besplatnom dostavom na akciji u SuperStepu
Pitagorine hlače - ... Wikipedia
Pitagorine hlače - Zharg. shk. Shuttle. Pitagorin teorem, koji uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta. BTS, 835 ... Veliki rječnik ruskih izreka
pitagorejske hlače - Šaljivi naziv Pitagorinog teorema, kojim se uspostavlja odnos između područja kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i nogu pravokutnog trokuta, koji na slikama izgleda kao kroj hlača ... Rječnik mnogih izraza
pitagorejske hlače (šminka) - fusnota: o nadarenoj osobi Usp. Ovo je nesumnjivi mudrac. U davna vremena vjerojatno bi izumio pitagorejske hlače ... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine hlače (geom.): U pravokutniku je kvadrat hipotenuze jednak kvadratima nogu (doktrina ... Michelsonov veliki objašnjavajući frazeološki rječnik
Pitagorine hlače jednake su sa svih strana - Broj dugmadi je poznat. Zašto kurac skučen? (otprilike) o pantalonama i muškim genitalijama. Pitagorine hlače jednake su sa svih strana. Da bismo to dokazali, potrebno je ukloniti i pokazati 1) o Pitagorinom teoremu; 2) o širokim pantalonama ... Govor uživo. Rječnik kolokvijalnih izraza
Pitagorine gaće čine - Piѳagorov hlače (izmisliti) čarapu. o nadarenom muškarcu. Sre Ovo je nesumnjivi mudrac. U antici bi vjerovatno izumio Piѳagorove hlače ... Saltykov. Šarolika slova. Pantalone Piѳagorov (geom.): U pravokutnom kvadratu hipotenuze ... ... Michelsonov veliki objasnidbeni i frazeoloski rjecnik (izvorni pravopis)
Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima - Šaljivi dokaz Pitagorinog teorema; šalim se i sa širokim širokim pantalonama ... Rječnik narodne frazeologije
Npr. Rude ...
PYTHAGOROVE HLAČE NA SVIM STRANAMA SU JEDNAKE (BROJ GUMBOVA JE POZNAT. ZAŠTO JE JEBAN TESKO? - pril., bezobrazno ... Objašnjavajući rječnik modernih kolokvijalnih frazeoloških jedinica i izreka
hlače - imenica, množina, uptr. cf. često Morfologija: mn. šta? pantalone, (ne) šta? pantalone, zašto? pantalone, (vidi) šta? pantalone šta? pantalone o čemu? o hlačama 1. Hlače su odjevni komadi koji imaju dvije kratke ili duge noge i pokrivaju donji dio ... ... Objašnjenji rječnik Dmitrijev
Knjige
- Pitagorejske hlače ,. U ovoj knjizi pronaći ćete fantaziju i avanturu, čuda i fikciju. Smiješno i tužno, obično i misteriozno ... Što je još potrebno za zabavno čitanje? Glavno je imati ...
Rimski arhitekta Vitruvije izdvojio je pitagorejski teorem "iz brojnih otkrića koja su pružala usluge razvoju ljudskog života" i pozvao da se prema njemu ophodimo s najvećim poštovanjem. Bilo je to u 1. stoljeću prije nove ere. e. Na prijelazu između XVI-XVII vijeka, poznati njemački astronom Johannes Kepler nazvao ga je jednim od bogatstava geometrije, uporedivog sa mjerom zlata. Malo je vjerojatno da će u čitavoj matematici biti značajnija i značajnija izjava, jer u pogledu broja znanstvenih i praktičnih primjena Pitagorin teorem nema premca.
Pitagorin teorem za slučaj jednakokrakog pravokutnog trokuta.
Nauka i život // Ilustracije
Ilustracija pitagorejskog teorema iz "Traktata o mjernom polu" (Kina, III vijek p. N. E.) I dokaz rekonstruisan na njegovoj osnovi.
Nauka i život // Ilustracije
S. Perkins. Pitagora.
Nacrt za mogući dokaz Pitagore.
"Pitagorin mozaik" i an-Nayrizijeva pločica od tri kvadrata u dokazu Pitagorinog teorema.
P. de Hooch. Domaćica i sobarica u dvorištu. Oko 1660.
J. Ohtervelt. Lutajući muzičari na vratima bogate kuće. 1665 godina.
Pitagorine hlače
Pitagorin teorem je možda najprepoznatljiviji i nesumnjivo najpoznatiji u istoriji matematike. U geometriji se koristi doslovno u svakom koraku. Uprkos jednostavnosti formulacije, ovaj teorem nije nimalo očit: gledanje pravokutnog trokuta sa stranicama a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Brojke prikazane na sl. 1 i 2, nalikuju najjednostavnijem ukrasu kvadrata i njihovih jednakih dijelova - geometrijskom uzorku poznatom od davnina. Oni mogu u potpunosti pokriti avion. Matematičar bi takvo pokrivanje ravni poligonima nazvao parket ili popločavanje. Kakve veze Pitagora ima s tim? Ispostavilo se da je prvi riješio problem ispravnih parketa, čime je započelo proučavanje popločavanja. različite površine... Dakle, Pitagora je pokazao da ravan oko tačke može biti pokrivena bez razmaka samo jednakim pravilnim poligonima tri vrste: šest trokuta, četiri kvadrata i tri šesterokuta.
4000 godina kasnije
Istorija pitagorejskog teorema seže u antičko doba. Spominje se u babilonskim klinastim tekstovima iz doba kralja Hamurabija (XVIII vijek p. N. E.), Odnosno 1200 godina prije rođenja Pitagore. Teorem je korišten kao gotovo pravilo u mnogim problemima, od kojih je najjednostavnije pronaći dijagonalu kvadrata uz njegovu stranu. Moguće je da su Babilonci dobili odnos a 2 + b 2 \u003d c 2 za proizvoljan pravokutni trokut jednostavnim "generaliziranjem" jednakosti a 2 + a 2 \u003d c 2. Ali to im je oprostivo - za praktičnu geometriju starih, koja se svela na mjerenja i proračune, nije bilo potrebno strogo opravdanje.
Sada, gotovo 4000 godina kasnije, imamo posla s teoremom koja drži rekord u broju mogućih dokaza. Inače, njihovo prikupljanje je duga tradicija. Vrhunac interesa za Pitagorin teorem pao je na drugi polovina XIX - početak XX veka. A ako su prve zbirke sadržavale ne više od dva ili tri desetine dokaza, onda se krajem 19. stoljeća njihov broj približio stotinama, a nakon još pola stoljeća premašio je 360, a to su samo one koje su prikupljene iz različitih izvora. Tko nije preuzeo rješenje ovog vječnog zadatka - od eminentnih naučnika i popularizatora znanosti do kongresmena i školaraca. I što je izvanredno, u originalnosti i jednostavnosti rješenja, neki amateri nisu bili inferiorni od profesionalaca!
Najdrevniji dokazi Pitagorine teoreme koji su došli do nas stari su oko 2300 godina. Jedan od njih - strogi aksiomatik - pripada drevnom grčkom matematičaru Euklidu, koji je živio u 4.-3. Stoljeću prije nove ere. e. U knjizi I o elementima Pitagorin teorem naveden je kao prijedlog 47. Naj grafički i najljepši dokazi temelje se na preoblikovanju "pitagorejskih hlača" Izgledaju poput nezgodne zagonetke kvadratnog rezanja. Ali neka se komadi pravilno kreću - i oni će vam otkriti tajnu čuvene teoreme.
Evo elegantnog dokaza dobijenog na osnovu crteža iz jedne drevne kineske rasprave (slika 3) i odmah postaje jasna njegova povezanost s problemom udvostručavanja kvadrata.
To je dokaz da je sedmogodišnji Guido, prezgodni junak pripovijetke engleskog pisca Aldousa Huxleyja "Mali Arhimed", pokušao objasniti svom mlađem prijatelju. Zanimljivo je da je pripovjedač, koji je promatrao ovu sliku, primijetio jednostavnost i uvjerljivost dokaza, pa ga je pripisao ... samom Pitagori. I ovdje glavni lik Fantastična priča Evgenija Veltistova "Elektronik - dječak iz kofera" znala je 25 dokaza Pitagorine teoreme, uključujući one koje je dao Euclid; istina, greškom ga je nazvao najjednostavnijim, iako zapravo u modernom izdanju "Elemenata" zauzima jednu i po stranicu!
Prvi matematičar
Pitagora sa Samosa (570.-495. P. N. E.), Čije je ime već dugo neraskidivo povezano sa izuzetnom teoremom, u određenom se smislu može nazvati prvim matematičarom. S njim matematika započinje kao egzaktna nauka, gdje svako novo znanje nije rezultat vizualnih predstava i pravila izvedenih iz iskustva, već rezultat logičnog zaključivanja i zaključivanja. To je jedini način da se jednom zauvijek utvrdi istinitost bilo kojeg matematičkog prijedloga. Prije Pitagore, koristila se samo deduktivna metoda drevni grčki filozof i naučnika Talesa iz Mileta, koji je živio na prijelazu iz 7. u 6. stoljeće prije nove ere. e. Izrazio je samu ideju dokaza, ali je nije primijenio sistematski, selektivno, u pravilu na očigledne geometrijske tvrdnje poput "promjer dijeli krug na pola". Pitagora je otišao mnogo dalje. Smatra se da je on uveo prve definicije, aksiome i metode dokazivanja, a stvorio je i prvi kurs iz geometrije, poznat starim Grcima pod imenom "Pitagorina tradicija". Takođe je stajao u izvorima teorije brojeva i stereometrije.
Još jedna važna Pitagorina zasluga je osnivanje slavne škole matematičara, koja je više od jednog veka odredila razvoj ove nauke u Drevnoj Grčkoj. Pojam "matematika" (od grčke riječi μαθημa - poučavanje, nauka) također je povezan s njegovim imenom, objedinjujući četiri povezane discipline sistema znanja koje su stvorili Pitagora i njegovi pristaše, pitagorejci: geometrija, aritmetika, astronomija i harmonika.
Nemoguće je odvojiti Pitagorina dostignuća od postignuća njegovih učenika: slijedeći običaj, svom su Učitelju pripisivali vlastite ideje i otkrića. Rani pitagorejci nisu ostavljali nijedan sastav, sve su informacije međusobno prenosili usmeno. Tako 2.500 godina kasnije, istoričari nemaju drugog izbora nego da rekonstruišu izgubljeno znanje iz transkripcija drugih, kasnijih autora. Odajmo počast Grcima: iako su ime Pitagora okružili mnogim legendama, nisu mu pripisali ništa što nije mogao otkriti ili razviti u teoriju. I teorema koja nosi njegovo ime nije izuzetak.
Tako jednostavan dokaz
Nije poznato da li je Pitagora sam otkrio vezu između dužina stranica u pravokutnom trokutu ili je pozajmio ovo znanje. Drevni autori tvrdili su da je i on sam volio prepričavati legendu o tome kako je, u čast svog otkrića, Pitagora žrtvovao bika. Savremeni istoričari imaju tendenciju da veruju da je on naučio o toj teoremi upoznavanjem matematike Babilonaca. Također ne znamo u kojem je obliku Pitagora formulirao teoremu: aritmetički, kao što je to danas uobičajeno, - kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu, ili geometrijski, u duhu starih, - kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na noge.
Smatra se da je Pitagora dao prvi dokaz teoreme koja nosi njegovo ime. To, naravno, nije preživjelo. Prema jednoj verziji, Pitagora je mogao koristiti doktrinu proporcija razvijenu u njegovoj školi. Na njemu se posebno temeljila teorija sličnosti na kojoj se temelji obrazloženje. Nacrtajte pravokutni trokut s krakovima a i b visine do hipotenuze c. Dobili smo tri slična trokuta, uključujući originalni. Njihove odgovarajuće stranice su proporcionalne, a: c \u003d m: a i b: c \u003d n: b, odakle su a 2 \u003d c m i b 2 \u003d c n. Tada je a 2 + b 2 \u003d \u003d c · (m + n) \u003d c 2 (slika 4).
Ovo je samo rekonstrukcija koju je predložio jedan od povjesničara znanosti, ali dokaz je, vidite, prilično jednostavan: potrebno je samo nekoliko redaka, ne trebate ništa dovršiti, precrtati, izračunati ... Nije iznenađujuće što je ponovno otkriven više puta. Sadrži ga, na primjer, "Geometrijska praksa" Leonarda iz Pise (1220) i još uvijek se citira u udžbenicima.
Ovaj dokaz nije proturječio idejama pitagorejaca o srazmjerljivosti: u početku su vjerovali da se odnos dužina bilo koja dva segmenta, a time i površina pravocrtnih figura, može izraziti pomoću prirodnih brojeva. Nisu uzeli u obzir nikakve druge brojeve, nisu čak ni dopustili razlomke, zamjenjujući ih odnosima 1: 2, 2: 3 itd. Međutim, ironično je da je Pitagorin teorem taj koji je Pitagorejce odveo do otkrića nesumjerljivosti dijagonale kvadrata i njegove strane. Svi pokušaji numeričkog predstavljanja dužine ove dijagonale - za jedinični kvadrat jednak je √2 - nisu vodili nikamo. Pokazalo se da je lakše dokazati da je problem nerješiv. U takvom slučaju matematičari imaju dokazanu metodu - dokaz kontradikcijom. Inače, pripisuje ga se i Pitagori.
Postojanje odnosa koji nije izražen u prirodnim brojevima okončalo je mnoge pitagorejske ideje. Postalo je jasno da brojevi koje su znali nisu dovoljni za rješavanje ni jednostavnih problema, a kamoli za svu geometriju! Ovo otkriće bilo je prekretnica u razvoju grčke matematike, njenog središnjeg problema. Isprva je to dovelo do razvoja doktrine nesrazmjernih veličina - iracionalnosti, a zatim - do proširenja koncepta broja. Drugim riječima, s njim je započela vjekovna istorija istraživanja skupa realnih brojeva.
Pitagorin mozaik
Ako avion prekrite kvadratima dvije različite veličine, okružujući svaki mali kvadrat sa četiri velika, dobit ćete parket "Pitagorin mozaik". Takav uzorak već dugo krasi kamene podove, podsjećajući na drevne dokaze Pitagorine teoreme (otuda i njegovo ime). Primjenom kvadratne rešetke na parket na različite načine, možete dobiti pregrade kvadrata izgrađene na stranama pravokutnog trokuta, koje su predložili različiti matematičari. Na primjer, ako mrežu rasporedite tako da se svi njezini čvorovi podudaraju s gornjim desnim vrhovima malih kvadrata, fragmenti crteža pojavit će se kao dokaz srednjovjekovnog perzijskog matematičara al-Nayrizija, koji je stavio u komentare na Euclidove početke. Lako je uočiti da je zbroj površina velikog i malog kvadrata, izvornih elemenata parketa, jednak površini jednog kvadrata mreže koja je na njega postavljena. A to znači da je navedena podjela zaista pogodna za polaganje parketa: povezivanjem rezultirajućih poligona u kvadrate, kao što je prikazano na slici, možete ispuniti cijelu ravninu njima bez praznina i preklapanja.
Pitagorin teorem poznat je svima još od školskih dana. Istaknuti matematičar dokazao je sjajnu hipotezu koju mnogi ljudi danas koriste. Pravilo zvuči ovako: kvadrat dužine hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta. Mnogo decenija nijedan matematičar nije bio u stanju argumentirati ovo pravilo. Napokon, Pitagora je dugo išao ka svom cilju, da bi se, kao rezultat, crteži odvijali u svakodnevnom životu.
- Mali stih ove teoreme, koji je izmišljen ubrzo nakon dokaza, izravno dokazuje svojstva hipoteze: "Pitagorine hlače jednake su u svim smjerovima." Ovaj dvoredni niz mnogih ostao je u sjećanju - do danas se pjesma pamti u proračunima.
- Ovaj je teorem nazvan "pitagorejske hlače" zbog činjenice da se prilikom crtanja u sredini dobio pravokutni trokut na čijim su bočnim stranama bili kvadrati. Izgledom je ovaj crtež nalikovao hlačama - otuda i naziv hipoteze.
- Pitagora je bio ponosan na razvijenu teoremu, jer se ova hipoteza razlikuje od sličnih maksimalnom količinom dokaza. Važno: Jednadžba je unesena u Guinnessovu knjigu rekorda zbog 370 istinitih dokaza.
- Hipotezu je na mnogo načina dokazao ogroman broj matematičara i profesora iz različitih zemalja.... Engleski matematičar Jones ubrzo je objavio da je hipoteza to dokazala pomoću diferencijalne jednadžbe.
- Trenutno niko ne zna dokaz teoreme od samog Pitagore... Činjenice o dokazima matematičara danas nisu nikome nepoznate. Smatra se da je dokaz Euklidovih crteža dokaz Pitagore. Međutim, neki se znanstvenici prepiru s ovom izjavom: mnogi vjeruju da je Euklid samostalno dokazao teoremu, bez pomoći tvorca hipoteze.
- Današnji naučnici otkrili su da veliki matematičar nije prvi otkrio ovu hipotezu.... Jednadžba je bila poznata mnogo prije otkrića Pitagore. Ovaj je matematičar uspio samo ponovo povezati hipotezu.
- Pitagora nije imenovao jednadžbu "Pitagorin teorem"... Ovo se ime zadržalo nakon "glasne dvoredke". Matematičar je samo želio da njegove napore i otkrića prepozna i koristi cijeli svijet.
- Moritz Kantor - veliki izvanredni matematičar koji je crtežima pronađen i prepoznat na starim zapisima o papirusima... Ubrzo nakon toga, Cantor je shvatio da su taj teorem Egipćani znali već 2300. pne. Tek tada je niko nije koristio i nije pokušao dokazati.
- Sadašnji naučnici vjeruju da je hipoteza bila poznata već u 8. stoljeću prije nove ere... Indijski naučnici tog vremena otkrili su približni proračun hipotenuze trokuta obdarenog pravim uglom. Istina, u to vrijeme niko nije mogao sa sigurnošću dokazati jednadžbu grubim proračunima.
- Veliki matematičar Bartel van der Waerden, nakon što je dokazao hipotezu, zaključio je važan zaključak: „Zaslugom grčkog matematičara ne smatra se otkriće pravca i geometrije, već samo njegovo opravdanje. U rukama Pitagore bile su računske formule koje su se temeljile na pretpostavkama, nepreciznim proračunima i nejasnim idejama. Međutim, izvanredni naučnik uspio je to pretvoriti u tačnu nauku. "
- Poznati pjesnik rekao je da je na dan otvaranja svog crteža podigao slavnu žrtvu bikovima... Nakon otkrića hipoteze proširile su se glasine da je žrtva stotinu bikova "otišla lutati stranicama knjiga i publikacija". Wits i dan danas se šali da se od tada svi bikovi plaše novog otkrića.
- Dokaz da Pitagora nije smislio pjesmu o pantalonama kako bi dokazao crteže koje je iznio: za vrijeme velikog matematičara još nije bilo hlača... Izumljeni su nekoliko decenija kasnije.
- Pekka, Leibniz i nekoliko drugih naučnika pokušali su dokazati ranije poznati teorem, ali niko nije uspio.
- Naziv crteža "Pitagorin teorem" znači "uvjeravanje govorom"... Tako je prevedena riječ Pitagora, što je matematičar uzeo kao pseudonim.
- Razmišljanja Pitagore o njegovom vlastitom vladanju: tajna postojanja na zemlji leži u brojevima... Napokon, matematičar je, oslanjajući se na vlastitu hipotezu, proučavao svojstva brojeva, otkrivao parnost i neobičnost i stvarao proporcije.
Nadamo se da vam se svidio izbor sa slikama - Zanimljivosti o pitagorejskom teoremu: na mreži naučimo nove stvari o poznatom teoremu (15 fotografija) dobrog kvaliteta. Molimo vas da svoje mišljenje ostavite u komentarima! Svako mišljenje nam je važno.
