Katera zaporedja števil se imenujejo monotona. Številčna zaporedja

Če je vsako naravno število n povezano z nekaterim realnim številom x n, potem rečejo, da je dano številčno zaporedje

x 1 , x 2 , … x n , …

Številka x 1 se imenuje član zaporedja s številko 1 ali prvi izraz v zaporedju, številka x 2 - član zaporedja s številko 2 ali drugi član zaporedja itd. Pokliče se število x n član zaporedja oštevilčenn.

Številčna zaporedja lahko določite na dva načina - z in z ponavljajoča se formula.

Zaporedje z formule skupnih izrazov Je naloga zaporedja

x 1 , x 2 , … x n , …

z uporabo formule, ki izraža odvisnost izraza x n od njegovega števila n.

Primer 1. Številčno zaporedje

1, 4, 9, … n 2 , …

podana z uporabo formule skupnega izraza

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Zaporedje z uporabo formule, ki izraža člana zaporedja x n v smislu članov zaporedja s predhodnimi številkami, se imenuje zaporedje z uporabo ponavljajoča se formula.

x 1 , x 2 , … x n , …

poklical naraščajoče zaporedje, več prejšnji član.

Z drugimi besedami, za vsakogar n

x n + 1 > x n

3. primer Zaporedje naravnih števil

1, 2, 3, … n, …

je naraščajoče zaporedje.

Opredelitev 2. Številčno zaporedje

x 1 , x 2 , … x n , …

poklical padajoče zaporedje, če vsak član tega zaporedja manj prejšnji član.

Z drugimi besedami, za vsakogar n \u003d 1, 2, 3, ... neenakost

x n + 1 < x n

4. primer Zaporedje

podana s formulo

je padajoče zaporedje.

5. primer. Številčno zaporedje

1, - 1, 1, - 1, …

podana s formulo

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

ni niti povečuje niti zmanjšuje zaporedje.

Opredelitev 3. Pokličejo se naraščajoča in padajoča številska zaporedja monotona zaporedja.

Omejena in neomejena zaporedja

Opredelitev 4. Številčno zaporedje

x 1 , x 2 , … x n , …

poklical omejena od zgoraj, če je število M takšno, da je vsak član tega zaporedja manj številke M.

Z drugimi besedami, za vsakogar n \u003d 1, 2, 3, ... neenakost

Opredelitev 5. Številsko zaporedje

x 1 , x 2 , … x n , …

poklical omejeno od spodaj, če je število m takšno, da je vsak član tega zaporedja več številke m.

Z drugimi besedami, za vsakogar n \u003d 1, 2, 3, ... neenakost

Opredelitev 6. Številčno zaporedje

x 1 , x 2 , … x n , …

se imenuje omejeno, če je omejena tako zgoraj kot spodaj.

Z drugimi besedami, obstajata številki M in m, ki ustrezata vsem n \u003d 1, 2, 3, ... neenakost

m< x n < M

Definicija 7. Numerična zaporedja, ki niso omejenese imenujejo neomejena zaporedja.

Primer 6. Številčno zaporedje

1, 4, 9, … n 2 , …

podana s formulo

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

omejena od spodajna primer številka 0. Vendar pa to zaporedje neomejeno od zgoraj.

7. primer Zaporedje

podana s formulo

je omejeno zaporedjeker za vse n \u003d 1, 2, 3, ... neenakost

Na naši spletni strani se lahko seznanite tudi z gradivi za usposabljanje, ki so jih pripravili učitelji izobraževalnega centra Resolvent za pripravo na enotni državni izpit in OGE iz matematike.

Za šolarje, ki se želijo dobro pripraviti in opraviti Enotni državni izpit iz matematike ali ruščine za visoko oceno izvaja izobraževalni center Resolvent

pripravljalni tečaji za šolarje v 10. in 11. razredu

Opredelitev 1. Zaporedje se imenuje ne-padajoče [ne-naraščajoče], če vsak element zaporedja, začenši z drugim, ni manjši (ne večji) od njegovega prejšnjega elementa, to je, če je neenakost

Opredelitev 2. Zaporedje se imenuje monotono, če se ne zmanjšuje ali ne povečuje.

Če elementi ne padajočega zaporedja za vsa števila izpolnjujejo strogo neenakost, potem se to zaporedje imenuje naraščajoče.

Podobno, če elementi neraščajočega zaporedja za vsa števila izpolnjujejo strogo neenakost, potem se temu zaporedju reče zmanjševanje.

Upoštevajte, da je vsako monotono zaporedje očitno omejeno na eni strani (zgoraj ali spodaj). Dejansko je vsako neštevajoče zaporedje omejeno od spodaj (vrednost njegovega prvega elementa lahko vzamemo kot spodnjo mejo), vsako nenaraščajoče se zaporedje pa od zgoraj (vrednost njegovega prvega elementa lahko vzamemo tudi kot zgornjo mejo).

Iz tega izhaja, da bo zaporedje, ki se ne zmanjšuje, omejeno na obeh straneh ali preprosto omejeno, če in samo, če je omejeno od zgoraj, nenaraščajoče zaporedje pa omejeno, če in samo, če je omejeno od spodaj.

Oglejmo si primere monotonih zaporedij.

1. Zaporedje se ne zmanjšuje. Od spodaj je omejena z vrednostjo prvega elementa, od zgoraj pa ne.

2. Zaporedje padajoče. Na obeh straneh je omejen: zgoraj z vrednostjo prvega elementa 2, spodaj pa na primer s številom 1.

Definicija1. Kliče se zaporedje zmanjšuje (ne narašča ) če za vse
velja neenakost
.

Definicija2. Zaporedje
poklical narašča (ne zmanjšuje ) če za vse
velja neenakost
.

Definicija3. Imenuje se padajoča, ne naraščajoča, naraščajoča in ne padajoča zaporedja monotono zaporedja, imenujejo se tudi padajoča in naraščajoča zaporedja strogo monotono zaporedja.

Očitno je, da zaporedje, ki se ne zmanjšuje, omejeno od spodaj, zaporedje, ki se ne zmanjšuje, pa zgoraj. Zato je vsako monotono zaporedje očitno omejeno na eni strani.

Primer1. Zaporedje
poveča, ne zmanjša,
zmanjšuje
se ne poveča
- ne-monotono zaporedje.

Pri monotonih sekvencah igra pomembno vlogo naslednje.

Izrek1. Če je zgoraj (spodaj) omejeno ne-padajoče (nerastoče) zaporedje, potem se konvergira.

Dokazi... Naj zaporedje
se ne zmanjša in je omejen od zgoraj, tj.
in mnogi
omejena od zgoraj. Po teoremu 1 § 2 obstaja
... Dokažimo to
.

Vzemimo
samovoljno. Zaradi in- natančna zgornja meja, število obstaja N tako da
... Ker zaporedje ni padajoče, potem za vse
imamo, tj.
, torej
za vse
, in to pomeni, da
.

Za naraščajoče zaporedje, omejeno od spodaj, je dokaz podoben ( študentje lahko to trditev dokažejo sami). Izrek je dokazan.

Komentiraj... Izrek 1 lahko formuliramo drugače.

Izrek2. Da bi se monotono zaporedje zbližalo, je potrebno in dovolj, da je omejeno.

Zadostnost je bila ugotovljena v teoremu 1, nujnost - v teoremu 2 § 5.

Pogoj monotonosti ni potreben, da se zaporedje konvergira, saj konvergentno zaporedje ni nujno monotono. Na primer zaporedje
ni monotono, ampak se zbliža z ničlo.

Posledica... Če zaporedje
se poveča (zmanjša) in je omejena zgoraj (spodaj)
(
).

Dejansko po izrek 1
(
).

Definicija4. Če in
ob
, potem se pokliče zaporedje pogodbeni sistem ugnezdenih odsekov črt .

Izrek3 (načelo ugnezdenih segmentov črt). Vsak pogodbeni sistem ugnezdenih segmentov ima in poleg tega ima edinstveno točko izki pripadajo vsem segmentom tega sistema.

Dokazi... Dokažimo, da je bistvo izobstaja. Zaradi
potem
in zato zaporedje
se ne zmanjša, ampak zaporedje
se ne poveča. Kamor
in
omejeno od. Potem po teoremu 1 obstajajo
in
, ampak od
potem
=
... Najdena točka izspada v vse segmente sistema, saj je po posledicah teorema 1
,
, tj.
za vse vrednote n.

Pokažimo zdaj to iz- edini. Recimo, da obstajata dve točki: izin din naj za določenost
... Nato segment
pripada vsem segmentom
, tj.
za vse n, kar je nemogoče, saj
in torej od neke številke,
... Izrek je dokazan.

Upoštevajte, da je tukaj bistveno, da upoštevamo zaprte intervale, tj. segmentih. Če upoštevamo sistem krčenja intervalov, načelo na splošno ni pravilno. Na primer intervali
očitno pogodba do točke
ampak točka
ne spada v noben interval tega sistema.

Oglejmo si zdaj primere konvergentnih monotonih zaporedij.

1) Številka e.

Poglejmo zdaj zaporedje
... Kako se obnaša? Osnova

stopnjo
, torej
? Po drugi strani,
, in
, torej
? Ali ni omejitve?

Če želite odgovoriti na ta vprašanja, upoštevajte pomožno zaporedje
... Dokažimo, da se zmanjšuje in je omejena od spodaj. V tem primeru bomo potrebovali

Lema... Če
, potem za vse naravne vrednote nimamo

(Bernoullijeva neenakost).

Dokazi... Uporabimo metodo matematične indukcije.

Če
potem
, tj. neenakost je resnična.

Recimo, da velja za
in dokaže njegovo veljavnost za
+1.

Prav
... To neenakost pomnožimo z
:

V to smer, . V skladu z načelom matematične indukcije torej Bernoullijeva neenakost velja za vse naravne vrednosti n... Lema je dokazana.

Pokažimo, da zaporedje
zmanjšuje. Imamo

\u200c\u200c\u200c׀ Bernoullijeva neenakost ׀
, in to pomeni, da zaporedje
zmanjšuje.

Omejenost od spodaj izhaja iz neenakosti
\u200c\u200c\u200c׀ Bernoullijeva neenakost ׀
za vse naravne vrednote n.

Po teoremu 1 obstaja
, ki je označena s črko e... torej
.

Številka eiracionalno in transcendentalno, e\u003d 2,718281828 .... Znano je, da je osnova naravnih logaritmov.

Opombe... 1) Bernoullijevo neenakost lahko uporabimo za dokazovanje tega
ob
... Dejansko, če
potem
... Potem, z Bernoullijevo neenakostjo, za
... Zato ob
imamo
, tj
ob
.

2) V zgornjem primeru je osnova stopnje teži k 1, in eksponent n- do , torej obstaja negotovost oblike ... Kot smo pokazali, se tovrstna negotovost razkrije s pomočjo izjemne meje
.

2)
(*)

Dokažimo, da se to zaporedje konvergira. Za to bomo pokazali, da je od spodaj omejena in se ne povečuje. V tem primeru uporabimo neenakost
za vse
, kar je posledica neenakosti
.

Imamo
cm. neenakost zgoraj
, tj. zaporedje je od spodaj omejeno s številom
.

Nadalje,
 saj

, tj. zaporedje se ne poveča.

Po teoremu 1 obstaja
, ki ga označujemo x... Prehod v enakosti (*) do meje na
, dobimo

, tj.
od kod
(vzamemo znak plus, saj so vsi člani zaporedja pozitivni).

Zaporedje (*) se uporablja pri izračunu
približno. Per vzemi katero koli pozitivno število. Na primer, poiščimo
... Naj bo
... Potem
,. V to smer,
.

3)
.

Imamo
... Zaradi
ob
, obstaja številka N, takšna, da za vsakogar
velja neenakost
... Torej zaporedje
začenši od neke številke N, se zmanjša in je omejena od spodaj, saj
za vse vrednote n... Torej po teoremu 1 obstaja
... Zaradi
, imamo
.

Torej,
.

4)
, na desni - n korenine.

Pokažimo z matematično indukcijo
za vse vrednote n... Imamo
... Naj bo
... Nato od tu dobimo izjavo po principu matematične indukcije. Z uporabo tega dejstva ugotovimo, t.j. zaporedje
povečuje in je omejena od zgoraj. Zato obstaja od
.

V to smer,
.

Weierstrassov izrek o meji monotonega zaporedja

Vsako monotono zaporedje (x n) ima končno mejo, enako natančni zgornji meji, sup (x n) za ne padajočo in natančno spodnjo mejo, inf (x n) za ne naraščajoče zaporedje.
Vsako monotono neomejeno zaporedje ima neskončno mejo, ki je enaka plus neskončnosti za ne padajočo in minus neskončnost za nenaraščajočo se zaporedje.

Dokazi

1) ne padajoče omejeno zaporedje.

(1.1) .

Ker je zaporedje omejeno, ima končno natančno zgornjo mejo
.
To pomeni, da:

• za vse n,
  (1.2) ;
• za katero koli pozitivno število obstaja takšno število, odvisno od ε, tako da
  (1.3) .

.
Tu smo uporabili tudi (1.3). V kombinaciji z (1.2) najdemo:
ob.
Od takrat
,
ali
ob.
Dokazan je prvi del izreka.

2) Zdaj naj bo zaporedje ne naraščajoče omejeno zaporedje:
(2.1) za vse n.

Ker je zaporedje omejeno, ima končno natančno spodnjo mejo
.
To pomeni naslednje:

• za vse n veljajo naslednje neenakosti:
  (2.2) ;
• za katero koli pozitivno število obstaja število, odvisno od ε za katero
  (2.3) .

.
Tu smo uporabili tudi (2.3). Ob upoštevanju (2.2) ugotovimo:
ob.
Od takrat
,
ali
ob.
To pomeni, da je število omejitev zaporedja.
Dokazan je drugi del izreka.

Zdaj pa razmislimo o neomejenih zaporedjih.
3) Naj bo zaporedje neomejeno zaporedje, ki se ne zmanjšuje.

Ker zaporedje ni padajoče, veljajo za vse n naslednje neenakosti:
(3.1) .

Ker zaporedje ni padajoče in neomejeno, je na desni strani neomejeno. Potem za katero koli število M obstaja število, odvisno od M, za katero
(3.2) .

Ker zaporedje ni padajoče, potem imamo:
.
Tu smo uporabili tudi (3.2).

.
To pomeni, da je omejitev zaporedja plus neskončnost:
.
Tretji del izreka je dokazan.

4) Za konec pa še primer, kdaj je neomejeno ne naraščajoče zaporedje.

Podobno kot pri prejšnjem, ker zaporedje potem ne narašča
(4.1) za vse n.

Ker zaporedje ni naraščajoče in neomejeno, je na levi strani neomejeno. Nato za katero koli število M obstaja število, odvisno od M, za katero
(4.2) .

Ker zaporedje ne narašča, potem imamo pri:
.

Torej, za katero koli število M obstaja naravno število, odvisno od M, tako da za vsa števila veljajo naslednje neenakosti:
.
To pomeni, da je omejitev zaporedja minus neskončnost:
.
Izrek je dokazan.

Primer reševanja problema

Z uporabo Weierstrassovega izreka dokažite konvergenco zaporedja:
, , . . . , , . . .
Potem poiščite njegovo mejo.

Predstavljajmo zaporedje v obliki ponavljajočih se formul:
,
.

Dokažimo, da je določeno zaporedje od zgoraj omejeno z vrednostjo
(W1) .
Dokaz izvedemo z metodo matematične indukcije.
.
Naj bo. Potem
.
Dokazana je neenakost (A1).

Dokažimo, da se zaporedje monotono povečuje.
;
(P2) .
Ker sta imenovalec ulomka in prvi faktor v števcu pozitivna. Zaradi omejenosti članov zaporedja z neenakostjo (A1) je pozitiven tudi drugi faktor. torej
.
To pomeni, da se zaporedje strogo povečuje.

Ker se zaporedje povečuje in omejuje od zgoraj, je omejeno zaporedje. Zato ima Weierstrassov izrek mejo.

Poiščimo to mejo. Označimo ga z:
.
Uporabili bomo dejstvo, da
.
To uporabimo za (A2) z uporabo aritmetičnih lastnosti meja konvergentnih zaporedij:
.
Koren izpolnjuje pogoj.