Letná farma Slama, ako ručný blesk, sklo do trávy; Ďalší, ktorý sa podpísal na plote, zapálil v konskom žľabe oheň zeleného pohára vody. Do modrého súmraku Deväť kačíc blúdi, kolíše, po brázde v duchu paralelných línií. Tu kura hľadí na nič osamote

Zničená farma Pokojné slnko, ako tmavočervený kvet, Klesá k zemi, rastie do západu slnka, Ale opona noci v nečinnej sile Priťahuje svet, rozrušený pohľadom. Na farme bez strechy zavládlo ticho, ako keby jej niekto strhol vlasy, bili sa o kaktus

Kapitola 9 Jedna farma Laura Schueler a ja sme sa rozhodli osláviť koniec strednej školy trojtýždňovým výletom. Síce sme nechápali, čo pre nás znamená maturita, ale vedeli sme, že je potrebné túto udalosť osláviť. Tak sme diskutovali, čo budeme robiť

Príprava na preteky. Aljaška, farma Iditarod Lindy Pletnerovej sú každoročné preteky psích záprahov na Aljaške. Dĺžka trasy je 1150 míľ (1800 km). Ide o najdlhšie preteky psích záprahov na svete. Štart (slávnostný) - 4. marca 2000 z Anchorage. Štart

Pierre Fermat, ktorý čítal „Aritmetiku“ Diofanta Alexandrijského a uvažoval o jej problémoch, mal vo zvyku zapisovať výsledky svojich úvah vo forme krátkych komentárov na okraje knihy. Proti ôsmemu Diofantovmu problému na okraji knihy Fermat napísal: „ Naopak, nie je možné rozložiť ani kocku na dve kocky, ani bikvadrát na dva bikvadráty a vo všeobecnosti žiadnu mocninu väčšiu ako druhú mocninu na dve mocniny s rovnakým exponentom. Objavil som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke» / E.T. Bell „Tvorcovia matematiky“. M., 1979, str/. Dávam do pozornosti elementárny dôkaz Fermatovej vety, ktorému rozumie každý stredoškolák, ktorý sa zaujíma o matematiku.

Porovnajme Fermatov komentár k Diofantovmu problému s modernou formuláciou poslednej Fermatovej vety, ktorá má tvar rovnice.
« Rovnica

x n + y n = z n(kde n je celé číslo väčšie ako dva)

nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach»

Komentár je v logickej súvislosti s úlohou, podobne ako logická súvislosť predikátu s podmetom. To, čo tvrdí Diofantov problém, naopak tvrdí Fermatov komentár.

Fermatov komentár možno interpretovať nasledovne: ak má kvadratická rovnica s tromi neznámymi nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom naopak rovnica s tromi neznámymi s mocninou väčšou ako druhá mocnina

V rovnici jej súvislosti s Diofantovým problémom nie je ani len náznak. Jeho tvrdenie vyžaduje dôkaz, ale neexistuje žiadna podmienka, z ktorej by vyplývalo, že nemá riešenia v kladných celých číslach.

Možnosti na dokázanie mi známej rovnice sa scvrkli na nasledujúci algoritmus.

1. Za jej záver sa berie rovnica Fermatovej vety, ktorej platnosť sa overuje dôkazom.
2. Rovnaká rovnica sa nazýva originálny rovnica, z ktorej musí vychádzať jej dôkaz.

V dôsledku toho sa vytvorila tautológia: „ Ak rovnica nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach, potom nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach„Dôkaz tautológie je zjavne nesprávny a nemá žiadny význam. Dokazuje to však protirečenie.

• Vychádza sa z predpokladu, ktorý je opakom toho, čo uvádza rovnica, ktorú je potrebné dokázať. Nemalo by to byť v rozpore s pôvodnou rovnicou, ale je. Nemá zmysel dokazovať to, čo sa prijíma bez dôkazu, a akceptovať bez dôkazu to, čo je potrebné dokázať.
• Na základe prijatého predpokladu sa vykonajú absolútne správne matematické operácie a akcie, aby sa dokázalo, že je v rozpore s pôvodnou rovnicou a je nepravdivá.

Preto už 370 rokov zostáva dokázať rovnicu Fermatovej poslednej vety nerealizovateľným snom pre špecialistov a nadšencov matematiky.

Vzal som rovnicu ako záver vety a ôsmy Diofantov problém a jeho rovnicu ako podmienku vety.

„Ak rovnica x2 + y2 = z2 (1) má nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom, naopak, rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 (2) nemá žiadne riešenia na množine kladných celých čísel.”

Dôkaz.

A) Každý vie, že rovnica (1) má nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel. Dokážme, že ani jedna trojica pytagorovských čísel, ktorá je riešením rovnice (1), nie je riešením rovnice (2).

Na základe zákona o reverzibilite rovnosti vymeníme strany rovnice (1). Pytagorove čísla (z, x, y) možno interpretovať ako dĺžky strán pravouhlého trojuholníka a štvorcov (x2, y2, z2) možno interpretovať ako plochu štvorcov postavenú na jej prepone a nohách.

Vynásobme plochy druhých mocnín rovnice (1) ľubovoľnou výškou h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Rovnicu (3) možno interpretovať ako zhodnosť objemu rovnobežnostena so súčtom objemov dvoch rovnobežnostenov.

Nechajte výšku troch rovnobežnostenov h = z :

z3 = x2z + y2z (4)

Objem kocky je rozložený na dva objemy dvoch rovnobežnostenov. Objem kocky necháme nezmenený a výšku prvého rovnobežnostena znížime na X a znížte výšku druhého rovnobežnostena na r . Objem kocky je väčší ako súčet objemov dvoch kociek:

z3 > x 3 + y3 (5)

Na množine trojíc pytagorovských čísel ( x, y, z ) pri n=3 nemôže existovať žiadne riešenie rovnice (2). V dôsledku toho na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel nie je možné rozložiť kocku na dve kocky.

Nech v rovnici (3) výška troch rovnobežnostenov h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y2 z 2 (6)

Objem rovnobežnostena sa rozloží na súčet objemov dvoch rovnobežnostenov.
Ľavú stranu rovnice (6) necháme nezmenenú. Na jeho pravej strane výška z 2 znížiť na X v prvom termíne a predtým o 2 v druhom volebnom období.

Rovnica (6) sa zmenila na nerovnosť:

Objem rovnobežnostena sa rozloží na dva objemy dvoch rovnobežnostenov.

Ľavú stranu rovnice (8) necháme nezmenenú.
Na pravej strane výška zn-2 znížiť na xn-2 v prvom termíne a znížiť na y n-2 v druhom volebnom období. Rovnica (8) sa zmení na nerovnosť:

Na množine trojíc pytagorovských čísel nemôže existovať jediné riešenie rovnice (2).

Následne na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel pre všetkých n > 2 rovnica (2) nemá riešenia.

Podarilo sa získať „naozaj zázračný dôkaz“, ale len pre trojičky Pytagorove čísla. Toto je nedostatok dôkazov a dôvod odmietnutia P. Fermatu od neho.

B) Dokážme, že rovnica (2) nemá riešenia na množine trojíc nepytagorovských čísel, ktorá predstavuje rodinu ľubovoľnej trojice pytagorovských čísel z = 13, x = 12, y = 5 a rodinu ľubovoľnej trojice kladných celých čísel z = 21, x = 19, y = 16

Obidve trojice čísel sú členmi ich rodín:

Počet členov rodiny (10) a (11) sa rovná polovici súčinu 13 x 12 a 21 x 20, teda 78 a 210.

Každý člen rodiny (10) obsahuje z = 13 a premenné X A pri 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Každý člen rodiny (11) obsahuje z = 21 a premenné X A pri , ktoré nadobúdajú celočíselné hodnoty 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Premenné postupne klesajú o 1 .

Trojice čísel postupnosti (10) a (11) možno znázorniť ako postupnosť nerovností tretieho stupňa:

a vo forme nerovností štvrtého stupňa:

Správnosť každej nerovnosti sa overuje zvýšením čísel na tretiu a štvrtú mocninu.

Kocka väčšieho čísla sa nedá rozložiť na dve kocky menších čísel. Je buď menšia alebo väčšia ako súčet kociek dvoch menších čísel.

Bikvadratiku väčšieho čísla nemožno rozložiť na dva bikvadraty menších čísel. Je buď menšia, alebo väčšia ako súčet dvojkvadrátov menších čísel.

Keď sa exponent zvyšuje, všetky nerovnosti, okrem ľavej extrémnej nerovnosti, majú rovnaký význam:

Všetky majú rovnaký význam: mocnina väčšieho čísla je väčšia ako súčet mocnin menších dvoch čísel s rovnakým exponentom:

Ľavý krajný člen postupností (12) (13) predstavuje najslabšiu nerovnosť. Jeho správnosť určuje správnosť všetkých nasledujúcich nerovností postupnosti (12) pre n > 8 a sekvencia (13) at n > 14 .

Medzi nimi nemôže byť žiadna rovnosť. Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (21,19,16) nie je riešením rovnice (2) poslednej Fermatovej vety. Ak ľubovoľná trojica kladných celých čísel nie je riešením rovnice, potom rovnica nemá riešenia na množine kladných celých čísel, čo bolo potrebné dokázať.

S) Fermatov komentár k Diophantovmu problému uvádza, že je nemožné rozložiť “ vo všeobecnosti žiadna mocnina nie je väčšia ako štvorec, dve mocniny s rovnakým exponentom».

Bozk stupeň väčší ako štvorec sa v skutočnosti nedá rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom. Žiadne bozky stupeň väčší ako štvorec možno rozložiť na dve mocniny s rovnakým exponentom.

Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z, x, y) môže patriť do rodiny, ktorej každý člen pozostáva z konštantného čísla z a o dve čísla menšie z . Každý člen rodiny môže byť reprezentovaný vo forme nerovnosti a všetky výsledné nerovnosti môžu byť reprezentované vo forme postupnosti nerovností:

Postupnosť nerovností (14) začína nerovnosťami, ktorých ľavá strana je menšia ako pravá, a končí nerovnosťami, pri ktorých je pravá strana menšia ako ľavá. S rastúcim exponentom n > 2 zvyšuje sa počet nerovností na pravej strane postupnosti (14). S exponentom n = k všetky nerovnosti na ľavej strane postupnosti menia svoj význam a nadobúdajú význam nerovností na pravej strane nerovností postupnosti (14). V dôsledku zvýšenia exponentu všetkých nerovností sa ľavá strana ukáže byť väčšia ako pravá:

S ďalším zvýšením exponentu n>k žiadna z nerovností nemení svoj význam a mení sa na rovnosť. Na tomto základe možno tvrdiť, že ľubovoľná ľubovoľne zvolená trojica kladných celých čísel (z, x, y) pri n > 2 , z > x , z > y

V ľubovoľne zvolenej trojici kladných celých čísel z môže byť ľubovoľne veľké prirodzené číslo. Pre všetky prirodzené čísla, ktoré nie sú väčšie ako z , Fermatova posledná veta je dokázaná.

D) Bez ohľadu na to, aké veľké je číslo z , v prirodzenom rade čísel je pred ním veľká, ale konečná množina celých čísel a za ňou nekonečná množina celých čísel.

Dokážme, že celá nekonečná množina prirodzených čísel je veľká z , tvoria trojice čísel, ktoré nie sú riešením rovnice Fermatovej poslednej vety, napríklad ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) , kde z + 1 > x A z + 1 > y pre všetky hodnoty exponentu n > 2 nie je riešením rovnice poslednej Fermatovej vety.

Náhodne vybraná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) môže patriť do rodiny trojíc čísel, z ktorých každý člen pozostáva z konštantného čísla z+1 a dve čísla X A pri , nadobúdajúce iné hodnoty, menšie z+1 . Členovia rodiny môžu byť zastúpení vo forme nerovností, v ktorých je konštantná ľavá strana menšia alebo väčšia ako pravá strana. Nerovnosti môžu byť usporiadané vo forme postupnosti nerovností:

S ďalším zvýšením exponentu n>k do nekonečna žiadna z nerovníc postupnosti (17) nemení svoj význam a mení sa na rovnosť. V postupnosti (16) sa nerovnosť vytvorila z ľubovoľne zvolenej trojice kladných celých čísel (z + 1, x, y) , môže byť umiestnený na jeho pravej strane vo formulári (z + 1) n > x n + y n alebo byť na jeho ľavej strane vo formulári (z+1)n< x n + y n .

V každom prípade trojnásobok kladných celých čísel (z + 1, x, y) pri n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y v postupnosti (16) predstavuje nerovnosť a nemôže predstavovať rovnosť, to znamená, že nemôže predstavovať riešenie rovnice poslednej Fermatovej vety.

Je ľahké a jednoduché pochopiť pôvod postupnosti mocenských nerovností (16), v ktorých posledná nerovnosť na ľavej strane a prvá nerovnosť na pravej strane sú nerovnosti opačného významu. Naopak, pre školákov, stredoškolákov a stredoškolákov nie je ľahké a ťažké pochopiť, ako sa zo sekvencie nerovností (17) tvorí postupnosť nerovností (16), v ktorej majú všetky nerovnosti rovnaký význam. .

V postupnosti (16), zvýšenie celočíselného stupňa nerovností o 1 jednotku zmení poslednú nerovnosť na ľavej strane na prvú nerovnosť opačného zmyslu na pravej strane. Počet nerovností na ľavej strane postupnosti teda klesá a počet nerovností na pravej strane stúpa. Medzi poslednou a prvou mocenskou nerovnosťou opačného významu je nevyhnutne mocenská rovnosť. Jeho stupeň nemôže byť celé číslo, pretože medzi dvoma po sebe idúcimi prirodzenými číslami ležia iba necelé čísla. Mocninnú rovnosť neceločíselného stupňa podľa podmienok vety nemožno považovať za riešenie rovnice (1).

Ak v postupnosti (16) pokračujeme v zvyšovaní stupňa o 1 jednotku, tak sa posledná nerovnosť jej ľavej strany zmení na prvú nerovnosť opačného významu pravej strany. V dôsledku toho nezostanú ľavostranné nerovnosti a zostanú len pravostranné nerovnosti, čo bude sled narastajúcich mocenských nerovností (17). Ďalšie zvýšenie ich celočíselnej mocniny o 1 jednotku len posilní jej mocninné nerovnosti a kategoricky vylučuje možnosť rovnosti celočíselnej mocniny.

Vo všeobecnosti teda nemožno žiadnu celočíselnú mocninu prirodzeného čísla (z+1) postupnosti mocninných nerovností (17) rozložiť na dve celočíselné mocniny s rovnakým exponentom. Preto rovnica (1) nemá riešenia na nekonečnej množine prirodzených čísel, čo bolo potrebné dokázať.

V dôsledku toho je posledná Fermatova veta dokázaná ako celok:

• v časti A) pre všetky trojčatá (z, x, y) Pytagorove čísla (Fermatov objav je skutočne úžasným dôkazom),
• v časti B) pre všetkých členov rodiny akejkoľvek trojky (z, x, y) Pytagorove čísla,
• v časti C) pre všetky trojice čísel (z, x, y) , nie veľké čísla z
• v časti D) pre všetky trojice čísel (z, x, y) prirodzený rad čísel.

Ktoré vety môžu a nemôžu byť dokázané protirečením?

Vysvetľujúci slovník matematických pojmov definuje dôkaz protirečením vety, opak opačnej vety.

„Dôkaz kontradikciou je metóda dokazovania vety (výroku), ktorá spočíva v dokazovaní nie samotnej vety, ale jej ekvivalentnej (ekvivalentnej) vety. Dôkaz kontradikciou sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu, ale ľahšie dokázať opačnú vetu. Pri dôkaze kontradikciou sa záver vety nahradí jej negáciou a uvažovaním sa dospeje k negácii podmienok, t.j. k rozporu, k opaku (opaku toho, čo je dané; táto redukcia na absurditu dokazuje vetu."

Dôkaz protirečením sa v matematike veľmi často používa. Dôkaz kontradikciou je založený na zákone vylúčeného stredu, ktorý spočíva v tom, že z dvoch výrokov (výrokov) A a A (negácia A) je jeden pravdivý a druhý nepravdivý.“/Výkladový slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov/O. V. Manturov [atď.]; upravil V. A. Ditkina.- M.: Školstvo, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.

Nebolo by lepšie otvorene vyhlásiť, že metóda dôkazu protirečením nie je matematická metóda, hoci sa v matematike používa, že je to metóda logická a patrí do logiky. Je prijateľné povedať, že dôkaz protirečením sa „používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu“, keď sa v skutočnosti používa vtedy a len vtedy, keď neexistuje žiadna náhrada?

Osobitnú pozornosť si zasluhuje aj charakterizácia vzájomného vzťahu priamych a inverzných viet. „Obrátená veta pre danú vetu (alebo k danej vete) je veta, v ktorej podmienkou je záver a záver je podmienkou danej vety. Táto veta vo vzťahu k opačnej vete sa nazýva priama veta (pôvodná). Obrátená veta na opačnú vetu bude zároveň danou vetou; preto sa priama a konverzná veta nazývajú vzájomne inverzné. Ak platí priama (daná) veta, potom nie vždy platí aj opačná veta. Napríklad, ak je štvoruholník kosoštvorec, potom jeho uhlopriečky sú navzájom kolmé (priama veta). Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku navzájom kolmé, potom je štvoruholník kosoštvorec - to je nepravda, t. j. opačná veta je nepravdivá."/Výkladový slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov/O. V. Manturov [atď.]; upravil V. A. Ditkina.- M.: Školstvo, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.

Táto charakteristika vzťahu medzi priamou a inverznou vetou nezohľadňuje skutočnosť, že podmienka priamej vety je akceptovaná ako daná, bez dôkazu, takže jej správnosť nie je zaručená. Podmienka inverznej vety nie je prijatá ako daná, pretože je záverom dokázanej priamej vety. Jeho správnosť je potvrdená dôkazom priamej vety. Tento podstatný logický rozdiel v podmienkach priamej a inverznej vety sa ukazuje ako rozhodujúci v otázke, ktoré vety možno a ktoré nemožno dokázať logickou metódou protirečením.

Predpokladajme, že máme na mysli priamu vetu, ktorú možno dokázať pomocou bežnej matematickej metódy, ale je to ťažké. Vo všeobecnosti a stručne to sformulujme takto: od A by mal E . Symbol A má význam danej podmienky vety, prijatej bez dôkazu. Symbol E dôležitý je záver vety, ktorý treba dokázať.

Priamu vetu dokážeme kontradikciou, logické metóda. Logická metóda sa používa na dokázanie vety, ktorá má nie matematické stav, a logické stave. Dá sa získať, ak je splnená matematická podmienka vety od A by mal E , doplnok s presne opačnou podmienkou od A nerob to E .

Výsledkom bola logická protichodná podmienka novej vety, ktorá obsahovala dve časti: od A by mal E A od A nerob to E . Výsledná podmienka novej vety zodpovedá logickému zákonu vylúčeného stredu a zodpovedá dôkazu vety kontradikciou.

Jedna časť odporujúcej podmienky je podľa zákona nepravdivá, druhá časť je pravdivá a tretia je vylúčená. Dôkaz kontradikciou má za úlohu a účel presne určiť, ktorá časť z dvoch častí podmienky vety je nepravdivá. Po určení nepravdivej časti podmienky sa určí, že druhá časť je pravdivá a tretia sa vylúči.

Podľa výkladového slovníka matematických pojmov "Dôkaz je uvažovanie, počas ktorého sa zistí pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek tvrdenia (úsudku, tvrdenia, vety)". Dôkaz protirečením existuje zdôvodnenie, počas ktorého sa zisťuje nepravdivosť(absurdnosť) záveru vyplývajúceho z falošný podmienky vety, ktorá sa má dokázať.

Vzhľadom na to: od A by mal E a od A nerob to E .

dokázať: od A by mal E .

Dôkaz: Logická podmienka vety obsahuje rozpor, ktorý si vyžaduje jej vyriešenie. Rozpor podmienky musí nájsť svoje riešenie v dôkaze a jeho výsledku. Výsledok sa ukáže ako nepravdivý s bezchybným a bezchybným uvažovaním. Dôvodom nesprávneho záveru v logicky správnej úvahe môže byť iba protichodná podmienka: od A by mal E A od A nerob to E .

Neexistuje žiadny tieň pochybností, že jedna časť podmienky je nepravdivá a druhá v tomto prípade je pravdivá. Obe časti podmienky majú rovnaký pôvod, sú akceptované ako údaje, predpokladané, rovnako možné, rovnako prípustné atď. V rámci logického uvažovania nebol objavený jediný logický znak, ktorý by odlišoval jednu časť podmienky od druhej. . Preto v rovnakej miere môže byť od A by mal E a možno od A nerob to E . Vyhlásenie od A by mal E Možno falošný, potom vyhlásenie od A nerob to E bude pravda. Vyhlásenie od A nerob to E môže byť nepravdivé, potom vyhlásenie od A by mal E bude pravda.

V dôsledku toho nie je možné dokázať priamu vetu protirečením.

Teraz dokážeme rovnakú priamu vetu pomocou bežnej matematickej metódy.

Vzhľadom na to: A .

dokázať: od A by mal E .

Dôkaz.

1. Od A by mal B

2. Od B by mal IN (podľa predtým dokázanej vety)).

3. Od IN by mal G (podľa predtým dokázanej vety).

4. Od G by mal D (podľa predtým dokázanej vety).

5. Od D by mal E (podľa predtým dokázanej vety).

Na základe zákona prechodnosti, od A by mal E . Priama veta sa dokazuje obvyklou metódou.

Nech má dokázaná priama veta správnu inverznú vetu: od E by mal A .

Dokážme to obvyklým matematický metóda. Dôkaz opačnej vety možno vyjadriť v symbolickej forme ako algoritmus matematických operácií.

Vzhľadom na to: E

dokázať: od E by mal A .

Dôkaz.

1. Od E by mal D

2. Od D by mal G (podľa predtým osvedčenej opačnej vety).

3. Od G by mal IN (podľa predtým osvedčenej opačnej vety).

4. Od IN nerob to B (opačná veta nie je pravdivá). Preto od B nerob to A .

V tejto situácii nemá zmysel pokračovať v matematickom dokazovaní opačnej vety. Dôvod tejto situácie je logický. Nesprávna konverzná veta sa nedá ničím nahradiť. Preto nie je možné dokázať túto konverznú vetu pomocou bežnej matematickej metódy. Všetka nádej je dokázať túto inverznú vetu protirečením.

Aby sme ju dokázali protirečením, je potrebné nahradiť jej matematickú podmienku logickou protirečivou podmienkou, ktorá vo svojom význame obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú.

Konverzná veta uvádza: od E nerob to A . Jej stav E , z ktorého vyplýva záver A , je výsledkom dokazovania priamej vety pomocou bežnej matematickej metódy. Túto podmienku je potrebné zachovať a doplniť o vyhlásenie od E by mal A . V dôsledku sčítania dostaneme protirečivú podmienku novej inverznej vety: od E by mal A A od E nerob to A . Na základe toho logicky protirečivá podmienka, opačná veta sa dá dokázať pomocou správnej logické len a len zdôvodnenie, logické metóda protirečením. Pri dokazovaní kontradikciou sú akékoľvek matematické akcie a operácie podriadené logickým, a preto sa nepočítajú.

V prvej časti rozporuplné tvrdenie od E by mal A stave E bol dokázaný dôkazom priamej vety. V druhej časti od E nerob to A stave E bol predpokladaný a prijatý bez dôkazu. Jeden z nich je nepravdivý a druhý pravdivý. Musíte dokázať, ktorý z nich je falošný.

Dokazujeme to správne logické uvažovanie a zistí, že jeho výsledkom je falošný, absurdný záver. Dôvodom nesprávneho logického záveru je protichodná logická podmienka vety, ktorá obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú. Nepravdivou časťou môže byť iba vyhlásenie od E nerob to A , v ktorom E bol prijatý bez dôkazu. To je to, čo ho odlišuje od E Vyhlásenia od E by mal A , čo je dokázané dôkazom priamej vety.

Preto je tvrdenie pravdivé: od E by mal A , čo bolo potrebné dokázať.

Záver: logickou metódou sa protirečením dokazuje len inverzná veta, ktorá má priamu vetu dokázanú matematickou metódou a ktorú nemožno dokázať matematickou metódou.

Získaný záver nadobúda mimoriadny význam vo vzťahu k metóde dôkazu protirečením veľkej Fermatovej vety. Drvivá väčšina pokusov dokázať to nie je založená na bežnej matematickej metóde, ale na logickej metóde dôkazu kontradikciou. Výnimkou nie je ani Wilesov dôkaz Fermatovej poslednej vety.

Dmitrij Abrarov v článku „Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov“ publikoval komentár k Wilesovmu dôkazu Fermatovej poslednej vety. Podľa Abrarova Wiles dokazuje poslednú Fermatovu vetu pomocou pozoruhodného objavu nemeckého matematika Gerharda Freya (nar. 1944), ktorý spojil potenciálne riešenie Fermatovej rovnice x n + y n = z n , Kde n > 2 , s inou, úplne inou rovnicou. Táto nová rovnica je daná špeciálnou krivkou (nazývanou Freyova eliptická krivka). Freyova krivka je daná veľmi jednoduchou rovnicou:
.

„Bol to Frey, kto porovnával s každým rozhodnutím (a, b, c) Fermatova rovnica, teda čísla vyhovujúce vzťahu a n + b n = c n, vyššie uvedená krivka. V tomto prípade by nasledovala posledná Fermatova veta."(Citácia: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov“)

Inými slovami, Gerhard Frey navrhol rovnicu Fermatovej poslednej vety x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach. Tieto isté riešenia sú podľa Freyovho predpokladu riešeniami jeho rovnice
y2 + x (x - an) (y + b n) = 0 , ktorá je daná jej eliptickou krivkou.

Andrew Wiles prijal tento pozoruhodný objav Freya a s jeho pomocou matematický metóda dokázala, že tento nález, teda Freyova eliptická krivka, neexistuje. Neexistuje teda rovnica a jej riešenia, ktoré sú dané neexistujúcou eliptickou krivkou.Preto mal Wiles prijať záver, že neexistuje rovnica poslednej Fermatovej vety a samotnej Fermatovej vety. Prijíma však skromnejší záver, že rovnica Fermatovej poslednej vety nemá riešenia v kladných celých číslach.

Nevyvrátiteľným faktom môže byť, že Wiles prijal predpoklad, ktorý má presne opačný význam, ako uvádza Fermatova veľká veta. Zaväzuje Wilesa, aby dokázal poslednú Fermatovu vetu protirečením. Nasledujme jeho príklad a uvidíme, čo z tohto príkladu vyplýva.

Posledná Fermatova veta hovorí, že rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.

Podľa logickej metódy dôkazu protirečením sa toto tvrdenie zachová, akceptuje sa ako dané bez dôkazu a potom sa doplní opačným tvrdením: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach.

Predpokladané vyhlásenie sa tiež akceptuje ako dané, bez dôkazu. Obidva výroky, uvažované z hľadiska základných zákonov logiky, sú rovnako platné, rovnako platné a rovnako možné. Správnym uvažovaním je potrebné určiť, ktoré z nich je nepravdivé, aby sa potom určilo, že druhé tvrdenie je pravdivé.

Správna úvaha končí nepravdivým, absurdným záverom, ktorého logickým dôvodom môže byť len protichodná podmienka dokazovanej vety, ktorá obsahuje dve časti priamo opačného významu. Boli logickým dôvodom absurdného záveru, výsledkom dôkazu protirečením.

Pri logicky správnej úvahe sa však nenašiel jediný znak, podľa ktorého by sa dalo určiť, ktoré konkrétne tvrdenie je nepravdivé. Môže to byť výrok: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach. Na rovnakom základe by to mohlo byť nasledujúce tvrdenie: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.

V dôsledku úvah možno vyvodiť iba jeden záver: Fermatovu poslednú vetu nemožno dokázať protirečením.

Bolo by to úplne iné, keby posledná Fermatova veta bola inverzná veta, ktorá má priamu vetu dokázanú bežnou matematickou metódou. V tomto prípade by sa to dalo dokázať protirečením. A keďže ide o priamu vetu, jej dôkaz by nemal byť založený na logickej metóde dôkazu protirečením, ale na bežnej matematickej metóde.

Podľa D. Abrarova najznámejší z moderných ruských matematikov, akademik V. I. Arnold, reagoval na Wilesov dôkaz „aktívne skepticky“. Akademik uviedol: „toto nie je skutočná matematika – skutočná matematika je geometrická a má silné spojenie s fyzikou.“ (Citát: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov.“ Akademikov výrok vyjadruje samotnú podstatu Wilesov nematematický dôkaz poslednej Fermatovej vety.

Protirečením nie je možné dokázať ani to, že rovnica poslednej Fermatovej vety nemá riešenia, ani že má riešenia. Wilesova chyba nie je matematická, ale logická – použitie dôkazu protirečením tam, kde jeho použitie nedáva zmysel a veľká Fermatova veta nedokazuje.

Fermatovu poslednú vetu nemožno dokázať ani pomocou bežnej matematickej metódy, ak dáva: rovnicu x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach, a ak v ňom chcete dokázať: rovnicu x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach. V tejto forme neexistuje teorém, ale tautológia bez významu.

Poznámka. Môj dôkaz o BTF bol prediskutovaný na jednom z fór. Jeden z účastníkov Trotilu, odborník na teóriu čísel, urobil toto autoritatívne vyhlásenie s názvom: „Krátke prerozprávanie toho, čo urobil Mirgorodsky. Citujem to doslovne:

« A. Dokázal, že ak z2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . To je známy a celkom zrejmý fakt.

IN. Zobral dve trojky – pytagorejskú a nepytagorejskú a jednoduchým hľadaním ukázal, že pre konkrétnu, špecifickú rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF (a len pre ňu) splnený.

S. A potom autor vynechal fakt, že od < v neskoršom rozsahu sa to môže ukázať = , nie len > . Jednoduchý protipríklad – prechod n=1 V n=2 v pytagorejskej trojke.

D. Tento bod neprispieva k dôkazu BTF ničím významným. Záver: BTF nebolo dokázané.”

Jeho záver zvážim bod po bode.

A. Dokazuje BTF pre celú nekonečnú množinu trojíc pytagorovských čísel. Dokázané geometrickou metódou, ktorú, ako verím, som neobjavil ja, ale znovuobjavil. A objavil to, ako verím, sám P. Fermat. Fermat to mohol mať na mysli, keď napísal:

"Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke." Tento môj predpoklad vychádza z toho, že v diofantínskom probléme, proti ktorému Fermat písal na margo knihy, hovoríme o riešeniach diofantínskej rovnice, čo sú trojice pytagorovských čísel.

Nekonečná množina trojíc Pytagorových čísel je riešením Diophateovej rovnice a naopak, vo Fermatovej vete žiadne z riešení nemôže byť riešením rovnice Fermatovej vety. A Fermatov skutočne úžasný dôkaz s týmto faktom priamo súvisí. Fermat mohol neskôr rozšíriť svoju vetu na množinu všetkých prirodzených čísel. Na množine všetkých prirodzených čísel BTF nepatrí do „množiny výnimočne krásnych viet“. Toto je moja domnienka, ktorú nemožno dokázať ani vyvrátiť. Dá sa prijať alebo odmietnuť.

IN. Na tomto mieste dokazujem, že je splnená ako rodina ľubovoľne prevzatej pytagorejskej trojky čísel, tak aj rodina ľubovoľne prevzatej nepytagorejskej trojky BTF čísel.Toto je nevyhnutný, no nepostačujúci a medzičlánok v mojom dokazovaní BTF. . Príklady, ktoré som zobral na rodinu trojice pytagorejských čísel a rodinu trojky nepytagorovských čísel, majú význam konkrétnych príkladov, ktoré predpokladajú a nevylučujú existenciu podobných iných príkladov.

Trotilovo tvrdenie, že „jednoduchým hľadaním som ukázal, že pre konkrétnu, špecifickú rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF splnená (a len pre ňu), je nepodložené. Nemôže vyvrátiť skutočnosť, že môžem rovnako ľahko vziať ďalšie príklady pytagorovských a nepytagorovských trojíc, aby som získal špecifickú určitú rodinu jednej a druhej trojice.

Nech vezmem akýkoľvek pár trojíc, overenie ich vhodnosti na vyriešenie problému sa dá podľa môjho názoru vykonať iba metódou „jednoduchého sčítania“. Iný spôsob nepoznám a nepotrebujem ho. Ak sa to Trotilovi nepáčilo, mal navrhnúť inú metódu, čo však nerobí. Bez toho, aby sme na oplátku niečo ponúkli, je nesprávne odsudzovať „jednoduchú prehnanosť“, ktorá je v tomto prípade nenahraditeľná.

S. som vynechal = medzi< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z2 = x 2 + y (1), v ktorom je stupeň n > 2 — celý kladné číslo. Z rovnosti medzi nerovnosťami to vyplýva povinné zváženie rovnice (1) pre neceločíselné stupne n > 2 . Trotil, počítanie povinnéúvahy o rovnosti medzi nerovnosťami vlastne zvažuje nevyhnutné v dôkaze BTF, zohľadnenie rovnice (1) s nie celý hodnotu stupňa n > 2 . Urobil som to pre seba a našiel som rovnicu (1). nie celý hodnotu stupňa n > 2 má riešenie troch čísel: z, (z-1), (z-1) pre neceločíselný exponent.

Ivliev Yu.A.

Článok je venovaný popisu zásadnej matematickej chyby, ktorá vznikla v procese dokazovania Fermatovej poslednej vety na konci 20. storočia. Objavená chyba nielenže skresľuje skutočný význam vety, ale bráni aj rozvoju nového axiomatického prístupu k štúdiu mocniny čísel a prirodzeného radu čísel.

V roku 1995 vyšiel článok, veľkosťou podobný knihe, informujúci o dôkaze slávnej Fermatovej veľkej (poslednej) vety (WTF) (o histórii vety a pokusoch o jej dokázanie pozri napr. ). Po tejto udalosti sa objavilo množstvo vedeckých článkov a populárno-vedeckých kníh propagujúcich tento dôkaz, ale žiadna z týchto prác neodhalila v ňom zásadnú matematickú chybu, ktorá sa vkradla nie vinou autora, ale kvôli nejakému zvláštnemu optimizmu, ktorý zachvátil mysli matematici, ktorí študovali tento problém a súvisiace problémy. Psychologické aspekty tohto javu boli študované v r. Tu uvádzame podrobnú analýzu vzniknutej chyby, ktorá nemá súkromný charakter, ale je dôsledkom nesprávneho pochopenia vlastností mocnín celých čísel. Ako je uvedené v, Fermatov problém je zakorenený v novom axiomatickom prístupe k štúdiu týchto vlastností, ktorý ešte nebol aplikovaný v modernej vede. V ceste mu však stál chybný dôkaz, ktorý odborníkom na teóriu čísel poskytol falošné usmernenia a viedol výskumníkov Fermatovho problému od jeho priameho a adekvátneho riešenia. Táto práca je venovaná odstráneniu tejto prekážky.

1. Anatómia chyby urobenej počas WTF dôkazu

V procese veľmi dlhého a únavného uvažovania bol pôvodný Fermatov výrok preformulovaný v zmysle porovnania diofantínskej rovnice p-tého stupňa s eliptickými krivkami 3. rádu (pozri vety 0,4 a 0,5 palca). Toto porovnanie prinútilo autorov prakticky kolektívneho dôkazu oznámiť, že ich metóda a zdôvodnenie vedú ku konečnému riešeniu Fermatovho problému (pripomeňme, že WTF až do 90. rokov minulého storočia nemalo uznávané dôkazy pre prípad ľubovoľných celočíselných mocnín celých čísel). storočia). Účelom tejto úvahy je zistiť matematickú nesprávnosť vyššie uvedeného porovnania a v dôsledku analýzy nájsť zásadnú chybu v dôkaze uvedenom v.

a) Kde a aká je chyba?

Budeme sa teda riadiť textom, kde sa na strane 448 hovorí, že po „duchaplnom nápade“ G. Freya sa otvorila možnosť dokázať WTF. V roku 1984 navrhol G. Frey a

K. Ribet neskôr dokázal, že predpokladaná eliptická krivka predstavujúca hypotetické celočíselné riešenie Fermatovej rovnice

y2 = x(x + u p) (x - v p) (1)

nemôže byť modulárny. A. Wiles a R. Taylor však dokázali, že každá semistabilná eliptická krivka definovaná nad poľom racionálnych čísel je modulárna. To viedlo k záveru o nemožnosti celočíselných riešení Fermatovej rovnice a následne o platnosti Fermatovho tvrdenia, ktoré sa v zápise A. Wilesa zapísalo ako veta 0,5: nech je rovnosť

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Kde ty v, w- racionálne čísla, celočíselný exponent p ≥ 3; potom (2) je splnené len vtedy, ak uvw = 0 .

Teraz by sme sa zrejme mali vrátiť a kriticky sa zamyslieť nad tým, prečo bola krivka (1) a priori vnímaná ako eliptická a aké je jej skutočné spojenie s Fermatovou rovnicou. Predvídajúc túto otázku sa A. Wiles odvoláva na prácu Y. Hellegouarcha, v ktorej našiel spôsob, ako spojiť Fermatovu rovnicu (pravdepodobne vyriešenú v celých číslach) s hypotetickou krivkou tretieho rádu. Na rozdiel od G. Freya I. Elleguarche nespájal svoju krivku s modulárnymi formami, avšak jeho metóda získania rovnice (1) bola použitá na ďalší pokrok v dôkaze A. Wilesa.

Pozrime sa bližšie na prácu. Autor svoje úvahy vedie z hľadiska projektívnej geometrie. Zjednodušením niektorých jeho zápisov a ich uvedením do súladu s , zistíme, že Abelovská krivka

Y2 = X(X - βp)(X + γ p) (3)

porovnáva sa diofantínová rovnica

X p+ r p+ z p = 0 (4)

Kde X, y, z sú neznáme celé čísla, p je celočíselný exponent z (2) a riešenia diofantínskej rovnice (4) α p , β p , γ p sa používajú na zápis Abelovej krivky (3).

Teraz, aby sme sa uistili, že ide o eliptickú krivku 3. rádu, je potrebné zvážiť premenné X a Y v (3) v euklidovskej rovine. Na tento účel používame známe pravidlo aritmetiky eliptických kriviek: ak na kubickej algebraickej krivke sú dva racionálne body a priamka prechádzajúca týmito bodmi pretína túto krivku v inom bode, potom je tento bod tiež racionálnym bodom. . Hypotetická rovnica (4) formálne predstavuje zákon sčítania bodov na priamke. Ak urobíme zmenu premenných X p = A, r p = B, z p = C a nasmerujte výslednú priamku pozdĺž osi X v (3), potom pretína krivku 3. stupňa v troch bodoch: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), čo sa odráža v zápise Abelovskej krivky (3) a v podobnom zápise (1). Je však krivka (3) alebo (1) skutočne eliptická? Je zrejmé, že nie, pretože segmenty euklidovskej priamky sa pri pridávaní bodov na ňu berú na nelineárnej stupnici.

Ak sa vrátime k lineárnym súradnicovým systémom euklidovského priestoru, získame namiesto (1) a (3) vzorce, ktoré sú veľmi odlišné od vzorcov pre eliptické krivky. Napríklad (1) môže mať nasledujúci tvar:

η 2p = ξ p (ξ p + u p) (ξ p - v p) (5)

kde ξ p = x, η p = y, a odvolanie sa na (1) v tomto prípade na odvodenie WTF sa zdá byť nelegitímne. Napriek tomu, že (1) spĺňa niektoré kritériá pre triedu eliptických kriviek, nespĺňa najdôležitejšie kritérium, že ide o rovnicu 3. stupňa v lineárnom súradnicovom systéme.

b) Klasifikácia chýb

Vráťme sa teda ešte raz na začiatok úvahy a pozrime sa, ako sa dospelo k záveru o pravdivosti WTF. Po prvé, predpokladá sa, že existuje nejaké riešenie Fermatovej rovnice v kladných celých číslach. Po druhé, toto riešenie je ľubovoľne vložené do algebraického tvaru známeho tvaru (rovinná krivka stupňa 3) za predpokladu, že takto získané eliptické krivky existujú (druhý nepotvrdený predpoklad). Po tretie, keďže iné metódy dokazujú, že konkrétna zostrojená krivka je nemodulárna, znamená to, že neexistuje. To vedie k záveru: neexistuje celočíselné riešenie Fermatovej rovnice, a preto je WTF správna.

V týchto argumentoch je jeden slabý článok, ktorý sa po podrobnom overení ukáže ako chyba. K tejto chybe dochádza v druhej fáze procesu dokazovania, keď sa predpokladá, že hypotetické riešenie Fermatovej rovnice je zároveň riešením algebraickej rovnice 3. stupňa opisujúcej eliptickú krivku známeho tvaru. Sám o sebe by bol takýto predpoklad opodstatnený, ak by naznačená krivka bola skutočne eliptická. Ako je však zrejmé z bodu 1a), táto krivka je prezentovaná v nelineárnych súradniciach, čo ju robí „iluzórnou“, t.j. skutočne neexistujúce v lineárnom topologickom priestore.

Teraz musíme zistenú chybu jasne klasifikovať. Spočíva v tom, že to, čo je potrebné dokázať, sa prezentuje ako dôkazný argument. V klasickej logike je táto chyba známa ako „začarovaný kruh“. V tomto prípade sa celočíselné riešenie Fermatovej rovnice porovná (zrejme, pravdepodobne jednoznačne) s fiktívnou, neexistujúcou eliptickou krivkou a potom sa všetok pátos ďalšieho uvažovania vynaloží na dokazovanie, že konkrétna eliptická krivka tohto tvaru, získaná z hypotetických riešení Fermatovej rovnice, neexistuje.

Ako sa stalo, že takáto elementárna chyba sa minula v serióznej matematickej práci? Stalo sa to pravdepodobne preto, že „iluzórne“ geometrické útvary tohto typu sa predtým v matematike neštudovali. Vskutku, koho by mohol zaujímať napríklad fiktívny kruh získaný z Fermatovej rovnice nahradením premenných x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Koniec koncov, jej rovnica C 2 = A 2 + B 2 nemá celočíselné riešenia pre celé číslo x, y, z a n ≥ 3. V nelineárnych súradnicových osiach X a Y by takýto kruh bol opísaný rovnicou, ktorá sa vzhľadom veľmi podobá štandardnému tvaru:

Y2 = - (X - A) (X + B),

kde A a B už nie sú premenné, ale špecifické čísla určené vyššie uvedenou substitúciou. Ale ak čísla A a B dostanú svoj pôvodný tvar, ktorý spočíva v ich mocenskom charaktere, potom heterogenita zápisu vo faktoroch na pravej strane rovnice okamžite upúta pozornosť. Táto funkcia pomáha rozlíšiť ilúziu od reality a prejsť z nelineárnych na lineárne súradnice. Na druhej strane, ak čísla považujeme za operátory pri ich porovnávaní s premennými, ako napríklad v (1), potom musia byť obe veličiny homogénne, t.j. musí mať rovnaké stupne.

Toto chápanie mocnín čísel ako operátorov nám tiež umožňuje vidieť, že porovnanie Fermatovej rovnice s iluzórnou eliptickou krivkou nie je jednoznačné. Vezmime si napríklad jeden z faktorov na pravej strane (5) a rozložme ho na p lineárnych faktorov, pričom zavedieme komplexné číslo r také, že r p = 1 (pozri napríklad):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Potom môže byť forma (5) reprezentovaná ako rozklad na prvočiniteľa komplexných čísel podľa typu algebraickej identity (6), avšak jedinečnosť takéhoto rozkladu vo všeobecnom prípade je otázna, ako raz ukázal Kummer .

2. Závery

Z predchádzajúcej analýzy vyplýva, že takzvaná aritmetika eliptických kriviek nedokáže osvetliť, kde hľadať dôkaz WTF. Po práci sa Fermatov výrok, mimochodom, braný ako epigraf tohto článku, začal vnímať ako historický vtip alebo hoax. V skutočnosti sa však ukazuje, že to nebol Fermat, kto žartoval, ale odborníci, ktorí sa zišli na matematickom sympóziu v Oberwolfachu v Nemecku v roku 1984, na ktorom G. Frey vyslovil svoj vtipný nápad. Dôsledky takéhoto neopatrného konštatovania priviedli matematiku ako celok na pokraj straty dôvery verejnosti, ktorá je podrobne popísaná v a ktorá nutne vyvoláva otázku zodpovednosti vedeckých inštitúcií voči spoločnosti. Porovnanie Fermatovej rovnice s Freyovou krivkou (1) je „zámkom“ celého Wilesovho dôkazu týkajúceho sa Fermatovej vety, a ak neexistuje žiadna zhoda medzi Fermatovou krivkou a modulárnymi eliptickými krivkami, potom neexistuje žiadny dôkaz.

Nedávno sa objavili rôzne internetové správy o tom, že niektorí významní matematici konečne prišli na Wilesov dôkaz Fermatovej vety a prišli s jej odôvodnením v podobe „minimálneho“ prepočtu celočíselných bodov v euklidovskom priestore. Žiadna inovácia však nemôže zrušiť klasické výsledky, ktoré už ľudstvo získalo v matematike, najmä skutočnosť, že hoci sa akékoľvek poradové číslo zhoduje s jeho kvantitatívnym analógom, nemôže ho nahradiť v operáciách vzájomného porovnávania čísel, a preto s nevyhnutným záverom vyplýva, že Freyova krivka (1) nie je spočiatku eliptická, t.j. nie je to podľa definície.

BIBLIOGRAFIA:

1. Ivliev Yu.A. Rekonštrukcia pôvodného dôkazu Fermatovej poslednej vety - United Scientific Journal (časť "Matematika"). Apríl 2006 č. 7 (167) s. 3-9, pozri tiež Praci z Luganskej pobočky Medzinárodnej akadémie informatizácie. Ministerstvo školstva a vedy Ukrajiny. Národná univerzita Skhidnoukransky pomenovaná po. V.Dal. 2006 č. 2 (13) s.19-25.
2. Ivliev Yu.A. Najväčší vedecký podvod 20. storočia: „dôkaz“ poslednej Fermatovej vety – Prírodné a technické vedy (časť „História a metodológia matematiky“). August 2007 č. 4 (30) s.34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Posledná Fermatova veta. Genetický úvod do algebraickej teórie čísel. Za. z angličtiny upravil B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
4. Hellegouarch Y. Body d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s.253-263.
5. Wiles A. Modulárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta - Annals of Mathematics. Máj 1995 v.141 Druhá séria č. 3 str.443-551.

Bibliografický odkaz

Pred mnohými rokmi som dostal list z Taškentu od Valeryho Muratova, súdiac podľa rukopisu, muža v puberte, ktorý vtedy býval na Kommunisticheskaya ulici číslo 31. Chlapík bol odhodlaný: „Prejdite rovno k veci. Koľko zaplatíte mne za dokazovanie Fermatovej vety? "Som spokojny s aspon 500 rublmi. Inokedy by som ti to dokazal aj zadarmo, ale teraz potrebujem peniaze..."

Úžasný paradox: málokto vie, kto je Fermat, kedy žil a čo robil. Ešte menej ľudí dokáže opísať jeho veľkú vetu aj v tých najvšeobecnejších pojmoch. Ale každý vie, že existuje nejaký druh Fermatovej vety, ktorej dôkaz matematici na celom svete bojujú už viac ako 300 rokov, ale nemôžu ju dokázať!

Existuje veľa ambicióznych ľudí a samotné vedomie, že existuje niečo, čo iní nedokážu, ešte viac podnecuje ich ambície. Na akadémie, vedecké ústavy a dokonca aj do redakcií novín po celom svete preto prichádzali a prichádzajú tisíce (!) dôkazov Veľkej vety – bezprecedentný a nikdy neprekonaný rekord pseudovedeckej amatérskej činnosti. Existuje dokonca aj termín: „Fermatisti“, teda ľudia posadnutí dokazovaním Veľkej vety, ktorí úplne potrápili profesionálnych matematikov požiadavkami na hodnotenie ich práce. Slávny nemecký matematik Edmund Landau dokonca pripravil štandard, podľa ktorého odpovedal: „Vo vašom dôkaze Fermatovej vety je na stránke chyba...“ a jeho absolventi si zapísali číslo strany. A potom v lete 1994 noviny po celom svete informovali o niečom úplne senzačnom: Veľká veta bola dokázaná!

Kto je teda Fermat, v čom je problém a je skutočne vyriešený? Pierre Fermat sa narodil v roku 1601 do rodiny garbiara, bohatého a váženého muža – pôsobil ako druhý konzul v rodnom meste Beaumont – niečo ako asistent starostu. Pierre študoval najprv u františkánskych mníchov, potom na Právnickej fakulte v Toulouse, kde potom vykonával právnickú prax. Fermatov okruh záujmov však ďaleko presahoval rámec judikatúry. Zaujímal sa najmä o klasickú filológiu, známe sú jeho komentáre k textom antických autorov. A mojou druhou vášňou je matematika.

V 17. storočí, ako aj o mnoho rokov neskôr, takéto povolanie neexistovalo: matematik. Preto všetci veľkí matematici tej doby boli matematici „na čiastočný úväzok“: Rene Descartes slúžil v armáde, François Viète bol právnik, Francesco Cavalieri bol mních. Vtedy neexistovali žiadne vedecké časopisy a klasický vedec Pierre Fermat počas svojho života nepublikoval ani jednu vedeckú prácu. Existoval pomerne úzky okruh „amatérov“, ktorí riešili rôzne pre nich zaujímavé problémy a písali si o tom listy, niekedy sa hádali (ako Fermat a Descartes), ale väčšinou zostali rovnako zmýšľajúci. Stali sa zakladateľmi novej matematiky, rozsievačmi brilantných semien, z ktorých začal vyrastať mohutný strom moderného matematického poznania, naberal silu a vetvil sa.

Fermat bol teda rovnaký „amatér“. V Toulouse, kde žil 34 rokov, ho všetci poznali predovšetkým ako poradcu vyšetrovacej komory a skúseného právnika. Ako 30-ročný sa oženil, mal troch synov a dve dcéry, občas chodieval na služobné cesty a pri jednej z nich náhle vo veku 63 rokov zomrel. Všetky! Život tohto muža, súčasníka Troch mušketierov, je prekvapivo pokojný a bez dobrodružstva. Dobrodružstvá prišli s jeho Veľkou teorémou. Nehovorme o celom Fermatovom matematickom dedičstve a je ťažké o ňom hovoriť ľudovo. Vezmite na to moje slovo: toto dedičstvo je veľké a rozmanité. Tvrdenie, že Veľká veta je vrcholom jeho práce, je veľmi kontroverzné. Ide len o to, že osud Veľkej vety je prekvapivo zaujímavý a obrovský svet ľudí nezasvätených do tajomstiev matematiky sa vždy nezaujímal o samotnú vetu, ale o všetko okolo nej...

Korene celého tohto príbehu treba hľadať v staroveku, tak milovanom Fermatom. Okolo 3. storočia žil v Alexandrii grécky matematik Diophantus, pôvodný vedec, ktorý myslel mimo rámca a vyjadroval svoje myšlienky mimo rámca. Z 13 zväzkov jeho Aritmetiky sa k nám dostalo len 6. Práve keď Fermat dovŕšil 20 rokov, vyšiel nový preklad jeho diel. Fermat sa o Diophanta veľmi zaujímal a tieto diela boli jeho referenčnou knihou. Na jej okraj Fermat zapísal svoju Veľkú vetu, ktorá vo svojej najjednoduchšej modernej podobe vyzerá takto: rovnica Xn + Yn = Zn nemá riešenie v celých číslach pre n - väčšie ako 2. (Pre n = 2 je riešenie zrejmé : 32 + 42 = 52). Fermat na okraji zväzku Diophantine dodáva: „Objavil som tento skutočne úžasný dôkaz, ale tieto okraje sú na to príliš úzke.“

Na prvý pohľad je to jednoduchá vec, ale keď iní matematici začali dokazovať túto „jednoduchú“ vetu, sto rokov sa to nikomu nepodarilo. Napokon to veľký Leonhard Euler dokázal pre n = 4, potom o 20 (!) rokov neskôr - pre n = 3. A opäť sa práca na dlhé roky zastavila. Ďalšie víťazstvo patrilo Nemcovi Petrovi Dirichletovi (1805-1859) a Francúzovi Andrienovi Legendremu (1752-1833) - uznali, že Fermat mal pravdu pre n = 5. Potom urobil to isté Francúz Gabriel Lamé (1795-1870) pre n = 7. Nakoniec, v polovici minulého storočia, Nemec Ernst Kummer (1810-1893) dokázal Veľkú vetu pre všetky hodnoty n menšie alebo rovné 100. Navyše ju dokázal pomocou metód, ktoré Fermat nemohol vedieť, čo ešte viac zvýšilo nádych tajomstva okolo Veľkej vety.

Ukázalo sa teda, že dokázali Fermatovu vetu „kúsok po kúsku“, ale nikto neuspel „v celom rozsahu“. Nové pokusy o dôkazy viedli iba ku kvantitatívnemu zvýšeniu hodnôt n. Každý pochopil, že s veľkým množstvom práce je možné dokázať Veľkú vetu pre ľubovoľne veľký počet n, ale Fermat hovoril o akomkoľvek hodnota väčšia ako 2! Práve v tomto rozdiele medzi „ako sa vám páči“ a „akýmkoľvek“ sa sústredil celý význam problému.

Treba však poznamenať, že pokusy dokázať Fermgovu vetu neboli len akousi matematickou hrou, ktorá riešila zložitý rébus. V procese týchto dôkazov sa otvorili nové matematické obzory, vznikli a vyriešili sa problémy, ktoré sa stali novými vetvami matematického stromu. Veľký nemecký matematik David Hilbert (1862 – 1943) uviedol Veľkú vetu ako príklad „podnecujúceho vplyvu, ktorý môže mať na vedu zvláštny a zdanlivo bezvýznamný problém“. Ten istý Kummer, pracujúci na Fermatovej vete, sám dokázal vety, ktoré tvorili základ teórie čísel, algebry a teórie funkcií. Dokazovanie Veľkej vety teda nie je šport, ale skutočná veda.

Čas plynul a elektronika prišla na pomoc profesionálnym „fsrmatntsts“. Elektronické mozgy nedokázali prísť s novými metódami, ale urobili to rýchlo. Približne začiatkom 80-tych rokov bola Fermatova veta dokázaná pomocou počítača pre n menšie alebo rovné 5500. Postupne toto číslo narástlo na 100 000, ale každý pochopil, že takáto „akumulácia“ je vecou čistej technológie, ktorá nič nedáva. do mysle alebo srdca. Nemohli zaujať pevnosť Great Theorem a začali hľadať manévre na obídenie.

V polovici 80. rokov mladý nematematik G. Filytings dokázal takzvanú „Mordellovu domnienku“, ktorá, mimochodom, tiež „neprišla do rúk“ žiadnemu matematikovi 61 rokov. Vznikla nádej, že teraz, takpovediac, „útokom z boku“ možno vyriešiť Fermatovu vetu. Vtedy sa však nič nedialo. V roku 1986 nemecký matematik Gerhard Frey navrhol v Essence novú metódu dôkazu. Nesnažím sa to vysvetľovať striktne, ale nie v matematickom, ale v univerzálnom ľudskom jazyku, znie to asi takto: ak sme presvedčení, že dôkaz nejakej inej vety je nepriamy, nejakým spôsobom transformovaný dôkaz Fermatovu vetu teda dokážeme Veľkú vetu. O rok neskôr Američan Kenneth Ribet z Berkeley ukázal, že Frey mal pravdu a skutočne, jeden dôkaz sa dá zredukovať na druhý. Touto cestou sa vydali mnohí matematici v rôznych krajinách sveta. Viktor Aleksandrovič Kolyvanov urobil veľa, aby dokázal Veľkú vetu. Tristoročné múry nedobytnej pevnosti sa začali triasť. Matematici si uvedomili, že dlho nevydrží.

V lete 1993 sa v starovekom Cambridge na Inštitúte matematických vied Isaaca Newtona zišlo 75 najvýznamnejších svetových matematikov, aby prediskutovali svoje problémy. Bol medzi nimi aj americký profesor Andrew Wiles z Princetonskej univerzity, významný špecialista na teóriu čísel. Každý vedel, že dlhé roky študoval Veľkú vetu. Wiles podal tri správy a pri poslednej - 23. júna 1993 - na samom konci, keď sa odvrátil od tabule, s úsmevom povedal:

- Myslím, že nebudem pokračovať...

Najprv zavládlo mŕtve ticho, potom záplava potlesku. Tí, ktorí sedeli v sále, boli dostatočne kvalifikovaní, aby pochopili: Fermatova posledná veta bola dokázaná! V každom prípade nikto z prítomných nezistil chyby v vykonanom dokazovaní. Zástupca riaditeľa Newton Institute Peter Goddard novinárom povedal:

"Väčšina odborníkov si nemyslela, že bude poznať odpoveď až do konca svojho života." Toto je jeden z najväčších úspechov v matematike nášho storočia...

Prešlo niekoľko mesiacov, neprišli žiadne pripomienky ani vyvrátenia. Pravda, Wiles nezverejnil svoj dôkaz, ale iba rozoslal takzvané výtlačky svojej práce veľmi úzkemu okruhu svojich kolegov, čo, prirodzene, bráni matematikom komentovať túto vedeckú senzáciu a rozumiem aj akademikovi Ludwigovi Dmitrievichovi Faddeevovi, kto povedal:

"Môžem povedať, že keď vidím dôkaz na vlastné oči, nastal senzácia."

Faddeev verí, že pravdepodobnosť výhry Wilesa je veľmi vysoká.

"Môj otec, známy odborník na teóriu čísel, bol napríklad presvedčený, že veta bude dokázaná, ale nie elementárnymi prostriedkami," dodal.

Náš ďalší akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bol k tejto novinke skeptický a verí, že dôkaz Veľkej vety nie je vôbec naliehavým matematickým problémom. Maslov, predseda Rady pre aplikovanú matematiku, má z hľadiska svojich vedeckých záujmov ďaleko od „fermatistov“ a keď hovorí, že kompletné riešenie Veľkej vety má len športový záujem, dá sa to pochopiť. Dovolím si však poznamenať, že pojem relevantnosti v akejkoľvek vede je premenlivá veličina. Pred 90 rokmi Rutherfordovi pravdepodobne tiež povedali: "No, dobre, dobre, teória rádioaktívneho rozpadu... No a čo? Načo to je?..."

Práca na dôkaze Veľkej vety dala matematike už veľa a môžeme dúfať, že dá ešte viac.

„To, čo urobil Wiles, posunie matematikov do iných oblastí,“ povedal Peter Goddard. — Skôr neuzatvára jeden z myšlienkových smerov, ale nastoľuje nové otázky, ktoré si budú vyžadovať odpoveď...

Profesor Moskovskej štátnej univerzity Michail Iľjič Zelikin mi súčasnú situáciu vysvetlil takto:

Vo Wilesovej práci nikto nevidí žiadne chyby. Aby sa však táto práca stala vedeckým faktom, je potrebné, aby viacerí renomovaní matematici nezávisle zopakovali tento dôkaz a potvrdili jeho správnosť. Toto je nevyhnutná podmienka, aby matematická verejnosť pochopila Wilesovu prácu...

Ako dlho to trvá?

Túto otázku som položil jednému z našich popredných odborníkov v oblasti teórie čísel, doktorovi fyzikálnych a matematických vied Alexejovi Nikolajevičovi Parshinovi.

— Andrew Wiles má pred sebou ešte veľa času...

Faktom je, že 13. septembra 1907 nemecký matematik P. Wolfskel, ktorý bol na rozdiel od drvivej väčšiny matematikov boháčom, odkázal 100 tisíc mariek tomu, kto o ďalších 100 rokov dokáže Veľkú vetu. Začiatkom storočia išiel úrok z odkázanej sumy do pokladnice slávnej univerzity v Goethanghente. Za tieto peniaze boli pozývaní poprední matematici, aby prednášali a viedli vedeckú prácu. Predsedom oceňovacej komisie bol v tom čase už spomínaný David Gilbert. Naozaj nechcel zaplatiť bonus.

"Našťastie," povedal veľký matematik, "zdá sa, že okrem mňa nemáme matematika, ktorý by túto úlohu zvládol, ale nikdy sa neodvážim zabiť hus, ktorá nám znáša zlaté vajcia."

Do termínu 2007, ktorý určil Wolfskehl, zostáva niekoľko rokov a zdá sa mi, že nad „Hilbertovým kuracom“ číha vážne nebezpečenstvo. Ale v skutočnosti to nie je o bonuse. Je to vec zvedavosti myslenia a ľudskej vytrvalosti. Bojovali viac ako tristo rokov, no stále to dokázali!

A ďalej. Pre mňa je na celom tomto príbehu najzaujímavejšie: ako sám Fermat dokázal svoju Veľkú vetu? Veď všetky dnešné matematické triky mu boli neznáme. A dokázal to vôbec? Koniec koncov, existuje verzia, že sa zdalo, že to dokázal, ale sám našiel chybu, a preto neposlal dôkaz iným matematikom a zabudol prečiarknuť záznam na okraji Diophantovho zväzku. Preto sa mi zdá, že dôkaz Veľkej vety očividne prebehol, ale tajomstvo Fermatovej vety zostáva a je nepravdepodobné, že ho niekedy odhalíme...

Fermat sa vtedy možno pomýlil, ale nemýlil sa, keď napísal: „Možno mi budú potomkovia vďační, že som im ukázal, že starí ľudia nevedeli všetko, a to môže preniknúť do vedomia tých, ktorí prídu po mne. pochodeň svojim synom...“