Posledná Fermatova veta. „Potvrdila sa Fermatova posledná veta? Kto a kedy dokázal Fermatovu vetu?
Že Abelovu cenu v roku 2016 získa Andrew Wiles za dôkaz Taniyama-Shimurovej domnienky o semistabilných eliptických krivkách a dôkaz Fermatovej poslednej vety, ktorá z tejto domnienky vyplýva. V súčasnosti je prémia 6 miliónov nórskych korún, teda približne 50 miliónov rubľov. Podľa Wilesa bola cena pre neho „úplným prekvapením“.
Fermatova veta overená pred viac ako 20 rokmi stále priťahuje pozornosť matematikov. Čiastočne je to spôsobené jeho formuláciou, ktorá je zrozumiteľná aj pre školáka: dokážte, že pre prirodzené n>2 neexistujú trojice nenulových celých čísel, že a n + b n = c n . Pierre Fermat napísal tento výraz na okraj Diophantusovej aritmetiky a pridal pozoruhodný podpis: „Našiel som skutočne úžasný dôkaz [tohto tvrdenia], ale okraje knihy sú na to príliš úzke. Na rozdiel od väčšiny matematických rozprávok je táto skutočná.
Odovzdávanie ceny je vynikajúcou príležitosťou pripomenúť si desať zábavných príbehov súvisiacich s Fermatovou vetou.
1.
Predtým, ako Andrew Wiles dokázal Fermatovu vetu, správnejšie sa nazývala hypotéza, teda Fermatova domnienka. Faktom je, že veta je podľa definície už osvedčeným tvrdením. Avšak z nejakého dôvodu bolo toto konkrétne meno pripojené k tomuto vyhláseniu.
2.
Ak vo Fermatovej vete nastavíme n = 2, potom má takáto rovnica nekonečne veľa riešení. Tieto riešenia sa nazývajú „pytagorejské trojky“. Tento názov dostali, pretože zodpovedajú pravouhlým trojuholníkom, ktorých strany sú vyjadrené presne takýmito množinami čísel. Pomocou týchto troch vzorcov (m 2 - n 2, 2 mn, m 2 + n 2) môžete vygenerovať Pytagorove trojice. Do týchto vzorcov musíme dosadiť rôzne hodnoty m a n a výsledkom budú trojice, ktoré potrebujeme. Tu je však dôležité zabezpečiť, aby výsledné čísla boli väčšie ako nula - dĺžky nemožno vyjadriť ako záporné čísla.
Mimochodom, je ľahké vidieť, že ak sa všetky čísla v pytagorejskej trojici vynásobia nejakým nenulovým číslom, získa sa nová pytagorejská trojica. Preto je rozumné študovať trojičky, v ktorých tri čísla spolu nemajú žiadny spoločný faktor. Schéma, ktorú sme opísali, nám umožňuje získať všetky takéto trojčatá - to už nie je jednoduchý výsledok.
3.
1. marca 1847 na stretnutí Parížskej akadémie vied dvaja matematici – Gabriel Lamé a Augustin Cauchy – oznámili, že sú na pokraji dokázania pozoruhodnej vety. Pretekali sa v zverejnení dôkazov. Väčšina akademikov fandila Kulhavému, keďže Cauchy bol samoľúby, netolerantný náboženský fanatik (a, samozrejme, absolútne brilantný matematik na čiastočný úväzok). Zápasu však nebolo súdené skončiť – nemecký matematik Ernst Kummer prostredníctvom svojho priateľa Josepha Liouvilla informoval akademikov, že v dôkazoch Cauchyho a Lameho je rovnaká chyba.
V škole je dokázané, že rozklad čísla na prvočísla je jedinečný. Obaja matematici verili, že ak sa pozrieme na expanziu celých čísel v komplexnom prípade, tak táto vlastnosť – jedinečnosť – zostane zachovaná. Avšak nie je.
Je pozoruhodné, že ak vezmeme do úvahy iba m + i n, potom je expanzia jedinečná. Takéto čísla sa nazývajú Gaussove. Ale Lamého a Cauchyho práca si vyžadovala faktorizáciu v cyklotomických poliach. Sú to napríklad čísla, v ktorých m a n sú racionálne a i spĺňa vlastnosť i^k = 1.
4.
Fermatova veta pre n = 3 má jasný geometrický význam. Predstavme si, že máme veľa malých kociek. Poskladáme z nich dve veľké kocky. V tomto prípade budú strany samozrejme celé čísla. Je možné nájsť dve také veľké kocky, z ktorých by sme ich rozložením na ich súčiastku malých kociek zostavili jednu veľkú kocku? Fermatova veta hovorí, že sa to nikdy nedá. Je smiešne, že ak položíte rovnakú otázku pre tri kocky, odpoveď je áno. Napríklad existuje toto kvarteto čísel, ktoré objavil úžasný matematik Srinivas Ramanujan:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
V histórii Fermatovej vety bol zaznamenaný Leonard Euler. Skutočne sa mu nepodarilo tvrdenie dokázať (ani sa k dôkazu priblížiť), ale sformuloval hypotézu, že rovnica
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
nemá riešenie v celých číslach. Všetky pokusy nájsť riešenie takejto rovnice čelne boli neúspešné. Až v roku 1988 sa Nahumovi Elkiesovi z Harvardu podarilo nájsť protipríklad. Vyzerá to takto:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Tento vzorec sa zvyčajne zapamätá v kontexte numerického experimentu. V matematike to spravidla vyzerá takto: existuje nejaký vzorec. Matematik si tento vzorec v jednoduchých prípadoch overí, uistí sa o jeho pravdivosti a sformuluje nejakú hypotézu. Potom (hoci častejšie niektorý z jeho postgraduálnych študentov alebo vysokoškolákov) napíše program na kontrolu správnosti vzorca pre dostatočne veľké čísla, ktoré sa nedajú spočítať rukou (hovoríme o jednom takomto experimente s prvočíslami). To samozrejme nie je dôkaz, ale výborný dôvod na vyslovenie hypotézy. Všetky tieto konštrukcie sú založené na rozumnom predpoklade, že ak existuje protipríklad k nejakému rozumnému vzorcu, potom ho nájdeme dostatočne rýchlo.
Eulerova hypotéza nám pripomína, že život je oveľa rozmanitejší ako naše fantázie: prvý protipríklad môže byť taký veľký, ako si želáte.
6.
V skutočnosti sa, samozrejme, Andrew Wiles nesnažil dokázať Fermatovu vetu – riešil zložitejší problém zvaný Taniyama-Shimurova domnienka. V matematike existujú dve úžasné triedy objektov. Prvý sa nazýva modulárne formy a sú v podstate funkciami v Lobačevskom priestore. Tieto funkcie sa nemenia pohybmi práve v tejto rovine. Druhá sa nazýva „eliptické krivky“ a predstavuje krivky definované rovnicou tretieho stupňa v komplexnej rovine. Oba objekty sú v teórii čísel veľmi obľúbené.
V 50. rokoch minulého storočia sa v knižnici Tokijskej univerzity stretli dvaja talentovaní matematici Yutaka Taniyama a Goro Shimura. V tom čase na univerzite neexistovala žiadna špeciálna matematika: po vojne jednoducho nemala čas na zotavenie. Výsledkom bolo, že vedci študovali pomocou starých učebníc a na seminároch diskutovali o problémoch, ktoré sa v Európe a USA považovali za vyriešené a nie mimoriadne relevantné. Boli to Taniyama a Shimura, ktorí zistili, že existuje určitá zhoda medzi modulárnymi formami a eliptickými funkciami.
Svoju hypotézu testovali na niektorých jednoduchých triedach kriviek. Ukázalo sa, že to funguje. Predpokladali teda, že toto spojenie vždy existuje. Takto sa objavila hypotéza Taniyama-Shimura a o tri roky neskôr Taniyama spáchal samovraždu. V roku 1984 nemecký matematik Gerhard Frey ukázal, že ak je Fermatova veta nepravdivá, potom je aj Taniyama-Shimurova domnienka nepravdivá. Z toho vyplývalo, že kto dokázal túto hypotézu, dokázal by aj vetu. To je presne to, čo urobil Wiles - aj keď nie celkom všeobecne.
7.
Wiles strávil osem rokov dokazovaním hypotézy. A počas preskúmania v ňom recenzenti našli chybu, ktorá „zabila“ väčšinu dôkazov a znegovala všetky roky práce. Jeden z recenzentov, menom Richard Taylor, sa rozhodol túto dieru zaplátať Wilesom. Kým pracovali, objavila sa správa, že Elkies, ten istý, ktorý našiel protipríklad k Eulerovej domnienke, našiel aj protipríklad k Fermatovej vete (neskôr sa ukázalo, že to bol prvoaprílový žart). Wiles upadol do depresie a nechcel pokračovať - diera v dôkazoch by sa nedala uzavrieť. Taylor presvedčil Wilesa, aby bojoval ešte mesiac.
Stal sa zázrak a do konca leta sa matematikom podaril prelom - takto vyzerajú diela „Moduárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta“ od Andrewa Wilesa (pdf) a „Ring-teoretické vlastnosti niektorých Heckeho algebier“ od Richarda Narodili sa Taylor a Andrew Wilesovci. Toto už bol správny dôkaz. Vyšlo v roku 1995.
8.
V roku 1908 zomrel v Darmstadte matematik Paul Wolfskehl. Zanechal po sebe závet, v ktorom dal matematickej komunite 99 rokov, aby našla dôkaz poslednej Fermatovej vety. Autor dôkazu mal dostať 100 tisíc mariek (autor protipríkladu by mimochodom nedostal nič). Podľa rozšírenej legendy Wolfskehla motivovala dať matematikom takýto darček láska. Takto Simon Singh opisuje legendu vo svojej knihe Fermat's Last Theorem:
Príbeh začína tým, že sa Wolfskehl zamiluje do krásnej ženy, ktorej identita nebola nikdy zistená. Nanešťastie pre Wolfskela ho záhadná žena odmietla. Upadol do takého hlbokého zúfalstva, že sa rozhodol spáchať samovraždu. Wolfskel bol vášnivý muž, ale nie impulzívny, a preto začal svoju smrť riešiť do všetkých detailov. Stanovil si dátum samovraždy a úderom polnoci sa rozhodol streliť si do hlavy. Počas zostávajúcich dní sa Wolfskel rozhodol dať do poriadku svoje záležitosti, ktoré išli skvele, a v posledný deň urobil závet a napísal listy blízkym priateľom a príbuzným.
Wolfskel pracoval tak usilovne, že všetku prácu dokončil pred polnocou a aby ako-tak zaplnil zvyšné hodiny, odišiel do knižnice, kde si začal prezerať matematické časopisy. Čoskoro narazil na Kummerov klasický článok, v ktorom vysvetlil, prečo Cauchy a Lamé zlyhali. Kummerova práca bola jednou z najvýznamnejších matematických publikácií svojho storočia a bola najlepším čítaním pre matematika uvažujúceho o samovražde. Wolfskel pozorne sledoval Kummerove výpočty, riadok po riadku. Wolfskehlovi sa zrazu zdalo, že objavil medzeru: autor vyslovil domnienku a tento krok vo svojich úvahách neodôvodnil. Wolfskehl uvažoval, či skutočne objavil vážnu medzeru, alebo či bol Kummerov predpoklad opodstatnený. Ak bola objavená medzera, potom existovala šanca, že Fermatovu poslednú vetu možno dokázať oveľa jednoduchšie, ako si mnohí mysleli.
Wolfskehl sa posadil za stôl, starostlivo analyzoval „chybnú“ časť Kummerovho uvažovania a začal načrtávať mini-dôkaz, ktorý mal buď podporiť Kummerovu prácu, alebo demonštrovať omyl jeho predpokladu a v dôsledku toho vyvrátiť všetky jeho argumenty. Na úsvite Wolfskel dokončil svoje výpočty. Zlou (z matematického hľadiska) správou bolo, že Kummerov dôkaz bol opravený a Fermatova posledná veta zostala neprístupná. Ale bola tu dobrá správa: čas určený na samovraždu uplynul a Wolfskehl bol taký hrdý, že dokázal objaviť a vyplniť medzeru v diele veľkého Ernesta Kummera, že sa jeho zúfalstvo a smútok rozplynuli. Matematika mu vrátila chuť do života.
Existuje však aj alternatívna verzia. Podľa nej sa Wolfskehl dal na matematiku (a vlastne aj na Fermatovu vetu) kvôli progresívnej skleróze multiplex, ktorá mu bránila robiť to, čo miloval – byť lekárom. A peniaze nechal matematikom, aby ich nenechal svojej manželke, ktorú do konca života jednoducho nenávidel.
9.
Pokusy dokázať Fermatovu vetu pomocou elementárnych metód viedli k vzniku celej triedy podivných ľudí nazývaných „fermatisti“. Zaoberali sa výrobou obrovského množstva dôkazov a vôbec nezúfali, keď v týchto dôkazoch našli chybu.
Na Fakulte mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity bola legendárna postava menom Dobretsov. Zbieral certifikáty z rôznych katedier a pomocou nich vstúpil na Fakultu mechaniky a matematiky. Stalo sa tak výlučne s cieľom nájsť obeť. Nejako natrafil na mladého postgraduálneho študenta (budúceho akademika Novikova). Ten vo svojej naivite začal pozorne študovať stoh papierov, ktorý mu Dobretsov podal so slovami, vraj, tu je dôkaz. Po ďalšom „tu je chyba...“ Dobretsov zobral kôpku a vložil si ju do kufríka. Z druhého kufríka (áno, chodil po Fakulte mechaniky a matematiky s dvoma kufríkmi) vybral druhý balíček, povzdychol si a povedal: „Tak sa pozrime na možnosť 7 B.“
Mimochodom, väčšina týchto dôkazov začína vetou „Presuňme jeden z výrazov na pravú stranu rovnosti a rozložme ho na faktor“.
10.
Príbeh o vete by bol neúplný bez nádherného filmu „Matematik a diabol“.
novela
V časti 7 tohto článku sa pôvodne uvádzalo, že Nahum Elkies našiel protipríklad k Fermatovej vete, ktorý sa neskôr ukázal ako nesprávny. Toto je nesprávne: správa s protipríkladom bola prvoaprílovým žartom. Ospravedlňujeme sa za nepresnosť.
Andrej Konyajev
VEĽKÁ FERMOVA VETA - výrok Pierra Fermata (francúzskeho právnika a matematika na čiastočný úväzok), že diofantická rovnica X n + Y n = Z n s exponentom n>2, kde n = celé číslo, nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach . Autorov text: "Nie je možné rozložiť kocku na dve kocky alebo bikvadrát na dva bikvadráty alebo vo všeobecnosti mocninu väčšiu ako dva na dve mocniny s rovnakým exponentom."
"Fermat a jeho teorém", Amadeo Modigliani, 1920
S touto vetou prišiel 29. marca 1636 Pierre. A o 29 rokov neskôr zomrel. Ale tam sa to všetko začalo. Koniec koncov, bohatý nemecký milovník matematiky menom Wolfskehl odkázal stotisíc mariek tomu, kto predloží úplný dôkaz Fermatovej vety! Ale vzrušenie okolo vety bolo spojené nielen s týmto, ale aj s profesionálnou matematickou vášňou. Fermat sám naznačil matematickej komunite, že pozná dôkaz – krátko pred svojou smrťou, v roku 1665, zanechal na okraji Diofanta Alexandrijskej aritmetiky nasledujúcu poznámku: „Mám veľmi pozoruhodný dôkaz, ale je príliš veľký na to, aby bol umiestnené na poliach“.
Práve táto nápoveda (samozrejme plus peňažný bonus) prinútila matematikov stráviť svoje najlepšie roky neúspešným hľadaním dôkazu (podľa amerických vedcov len profesionálni matematici na tom strávili spolu 543 rokov).
V určitom okamihu (v roku 1901) práca na Fermatovej vete získala pochybnú povesť „práca podobná hľadaniu stroja na večný pohyb“ (dokonca sa objavil hanlivý výraz - „fermatisti“). A zrazu 23. júna 1993 na matematickej konferencii o teórii čísel v Cambridge anglický profesor matematiky z Princetonskej univerzity (New Jersey, USA) Andrew Wiles oznámil, že konečne dokázal Fermata!
Dôkaz však nebol len zložitý, ale aj zjavne chybný, ako na Wilesa upozornili jeho kolegovia. Profesor Wiles však celý život sníval o dokázaní teorémy, takže nie je prekvapujúce, že v máji 1994 predložil vedeckej komunite novú, prepracovanú verziu dôkazu. Nebola v ňom žiadna harmónia ani krása a stále to bolo veľmi zložité – fakt, že matematici strávili celý rok (!) analyzovaním tohto dôkazu, aby pochopili, či nie je chybný, hovorí sám za seba!
Nakoniec sa však zistilo, že Wilesov dôkaz je správny. Ale matematici neodpustili Pierrovi Fermatovi jeho narážku na „Aritmetiku“ a v skutočnosti ho začali považovať za klamára. V skutočnosti prvý, kto spochybňoval Fermatovu morálnu integritu, bol samotný Andrew Wiles, ktorý poznamenal, že "Fermat nemohol mať také dôkazy. Toto sú dôkazy z dvadsiateho storočia." Potom medzi inými vedcami zosilnel názor, že Fermat „nedokázal dokázať svoju vetu iným spôsobom a Fermat ju z objektívnych dôvodov nedokázal dokázať tak, ako to považoval Wiles“.
V skutočnosti to Fermat, samozrejme, mohol dokázať a o niečo neskôr tento dôkaz znovu vytvoria analytici Novej analytickej encyklopédie. Aké sú však tieto „objektívne dôvody“?
V skutočnosti existuje len jeden taký dôvod: v tých rokoch, keď Fermat žil, sa Taniyama domnienka, na ktorej Andrew Wiles založil svoj dôkaz, nemohla objaviť, pretože modulárne funkcie, s ktorými pracuje dohad Taniyama, boli objavené až koncom 19. storočí.
Ako sám Wiles dokázal vetu? Otázka nie je nečinná - je dôležitá pre pochopenie, ako by mohol sám Fermat dokázať svoju vetu. Wiles založil svoj dôkaz na dôkaze dohadu Taniyama, ktorý v roku 1955 predložil 28-ročný japonský matematik Yutaka Taniyama.
Hypotéza znie takto: „každá eliptická krivka zodpovedá určitej modulárnej forme“. Dlho známe eliptické krivky majú dvojrozmerný tvar (umiestnený v rovine), zatiaľ čo modulárne funkcie majú štvorrozmerný tvar. To znamená, že Taniyamova hypotéza spájala úplne odlišné koncepty – jednoduché ploché krivky a nepredstaviteľné štvorrozmerné tvary. Samotný fakt kombinovania rôznych dimenzionálnych obrazcov v hypotéze sa vedcom zdal absurdný, a preto sa mu v roku 1955 nepripisoval žiadny význam.
Na jeseň roku 1984 sa však „Tanijamova domnienka“ zrazu opäť spomenula a nielenže sa spomenula, ale aj jej možný dôkaz bol spojený s dôkazom Fermatovej vety! Urobil to matematik zo Saarbrückenu Gerhard Frey, ktorý vedeckú komunitu informoval, že „ak by sa niekomu podarilo dokázať Taniyamovu domnienku, bola by dokázaná aj Fermatova posledná veta“.
Čo urobil Frey? Pretransformoval Fermatovu rovnicu na kubickú, potom si všimol, že eliptická krivka získaná pomocou Fermatovej rovnice transformovanej na kubickú nemôže byť modulárna. Taniyamova domnienka však uviedla, že každá eliptická krivka môže byť modulárna! V súlade s tým nemôže existovať eliptická krivka vytvorená z Fermatovej rovnice, čo znamená, že nemôžu existovať celé riešenia a Fermatova veta, čo znamená, že je to pravda. V roku 1993 Andrew Wiles jednoducho dokázal Taniyamovu domnienku, a teda Fermatovu vetu.
Fermatovu vetu však možno dokázať oveľa jednoduchšie, na základe rovnakej multidimenzionality, na ktorej operovali Taniyama aj Frey.
Na začiatok si dajme pozor na podmienku, ktorú špecifikoval sám Pierre Fermat - n>2. Prečo bola táto podmienka potrebná? Áno, len preto, že s n=2 sa špeciálnym prípadom Fermatovej vety stáva obvyklá Pytagorova veta X 2 +Y 2 =Z 2, ktorá má nekonečný počet celočíselných riešení - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 a tak ďalej. Pytagorova veta je teda výnimkou z Fermatovej vety.
Prečo sa však takáto výnimka vyskytuje v prípade n=2? Všetko zapadne na svoje miesto, ak vidíte vzťah medzi stupňom (n=2) a rozmerom samotnej postavy. Pytagorov trojuholník je dvojrozmerný obrazec. Nie je prekvapením, že Z (to je prepona) môže byť vyjadrená pomocou nôh (X a Y), ktoré môžu byť celé čísla. Veľkosť uhla (90) umožňuje považovať preponu za vektor a nohy sú vektory umiestnené na osiach a pochádzajúce z počiatku. Podľa toho je možné vyjadriť dvojrozmerný vektor, ktorý neleží na žiadnej z osí, v zmysle vektorov, ktoré na nich ležia.
Ak sa teraz presunieme do tretej dimenzie, a teda do n=3, aby sme vyjadrili trojrozmerný vektor, nebude dostatok informácií o dvoch vektoroch, a preto bude možné vyjadriť Z vo Fermatovej rovnici. cez aspoň tri členy (tri vektory ležiace v tomto poradí na troch osiach súradnicového systému).
Ak n=4, potom by mali byť 4 členy, ak n=5, potom by malo byť 5 členov atď. V tomto prípade bude celých riešení viac než dosť. Napríklad 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 a tak ďalej (iné príklady pre n=3, n=4 atď. si môžete vybrať sami).
Čo z toho všetkého vyplýva? Z toho vyplýva, že Fermatova veta naozaj nemá celočíselné riešenia pre n>2 – ale len preto, že samotná rovnica je nesprávna! S rovnakým úspechom by sme sa mohli pokúsiť vyjadriť objem kvádra pomocou dĺžok jeho dvoch hrán - to je samozrejme nemožné (nikdy sa nenájde celé riešenie), ale len preto, že nájsť objem kvádra musíte poznať dĺžky všetkých troch jeho hrán.
Keď sa slávneho matematika Davida Gilberta spýtali, aký je teraz najdôležitejší problém pre vedu, odpovedal: „chytí muchu na odvrátenej strane Mesiaca“. Na rozumnú otázku "Kto to potrebuje?" odpovedal: "Nikto to nepotrebuje. Zamyslite sa však nad tým, koľko dôležitých a zložitých problémov treba vyriešiť, aby sa to zrealizovalo."
Inými slovami, Fermat (predovšetkým právnik!) zahral vtipný právnický vtip na celý matematický svet založený na nesprávnej formulácii problému. V skutočnosti navrhol, aby matematici našli odpoveď na to, prečo mucha na druhej strane Mesiaca nemôže žiť, a na margo „Aritmetiky“ chcel napísať len to, že na Mesiaci jednoducho nie je vzduch, t.j. Pre n>2 nemôžu existovať celé riešenia jeho vety len preto, že každá hodnota n musí zodpovedať určitému počtu členov na ľavej strane jeho rovnice.
Ale bol to len vtip? Vôbec nie. Fermatova genialita spočíva práve v tom, že vlastne ako prvý videl vzťah medzi stupňom a rozmerom matematického útvaru – teda, čo je absolútne ekvivalentné počtu členov na ľavej strane rovnice. Zmyslom jeho slávnej vety bolo práve to, aby nielen dotlačil matematický svet k myšlienke tohto vzťahu, ale aj inicioval dôkaz o existencii tohto vzťahu - intuitívne pochopiteľného, ale zatiaľ matematicky nepodloženého.
Fermat, ako nikto iný, pochopil, že nadväzovanie vzťahov medzi zdanlivo odlišnými predmetmi je mimoriadne plodné nielen v matematike, ale v každej vede. Tento vzťah poukazuje na nejaký hlboký princíp, ktorý je základom oboch objektov a umožňuje ich hlbšie pochopenie.
Napríklad fyzici spočiatku považovali elektrinu a magnetizmus za úplne nesúvisiace javy, no v 19. storočí si teoretici a experimentátori uvedomili, že elektrina a magnetizmus spolu úzko súvisia. Výsledkom bolo lepšie pochopenie elektriny a magnetizmu. Elektrické prúdy vytvárajú magnetické polia a magnety môžu indukovať elektrinu vo vodičoch v blízkosti magnetov. To viedlo k vynálezu dynama a elektromotorov. Nakoniec sa zistilo, že svetlo je výsledkom koordinovaných harmonických oscilácií magnetických a elektrických polí.
Matematika Fermatových čias pozostávala z ostrovov vedomostí v mori nevedomosti. Na jednom ostrove žili geometri študujúci tvary, na inom ostrove teória pravdepodobnosti matematici skúmali riziká a náhodnosť. Jazyk geometrie bol veľmi odlišný od jazyka teórie pravdepodobnosti a algebraická terminológia bola cudzia tým, ktorí hovorili len o štatistike. Bohužiaľ, matematika našich čias pozostáva z približne rovnakých ostrovov.
Fermat si ako prvý uvedomil, že všetky tieto ostrovy sú navzájom prepojené. A jeho slávna veta – Fermatova posledná veta – je toho výborným potvrdením.
Súbor FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008
Certifikát Ukrajiny č. 27312
KRÁTKY DÔKAZ FERmatovej poslednej vety
Posledná Fermatova veta je formulovaná takto: Diofantínska rovnica (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
A n + B n = C n * /1/
Kde n- kladné celé číslo väčšie ako dva nemá riešenie v kladných celých číslach A , B , S .
DÔKAZ
Z formulácie Fermatovej poslednej vety vyplýva: ak n je kladné celé číslo väčšie ako dva, potom za predpokladu, že dve z troch čísel A , IN alebo S- kladné celé číslo, jedno z týchto čísel nie je kladné celé číslo.
Dôkaz konštruujeme na základe základnej vety aritmetiky, ktorá sa nazýva „teorém o jedinečnosti faktorizácie“ alebo „teorém o jedinečnosti faktorizácie zložených celých čísel“. Možné sú nepárne a párne exponenty n . Zoberme si oba prípady.
1. Prvý prípad: exponent n - nepárne číslo.
V tomto prípade sa výraz /1/ transformuje podľa známych vzorcov takto:
A n + IN n = S n /2/
Tomu veríme A A B– kladné celé čísla.
čísla A , IN A S musia byť navzájom prvočísla.
Z rovnice /2/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel A A B faktor ( A + B ) n , S.
Predpokladajme, že číslo S - kladné celé číslo. Ak vezmeme do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka musí byť splnená :
S n = A n + B n = (A+B) n ∙ D n , / 3/
kde je faktor Dn D
Z rovnice /3/ vyplýva:
Z rovnice /3/ tiež vyplýva, že číslo [ Cn = A n + Bn ] za predpokladu, že číslo S ( A + B ) n. Je však známe, že:
A n + Bn < ( A + B ) n /5/
Preto:
- zlomkové číslo menšie ako jedna. /6/
Zlomkové číslo.
n
Pre nepárne exponenty n >2 číslo:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Z rozboru rovnice /2/ vyplýva, že pre nepárny exponent nčíslo:
S n = A n + IN n = (A+B)
pozostáva z dvoch špecifických algebraických faktorov a pre akúkoľvek hodnotu exponentu n algebraický faktor zostáva nezmenený ( A + B ).
Posledná Fermatova veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach pre nepárne exponenty n >2.
2. Druhý prípad: exponent n - párne číslo .
Podstata poslednej Fermatovej vety sa nezmení, ak rovnicu /1/ prepíšeme takto:
A n = Cn - Bn /7/
V tomto prípade sa rovnica /7/ transformuje takto:
A n = C n - B n = ( S +B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+ Cn-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
Akceptujeme to S A IN- celé čísla.
Z rovnice /8/ vyplýva, že pre dané hodnoty čísel B A C faktor (C+ B ) má rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu exponentu n , je teda deliteľom čísla A .
Predpokladajme, že číslo A– celé číslo. Ak vezmeme do úvahy prijaté podmienky a základnú vetu aritmetiky, podmienka musí byť splnená :
A n = C n - Bn = (C+ B ) n ∙ Dn , / 9/
kde je faktor Dn musí byť celé číslo, a teda číslo D musí byť tiež celé číslo.
Z rovnice /9/ vyplýva:
/10/
Z rovnice /9/ tiež vyplýva, že číslo [ A n = S n - Bn ] za predpokladu, že číslo A– celé číslo, musí byť deliteľné číslom (C+ B ) n. Je však známe, že:
S n - Bn < (С+ B ) n /11/
Preto:
- zlomkové číslo menšie ako jedna. /12/
Zlomkové číslo.
Z toho vyplýva, že pre nepárnu hodnotu exponentu n rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach.
Pre párne exponenty n >2 číslo:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Posledná Fermatova veta teda nemá riešenie v kladných celých číslach a pre párne exponenty n >2.
Z vyššie uvedeného vyplýva všeobecný záver: rovnica /1/ poslednej Fermatovej vety nemá riešenie v kladných celých číslach A, B A S za predpokladu, že exponent n >2.
DODATOČNÉ ODÔVODNENIE
V prípade, že exponent n – párne číslo, algebraický výraz ( Cn - Bn ) rozkladá sa na algebraické faktory:
C2 – B2 =(C-B)* (C+B); /13/
C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C2 + B 2);/14/
C6 – B6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
Uveďme príklady v číslach.
PRÍKLAD 1: B = 11; C=35.
C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .
PRÍKLAD 2: B = 16; C=25.
C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
Z rozboru rovníc /13/, /14/, /15/ a /16/ a príslušných číselných príkladov vyplýva:
Pre daný exponent n , ak ide o párne číslo, číslo A n = C n - Bn rozkladá sa na presne definovaný počet presne definovaných algebraických faktorov;
Pre akýkoľvek exponent n , ak ide o párne číslo, v algebraickom výraze ( Cn - Bn ) vždy existujú multiplikátory ( C - B ) A ( C + B ) ;
Každý algebraický faktor zodpovedá úplne určitému číselnému faktoru;
Pre dané čísla IN A Sčíselné faktory môžu byť prvočísla alebo zložené číselné faktory;
Každý zložený číselný faktor je súčinom prvočísel, ktoré čiastočne alebo úplne chýbajú v iných zložených číselných faktoroch;
Veľkosť prvočísel v zložení zložených číselných faktorov rastie s nárastom týchto faktorov;
Najväčší zložený číselný faktor zodpovedajúci najväčšiemu algebraickému faktoru zahŕňa najväčšie prvočíslo s mocninou menšou ako je exponent n(najčastejšie na prvom stupni).
ZÁVERY: Ďalšie dôkazy podporujú záver, že Fermatova posledná veta nemá riešenie v kladných celých číslach.
strojný inžinier
Posledná Fermatova veta Singh Simon
"Potvrdila sa Fermatova posledná veta?"
Bol to len prvý krok k dokázaniu dohadu Taniyama-Shimura, ale Wilesova stratégia bola brilantným matematickým prelomom, výsledkom, ktorý si zaslúžil zverejnenie. Ale kvôli Wilesovmu sľubu mlčania nemohol povedať zvyšku sveta o svojom výsledku a netušil, kto iný by mohol urobiť rovnako významný prielom.
Wiles spomína na svoj filozofický postoj k akémukoľvek potenciálnemu vyzývateľovi: „Nikto nechce stráviť roky dokazovaním niečoho a zistiť, že niekomu sa podarilo nájsť dôkaz o pár týždňov skôr. Ale napodiv, keďže som sa snažil vyriešiť problém, ktorý bol v podstate považovaný za neriešiteľný, súperov som sa veľmi nebál. Len som nečakal, že ja alebo niekto iný príde s nápadom, ktorý povedie k dôkazu.“
8. marca 1988 bol Wiles šokovaný, keď na titulných stranách novín uvidel veľké titulky s textom: „Fermatova posledná veta preukázaná“. Denníky Washington Post a New York Times informovali, že tridsaťosemročný Yoichi Miyaoka z Tokijskej metropolitnej univerzity vyriešil najťažší matematický problém na svete. Miyaoka ešte nezverejnil svoj dôkaz, ale načrtol jeho pokrok na seminári v Inštitúte Maxa Plancka pre matematiku v Bonne. Don Tsagir, ktorý bol prítomný na Miyaokovej prednáške, vyjadril optimizmus matematickej komunity nasledujúcimi slovami: „Dôkaz, ktorý predložil Miyaoka, je mimoriadne zaujímavý a niektorí matematici sa domnievajú, že má vysokú pravdepodobnosť, že bude správny. Ešte si nie sme úplne istí, ale zatiaľ dôkazy vyzerajú veľmi povzbudivo."
Na seminári v Bonne Miyaoka hovoril o svojom prístupe k riešeniu problému, ktorý zvažoval z úplne iného, algebraicko-geometrického hľadiska. Počas posledných desaťročí geometre dosiahli hlboké a jemné pochopenie matematických objektov, najmä vlastností povrchov. V 70. rokoch sa ruský matematik S. Arakelov pokúsil nájsť paralely medzi problémami algebraickej geometrie a problémami teórie čísel. Toto bol jeden zo smerov Langlandsovho programu a matematici dúfali, že nevyriešené problémy v teórii čísel možno vyriešiť štúdiom zodpovedajúcich problémov v geometrii, ktoré tiež zostali nevyriešené. Tento program bol známy ako filozofia paralelizmu. Tí algebraickí geometri, ktorí sa pokúšali riešiť problémy v teórii čísel, sa nazývali „aritmetické algebraické geometre“. V roku 1983 ohlásili svoje prvé významné víťazstvo, keď Gerd Faltings z Princetonského inštitútu pre pokročilé štúdie významne prispel k pochopeniu Fermatovej vety. Pripomeňme si, že podľa Fermata rovnica
pri n väčší ako 2 nemá riešenia v celých číslach. Faltings sa rozhodol, že pokročil v dokazovaní Fermatovej poslednej vety štúdiom geometrických povrchov spojených s rôznymi hodnotami. n. Plochy súvisiace s Fermatovými rovnicami pre rôzne hodnoty n, sa navzájom líšia, ale majú jednu spoločnú vlastnosť - všetky majú priechodné otvory, alebo, jednoducho povedané, otvory. Tieto povrchy sú štvorrozmerné, rovnako ako grafy modulárnych tvarov. Dvojrozmerné rezy dvoch povrchov sú znázornené na obr. 23. Povrchy spojené s Fermatovou rovnicou vyzerajú podobne. Čím vyššia je hodnota n v rovnici, čím viac otvorov je na príslušnom povrchu.
Ryža. 23. Tieto dva povrchy boli získané pomocou počítačového programu Mathematica. Každý z nich predstavuje miesto bodov, ktoré spĺňa rovnicu x n + y n = z n(pre povrch vľavo n= 3, pre povrch vpravo n= 5). Premenné X A r sa tu považujú za zložité
Faltings dokázal, že keďže takéto povrchy majú vždy niekoľko otvorov, súvisiaca Fermatova rovnica mohla mať iba konečnú množinu celočíselných riešení. Počet riešení môže byť akýkoľvek – od nuly, ako predpokladal Fermat, po milión alebo miliardu. Faltings teda Fermatovu poslednú vetu nepreukázal, no podarilo sa mu aspoň odmietnuť možnosť, že Fermatova rovnica má nekonečne veľa riešení.
O päť rokov neskôr Miyaoka oznámil, že to urobil ešte o krok ďalej. Mal vtedy niečo po dvadsiatke. Miyaoka sformuloval hypotézu o nejakej nerovnosti. Bolo jasné, že dokázať jeho geometrický predpoklad by znamenalo dokázať, že počet riešení Fermatovej rovnice nie je len konečný, ale rovný nule. Miyaokov prístup bol podobný Wilesovmu v tom, že sa obaja pokúsili dokázať Fermatovu poslednú vetu tým, že ju spojili so základnou hypotézou v inom odvetví matematiky. Pre Miyaoku to bola algebraická geometria, pre Wilesa cesta k dôkazu viedla cez eliptické krivky a modulárne formy. Na Wilesovu ľútosť sa stále snažil dokázať Taniyama-Shimurov domnienku, keď Miyaoka tvrdil, že má úplný dôkaz o svojej vlastnej domnienke, a teda aj o Fermatovej poslednej vete.
Dva týždne po svojom prejave v Bonne Miyaoka zverejnil päť strán výpočtov, ktoré tvorili podstatu jeho dôkazu, a začalo sa dôkladné skúmanie. Teoretici čísel a špecialisti na algebraickú geometriu na celom svete študovali, riadok po riadku, publikované výpočty. O niekoľko dní neskôr matematici objavili jeden rozpor v dôkaze, ktorý mohol spôsobiť obavy. Jedna časť Miyaokovej práce viedla k tvrdeniu z teórie čísel, ktoré po preklade do jazyka algebraickej geometrie vytvorilo tvrdenie, ktoré bolo v rozpore s výsledkom získaným pred niekoľkými rokmi. Hoci to nevyhnutne nezrušilo platnosť celého Miyaokovho dôkazu, objavený rozpor nezapadal do filozofie paralelizmu medzi teóriou čísel a geometriou.
O ďalšie dva týždne neskôr Gerd Faltings, ktorý vydláždil cestu Miyaokemu, oznámil, že objavil presnú príčinu zjavného porušenia paralelizmu – medzeru v uvažovaní. Japonský matematik bol geometrom a nebol úplne prísny, keď preložil svoje myšlienky do menej známeho územia teórie čísel. Armáda teoretikov čísel sa zúfalo snažila zaplátať dieru v Miyaokovom dôkaze, no márne. Dva mesiace po tom, čo Miyaoka tvrdil, že má úplný dôkaz Fermatovej poslednej vety, dospela matematická komunita k jednomyseľnému záveru: Miyaokov dôkaz bol odsúdený na neúspech.
Rovnako ako v prípade predchádzajúcich neúspešných dôkazov, Miyaoka dokázal získať veľa zaujímavých výsledkov. Niektoré fragmenty jeho dôkazu boli pozoruhodné ako veľmi dômyselné aplikácie geometrie v teórii čísel a v nasledujúcich rokoch ich iní matematici použili na dôkaz niektorých teorémov, ale nikomu sa nepodarilo dokázať Fermatovu poslednú vetu týmto spôsobom.
Rozruch okolo Fermatovej poslednej vety čoskoro utíchol a noviny priniesli krátke oznámenia, že tristo rokov stará hádanka zostáva stále nevyriešená. Na stene newyorskej stanice metra Eighth Street sa objavil nasledujúci nápis, nepochybne inšpirovaný tlačou o Fermatovej poslednej vete: „Eq. xn + yn = zn nemá riešenia. Našiel som skutočne úžasný dôkaz tejto skutočnosti, ale nemôžem to sem napísať, pretože môj vlak prišiel.“
Z knihy John Lennon autora Goldman AlbertKapitola 63 Farma starého McLennona Asi mesiac a pol po návrate do New Yorku, jedného novembrového večera, zazvonil telefón v byte Lennonovcov. Yoko odpovedala na telefón. Mužský hlas s portorickým prízvukom sa spýtal Yoko Ono.
Z knihy História akvária. Kniha flautistu autora Romanov Andrej Igorevič Z knihy Fermatova posledná veta od Singha SimonaFermatov problém V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. „V škole som rád riešil problémy, nosil som ich domov a z každého problému som vymýšľal nové. Ale najlepší problém, s ktorým som sa kedy stretol, bol u miestneho
Z knihy Nikita Chruščov. reformátor autora Chruščov Sergej NikitičOd Pytagorovej vety k Fermatovej poslednej vete O Pytagorovej vete a nekonečnom počte Pytagorových trojíc sa hovorilo v knihe E.T. Bellov „Veľký problém“ – tá istá kniha z knižnice, ktorá upútala pozornosť Andrewa Wilesa. A hoci Pythagorejci dosiahli takmer úplné
Z knihy Proces smrťou alebo Železný filatelista autora Arbatova Mária IvanovnaMatematika po dôkaze Fermatovej poslednej vety Sám Wiles mal napodiv zo svojej správy zmiešané pocity: „Príležitosť pre prejav bola zvolená veľmi dobre, ale samotná prednáška vo mne vyvolala zmiešané pocity. Pracuje sa na dôkaze
Z knihy Jeden život, dva svety autora Alekseeva Nina IvanovnaFarma alebo usadlosť? 13. februára 1958 všetky centrálne moskovské a potom regionálne noviny uverejnili rozhodnutie Ústredného výboru Komunistickej strany Ukrajiny „O chybe pri nákupe kráv od kolektívnych farmárov v regióne Záporožie“. Nehovorili sme ani o celom kraji, ale o dvoch jeho okresoch: Prímorskom
Z knihy Hviezdy a trochu nervózne autora Žolkovský Alexander KonstantinovičDesiata kapitola KROKODÝLIA FARMA Išli po malebnej ceste v aute starého Johna a sedeli na zadných sedadlách. Za volantom sedel čierny vodič v svetlej košeli s bizarne orezanou hlavou. Na jeho oholenej lebke stáli kríčky čiernych vlasov tvrdých ako drôt, logika
Z knihy Vlastnými očami autora Adelgeim PavelTolstoy Reed Farm Kirill išiel do kancelárie Tolstého nadácie, aby sa stretol s Rusmi. Keď sa vrátil, povedal, že Alexandra Lvovna Tolstaya bola zhrozená a povedal: "Nemôžete zostať v hoteli, je to veľmi nebezpečné pre vás a pre vaše deti." V ten istý deň
Z knihy Vo svete zvierat [číslo 2] autora Drozdov Nikolaj NikolajevičPontryaginova veta V tom istom čase ako na konzervatóriu študoval môj otec na Moskovskej štátnej univerzite mechaniku a matematiku. Zmaturoval s úspechom a istý čas aj váhal pri výbere povolania. Hudobná veda vyhrala vďaka jeho matematickému mysleniu. Jeden z otcových spolužiakov
Z knihy Ťažká duša: Literárny denník. Memoáre články. Básne autora Zlobin Vladimír AnanyevičVeta Veta o práve náboženského združenia vybrať si kňaza potrebuje dôkaz. Znie takto: „Pravoslávna komunita vzniká... pod duchovným vedením kňaza, ktorého si komunita vybrala a požehnal diecézny biskup.“
Z knihy Spomienka na sen [Básne a preklady] autora Púchková Elena OlegovnaKozia farma V lete je v obci veľa práce. Keď sme navštívili dedinu Khomutets, zbieralo sa tam seno a voňavé vlny z čerstvo narezaných byliniek akoby prenikli do všetkého naokolo. Bylinky treba kosiť včas, aby neprezreli, potom sa všetko cenné a výživné zachová v nich. Toto
Z knihy Wormy Apple [Môj život so Stevom Jobsom] autora Brennanová ChrisannováI. Farma („Tu, z kuracieho trusu...“) Tu, z kuracieho trusu Jedna spása je metla. Láska - ktorá? - Vzala ma do kurníka. Zobkanie obilia, klokanie sliepky, dôležitý krok kohútov. A bez veľkosti a cenzúry Básne sa skladajú v mysli. O provensálskom popoludní
Z knihy Moje cesty. Ďalších 10 rokov autora Konyukhov Fedor FilippovičLetná farma Slama, ako ručný blesk, sklo do trávy; Ďalší, ktorý sa podpísal na plote, zapálil v konskom žľabe oheň zeleného pohára vody. Do modrého súmraku Deväť kačíc blúdi, kolíše, po brázde v duchu paralelných línií. Tu kura hľadí na nič osamote
Z knihy autoraZničená farma Pokojné slnko, ako tmavočervený kvet, Klesá k zemi, rastie do západu slnka, Ale opona noci v nečinnej sile Priťahuje svet, rozrušený pohľadom. Na farme bez strechy zavládlo ticho, ako keby jej niekto strhol vlasy, bili sa o kaktus
Z knihy autoraKapitola 9 Jedna farma Laura Schueler a ja sme sa rozhodli osláviť koniec strednej školy trojtýždňovým výletom. Síce sme nechápali, čo pre nás znamená maturita, ale vedeli sme, že je potrebné túto udalosť osláviť. Tak sme diskutovali, čo budeme robiť
Z knihy autoraPríprava na preteky. Aljaška, farma Iditarod Lindy Pletnerovej sú každoročné preteky psích záprahov na Aljaške. Dĺžka trasy je 1150 míľ (1800 km). Ide o najdlhšie preteky psích záprahov na svete. Štart (slávnostný) - 4. marca 2000 z Anchorage. Štart
