Rovnica tvaru tgx. Oblúková tangenta a oblúková kotangenta

Vlnová rovnica, parciálna diferenciálna rovnica popisujúca proces šírenia porúch v určitom prostredí A. N. Tichonov a A. A. Samarskii, Rovnice matematickej fyziky, 3. vydanie, Moskva, 1977. - s. 155 ....

Klasifikácia hyperbolických parciálnych diferenciálnych rovníc

Rovnica vedenia tepla je parciálna diferenciálna rovnica parabolického typu, ktorá popisuje proces šírenia tepla v spojitom médiu (plyn ...

Matematické metódy používané v teórii systémov radenia do frontu

Pravdepodobnosti stavov systému možno zistiť zo systému Kolmogorovových diferenciálnych rovníc, ktoré sú zostavené podľa nasledujúceho pravidla: Na ľavej strane každého z nich je derivácia pravdepodobnosti i-tého stavu ...

Nestacionárna Riccatiho rovnica

(1) Všeobecná Riccatiho rovnica má tvar :, (1.1) kde P, Q, R sú spojité funkcie x, pretože x zmeny v intervale Rovnica (1.1) obsahuje rovnice, ktoré sme už považovali za špeciálne prípady: pretože dostaneme lineárnu rovnicu, pre - rovnicu Bernoulli ...

Základy vedeckého výskumu a plánovanie experimentov v doprave

Funkčnú závislosť Y \u003d f (X) (regresná rovnica) získame metódou najmenších štvorcov (OLS). Ako aproximačné funkcie používajte lineárne (Y \u003d a0 + a1X) a kvadratické závislosti (Y \u003d a0 + a1X + a2X2). Pomocou metódy najmenších štvorcov sa hodnoty a0 ...

Pól polárneho súradnicového systému umiestnime k začiatku pravouhlého súradnicového systému, polárna os je kompatibilná s kladnou osou os (x) (obr. 3). Obrázok: 3 Zoberme rovnicu priamky v normále: (3.1) - dĺžka kolmice ...

Polárny súradnicový systém v rovine

Napíšme rovnicu v polárnych súradniciach kruhu prechádzajúceho pólom, sústredeného na pólovú os a polomer R. Z pravouhlého trojuholníka OAA dostaneme OA \u003d OA (obr. 4) ...

Pojmy selektívnej teórie. Distribučné série. Korelačná a regresná analýza

Štúdia: a) koncept párovej lineárnej regresie; b) zostavenie sústavy normálnych rovníc; c) vlastnosti odhadov najmenších štvorcov; d) metóda na zisťovanie rovnice lineárnej regresie. Predpokladajme ...

Konštrukcia riešenia diferenciálnych rovníc vo forme výkonových radov

Ako príklad použitia konštruovanej teórie považujme Besselovu rovnicu: (6.1) Kde. Singulárny bod z \u003d 0 je pravidelný. V záverečnej časti lietadla nie sú žiadne ďalšie prvky. V rovnici (6.1) má teda riadiaca rovnica tvar, t.j. ...

Riešenie maticových rovníc

Maticovú rovnicu ХА \u003d В možno vyriešiť aj dvoma spôsobmi: 1. Inverznú maticu vypočítame ktoroukoľvek zo známych metód. Potom bude mať riešenie maticovej rovnice tvar: 2 ...

Riešenie maticových rovníc

Vyššie opísané metódy nie sú vhodné na riešenie rovníc tvaru AX \u003d XB, AX + XB \u003d C. Nie sú tiež vhodné na riešenie rovníc, v ktorých je aspoň jedným z faktorov pre neznámu maticu X degenerovaná matica ...

Riešenie maticových rovníc

Rovnice tvaru AX \u003d XA sa riešia rovnako ako v predchádzajúcom prípade, teda prvok po prvku. Riešením je nájdenie permutačnej matice. Pozrime sa bližšie na príklad. Príklad. Nájsť všetky matice ...

Stacionárna prevádzka siete radov s kontúrou v tvare kosoštvorca

Zo stavu môže prejsť do jedného z nasledujúcich stavov: - v dôsledku príchodu požiadavky do fronty prvého uzla s intenzitou; - z dôvodu prijatia z prvého uzla spracovanej požiadavky v ňom do fronty tretieho uzla s intenzitou pri ...

Trigonometrické funkcie

Arktangenta čísla je číslo, ktorého sínus sa rovná a: ak a. Všetky korene rovnice nájdeme podľa vzorca: ...

Numerické metódy riešenia matematických úloh

\u003e\u003e Oblúková tangenta a oblúková kotangenta. Riešenie rovníc tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Oblúková tangenta a oblúkový kotangens. Riešenie rovníc tgx \u003d a, ctgx \u003d a

V príklade 2 §16 sme nedokázali vyriešiť tri rovnice:

Dva z nich sme už vyriešili - prvý v § 17 a druhý v § 18, preto sme museli zaviesť pojmy arkkozín a arcsine. Uvažujme o tretej rovnici x \u003d 2.
Grafy funkcií y \u003d tg x a y \u003d 2 majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar - úsečka priesečníka priamky y \u003d 2 s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 90). Pre číslo x1 prišli matematici s notáciou arctg 2 (čítaj „arkustangens dvoch“). Potom všetky korene rovnice x \u003d 2 možno opísať vzorcom x \u003d arctg 2 + nk.
Čo je arctg 2? Toto je číslo dotyčnica ktorá sa rovná 2 a ktorá patrí do intervalu
Zvážte teraz rovnicu tg x \u003d -2.
Funkčné grafy majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar úsečka priesečníka priamky y \u003d -2 s hlavnou vetvou tangentoidu. Pre počet x 2 matematici prišli s notáciou arctg (-2). Potom môžeme všetky korene rovnice x \u003d -2 opísať vzorcom

Čo je arctg (-2)? Je to číslo, ktorého dotyčnica je -2 a ktoré patrí do intervalu. Venujte pozornosť (pozri obr. 90): x 2 \u003d -x 2. To znamená, že arctg (-2) \u003d - arctg 2.
Sformulujme všeobecnú definíciu arkustangensu.

Definícia 1. arctg a (arctangens a) je číslo z intervalu, ktorého tangens sa rovná a. Takže

Teraz sme schopní urobiť všeobecný záver o riešení rovnice x \u003d a: rovnica x \u003d a má riešenia

Vyššie sme si všimli, že arctg (-2) \u003d -agstg 2. Všeobecne platí pre každú hodnotu a vzorec

Príklad 1. Vypočítať:

Príklad 2. Riešiť rovnice:

A) Zostavme vzorec riešenia:

Hodnotu arkustangensu v tomto prípade nemôžeme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme v získanom tvare.
Odpoveď:
Príklad 3. Riešiť nerovnosti:
Nerovnosť zobrazenia je možné vyriešiť graficky podľa nasledujúcich plánov
1) zostrojte tangentoid y \u003d tan x a priamku y \u003d a;
2) vyberte pre hlavnú vetvu tangyizoidu interval osi x, na ktorom je zadaná nerovnosť splnená;
3) s prihliadnutím na frekvenciu funkcie y \u003d tg x si odpíš odpoveď všeobecne.
Aplikujme tento plán na riešenie daných nerovností.

: a) Vytvorme grafy funkcií y \u003d tanx a y \u003d 1. Na hlavnej vetve tangentoidu sa pretínajú v bode

Vyberte interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentaidu umiestnená pod priamkou y \u003d 1, toto je interval
S prihliadnutím na periodicitu funkcie y \u003d tgx dospejeme k záveru, že zadaná nerovnosť je splnená na ľubovoľnom intervale tvaru:

Spojenie všetkých týchto intervalov je všeobecným riešením danej nerovnosti.
Odpoveď možno napísať iným spôsobom:

b) Vytvorme grafy funkcií y \u003d tg x a y \u003d -2. Na hlavnej vetve tangentoidu (obr. 92) sa pretínajú v bode x \u003d arctg (-2).

Vyberte interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentaidu

Zvážte rovnicu s tan x \u003d a, kde a\u003e 0. Grafy funkcií y \u003d ctg x a y \u003d a majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar: x \u003d x 1 + nk, kde x 1 \u003d arcctg a je úsečka priesečníka priamky y \u003d a s hlavnou vetvou tangentaidu (obr. 93). Arcctg a je teda číslo, ktorého kotangens sa rovná a a ktoré patrí do intervalu (0, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie y \u003d ctg x.

Na obr. 93 taktiež zobrazuje grafické znázornenie riešenia rovnice c1tg \u003d -a. Grafy funkcií y \u003d ctg x a y \u003d -a majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar x \u003d x 2 + nk, kde x 2 \u003d arcctg (- a) je úsečka priesečníka priamky y \u003d -a s hlavným tangentoidná vetva. Preto arcctg (-a) je číslo, ktorého kotangens je -a a ktoré patrí do intervalu (O, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie Y \u003d ctg x.

Definícia 2.arcctg a (oblúk kotangens a) je číslo z intervalu (0, n), ktorého kotangens je a.
Takže

Teraz môžeme urobiť všeobecný záver o riešení rovnice ctg x \u003d a: rovnica ctg x \u003d a má riešenia:

Venujte pozornosť (pozri obr. 93): x 2 \u003d n-x 1. Znamená to, že

Príklad 4. Vypočítať:

A) Dali sme

Rovnicu ctg x \u003d a možno takmer vždy transformovať do tvaru. Výnimkou je rovnica ctg x \u003d 0. Ale v tomto prípade s využitím skutočnosti, že môžete ísť na
rovnica cos x \u003d 0. Rovnica tvaru x \u003d a teda nie je nijako zvlášť zaujímavá.

A.G. Mordkovich Algebra 10. platovej triedy

Kalendárno-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie osnova lekcie podpora lekcie rámca prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotestovacie workshopy, školenia, prípady, úlohy domáce úlohy diskusné otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázkové tabuľky, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, porekadlá, krížovky, citáty Doplnky stravy abstrakty články čipy pre zvedavé podvádzacie listy učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a hodín opravy chýb v návode aktualizácia fragmentu inovačných prvkov učebnice v lekcii a nahradenie zastaraných poznatkov novými Iba pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania diskusného programu Integrované hodiny

Študenti predtým v programe získali predstavu o spôsobe riešenia trigonometrických rovníc, oboznámili sa s pojmami inverzný kosínus a arcsín, príklady riešení rovníc cos t \u003d a a sin t \u003d a. V tomto videonávode zvážte riešenie rovníc tg x \u003d a a ctg x \u003d a.

Na začiatku štúdia tejto témy zvážme rovnice tg x \u003d 3 a tg x \u003d - 3. Ak rovnicu tg x \u003d 3 vyriešime pomocou grafu, uvidíme, že priesečník grafov funkcií y \u003d tg x a y \u003d 3 má nekonečnú množinu riešení, kde x \u003d x 1 + πk. Hodnota x 1 je súradnica x priesečníka grafov funkcií y \u003d tg x a y \u003d 3. Autor zavádza pojem arkustangens: arctg 3 je číslo, ktorého tg je 3, a toto číslo patrí do intervalu od -π / 2 do π / 2. Použitím konceptu arkustangensu možno riešenie rovnice tg x \u003d 3 zapísať ako x \u003d arctan 3 + πk.

Analogicky sa rieši rovnica tg x \u003d - 3. Podľa zostavených grafov funkcií y \u003d tg x a y \u003d - 3 vidno, že priesečníky grafov, a teda riešenia rovníc, budú x \u003d x 2 + πk. Pomocou arkustangensu možno riešenie zapísať ako x \u003d arctan (- 3) + πk. Na nasledujúcom obrázku vidíme, že arktán (- 3) \u003d - arktán 3.

Všeobecná definícia arkustangensu je nasledovná: arkustangens a je číslo z intervalu od -π / 2 do π / 2, ktorého dotyčnica sa rovná a. Potom riešenie rovnice tg x \u003d a je x \u003d arktán a + πk.

Autor uvádza príklad 1. Nájdite riešenie výrazu arctg. Poďme zaviesť notáciu: arkustangens čísla sa rovná x, potom tg x sa bude rovnať tomuto číslu, kde x patrí do segmentu od -π / 2 do π / 2. Rovnako ako v príkladoch v predchádzajúcich témach, použijeme tabuľku hodnôt. Podľa tejto tabuľky dotyčnica tohto čísla zodpovedá hodnote x \u003d π / 3. Napíšme riešenie rovnice, ktorá je arkustangens daného čísla rovná π / 3, π / 3 tiež patrí do intervalu od -π / 2 do π / 2.

Príklad 2 - Vypočítajte arkustangens záporného čísla. Pomocou rovnosti arctan (- a) \u003d - arctan a zadajte hodnotu x. Podobne ako v príklade 2 zapíšeme hodnotu x, ktorá patrí do segmentu od -π / 2 do π / 2. Z tabuľky hodnôt zistíme, že x \u003d π / 3, teda - tg x \u003d - π / 3. Odpoveď na rovnicu je - π / 3.

Uvažujme o príklade 3. Vyriešte rovnicu tan x \u003d 1. Píšeme, že x \u003d arktán 1 + πk. V tabuľke hodnota tg 1 zodpovedá hodnote x \u003d π / 4, preto arktán 1 \u003d π / 4. Túto hodnotu dosaďte do pôvodného vzorca x a napíšte odpoveď x \u003d π / 4 + πk.

Príklad 4: vypočítajte tg x \u003d - 4.1. V tomto prípade x \u003d arktán (- 4,1) + πk. Pretože v tomto prípade nie je možné nájsť hodnotu arctanu, odpoveď bude vyzerať ako x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

V príklade 5 sa uvažuje o riešení nerovnosti tg x\u003e 1. Aby sme to vyriešili, zostrojíme grafy funkcií y \u003d tg x a y \u003d 1. Ako vidíte na obrázku, tieto grafy sa pretínajú v bodoch x \u003d π / 4 + πk. Pretože v tomto prípade tg x\u003e 1, na grafe vyberieme oblasť tangentoidu, ktorá sa nachádza nad grafom y \u003d 1, kde x patrí do intervalu od π / 4 do π / 2. Odpoveď píšeme ako π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Ďalej zvážime rovnicu ctg x \u003d a. Na obrázku sú grafy funkcií y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, ktoré majú veľa priesečníkov. Riešenia je možné zapísať ako x \u003d x 1 + πk, kde x 1 \u003d arcctg a a x \u003d x 2 + πk, kde x 2 \u003d arcctg (- a). Je potrebné poznamenať, že x 2 \u003d π - x 1. To znamená rovnosť arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Ďalej je uvedená definícia oblúkového kotangensu: oblúkový kotangens a je číslo z intervalu od 0 do π, ktorého kotangens sa rovná a. Riešenie rovnice ctg x \u003d a sa píše ako: x \u003d arcctg a + πk.

Na konci video lekcie je urobený ešte jeden dôležitý záver - výraz ctg x \u003d a je možné zapísať v tvare tg x \u003d 1 / a za predpokladu, že a sa nerovná nule.

TEXTOVÝ KÓD:

Zvážte riešenie rovníc tan x \u003d 3 a tan x \u003d - 3. Grafické riešenie prvej rovnice vidíme, že grafy funkcií y \u003d tan x a y \u003d 3 majú nekonečne veľa priesečníkov, ktorých úsečky píšeme v tvare

x \u003d x 1 + πk, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d 3 s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 1), pre ktorú bol vytvorený zápis

arktán 3 (trojuholník trojuholníkový).

Ako rozumieš arctg 3?

Toto je číslo, ktorého tangens je 3 a toto číslo patrí do intervalu (-;). Potom všetky korene rovnice tan x \u003d 3 môžeme zapísať vzorcom x \u003d arctan 3 + πk.

Podobne možno riešenie rovnice tan х \u003d - 3 zapísať v tvare х \u003d х 2 + πk, kde х 2 je úsečka priesečníka priamky у \u003d - 3 s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 1), pre ktorú platí notácia arctan (- 3) (trojuholník mínus tri). Potom môžeme všetky korene rovnice zapísať vzorcom: x \u003d arktán (-3) + πk. Obrázok ukazuje, že arktán (- 3) \u003d - arktán 3.

Sformulujme definíciu arkustangensu. Arktangenta a je číslo z intervalu (-;), ktorého tangens sa rovná a.

Často sa používa rovnosť: arctan (-a) \u003d -arctan a, čo platí pre ľubovoľné a.

Poznáme definíciu arkustangensu a urobíme všeobecný záver o riešení rovnice

tg x \u003d a: rovnica tg x \u003d a má riešenie x \u003d arctan a + πk.

Uvažujme o niekoľkých príkladoch.

PRÍKLAD 1: Vypočítajte arctg.

Rozhodnutie. Nech arctan \u003d x, potom tgx \u003d a xϵ (-;). Zobraziť tabuľku hodnôt Preto x \u003d, pretože tg \u003d a ϵ (-;).

Takže arctg \u003d.

PRÍKLAD 2. Vypočítajte arktán (-).

Rozhodnutie. Pomocou rovnosti arctan (- a) \u003d - arctan a napíšeme:

arctg (-) \u003d - arctg. Nech - arctan \u003d x, potom - tgx \u003d a xϵ (-;). Preto x \u003d, pretože tg \u003d a ϵ (-;). Zobraziť tabuľku hodnôt

Preto - arctan \u003d - tgх \u003d -.

PRÍKLAD 3. Vyriešte rovnicu tgx \u003d 1.

1. Napíšme vzorec riešení: х \u003d arktán 1 + πk.

2. Nájdite hodnotu arkustangensu

keďže tg \u003d. Zobraziť tabuľku hodnôt

Preto arctg1 \u003d.

3. Vložte nájdenú hodnotu do vzorca pre riešenia:

PRÍKLAD 4. Vyriešte rovnicu tgx \u003d - 4,1 (dotyčnica x sa rovná mínus štyri celé jedna desatina).

Rozhodnutie. Napíšme vzorec riešení: x \u003d arctan (- 4.1) + πk.

Nemôžeme vypočítať hodnotu arkustangensu, preto riešenie rovnice necháme v získanom tvare.

PRÍKLAD 5. Vyriešte nerovnosť tgх 1.

Rozhodnutie. Riešime graficky.

1. Zostrojme tangentoid

y \u003d tanx a priamka y \u003d 1 (obr. 2). Pretínajú sa v bodoch tvaru х \u003d + πk.

2. Vyberte interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentoidu umiestnená nad priamkou y \u003d 1, pretože podmienkou tgx 1. Toto je interval (;).

3. Využívame periodicitu funkcie.

Vlastnosť 2. y \u003d tg x je periodická funkcia s hlavnou periódou π.

S prihliadnutím na periodicitu funkcie y \u003d tgx si zapíšeme odpoveď:

(;). Odpoveď možno napísať ako dvojitú nerovnosť:

Prejdeme k rovnici ctg x \u003d a. Uveďme grafické znázornenie riešenia rovnice pre kladné a záporné a (obr. 3).

Grafy funkcií y \u003d ctg x a y \u003d a a tiež

y \u003d ctg x a y \u003d -a

majú nekonečne veľa spoločných bodov, ktorých úsečky sú:

x \u003d x 1 +, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d a s hlavnou vetvou tangentaidu a

x 1 \u003d oblúk a;

x \u003d x 2 +, kde x 2 je úsečka priesečníka priamky

y \u003d - a s hlavnou vetvou tangentoidu a x 2 \u003d arcсtg (- a).

Všimnite si, že x 2 \u003d π - x 1. Poďme si teda zapísať dôležitú rovnosť:

arcсtg (-а) \u003d π - arcсtg а.

Sformulujme definíciu: oblúk kotangens a je číslo z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a.

Riešenie rovnice ctg x \u003d a je napísané v tvare: x \u003d arcctg a +.

Všimnite si, že rovnicu ctg x \u003d a možno transformovať do formy

tg x \u003d, okrem prípadov, keď a \u003d 0.

V tejto lekcii budeme pokračovať v štúdiu arkustangensu a riešení rovníc tvaru tg x \u003d a pre ľubovoľné a. Na začiatku hodiny vyriešime rovnicu tabuľkovou hodnotou a riešenie zobrazíme na grafe a potom na kružnici. Ďalej vyriešime rovnicu tgx \u003d a vo všeobecnom tvare a odvodíme všeobecný vzorec pre odpoveď. Výpočty ilustrujeme na grafe a na kruhu a zvážime rôzne formy odpovede. Na konci hodiny vyriešime niekoľko problémov s ilustráciou riešení na grafe a na kruhu.

Téma: Trigonometrické rovnice

Lekcia: Oblúková tangenta a riešenie rovnice tgx \u003d a (pokračovanie)

1. Téma hodiny, úvod

V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie rovnice pre akékoľvek reálne

2. Riešenie rovnice tgx \u003d √3

Úloha 1. Vyriešte rovnicu

Poďme nájsť riešenie pomocou grafov funkcií (obr. 1).

Zvážte interval V tomto intervale je funkcia monotónna, čo znamená, že je dosiahnutá iba pre jednu hodnotu funkcie.

Odpoveď:

Vyriešime tú istú rovnicu pomocou číselného kruhu (obr. 2).

Odpoveď:

3. Riešenie rovnice tgx \u003d a vo všeobecnom tvare

Riešme rovnicu vo všeobecnej podobe (obr. 3).

V intervale má rovnica jedinečné riešenie

Najmenšie kladné obdobie

Ilustrujme na číselnom kruhu (obr. 4).

4. Riešenie problémov

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

Zmeňte premennú

Úloha 3. Vyriešte systém:

Riešenie (obr. 5):

V bode je hodnota teda riešením systému iba bod

Odpoveď:

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

Vyriešme to zmenou premennej:

Úloha 5. Nájdite počet riešení rovnice v intervale

Riešme problém pomocou grafu (obr. 6).

Rovnica má v danom intervale tri riešenia.

Ilustrujme na číselnom kruhu (obr. 7), aj keď to nie je také jasné ako na grafe.

Odpoveď: Tri riešenia.

5. Záver, záver

Rovnicu pre akýkoľvek real sme vyriešili pomocou konceptu arkustangens. V nasledujúcej hodine sa oboznámime s konceptom oblúkového kotangensu.

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd SI Algebra a matematická analýza pre 10. ročník (učebnica pre študentov škôl a tried s pokročilým štúdiom matematiky). - M.: Education, 1996.

4. Galitsky ML, Moshkovich MM, Schwarzburd SI Pokročilé štúdium algebry a matematická analýza. -M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (pod redakciou MI Skanavi). - M .: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problémy v algebre a princípy analýzy (príručka pre študentov 10. - 11. ročníka všeobecnovzdelávacích inštitúcií). - M.: Education, 2003.

8. Karp AP Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok na 10 - 11 ročníkov s prehĺbením štúdium matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Ďalšie webové zdroje

1. Matematika.

2. Problémy s internetovým portálom. ru.

3. Vzdelávací portál pre prípravu na skúšky.

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému !!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znakom trigonometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo` ctg x`) sa nazýva trigonometrická rovnica a ďalej zvážime ich vzorce.

Najjednoduchšie rovnice sa nazývajú `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, kde` x` - uhol, ktorý sa má nájsť, ʻa` - ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x \u003d a`.

Pre `| a |\u003e 1` nemá žiadne riešenie.

Pre `| a | \\ leq 1` má nekonečné množstvo riešení.

Koreňový vzorec: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ v Z`

2. Rovnica `cos x \u003d a`

Pre `| a |\u003e 1` - rovnako ako v prípade sínusu, nemá medzi skutočnými číslami žiadne riešenie.

Pre `| a | \\ leq 1` má nekonečné množstvo riešení.

Koreňový vzorec: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ v Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x \u003d a`

Má nekonečné množstvo riešení pre akékoľvek hodnoty ʻa`.

Koreňový vzorec: `x \u003d arktán a + \\ pi n, n \\ v Z`

4. Rovnica `ctg x \u003d a`

Tiež má nekonečné množstvo riešení pre akékoľvek hodnoty ʻa`.

Koreňový vzorec: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ v Z`

Vzorce pre korene trigonometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre dotyčnicu a kotangensu:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné trigonometrické funkcie:

Metódy riešenia trigonometrických rovníc

Riešenie ľubovoľnej trigonometrickej rovnice pozostáva z dvoch stupňov:

• pomocou previesť na najjednoduchšie;
• vyriešte výslednú najjednoduchšiu rovnicu pomocou vyššie napísaných koreňových vzorcov a tabuliek.

Pozrime sa na príklady hlavných metód riešenia.

Algebraická metóda.

V tejto metóde sa vykonáva nahradenie a nahradenie premennej rovnosťou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

urobíme zmenu: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, potom` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

nájdeme korene: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1 / 2`, z ktorých nasledujú dva prípady:

1.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`,` x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Odpoveď: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x + cos x \u003d 1`.

Rozhodnutie. Presuňte všetky výrazy rovnosti doľava: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Použitím, transformáciou a faktorom na ľavej strane:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`,

1. `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Odpoveď: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu uviesť do jedného z dvoch typov:

`A sin x + b cos x \u003d 0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo ʻa sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom vydelte obe časti hodnotou `cos x \\ ne 0` - pre prvý prípad a hodnotou` cos ^ 2 x \\ ne 0` - pre prvý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: ʻa tg x + b \u003d 0` a ʻa tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Rozhodnutie. Pravú stranu prepíšte ako `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d" sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Toto je homogénna trigonometrická rovnica druhého stupňa, jeho ľavú a pravú stranu vydelíme `cos ^ 2 x \\ ne 0`, dostaneme:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Zavedieme náhradu `tg x \u003d t`, ako výsledok,` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Korene tejto rovnice sú `t_1 \u003d -2` a` t_2 \u003d 1`. Potom:

1. `tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ v Z`
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arktán 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ v Z`.

Odpoveď. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ v Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ v Z`.

Choďte do pol rohu

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Rozhodnutie. Výsledkom je použitie vzorcov dvojitého uhla: „22 sin (x / 2) cos (x / 2) -“ 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d „10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Použitím vyššie uvedenej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arktán 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ v Z`,
2. `tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arktán 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ v Z`.

Odpoveď. `x_1 \u003d 2 arktán 2 + 2 \\ pi n, n \\ v Z`,` x_2 \u003d arktán 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ v Z`.

Predstavujeme pomocný uhol

V trigonometrickej rovnici ʻa sin x + b cos x \u003d c`, kde a, b, c sú koeficienty a x je premenná, vydelíme obe strany `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:

"\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d "\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, menovite súčet ich druhých mocnín sa rovná 1 a ich absolútne hodnoty nie sú väčšie ako 1. Označujeme ich takto: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, potom:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Rozhodnutie. Vydeľte obe strany rovnosti `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, dostaneme:

"\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d "\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5.

Označme `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Pretože `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, berieme ako pomocný uhol `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Potom napíšeme svoju rovnosť v tvare:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

Ak použijeme vzorec pre súčet uhlov pre sínus, našu rovnosť napíšeme v nasledujúcom tvare:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5,

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ v Z`,

`x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 -` Arcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Odpoveď. `x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` ʻarcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ v Z`.

Frakčno-racionálne trigonometrické rovnice

Ide o rovnosti zlomkov, ktorých čitatelia a menovatelia majú trigonometrické funkcie.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Rozhodnutie. Vynásobte a vydelte pravú stranu rovnosti znakom `(1 + cos x)`. Vo výsledku dostaneme:

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) -" \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Keď vezmeme do úvahy, že menovateľ sa nemôže rovnať nule, dostaneme v Z` 1 + cos x \\ ne 0`, `cos x \\ ne -1`,` x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\.

Vyrovnajte čitateľa zlomku na nulu: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Potom `sin x \u003d 0` alebo` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ v Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ v Z`.

Ak vezmeme do úvahy, že `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ v Z`, riešenia sú` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ v Z` a` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ v Z`.

Odpoveď. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ v Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ v Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky, techniky. Štúdium sa začína v 10. ročníku, určite sú tu skúšky, takže si skúste spomenúť na všetky vzorce trigonometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!

Netreba si ich však ani pamätať, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť odvodiť. Nie je to také ťažké, ako to znie. Presvedčte sa sami sledovaním videa.