Formos tgx lygtis. Lanko tangentas ir lanko kotangentas

Bangų lygtis, dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti trikdžių plitimo tam tikroje aplinkoje procesą A. N. Tichonovas ir A. A. Samarskii, Matematinės fizikos lygtys, 3-asis leidimas, Maskva, 1977. - p. 155 ....

Hiperbolinių dalinių diferencialinių lygčių klasifikacijos

Šilumos laidumo lygtis yra dalinė parabolinio tipo diferencialinė lygtis, apibūdinanti šilumos sklidimo nepertraukiamoje terpėje (dujų ...

Eilių sistemų teorijoje naudojami matematiniai metodai

Sistemos būsenų tikimybę galima rasti iš Kolmogorovo diferencialinių lygčių sistemos, sudarytos pagal tokią taisyklę: Kiekvienos iš jų kairėje pusėje yra i-osios būsenos tikimybės išvestinė ...

Nestacionarioji Riccati lygtis

(1) Bendroji Riccati lygtis yra tokios formos:, (1.1) kur P, Q, R yra tęstinės x funkcijos, kai x pasikeičia intervale (1.1) lygtyje yra lygtys, kurias mes jau laikėme ypatingais atvejais: gauname tiesinę lygtį, kur - lygtis Bernoulli ...

Mokslinių tyrimų pagrindai ir transporto eksperimentų planavimas

Funkcinę priklausomybę Y \u003d f (X) (regresijos lygtis) gauname mažiausių kvadratų (OLS) metodu. Kaip apytikslės funkcijos naudokite tiesines (Y \u003d a0 + a1X) ir kvadratines priklausomybes (Y \u003d a0 + a1X + a2X2). Taikant mažiausių kvadratų metodą, reikšmės a0 ...

Poliarinių koordinačių sistemos polius dedame ties stačiakampių koordinačių sistemos pradžia, polinė ašis yra suderinama su teigiama abscisės pusiaaše (3 pav.). Paveikslėlis: 3 Paimkime tiesios tiesės lygtį įprasta forma: (3.1) - statmens ilgis ...

Poliarinė koordinačių sistema plokštumoje

Parašykime lygmenį apskritimo, einančio per polių, polinės ašies ir spindulio R. poliarinėmis koordinatėmis. Iš stačiakampio trikampio OAA gauname OA \u003d OA (4 pav.) ...

Selektyvios teorijos koncepcijos. Paskirstymo serija. Koreliacijos ir regresijos analizė

Tyrimas: a) porinės tiesinės regresijos samprata; b) normalių lygčių sistemos sudarymas; c) įverčių savybės mažiausių kvadratų metodu; d) tiesinės regresijos lygties nustatymo metodas. Tarkime ...

Diferencialinių lygčių sprendimų konstravimas galios eilių pavidalu

Sukonstruotos teorijos taikymo pavyzdžiu apsvarstykite Beselio lygtį: (6.1) Kur. Vienaskaitos taškas z \u003d 0 yra taisyklingas. Galutinėje lėktuvo dalyje nėra kitų savybių. Todėl (6.1) lygtyje valdančioji lygtis turi formą, t. Y.

Matricos lygčių sprendimas

Matricos lygtį ХА \u003d В taip pat galima išspręsti dviem būdais: 1. Atvirkštinė matrica apskaičiuojama bet kuriuo iš žinomų metodų. Tada matricos lygties sprendimas bus tokios formos: 2 ...

Matricos lygčių sprendimas

Aukščiau aprašyti metodai nėra tinkami formų AX \u003d XB, AX + XB \u003d C lygtims spręsti. Jie taip pat netinka sprendžiant lygtis, kuriose bent vienas iš nežinomos matricos X veiksnių yra išsigimusi matrica ...

Matricos lygčių sprendimas

Formos AX \u003d XA lygtys sprendžiamos taip pat, kaip ir ankstesniu atveju, tai yra elementas po elemento. Sprendimas yra susijęs su permutacijos matricos radimu. Pažvelkime iš arčiau į pavyzdį. Pavyzdys. Rasti visas matricas ...

Stacionarus eilės tinklo su deimanto formos kontūru veikimas

Iš valstybės ji gali pereiti į vieną iš šių būsenų: - dėl to, kad prašymas su intensyvumu patenka į pirmojo mazgo eilę; - dėl to, kad iš pirmojo mazgo gautas jame apdorotas prašymas, į trečiojo mazgo eilę, kurio intensyvumas yra ...

Trigonometrinės funkcijos

Skaičiaus arktangentas yra skaičius, kurio sinusas lygus a: jei ir. Visas lygties šaknis galima rasti pagal formulę: ...

Skaitmeniniai matematinių uždavinių sprendimo metodai

\u003e\u003e Lanko tangentas ir lanko kotangentas. Lygčių sprendimas tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Lanko tangentas ir lanko kotangentas. Lygčių sprendimas tgx \u003d a, ctgx \u003d a

2 pavyzdyje §16 nepavyko išspręsti trijų lygčių:

Du iš jų jau išsprendėme - pirmasis 17 dalyje, antrasis - 18 dalyje, tam turėjome pristatyti sąvokas arkosinas ir arcsine. Apsvarstykite trečiąją lygtį x \u003d 2.
Funkcijų y \u003d tg x ir y \u003d 2 grafikai turi be galo daug bendrų taškų, visų šių taškų abscesai yra formos - tiesiosios tiesės y \u003d 2 susikirtimo taško su tangentoido pagrindine šaka abscisės (90 pav.). Skaičiui x1 matematikai sugalvojo žymėjimą arctg 2 (skaitykite „dviejų arktangentas“). Tada visas lygties x \u003d 2 šaknis galima apibūdinti formule x \u003d arctg 2 + nk.
Kas yra „Arctg 2“? Tai yra skaičius liestinė kuri lygi 2 ir kuri priklauso intervalui
Apsvarstykite dabar lygtį tg x \u003d -2.
Funkcijų grafikai turi be galo daug bendrų taškų, visų šių taškų abscesai turi formą tiesiosios linijos y \u003d -2 susikirtimo su pagrindine tangentoido atšaka taško abscisė. Skaičiui x 2 matematikai sugalvojo žymėjimą arctg (-2). Tada visas lygties x \u003d -2 šaknis galima apibūdinti formule

Kas yra arctg (-2)? Tai skaičius, kurio liestinė yra -2 ir kuris priklauso intervalui. Atkreipkite dėmesį (žr. 90 pav.): X 2 \u003d -x 2. Tai reiškia, kad arctg (-2) \u003d - arctg 2.
Suformuluokime bendrą arktangento apibrėžimą.

1 apibrėžimas. arctg a (arktangentas a) yra skaičius iš intervalo, kurio liestinė lygi a. Taigi,

Dabar mes galime padaryti bendrą išvadą apie sprendimą lygtis x \u003d a: lygtis x \u003d a turi sprendinius

Pirmiau pažymėjome, kad arctg (-2) \u003d -agstg 2. Apskritai bet kuriai a reikšmei tinka ši formulė

1 pavyzdys. Apskaičiuoti:

2 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

A) Sudarykime sprendimo formulę:

Šiuo atveju negalime apskaičiuoti arktangento vertės, todėl lygties sprendimą paliksime gauta forma.
Atsakymas:
3 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
Vaizdų nelygybę galima grafiškai išspręsti laikantis šių planų
1) sukonstruokite tangentoidą y \u003d tan x ir tiesę y \u003d a;
2) pagrindinei tangioido šakai pasirinkite x ašies intervalą, kuriame tenkinama nurodyta nelygybė;
3) atsižvelgiant į funkcijos y \u003d tg x periodiškumą, atsakymą užrašykite bendra forma.
Taikykime šį planą sprendžiant nurodytas nelygybes.

: a) Sukonstruokime y \u003d tanx ir y \u003d 1 funkcijų grafikus. Pagrindinėje tangentoido šakoje jie susikerta taške

Pasirinkite x ašies intervalą, kuriame pagrindinė tangentoido šaka yra žemiau tiesės y \u003d 1, tai yra intervalas
Atsižvelgdami į funkcijos y \u003d tgx periodiškumą, darome išvadą, kad nurodyta nelygybė tenkinama bet kuriame formos intervale:

Visų tokių intervalų sujungimas yra bendras nurodytos nelygybės sprendimas.
Atsakymą galima parašyti kitu būdu:

b) Sukonstruokime y \u003d tg x ir y \u003d -2 funkcijų grafikus. Ant pagrindinės tangentoido šakos (92 pav.) Jie susikerta taške x \u003d arctg (-2).

Pasirinkite x ašies intervalą, kuriame yra pagrindinė tangentoido šaka

Apsvarstykite lygtį su tan x \u003d a, kur a\u003e 0. Funkcijų y \u003d ctg x ir y \u003d a grafikai turi be galo daug bendrų taškų, visų šių taškų abscizai yra tokios formos: x \u003d x 1 + nk, kur x 1 \u003d arcctg a yra tiesiosios linijos y \u003d a susikirtimo taško abscisė su tangentoido pagrindine šaka (pav. 93). Vadinasi, arcctg a yra skaičius, kurio kotangentas yra lygus a ir kuris priklauso intervalui (0, n); šiame intervale sukonstruojama pagrindinė funkcijos y \u003d ctg x grafiko šaka.

Fig. 93 taip pat parodyta grafinė lygties c1tg \u003d -a sprendimo išraiška. Funkcijų y \u003d ctg x ir y \u003d -a grafikai turi be galo daug bendrų taškų, visų šių taškų abscesai turi formą x \u003d x 2 + nk, kur x 2 \u003d arcctg (- a) yra tiesės y \u003d -a susikirtimo taško abscisė tangentoidinė šaka. Tai reiškia, kad arcctg (-a) yra skaičius, kurio kotangentas yra -a ir kuris priklauso intervalui (O, n); šiame intervale sukonstruota pagrindinė funkcijos Y \u003d ctg x grafiko šaka.

2 apibrėžimas.arcctg a (lanko kotangentas a) yra skaičius iš intervalo (0, n), kurio kotangentas yra a.
Taigi,

Dabar mes galime padaryti bendrą išvadą apie lygties ctg x \u003d a sprendimą: lygtis ctg x \u003d a turi sprendimus:

Atkreipkite dėmesį (žr. 93 pav.): X 2 \u003d n-x 1. Tai reiškia kad

4 pavyzdys. Apskaičiuoti:

A) Mes įdėjome

Lygtį ctg x \u003d a beveik visada galima transformuoti į formą. Išimtis yra lygtis ctg x \u003d 0. Bet šiuo atveju pasinaudokite tuo, kad galite kreiptis
lygtis cos x \u003d 0. Taigi formos x \u003d a lygtis nepriklausomai nedomina.

A.G. Mordkovičiaus Algebros 10 klasė

Kalendoriaus teminis matematikos planavimas, vaizdo įrašą matematikos internete, Matematikos mokykloje atsisiuntimas

Pamokos turinys pamokos metmenys palaikyti rėmelio pamokų pristatymo greitinimo metodus interaktyvias technologijas Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės dirbtuvės, mokymai, atvejai, užduotys namuose, diskusijos klausimai, studentų retoriniai klausimai Iliustracijos garso, vaizdo įrašų ir daugialypės terpės nuotraukos, paveikslėliai, diagramos, lentelės, humoro schemos, anekdotai, linksmybės, komiksų palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Papildai santraukos straipsnių lustai įdomiems apgaulingų lapų vadovėliams, pagrindinis ir papildomas kitų žodynų žodynas Vadovėlių ir pamokų tobulinimas klaidų taisymai pamokoje pamokos vadovėlio naujovių elementų fragmento atnaujinimas, pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos metų kalendorinis planas diskusijų programos metodinės rekomendacijos Integruotos pamokos

Anksčiau programoje studentai įgijo idėją išspręsti trigonometrines lygtis, susipažino su atvirkštinio kosinuso ir arcsino sąvokomis, lygčių cos t \u003d a ir sin t \u003d a sprendinių pavyzdžiais. Šiame vaizdo įrašo pamokoje apsvarstykite galimybę išspręsti lygtis tg x \u003d a ir ctg x \u003d a.

Šios temos tyrimo pradžioje apsvarstykite lygtis tg x \u003d 3 ir tg x \u003d - 3. Jei tg x \u003d 3 lygtis išspręsta naudojant grafiką, pamatysime, kad funkcijų y \u003d tg x ir y \u003d 3 grafikų sankirta turi begalinį sprendinių rinkinį, kur x \u003d x 1 + πk. X 1 reikšmė yra funkcijų y \u003d tg x ir y \u003d 3 grafikų susikirtimo taško x koordinatė. Autorius pristato arctangento sąvoką: arctg 3 yra skaičius, kurio tg yra 3, ir šis skaičius priklauso intervalui nuo -π / 2 iki π / 2. Naudojant arctangento sampratą, lygties tg x \u003d 3 sprendimą galima parašyti kaip x \u003d arctan 3 + πk.

Pagal analogiją išspręsta lygtis tg x \u003d - 3. Pagal sukonstruotus funkcijų y \u003d tg x ir y \u003d - 3 grafikus matyti, kad grafikų susikirtimo taškai, taigi ir lygčių sprendiniai, bus x \u003d x 2 + πk. Naudojant arktangentą, tirpalas gali būti parašytas kaip x \u003d arctan (- 3) + πk. Kitame paveikslėlyje galime pamatyti, kad arktanas (- 3) \u003d - arktanas 3.

Bendras arktangento apibrėžimas yra toks: arktangentas a yra skaičius nuo intervalo nuo -π / 2 iki π / 2, kurio liestinė lygi a. Tada lygties tg x \u003d a sprendimas yra x \u003d arktanas a + πk.

Autorius pateikia pavyzdį 1. Raskite išraiškos arctg sprendimą. Įveskime žymėjimą: skaičiaus arktangentas lygus x, tada tg x bus lygus šiam skaičiui, kur x priklauso atkarpai nuo -π / 2 iki π / 2. Kaip ir ankstesnių temų pavyzdžiuose, naudosime vertybių lentelę. Pagal šią lentelę šio skaičiaus liestinė atitinka reikšmę x \u003d π / 3. Parašykime lygties sprendimą, kurio tam tikro skaičiaus arktangentas yra lygus π / 3, π / 3 taip pat priklauso intervalui nuo -π / 2 iki π / 2.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite neigiamo skaičiaus arktangentą. Naudodami lygybę arctan (- a) \u003d - arctan a, įveskite x reikšmę. Panašiai kaip 2 pavyzdyje, užrašome x vertę, kuri priklauso segmentui nuo -π / 2 iki π / 2. Iš reikšmių lentelės randame, kad x \u003d π / 3, todėl - tg x \u003d - π / 3. Atsakymas į lygtį yra - π / 3.

Apsvarstykite 3 pavyzdį. Išspręskite lygtį tan x \u003d 1. Parašome, kad x \u003d arktanas 1 + πk. Lentelėje reikšmė tg 1 atitinka reikšmę x \u003d π / 4, todėl arctan 1 \u003d π / 4. Pakeiskite šią vertę į pradinę formulę x ir parašykite atsakymą x \u003d π / 4 + πk.

4 pavyzdys: apskaičiuokite tg x \u003d - 4.1. Šiuo atveju x \u003d arktanas (- 4,1) + πk. Nes šiuo atveju neįmanoma rasti arctan vertės, atsakymas atrodys x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

5 pavyzdyje nagrinėjamas nelygybės tg x\u003e 1. Sprendimas, kad ją išspręstume, sukonstruojame funkcijų y \u003d tg x ir y \u003d 1. grafikus. Kaip matote paveiksle, šie grafikai susikerta taškuose x \u003d π / 4 + πk. Nes šiuo atveju tg x\u003e 1, grafike parenkame tangentoido plotą, esantį virš grafiko y \u003d 1, kur x priklauso intervalui nuo π / 4 iki π / 2. Atsakymą rašome kaip π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Toliau apsvarstykite lygtį ctg x \u003d a. Paveiksle pavaizduoti y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a funkcijų, turinčių daug susikirtimo taškų, grafikai. Sprendimus galima parašyti kaip x \u003d x 1 + πk, kur x 1 \u003d arcctg a ir x \u003d x 2 + πk, kur x 2 \u003d arcctg (- a). Pažymima, kad x 2 \u003d π - x 1. Tai reiškia lygybę arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Toliau pateikiamas lankinio kotangento apibrėžimas: lanko kotangentas a yra skaičius nuo intervalo nuo 0 iki π, kurio kotangentas lygus a. Lygties ctg x \u003d a sprendimas rašomas taip: x \u003d arcctg a + πk.

Vaizdo pamokos pabaigoje daroma dar viena svarbi išvada - išraišką ctg x \u003d a galima parašyti forma tg x \u003d 1 / a, su sąlyga, kad a nėra lygus nuliui.

TEKSTO KODAS:

Panagrinėkime lygčių tan x \u003d 3 ir tan x \u003d - 3. Sprendžiant grafiškai pirmąją lygtį, matome, kad funkcijų y \u003d tan x ir y \u003d 3 grafikai turi be galo daug susikirtimo taškų, kurių abscesus rašome forma

x \u003d x 1 + πk, kur x 1 yra tiesiosios linijos y \u003d 3 susikirtimo su pagrindine tangentoido atšaka susikirtimo taško abscisė (1 pav.), kuriai buvo sukurtas žymėjimas.

arktanas 3 (trijų arktangentas).

Kaip jūs suprantate arctg 3?

Tai skaičius, kurio liestinė yra 3 ir šis skaičius priklauso intervalui (-;). Tada visas lygties tan x \u003d 3 šaknis galima užrašyti formule x \u003d arctan 3 + πk.

Panašiai lygties tan х \u003d - 3 sprendimas gali būti parašytas formoje х \u003d х 2 + πk, kur х 2 yra tiesiosios linijos у \u003d - 3 susikirtimo taško su pagrindine tangentoido atšaka abscisė (1 pav.), Kuriai žymėti arctan (- 3) (arktangentinis minusas trys). Tada visas lygties šaknis galima užrašyti pagal formulę: x \u003d arktanas (-3) + πk. Paveikslėlyje parodyta, kad arktanas (- 3) \u003d - arktanas 3.

Suformuluokime arktangento apibrėžimą. Arktangentas a yra skaičius iš intervalo (-;), kurio liestinė lygi a.

Dažnai naudojama lygybė: arctan (-a) \u003d -arctan a, tai galioja bet kuriam a.

Žinodami arktangento apibrėžimą, mes darome bendrą išvadą apie lygties sprendimą

tg x \u003d a: lygtis tg x \u003d a turi sprendimą x \u003d arctan a + πk.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 PAVYZDYS: Apskaičiuokite arkt.

Sprendimas. Tegul arctanas \u003d x, tada tgx \u003d ir xϵ (-;). Parodykite reikšmių lentelę Todėl x \u003d, nes tg \u003d ir ϵ (-;).

Taigi arctg \u003d.

2 PAVYZDYS Apskaičiuokite arktaną (-).

Sprendimas. Naudodami lygybę arctan (- a) \u003d - arctan a, mes rašome:

arctg (-) \u003d - arctg. Tegul - arctan \u003d x, tada - tgx \u003d ir xϵ (-;). Todėl x \u003d, nes tg \u003d ir ϵ (-;). Rodyti vertybių lentelę

Vadinasi - arctan \u003d - tgх \u003d -.

3 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį tgx \u003d 1.

1. Užrašykime sprendinių formulę: х \u003d arctan 1 + πk.

2. Raskite arktangento vertę

kadangi tg \u003d. Rodyti vertybių lentelę

Taigi arctg1 \u003d.

3. Įrašykite rastą vertę į sprendimų formulę:

4 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį tgx \u003d - 4.1 (liestinė x lygi minus keturi visos dešimtadaliai).

Sprendimas. Parašykime sprendinių formulę: x \u003d arctan (- 4.1) + πk.

Mes negalime apskaičiuoti arktangento vertės, todėl lygties sprendimą paliksime gauta forma.

5 PAVYZDYS. Išspręskite nelygybę tgх 1.

Sprendimas. Spręsime grafiškai.

1. Sukonstruokime tangentoidą

y \u003d tanx ir tiesi linija y \u003d 1 (2 pav.). Jie susikerta formos х \u003d + πk taškuose.

2. Pasirinkite x ašies intervalą, kuriame pagrindinė tangentoido šaka yra virš tiesės y \u003d 1, nes pagal sąlygą tgx 1. Tai yra intervalas (;).

3. Mes naudojame funkcijos periodiškumą.

Ypatybė 2. y \u003d tg x yra periodinė funkcija su pagrindiniu periodu π.

Atsižvelgdami į funkcijos y \u003d tgx periodiškumą, užrašome atsakymą:

(;). Atsakymą galima parašyti kaip dvigubą nelygybę:

Mes pereiname prie lygties ctg x \u003d a. Pateiksime teigiamos ir neigiamos a lygties sprendimo grafinę iliustraciją (3 pav.).

Funkcijų y \u003d ctg x ir y \u003d a grafikai

y \u003d ctg x ir y \u003d -a

turi be galo daug bendrų taškų, kurių abscesai yra:

x \u003d x 1 +, kur x 1 yra tiesės y \u003d a susikirtimo su pagrindine tangentoido atšaka taško abscisė ir

x 1 \u003d lankas a;

x \u003d x 2 +, kur x 2 yra tiesės susikirtimo taško abscisė

y \u003d - a su tangentoido pagrindine šaka ir x 2 \u003d arcсtg (- a).

Atkreipkite dėmesį, kad x 2 \u003d π - x 1. Taigi, užrašykime svarbią lygybę:

arcсtg (-а) \u003d π - arcсtg а.

Suformuluokime apibrėžimą: lanko kotangentas a yra skaičius iš intervalo (0; π), kurio kotangentas lygus a.

Lygties ctg x \u003d a sprendimas užrašomas tokia forma: x \u003d arcсtg a +.

Atkreipkite dėmesį, kad lygtį ctg x \u003d a galima paversti forma

tg x \u003d, išskyrus atvejus, kai a \u003d 0.

Šioje pamokoje mes toliau tyrinėsime arktangentą ir spręsime bet kurios a formos tg x \u003d a lygtis. Pamokos pradžioje išspręsime lygtį su lentelės verte ir parodysime sprendimą grafike, o po to - apskritime. Toliau išspręsime lygtį tgx \u003d a bendrąja forma ir išvesime bendrą atsakymo formulę. Mes iliustruosime skaičiavimus diagramoje ir apskritime ir apsvarstysime skirtingas atsakymo formas. Pamokos pabaigoje išspręsime keletą uždavinių su sprendimų iliustracija grafike ir apskritime.

Tema: Trigonometrinės lygtys

Pamoka: lanko liestinė ir lygties tgx \u003d a sprendimas (tęsinys)

1. Pamokos tema, įvadas

Šioje pamokoje mes pažvelgsime į bet kokio realybės lygties sprendimą

2. Lygties tgx \u003d √3 sprendimas

1 problema. Išspręskite lygtį

Raskime sprendimą naudodami funkcijų grafikus (1 pav.).

Apsvarstykite intervalą Šiuo intervalu funkcija yra monotoninė, o tai reiškia, kad ji pasiekiama tik vienai funkcijos reikšmei.

Atsakymas:

Išspręskime tą pačią lygtį naudodami skaičių apskritimą (2 pav.).

Atsakymas:

3. Lygties tgx \u003d a sprendimas bendrojoje formoje

Išspręskime lygtį bendra forma (3 pav.).

Intervale lygtis turi unikalų sprendimą

Mažiausias teigiamas laikotarpis

Iliustruokime skaičių apskritime (4 pav.).

4. Problemų sprendimas

2 problema. Išspręskite lygtį

Pakeiskite kintamąjį

3 užduotis. Išspręskite sistemą:

Sprendimas (5 pav.):

Taigi taške vertė yra tik taškas

Atsakymas:

4 problema. Išspręskite lygtį

Išspręskime keisdami kintamąjį:

5 užduotis. Raskite intervalo sprendinių skaičių lygtyje

Išspręskime problemą naudodami grafiką (6 pav.).

Lygtis turi tris sprendimus per tam tikrą intervalą.

Iliustruokime skaičių apskritime (7 pav.), Nors tai nėra taip aišku, kaip diagramoje.

Atsakymas: trys sprendimai.

5. Išvada, išvada

Mes išsprendėme bet kokio realybės lygtį, naudodami arktangento sampratą. Kitoje pamokoje susipažinsime su lanko kotangento sąvoka.

Bibliografija

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (dviem dalimis). Vadovėlis švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A.G.Mordkovičius. -M.: Mnemosina, 2009 m.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (dviem dalimis). Švietimo įstaigų probleminė knyga (profilio lygis), red. A.G.Mordkovičius. -M.: Mnemosina, 2007 m.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd SI Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (vadovėlis mokyklų ir klasių mokiniams, turintiems pažengusią matematikos studiją). - M.: Education, 1996.

4. Galitsky ML, Moshkovich MM, Schwarzburd SI Advanced algebra and matematinės analizės tyrimas.-M.: Education, 1997.

5. Matematikos problemų rinkimas stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redaguojama MI Skanavi). - M .: Aukštoji mokykla, 1992 m.

6. „Merzlyak A. G.“, „Polonsky V. B.“, „Yakir M. S. Algebraic“ simuliatorius.-K.: A. S. K., 1997 m.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros problemos ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10–11 klasių mokiniams). - M.: Education, 2003.

8. Karp AP Algebros uždavinių ir analizės principų rinkinys: vadovėlis. pašalpa 10–11 klasių gilinantis tyrimas matematika.-M.: Švietimas, 2006 m.

Namų darbai

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (dviem dalimis). Švietimo įstaigų probleminė knyga (profilio lygis), red. A.G.Mordkovičius. -M.: Mnemosina, 2007 m.

№№ 22.18, 22.21.

Papildomi interneto ištekliai

1. Matematika.

2. Interneto portalo problemos. ru.

3. Švietimo portalas pasiruošimui egzaminams.

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą !!!

Lygybė, kurioje trigonometrinės funkcijos ženkle (`sin x, cos x, tan x` arba` ctg x`) yra nežinoma, vadinama trigonometrine lygtimi, ir mes toliau apsvarstysime jų formules.

Paprasčiausios lygtys vadinamos `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, kur` x` - kampas, kurį reikia rasti, ʻa` - bet kuris skaičius. Užrašykime kiekvieno iš jų šaknies formules.

1. Lygtis `sin x \u003d a`.

Nes "| a |\u003e 1" neturi sprendimų.

Už „| a | \\ leq 1` turi begalę sprendimų.

Šaknies formulė: "x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z"

2. Lygtis `cos x \u003d a`

„| A |\u003e 1“ - kaip ir sinuso atveju, jis neturi sprendimų tarp realiųjų skaičių.

Už „| a | \\ leq 1` turi begalę sprendimų.

Šaknies formulė: „x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ Z“

Ypatingi sinuso ir kosinuso atvejai grafikuose.

3. Lygtis `tg x \u003d a`

Turi begalinį skaičių sprendimų bet kurioms „a“ reikšmėms.

Šaknies formulė: "x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ Z"

4. Lygtis `ctg x \u003d a`

Be to, be galo daug sprendimų bet kokioms „a“ reikšmėms.

Šaknies formulė: "x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z"

Trigonometrinių lygčių šaknų formulės lentelėje

Sinusui:
Kosinusui:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės lygtims, turinčioms atvirkštines trigonometrines funkcijas, spręsti:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

• naudojant konvertuoti į paprasčiausią;
• išspręskite gautą paprasčiausią lygtį naudodamiesi pirmiau parašytomis šaknų formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinių sprendimo būdų pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šiuo metodu atliekamas kintamasis pakeitimas ir pakeitimas į lygybę.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0"

"2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0",

mes padarome pakeitimą: "cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y", tada "2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0",

randame šaknis: "y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2", iš kur seka du atvejai:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. "cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2", "x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n", "x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Atsakymas: „x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n“, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktorizacija.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x + cos x \u003d 1`.

Sprendimas. Perkelkite visas lygybės sąlygas į kairę: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Kairiosios pusės naudojimas, transformavimas ir faktorius:

"sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0",

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0",

1. „sin x / 2 \u003d 0“, „x / 2 \u003d \\ pi n“, „x_1 \u003d 2 \\ pi n“.
2. "cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0", "tg x / 2 \u003d 1", "x / 2 \u003d arktanas 1+ \\ pi n", "x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n" , „x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n“.

Atsakymas: „x_1 \u003d 2 \\ pi n“, „x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n“.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite perkelti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų tipų:

SinA sin x + b cos x \u003d 0` (homogeninė pirmo laipsnio lygtis) arba ʻa sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \\ ne 0“ - pirmuoju atveju ir iš „cos ^ 2 x \\ ne 0“ - antruoju. Gauname `tg x` lygtis: ʻa tg x + b \u003d 0` ir ʻa tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: „2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1“.

Sprendimas. Dešinę pusę perrašykite kaip „1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x“:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d" sin ^ 2 x + cos ^ 2 x ",

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x-" sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0 "

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Tai yra homogeninė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padalijame į „cos ^ 2 x \\ ne 0“, gauname:

"\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0"

„tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0“. Įveskime pakaitą `tg x \u003d t`, dėl to` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Šios lygties šaknys yra „t_1 \u003d -2“ ir „t_2 \u003d 1“. Tada:

1. "tg x \u003d -2", "x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n", "n \\ Z"
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ Z '.

Atsakymas. „x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n“, „n \\ Z“, „x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n“, „n \\ Z“.

Eik į pusę kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: „11 sin x - 2 cos x \u003d 10“.

Sprendimas. Taikykite dvigubo kampo formules: "22 sin (x / 2) cos (x / 2)-" 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d "10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 "

"4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0"

Taikydami aukščiau aprašytą algebrinį metodą, gauname:

1. "tg x / 2 \u003d 2", "x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n", "n \\ Z",
2. `tg x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arktanas 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ Z '.

Atsakymas. "x_1 \u003d 2 arktanas 2 + 2 \\ pi n, n \\ Z", "x_2 \u003d arktanas 3/4 + 2 \\ pi n", "n \\ Z".

Įveskite pagalbinį kampą

Trigonometrinėje lygtyje ʻa sin x + b cos x \u003d c`, kur a, b, c yra koeficientai ir x yra kintamasis, abi puses padalijame iš `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2):

"\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d "\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) ".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, ty jų kvadratų suma lygi 1, o jų absoliučios vertės nėra didesnės nei 1. Pažymėkime juos taip: "\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi" , "\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi", "\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C", tada:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: „3 sin x + 4 cos x \u003d 2“.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš "sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)", gausime:

"\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d "\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) "

"3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5".

Pažymėkime „3/5 \u003d cos \\ varphi“, „4/5 \u003d sin \\ varphi“. Kadangi „sin \\ varphi\u003e 0“, „cos \\ varphi\u003e 0“, tada „\\ varphi \u003d arcsin 4/5“ laikome pagalbiniu kampu. Tada mes rašome savo lygybę tokia forma:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

Taikydami sinusų kampų sumos formulę, lygybę užrašome tokia forma:

"sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5",

„x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n“, „n \\ Z“,

"x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-" csarcsin 4/5 + \\ pi n "," n \\ Z ".

Atsakymas. "x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-" csarcsin 4/5 + \\ pi n "," n \\ Z ".

Dalinės-racionaliosios trigonometrinės lygtys

Tai lygybė su trupmenomis, kurių skaitikliai ir vardikliai turi trigonometrines funkcijas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. "\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x".

Sprendimas. Padauginkite ir padalykite dešinę lygybės pusę iš „(1 + cos x)“. Todėl gauname:

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\\ frac (sin x) (1 + cos x)-" \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0 "

"\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0"

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gausime „1 + cos x \\ ne 0“, „cos x \\ ne -1“, „x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ Z“.

Dalies skaitiklį prilyginkite nuliui: "sin x-sin ^ 2 x \u003d 0", "sin x (1-sin x) \u003d 0". Tada `sin x \u003d 0` arba` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ Z '
2. „1-sin x \u003d 0“, „sin x \u003d -1“, „x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad „x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ Z“, sprendiniai yra „x \u003d 2 \\ pi n, n \\ Z“ ir „x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n“ , `n \\ Z '.

Atsakymas. „x \u003d 2 \\ pi n“, „n \\ Z“, „x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n“, „n \\ Z“.

Trigonometrija ir ypač trigonometrinės lygtys naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos, inžinerijos srityse. Studijos prasideda 10 klasėje, egzaminui tikrai yra užduočių, todėl pabandykite prisiminti visas trigonometrinių lygčių formules - jos tikrai pravers!

Tačiau jų net nereikia įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti daryti išvadą. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Pažiūrėkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.