Paskutinė Ferma teorema. „Ar paskutinė Ferma teorema buvo įrodyta? Kas ir kada įrodė Ferma teoremą?
Abelio premija 2016 m. atiteks Andrew'ui Wilesui už Taniyama-Shimura spėlionių pusiausvyrinių elipsinių kreivių įrodymą ir paskutinės Ferma teoremos įrodymą, išplaukiantį iš šios spėlionės. Šiuo metu priemoka yra 6 milijonai Norvegijos kronų, tai yra maždaug 50 milijonų rublių. Pasak Wileso, apdovanojimas jam buvo „visiška staigmena“.
Daugiau nei prieš 20 metų įrodyta Ferma teorema vis dar patraukia matematikų dėmesį. Iš dalies taip yra dėl jo formuluotės, kuri suprantama net moksleiviui: įrodykite, kad natūraliajam n>2 nėra sveikųjų skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, trynukų, kad a n + b n = c n . Pierre'as Fermatas parašė šį posakį Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, pridėdamas nuostabų parašą: „Radau tikrai nuostabų [šio teiginio] įrodymą, bet knygos paraštės tam per siauros“. Skirtingai nuo daugelio matematikos pasakų, ši yra tikra.
Premijos įteikimas – puiki proga prisiminti dešimt linksmų istorijų, susijusių su Ferma teorema.
1.
Prieš tai, kai Andrew Wiles įrodė Ferma teoremą, ji buvo teisingiau vadinama hipoteze, tai yra, Fermato prielaida. Faktas yra tas, kad teorema pagal apibrėžimą yra jau įrodytas teiginys. Tačiau dėl tam tikrų priežasčių šis konkretus pavadinimas buvo pridėtas prie šio pareiškimo.
2.
Jei Ferma teoremoje nustatysime n = 2, tai tokia lygtis turi be galo daug sprendinių. Šie sprendimai vadinami „Pitagoro trigubais“. Tokį pavadinimą jie gavo todėl, kad atitinka stačiakampius trikampius, kurių kraštinės išreiškiamos būtent tokiomis skaičių aibėmis. Pitagoro trigubus galite generuoti naudodami šias tris formules (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Turime pakeisti skirtingas m ir n reikšmes į šias formules, ir rezultatas bus mums reikalingi trejetai. Tačiau čia svarbiausia įsitikinti, kad gauti skaičiai bus didesni už nulį – ilgiai negali būti išreikšti neigiamais skaičiais.
Beje, nesunku pastebėti, kad visus Pitagoro trigubo skaičius padauginus iš kokio nors ne nulio skaičiaus, gaunamas naujas Pitagoro trigubas. Todėl tikslinga tirti trynukus, kuriuose trys skaičiai kartu neturi bendro koeficiento. Mūsų aprašyta schema leidžia gauti visus tokius trynukus – tai nebėra paprastas rezultatas.
3.
1847 m. kovo 1 d. Paryžiaus mokslų akademijos posėdyje du matematikai – Gabrielis Lamé ir Augustinas Koši – paskelbė, kad yra ant slenksčio, įrodantys nuostabią teoremą. Jie stengėsi paskelbti įrodymų. Dauguma akademikų rėmėsi Lame'u, nes Koši buvo pasipūtęs, netolerantiškas religinis fanatikas (ir, žinoma, absoliučiai puikus matematikas ne visą darbo dieną). Tačiau rungtynėms nebuvo lemta baigtis – per savo draugą Josephą Liouville'į vokiečių matematikas Ernstas Kummeris informavo akademikus, kad Koši ir Lame'o įrodymuose yra ta pati klaida.
Mokykloje įrodyta, kad skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus. Abu matematikai manė, kad jei pažvelgsime į sveikųjų skaičių išplėtimą sudėtingu atveju, tada ši savybė - unikalumas - bus išsaugota. Tačiau taip nėra.
Pastebėtina, kad jei atsižvelgsime tik į m + i n, tada plėtra yra unikali. Tokie skaičiai vadinami Gauso. Tačiau Lamé ir Cauchy darbas reikalavo faktorizavimo ciklotominiuose laukuose. Tai, pavyzdžiui, skaičiai, kuriuose m ir n yra racionalūs, o i tenkina savybę i^k = 1.
4.
Ferma teorema n = 3 turi aiškią geometrinę reikšmę. Įsivaizduokime, kad turime daug mažų kubelių. Iš jų surinkime du didelius kubus. Šiuo atveju, žinoma, kraštinės bus sveikieji skaičiai. Ar įmanoma rasti du tokius didelius kubus, kad išardę juos į mažus kubelius, galėtume iš jų surinkti vieną didelį kubą? Ferma teorema sako, kad to niekada negalima padaryti. Smagu, kad uždavus tą patį klausimą trims kubams, atsakymas yra taip. Pavyzdžiui, yra šis skaičių kvartetas, kurį atrado nuostabus matematikas Srinivas Ramanujan:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
Fermato teoremos istorijoje buvo pažymėtas Leonardas Euleris. Jam nelabai pavyko įrodyti teiginį (ar net priartėti prie įrodymo), tačiau jis suformulavo hipotezę, kad lygtis
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
neturi sveikųjų skaičių sprendinio. Visi bandymai rasti tokios lygties sprendimą buvo nesėkmingi. Tik 1988 m. Nahumui Elkiesui iš Harvardo pavyko rasti priešingą pavyzdį. Tai atrodo taip:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Ši formulė dažniausiai prisimenama atliekant skaitinį eksperimentą. Paprastai matematikoje tai atrodo taip: yra kažkokia formulė. Matematikas šią formulę patikrina paprastais atvejais, įsitikina jos teisingumu ir suformuluoja kokią nors hipotezę. Tada jis (nors dažniau vienas iš jo magistrantūros ar bakalauro studentų) parašo programą, kad patikrintų, ar formulė teisinga pakankamai dideliems skaičiams, kurių negalima suskaičiuoti ranka (kalbame apie vieną tokį eksperimentą su pirminiais skaičiais). Žinoma, tai nėra įrodymas, bet puiki priežastis iškelti hipotezę. Visos šios konstrukcijos yra pagrįstos pagrįsta prielaida, kad jei yra priešingas pavyzdys kokiai nors pagrįstai formulei, mes jį rasime pakankamai greitai.
Eulerio hipotezė mums primena, kad gyvenimas yra daug įvairesnis nei mūsų fantazijos: pirmasis kontrpavyzdys gali būti toks, kokio norime.
6.
Tiesą sakant, žinoma, Andrew Wilesas nebandė įrodyti Ferma teoremos – jis sprendė sunkesnę problemą, pavadintą Taniyama-Shimura spėlionėmis. Matematikoje yra dvi nuostabios objektų klasės. Pirmoji vadinama modulinėmis formomis ir iš esmės yra Lobačevskio erdvės funkcijos. Šios funkcijos nesikeičia judant šia plokštuma. Antrasis vadinamas „elipsinėmis kreivėmis“ ir yra kreivės, apibrėžtos trečiojo laipsnio lygtimi kompleksinėje plokštumoje. Abu objektai yra labai populiarūs skaičių teorijoje.
Praėjusio amžiaus 50-aisiais du talentingi matematikai Yutaka Taniyama ir Goro Shimura susitiko Tokijo universiteto bibliotekoje. Tuo metu universitete specialios matematikos nebuvo: po karo jis tiesiog nespėjo atsigauti. Dėl to mokslininkai studijavo naudodami senus vadovėlius ir seminaruose aptarė problemas, kurios Europoje ir JAV buvo laikomos išspręstomis ir ne itin aktualiomis. Tai buvo Taniyama ir Shimura, kurie atrado, kad yra tam tikras atitikimas tarp modulinių formų ir elipsinių funkcijų.
Jie išbandė savo hipotezę su kai kuriomis paprastomis kreivių klasėmis. Paaiškėjo, kad tai veikia. Taigi jie manė, kad šis ryšys visada egzistuoja. Taip atsirado Taniyama-Shimura hipotezė, o po trejų metų Taniyama nusižudė. 1984 m. vokiečių matematikas Gerhardas Frey parodė, kad jei Ferma teorema yra klaidinga, tada Taniyama-Shimura spėjimas yra klaidingas. Iš to išplaukė, kad kas įrodys šią hipotezę, įrodys ir teoremą. Būtent tai padarė Wilesas – nors ne visai bendrai.
7.
Wilesas praleido aštuonerius metus įrodinėdamas hipotezę. O peržiūros metu recenzentai joje rado klaidą, kuri „nužudė“ daugumą įrodymų, paneigdama visus darbo metus. Vienas iš apžvalgininkų, vardu Richardas Tayloras, ėmėsi užtaisyti šią skylę su Wilesu. Jiems dirbant, pasirodė žinutė, kad Elkis, tas pats, kuris rado priešingą pavyzdį Eulerio spėjimui, taip pat rado priešingą pavyzdį Ferma teoremai (vėliau paaiškėjo, kad tai buvo balandžio 1-osios pokštas). Wilesas susirgo depresija ir nenorėjo tęsti – įkalčių skylė neužsivers. Tayloras įtikino Wilesą kovoti dar mėnesį.
Įvyko stebuklas ir iki vasaros pabaigos matematikai sugebėjo padaryti persilaužimą – taip pasirodė Andrew Wileso darbai „Modulinės elipsės kreivės ir paskutinė Ferma teorema“ (pdf) bei Richardo „Kai kurių Hekės algebrų žiedo teorinės savybės“. Gimė Taylor ir Andrew Wiles. Tai jau buvo teisingas įrodymas. Jis buvo paskelbtas 1995 m.
8.
1908 m. Darmštate mirė matematikas Paulas Wolfskehlas. Jis paliko testamentą, kuriuo matematinei bendruomenei suteikė 99 metus, kad surastų paskutinės Ferma teoremos įrodymą. Įrodinėjimo autorius turėjo gauti 100 tūkstančių markių (kontrpavyzdžio autorius, beje, nieko nebūtų gavęs). Pasak plačiai paplitusios legendos, Volfskehlį padovanoti tokią dovaną matematikams paskatino meilė. Štai kaip Simonas Singhas aprašo legendą savo knygoje „Paskutinė Ferma teorema“:
Istorija prasideda tuo, kad Wolfskehl susižavėjo gražia moterimi, kurios tapatybė niekada nebuvo nustatyta. Deja, Wolfskeliui, paslaptingoji moteris jį atstūmė. Jis puolė į tokią gilią neviltį, kad nusprendė nusižudyti. Volfskelis buvo aistringas žmogus, bet ne impulsyvus, todėl pradėjo nagrinėti savo mirtį visose smulkmenose. Jis nustatė savižudybės datą ir vidurnaktį nusprendė šaudyti sau į galvą. Per likusias dienas Volfskelis nusprendė sutvarkyti savo reikalus, kurie klostėsi puikiai, o paskutinę dieną surašė testamentą ir parašė laiškus artimiems draugams ir giminaičiams.
Volfskelis dirbo taip kruopščiai, kad visus darbus baigė prieš vidurnaktį ir, norėdamas kažkaip užpildyti likusias valandas, nuėjo į biblioteką, kur pradėjo vartyti matematinius žurnalus. Netrukus jis aptiko klasikinį Kummero straipsnį, kuriame jis paaiškino, kodėl Cauchy ir Lamé nepavyko. Kummero darbas buvo vienas reikšmingiausių savo šimtmečio matematinių leidinių ir buvo geriausias skaitymas matematikui, galvojančiam apie savižudybę. Volfskelis atidžiai sekė Kummerio skaičiavimus, eilutę po eilutės. Staiga Wolfskehlui atrodė, kad jis atrado spragą: autorius padarė prielaidą ir nepateisino šio savo samprotavimo žingsnio. Wolfskehlas susimąstė, ar jis iš tikrųjų atrado rimtą spragą, ar Kummero prielaida buvo pagrįsta. Jei buvo aptikta spraga, tada buvo tikimybė, kad paskutinė Ferma teorema gali būti įrodyta daug lengviau, nei daugelis tikėjo.
Wolfskehl atsisėdo prie stalo, atidžiai išanalizavo „ydingą“ Kummero samprotavimų dalį ir pradėjo braižyti mini įrodymą, kuris turėjo arba paremti Kummero darbą, arba parodyti jo prielaidos klaidingumą ir dėl to paneigti visus jo teiginius. argumentai. Iki aušros Volfskelis baigė skaičiavimus. Bloga (matematikos požiūriu) žinia buvo ta, kad Kummerio įrodymas buvo pataisytas, o paskutinė Ferma teorema liko neprieinama. Tačiau buvo gerų naujienų: savižudybei skirtas laikas praėjo, o Wolfskehlas taip didžiavosi, kad sugebėjo atrasti ir užpildyti didžiojo Ernesto Kummero darbo spragą, kad jo neviltis ir liūdesys išsisklaidė savaime. Matematika grąžino jam gyvenimo potraukį.
Tačiau yra ir alternatyvi versija. Anot jos, Wolfskehlas ėmėsi matematikos (ir, tiesą sakant, Ferma teoremos) dėl progresuojančios išsėtinės sklerozės, kuri neleido jam daryti to, ką mėgo – būti gydytoju. O pinigus jis paliko matematikams, kad nepaliktų jų žmonai, kurios iki gyvenimo pabaigos jis tiesiog nekentė.
9.
Bandymai įrodyti Ferma teoremą elementariais metodais paskatino ištisą keistų žmonių klasę, vadinamą „fermatistais“. Jie užsiėmė didžiulio kiekio įrodymų rinkimu ir visiškai nenusiminė, kai šiuose įrodymuose rado klaidą.
Maskvos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakultete buvo legendinis personažas Dobrecovas. Iš įvairių katedrų rinko pažymėjimus ir jais pasinaudojęs įstojo į Mechanikos-matematikos fakultetą. Tai buvo padaryta tik siekiant surasti auką. Kažkaip jis susidūrė su jaunu abiturientu (būsimu akademiku Novikovu). Jis savo naivumu pradėjo atidžiai tyrinėti šūsnį popierių, kuriuos Dobrecovas jam įteikė su žodžiais, sakoma, štai įrodymas. Po dar vieno „čia klaida...“ Dobrecovas paėmė rietuves ir įsikišo į savo portfelį. Iš antrojo portfelio (taip, jis vaikščiojo po Mechanikos ir matematikos fakultetą su dviem portfeliais) išėmė antrą krūvą, atsiduso ir pasakė: „Na, pažiūrėkime į 7 B variantą“.
Beje, dauguma šių įrodymų prasideda fraze „Perkelkime vieną iš terminų į dešinę lygybės pusę ir suskaidykime jį faktoriais“.
10.
Istorija apie teoremą būtų neišsami be nuostabaus filmo „Matematikas ir velnias“.
Pataisa
Šio straipsnio 7 skyriuje iš pradžių buvo teigiama, kad Nahumas Elkiesas rado priešingą Ferma teoremos pavyzdį, kuris vėliau pasirodė klaidingas. Tai neteisinga: priešingas pavyzdys buvo balandžio pirmosios pokštas. Atsiprašome už netikslumą.
Andrejus Koniajevas
DIDŽIOJI FERMO TEOREMA – Pierre'o Fermato (prancūzų teisininko ir neakivaizdinio matematiko) teiginys, kad Diofanto lygtis X n + Y n = Z n , kurios eksponentas n>2, kur n = sveikasis skaičius, neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių. Autoriaus tekstas: „Neįmanoma išskaidyti kubo į du kubus arba bikvadrato į du bikvadratus, arba apskritai didesnės už du laipsnius į dvi laipsnius su tuo pačiu eksponentu.
„Fermatas ir jo teorema“, Amadeo Modigliani, 1920 m
Pierre'as sugalvojo šią teoremą 1636 m. kovo 29 d. Ir po kokių 29 metų jis mirė. Bet nuo to viskas ir prasidėjo. Juk turtingas vokiečių matematikos mylėtojas, vardu Wolfskehlas, paliko šimtą tūkstančių markių tam, kuris pateiks pilną Ferma teoremos įrodymą! Tačiau jaudulys dėl teoremos buvo susijęs ne tik su šia, bet ir su profesine matematine aistra. Pats Fermatas matematikų bendruomenei užsiminė, kad žinojo įrodymą – prieš pat savo mirtį, 1665 m., Diofanto Aleksandriečio „Aritmetikos“ paraštėse jis paliko tokį užrašą: „Turiu labai įspūdingą įrodymą, bet jis per didelis, kad būtų. pastatytas ant laukų“.
Būtent ši užuomina (plius, žinoma, piniginė premija) privertė matematikus praleisti geriausius metus nesėkmingai ieškant įrodymo (anot Amerikos mokslininkų, vien profesionalūs matematikai tam iš viso skyrė 543 metus).
Tam tikru momentu (1901 m.) darbas su Ferma teorema įgijo abejotiną „darbo, panašaus į amžinojo judesio mašinos paieškas“ reputaciją (pasirodė net menkinantis terminas - „Fermatistai“). Ir staiga, 1993 m. birželio 23 d., matematikos konferencijoje apie skaičių teoriją Kembridže, anglų matematikos profesorius iš Prinstono universiteto (Naujasis Džersis, JAV) Andrew Wilesas paskelbė, kad Fermatas pagaliau tai įrodė!
Tačiau įrodymas buvo ne tik sudėtingas, bet ir akivaizdžiai klaidingas, kaip nurodė Wilesas jo kolegos. Tačiau profesorius Wilesas visą gyvenimą svajojo įrodyti teoremą, todėl nenuostabu, kad 1994 m. gegužę jis mokslo bendruomenei pristatė naują, pataisytą įrodymo versiją. Jame nebuvo nei harmonijos, nei grožio, ir jis vis tiek buvo labai sudėtingas – tai, kad matematikai ištisus metus (!) analizavo šį įrodymą, kad suprastų, ar jis klaidingas, kalba pats už save!
Tačiau galiausiai Wileso įrodymas buvo pripažintas teisingu. Tačiau matematikai neatleido Pierre'ui Fermat už jo užuominą „Aritmetikoje“ ir iš tikrųjų pradėjo jį laikyti melagiu. Tiesą sakant, pirmasis asmuo, suabejojęs Ferma moraliniu sąžiningumu, buvo pats Andrew Wilesas, kuris pažymėjo, kad "Fermatas negalėjo turėti tokių įrodymų. Tai yra dvidešimtojo amžiaus įrodymai". Tada, tarp kitų mokslininkų, sustiprėjo nuomonė, kad Fermatas „negalėjo įrodyti savo teoremos kitaip, o Fermatas negalėjo jos įrodyti taip, kaip Wilesas dėl objektyvių priežasčių“.
Tiesą sakant, Fermatas, žinoma, galėtų tai įrodyti, o kiek vėliau šį įrodymą atkurs Naujosios analitinės enciklopedijos analitikai. Bet kokios yra šios „objektyvios priežastys“?
Iš tikrųjų tokia priežastis yra tik viena: tais metais, kai gyveno Fermatas, Taniyama spėjimas, kuriuo rėmėsi Andrew Wilesas, negalėjo atsirasti, nes modulinės funkcijos, kuriomis veikia Taniyama spėjimas, buvo atrastos tik XIX amžiaus pabaigoje. amžiaus.
Kaip pats Wilesas įrodė teoremą? Klausimas nėra tuščias – svarbu suprasti, kaip pats Fermatas galėtų įrodyti savo teoremą. Wilesas savo įrodymą grindė Taniyamos spėjimo įrodymu, kurį 1955 metais pateikė 28 metų japonų matematikas Yutaka Taniyama.
Hipotezė skamba taip: „kiekviena elipsinė kreivė atitinka tam tikrą modulinę formą“. Elipsinės kreivės, žinomos nuo seno, turi dvimatę formą (esančios plokštumoje), o modulinės funkcijos – keturmatę. Tai yra, Taniyamos hipotezė apjungė visiškai skirtingas sąvokas – paprastas plokščias kreives ir neįsivaizduojamas keturmates formas. Pats skirtingų matmenų figūrų sujungimo hipotezėje faktas mokslininkams atrodė absurdiškas, todėl 1955 metais jam nebuvo suteikta jokios reikšmės.
Tačiau 1984 m. rudenį „Taniyamos spėjimas“ staiga vėl buvo prisimintas ir ne tik prisimintas, bet ir galimas jo įrodymas buvo susietas su Ferma teoremos įrodymu! Tai padarė Sarbriukeno matematikas Gerhardas Frey, kuris informavo mokslo bendruomenę, kad „jei kas nors pavyktų įrodyti Taniyamos spėjimą, tada paskutinė Ferma teorema taip pat bus įrodyta“.
Ką padarė Frey? Jis pavertė Ferma lygtį į kubinę, tada pastebėjo, kad elipsinė kreivė, gauta naudojant Ferma lygtį, transformuotą į kubinę, negali būti modulinė. Tačiau Taniyamos spėjimas teigė, kad bet kokia elipsinė kreivė gali būti modulinė! Atitinkamai, elipsinė kreivė, sudaryta iš Fermato lygties, negali egzistuoti, o tai reiškia, kad negali būti ištisų sprendinių ir Ferma teoremos, o tai reiškia, kad tai tiesa. Na, 1993 m. Andrew Wilesas tiesiog įrodė Taniyamos spėjimą, taigi ir Ferma teoremą.
Tačiau Ferma teoremą galima įrodyti daug paprasčiau, remiantis tuo pačiu daugiamatiškumu, kurį operavo ir Taniyama, ir Frey.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į paties Pierre'o Fermat nurodytą būklę – n>2. Kodėl ši sąlyga buvo reikalinga? Taip, tik dėl to, kad esant n=2 ypatingas Ferma teoremos atvejis tampa įprasta Pitagoro teorema X 2 +Y 2 =Z 2, kuri turi begalinį sveikųjų skaičių sprendinių skaičių - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 ir pan. Taigi Pitagoro teorema yra Ferma teoremos išimtis.
Bet kodėl tokia išimtis atsiranda, kai n=2? Viskas stoja į savo vietas, jei matai ryšį tarp laipsnio (n=2) ir pačios figūros matmens. Pitagoro trikampis yra dvimatė figūra. Nenuostabu, kad Z (ty hipotenuzė) gali būti išreikštas kojelėmis (X ir Y), kurios gali būti sveikieji skaičiai. Kampo dydis (90) leidžia laikyti hipotenuzą vektoriumi, o kojos yra vektoriai, esantys ant ašių ir ateinantys iš pradžios. Atitinkamai galima išreikšti dvimatį vektorių, kuris nėra ant nė vienos ašies, atsižvelgiant į ant jų esančius vektorius.
Dabar, jei pereisime į trečią dimensiją, taigi į n=3, norėdami išreikšti trimatį vektorių, nebus pakankamai informacijos apie du vektorius, todėl bus galima išreikšti Z Fermat lygtyje. per bent tris narius (tris vektorius, gulinčius atitinkamai trijose koordinačių sistemos ašyse).
Jei n=4, tai turi būti 4, jei n=5, tai turėtų būti 5 terminai ir t.t. Tokiu atveju sprendimų bus daugiau nei pakankamai. Pavyzdžiui, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 ir taip toliau (galite patys pasirinkti kitus pavyzdžius, kai n=3, n=4 ir pan.).
Kas iš viso to seka? Iš to išplaukia, kad Ferma teorema tikrai neturi sveikųjų skaičių n>2, bet tik todėl, kad pati lygtis yra neteisinga! Lygiai taip pat sėkmingai būtų galima pabandyti išreikšti gretasienio tūrį jo dviejų kraštų ilgiais – žinoma, tai neįmanoma (visų sprendimų niekada nepavyks rasti), bet tik todėl, kad reikia rasti gretasienio tūrį reikia žinoti visų trijų jo kraštų ilgius.
Kai žinomo matematiko Davido Gilberto paklausė, kokia dabar yra svarbiausia mokslo problema, jis atsakė „pagauti musę tolimoje mėnulio pusėje“. Į pagrįstą klausimą „Kam to reikia? Jis atsakė: "Niekam to nereikia. Bet pagalvokite, kiek svarbių, sudėtingų problemų reikia išspręsti, kad tai būtų įgyvendinta."
Kitaip tariant, Fermatas (visų pirma teisininkas!) suvaidino šmaikštų teisinį pokštą visam matematiniam pasauliui, remdamasis neteisinga problemos formuluote. Jis, tiesą sakant, pasiūlė matematikams rasti atsakymą, kodėl musė kitoje Mėnulio pusėje negali gyventi, o „Aritmetikos“ paraštėse norėjo parašyti tik tiek, kad Mėnulyje tiesiog nėra oro, t.y. Jo teoremos, kai n>2, sprendinių negali būti tik todėl, kad kiekviena n reikšmė turi atitikti tam tikrą skaičių narių kairėje lygties pusėje.
Bet ar tai tik pokštas? Visai ne. Ferma genialumas slypi būtent tame, kad jis iš tikrųjų pirmasis pamatė ryšį tarp matematinės figūros laipsnio ir matmenų – tai yra absoliučiai lygiavertis terminų skaičius kairėje lygties pusėje. Jo garsiosios teoremos prasmė buvo būtent ne tik pastūmėti matematinį pasaulį į šio santykio idėją, bet ir inicijuoti šio santykio egzistavimo įrodymą – intuityviai suprantamą, bet dar matematiškai nepagrįstą.
Fermatas, kaip niekas kitas, suprato, kad santykių tarp iš pažiūros skirtingų objektų užmezgimas yra nepaprastai vaisingas ne tik matematikoje, bet ir bet kuriame moksle. Šis ryšys rodo tam tikrą gilų principą, kuriuo grindžiami abu objektai, ir leidžia juos giliau suprasti.
Pavyzdžiui, fizikai iš pradžių elektrą ir magnetizmą vertino kaip visiškai nesusijusius reiškinius, tačiau XIX amžiuje teoretikai ir eksperimentuotojai suprato, kad elektra ir magnetizmas yra glaudžiai susiję. Dėl to buvo pasiektas geresnis elektros ir magnetizmo supratimas. Elektros srovės sukuria magnetinius laukus, o magnetai gali indukuoti elektrą laiduose, esančiuose šalia magnetų. Tai paskatino dinamo ir elektros variklių išradimą. Galiausiai buvo nustatyta, kad šviesa yra suderintų harmoninių magnetinių ir elektrinių laukų virpesių rezultatas.
Fermato laikų matematiką sudarė žinių salos nežinojimo jūroje. Vienoje saloje gyveno geometrai, tyrinėjantys formas, kitoje saloje tikimybių teorija matematikai tyrinėjo riziką ir atsitiktinumą. Geometrijos kalba labai skyrėsi nuo tikimybių teorijos kalbos, o algebrinė terminija buvo svetima tiems, kurie kalbėjo tik apie statistiką. Deja, mūsų laikų matematika susideda iš maždaug tų pačių salų.
Fermatas pirmasis suprato, kad visos šios salos yra tarpusavyje susijusios. Ir jo garsioji teorema – Paskutinė Ferma teorema – puikiai tai patvirtina.
Failas FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008 m
Ukrainos pažyma Nr.27312
TRUMPAS paskutinės FERmato teoremos ĮRODYMAS
Paskutinė Ferma teorema formuluojama taip: Diofanto lygtis (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
A n + B n = C n * /1/
Kur n- teigiamas sveikasis skaičius, didesnis nei du, neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendimo A , B , SU .
ĮRODYMAS
Iš paskutinės Ferma teoremos formuluotės išplaukia: jei n yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis nei du, tada su sąlyga, kad du iš trijų skaičių A , IN arba SU- teigiami sveikieji skaičiai, vienas iš šių skaičių nėra teigiamas sveikasis skaičius.
Įrodymą sudarome remdamiesi pagrindine aritmetikos teorema, kuri vadinama „faktorizavimo unikalumo teorema“ arba „sudėtinių sveikųjų skaičių faktorizavimo unikalumo teorema“. Galimi nelyginiai ir lyginiai rodikliai n . Panagrinėkime abu atvejus.
1. Pirmasis atvejis: eksponentas n - nelyginis skaičius.
Šiuo atveju išraiška /1/ transformuojama pagal žinomas formules taip:
A n + IN n = SU n /2/
Mes tuo tikime A Ir B– teigiami sveikieji skaičiai.
Skaičiai A , IN Ir SU turi būti tarpusavyje pirminiai skaičiai.
Iš lygties /2/ išplaukia, kad pateiktoms skaičių reikšmėms A Ir B veiksnys ( A + B ) n , SU.
Tarkime, kad skaičius SU - teigiamas sveikasis skaičius. Atsižvelgiant į priimtas sąlygas ir pagrindinę aritmetikos teoremą, sąlyga turi būti įvykdyta :
SU n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/
kur veiksnys Dn D
Iš /3/ lygties seka:
Iš lygties /3/ taip pat išplaukia, kad skaičius [ Cn = A n + Bn ] su sąlyga, kad numeris SU ( A + B ) n. Tačiau žinoma, kad:
A n + Bn < ( A + B ) n /5/
Taigi:
- trupmeninis skaičius, mažesnis už vieną. /6/
Trupmeninis skaičius.
n
Nelyginiams rodikliams n >2 numeris:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Iš /2/ lygties analizės matyti, kad nelyginiam rodikliui n numeris:
SU n = A n + IN n = (A+B)
susideda iš dviejų specifinių algebrinių faktorių ir bet kuriai eksponento vertei n algebrinis koeficientas lieka nepakitęs ( A + B ).
Taigi paskutinė Ferma teorema neturi nelyginių eksponentų teigiamų sveikųjų skaičių sprendimo n >2.
2. Antras atvejis: eksponentas n - lyginis skaičius .
Paskutinės Ferma teoremos esmė nepasikeis, jei lygtį /1/ perrašysime taip:
A n = Cn - Bn /7/
Šiuo atveju lygtis /7/ transformuojama taip:
A n = C n - B n = ( SU +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
Mes tai priimame SU Ir IN- Sveiki skaičiai.
Iš lygties /8/ išplaukia, kad pateiktoms skaičių reikšmėms B Ir C veiksnys (C+ B ) turi tą pačią reikšmę bet kuriai eksponento vertei n , todėl jis yra skaičiaus daliklis A .
Tarkime, kad skaičius A– sveikasis skaičius. Atsižvelgiant į priimtas sąlygas ir pagrindinę aritmetikos teoremą, sąlyga turi būti įvykdyta :
A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/
kur veiksnys Dn turi būti sveikas skaičius, taigi ir skaičius D taip pat turi būti sveikasis skaičius.
Iš /9/ lygties seka:
/10/
Iš lygties /9/ taip pat išplaukia, kad skaičius [ A n = SU n - Bn ] su sąlyga, kad numeris A– sveikasis skaičius, turi dalytis iš skaičiaus (C+ B ) n. Tačiau žinoma, kad:
SU n - Bn < (С+ B ) n /11/
Taigi:
- trupmeninis skaičius, mažesnis už vieną. /12/
Trupmeninis skaičius.
Iš to išplaukia, kad nelyginei eksponento vertei n Paskutinės Ferma teoremos lygtis /1/ neturi sprendinio teigiamais sveikaisiais skaičiais.
Netgi eksponentams n >2 numeris:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Taigi paskutinė Ferma teorema neturi sprendinių teigiamais sveikaisiais skaičiais ir lyginiais eksponentais n >2.
Iš to, kas išdėstyta aukščiau, daroma bendra išvada: paskutinės Ferma teoremos lygtis /1/ neturi sprendinio teigiamais sveikaisiais skaičiais A, B Ir SU su sąlyga, kad rodiklis n >2.
PAPILDOMAS PAGRINDIMAS
Tuo atveju, kai eksponentas n – lyginis skaičius, algebrinė išraiška ( Cn - Bn ) suskaidomas į algebrinius veiksnius:
C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/
C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/
C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
Pateiksime pavyzdžius skaičiais.
1 PAVYZDYS: B = 11; C=35.
C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633 .
2 PAVYZDYS: B=16; C=25.
C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
Iš /13/, /14/, /15/ ir /16/ lygčių analizės ir atitinkamų skaitinių pavyzdžių matyti:
Tam tikram eksponentui n , jei tai lyginis skaičius, skaičius A n = C n - Bn suskaidomas į tiksliai apibrėžtą skaičių gerai apibrėžtų algebrinių veiksnių;
Bet kokiam eksponentui n , jei tai lyginis skaičius, algebrinėje išraiškoje ( Cn - Bn ) visada yra daugikliai ( C - B ) Ir ( C + B ) ;
Kiekvienas algebrinis veiksnys atitinka visiškai apibrėžtą skaitinį veiksnį;
Už duotus skaičius IN Ir SU skaitiniai veiksniai gali būti pirminiai skaičiai arba sudėtiniai skaitiniai veiksniai;
Kiekvienas sudėtinis skaitinis veiksnys yra pirminių skaičių, kurių iš dalies arba visiškai nėra kitų sudėtinių skaitinių veiksnių, sandauga;
Pirminių skaičių dydis sudėtinių skaitinių veiksnių sudėtyje didėja didėjant šiems veiksniams;
Didžiausias sudėtinis skaitinis koeficientas, atitinkantis didžiausią algebrinį koeficientą, apima didžiausią pirminį skaičių, kurio laipsnis yra mažesnis už eksponentą n(dažniausiai pirmojo laipsnio).
IŠVADOS: Papildomi įrodymai patvirtina išvadą, kad paskutinė Ferma teorema neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinio.
Mechanikos inžinierius
Paskutinė Fermato teorema Singhas Simonas
"Ar paskutinė Ferma teorema buvo įrodyta?"
Tai buvo tik pirmas žingsnis siekiant įrodyti Taniyama-Shimura spėjimą, tačiau Wileso strategija buvo puikus matematinis proveržis, o rezultatas nusipelnė būti paskelbtas. Tačiau dėl Wileso prisiekusio tylėjimo jis negalėjo papasakoti visam pasauliui apie savo rezultatą ir neįsivaizdavo, kas dar galėtų padaryti tokį pat reikšmingą proveržį.
Wilesas prisimena savo filosofinį požiūrį į bet kurį potencialų varžovą: „Niekas nenori praleisti metų ką nors įrodydamas ir atrasti, kad kažkas kitas sugebėjo rasti įrodymą keliomis savaitėmis anksčiau. Tačiau, kaip bebūtų keista, kadangi bandžiau išspręsti problemą, kuri iš esmės buvo laikoma neišsprendžiama, varžovų nelabai bijojau. Tiesiog nesitikėjau, kad aš ar kas nors kitas sugalvos idėją, kuri atves į įrodymą.
1988 m. kovo 8 d. Wilesas buvo sukrėstas, kai pirmuosiuose laikraščių puslapiuose išvydo antraštes dideliais šriftais: „Paskutinė Fermato teorema įrodyta“. „The Washington Post“ ir „New York Times“ pranešė, kad trisdešimt aštuonerių metų Yoichi Miyaoka iš Tokijo Metropoliteno universiteto išsprendė sunkiausią pasaulyje matematikos problemą. Miyaoka dar nepaskelbė savo įrodymo, bet apibūdino jo pažangą seminare Maxo Plancko matematikos institute Bonoje. Miyaokos kalboje dalyvavęs Donas Tsagiras matematikų bendruomenės optimizmą išreiškė tokiais žodžiais: „Miyaokos pateiktas įrodymas yra nepaprastai įdomus, o kai kurie matematikai mano, kad jis turi didelę tikimybę, kad jis bus teisingas. Dar nesame visiškai tikri, bet kol kas įrodymai atrodo labai džiuginantys.
Kalbėdamas seminare Bonoje, Miyaoka papasakojo apie savo požiūrį į problemos sprendimą, kurį jis svarstė visiškai kitu, algebriniu-geometriniu požiūriu. Per pastaruosius dešimtmečius geometrai giliai ir subtiliai suprato matematinius objektus, ypač paviršių savybes. Aštuntajame dešimtmetyje rusų matematikas S. Arakelovas bandė nustatyti paraleles tarp algebrinės geometrijos ir skaičių teorijos uždavinių. Tai buvo viena iš Langlandso programos krypčių, ir matematikai tikėjosi, kad neišspręstas skaičių teorijos problemas galima išspręsti tiriant atitinkamas geometrijos problemas, kurios taip pat liko neišspręstos. Ši programa buvo žinoma kaip paralelizmo filosofija. Tie algebriniai geometrai, kurie bandė išspręsti uždavinius skaičių teorijoje, buvo vadinami „aritmetiniais algebriniais geometrijais“. 1983 m. jie paskelbė savo pirmąją reikšmingą pergalę, kai Gerdas Faltingsas iš Prinstono pažangiųjų studijų instituto reikšmingai prisidėjo prie Ferma teoremos supratimo. Prisiminkite, kad, pasak Fermat, lygtis
adresu n didesnis nei 2 neturi sveikųjų skaičių sprendinių. Faltingsas nusprendė, kad jis padarė pažangą įrodydamas paskutinę Ferma teoremą, tyrinėdamas geometrinius paviršius, susijusius su skirtingomis reikšmėmis n. Paviršiai, susiję su Fermato lygtimis įvairioms reikšmėms n, skiriasi viena nuo kitos, bet turi vieną bendrą savybę – visos turi kiaurymes, arba, paprasčiau tariant, skylutes. Šie paviršiai yra keturmačiai, kaip ir modulinių formų grafikai. Dviejų paviršių dvimačiai pjūviai parodyti fig. 23. Paviršiai, susiję su Fermato lygtimi, atrodo panašiai. Kuo didesnė vertė n lygtyje, tuo daugiau skylių yra atitinkamame paviršiuje.
Ryžiai. 23. Šie du paviršiai gauti naudojant kompiuterinę programą Mathematica. Kiekvienas iš jų žymi lygtį tenkinančių taškų lokusą x n + y n = z n(kairėje esančiam paviršiui n=3, paviršiui dešinėje n=5). Kintamieji x Ir yčia laikomi sudėtingais
Faltingsas sugebėjo įrodyti, kad kadangi tokie paviršiai visada turi keletą skylių, susijusi Fermato lygtis gali turėti tik baigtinį sveikųjų skaičių sprendinių rinkinį. Sprendimų skaičius gali būti bet koks – nuo nulio, kaip manė Fermat, iki milijono ar milijardo. Taigi, Faltingsas neįrodė paskutinės Ferma teoremos, bet bent jau sugebėjo atmesti galimybę, kad Ferma lygtis turi be galo daug sprendinių.
Po penkerių metų Miyaoka pranešė, kad žengė dar vieną žingsnį toliau. Tada jam buvo vos dvidešimt. Miyaoka suformulavo hipotezę dėl tam tikros nelygybės. Tapo aišku, kad įrodyti jo geometrinę spėjimą reikš įrodyti, kad Ferma lygties sprendinių skaičius yra ne tik baigtinis, bet lygus nuliui. Miyaokos požiūris buvo panašus į Wileso požiūrį, nes jie abu bandė įrodyti paskutinę Ferma teoremą, susiedami ją su pagrindine hipoteze kitoje matematikos šakoje. Miyaokai tai buvo algebrinė geometrija; Wilesui kelias į įrodymą ėjo per elipsines kreives ir modulines formas. Dideliam Wileso apmaudui, jis vis dar stengėsi įrodyti Taniyama-Shimura spėjimą, kai Miyaoka tvirtino, kad turi visišką savo spėliojimo, taigi ir Ferma paskutinės teoremos, įrodymą.
Praėjus dviem savaitėms po kalbos Bonoje, Miyaoka paskelbė penkis puslapius skaičiavimų, kurie sudarė jo įrodymo esmę, ir prasidėjo nuodugnus tyrimas. Skaičių teoretikai ir algebrinės geometrijos specialistai visame pasaulyje studijavo eilutę po eilutės, skelbė skaičiavimus. Po kelių dienų matematikai atrado vieną įrodymo prieštaravimą, kuris nekėlė nerimo. Viena Miyaokos darbo dalis paskatino skaičių teorijos teiginį, kuris, išverstas į algebrinės geometrijos kalbą, pateikė teiginį, prieštaraujantį kelerius metus anksčiau gautam rezultatui. Nors tai nebūtinai panaikino visą Miyaokos įrodymą, atrastas prieštaravimas netilpo į skaičių teorijos ir geometrijos paralelizmo filosofiją.
Dar po dviejų savaičių Gerdas Faltingsas, nutiesęs kelią Miyaokei, paskelbė atradęs tikslią akivaizdaus paralelizmo pažeidimo priežastį – samprotavimo spragą. Japonų matematikas buvo geometras ir nebuvo visiškai griežtas, perkeldamas savo idėjas į mažiau pažįstamą skaičių teorijos sritį. Skaičių teoretikų armija įnirtingai stengėsi užkamšyti spragą Miyaokos įrodyme, bet veltui. Praėjus dviem mėnesiams po to, kai Miyaoka pareiškė, kad turi visišką paskutinės Ferma teoremos įrodymą, matematikų bendruomenė padarė vieningą išvadą: Miyaokos įrodymas buvo pasmerktas žlugti.
Kaip ir ankstesnių nesėkmingų įrodymų atveju, Miyaoka sugebėjo gauti daug įdomių rezultatų. Kai kurie jo įrodymo fragmentai buvo verti dėmesio kaip labai išradingi geometrijos pritaikymai skaičių teorijai, o vėlesniais metais kiti matematikai jas naudojo kai kurioms teoremoms įrodyti, tačiau niekam nepavyko tokiu būdu įrodyti Paskutinės Ferma teoremos.
Furoras dėl paskutinės Ferma teoremos greitai nutilo, o laikraščiuose pasirodė trumpi pranešimai, kad trijų šimtų metų senumo galvosūkis vis dar liko neišspręstas. Ant Niujorko Aštuntosios gatvės metro stoties sienos pasirodė toks užrašas, kurį, be jokios abejonės, įkvėpė paskutinė Ferma teorema spaudoje: „Eq. xn + yn = zn neturi sprendimų. Radau tikrai nuostabų šio fakto įrodymą, bet negaliu jo čia užrašyti, nes atvažiavo mano traukinys.
Iš knygos Johnas Lennonas autorius Goldmanas Albertas63 skyrius Senojo Maklennono ūkis, praėjus maždaug pusantro mėnesio po grįžimo į Niujorką, vieną lapkričio vakarą Lennonų bute suskambo telefonas. Yoko atsiliepė telefonu. Vyriškas balsas su puertorikietišku akcentu paklausė Yoko Ono. Apsimetinėja
Iš knygos „Akvariumo istorija“. Fleitininko knyga autorius Romanovas Andrejus Igorevičius Iš knygos Paskutinė Ferma teorema pateikė Singhas SimonasFermato problema 1963 m., kai jam buvo tik dešimt metų, Andrew Wilesas jau susižavėjo matematika. „Mokykloje mėgau spręsti problemas, parsinešdavau jas namo ir iš kiekvienos problemos kurdavau vis naujas. Tačiau geriausia problema, su kuria aš kada nors susidūriau, buvo vietiniame
Iš knygos Nikita Chruščiovas. Reformatorius autorius Chruščiovas Sergejus NikitichasNuo Pitagoro teoremos iki paskutinės Ferma teoremos Pitagoro teorema ir begalinis Pitagoro trigubų skaičius buvo aptarti knygoje E.T. Bello „Didžioji problema“ – ta pati bibliotekos knyga, kuri patraukė Andrew Wileso dėmesį. Ir nors pitagoriečiai pasiekė beveik visiškai
Iš knygos „Mirties arba geležinio filatelisto išbandymas“. autorius Arbatova Marija IvanovnaMatematika po paskutinės Ferma teoremos įrodymo Kaip bebūtų keista, pats Wilesas dėl savo pranešimo jautė prieštaringus jausmus: „Proga kalbai parinkta labai gerai, tačiau pati paskaita man sukėlė prieštaringus jausmus. Darbas su įrodymu
Iš knygos Vienas gyvenimas, du pasauliai autorius Aleksejeva Nina IvanovnaŪkis ar sodyba? 1958 m. vasario 13 d. visi centriniai Maskvos ir tuometiniai regioniniai laikraščiai paskelbė Ukrainos komunistų partijos centrinio komiteto sprendimą „Dėl klaidos perkant karves iš Zaporožės srities kolūkiečių“. Kalbėjome net ne apie visą regioną, o apie du jo rajonus: Primorsky
Iš knygos „Žvaigždės“ ir šiek tiek nervingai autorius Žolkovskis Aleksandras KonstantinovičiusDešimtas skyrius KROKODILŲ ŪKIS Jie važiavo vaizdingu keliu senu Jono automobiliu, sėdėdami galinėse sėdynėse. Prie vairo sėdėjo juodas vairuotojas ryškiais marškiniais ir keistai nukirsta galva. Ant jo nuskustos kaukolės stovėjo vielos kietų juodų plaukų krūmai, logiška
Iš knygos Mano akimis autorius Adelgeimas PavelasTolstojaus nendrių ūkis Kirilas nuvyko į Tolstojaus fondo biurą susitikti su rusais. Grįžęs pasakė, kad Aleksandra Lvovna Tolstaja buvo pasibaisėjusi, ir pasakė: „Jūs negalite likti viešbutyje, tai labai pavojinga jums ir jūsų vaikams.“ Tą pačią dieną
Iš knygos „Gyvūnų pasaulyje“ [2 leidimas] autorius Drozdovas Nikolajus NikolajevičiusPontriagino teorema Tuo pat metu kaip konservatorijoje mano tėvas studijavo Maskvos valstybiniame universitete, studijavo mechaniką ir matematiką. Studijas baigė sėkmingai ir net kurį laiką dvejojo, rinkdamasis profesiją. Muzikologija laimėjo, nes pasinaudojo jo matematine mąstysena. Vienas iš mano tėvo klasiokų
Iš knygos Sunki siela: literatūrinis dienoraštis. Atsiminimų straipsniai. Eilėraščiai autorius Zlobinas Vladimiras AnanevičiusTeorema Teoremą apie religinės asociacijos teisę pasirinkti kunigą reikia įrodyti. Ji skamba taip: „Stačiatikių bendruomenė kuriama... dvasingai vadovaujant bendruomenės išrinktam kunigui, kuris gavo vyskupijos vyskupo palaiminimą“.
Iš knygos „Sapno atmintis“ [Eilėraščiai ir vertimai] autorius Puchkova Elena OlegovnaOžkų ūkis Vasarą kaime daug darbų. Kai lankėmės Khomutets kaime, ten buvo pjaunamas šienas ir kvepiančios bangelės nuo ką tik nupjautų žolelių tarsi persmelkė viską aplink.Vaistažoles reikia nupjauti laiku, kad jos nepernoktų, tada viskas, kas vertinga ir maistinga, išliks. juose. Tai
Iš knygos Wormy Apple [My Life with Steve Jobs] autorius Brennan ChrisannI. Ūkis („Čia, iš vištų išmatų...“) Štai iš vištų išmatų Vienas išsigelbėjimas – šluota. Meilė – kuri? - Ji nuvedė mane į vištidę. Pešiodamos grūdus, vištos kaukiasi, gaidžiai svarbiai žingsniuoja. Ir be dydžio ir cenzūros Eilėraščiai kuriami mintyse. Apie Provanso popietę
Iš knygos Mano kelionės. Kiti 10 metų autorius Konyukhovas Fiodoras FilippovičiusVasaros ūkis Šiaudas, kaip rankinis žaibas, stiklas į žolę; Kitas, pasirašęs ant tvoros, arklio lovyje įžiebė žalios vandens stiklinės laužą. Į mėlyną prieblandą Devynios antys klaidžioja, siūbuodami, palei provėžą lygiagrečių linijų dvasia. Čia višta į nieką žiūri viena
Iš autorės knygosSugriautas ūkis Rami saulė kaip tamsiai raudona gėlė, Nugrimzdo į žemę, į saulėlydį įaugdama, Bet nakties uždanga dykinėjančioje galioje Nutraukė pasaulį, sutrikdytą žvilgsnio. Be stogo fermoje viešpatavo tyla, Lyg kas jai plaukus būtų nuplėšęs, Jie kovojo dėl kaktuso
Iš autorės knygos9 skyrius Vienas ūkis Laura Schueler ir aš nusprendėme švęsti vidurinės mokyklos pabaigą leisdamos į trijų savaičių kelionę. Nelabai supratome, ką mums reiškia mokyklos baigimas, bet žinojome, kad šį įvykį reikia švęsti. Taigi aptarėme, ką darysime
Iš autorės knygosPasiruošimas lenktynėms. Aliaska, Linda Pletner Iditarod Farm yra kasmetinės kinkinių šunų lenktynės Aliaskoje. Maršruto ilgis – 1150 mylių (1800 km). Tai ilgiausios pasaulyje šunų rogių lenktynės. Startas (iškilmingas) – 2000 m. kovo 4 d. iš Ankoridžo. Pradėti
