Ո՞ր թվերի հաջորդականություններն են կոչվում միօրինակ: Թվերի հաջորդականություններ

Եթե \u200b\u200bյուրաքանչյուր n բնական թիվ կապված է x n իրական իրական թվի հետ, ապա նրանք ասում են, որ տրված է թվային հաջորդականություն

x 1 , x 2 , … x n , …

Թիվ x 1-ը կոչվում է հաջորդականության անդամ թիվ 1-ով կամ առաջին կիսամյակը հաջորդաբար, թիվ x 2 - հաջորդականության անդամ թիվ 2-ով կամ հաջորդականության երկրորդ անդամը և այլն: X n թիվը կոչվում է համարակալված հաջորդականության անդամն.

Թվերի հաջորդականությունները ճշգրտելու երկու եղանակ կա `հետ և հետ կրկնվող բանաձև.

Հետ հաջորդականությունը ընդհանուր տերմինների բանաձևեր Հաջորդական առաջադրանք է

x 1 , x 2 , … x n , …

օգտագործելով x n եզրույթի կախվածությունը իր n թվից կախվածություն արտահայտող բանաձևով:

Օրինակ 1. Թվերի հաջորդականություն

1, 4, 9, … ն 2 , …

տրված ՝ օգտագործելով ընդհանուր տերմինի բանաձևը

x n = ն 2 , ն = 1, 2, 3, …

X n հաջորդականության անդամը նախորդ թվերով հաջորդականության անդամների արտահայտությամբ բանաձևի օգտագործումը հաջորդականություն է կոչվում ՝ օգտագործելով կրկնվող բանաձև.

x 1 , x 2 , … x n , …

կոչված աճող հաջորդականություն, ավելին նախորդ անդամը:

Այլ կերպ ասած, բոլորի համար ն

x ն + 1 > x ն

Օրինակ 3. Բնական թվերի հաջորդականությունը

1, 2, 3, … ն, …

է աճող հաջորդականություն.

Սահմանում 2. Թվերի հաջորդականություն

x 1 , x 2 , … x n , …

կոչված նվազող հաջորդականություն, եթե այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ պակաս նախորդ անդամը:

Այլ կերպ ասած, բոլորի համար ն \u003d 1, 2, 3, ... անհավասարությունը

x ն + 1 < x ն

Օրինակ 4. Հաջորդականություն

տրված բանաձևով

է իջնող հաջորդականություն.

Օրինակ 5. Թվերի հաջորդականություն

1, - 1, 1, - 1, …

տրված բանաձևով

x n = (- 1) ն , ն = 1, 2, 3, …

չէ ոչ ավելանում, ոչ պակասում հաջորդականություն.

Սահմանում 3. Կոչվում են թվային հաջորդականությունների ավելացում և նվազում միապաղաղ հաջորդականություններ.

Սահմանափակ և անսահմանափակ հաջորդականություններ

Սահմանում 4. Թվերի հաջորդականություն

x 1 , x 2 , … x n , …

կոչված վերևից սահմանափակված, եթե կա M թիվ, որն այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ ունի պակաս համարներ Մ.

Այլ կերպ ասած, բոլորի համար ն \u003d 1, 2, 3, ... անհավասարությունը

Սահմանում 5. Թվային հաջորդականություն

x 1 , x 2 , … x n , …

կոչված ներքևից սահմանափակված, եթե կա մի այնպիսի m թիվ, որ այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ ավելին թվեր մ

Այլ կերպ ասած, բոլորի համար ն \u003d 1, 2, 3, ... անհավասարությունը

Սահմանում 6. Թվերի հաջորդականություն

x 1 , x 2 , … x n , …

կոչվում է սահմանափակ, եթե դա սահմանափակվում է ինչպես վերևից, այնպես էլ ներքևից

Այլ կերպ ասած, կան M և m թվեր, որոնք բոլորի համար են ն \u003d 1, 2, 3, ... անհավասարությունը

մ< x n < M

Սահմանում 7. Թվային հաջորդականություններ, որոնք չեն սահմանափակվումկոչվում են անսահմանափակ հաջորդականություններ.

Օրինակ 6. Թվերի հաջորդականություն

1, 4, 9, … ն 2 , …

տրված բանաձևով

x n = ն 2 , ն = 1, 2, 3, … ,

ներքևից սահմանափակված, օրինակ, 0. թիվը: Սակայն այս հաջորդականությունը վերեւից անսահմանափակ.

Օրինակ 7. Հաջորդականություն

տրված բանաձևով

է սահմանափակ հաջորդականությունքանի որ բոլորի համար ն \u003d 1, 2, 3, ... անհավասարությունը

Մեր կայքում դուք կարող եք նաև ծանոթանալ Resolvent ուսումնական կենտրոնի ուսուցիչների կողմից մշակված ուսումնական նյութերին `միասնական պետական \u200b\u200bքննությանը և մաթեմատիկայում OGE- ին նախապատրաստվելու համար:

Դպրոցականների համար, ովքեր ցանկանում են լավ պատրաստվել և անցնել Միասնական պետական \u200b\u200bքննություն մաթեմատիկայից կամ ռուսերենից բարձր գնահատականի համար անցկացնում է Resolvent ուսումնական կենտրոնը

10-րդ և 11-րդ դասարանների դպրոցականների նախապատրաստական \u200b\u200bդասընթացներ

Սահմանում 1. Հաջորդությունը կոչվում է չնվազող [չավելացող], եթե հաջորդականության յուրաքանչյուր տարր, սկսած երկրորդից, պակաս չէ [ոչ ավելի, քան] իր նախորդ տարրից, այսինքն, եթե բոլոր թվերի համար անհավասարությունը

Սահմանում 2. Հաջորդությունը կոչվում է միատոն, եթե այն կա՛մ չի նվազում, կա՛մ չի ավելանում:

Եթե \u200b\u200bբոլոր թվերի համար ոչ նվազող հաջորդականության տարրերը բավարարում են խիստ անհավասարությունը, ապա այդ հաջորդականությունը կոչվում է աճող:

Նմանապես, եթե բոլոր թվերի համար ոչ աճող հաջորդականության տարրերը բավարարում են խիստ անհավասարությունը, ապա այդ հաջորդականությունը կոչվում է նվազող:

Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկացած միատոն հաջորդականություն ակնհայտորեն կապված է մի կողմից (կամ վերևից կամ ներքևից): Իրոք, ցանկացած չնվազող հաջորդականություն սահմանափակվում է ներքևից (նրա առաջին տարրի արժեքը կարող է ընդունվել որպես ստորին սահման), և ցանկացած ոչ ավելացող հաջորդականություն ՝ վերևից (նրա առաջին տարրի արժեքը կարող է ընդունվել նաև որպես վերին սահման):

Դրանից բխում է, որ ոչ պակասող հաջորդականությունը կսահմանափակվի երկու կողմից, կամ պարզապես կսահմանափակվի, եթե և միայն եթե այն վերևից է կապված, և ոչ ավելացող հաջորդականությունը կսահմանափակվի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն կապված է ներքևից:

Եկեք քննարկենք միատոն հաջորդականությունների օրինակներ:

1. Հաջորդականությունը չի նվազում: Այն ներքևից սահմանափակվում է իր առաջին տարրի արժեքով, բայց վերևից չի սահմանափակվում:

2. Հաջորդականությունն իջնում \u200b\u200bէ: Այն սահմանափակված է երկու կողմերից. Վերևում `իր առաջին տարրի 2-ի արժեքով, իսկ ներքևում, օրինակ` 1 թվով:

Սահմանում1. Հաջորդականությունը կոչվում է նվազում է (ոչ ավելացող ) եթե բոլորի համար
անհավասարությունը պահում է
.

Սահմանում2. Հաջորդականություն
կոչված աճող (չնվազող ) եթե բոլորի համար
անհավասարությունը պահում է
.

Սահմանում3. Նվազող, չավելացող, ավելացող և չնվազող հաջորդականությունները կոչվում են միօրինակ կոչվում են նաև հաջորդականություններ, նվազող և աճող հաջորդականություններ խիստ միօրինակ հաջորդականությունները:

Ակնհայտ է, որ չնվազող հաջորդականությունը սահմանափակվում է ներքևից, ոչ աճող հաջորդականությունը ՝ վերևից: Հետևաբար, ցանկացած միատոն հաջորդականություն ակնհայտորեն կապված է մի կողմից:

Օրինակ1. Հաջորդականություն
ավելանում է, չի նվազում,
նվազում է
չի ավելանում
- ոչ միատոն հաջորդականություն:

Մոնոտոն հաջորդականությունների համար կարևոր դեր է խաղում հետևյալը.

Թեորեմ1. Եթե չնվազող (չավելացող) հաջորդականությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակված է, ապա այն մերձվում է:

Ապացույցներ... Թող հաջորդականությունը
չի նվազում և սահմանափակվում է վերևից, այսինքն.
և շատերը
վերից սահմանափակված: § 2-ի 1-ին թեորեմով գոյություն ունի
... Եկեք ապացուցենք դա
.

Եկեք վերցնենք
կամայականորեն: Քանի որ և- ճշգրիտ վերին սահմանը, համարը գոյություն ունի Ն այնպիսին է, որ
... Քանի որ հաջորդականությունը չի նվազում, ապա բոլորի համար
մենք ունենք, այսինքն.
, ուրեմն
բոլորի համար
, և սա նշանակում է, որ
.

Ներքևից սահմանափակվող ոչ աճող հաջորդականության համար ապացույցը նման է ( ուսանողները կարող են ինքնուրույն ապացուցել այս հայտարարությունը տանը) Թեորեմն ապացուցված է:

Մեկնաբանություն... 1 թեորեմը կարող է այլ կերպ ձևակերպվել:

Թեորեմ2. Մոնոտոնային հաջորդականությունը մերձեցնելու համար անհրաժեշտ է և բավարար է, որ այն սահմանափակվի:

Բավարարությունը հաստատվել է 1-ին թեորեմում, անհրաժեշտությունը `5 ֆունտ ստեռլինգ 2-ում:

Միօրինակության պայմանը անհրաժեշտ չէ հաջորդականության մերձեցման համար, քանի որ համընկնող հաջորդականությունը պարտադիր չէ միօրինակ լինել: Օրինակ ՝ հաջորդականությունը
ոչ թե միապաղաղ, այլ մերձվում է զրոյի:

Հետևանք... Եթե \u200b\u200bհաջորդականությունը
ավելանում (նվազում է) և սահմանափակվում է վերևում (ներքևում), ապա
(
).

Իրոք, թեորեմ 1-ի կողմից
(
).

Սահմանում4. Եթե և
ժամը
, ապա հաջորդականությունը կոչվում է տեղադրված գծի հատվածների պայմանագրային համակարգ .

Թեորեմ3 (տեղադրված գծի հատվածների սկզբունքը): Բնադրված հատվածների ցանկացած պայմանագրային համակարգ ունի, և ավելին, եզակի կետ սկսածպատկանող այս համակարգի բոլոր հատվածներին:

Ապացույցներ... Եկեք ապացուցենք, որ կետը սկսածգոյություն ունի Քանի որ
ապա
ուստի հաջորդականությունը
չի պակասում, բայց հաջորդականությունը
չի ավելանում: Որում
և
սահմանափակ, քանի որ. Այնուհետև, 1-ին թեորեմի համաձայն, գոյություն ունեն
և
, բայց ի վեր
ապա
=
... Գտնված կետ սկսածպատկանում է համակարգի բոլոր հատվածներին, քանի որ 1-ին թեորեմի արդյունքում
,
, այսինքն
բոլոր արժեքների համար ն.

Հիմա ցույց տանք, որ իմաստը սկսած- միակը. Ենթադրենք, կան երկու նման կետեր. սկսածև դև թող որոշակիության համար
... Հետո հատվածը
պատկանում է բոլոր հատվածներին
, այսինքն
բոլորի համար ն, ինչը անհնար է, քանի որ
և, հետևաբար, ինչ-որ թվից սկսած,
... Թեորեմն ապացուցված է:

Նկատենք, որ այստեղ էական է, որ հաշվի առնվեն փակ ընդմիջումները, այսինքն. հատվածներ: Եթե \u200b\u200bմենք դիտարկում ենք պայմանագրային ընդմիջումների համակարգ, ապա սկզբունքը, ընդհանուր առմամբ, սխալ է: Օրինակ ՝ ընդմիջումներով
ակնհայտորեն պայմանագիր կնքելու կետին
բայց մատնանշեք
չի պատկանում այս համակարգի որևէ միջակայքի:

Եկեք այժմ դիտարկենք միաձուլված միօրինակ տողերի հաջորդականությունների օրինակներ:

1) համար ե.

Հաշվի առեք հաջորդականությունը
... Ինչպե՞ս է նա իրեն պահում: Հիմք

աստիճան
, ուրեմն
? Մյուս կողմից,
, և
, ուրեմն
? Թե՞ սահմանափակում չկա:

Այս հարցերին պատասխանելու համար հաշվի առեք օժանդակ հաջորդականությունը
... Եկեք ապացուցենք, որ այն նվազում է և կապված է ներքևից: Այս դեպքում մեզ պետք կգա

Լեմա... Եթե
, ապա բոլոր բնական արժեքների համար նմենք ունենք

(Բեռնուլիի անհավասարություն):

Ապացույցներ... Եկեք օգտագործենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը:

Եթե
ապա
, այսինքն անհավասարությունը ճիշտ է:

Ենթադրենք, որ դա ճիշտ է համար
և ապացուցել դրա վավերականությունը համար
+1.

Ճիշտ
... Մենք այս անհավասարությունը բազմապատկում ենք ըստ
:

Այս կերպ, . Հետևաբար, ըստ մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքի, Բեռնուլիի անհավասարությունը ճշմարիտ է բոլոր բնական արժեքների համար ն... Լեման ապացուցված է:

Եկեք ցույց տանք, որ հաջորդականությունը
նվազում է Մենք ունենք

Բեռնուլի անհավասարությունը
, և սա նշանակում է, որ հաջորդականությունը
նվազում է

Ստորև բերված սահմանափակումները բխում են անհավասարությունից
Բեռնուլի անհավասարությունը
բոլոր բնական արժեքների համար ն.

1-ին թեորեմով գոյություն ունի
, որը նշվում է տառով ե... հետեւաբար
.

Թիվ եիռացիոնալ և տրանսցենդենտալ, ե\u003d 2.718281828 .... Հայտնի է, որ դա բնական լոգարիթմների հիմքն է:

Դիտողություններ... 1) Դա ապացուցելու համար կարելի է օգտագործել Բեռնուլիի անհավասարությունը
ժամը
... Իսկապես, եթե
ապա
... Հետո, ըստ Բեռնուլիի անհավասարության, համար
... Հետևաբար, ժամը
մենք ունենք
, այսինքն
ժամը
.

2) Վերոնշյալ օրինակում `աստիճանի հիմքը ձգտում է դեպի 1, և արտահայտիչը ն- դեպի , այսինքն, կա ձևի անորոշություն ... Այս տեսակի անորոշությունը, ինչպես ցույց տվեցինք, բացահայտվում է ուշագրավ սահմանի օգնությամբ
.

2)
(*)

Եկեք ապացուցենք, որ այս հաջորդականությունը մերձվում է: Դա անելու համար մենք ցույց կտանք, որ այն ներքևից կախված է և չի ավելանում: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք անհավասարությունը
բոլորի համար
, ինչը անհավասարության հետեւանք է
.

Մենք ունենք
M սմ անհավասարություն վերևում
, այսինքն հաջորդականությունը ստորևից սահմանափակվում է թվով
.

Հետագա,
Քանի որ

, այսինքն հաջորդականությունը չի ավելանում:

1-ին թեորեմով գոյություն ունի
, որը մենք նշում ենք x... Հավասարությամբ (*) անցնելով սահմանի մոտ
, մենք ստանում ենք

, այսինքն
Որտեղից
(մենք վերցնում ենք գումարած նշանը, քանի որ հաջորդականության բոլոր անդամները դրական են):

Հաշվարկելիս օգտագործվում է հաջորդականությունը (*)
մոտավորապես Պեր վերցրեք ցանկացած դրական թիվ: Օրինակ ՝ եկեք գտնենք
... Թող լինի
... Հետո
, Այս կերպ,
.

3)
.

Մենք ունենք
... Քանի որ
ժամը
, կա մի թիվ Ն, այնպիսին, որ բոլորի համար
անհավասարությունը պահում է
... Այսպիսով, հաջորդականությունը
սկսած ինչ-որ համարից Ն, նվազում և կապված է ներքևից, քանի որ
բոլոր արժեքների համար ն... Հետևաբար, 1-ին թեորեմի համաձայն, գոյություն ունի
... Քանի որ
, մենք ունենք
.

Այսպիսով,
.

4)
, աջ կողմում - ն արմատները

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով ցույց տանք, որ
բոլոր արժեքների համար ն... Մենք ունենք
... Թող լինի
... Այնուհետեւ, այստեղից մենք ստանում ենք պնդումը մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով: Օգտագործելով այս փաստը, մենք գտնում ենք, այսինքն. հաջորդականություն
ավելանում և վերևից է սահմանափակվում: Հետեւաբար, այն գոյություն ունի ի վեր
.

Այս կերպ,
.

Weierstrass- ի թեորեմը միապաղաղ հաջորդականության սահմանի վերաբերյալ

Monանկացած միատոն սահմանափակված հաջորդականություն (x n) ունի վերջավոր սահման, որը հավասար է ճշգրիտ վերին սահմանին, sup (x n) ոչ նվազող և ճշգրիտ ստորին սահմանի համար, ինֆ (x n) ոչ ավելացող հաջորդականության համար:
Monանկացած միատոն անսահմանափակ հաջորդականություն ունի անվերջ սահման, որը հավասար է գումարած անսահմանությանը `չնվազող և մինուս անսահմանություն` ոչ ավելացող հաջորդականության համար:

Ապացույցներ

1) չնվազող սահմանափակ հաջորդականություն.

(1.1) .

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակ է, այն ունի վերջավոր ճշգրիտ վերին սահման
.
Դա նշանակում է որ:

• բոլորի համար,
  (1.2) ;
• positiveանկացած դրական թվի համար կա այդպիսի թիվ ՝ կախված ε, այնպես, որ
  (1.3) .

.
Այստեղ մենք նաև օգտագործեցինք (1.3): Համատեղելով (1.2) –ի հետ ՝ մենք գտնում ենք.
ժամը.
Այդ ժամանակվանից
,
կամ
ժամը.
Թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է:

2) Հիմա թող հաջորդականությունը լինի ոչ ավելացող սահմանափակ հաջորդականություն:
(2.1) բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակ է, այն ունի վերջավոր ճշգրիտ ստորին սահման
.
Սա նշանակում է հետևյալը.

• բոլոր n հետևյալ անհավասարությունների համար.
  (2.2) ;
• positiveանկացած դրական թվի համար կա թիվ, որը կախված է ε-ից, որի համար
  (2.3) .

.
Այստեղ մենք նաև օգտագործեցինք (2.3): Հաշվի առնելով (2.2) ՝ մենք գտնում ենք.
ժամը.
Այդ ժամանակվանից
,
կամ
ժամը.
Սա նշանակում է, որ թիվը հաջորդականության սահմանն է:
Թեորեմի երկրորդ մասը ապացուցված է:

Այժմ եկեք քննարկենք անսահման հաջորդականությունները:
3) Թող հաջորդականությունը լինի անսահմանափակ ոչ նվազող հաջորդականություն.

Քանի որ հաջորդականությունը չի նվազում, բոլոր n- ի համար գործում են հետևյալ անհավասարությունները.
(3.1) .

Քանի որ հաջորդականությունը չի նվազում և անսահմանափակ է, այն անսահմանափակ է աջ կողմում: Այնուհետև, ցանկացած M համարի համար գոյություն ունի թիվ, որը կախված է M- ից, որի համար
(3.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը չի նվազում, ուստի մենք ունենք.
.
Այստեղ մենք նաև օգտագործեցինք (3.2):

.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը գումարած անվերջությունն է.
.
Թեորեմի երրորդ մասը ապացուցված է:

4) Վերջապես, հաշվի առեք դեպքը, երբ կա անսահմանափակ ոչ ավելացող հաջորդականություն.

Նախորդի նման, քանի որ հաջորդականությունը չի աճում, ուրեմն
(4.1) բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը չի ավելանում և անսահմանափակ է, այն ձախ կողմից ձախողված է: Այնուհետև, ցանկացած M համարի համար գոյություն ունի թիվ, որը կախված է M- ից, որի համար
(4.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը չի ավելանում, ուստի մենք ունենք.
.

Այսպիսով, ցանկացած M համարի համար կա բնական թիվ `կախված M- ից, այնպես որ բոլոր թվերի համար գործում են հետևյալ անհավասարությունները.
.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը մինուս անսահմանությունն է.
.
Թեորեմն ապացուցված է:

Խնդրի լուծման օրինակ

Օգտագործելով Weierstrass թեորեմը, ապացուցեք հաջորդականության մերձեցումը.
, , . . . , , . . .
Հետո գտիր դրա սահմանը:

Եկեք ներկայացնենք հաջորդականությունը հերթական բանաձևերի տեսքով.
,
.

Եկեք ապացուցենք, որ տրված հաջորդականությունը վերևից սահմանափակվում է արժեքով
(W1) .
Մենք ապացույցն իրականացնում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով:
.
Թող լինի: Հետո
.
Անհավասարությունը (A1) ապացուցված է:

Եկեք ապացուցենք, որ հաջորդականությունը միօրինակորեն աճում է:
;
(P2) .
Քանի որ, կոտորակի հայտարարը և համարիչում առաջին գործոնը դրական են: Հավասարության (A1) կողմից հաջորդականության անդամների սահմանափակվածության պատճառով երկրորդ գործոնը նույնպես դրական է: հետեւաբար
.
Այսինքն ՝ հաջորդականությունը խստորեն աճում է:

Քանի որ հաջորդականությունն ավելանում և վերևից է սահմանափակվում, այն սահմանափակված հաջորդականություն է: Ուստի, Weierstrass- ի թեորեմով, այն ունի սահման:

Եկեք գտնենք այս սահմանը: Եկեք նշենք այն a- ով.
.
Մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ
.
Մենք դա կիրառում ենք (A2) - ի վրա `օգտագործելով իրար հավաքվող հաջորդականությունների սահմանների թվաբանական հատկությունները.
.
Արմատը բավարարում է պայմանը: