Jednadžba oblika tgx. Tangenta luka i lučni kotangens

Talasna jednadžba, parcijalna diferencijalna jednadžba koja opisuje proces širenja poremećaja u određenom okruženju A. N. Tikhonov i A. A. Samarskii, Jednadžbe matematičke fizike, 3. izdanje, Moskva, 1977. - str. 155 ....

Klasifikacije hiperboličkih diferencijalnih jednačina

Jednadžba provođenja topline parcijalna je diferencijalna jednadžba paraboličkog tipa koja opisuje proces širenja topline u kontinuiranom mediju (plin ...

Matematičke metode koje se koriste u teoriji sistema čekanja

Vjerovatnoće stanja sistema mogu se pronaći iz sistema diferencijalnih jednačina Kolmogorova, koji su sastavljeni prema sljedećem pravilu: Na lijevoj strani svake od njih nalazi se izvod vjerovatnoće i-tog stanja ...

Nestacionarna Riccatijeva jednadžba

(1) Opća Riccatijeva jednadžba ima oblik :, (1.1) gdje su P, Q, R kontinuirane funkcije x kao x promjene u intervalu Jednadžba (1.1) sadrži jednadžbe koje smo već smatrali posebnim slučajevima: jer dobivamo linearnu jednadžbu, za - jednadžbu Bernoulli ...

Osnove naučnog istraživanja i planiranja transportnih eksperimenata

Funkcionalnu ovisnost Y \u003d f (X) (regresijska jednadžba) dobivamo metodom najmanjih kvadrata (OLS). Koristite linearne (Y \u003d a0 + a1X) i kvadratne ovisnosti (Y \u003d a0 + a1X + a2X2) kao funkcije približavanja. Upotrebom metode najmanjih kvadrata vrijednosti a0 ...

Pol polarnog koordinatnog sistema postavljamo na ishodište pravokutnog koordinatnog sistema, polarna os je kompatibilna sa pozitivnom poluosom apscise (slika 3). Slika: 3 Uzmimo jednadžbu prave linije u normalnom obliku: (3.1) - dužina okomice ...

Polarni koordinatni sistem na ravni

Napišimo jednadžbu u polarnim koordinatama kruga koji prolazi kroz pol, centriran na polarnoj osi i radijusu R. Iz pravokutnog trokuta OAA dobivamo OA \u003d OA (slika 4) ...

Pojmovi selektivne teorije. Serije distribucije. Analiza korelacije i regresije

Studija: a) koncept uparene linearne regresije; b) sastavljanje sistema normalnih jednačina; c) svojstva procjena metodom najmanjih kvadrata; d) metoda za pronalaženje jednačine linearne regresije. Pretpostavimo ...

Konstrukcija rješenja diferencijalnih jednadžbi u obliku energetskih serija

Kao primjer primjene konstruirane teorije, uzmimo Besselovu jednadžbu: (6.1) Gdje. Posebna tačka z \u003d 0 je pravilna. U završnom dijelu aviona nema drugih karakteristika. U jednadžbi (6.1), dakle, upravljačka jednadžba ima oblik, tj. ...

Rješavanje matričnih jednadžbi

Jednačina matrice HA \u003d V također se može riješiti na dva načina: 1. Obrnuta matrica izračunava se bilo kojom od poznatih metoda. Tada će rješenje matrične jednadžbe imati oblik: 2 ...

Rješavanje matričnih jednadžbi

Gore opisane metode nisu pogodne za rješavanje jednadžbi oblika AX \u003d XB, AX + XB \u003d C. Oni također nisu prikladni za rješavanje jednadžbi u kojima je barem jedan od faktora za nepoznatu matricu X izrođena matrica ...

Rješavanje matričnih jednadžbi

Jednadžbe oblika AX \u003d XA rješavaju se na isti način kao u prethodnom slučaju, odnosno element po element. Rješenje se ovdje svodi na pronalaženje matrice permutacije. Pogledajmo detaljnije primjer. Primjer. Pronađi sve matrice ...

Stacionarni rad mreže čekanja s konturom u obliku dijamanta

Iz stanja može prijeći u jedno od sljedećih stanja: - zbog primanja zahtjeva u redu prvog čvora s intenzitetom; - zbog prijema iz prvog čvora obrađenog zahtjeva u njemu u red trećeg čvora s intenzitetom na ...

Trigonometrijske funkcije

Arktangens broja je broj čiji je sinus jednak a: ako i. Svi korijeni jednadžbe mogu se naći formulom: ...

Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema

\u003e\u003e Tangenta luka i kotangens luka. Rješenje jednadžbi tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Tangenta luka i kotangens luka. Rješenje jednadžbi tgx \u003d a, ctgx \u003d a

U primjeru 2 §16 nismo uspjeli riješiti tri jednadžbe:

Dvije smo već riješili - prvu u § 17, a drugu u § 18, zbog toga smo morali uvesti koncepte arccosine i arcsine. Razmotrimo treću jednačinu x \u003d 2.
Grafikoni funkcija y \u003d tg x i y \u003d 2 imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, apscise svih tih točaka su oblika - apscisa tačke presjeka prave crte y \u003d 2 s glavnim krakom tangentoida (slika 90). Za broj x1 matematičari su smislili oznaku arctg 2 (pročitajte "arktangens dvoje"). Tada se svi korijeni jednačine x \u003d 2 mogu opisati formulom x \u003d arctg 2 + nk.
Što je arctg 2? Ovo je broj tangenta koja je jednaka 2 i koja pripada intervalu
Razmotrimo sada jednačinu tg x \u003d -2.
Grafikoni funkcija imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, apscise svih tih točaka imaju oblik apscisa tačke preseka ravne linije y \u003d -2 sa glavnim krakom tangentoida. Za broj x 2 matematičari su došli do zapisa arctg (-2). Tada se svi korijeni jednadžbe x \u003d -2 mogu opisati formulom

Što je arctg (-2)? To je broj čija je tangenta -2 i koja pripada intervalu. Obratite pažnju (vidi sliku 90): x 2 \u003d -x 2. To znači da je arctg (-2) \u003d - arctg 2.
Formulirajmo opću definiciju arktangensa.

Definicija 1. arctg a (arktangens a) je broj iz intervala čija je tangenta jednaka a. Dakle,

Sada smo u mogućnosti izvući opći zaključak o rješenju jednačine x \u003d a: jednadžba x \u003d a ima rješenja

Iznad smo primijetili da je arctg (-2) \u003d -arstg 2. Općenito, za bilo koju vrijednost a vrijedi sljedeća formula

Primjer 1. Izračunati:

Primjer 2. Riješite jednadžbe:

A) Sastavimo formulu rješenja:

U ovom slučaju ne možemo izračunati vrijednost arktangensa, pa ćemo rješenje jednadžbe ostaviti u dobivenom obliku.
Odgovor:
Primjer 3. Riješiti nejednakosti:
Nejednakost u pogledu može se riješiti grafički poštujući sljedeće planove
1) konstruiši tangentoid y \u003d tan x i pravu y \u003d a;
2) dodijeliti glavnoj grani tangizoida interval x osi na kojem je zadovoljena navedena nejednakost;
3) uzimajući u obzir frekvenciju funkcije y \u003d tg x, zapišite odgovor u opštem obliku.
Primijenimo ovaj plan na rješavanje zadatih nejednakosti.

: a) Konstruirajmo grafikone funkcija y \u003d tanx i y \u003d 1. Na glavnoj grani tangentoida oni se sijeku u točki

Odaberite interval x osi, na kojem se nalazi glavna grana tangentoida ispod prave y \u003d 1, ovo je interval
Uzimajući u obzir periodičnost funkcije y \u003d tgx, zaključujemo da je navedena nejednakost zadovoljena na bilo kojem intervalu oblika:

Udruživanje svih takvih intervala opće je rješenje za datu nejednakost.
Odgovor se može napisati na drugi način:

b) Konstruirajmo grafikone funkcija y \u003d tg x i y \u003d -2. Na glavnom ogranku tangentoida (slika 92) sijeku se u tački x \u003d arctg (-2).

Odaberite interval x osi, na kojoj je glavna grana tangentoida

Razmotrimo jednadžbu sa tan x \u003d a, gdje je a\u003e 0. Grafikoni funkcija y \u003d ctg x i y \u003d a imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, apscise svih tih točaka su oblika: x \u003d x 1 + nk, gdje je x 1 \u003d arcctg a apscisa presječne točke prave crte y \u003d a s glavnim ogrankom tangentoida (slika. 93). Dakle, arcctg a je broj čiji je kotangens jednak a i koji pripada intervalu (0, n); na ovom intervalu konstruira se glavna grana grafa funkcije y \u003d ctg x.

Na sl. 93 takođe prikazuje grafički prikaz rješenja jednadžbe c1tg \u003d -a. Grafikoni funkcija y \u003d ctg x i y \u003d -a imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, apscise svih tih točaka imaju oblik x \u003d x 2 + nk, gdje je x 2 \u003d arcctg (- a) apscisa točke presjeka prave y \u003d -a s glavnom tangentoidna grana. Dakle, arcctg (-a) je broj čiji je kotangens -a i koji pripada intervalu (O, n); na ovom se intervalu gradi glavna grana grafa funkcije Y \u003d ctg x.

Definicija 2.arcctg a (lučni kotangens a) je broj iz intervala (0, n) čiji je kotangens a.
Dakle,

Sada smo u mogućnosti izvući opći zaključak o rješenju jednadžbe ctg x \u003d a: jednadžba ctg x \u003d a ima rješenja:

Obratite pažnju (vidi sliku 93): x 2 \u003d n-x 1. Znači to

Primjer 4. Izračunati:

A) Stavili smo

Jednadžba ctg x \u003d a gotovo se uvijek može pretvoriti u oblik Izuzetak je jednadžba ctg x \u003d 0. Ali u ovom slučaju, iskoristite činjenicu kojoj možete ići
jednačina cos x \u003d 0. Dakle, jednačina oblika x \u003d a ne predstavlja neovisan interes.

A.G. Mordkovičeva algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike na mreži, Matematika u školi preuzmi

Sadržaj lekcije okvir lekcije podrška okvir prezentacija lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbaj zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, zadaci domaći zadaci diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, grafikoni slika, tablice, šeme humor, vicevi, zabava, stripove parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažeci članci čipovi za znatiželjne varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova drugi Poboljšanje udžbenika i lekcija ispravke grešaka u vodiču ažuriranje fragmenta u udžbeničkom elementu inovacija na času zamijenjujući zastarjelo znanje novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa rasprave Integrisane lekcije

Ranije u programu studenti su stekli ideju o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, upoznali se s pojmovima inverznog kosinusa i arkusinusa, primjerima rješenja jednadžbi cos t \u003d a i sin t \u003d a. U ovom video vodiču razmotrite rješavanje jednadžbi tg x \u003d a i ctg x \u003d a.

Na početku proučavanja ove teme razmotrite jednadžbe tg x \u003d 3 i tg x \u003d - 3. Ako jednadžbu tg x \u003d 3 riješimo pomoću grafa, vidjet ćemo da presjek grafova funkcija y \u003d tg x i y \u003d 3 ima beskonačan skup rješenja, gdje je x \u003d x 1 + πk. Vrijednost x 1 je x koordinata presjeka grafova funkcija y \u003d tg x i y \u003d 3. Autor uvodi pojam arktangensa: arctg 3 je broj čiji je tg 3, a ovaj broj pripada intervalu od -π / 2 do π / 2. Koristeći koncept arktangensa, rješenje jednadžbe tg x \u003d 3 može se zapisati kao x \u003d arctan 3 + πk.

Analogijom je riješena jednadžba tg x \u003d - 3. Prema konstruiranim grafikonima funkcija y \u003d tg x i y \u003d - 3, može se vidjeti da će presječne točke grafova, a time i rješenja jednadžbi, biti x \u003d x 2 + πk. Koristeći arktangens, rješenje se može zapisati kao x \u003d arctan (- 3) + πk. Na slijedećoj slici možemo vidjeti da je arctan (- 3) \u003d - arctan 3.

Opća definicija arktangensa je sljedeća: arktangens a je broj iz intervala od -π / 2 do π / 2, čija je tangenta jednaka a. Tada je rješenje jednadžbe tg x \u003d a x \u003d arctan a + πk.

Autor daje primjer 1. Pronađite rješenje izraza arctg. Uvedimo zapis: arktangens broja je jednak x, tada će tan x biti jednak ovom broju, gdje x pripada segmentu od -π / 2 do π / 2. Kao u primjerima iz prethodnih tema, poslužit ćemo se tablicom vrijednosti. Prema ovoj tablici, tangenta ovog broja odgovara vrijednosti x \u003d π / 3. Napišimo rješenje jednadžbe arktangens datog broja jednak π / 3, π / 3 takođe pripada intervalu od -π / 2 do π / 2.

Primjer 2 - Izračunajte arktangens negativnog broja. Koristeći jednakost arctan (- a) \u003d - arctan a, unesite vrijednost x. Slično primjeru 2, zapisujemo vrijednost x, koja pripada segmentu od -π / 2 do π / 2. Iz tablice vrijednosti nalazimo da je x \u003d π / 3, dakle - tg x \u003d - π / 3. Odgovor na jednadžbu je - π / 3.

Razmotrimo primjer 3. Riješite jednadžbu tan x \u003d 1. Zapisujemo da je x \u003d arctan 1 + πk. U tablici vrijednost tg 1 odgovara vrijednosti x \u003d π / 4, dakle, arctan 1 \u003d π / 4. Zamijenite ovu vrijednost u originalnu formulu x i napišite odgovor x \u003d π / 4 + πk.

Primjer 4: izračunati tg x \u003d - 4.1. U ovom slučaju, x \u003d arctan (- 4,1) + πk. Jer u ovom slučaju nije moguće pronaći vrijednost arktana, odgovor će izgledati kao x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

Primjer 5 razmatra rješenje nejednakosti tg x\u003e 1. Da biste ga riješili, konstruirajte grafikone funkcija y \u003d tg x i y \u003d 1. Kao što vidite na slici, ti se grafikoni sijeku u točkama x \u003d π / 4 + πk. Jer u ovom slučaju tg x\u003e 1, na grafikonu odabiremo područje tangentoida, koje se nalazi iznad grafika y \u003d 1, gdje x pripada intervalu od π / 4 do π / 2. Odgovor zapisujemo kao π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Dalje, razmotrimo jednadžbu ctg x \u003d a. Na slici su prikazani grafikoni funkcija y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, koje imaju mnogo sjecišta. Rješenja se mogu zapisati kao x \u003d x 1 + πk, gdje je x 1 \u003d arcctg a i x \u003d x 2 + πk, gdje je x 2 \u003d arcctg (- a). Primjećuje se da je x 2 \u003d π - x 1. To implicira jednakost arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Dalje, dana je definicija lučnog kotangense: lučni kotangens a je broj iz intervala od 0 do π, čiji je kotangens jednak a. Rješenje jednadžbe ctg x \u003d a zapisano je kao: x \u003d arcctg a + πk.

Na kraju video lekcije donosi se još jedan važan zaključak - izraz ctg x \u003d a može se zapisati u obliku tg x \u003d 1 / a, pod uslovom da a nije jednako nuli.

KOD TEKSTA:

Razmotrimo rješenje jednadžbi tan x \u003d 3 i tan x \u003d - 3. Grafički rješavajući prvu jednadžbu, vidimo da grafovi funkcija y \u003d tan x i y \u003d 3 imaju beskonačno mnogo sjecišta, čije apscise zapisujemo u obliku

x \u003d x 1 + πk, gdje je x 1 apscisa tačke preseka ravne linije y \u003d 3 sa glavnim krakom tangentoida (slika 1), za koju je kovan zapis

arktan 3 (arktangens od tri).

Kako razumijete arctg 3?

Ovo je broj čija je tangenta 3 i taj broj pripada intervalu (-;). Tada se svi korijeni jednačine tan x \u003d 3 mogu zapisati formulom x \u003d arctan 3 + πk.

Slično tome, rješenje jednadžbe tan h \u003d - 3 može se zapisati u obliku h \u003d h 2 + πk, gdje je h 2 apscisa tačke presjeka prave crte u \u003d - 3 s glavnim krakom tangentoida (slika 1), za koji je oznaka arktan (- 3) (arktangens minus tri). Tada se svi korijeni jednadžbe mogu zapisati formulom: x \u003d arctan (-3) + πk. Slika pokazuje da je arktan (- 3) \u003d - arktan 3.

Formulirajmo definiciju arktangensa. Arktangens a je broj iz intervala (-;), čiji je tangens jednak a.

Često se koristi jednakost: arctan (-a) \u003d -arctan a, što vrijedi za bilo koji a.

Poznavajući definiciju arktangensa, izvlačimo opći zaključak o rješavanju jednadžbe

tg x \u003d a: jednadžba tg x \u003d a ima rješenje x \u003d arctan a + πk.

Razmotrimo neke primjere.

PRIMJER 1 Izračunajte arctg.

Odluka. Neka je arctan \u003d x, a zatim tgx \u003d i xϵ (-;). Prikažite tablicu vrijednosti Dakle, x \u003d, budući da su tg \u003d i ϵ (-;).

Dakle, arctg \u003d.

PRIMJER 2. Izračunajte arktan (-).

Odluka. Koristeći jednakost arctan (- a) \u003d - arctan a, zapisujemo:

arctg (-) \u003d - arctg. Neka su - arctan \u003d x, zatim - tgx \u003d i xϵ (-;). Prema tome, x \u003d, budući da su tg \u003d i ϵ (-;). Prikaži tablicu vrijednosti

Dakle - arctan \u003d - tgh \u003d -.

PRIMJER 3. Riješiti jednadžbu tgx \u003d 1.

1. Zapišimo formulu za rješenja: h \u003d arctan 1 + πk.

2. Pronađite vrijednost arktangensa

budući da je tg \u003d. Prikaži tablicu vrijednosti

Stoga je arctg1 \u003d.

3. Pronađenu vrijednost stavite u formulu za rješenja:

PRIMJER 4. Riješiti jednadžbu tgx \u003d - 4,1 (tangenta x jednaka je minus četiri cijele jedne desetine).

Odluka. Zapišimo formulu za rješenja: x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

Ne možemo izračunati vrijednost arktangensa, pa ćemo rješenje jednadžbe ostaviti u dobivenom obliku.

PRIMJER 5. Riješiti nejednakost tgh 1.

Odluka. Riješit ćemo grafički.

1. Konstruirajmo tangentoid

y \u003d tanx i ravna linija y \u003d 1 (slika 2). Sjeku se u tačkama oblika h \u003d + πk.

2. Odaberite interval x osi, na kojem se glavna grana tangentoida nalazi iznad ravne linije y \u003d 1, budući da je po uvjetu tgx 1. To je interval (;).

3. Koristimo periodičnost funkcije.

Svojstvo 2. y \u003d tg x je periodična funkcija sa glavnim periodom π.

Uzimajući u obzir frekvenciju funkcije y \u003d tgx, zapisujemo odgovor:

(;). Odgovor se može napisati kao dvostruka nejednakost:

Prelazimo na jednadžbu ctg x \u003d a. Predstavimo grafičku ilustraciju rješenja jednadžbe za pozitivno i negativno a (slika 3).

Grafikoni funkcija y \u003d ctg x i y \u003d a i

y \u003d ctg x i y \u003d -a

imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, čije su apscise:

x \u003d x 1 +, gdje je x 1 apscisa tačke presjeka prave linije y \u003d a sa glavnim krakom tangentoida i

x 1 \u003d arcstg a;

x \u003d x 2 +, gdje je x 2 apscisa tačke presjeka prave

y \u003d - a s glavnim ogrankom tangentoida i x 2 \u003d arcstg (- a).

Imajte na umu da je x 2 \u003d π - x 1. Dakle, zapišimo važnu jednakost:

arcсtg (-a) \u003d π - arcсtg a.

Formulirajmo definiciju: lučni kotangens a je broj iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a.

Rješenje jednadžbe ctg x \u003d a zapisano je u obliku: x \u003d arcctg a +.

Imajte na umu da se jednačina ctg x \u003d a može transformirati u oblik

tg x \u003d, osim kada je a \u003d 0.

U ovoj lekciji nastavit ćemo proučavati arktangens i rješavati jednadžbe oblika tg x \u003d a za bilo koje a. Na početku lekcije riješit ćemo jednadžbu s vrijednošću tablice i ilustrirati rješenje na grafikonu, a zatim na krugu. Dalje, rješavamo jednačinu tgx \u003d a u opštem obliku i izvodimo opću formulu za odgovor. Kalkulacije ćemo ilustrirati na grafikonu i u krugu i razmotriti različite oblike odgovora. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko zadataka ilustracijom rješenja na grafikonu i u krugu.

Tema: Trigonometrijske jednačine

Lekcija: Lučna tangenta i rješavanje jednadžbe tgx \u003d a (nastavak)

1. Tema lekcije, uvod

U ovoj ćemo lekciji pogledati rješavanje jednačine za bilo koji stvarni

2. Rješenje jednadžbe tgx \u003d √3

Zadatak 1. Riješi jednadžbu

Pronađimo rješenje koristeći funkcijske grafikone (slika 1).

Uzmimo u obzir interval Na ovom intervalu funkcija je monotona, što znači da se postiže samo za jednu vrijednost funkcije.

Odgovor:

Riješimo istu jednačbu pomoću brojevne kružnice (slika 2).

Odgovor:

3. Rješenje jednačine tgx \u003d a u opštem obliku

Riješimo jednadžbu u opštem obliku (slika 3).

Na intervalu, jednadžba ima jedinstveno rješenje

Najmanji pozitivan period

Ilustrirajmo brojevnu kružnicu (slika 4).

4. Rješavanje problema

Zadatak 2. Riješi jednadžbu

Promijenite varijablu

Zadatak 3. Riješiti sistem:

Rješenje (slika 5):

U točki je vrijednost, dakle, rješenje sustava samo točka

Odgovor:

Zadatak 4. Riješi jednadžbu

Riješimo promjenom varijable:

Zadatak 5. Pronaći broj rješenja jednadžbe na intervalu

Riješimo problem pomoću grafikona (slika 6).

Jednadžba ima tri rješenja u zadanom intervalu.

Ilustrirajmo brojevnu kružnicu (slika 7), iako to nije tako jasno kao na grafikonu.

Odgovor: Tri rješenja.

5. Zaključak, zaključak

Riješili smo jednadžbu za bilo koji stvar koristeći koncept arktangensa. U sljedećoj lekciji upoznat ćemo se s konceptom lučnog kotangensa.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, ocjena 10 (iz dva dijela). Udžbenik za obrazovne institucije (nivo profila), ur. A.G.Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra i početak analize, ocjena 10 (iz dva dijela). Problematika za obrazovne institucije (nivo profila), ur. A.G.Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd SI Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa naprednim studijem matematike) .- M.: Education, 1996.

4. Galitsky ML, Moshkovich MM, Schwarzburd SI Napredno proučavanje algebre i matematičke analize.-M.: Education, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za prijavitelje na visokoškolske ustanove (pod uredništvom MI Skanavija) .- M .: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebarski simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi u algebri i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih institucija) .- M.: Education, 2003.

8. Karp AP Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred sa produbljivanjem studija matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, ocjena 10 (iz dva dijela). Problematika za obrazovne institucije (nivo profila), ur. A.G.Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatni web izvori

1. Matematika.

2. Problemi na internetskom portalu. ru.

3. Edukativni portal za pripremu ispita.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema !!!

Jednakost koja sadrži nepoznato pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili` ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule razmotrit ćemo dalje.

Najjednostavnije jednačine nazivaju se `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, gdje je` x` - ugao koji treba pronaći, `a` - bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednadžba `sin x \u003d a`.

Jer `| a |\u003e 1` nema rješenja.

Za `| a | \\ leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Jednadžba `cos x \u003d a`

Za `| a |\u003e 1` - kao u slučaju sinusa, on nema rješenja među realnim brojevima.

Za `| a | \\ leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafikonima.

3. Jednadžba `tg x \u003d a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti ʻa`.

Korijenska formula: `x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Jednadžba `ctg x \u003d a`

Takođe ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti ʻa`.

Korijenska formula: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici

Za sinus:
Za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Rješenje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• koristeći ga pretvoriti u najjednostavnije;
• riješiti rezultirajuću najjednostavniju jednadžbu koristeći gore napisane korijenske formule i tablice.

Pogledajmo primjere glavnih metoda rješavanja.

Algebarska metoda.

U ovoj metodi vrši se zamjena varijabli i supstitucija u jednakost.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

vršimo promjenu: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, zatim` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

pronalazimo korijene: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1 / 2`, odakle slijede dva slučaja:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Odgovor: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x + cos x \u003d 1`.

Odluka. Pomaknite sve uvjete jednakosti ulijevo: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Korištenje, transformacija i faktor lijeve strane:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`,

1. `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Odgovor: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Svođenje na homogenu jednačinu

Prvo morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva tipa:

`Sin x + b cos x \u003d 0` (homogena jednadžba prvog stepena) ili` sin sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogena jednadžba drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa "cos x \\ ne 0" - za prvi slučaj i sa "cos ^ 2 x \\ ne 0" - za drugi slučaj. Dobivamo jednadžbe za `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` i `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Odluka. Prepišite desnu stranu kao `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x-` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, dijelimo njezinu lijevu i desnu stranu sa `cos ^ 2 x \\ ne 0`, dobivamo:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0"

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Uvodimo zamjenu `tg x \u003d t`, kao rezultat,` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1 \u003d -2` i` t_2 \u003d 1`. Zatim:

1. `tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ u Z`
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ u Z`.

Odgovorite. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ u Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ u Z`.

Idi do pola ugla

Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Odluka. Primijenite formule dvostrukog ugla, kao rezultat: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Primjenjujući gore opisanu algebarsku metodu, dobivamo:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arktan 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ u Z`,
2. `tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ u Z`.

Odgovorite. `x_1 \u003d 2 arktana 2 + 2 \\ pi n, n \\ u Z`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ u Z`.

Uvedite pomoćni ugao

U trigonometrijskoj jednadžbi `sin x + b cos x \u003d c`, gdje su a, b, c koeficijenti, a x varijabla, dijelimo obje strane sa` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Koeficijenti s lijeve strane imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime, zbroj njihovih kvadrata jednak je 1, a moduli im nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, zatim:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Pogledajmo bliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Odluka. Podijelite obje strane jednakosti sa `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, dobivamo:

`\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2 / 5`.

Označimo `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Budući da je `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, tada kao pomoćni kut uzmemo `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Tada svoju jednakost zapisujemo u oblik:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

Primjenjujući formulu za zbroj uglova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedeći oblik:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2 / 5`,

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ u Z`,

`x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` ʻarcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ u Z`.

Odgovorite. `x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` ʻarcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ u Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti s razlomcima, čiji brojnici i nazivnici imaju trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješi jednačinu. `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Odluka. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1 + cos x)`. Kao rezultat, dobili smo:

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Obzirom da nazivnik ne može biti jednak nuli, dobit ćemo `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ u Z`.

Izmjerite brojilac razlomka na nulu: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Tada je `sin x \u003d 0` ili` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ u Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ u Z`.

Uzimajući u obzir da `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ u Z`, rješenja su` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ u Z` i `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ u Z`.

Odgovorite. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ u Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ u Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Studij započinje u 10. razredu, za ispit sigurno postoje zadaci, pa se pokušajte sjetiti svih formula trigonometrijskih jednadžbi - one će vam svakako dobro doći!

Međutim, ne trebate ih ni pamtiti, glavno je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kako zvuči. Uvjerite se sami gledajući video.