Primjeri sistema linearnih jednadžbi: metoda rješenja. Algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi Algoritam za rješavanje jednostavnih jednadžbi

"Gaussova i Cramerova metoda" - Gaussova metoda. Elementarne transformacije. Podijelimo prvu jednadžbu sistema (1) sa a11. (pet). Gauss je umro 23. februara 1855. u Göttingenu. Gaussova metoda je klasična metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Tada se x2 i x3 supstituiraju u prvu jednačinu i x1 se pronalazi. Neka je koeficijent.

"Jednadžbe i nejednakosti" - Sastoji se u sljedećem: ucrtavanje grafikona dviju funkcija u jedan koordinatni sistem. 4. Grafička metoda za određivanje broja korijena jednačine. 3. Koliko korijena ima jednačina? 2. Nađi zbroj brojeva koji zadovoljavaju nejednakost. Grafičko rješenje sistema. 3. Pronađite interval koji sadrži najveći cijeli broj koji zadovoljava nejednakost.

"Gauss-Markov teorem" - Dokažimo da su procjene (7.3) nepristrane. Oblikujmo vektore i matricu koeficijenata na osnovu sustava (7.2). Ako matrica X nije kolinearna i vektor slučajnih poremećaja zadovoljava sljedeće zahtjeve: Gdje. (7.7). Da bismo dobili potreban uvjet za ekstrem, diferenciramo (7.6) s obzirom na vektor parametara.

"Metode za rešavanje sistema jednačina" - B. 1. Izračunajte: 14. 6. Koliko procenata je broj 8 od njegovog kvadrata? 12. 7. Pronađite najveći korijen jednačine. 9. Koja je funkcija prikazana na slici? Pronađite značenje izraza. % H. O. B. 15x + 10 (1 - x) \u003d 1.

"Iracionalna jednadžba" - Pronađite grešku. Jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom korijena nazivaju se iracionalnim. ? X - 6 \u003d 2? x - 3 \u003d 0? x + 4 \u003d 7? 5 - x \u003d 0? 2 - x \u003d x + 4. PROBLEM: Studenti ne znaju uvijek kako svjesno koristiti informacije o iracionalnim jednačinama. Je li broj x korijen jednadžbe: a)? x - 2 \u003d? 2 - x, x0 \u003d 4 b)? 2 - x \u003d? x - 2, x0 \u003d 2 c)? x - 5 \u003d? 2x - 13, x0 \u003d 6 d)? 1 - x \u003d? 1 + x, x0 \u003d 0.

"Rješavanje jednadžbi s parametrom" - Rješenje. Primjer. 6. razred. Primjeri: U 5. razredu, kada ponavljate svojstva brojeva, možete razmotriti primjere. Na vannastavnim časovima matematike u 6. razredu razmatra se rješenje jednadžbi s parametrima oblika: 1) ah \u003d 6 2) (a - 1) x \u003d 8,3 3) bx \u003d -5. Za a \u003d -1/2 dobivamo jednadžbu 0x \u003d 0. Jednadžba ima beskonačan skup rješenja.

Ukupno je 49 prezentacija

Jednostavno rečeno, ovo su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Primjer ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frak (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kako se rješavaju frakcijske racionalne jednadžbe?

Glavno što se trebate sjetiti frakcijskih racionalnih jednadžbi je pisanje u njih. I nakon pronalaska korijena, obavezno ih provjerite na prihvatljivost. U suprotnom, mogu se pojaviti strani korijeni, a cijela će se odluka smatrati netočnom.

Algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe:

Zapišite i "riješite" DHS.

Pomnožite svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i poništite rezultirajuće razlomke. Nazivnici će nestati.

Zapišite jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješite rezultirajuću jednadžbu.

Pronađene korijene provjerite ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli provjeru u koraku 7.

Ne pamtite algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i pamtit će se sam po sebi.

Primjer ... Riješiti frakcijsku racionalnu jednadžbu \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer ... Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe \\ (\u003d 0 \\)

Odluka:

\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \\)\(=0\) ODZ: \\ (x + 2 ≠ 0⇔x ≠ -2 \\) \\ (x + 5 ≠ 0 ⇔x ≠ -5 \\) \\ (x ^ 2 + 7x + 10 ≠ 0 \\) \\ (D \u003d 49-4 \\ cdot 10 \u003d 9 \\) \\ (x_1 ≠ \\ frac (-7 + 3) (2) \u003d - 2 \\) \\ (x_2 ≠ \\ frac (-7-3) (2) \u003d - 5 \\)		Zapisujemo i "rješavamo" ODZ. Proširite \\ (x ^ 2 + 7x + 10 \\) formulom: \\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x_1) (x-x_2) \\). Srećom, već smo pronašli \\ (x_1 \\) i \\ (x_2 \\).
\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Očito je da je zajednički nazivnik razlomaka \\ ((x + 2) (x + 5) \\). Pomnožimo cijelu jednadžbu s njom.
\\ (\\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \\ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \\) \\ (- \\ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\)		Smanjivanje frakcija
\\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x \u003d 0 \\)		Proširite zagrade
\\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x \u003d 0 \\)		Dajemo slične izraze
\\ (2x ^ 2 + 9x-5 \u003d 0 \\)		Pronađite korijene jednadžbe
\\ (x_1 \u003d -5; \\) \\ (x_2 \u003d \\ frak (1) (2). \\)		Jedan od korijena ne odgovara ODZ-u, pa kao odgovor zapisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Racionalni izrazi i racionalne jednačine

Već smo naučili kako rješavati kvadratne jednačine. Proširimo sada proučene metode na racionalne jednačine.

Šta je racionalno izražavanje? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi nazivaju se izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih stupnjeva i znakova matematičkih operacija.

Shodno tome, racionalne jednačine su jednadžbe oblika :, gdje - racionalni izrazi.

Ranije smo razmatrali samo one racionalne jednačine koje se svode na linearne. Sada razmotrimo one racionalne jednadžbe koje se također mogu svesti na kvadratne.

Primjer 1

Riješi jednadžbu :.

Odluka:

Razlomak je 0 ako i samo ako je njegov brojnik 0, a nazivnik nije 0.

Dobivamo sljedeći sistem:

Prva jednadžba u sistemu je kvadratna jednačina. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente sa 3. Dobijamo:

Dobivamo dva korijena :; ...

Budući da 2 nikad nije jednako 0, tada moraju biti zadovoljena dva uvjeta: ... Budući da se nijedan od gornjih korijena jednadžbe ne poklapa s nevaljanim vrijednostima varijable koje su dobivene rješavanjem druge nejednakosti, obje su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu da biste dobili 0 na desnoj strani.

2. Transformirajte i pojednostavnite lijevu stranu, dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik.

3. Rezultirajući razlomak jednak je 0, prema sljedećem algoritmu: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi, a drugu nejednakost zadovoljite u odgovoru.

Primjer rješavanja racionalne jednadžbe

Uzmimo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješi jednadžbu: .

Odluka

Na samom početku premještamo sve pojmove na lijevu stranu tako da 0 ostaje na desnoj strani. Dobivamo:

Sada lijevu stranu jednadžbe dovodimo do zajedničkog nazivnika:

Ova jednačina je ekvivalentna sistemu:

Prva jednadžba u sistemu je kvadratna jednačina.

Koeficijenti ove jednadžbe :. Izračunavamo diskriminaciju:

Dobivamo dva korijena :; ...

Sada ćemo riješiti drugu nejednakost: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako niti jedan od faktora nije jednak 0.

Potrebno je ispuniti dva uvjeta: ... Dobivamo onaj od dva korijena prve jednačine, samo jedan odgovara - 3.

Već smo naučili kako rješavati kvadratne jednačine. Proširimo sada proučene metode na racionalne jednačine.

Shodno tome, racionalne jednačine su jednadžbe oblika :, gdje - racionalni izrazi.

Ranije smo razmatrali samo one racionalne jednačine koje se svode na linearne. Sada razmotrimo one racionalne jednadžbe koje se također mogu svesti na kvadratne.

Primjer 1

Riješi jednadžbu :.

Odluka:

Razlomak je 0 ako i samo ako je njegov brojnik 0, a nazivnik nije 0.

Dobivamo sljedeći sistem:

Prva jednadžba u sistemu je kvadratna jednačina. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente sa 3. Dobijamo:

Dobivamo dva korijena :; ...

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu da biste dobili 0 na desnoj strani.

2. Transformirajte i pojednostavnite lijevu stranu, dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik.

3. Rezultirajući razlomak jednak je 0, prema sljedećem algoritmu: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi, a drugu nejednakost zadovoljite u odgovoru.

Uzmimo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješi jednadžbu: .

Odluka

Na samom početku premještamo sve pojmove na lijevu stranu tako da 0 ostaje na desnoj strani. Dobivamo:

Sada lijevu stranu jednadžbe dovodimo do zajedničkog nazivnika:

Ova jednačina je ekvivalentna sistemu:

Prva jednadžba u sistemu je kvadratna jednačina.

Koeficijenti ove jednadžbe :. Izračunavamo diskriminaciju:

Dobivamo dva korijena :; ...

Sada ćemo riješiti drugu nejednakost: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako niti jedan od faktora nije jednak 0.

Potrebno je ispuniti dva uvjeta: ... Dobivamo onaj od dva korijena prve jednačine, samo jedan odgovara - 3.

Odgovor:.

U ovoj lekciji prisjetili smo se što je racionalan izraz, a također smo naučili i kako riješiti racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednačine.

U sljedećoj ćemo lekciji pogledati racionalne jednadžbe kao modele iz stvarnog života, a također ćemo razmotriti probleme kretanja.

Bibliografija

Bashmakov M.I. Algebra, razred 8. - M.: Obrazovanje, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izdanje - M.: Obrazovanje, 2010 (monografija).
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, razred 8. Udžbenik za obrazovne institucije. - M.: Obrazovanje, 2006.

Festival pedagoških ideja "Otvorena lekcija" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Zadaća