Guľa opísaná okolo valca a kužeľa sa nazýva a. Popis algebry harmónie

GUĽA KRUHÚCA OKOLO VALCA A KUŽELA sa nazýva (a), ak vrchol kužeľa leží na povrchu lopty a základňa kužeľa je časťou lopty. Vždy je možné opísať guľu v blízkosti pravého kruhového kužeľa Stred gule opísanej v blízkosti kužeľa leží vo výške kužeľa. Stred gule opísanej okolo kužeľa môže byť umiestnený vo vnútri aj mimo kužeľa a tiež sa zhoduje so stredom základne.

nazývané), ak základne valca tvoria časti gule. (a Možno opísať okolo pravého kruhového valca. Stred gule opísanej okolo valca leží vo výške valca.

Stred opísanej kružnice trojuholníka je priesečníkom odvesničiek so stranami trojuholníka. Stred opísanej kružnice trojuholníka sa môže nachádzať mimo trojuholníka: R= Stred opísaná kružnica pravouhlého trojuholníka je stredom prepony. Pre pravidelný štvoruholník: R= strana; R – polomer vpísanej kružnice

č. 645. Valec je vpísaný do gule. Nájdite pomer celkovej plochy povrchu valca k ploche gule, ak sa výška valca rovná priemeru základne. R R Dané: guľa so stredom O, vpísaný valec, h=2 R Nájdi: R Rozbor podmienok: O R 1. Guľa = 2. Plná plocha valca = 3. h=2 R Odpoveď.

Keď je problému daná pyramída vpísaná do gule, nasledujúce teoretické informácie budú užitočné pri jeho riešení.

Ak je pyramída vpísaná do gule, potom všetky jej vrcholy ležia na povrchu tejto gule (na guli, podľa toho sa vzdialenosti od stredu gule k vrcholom rovnajú polomeru gule);

Každá strana pyramídy vpísaná do gule je mnohouholník vpísaný do určitého kruhu. Základy kolmic vypustených zo stredu gule na rovinu plôch sú stredmi týchto opísaných kružníc. Stred opísanej gule je teda priesečníkom kolmíc k stenám pyramídy vedených cez stredy opísaných kružníc.

Častejšie sa stred gule opísanej okolo pyramídy považuje za priesečník kolmice pritiahnutej k základni cez stred kružnice opísanej blízko základne a kolmice na bočnú hranu (kolmica leží v rovina prechádzajúca cez túto bočnú hranu a prvá kolmica (prikreslená k podstave) Ak nie je možné opísať kružnicu v blízkosti základne pyramídy, potom túto pyramídu nemožno vpísať do gule byť opísaný v blízkosti trojuholníkovej pyramídy a štvoruholníková pyramída vpísaná do gule s rovnobežníkom na základni môže mať ako základňu obdĺžnik alebo štvorec.

Stred gule opísanej v blízkosti pyramídy môže ležať vo vnútri pyramídy, na povrchu pyramídy (na bočnej strane, na základni) a mimo pyramídy. Ak problémové vyhlásenie nehovorí, kde presne leží stred opísanej gule, je vhodné zvážiť, ako môžu rôzne možnosti jej umiestnenia ovplyvniť riešenie.

Guľu možno opísať okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy. Jeho stred je priesečníkom priamky obsahujúcej výšku pyramídy a kolmicu na bočnú hranu.

Pri riešení problémov týkajúcich sa pyramídy vpísanej do gule sa najčastejšie zvažujú niektoré trojuholníky.

Začnime trojuholníkom SO1C. Je rovnoramenná, pretože jej dve strany sú rovnaké ako polomery gule: SO1=O1С=R. Preto je O1F jeho výška, medián a stred.

Pravouhlé trojuholníky SOC a SFO1 sú podobné v ostrom uhle S. Preto

SO=H je výška pyramídy, SC=b je dĺžka bočnej hrany, SF=b/2, SO1=R, OC=r je polomer kružnice opísanej okolo základne pyramídy.

V pravouhlom trojuholníku OO1C g je prepona O1C=R, nohy OC=r, OO1=H-R. Podľa Pytagorovej vety:

Ak budeme pokračovať vo výške SO, dostaneme priemer SM. Trojuholník SCM je pravouhlý trojuholník (pretože vpísaný uhol SCM je založený na priemere). V ňom je OC výška pritiahnutá k prepone, SO a OM sú projekcie nôh SC a CM k prepone. Podľa vlastností pravouhlého trojuholníka

Svet okolo nás, napriek rôznorodosti predmetov a javov, ktoré sa s nimi vyskytujú, je plný harmónie vďaka jasnému pôsobeniu prírodných zákonov. Za zdanlivou slobodou, s akou príroda kreslí obrysy a vytvára tvary vecí, sa skrývajú jasné pravidlá a zákony, ktoré mimovoľne naznačujú prítomnosť nejakej vyššej sily v procese stvorenia. Na pokraji pragmatickej vedy, ktorá podáva opis prebiehajúcich javov z pozície matematických vzorcov a teozofických svetonázorov, je svet, ktorý nám dáva celú kyticu emócií a dojmov z vecí, ktoré ho napĺňajú, a udalostí, ktoré sa dejú ich.

Lopta je najbežnejšou formou fyzických tiel v prírode. Väčšina telies makrokozmu a mikrokozmu má tvar gule alebo má tendenciu sa k nej približovať. Guľa je v podstate príkladom ideálneho tvaru. Všeobecne akceptovaná definícia lopty je nasledujúca: ide o geometrické teleso, množinu (množinu) všetkých bodov v priestore, ktoré sa nachádzajú od stredu vo vzdialenosti nepresahujúcej daný bod. V geometrii sa táto vzdialenosť nazýva polomer a vo vzťahu k tomuto obrázku sa nazýva polomer gule. Inými slovami, objem lopty obsahuje všetky body umiestnené vo vzdialenosti od stredu nepresahujúcej dĺžku polomeru.

Guľa sa tiež považuje za výsledok rotácie polkruhu okolo svojho priemeru, ktorý zostáva nehybný. V tomto prípade sa k takým prvkom a charakteristikám, ako je polomer a objem lopty, pridá os lopty (pevný priemer) a jej konce sa nazývajú póly lopty. Povrch gule sa zvyčajne nazýva guľa. Ak máme do činenia s uzavretou guľou, potom zahŕňa túto guľu, ak s otvorenou, potom ju vylučuje.

Vzhľadom na ďalšie definície týkajúce sa lopty by sa malo povedať o rovinách rezu. Rovina rezu prechádzajúca stredom gule sa zvyčajne nazýva veľký kruh. Pre ostatné ploché časti lopty sa zvyčajne používa názov „malé kruhy“. Pri výpočte plôch týchto úsekov sa používa vzorec πR².

Pri výpočte objemu gule sa matematici stretli s niektorými pomerne fascinujúcimi vzormi a vlastnosťami. Ukázalo sa, že táto hodnota sa buď úplne opakuje alebo je v metóde stanovenia veľmi blízka objemu pyramídy alebo valca opísaného okolo gule. Ukazuje sa, že objem lopty je rovnaký, ak jej základňa má rovnakú plochu ako povrch lopty a jej výška sa rovná polomeru lopty. Ak vezmeme do úvahy valec opísaný okolo gule, môžeme vypočítať vzor, ​​podľa ktorého je objem gule jedenapolkrát menší ako objem tohto valca.

Spôsob odstránenia lopty pomocou princípu Cavalieri vyzerá atraktívne a originálne. Spočíva v nájdení objemu ľubovoľného útvaru sčítaním plôch získaných jeho prierezom v nekonečnom počte. Na jeho odvodenie si vezmime pologuľu s polomerom R a valec s výškou R so základňou kruhu s polomerom R (tzv. základne pologule a valca sú umiestnené v rovnakej rovine). Do tohto valca vložíme kužeľ s vrcholom v strede jeho spodnej základne. Keď sme dokázali, že objem pologule a časti valca mimo kužeľa sú rovnaké, môžeme ľahko vypočítať objem lopty. Jeho vzorec má nasledujúci tvar: štyri tretiny súčin tretej mocniny polomeru o π (V= 4/3R^3×π). To sa dá ľahko dokázať nakreslením spoločnej roviny rezu cez pologuľu a valec. Plochy malého kruhu a prstenca ohraničeného na vonkajšej strane stranami valca a kužeľa sú rovnaké. A pomocou Cavalieriho princípu nie je ťažké dospieť k dôkazu základného vzorca, pomocou ktorého určíme objem lopty.

Ale nielen problém štúdia prírodných telies je spojený s hľadaním spôsobov, ako určiť ich rôzne charakteristiky a vlastnosti. Stereometrický obrazec, akým je lopta, sa v ľudskej praxi veľmi často používa. Množstvo technických zariadení má vo svojom dizajne časti nielen guľového tvaru, ale aj zložené z guľových prvkov. Práve kopírovanie ideálnych prírodných riešení v procese ľudskej činnosti dáva tie najkvalitnejšie výsledky.

Guľa môže byť opísaná okolo pyramídy práve vtedy, ak je možné opísať kruh okolo jej základne.

Na vytvorenie stredu O tejto gule potrebujete:

1. Nájdite stred O kružnice opísanej okolo základne.

2. Cez bod O nakreslite priamku kolmú na rovinu základne.

3. Nakreslite rovinu cez stred ľubovoľného bočného okraja pyramídy kolmo na tento okraj.

4. Nájdite bod O priesečníka zostrojenej priamky a roviny.

Špeciálny prípad: bočné okraje pyramídy sú rovnaké. potom:

loptu možno opísať;

stred O gule leží vo výške pyramídy;

Kde je polomer opísanej gule; - bočné rebro; H je výška pyramídy.

5.2. Guľa a hranol

Guľu možno opísať okolo hranola vtedy a len vtedy, ak je hranol rovný a okolo jeho základne možno opísať kruh.

Stred lopty je stredom segmentu spájajúceho stredy kruhov opísaných v blízkosti základov.

kde je polomer opísanej gule; - polomer kružnice opísanej v blízkosti základne; H je výška hranola.

5.3. Guľa a valec

Okolo valca sa dá vždy opísať lopta. Stred gule je stredom symetrie osovej časti valca.

5.4. Guľa a kužeľ

Okolo kužeľa sa dá vždy opísať lopta. Stred lopty; slúži ako stred kružnice opísanej okolo axiálneho rezu kužeľa.

Dobrý deň! V tomto článku sa pozrieme na problémy s loptičkami. Presnejšie povedané, bude to kombinácia telies: guľa alebo, inými slovami, valec popísaný okolo lopty (čo je to isté) a kocka vpísaná do lopty.

Blog už pokryl skupinu problémov s loptičkami, . V prezentovaných úlohách budeme hovoriť o hľadaní objemu a povrchu uvedených telies.ktoré potrebujete vedieť!

Vzorec pre objem lopty:

Vzorec pre povrch lopty:

Vzorec objemu valca:

Vzorec pre povrch valca:

Viac podrobností o bočnej ploche valca:

Je to obdĺžnik „skrútený“ do valca, ktorého jedna strana sa rovná obvodu základne – to je 2PiR, druhá strana sa rovná výške valca – to je N.

Čo stojí za zmienku v súvislosti s prezentovanými úlohami?

1. Ak je guľa vpísaná do valca, potom majú spoločný polomer.

2. Výška valca opísaná okolo gule sa rovná dvom jeho polomerom (alebo priemeru).

3. Ak je kocka vpísaná do gule, potom sa uhlopriečka tejto kocky rovná priemeru gule.

245348. Okolo gule je opísaný valec. Objem valca je 33. Nájdite objem gule.

Vzorec pre objem lopty:

Musíme nájsť polomer lopty.

Guľa a valec majú spoločný polomer. Základom valca je kružnica s polomerom R, výška valca sa rovná dvom polomerom. To znamená, že objem valca sa vypočíta podľa vzorca:

Dosadíme do vzorca objem uvedený v podmienke a vyjadrime polomer:

Nechajme výraz v tomto tvare, nie je potrebné vyjadrovať polomer (vytiahnutím tretieho koreňa), pretože budeme potrebovať práve R 3 .

Objem lopty sa teda bude rovnať:

odpoveď: 22

245349. Okolo gule je opísaný valec. Objem gule je 24. Nájdite objem valca.

Táto úloha je opakom predchádzajúcej.

Vzorec pre objem lopty:

Objem valca sa vypočíta podľa vzorca:

Keďže objem gule je známy, môžeme vyjadriť polomer a potom nájsť objem valca:

Takto:

odpoveď: 36

316557. Guľa je vpísaná do valca. Plocha povrchu gule je 111. Nájdite celkovú plochu valca.

Vzorec povrchu gule:

Vzorec povrchu valca:

Zjednodušme si to:

Pretože je nám daná plocha lopty, môžeme vyjadriť polomer:

Odpoveď: 166,5