Jakie sekwencje liczb nazywane są monotonicznymi. Sekwencje liczb

Jeśli każda liczba naturalna n jest powiązana z jakąś liczbą rzeczywistą x n, to mówią, że jest dane sekwencja numeryczna

x 1 , x 2 , … x n , …

Numer x 1 jest nazywany członkiem sekwencji z numerem 1 lub pierwszy termin w kolejnościliczba x 2 - członek sekwencji z numerem 2 lub drugi członek sekwencji itp. Wywołuje się liczbę x n element sekwencji numerowanejn.

Istnieją dwa sposoby określania sekwencji liczb - zi za pomocą powtarzalna formuła.

Sekwencjonowanie z wspólne wzory terminów To zadanie sekwencyjne

x 1 , x 2 , … x n , …

używając wzoru wyrażającego zależność terminu x n od jego liczby n.

Przykład 1. Sekwencja numerów

1, 4, 9, … n 2 , …

podane przy użyciu wspólnego wzoru na termin

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekwencjonowanie przy użyciu formuły wyrażającej członka ciągu x n w kategoriach składowych sekwencji o poprzedzających numerach nazywa się sekwencjonowaniem przy użyciu powtarzalna formuła.

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa rosnąca sekwencja, więcej poprzedniego członka.

Innymi słowy, dla każdego n

x n + 1 > x n

Przykład 3. Ciąg liczb naturalnych

1, 2, 3, … n, …

jest rosnąca sekwencja.

Definicja 2. Sekwencja liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa malejąca sekwencja, jeśli każdy członek tej sekwencji mniej poprzedniego członka.

Innymi słowy, dla każdego n \u003d 1, 2, 3, ... nierówność

x n + 1 < x n

Przykład 4. Sekwencja

podane przez wzór

jest malejąco.

Przykład 5. Sekwencja numerów

1, - 1, 1, - 1, …

podane przez wzór

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nie jest ani rosnąć, ani maleć sekwencja.

Definicja 3. Rosnące i malejące sekwencje liczbowe są nazywane sekwencje monotoniczne.

Sekwencje ograniczone i nieograniczone

Definicja 4. Ciąg liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa ograniczony od góry, jeśli istnieje liczba M taka, że \u200b\u200bkażdy członek tej sekwencji mniej numery M.

Innymi słowy, dla każdego n \u003d 1, 2, 3, ... nierówność

Definicja 5. Ciąg liczbowy

x 1 , x 2 , … x n , …

nazywa ograniczone od dołu, jeśli istnieje liczba m taka, że \u200b\u200bkażdy członek tej sekwencji więcej liczby m.

Innymi słowy, dla każdego n \u003d 1, 2, 3, ... nierówność

Definicja 6. Sekwencja liczb

x 1 , x 2 , … x n , …

o nazwie ograniczone, jeśli to ograniczone zarówno powyżej, jak i poniżej.

Innymi słowy, istnieją liczby M i m takie, które dotyczą wszystkich n \u003d 1, 2, 3, ... nierówność

m< x n < M

Definicja 7. Sekwencje numeryczne nie są ograniczonesą nazywane nieograniczona liczba sekwencji.

Przykład 6. Sekwencja numerów

1, 4, 9, … n 2 , …

podane przez wzór

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ograniczony od dołu, na przykład liczba 0. Jednak ta sekwencja nieograniczona z góry.

Przykład 7. Sekwencja

podane przez wzór

jest ograniczona sekwencjaponieważ dla wszystkich n \u003d 1, 2, 3, ... nierówność

Na naszej stronie można również zapoznać się z materiałami szkoleniowymi opracowanymi przez nauczycieli ośrodka szkoleniowego Resolvent w zakresie przygotowania do Unified State Exam i OGE z matematyki.

Dla uczniów, którzy chcą się dobrze przygotować i zdać Jednolity egzamin państwowy z matematyki lub języka rosyjskiego aby uzyskać wysoki wynik, prowadzi ośrodek szkoleniowy Resolvent

kursy przygotowawcze dla uczniów klas 10 i 11

Definicja 1. Ciąg nazywa się nie malejącym [nie rosnącym], jeśli każdy element ciągu, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy [nie więcej niż) jego poprzedni element, to znaczy, jeśli nierówność

Definicja 2. Sekwencja nazywana jest monotonią, jeśli nie maleje lub nie rośnie.

Jeśli elementy sekwencji nie-malejącej dla wszystkich liczb spełniają ścisłą nierówność, to sekwencję tę nazywamy rosnącą.

Podobnie, jeśli elementy sekwencji nierosnącej dla wszystkich liczb spełniają ścisłą nierówność, to sekwencję tę nazywa się malejącą.

Zauważ, że każda sekwencja monotoniczna jest oczywiście ograniczona z jednej strony (powyżej lub poniżej). Rzeczywiście, każda nie-malejąca sekwencja jest ograniczona od dołu (wartość jej pierwszego elementu może być przyjęta jako dolna granica), a każda nie-rosnąca sekwencja jest ograniczona od góry (wartość jej pierwszego elementu może być również przyjęta jako górna granica).

Wynika z tego, że ciąg nie malejący będzie ograniczony z obu stron lub po prostu ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ograniczony od góry, a ciąg nie-rosnący będzie ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ograniczony od dołu.

Rozważmy przykłady sekwencji monotonicznych.

1. Sekwencja nie maleje. Jest ograniczona od dołu wartością pierwszego elementu, ale nie jest ograniczona od góry.

2. Sekwencja jest malejąca. Jest ograniczona z obu stron: u góry wartością pierwszego elementu 2, a na dole, na przykład, liczbą 1.

Definicja1. Sekwencja jest nazywana maleje (nie rosnące ) jeśli dla wszystkich
nierówność utrzymuje się
.

Definicja2. Sekwencja
nazywa wzrastający (nie maleje ) jeśli dla wszystkich
nierówność utrzymuje się
.

Definicja3. Sekwencje malejące, rosnące, rosnące i nie malejące są nazywane monotonny sekwencje, sekwencje malejące i rosnące są również nazywane ściśle monotonne sekwencje.

Oczywiście nie-malejąca sekwencja jest ograniczona od dołu, nie-rosnąca sekwencja jest ograniczona od góry. Dlatego każda sekwencja monotoniczna jest oczywiście ograniczona z jednej strony.

Przykład1. Sekwencja
rośnie, nie maleje,
maleje
nie rośnie
- sekwencja niemonotoniczna.

W przypadku sekwencji monotonicznych ważną rolę odgrywają następujące elementy.

Twierdzenie1. Jeśli nie-malejąca (nie rosnąca) sekwencja jest ograniczona powyżej (poniżej), to jest zbieżna.

Dowód... Niech sekwencja
nie zmniejsza się i jest ograniczony od góry, tj.
i wiele
ograniczony od góry. Zgodnie z Twierdzeniem 1 z § 2 istnieje
... Udowodnijmy to
.

Weźmy
dowolnie. Ponieważ i- dokładna górna granica, liczba istnieje N takie że
... Ponieważ sekwencja nie maleje, to dla wszystkich
mamy, tj.
, więc
dla wszystkich
, a to oznacza, że
.

Dla sekwencji nie rosnącej ograniczonej od dołu dowód jest podobny do ( uczniowie mogą samodzielnie udowodnić to stwierdzenie w domu). Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz... Twierdzenie 1 można sformułować inaczej.

Twierdzenie2. Aby sekwencja monotoniczna zbiegła się, konieczne i wystarczające jest jej ograniczenie.

Wystarczalność została ustalona w Twierdzeniu 1, konieczność - w Twierdzeniu 2 z § 5.

Warunek monotoniczności nie jest konieczny, aby sekwencja była zbieżna, ponieważ zbieżna sekwencja niekoniecznie jest monotoniczna. Na przykład sekwencja
nie monotoniczne, ale zbieżne do zera.

Konsekwencja... Jeśli sekwencja
rośnie (maleje) i jest ograniczony powyżej (poniżej)
(
).

Rzeczywiście, zgodnie z Twierdzeniem 1
(
).

Definicja4. Jeśli i
w
, następnie wywoływana jest sekwencja system kontraktowania zagnieżdżonych odcinków linii .

Twierdzenie3 (zasada zagnieżdżonych segmentów linii). Każdy system kontraktowania zagnieżdżonych segmentów ma, a ponadto, unikalny punkt odnależące do wszystkich segmentów tego systemu.

Dowód... Udowodnijmy, że chodzi odistnieje. Ponieważ
następnie
a zatem kolejność
nie maleje, ale kolejność
nie rośnie. W którym
i
ograniczona od. Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 1, istnieją
i
, lecz odkąd
następnie
=
... Znaleziony punkt odnależy do wszystkich segmentów systemu, ponieważ z wniosków Twierdzenia 1
,
czyli
dla wszystkich wartości n.

Pokażmy teraz, że chodzi o to od- jedyny. Załóżmy, że istnieją dwa takie punkty: odi rei niech na pewno
... Następnie segment
należy do wszystkich segmentów
czyli
dla wszystkich n, co jest niemożliwe, ponieważ
i dlatego zaczynając od pewnej liczby,
... Twierdzenie zostało udowodnione.

Zauważ, że ważne jest tutaj, aby wziąć pod uwagę zamknięte przedziały, tj. segmenty. Jeśli weźmiemy pod uwagę system okresów kontraktowania, zasada, ogólnie rzecz biorąc, jest błędna. Na przykład interwały
oczywiście skurcz do rzeczy
ale punkt
nie należy do żadnego przedziału tego systemu.

Rozważmy teraz przykłady zbieżnych sekwencji monotonicznych.

1) Liczba mi.

Rozważmy teraz kolejność
... Jak ona się zachowuje? Baza

stopień
, więc
? Z drugiej strony,
, i
, więc
? Czy nie ma ograniczeń?

Aby odpowiedzieć na te pytania, rozważ sekwencję pomocniczą
... Udowodnijmy, że maleje i jest ograniczony od dołu. W takim przypadku będziemy potrzebować

Lemat... Gdyby
, to dla wszystkich wartości przyrodniczych nmamy

(Nierówność Bernoulliego).

Dowód... Skorzystajmy z metody indukcji matematycznej.

Gdyby
następnie
czyli nierówność jest prawdziwa.

Załóżmy, że to prawda
i udowodnij jego ważność dla
+1.

Dobrze
... Mnożymy tę nierówność przez
:

W ten sposób, . Stąd, zgodnie z zasadą indukcji matematycznej, nierówność Bernoulliego jest prawdziwa dla wszystkich wartości naturalnych n... Lemat został udowodniony.

Pokażmy, że sekwencja
maleje. Mamy

\u200c\u200c\u200c׀ nierówność Bernoulliego ׀
, a to oznacza, że \u200b\u200bsekwencja
maleje.

Ograniczenie z dołu wynika z nierówności
\u200c\u200c\u200c׀ nierówność Bernoulliego ׀
dla wszystkich walorów przyrodniczych n.

Według Twierdzenia 1 istnieje
, co jest oznaczone literą mi... w związku z tym
.

Numer miirracjonalne i transcendentalne, mi\u003d 2,718281828 .... Wiadomo, że jest podstawą logarytmów naturalnych.

Uwagi... 1) Nierówność Bernoulliego może być użyta do udowodnienia tego
w
... Rzeczywiście, jeśli
następnie
... Następnie, z powodu nierówności Bernoulliego, dla
... Stąd w
mamy
, tj
w
.

2) W powyższym przykładzie podstawa stopnia dąży do 1 i wykładnika n- do to znaczy nie ma pewności co do formy ... Tego rodzaju niepewność, jak wykazaliśmy, objawia się za pomocą niezwykłej granicy
.

2)
(*)

Udowodnijmy, że ta sekwencja jest zbieżna. Aby to zrobić, pokażemy, że jest on ograniczony od dołu i nie zwiększa się. W tym przypadku używamy nierówności
dla wszystkich
, co jest konsekwencją nierówności
.

Mamy
cm. nierówność powyżej
czyli sekwencja jest ograniczona od dołu przez liczbę
.

Dalej,
 od

czyli sekwencja nie rośnie.

Według Twierdzenia 1 istnieje
, które oznaczamy x... Przechodząc w równości (*) do limitu przy
, mamy

czyli
Skąd
(bierzemy znak plus, ponieważ wszystkie składowe ciągu są dodatnie).

Podczas obliczania używana jest sekwencja (*)
w przybliżeniu. Za weź dowolną liczbę dodatnią. Na przykład znajdźmy
... Zostawiać
... Następnie
,. W ten sposób,
.

3)
.

Mamy
... Ponieważ
w
, jest liczba N, takie, że dla każdego
nierówność utrzymuje się
... A więc sekwencja
zaczynając od jakiejś liczby Nzmniejsza się i jest ograniczony od dołu, ponieważ
dla wszystkich wartości n... Stąd, zgodnie z Twierdzeniem 1, istnieje
... Ponieważ
, mamy
.

Więc,
.

4)
, po prawej - n korzenie.

Pokażmy to za pomocą indukcji matematycznej
dla wszystkich wartości n... Mamy
... Zostawiać
... Następnie stąd otrzymujemy stwierdzenie na podstawie zasady indukcji matematycznej. Korzystając z tego faktu znajdujemy m.in. sekwencja
rośnie i jest ograniczony od góry. Dlatego istnieje od
.

W ten sposób,
.

Twierdzenie Weierstrassa o granicy ciągu monotonicznego

Dowolna sekwencja ograniczona monotonicznie (x n) ma skończoną granicę równą dokładnej górnej granicy, sup (x n) dla stałej i dokładnej dolnej granicy, inf (x n) dla sekwencji nierosnącej.
Każda monotoniczna sekwencja nieograniczona ma nieskończoną granicę równą plus nieskończoność dla nie malejącej i minus nieskończoność dla sekwencji nie rosnącej.

Dowód

1) nie malejąca ograniczona sekwencja.

(1.1) .

Ponieważ sekwencja jest ograniczona, ma skończoną dokładną górną granicę
.
To znaczy, że:

• dla wszystkich n,
  (1.2) ;
• dla każdej liczby dodatniej istnieje taka liczba zależna od ε, więc
  (1.3) .

.
Tutaj również użyliśmy (1.3). Łącząc z (1.2), znajdujemy:
w.
Od tamtej pory
,
lub
w.
Udowodniono pierwszą część twierdzenia.

2) Teraz niech będzie sekwencja nie rosnąca ograniczona sekwencja:
(2.1) dla wszystkich n.

Ponieważ sekwencja jest ograniczona, ma skończoną dokładną dolną granicę
.
Oznacza to, co następuje:

• dla wszystkich n występują następujące nierówności:
  (2.2) ;
• dla każdej liczby dodatniej istnieje liczba zależna od ε dla której
  (2.3) .

.
Tutaj również użyliśmy (2.3). Biorąc pod uwagę (2.2), znajdujemy:
w.
Od tamtej pory
,
lub
w.
Oznacza to, że liczba jest granicą sekwencji.
Udowodniono drugą część twierdzenia.

Rozważmy teraz nieograniczone sekwencje.
3) Niech kolejność będzie nieograniczona sekwencja nie malejąca.

Ponieważ sekwencja nie maleje, następujące nierówności zachodzą dla wszystkich n:
(3.1) .

Ponieważ sekwencja nie maleje i jest nieograniczona, jest nieograniczona po prawej stronie. Następnie dla dowolnej liczby M istnieje liczba zależna od M, dla której
(3.2) .

Ponieważ sekwencja nie maleje, to dla mamy:
.
Tutaj również użyliśmy (3.2).

.
Oznacza to, że limit sekwencji wynosi plus nieskończoność:
.
Udowodniono trzecią część twierdzenia.

4) Na koniec rozważ przypadek, kiedy jest nieograniczona sekwencja nie rosnąca.

Podobnie jak poprzednia, ponieważ sekwencja nie rośnie więc
(4.1) dla wszystkich n.

Ponieważ sekwencja nie jest rosnąca i nieograniczona, jest nieograniczona po lewej stronie. Następnie dla dowolnej liczby M istnieje liczba zależna od M, dla której
(4.2) .

Ponieważ sekwencja nie rośnie, to mamy:
.

Tak więc dla dowolnej liczby M istnieje liczba naturalna zależna od M, więc dla wszystkich liczb zachodzą następujące nierówności:
.
Oznacza to, że limit sekwencji wynosi minus nieskończoność:
.
Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład rozwiązania problemu

Korzystając z twierdzenia Weierstrassa, udowodnij zbieżność ciągu:
, , . . . , , . . .
Następnie znajdź jego granicę.

Przedstawmy sekwencję w postaci powtarzających się formuł:
,
.

Udowodnijmy, że dany ciąg jest od góry ograniczony wartością
(W1) .
Dowód przeprowadzamy metodą indukcji matematycznej.
.
Niech będzie. Następnie
.
Udowodniono nierówność (A1).

Udowodnijmy, że sekwencja rośnie monotonicznie.
;
(P2) .
Ponieważ mianownik ułamka i pierwszy czynnik w liczniku są dodatnie. Ze względu na ograniczone nierówności elementów ciągu (A1), drugi czynnik jest również dodatni. w związku z tym
.
Oznacza to, że sekwencja ściśle rośnie.

Ponieważ sekwencja rośnie i jest ograniczona od góry, jest to sekwencja ograniczona. Dlatego zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa ma on granicę.

Znajdźmy ten limit. Oznaczmy to przez:
.
Wykorzystamy to
.
Stosujemy to do (A2) wykorzystując arytmetyczne własności granic zbieżnych ciągów:
.
Korzeń spełnia warunek.