Równanie postaci tgx. Styczna łuku i cotangens łuku

Równanie falowe, cząstkowe równanie różniczkowe opisujące proces propagacji zaburzeń w określonym środowisku A. N. Tichonow i A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics, wyd. 3, Moskwa, 1977. - s. 155 ...

Klasyfikacje hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych

Równanie przewodzenia ciepła jest cząstkowym równaniem różniczkowym typu parabolicznego opisującym proces rozchodzenia się ciepła w ośrodku ciągłym (gaz ...

Metody matematyczne stosowane w teorii systemów kolejkowych

Prawdopodobieństwa stanów układu można znaleźć z układu równań różniczkowych Kołmogorowa, które składają się według następującej reguły: Po lewej stronie każdego z nich znajduje się pochodna prawdopodobieństwa i-tego stanu ...

Niestacjonarne równanie Riccatiego

(1) Ogólne równanie Riccatiego ma postać :, (1.1) gdzie P, Q, R są ciągłymi funkcjami x, gdy x zmienia się w przedziale Równanie (1.1) zawiera równania już przez nas uznane za przypadki szczególne: otrzymujemy bowiem równanie liniowe, dla - równanie Bernoulliego ...

Podstawy badań naukowych i planowania eksperymentów transportowych

Zależność funkcjonalną Y \u003d f (X) (równanie regresji) uzyskujemy metodą najmniejszych kwadratów (OLS). Użyj liniowych (Y \u003d a0 + a1X) i kwadratowych zależności (Y \u003d a0 + a1X + a2X2) jako funkcji aproksymujących. Używając LSM, wartości a0 ...

Biegun układu współrzędnych biegunowych umieszczamy na początku prostokątnego układu współrzędnych, oś biegunowa jest zgodna z dodatnią półosiową odciętą (ryc. 3). Postać: 3 Weźmy równanie prostej w postaci normalnej: (3.1) - długość prostopadłej ...

Układ współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie

Napiszmy równanie we współrzędnych biegunowych okręgu przechodzącego przez biegun, wyśrodkowany na osi bieguna i promieniu R. Z trójkąta prostokątnego OAA otrzymujemy OA \u003d OA (ryc.4) ...

Koncepcje teorii selektywnej. Seria dystrybucyjna. Analiza korelacji i regresji

Badanie: a) koncepcja parowanej regresji liniowej; b) sporządzenie układu równań normalnych; c) właściwości oszacowań metodą najmniejszych kwadratów; d) metoda znajdowania równania regresji liniowej. Przypuśćmy ...

Budowa rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych

Jako przykład zastosowania skonstruowanej teorii rozważmy równanie Bessela: (6.1) Gdzie. Osobliwy punkt z \u003d 0 jest regularny. W końcowej części samolotu nie ma innych funkcji. Dlatego w równaniu (6.1) równanie rządzące ma postać, tj ...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równanie macierzowe ХА \u003d В można również rozwiązać na dwa sposoby: 1. Macierz odwrotną oblicza się dowolną ze znanych metod. Wtedy rozwiązanie równania macierzowego będzie miało postać: 2 ...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Opisane powyżej metody nie nadają się do rozwiązywania równań w postaci AX \u003d XB, AX + XB \u003d C. Nie nadają się również do rozwiązywania równań, w których co najmniej jeden z czynników dla nieznanej macierzy X jest macierzą zdegenerowaną ...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równania postaci AX \u003d XA są rozwiązywane w taki sam sposób, jak w poprzednim przypadku, czyli element po elemencie. Rozwiązanie tutaj sprowadza się do znalezienia macierzy permutacji. Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi. Przykład. Znajdź wszystkie macierze ...

Stacjonarne działanie sieci kolejkowej z konturem w kształcie rombu

Ze stanu może przejść do jednego z następujących stanów: - ze względu na przyjęcie żądania w kolejce pierwszego węzła z intensywnością; - ze względu na odbiór z pierwszego węzła przetwarzanego w nim żądania do kolejki trzeciego węzła z intensywnością na ...

Funkcje trygonometryczne

Arcus tangens liczby to liczba, której sinus jest równy a: jeśli i. Wszystkie pierwiastki równania można znaleźć za pomocą wzoru: ...

Numeryczne metody rozwiązywania problemów matematycznych

\u003e\u003e Styczna łuku i styczna łuku. Rozwiązanie równań tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Styczna łuku i cotangens łuku. Rozwiązanie równań tgx \u003d a, ctgx \u003d a

W przykładzie 2 §16 nie byliśmy w stanie rozwiązać trzech równań:

Rozwiązaliśmy już dwa z nich - pierwszy w § 17, a drugi w § 18, do tego musieliśmy wprowadzić pojęcia arccosine i arcsine. Rozważmy trzecie równanie x \u003d 2.
Wykresy funkcji y \u003d tg x i y \u003d 2 mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać - odciętych od punktu przecięcia prostej y \u003d 2 z główną gałęzią stycznej (rys. 90). Dla liczby x1 matematycy opracowali notację arctg 2 (czytaj „arctangens of two”). Wtedy wszystkie pierwiastki równania x \u003d 2 można opisać wzorem x \u003d arctg 2 + nk.
Co to jest ARCTG 2? To jest liczba tangens która jest równa 2 i należy do przedziału
Rozważmy teraz równanie tg x \u003d -2.
Wykresy funkcji mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać odcięta od punktu przecięcia prostej y \u003d -2 z główną odnogą stycznej. Dla liczby x 2 matematycy wymyślili notację arctg (-2). Wtedy wszystkie pierwiastki równania x \u003d -2 można opisać wzorem

Co to jest arctg (-2)? Jest to liczba, której tangens wynosi -2 i która należy do przedziału. Zwróć uwagę (patrz rys. 90): x 2 \u003d -x 2. Oznacza to, że arctg (-2) \u003d - arctg 2.
Sformułujmy ogólną definicję arcus tangensa.

Definicja 1. arctg a (arctangens a) to liczba z przedziału, którego tangens jest równy a. Więc,

Jesteśmy teraz w stanie wyciągnąć ogólny wniosek dotyczący rozwiązania równania x \u003d a: równanie x \u003d a ma rozwiązania

Zauważyliśmy powyżej, że arctg (-2) \u003d -agstg 2. Ogólnie dla każdej wartości a obowiązuje następujący wzór

Przykład 1. Oblicz:

Przykład 2. Rozwiąż równania:

A) Skomponujmy wzór rozwiązania:

W tym przypadku nie możemy obliczyć wartości arcus tangensa, więc rozwiązanie równania zostawimy w otrzymanej postaci.
Odpowiedź:
Przykład 3. Rozwiąż nierówności:
Zobacz nierówności można rozwiązać graficznie, stosując się do następujących planów
1) skonstruuj styczną y \u003d tan x i prostą y \u003d a;
2) wyznaczyć dla głównej gałęzi tangyizoidu przedział osi x, na którym spełniona jest określona nierówność;
3) biorąc pod uwagę częstotliwość funkcji y \u003d tg x, zapisz odpowiedź w formie ogólnej.
Zastosujmy ten plan do rozwiązania zadanych nierówności.

: a) Skonstruujmy wykresy funkcji y \u003d tanx i y \u003d 1. Na głównej gałęzi tangentoidy przecinają się one w punkcie

Wybieramy przedział osi x, na którym główna gałąź stycznej znajduje się poniżej linii prostej y \u003d 1, to jest przedział
Biorąc pod uwagę okresowość funkcji y \u003d tgx, wnioskujemy, że określona nierówność jest spełniona na dowolnym przedziale postaci:

Suma wszystkich takich przedziałów jest ogólnym rozwiązaniem danej nierówności.
Odpowiedź można zapisać w inny sposób:

b) Skonstruujmy wykresy funkcji y \u003d tg x i y \u003d -2. Na głównej gałęzi stycznej (ryc. 92) przecinają się w punkcie x \u003d arctg (-2).

Wybierz przedział osi X, na którym znajduje się główna gałąź stycznej

Rozważmy równanie, w którym tg x \u003d a, gdzie a\u003e 0. Wykresy funkcji y \u003d ctg x i y \u003d a mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać: x \u003d x 1 + nk, gdzie x 1 \u003d arcctg a jest odciętą punktu przecięcia prostej y \u003d a z główną gałęzią stycznej (rys. 93). Stąd arcctg a jest liczbą, której cotangens jest równy a i która należy do przedziału (0, n); na tym przedziale konstruowana jest główna gałąź wykresu funkcji y \u003d ctg x.

Na rys. 93 przedstawia również graficzną ilustrację rozwiązania równania c1tg \u003d -a. Wykresy funkcji y \u003d ctg x i y \u003d -a mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać x \u003d x 2 + nk, gdzie x 2 \u003d arcctg (- a) jest odciętą punktu przecięcia prostej y \u003d -a z głównym gałąź styczna. Stąd arcctg (-a) jest liczbą, której cotangens jest -a i która należy do przedziału (O, n); na tym przedziale konstruowana jest główna gałąź wykresu funkcji Y \u003d ctg x.

Definicja 2.arcctg a (arc cotangens a) to liczba z przedziału (0, n), którego cotangens to a.
Więc,

Teraz możemy wyciągnąć ogólny wniosek o rozwiązaniu równania ctg x \u003d a: równanie ctg x \u003d a ma rozwiązania:

Zwróć uwagę (patrz rys. 93): x 2 \u003d n-x 1. To znaczy, że

Przykład 4. Oblicz:

A) Włożyliśmy

Równanie ctg x \u003d a prawie zawsze można przekształcić do postaci.Wyjątkiem jest równanie ctg x \u003d 0. Ale w tym przypadku, korzystając z faktu, że możesz iść do
równanie cos x \u003d 0. Zatem równanie postaci x \u003d a nie ma niezależnego znaczenia.

A.G. Mordkovich Algebra klasa 10

Kalendarzowo-tematyczne planowanie w matematyce, wideo w matematyce online, Mathematics at school download

Treść lekcji zarys lekcji wsparcie prezentacji lekcji w ramkach metod przyspieszających technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, przypadki, zadania zadania domowe pytania do dyskusji pytania retoryczne studentów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia zdjęcia, obrazki wykresy, tabele, schematy humor, żarty, zabawa, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Suplementy streszczenia artykuły żetony dla ciekawskich ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słownictwo terminów innych Ulepszanie podręczników i lekcji poprawki błędów w samouczku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementy innowacji na lekcji zastępowanie przestarzałej wiedzy nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Wcześniej w programie studenci zorientowali się w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, zapoznali się z pojęciami odwrotnego cosinusa i arcus sinusa, przykłady rozwiązań równań cos t \u003d a i sin t \u003d a. W tym samouczku wideo rozważ rozwiązanie równań tg x \u003d a i ctg x \u003d a.

Na początku badania tego tematu rozważmy równania tg x \u003d 3 i tg x \u003d - 3. Jeżeli równanie tg x \u003d 3 rozwiążemy za pomocą wykresu, zobaczymy, że przecięcie wykresów funkcji y \u003d tg x i y \u003d 3 ma nieskończony zbiór rozwiązań, gdzie x \u003d x 1 + πk. Wartość x 1 jest współrzędną x punktu przecięcia wykresów funkcji y \u003d tg x i y \u003d 3. Autor wprowadza pojęcie arcus tangensa: arctg 3 to liczba, której tg wynosi 3, a liczba ta należy do przedziału od -π / 2 do π / 2. Korzystając z pojęcia arcus tangensa, rozwiązanie równania tg x \u003d 3 można zapisać jako x \u003d arctan 3 + πk.

Analogicznie rozwiązuje się równanie tg x \u003d - 3. Zgodnie ze skonstruowanymi wykresami funkcji y \u003d tg x i y \u003d - 3 widać, że punkty przecięcia wykresów, a więc rozwiązania równań, będą x \u003d x 2 + πk. Korzystając z arcus tangensa, rozwiązanie można zapisać jako x \u003d arctan (- 3) + πk. Na następnym obrazku widzimy, że arctan (- 3) \u003d - arctan 3.

Ogólna definicja arcus tangensa jest następująca: arcus tangens a jest liczbą z przedziału od -π / 2 do π / 2, której tangens jest równy a. Wtedy rozwiązanie równania tg x \u003d a to x \u003d arctan a + πk.

Autor podaje przykład 1. Znajdź rozwiązanie wyrażenia arctg. Wprowadźmy zapis: arcus tangens liczby jest równy x, wtedy tg x będzie równe tej liczbie, gdzie x należy do odcinka od -π / 2 do π / 2. Podobnie jak w przykładach z poprzednich tematów, użyjemy tabeli wartości. Zgodnie z tą tabelą styczna tej liczby odpowiada wartości x \u003d π / 3. Zapiszmy rozwiązanie równania: arcus tangens podanej liczby jest równy π / 3, π / 3 również należy do przedziału od -π / 2 do π / 2.

Przykład 2 - Oblicz arcus tangens liczby ujemnej. Używając równości arctan (- a) \u003d - arctan a, wprowadź wartość x. Podobnie jak w przykładzie 2, zapisujemy wartość x, która należy do odcinka od -π / 2 do π / 2. Z tabeli wartości dowiadujemy się, że x \u003d π / 3, a zatem - tg x \u003d - π / 3. Odpowiedź na to równanie brzmi - π / 3.

Rozważmy przykład 3. Rozwiąż równanie tan x \u003d 1. Piszemy, że x \u003d arctan 1 + πk. W tabeli wartość tg 1 odpowiada wartości x \u003d π / 4, zatem arctan 1 \u003d π / 4. Zastąp tę wartość oryginalną formułą x i napisz odpowiedź x \u003d π / 4 + πk.

Przykład 4: oblicz tg x \u003d - 4,1. W tym przypadku x \u003d arctan (- 4,1) + πk. Dlatego w tym przypadku nie jest możliwe znalezienie wartości arctan, odpowiedź będzie wyglądać następująco: x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

W przykładzie 5 rozważane jest rozwiązanie nierówności tg x\u003e 1. Aby je rozwiązać, konstruujemy wykresy funkcji y \u003d tg x i y \u003d 1. Jak widać na rysunku, wykresy te przecinają się w punktach x \u003d π / 4 + πk. Dlatego w tym przypadku tg x\u003e 1, na wykresie wybieramy obszar stycznej, która znajduje się nad wykresem y \u003d 1, gdzie x należy do przedziału od π / 4 do π / 2. Odpowiedź piszemy jako π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Następnie rozważ równanie ctg x \u003d a. Rysunek przedstawia wykresy funkcji y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, które mają wiele punktów przecięcia. Rozwiązania można zapisać jako x \u003d x 1 + πk, gdzie x 1 \u003d arcctg a i x \u003d x 2 + πk, gdzie x 2 \u003d arcctg (- a). Należy zauważyć, że x 2 \u003d π - x 1. To implikuje równość arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Dalej podano definicję cotangens łuku: cotangens a jest liczbą z przedziału od 0 do π, której cotangens jest równy a. Rozwiązanie równania ctg x \u003d a zapisujemy jako: x \u003d arcctg a + πk.

Pod koniec lekcji wideo dochodzi do jeszcze jednego ważnego wniosku - wyrażenie ctg x \u003d a można zapisać jako tg x \u003d 1 / a, pod warunkiem, że a nie jest równe zeru.

KOD TEKSTOWY:

Rozważmy rozwiązanie równań tg x \u003d 3 i tg x \u003d - 3. Po graficznym rozwiązaniu pierwszego równania widzimy, że wykresy funkcji y \u003d tan x i y \u003d 3 mają nieskończenie wiele punktów przecięcia, których odcięte zapisujemy w postaci

x \u003d x 1 + πk, gdzie x 1 jest odciętą punktu przecięcia prostej y \u003d 3 z główną gałęzią tangentoidy (rys. 1), dla której ukuto notację

arctan 3 (arcus tangens trzech).

Jak rozumiesz arctg 3?

Jest to liczba, której styczna wynosi 3 i ta liczba należy do przedziału (-;). Wtedy wszystkie pierwiastki równania tan x \u003d 3 można zapisać wzorem x \u003d arctan 3 + πk.

Podobnie rozwiązanie równania tg х \u003d - 3 można zapisać w postaci х \u003d х 2 + πk, gdzie х 2 jest odciętą punktu przecięcia prostej у \u003d - 3 z główną gałęzią stycznej (ryc. 1), dla którego zapis arctan (- 3) (arcus tangens minus trzy). Wtedy wszystkie pierwiastki równania można zapisać wzorem: x \u003d arctan (-3) + πk. Rysunek pokazuje, że arctan (- 3) \u003d - arctan 3.

Sformułujmy definicję arcus tangensa. Arcus tangens a to liczba z przedziału (-;), której tangens jest równy a.

Często używana jest równość: arctan (-a) \u003d -arctan a, co jest prawdą dla dowolnego a.

Znając definicję arcus tangensa, wyciągamy ogólny wniosek dotyczący rozwiązania równania

tg x \u003d a: równanie tg x \u003d a ma rozwiązanie x \u003d arctan a + πk.

Rozważmy kilka przykładów.

PRZYKŁAD 1: Oblicz arctg.

Decyzja. Niech arctan \u003d x, a następnie tgx \u003d i xϵ (-;). Pokaż tabelę wartości Dlatego x \u003d, ponieważ tg \u003d i ϵ (-;).

Więc arctg \u003d.

PRZYKŁAD 2. Oblicz arctan (-).

Decyzja. Używając równości arctan (- a) \u003d - arctan a, piszemy:

arctg (-) \u003d - arctg. Niech - arctan \u003d x, a następnie - tgx \u003d i xϵ (-;). Dlatego x \u003d, ponieważ tg \u003d i ϵ (-;). Pokaż tabelę wartości

Stąd - arctan \u003d - tgх \u003d -.

PRZYKŁAD 3. Rozwiąż równanie tgx \u003d 1.

1. Zapiszmy wzór na rozwiązania: х \u003d arctan 1 + πk.

2. Znajdź wartość arcus tangensa

ponieważ tg \u003d. Pokaż tabelę wartości

Stąd arctg1 \u003d.

3. Umieść znalezioną wartość we wzorze na rozwiązania:

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie tgx \u003d - 4,1 (styczna x równa się minus cztery cała jedna dziesiąta).

Decyzja. Zapiszmy wzór na rozwiązania: x \u003d arctan (- 4,1) + πk.

Nie możemy obliczyć wartości arcus tangensa, więc rozwiązanie równania zostawimy w otrzymanej postaci.

PRZYKŁAD 5. Rozwiąż nierówność tgх 1.

Decyzja. Rozwiążemy graficznie.

1. Zbudujmy styczną

y \u003d tanx i prosta y \u003d 1 (rys. 2). Przecinają się w punktach postaci х \u003d + πk.

2. Wybierz przedział osi x, na którym główna gałąź stycznej znajduje się powyżej linii prostej y \u003d 1, ponieważ według warunku tgx 1. Jest to przedział (;).

3. Używamy okresowości funkcji.

Własność 2. y \u003d tg x jest funkcją okresową z głównym okresem π.

Biorąc pod uwagę okresowość funkcji y \u003d tgx, zapisujemy odpowiedź:

(;). Odpowiedź można zapisać jako podwójną nierówność:

Przechodzimy do równania ctg x \u003d a. Przedstawmy graficzną ilustrację rozwiązania równania dodatniego i ujemnego a (rys. 3).

Wykresy funkcji y \u003d ctg x i y \u003d a oraz

y \u003d ctg x i y \u003d -a

mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, których odcięte to:

x \u003d x 1 +, gdzie x 1 jest odciętą punktu przecięcia prostej y \u003d a z główną gałęzią stycznej i

x 1 \u003d arcсtg a;

x \u003d x 2 +, gdzie x 2 jest odciętą punktu przecięcia prostej

y \u003d - a z główną gałęzią stycznej i x 2 \u003d arcсtg (- a).

Zauważ, że x 2 \u003d π - x 1. Zapiszmy więc ważną równość:

arcсtg (-а) \u003d π - arcсtg а.

Sformułujmy definicję: cotangens a jest liczbą z przedziału (0; π), której cotangens jest równy a.

Rozwiązanie równania ctg x \u003d a zapisujemy jako: x \u003d arcctg a +.

Zauważ, że równanie ctg x \u003d a można przekształcić do postaci

tg x \u003d, z wyjątkiem gdy a \u003d 0.

W tej lekcji będziemy nadal studiować arcus tangens i rozwiązywać równania w postaci tg x \u003d a dla dowolnego a. Na początku lekcji rozwiążemy równanie z wartością z tabeli i zilustrujemy rozwiązanie na wykresie, a następnie na okręgu. Następnie rozwiązujemy równanie tgx \u003d a w postaci ogólnej i wyprowadzamy ogólny wzór na odpowiedź. Zilustrujemy obliczenia na wykresie i na okręgu i rozważymy różne formy odpowiedzi. Pod koniec lekcji rozwiążemy kilka problemów, ilustrując rozwiązania na wykresie i na okręgu.

Temat: Równania trygonometryczne

Lekcja: Styczny łuk i rozwiązywanie równania tgx \u003d a (kontynuacja)

1. Temat lekcji, wprowadzenie

W tej lekcji przyjrzymy się rozwiązaniu równania dla dowolnego rzeczywistego

2. Rozwiązanie równania tgx \u003d √3

Problem 1. Rozwiąż równanie

Znajdźmy rozwiązanie za pomocą wykresów funkcyjnych (rys. 1).

Rozważ interwał W tym przedziale funkcja jest monotonna, co oznacza, że \u200b\u200bjest osiągnięta tylko dla jednej wartości funkcji.

Odpowiedź:

Rozwiążmy to samo równanie za pomocą koła liczbowego (ryc. 2).

Odpowiedź:

3. Rozwiązanie równania tgx \u003d a w postaci ogólnej

Rozwiążmy równanie w formie ogólnej (ryc. 3).

W przedziale równanie ma unikalne rozwiązanie

Najmniejszy okres pozytywny

Zilustrujmy to na okręgu liczbowym (ryc. 4).

4. Rozwiązywanie problemów

Zadanie 2. Rozwiąż równanie

Zmień zmienną

Zadanie 3. Rozwiąż system:

Rozwiązanie (rys.5):

W tym momencie wartość jest więc rozwiązaniem systemu jest tylko punkt

Odpowiedź:

Zadanie 4. Rozwiąż równanie

Rozwiążmy, zmieniając zmienną:

Zadanie 5. Znajdź liczbę rozwiązań równania na przedziale

Rozwiążmy problem za pomocą wykresu (ryc. 6).

Równanie ma trzy rozwiązania w zadanym przedziale.

Zilustrujmy to na okręgu liczbowym (ryc. 7), chociaż nie jest to tak jasne, jak na wykresie.

Odpowiedź: Trzy rozwiązania.

5. Zakończenie, zakończenie

Rozwiązaliśmy równanie dla dowolnego rzeczywistego, używając pojęcia arcus tangens. Na następnej lekcji zapoznamy się z pojęciem cotangensu łukowego.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra i początek analizy, ocena 10 (z dwóch części). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd SI Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z matematyką na poziomie zaawansowanym). - M .: Education, 1996.

4. Galitsky ML, Moshkovich MM, Schwarzburd SI Zaawansowane studium algebry i analizy matematycznej. -M .: Education, 1997.

5. Zbiór zagadnień matematycznych dla kandydatów na studia wyższe (pod redakcją M. I. Skanavi). - M .: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problemy algebry i zasady analizy (poradnik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących). - M .: Education, 2003.

8. Karp AP Zbiór zagadnień z algebry i zasady analizy: podręcznik. dodatek na stopnie 10-11 z pogłębieniem nauka matematyka.-M.: Education, 2006.

Zadanie domowe

Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatkowe zasoby internetowe

1. Matematyka.

2. Problemy z portalem internetowym. ru.

3. Portal edukacyjny do przygotowania do egzaminów.

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu !!!

Równość zawierająca nieznane pod znakiem funkcji trygonometrycznej (`sin x, cos x, tan x` lub` ctg x`) nazywana jest równaniem trygonometrycznym i rozważymy ich wzory dalej.

Najprostsze równania to „sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a”, gdzie „x” - kąt do znalezienia, „a” - dowolna liczba. Zapiszmy podstawowe formuły dla każdego z nich.

1. Równanie „sin x \u003d a”.

Dla `| a |\u003e 1` nie ma rozwiązań.

Dla `| a | \\ leq 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Podstawowa formuła: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Równanie „cos x \u003d a”

Dla `| a |\u003e 1` - podobnie jak w przypadku sinusa, nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.

Dla `| a | \\ leq 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Podstawowa formuła: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Przypadki specjalne dla sinusa i cosinusa na wykresach.

3. Równanie „tg x \u003d a”

Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości „a”.

Podstawowa formuła: `x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Równanie „ctg x \u003d a”

Posiada również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości „a”.

Podstawowa formuła: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli

Dla sinusa:
Dla cosinusa:
Dla stycznej i cotangens:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

• używając przekonwertuj go na najprostszy;
• rozwiąż otrzymane najprostsze równanie, korzystając z powyższych wzorów na pierwiastki i tabel.

Spójrzmy na przykłady głównych metod rozwiązywania.

Metoda algebraiczna.

W tej metodzie następuje zamiana zmiennej i podstawienie na równość.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

dokonujemy zmiany: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, a następnie` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

znajdujemy pierwiastki: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1 / 2`, skąd następują dwa przypadki:

1.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`,` x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Odpowiedź: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiąż równanie: „sin x + cos x \u003d 1”.

Decyzja. Przesuń wszystkie warunki równości w lewo: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Używając, przekształcaj i uwzględniaj lewą stronę:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`,

1. `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Odpowiedź: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Redukcja do jednorodnego równania

Najpierw musisz sprowadzić to równanie trygonometryczne do jednego z dwóch typów:

ʻA sin x + b cos x \u003d 0` (równanie jednorodne pierwszego stopnia) lub ʻa sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (równanie jednorodne drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części przez `cos x \\ ne 0` - dla pierwszego przypadku i przez` cos ^ 2 x \\ ne 0` - dla drugiego. Otrzymujemy równania dla `tg x`: ʻa tg x + b \u003d 0` i ʻa tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Decyzja. Przepisz prawą stronę jako `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

To jest jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, jego lewą i prawą stronę dzielimy przez `cos ^ 2 x \\ ne 0`, otrzymujemy:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Wprowadźmy zamiennik „tg x \u003d t”, w wyniku czego „t ^ 2 + t - 2 \u003d 0”. Korzenie tego równania to „t_1 \u003d -2” i „t_2 \u003d 1”. Następnie:

1. `tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Odpowiedź. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Idź do połowy rogu

Przykład. Rozwiąż równanie: „11 sin x - 2 cos x \u003d 10”.

Decyzja. Zastosuj formuły z podwójnym kątem, w wyniku czego: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Stosując powyższą metodę algebraiczną otrzymujemy:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`,
2. `tg x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Odpowiedź. `x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Wprowadź pomocniczy kąt

W równaniu trygonometrycznym ʻa sin x + b cos x \u003d c`, gdzie a, b, c są współczynnikami, a x jest zmienną, dzielimy obie strony przez `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:

`\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, a mianowicie suma ich kwadratów jest równa 1, a ich wartości bezwzględne nie są większe niż 1. Oznaczmy je następująco: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, a następnie:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Przyjrzyjmy się bliżej poniższemu przykładowi:

Przykład. Rozwiąż równanie: „3 sin x + 4 cos x \u003d 2”.

Decyzja. Podziel obie strony równości przez `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, otrzymamy:

`\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Oznaczmy „3/5 \u003d cos \\ varphi”, „4/5 \u003d sin \\ varphi”. Ponieważ `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, to jako kąt pomocniczy przyjmujemy `\\ varphi \u003d arcsin 4/5`. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

Stosując wzór na sumę kątów sinusa, zapisujemy naszą równość w następującej postaci:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2 / 5`,

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`x \u003d (- 1) ^ n łuk w 2/5-` ʻarcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Odpowiedź. `x \u003d (- 1) ^ n łuk w 2/5-` ʻarcsin 4/5 + \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Równania trygonometryczne ułamkowo-wymierne

Są to równości z ułamkami, których liczniki i mianowniki mają funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Decyzja. Pomnóż i podziel prawą stronę równości przez „(1 + cos x)„. W efekcie otrzymujemy:

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d '' \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być równy zero, otrzymujemy `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Zrównaj licznik ułamka z zerem: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Następnie „sin x \u003d 0” lub „1-sin x \u003d 0”.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Biorąc pod uwagę, że `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, rozwiązaniami są` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` i `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in Z`.

Odpowiedź. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Trygonometria, aw szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich dziedzinach geometrii, fizyki i inżynierii. Nauka zaczyna się w klasie 10, na pewno są zadania do egzaminu, więc staraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno się przydadzą!

Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność dedukcji. To nie jest tak trudne, jak się wydaje. Przekonaj się, oglądając wideo.