X Kuba minus 1. sutrumpintos dauginimo formulės - žinių hipermarket

Algebra.

Sumažintos dauginimo formulės naudojamos išraiškoms konvertuoti. Tapatybės naudojamos visai išraiškai polinomial ir polinominių antiklių polinomials forma.

• 1 Kvadratinių sumų (A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
• 2 Kvadratinis skirtumas. \\ T (a - b) 2 \u003d A 2 - 2ab + B 2
• 3 Kvadratinių skirtumų. \\ T A 2 - B 2 \u003d (A - b) (A + B)
• 4 Kubo kiekis (A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 2
• 5 Kubo skirtumas (A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 2
• 6 Kubelių kiekis 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
• 7 Kubiniai skirtumai A 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Formulės kvadratų

((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\ t

(a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \\ t

(a ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a + b) (a - b) \\ t

Kubo formulės

((a + b) ^ 3 \u003d a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3) \\ t

(a - b) ^ 3 \u003d a ^ 3 - 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 - b ^ 3 \\ t

(a ^ 3 + b ^ 3 \u003d (a + b) (a ^ 2 - AB + B ^ 2) \\ t

(a ^ 3 - b ^ 3 \u003d (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) \\ t

Ketvirto laipsnio formulės

((a + b) ^ 4 \u003d a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 \\)

((a - b) ^ 4 \u003d a ^ 4 - 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 - 4ab ^ 3 + b ^ 4 \\) \\ t

(a ^ 4 - b ^ 4 \u003d (a - b) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2);
iš jo išplaukia iš (a ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a + b) (a - b)).

Sutrumpintos dauginimo formulės

1. Kvadratinė suma

2. Kvadratinis skirtumas. \\ T

3. kvadratų suma ir skirtumas

4. Trečiojo laipsnio suma (kubo suma)

5. Trečiojo laipsnio skirtumas (kubo skirtumas)

6. Kubų kiekis ir skirtumas

7. Sumažintos dauginimo formulės ketvirtam laipsniui

8. sutrumpintos dauginimo formulės penktam laipsniui

9. Sutrumpinto dauginimo formulės šeštąjį laipsnį

10. sutrumpintos dauginimo laipsnio laipsnio formulės, kur n. - bet koks natūralus skaičius

11. NUTRAUKTA NUMPLING FORMULE N laipsniui, kur n. - net teigiamas skaičius

12. Sutrumpintos dauginimo formulės n laipsniui, kur n. - nelyginis teigiamas skaičius

Sutrumpintos dauginimo formulės.

Sutrumpintos dauginimo formulės tyrimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo aikštė; Dviejų išraiškų kvadratinių skirtumų; Kubos sumas ir kubo skirtumas dviem išraiškomis; Dviejų išraiškų kubelių kiekiai ir skirtumai.

Skiriant pavyzdžių sprendžiant sutrumpintą dauginimą formules.

Siekiant supaprastinti išraiškas, daugiaplankių polinomanų skaidymą, polinomials į standartines sutrumpintos dauginimo formules. Turi būti žinomi sutrumpintos dauginimo formulės.

Leiskite a, b r. Tada:

1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus Pirmosios išraiškos aikštė ir pirmosios išraiškos susuktas produktas antrajame ir antrosios išraiškos aikštėje.

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2

2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus Pirmosios išraiškos kvadratas atėmus dvigubą pirmosios išraiškos produktą antrajame ir antrosios išraiškos aikštėje.

(a - b) 2 \u003d A 2 - 2ab + B 2

3. Kvadratinių skirtumų. \\ Tdvi išraiškos yra lygios šių išraiškų produktui ir jų sumai.

a 2 - B 2 \u003d (A + B) (A + B)

4. Kubo kiekisdvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos Kubai ir trigubai pirmosios išraiškos aikštės produktas antrajame ir trigubai pirmosios išraiškos produktas antrojo išraiškos aikštėje.

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

5. Kubo skirtumasdvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos Kubai, atėmus trigubą pirmosios išraiškos aikštės darbą antrajame ir trigubai pirmosios išraiškos darbui antrojo minuso kubo aikštėje.

(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

6. Kubelių kiekisdvi išraiškos yra lygios pirmojo ir antrojo išraiškos sumai apie neišsamių šių išraiškų skirtumo kvadratą.

3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)

7. Kubiniai skirtumai Dvi išraiškos yra lygios pirmos ir antrosios išraiškos produktui neišsamios šių išraiškų sumos kvadrato.

a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Skiriant pavyzdžių sprendžiant sutrumpintą dauginimą formules.

1 pavyzdys.

Apskaičiuoti

a) naudojant dviejų išraiškų sumos sumą, mes turime

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

b) naudojant dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, mes gauname

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604

2 pavyzdys.

Apskaičiuoti

Naudojant dviejų išraiškų kvadratų dydžio formulę, mes gauname

3 pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką

(x - y) 2 + (x + y) 2

Mes naudojame dviejų išraiškų skirtumo skalės formules ir kvadratą

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2H + 2 + x 2 + 2H + Y 2 \u003d 2x 2 + 2Y 2

Sutrumpintos dauginimo formulės vienoje lentelėje:

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
(a - b) 2 \u003d A 2 - 2ab + B 2
A 2 - B 2 \u003d (A - b) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
A 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Apskaičiuojant algebrinius polinomus, kad supaprastintumėte skaičiavimus sutrumpintos dauginimo formulės. Visos tokios formulės yra septynios. Jie visi turi žinoti pagal širdį.

Taip pat reikėtų prisiminti, kad vietoj "A" ir "B" formulėse, tiek numeriai, tiek kiti algebriniai polinomai gali būti formulėse.

Kvadratinių skirtumų. \\ T

Prisiminti!

Kvadratinių skirtumų. \\ T Du numeriai yra lygūs šių numerių produktui ir jų sumai.

a 2 - B 2 \u003d (A - b) (A + B)

• 15 2 - 2 2 \u003d (15 - 2) (15 + 2) \u003d 13 · 17 \u003d 221
• 9A 2 - 4B 2 C 2 \u003d (3A - 2BC) (3A + 2BC)

Kvadratinių sumų

Prisiminti!

Dviejų numerių kiekio kvadratas yra lygus pirmojo numerio kvadratams ir dvigubam pirmojo numerio produktui iki antrojo ir antrojo numerio kvadrato.

(A. + b) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2

Atkreipkite dėmesį, kad su šia sutrumpinto dauginimo formulė yra lengva rasti didelius numeriusnenaudojant skaičiuoklės ar dauginimo stulpelyje. Paaiškėkime apie pavyzdį:

Rasti 112 2.

• Skleiskite 112 dėl numerių, kurių kvadratų mes gerai prisimename.
  112 = 100 + 1
• Mes parašytume skaičių skliausteliuose sumą ir uždėkite kvadratą virš skliausteliuose.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Mes naudojame kvadratinės sumos sumą:
  112 2 \u003d (100 + 12) 2 \u003d 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 \u003d 10 000 + 2 400 + 144 \u003d 12 544

Atminkite, kad kvadratinės sumos formulė taip pat galioja bet kokiems algebriniams polinomoms.

• (8a + c) 2 \u003d 64a 2 + 16AC + C 2

ĮSPĖJIMAS!

(A + B) 2 nėra lygus (a 2 + B 2)

Kvadratinis skirtumas. \\ T

Prisiminti!

Dviejų numerių skirtumo kvadratas yra lygus pirmojo numerio kvadratams, atėmus du kartus pirmojo į antrąjį ir antrojo numerio kvadratą.

(A. - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

Taip pat verta prisiminti labai naudingą transformaciją:

(a - b) 2 \u003d (b - a) 2

Formulė yra pirmiau įrodyta paprastu skliaustų atskleidimu:

(A - B) 2 \u003d A 2 -2AB + B 2 \u003d B 2 - 2AB + A 2 \u003d (B - A) 2

Kubo kiekis

Prisiminti!

Dviejų numerių kubas yra lygus pirmojo numerio kubui, taip pat trigubai pirmojo numerio aikštės darbui iki antrojo ir trigubo pirmojo pirmojo ir antrojo kubo.

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

Kaip prisiminti kubo sumą

Atminkite, kad ši "baisi" formulė yra gana paprasta.

• Sužinokite, kad pradžioje eina "3".
• Du polinomai viduryje yra koeficientai 3.
• Prisiminkite, kad bet koks skaičius nulinio laipsnio yra 1. (a 0 \u003d 1, b 0 \u003d 1). Tai lengva pamatyti, kad formulėje yra laipsnis "A" ir padidinti "B" laipsnį. Tai galima matyti:
  (A + B) 3 \u003d A 3 B 0 + 3A 2 B 1 + 3A 1 B 2 + B 3 A 0 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

ĮSPĖJIMAS!

(A + B) 3 nėra lygi 3 + B 3

Kubo skirtumas

Prisiminti!

Kubo skirtumas Du numeriai yra lygūs pirmojo numerio Kubai, atėmus trigubą pirmojo numerio kvadrato darbą antrajame ir trigubai pirmojo numerio produktas į antrosios minuso aikštėje antrąjį kubą.

(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

Ši formulė yra prisiminta kaip ankstesnė, bet tik atsižvelgiant į ženklų pakaitomis "+" ir "-". Prieš pirmąjį terminą "3" stendai "+" (pagal matematikos taisykles, mes ne rašyti). Taigi, prieš kitą narį stovės "-", tada vėl "+" ir tt

(a - b) 3 \u003d + A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

Kubelių kiekis

Negalima supainioti su kubo kiekiu!

Prisiminti!

Kubelių kiekis Jis yra lygus dviejų numerių sumos sumai apie neišsamią skirtumo aikštę.

3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)

Kubų kiekis yra dviejų skliaustų produktas.

• Pirmasis laikiklis yra dviejų numerių suma.
• Antrasis laikiklis yra neišsami skirtumo skirtumo aikštė. Nebaigtas skirtumo kvadratas vadinamas išraiška:
  (A 2 - AB + B 2)
  Šis kvadratas yra neišsamus, kaip viduryje, o ne dvigubai dirbti įprastu numerių produktu.

Kubiniai skirtumai

Negalima supainioti su skirtumu kubo!

Prisiminti!

Kubiniai skirtumai Jis yra lygus dviejų numerių skirtumo produktui už neišsamią kvadratinę sumą.

a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Būkite atsargūs, kai rašote ženklus.

Sutrumpintos dauginimo formulės taikymas

Reikėtų prisiminti, kad visos aukščiau nurodytos formulės yra naudojamos ir į kairę.

Daugelis pavyzdžių vadovėliuose yra skirti tai, kad surinksite polinomą daugybę formulių.

• a 2 + 2A + 1 \u003d (A + 1) 2
• (Kaip - 4b) (AC + 4B) \u003d A2 C2 - 16B 2

Galite atsisiųsti lentelę su visomis sutrumpintos dauginimo formulėmis skyriuje "

Sutrumpintos raiškos formulės yra labai dažnai taikomos praktikoje, todėl jie yra pageidautina išmoko pagal širdį. Iki šio taško mes tarnausime kaip tikėjimas ir tiesa, kurią rekomenduojame spausdinti ir išlaikyti visą laiką prieš mūsų akis:

Pirmosios keturios formulės iš paskirtos lentelės sutrumpintos dauginimo formulės leidžia jums pastatyti į kvadratą ir kubo sumą arba dviejų išraiškų skirtumą. Penkta yra skirta trumpai dauginti skirtumą ir dviejų išraiškų sumą. Ir šeštoji ir septintoji formulės naudojamos dviejų išraiškų A ir B išraiška jų neišsamios skirtumo kvadrato sumai (vadinamasis formos 2 -A · b + b 2 išraiška) ir dviejų išraiškų skirtumas A ir B neišsamių jų sumos kvadrato (A 2 + A · B + B 2), atitinkamai.

Verta pažymėti atskirai, kad kiekviena lentelės lygybė yra tapatybė. Tai paaiškina, kodėl sutrumpintos dauginimo formulės taip pat vadinamas sutrumpintos dauginimo tapatybės.

Sprendžiant pavyzdžius, ypač kai daugikliaus polinomų skilimas, FSU dažnai naudojamas pertvarkytomis vietomis su kairiuoju ir dešinės dalys:

Paskutiniai trys lentelės tapatybės turi savo vardus. 2-B 2 \u003d (A-b) · (A + b) vadinamas kvadratinių skirtumų formulė. \\ T, a 3 + B 3 \u003d (A + B) · (A 2 -A · B + B 2) - cubes formulės kiekis, ir 3-B 3 \u003d (A-B) · (A 2 + A · B + B 2) - kubinės skirtumo formulė. \\ T. Atkreipkite dėmesį, kad mes nenurodėme atitinkamų formulių su pertvarkytomis dalimis iš ankstesnės lentelės.

Papildomos formulės

Lentelės formulė sutrumpintai dauginimui netrukdo pridėti keletą daugiau tapatybių.

Sutrumpintų dauginimo (FSU) ir pavyzdžių taikymo sritis

Pagrindinis sutrumpintos multiplikacijos (FSU) formulių tikslas yra paaiškinti jų vardu, tai yra trumpai dauginant išraiškas. Tačiau FSU taikymo sritis yra daug platesnė ir neapsiriboja trumpu dauginimu. Nurodome pagrindines kryptis.

Be abejo, centrinis sutrumpintos dauginimo formulės taikymas buvo nustatytas vienodų išraiškų transformacijų vykdymui. Dažniausiai šios formulės yra naudojamos šiame procese supaprastinkite išraiškas.

Pavyzdys.

Supaprastinkite 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Sprendimas.

Šioje išraiškoje kvadrato konstrukcija gali būti vykdoma sutrumpinta, turime 9 · y- (1 + 3 · y) 2 \u003d 9 · y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2). Lieka tik skliausteliams ir panašiems nariams: 9 · y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) \u003d 9 · Y-1-6 · Y-9 · Y 2 \u003d 3 · Y-1-9 · Y 2.

Skaitytuve išraiška yra dviejų 2 · X ir Z išraiškų kubelių skirtumas, o vardiklyje - šių išraiškų kvadratų skirtumas. Po to, kai taikant atitinkamas formules, pradinė frakcija bus rodoma . Dabar galite sutrumpinti tuos pačius daugiklius skaitiklyje ir vardiklyje :.

Mes trumpai paskelbsime visą sprendimą:

Atsakymas:

.

Sutrumpinto dauginimo formulės kartais leidžia racionaliai apskaičiuoti išraiškų vertes. Pavyzdžiui, mes parodysime, kaip galite sukurti 79 numerį už kvadratą, naudodami skirtumą kvadratine formulė: 79 2 \u003d (80-1) 2 \u003d 80 2 -2 · 80 · 1 + 1 2 \u003d 6 400-160 + 1 \u003d 6 241. Šis metodas leidžia atlikti panašius skaičiavimus net žodžiu.

Apibendrinant, pasakykime daugiau apie vieną svarbų transformaciją - bicoon aikštės pasirinkimas, kuris yra pagrįstas sutrumpintos kvadratinio kiekio formulėje. Pavyzdžiui, ekspresija 4 · x 2 + 4 · x-3 gali būti transformuojami į formą (2 · x) 2 + 2 · 2 · x · x · 1 + 1 2 -4, o pirmosios trys terminai pakeičiami naudojant sumos sumos suma. Taigi išraiška yra forma (2 · x + 1) 2-4. Tokie transformacijos yra plačiai naudojami, pavyzdžiui, kada.

Nuorodų sąrašas.

• Algebra: tyrimai. 7 cl. Bendrasis išsilavinimas. Institucijos / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkovas, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. A. Telikovsky. - 17-asis ED. - m.: Apšvietimas, 2008. - 240 s. : IL. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7-oji klasė. 2 TSP. 1. Pamoka generalinių švietimo įstaigų studentams / A. Mordkovich. - 13-asis Ed., Veikti. - m.: Mnemozina, 2009. - 160 p.: Il. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (nauda pareiškėjams techninėse mokyklose): studijos. nauda. - m.; Didesnis. Shk., 1984.-351 p., Il.

Matematinės išraiškos (formulės) sutrumpintas dauginimas (Kvadratinių sumų ir skirtumų, kubo sumas ir skirtumai, kvadratų skirtumas, kubelių kiekis ir skirtumas) yra labai pakeistos daugelyje tikslių mokslų sričių. Šie 7 simbolių įrašai nėra pakeisti supaprastinant išraiškas, išspręsti lygtis, su daugybe polinomų, mažinant frakcijas, sprendžiant integralų ir daug kitų dalykų. Taigi bus labai naudinga išsiaiškinti, kaip jie yra gauti, už kuriuos jie yra reikalingi, ir svarbiausia, kaip juos prisiminti ir tada taikyti. Tada kreipkitės sutrumpintos dauginimo formulės Praktiškai sunkiausia pamatysite, kas yra H.ir kas yra u. Akivaizdu, kad nėra jokių apribojimų a. ir. \\ T b.ne, o tai reiškia, kad tai gali būti bet kokios skaitmeninės arba raidės išraiškos.

Ir taip čia jie:

Pirmas x 2 - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Suskaičiuoti kvadratinių skirtumų. \\ T Dvi išraiškos turi padauginti skirtumą tarp šių išraiškų jų sumas.

Antra (x + y) 2 \u003d x 2. + 2H + 2 . Rasti kvadratinių sumų Dvi išraiškos turi būti įtrauktos į pirmosios išraiškos kvadratą pridėti dvigubą pirmosios išraiškos produktą antrajame ir antrosios išraiškos aikštėje.

Trečias (x - y) 2 \u003d x 2. - 2H + 2. Suskaičiuoti kvadratinis skirtumas. \\ Tdvi išraiškos reikalingos iš pirmosios išraiškos kvadrato atimti dvigubą pirmosios išraiškos produktą antrajame ir antrosios išraiškos aikštėje.

Ketvirta (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 Y + 3H 2 + 3. Suskaičiuoti kubo kiekisdvi išraiškos turi būti įtrauktos į pirmosios išraiškos Kubą, kad pridėtumėte trigubą pirmosios išraiškos aikštės darbą antrajame ir trigauname pirmosios išraiškos produktu ant antrosios išraiškos kvadrato plius kubo.

Penktadalis (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 Y + 3H 2 - 3.. Suskaičiuoti kubo skirtumasdvi išraiškos yra būtinos iš pirmosios ekspresijos kubo, kad būtų imtasi trigubos pirmosios išraiškos aikštės darbų antrajame ir trigauname pirmosios išraiškos produkte antrajame minuso kube antroje minoje.

Šeši x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - hu + u 2) Suskaičiuoti kubelių kiekisdvi išraiškos turi padauginti pirmosios ir antrosios išraiškos sumas neišsamių šių išraiškų skirtumo aikštėje.

Septintoji dalis x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + Hu + u 2) Apskaičiuoti kubiniai skirtumaidvi išraiškos turi padauginti skirtumą tarp pirmojo ir antrojo išraiškos dėl neišsamos šių išraiškų sumos kvadrato.

Sunku nepamiršti, kad visos formulės taikomos skaičiavimų darbui ir priešinga kryptimi (dešinėje į kairę).

Prieš 4 tūkstančius metų dėl šių modelių egzistavimo. Jie buvo plačiai naudojami senovės Babilono ir Egipto gyventojai. Tačiau šiose epochose jie išreiškė žodžiu arba geometriškai ir skaičiavimuose nenaudojo raidžių.

Mes suprasime summa Summa(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2.

Pirmiausia matematinis modelis Įrodė senovės graikų mokslininką Euklidą, kuris dirbo Aleksandrijoje III a. Pr. Kr. Jie buvo visuotinai naudojami ne "A 2", bet "kvadratas ant segmento", o ne "AB", bet "stačiakampis, sudarytas tarp segmentų A ir B".