Dokaz Fermatove teoreme je elementaran, jednostavan, razumljiv. Izložimo! Fermatova posljednja teorema dokazala? Lista nedokazanih teorema

Često kad razgovaram sa srednjoškolcima o istraživačkim radovima iz matematike, čujem sljedeće: "Šta se može otkriti novo u matematici?" Ali zaista: mogu li se napraviti sva velika otkrića i dokazati teoreme?

8. avgusta 1900. godine, na Međunarodnom matematičkom kongresu u Parizu, matematičar David Hilbert izložio je listu problema za koje je vjerovao da će ih morati riješiti u 20. vijeku. Na listi su bile 23 stavke. Dvadeset i jedan od njih je sada riješen. Posljednji problem na Gilbertovoj listi koji je trebao biti riješen bio je čuveni Fermatov teorem, s kojim se naučnici nisu mogli nositi 358 godina. Britanac Andrew Wiles je 1994. godine predložio svoje rješenje. I ispostavilo se da je to istina.

Slijedeći Gilbertov primjer krajem prošlog stoljeća, mnogi su matematičari pokušali formulirati takve strateške zadatke za 21. stoljeće. Jednu takvu listu proslavio je bostonski milijarder Landon T. Clay. 1998. godine, na njegov trošak u Cambridgeu (Massachusetts, SAD), osnovan je Institut za matematiku glina i uspostavljene su nagrade za rješavanje niza važnih problema moderne matematike. 24. maja 2000. godine stručnjaci instituta odabrali su sedam problema - prema broju miliona dolara dodijeljenih za nagrade. Lista je nazvana Problemi sa Milenijumskom nagradom:

1. Cookov problem (formuliran 1971.)

Recimo da vi, budući da ste u velikoj kompaniji, želite biti sigurni da je tamo i vaš poznanik. Ako vam kažu da sjedi u uglu, bit će vam dovoljan djelić sekunde da jednim pogledom provjerite jesu li informacije istinite. U nedostatku ovih podataka, bit ćete prisiljeni hodati po cijeloj sobi, pregledavajući goste. To sugerira da rješavanje problema često traje duže od provjere ispravnosti rješenja.

Stephen Cook formulirao je problem: može li provjera ispravnosti rješenja problema trajati više vremena nego dobivanje samog rješenja, bez obzira na algoritam provjere. Ovaj problem je ujedno i jedan od neriješenih problema na polju logike i računarstva. Njegovo rješenje moglo bi revolucionirati osnove kriptografije koje se koriste u prijenosu i pohrani podataka.

2. Riemannova hipoteza (formulirana 1859. godine)

Neki cjeloviti brojevi ne mogu se izraziti kao umnožak dva manja cijela broja, kao što su 2, 3, 5, 7 itd. Ti se brojevi nazivaju prostim brojevima i igraju važnu ulogu u čistoj matematici i njenim primjenama. Raspodjela prostih brojeva među nizovima svih prirodnih brojeva ne poštuje nijedan obrazac. Međutim, njemački matematičar Riemann iznio je pretpostavku u vezi sa svojstvima niza prostih brojeva. Ako se Riemannova hipoteza dokaže, to će dovesti do revolucionarne promjene u našem znanju o šifriranju i do neviđenog prodora na polju internetske sigurnosti.

3. Birch i Swinnerton-Dyer-ova hipoteza (formulirana 1960)

Povezan je s opisom skupa rješenja nekih algebarskih jednadžbi u nekoliko varijabli s cjelobrojnim koeficijentima. Primjer takve jednadžbe je izraz x2 + y2 \u003d z2. Euklid je dao cjelovit opis rješenja ove jednadžbe, ali za složenije jednadžbe pronalaženje rješenja postaje izuzetno teško.

4. Hodgeova hipoteza (formulirana 1941.)

U 20. stoljeću matematičari su otkrili moćnu metodu za proučavanje oblika složenih predmeta. Glavna ideja je da se umjesto samog predmeta koriste jednostavne "cigle" koje se lijepe i čine njegovu sličnost. Hodgeova hipoteza povezana je s nekim pretpostavkama o svojstvima takvih "cigli" i predmeta.

5. Navier-Stokesove jednadžbe (formulirane 1822)

Ako plovite brodom po jezeru, pojavit će se valovi, a ako letite avionom, u zraku će se pojaviti turbulentni tokovi. Pretpostavlja se da su ove i druge pojave opisane jednadžbama poznatim kao Navier-Stokesove jednačine. Rješenja ovih jednadžbi su nepoznata, a čak se ne zna ni kako ih riješiti. Potrebno je pokazati da rješenje postoji i da je dovoljno glatka funkcija. Rješenje ovog problema značajno će promijeniti metode hidrodinamičkih i aerodinamičkih proračuna.

6. Poincaré-ov problem (formuliran 1904.)

Ako gumu povučete preko jabuke, možete je, polako pomičući traku, ne skidajući je s površine, stisnuti do određene točke. S druge strane, ako se ista gumena traka pravilno povuče oko krafne, ne postoji način da se traka stisne do tačke bez pucanja trake ili krafne. Kažu da je površina jabuke jednostavno povezana, ali površina krafne nije. Ispalo je tako teško dokazati da je samo sfera jednostavno povezana da matematičari još uvijek traže tačan odgovor.

7. Yang - Mills-ove jednadžbe (formulirane 1954.)

Jednadžbe kvantne fizike opisuju svijet elementarnih čestica. Fizičari Yang i Mills, otkrivši vezu između geometrije i fizike čestica, napisali su svoje jednadžbe. Stoga su pronašli način da objedine teorije elektromagnetskih, slabih i jakih interakcija. Iz Yang - Millsovih jednadžbi slijedilo je postojanje čestica, koje su zapravo promatrane u laboratorijima širom svijeta, stoga je Yang - Millsovu teoriju prihvatila većina fizičara, unatoč činjenici da u okviru ove teorije još uvijek nije moguće predvidjeti mase elementarnih čestica.

Mislim da je ovaj materijal objavljen na blogu zanimljiv ne samo studentima, već i školarcima koji se ozbiljno bave matematikom. Ima o čemu razmišljati prilikom odabira tema i područja istraživanja.

Na svijetu nema toliko ljudi koji nikada nisu čuli za Fermatov posljednji teorem - možda je ovo jedini matematički problem koji je dobio tako široku popularnost i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, dok je glavni kontekst gotovo svih referenci nemogućnost dokazivanja teoreme.

Da, ovaj je teorem vrlo poznat i u određenom je smislu postao "idol" kojeg obožavaju matematičari amateri i profesionalci, ali malo ljudi zna da je njegov dokaz pronađen, a to se dogodilo daleke 1995. godine. Ali prvo najprije.

Dakle, Fermatov posljednji teorem (koji se često naziva Fermatovim posljednjim teoremom), koji je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, u svojoj je osnovi vrlo jednostavan i razumljiv bilo kojoj osobi sa srednjim obrazovanjem. Kaže da formula a snage n + b snage n \u003d c snage n nema prirodnih (odnosno nefrakcionalnih) rješenja za n\u003e 2. Čini se sve jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri borili su se oko toga tražeći rešenje više od tri i po veka.

Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati ...

Postoji li malo dokazanih, nedokazanih i još uvijek ne dokazanih teorema? Poanta je u tome da je Fermatov posljednji teorem najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatov posljednji teorem nevjerojatno je težak zadatak, ali unatoč tome, njegovu formulaciju mogu razumjeti svi sa 5. razredom srednje škole, ali dokaz to nema ni svaki profesionalni matematičar. Ni u fizici, ni u kemiji, ni u biologiji, ni u istoj matematici, ne postoji nijedan problem koji bi bio tako jednostavno formuliran, ali bi tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?

Krenimo od pitagorejskih hlača Tekst je zaista jednostavan - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorejske hlače jednake su sa svih strana." Problem izgleda tako jednostavno jer se zasnivao na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na katetama.

U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali trojke cijelih brojeva zadovoljavajući jednakost x² + y² \u003d z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo pitagorejskih trojki i dobili su opće formule za njihovo pronalaženje. Vjerovatno su pokušali tražiti trojke i više stepene. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su napustili svoje beskorisne pokušaje. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.

Odnosno, lako je pronaći skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x² + y² \u003d z²

Polazeći od 3, 4, 5 - zaista, učenik osnovne škole razumije da je 9 + 16 \u003d 25.

Ili 5, 12, 13: 25 + 144 \u003d 169. Super.

Dakle, ispada da NISU. Tu započinje ulov. Jednostavnost je očita, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, odsustvo. Kada je potrebno dokazati da rješenje postoji, možete i trebate samo dati ovo rješenje.

Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, netko kaže: takva i takva jednadžba nema rješenja. Staviti ga u lokvu? lako: bam - i evo ga, rješenje! (molimo navedite rješenje). I to je to, protivnik je ubijen. Kako dokazati odsustvo?

Recite, "Nisam pronašao takva rješenja"? Ili ste možda loše izgledali? Što ako jesu, samo vrlo velike, pa, vrlo takve da čak i supermoćnom računaru još uvijek nedostaje snage? Ovo je teško.

U vizualnom obliku to se može prikazati na sljedeći način: ako uzmete dva kvadrata prikladnih veličina i rastavite na jedinične kvadrate, tada ćete iz ove gomile kvadratnih jedinica dobiti treći kvadrat (slika 2):


A ako isto učinimo s trećom dimenzijom (slika 3), to neće uspjeti. Ostaje nedovoljno kockica ili suvišnih:

Ali matematičar 17. vijeka, Francuz Pierre de Fermat, oduševljeno je istraživao opću jednadžbu x n + y n \u003d z n. I na kraju, došao sam do zaključka: za n\u003e 2 cjelovita rješenja ne postoje. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Preostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj aritmetici: "Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz za ovaj prijedlog, ali margine ovdje su preuske da bi ga sadržale."

Zapravo se teorem bez dokaza naziva hipotezom. Ali Fermat je na glasu kao da nikada nije griješio. Čak i ako nije ostavio dokaze o bilo kojoj izjavi, ona je naknadno potvrđena. Uz to, Fermat je dokazao svoju tezu za n \u003d 4. Dakle, hipoteza francuskog matematičara ušla je u istoriju kao Fermatova posljednja teorema.

Nakon Fermata, tako veliki umovi kao što je Leonard Euler radili su na potrazi za dokazom (1770. predložio je rješenje za n \u003d 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi su naučnici zajedno pronašli dokaz za n \u003d 5 1825. godine), Gabriel Lame (koji je pronašao dokaz za n \u003d 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog vijeka postalo je jasno da je znanstveni svijet na putu do konačnog rješenja Fermatovog posljednjeg teorema, ali tek 1993. godine matematičari su vidjeli i vjerovali da je trovjekovna saga o traženju dokaza o posljednjem Fermatovom teoremu praktično gotova.

Lako je pokazati da je Fermatov teorem dovoljno dokazati samo za prosti n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozitni n dokaz ostaje valjan. Ali ima i beskrajno mnogo prostih ...

1825. godine primjenom metode Sophie Germain, žene matematičarke, Dirichlet i Legendre neovisno su dokazale teoremu za n \u003d 5. 1839. godine, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame pokazao je istinitost teoreme za n \u003d 7. Postepeno je teorem dokazan za gotovo svih n manje od sto.

Konačno, njemački matematičar Ernst Kummer pokazao je briljantnom studijom da se teorem u opštem obliku ne može dokazati metodama matematike 19. vijeka. Nagrada Francuske akademije nauka, osnovane 1847. godine za dokaz Fermatove teoreme, ostala je nepromijenjena.

1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskel iz nesretne ljubavi odlučio je sebi oduzeti život. Kao pravi Nijemac odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana sastavio je testament i napisao pisma prijateljima i rođacima. Posao je bio gotov prije ponoći. Moram reći da se Paul zanimao za matematiku. Ni zbog čega drugog, otišao je u biblioteku i počeo čitati Kummerov čuveni članak. Odjednom mu se učinilo da je Kummer pogriješio u svom rasuđivanju. Wolfskel je počeo prelistavati ovaj odlomak članka s olovkom u ruci. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazima je popunjena. A sam razlog samoubistva sada je izgledao potpuno smiješno. Paul je pocepao oproštajna pisma i prepisao oporuku.

Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 trenutnih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva u Göttingenu, koje je iste godine objavilo konkurs za nagradu Wolfskehl. 100.000 maraka bilo je zbog dokazivanja Fermatove teoreme. Ni jedan fening nije trebao pobiti teoremu ...

Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatovog posljednjeg teorema beznadnim zadatkom i čvrsto odbila gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se predivno brčkali. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Göttingenu. Profesor E.M. Landau, čija je dužnost bila da analizira dostavljene dokaze, podijelio je kartone svojim studentima:

Draga. ... ... ... ... ... ... ...

Hvala vam na rukopisu koji ste mi poslali s dokazom o Fermatovom posljednjem teoremu. Prva greška je na stranici ... u redu .... Zbog nje su svi dokazi poništeni.
Profesor E. M. Landau

Godine 1963. Paul Cohen, oslanjajući se na Gödelove zaključke, dokazao je neodlučnost jednog od Hilbertovih dvadeset i tri problema - hipoteze o kontinuumu. Ali što ako je Fermatov posljednji teorem također neodlučan?! Ali istinski fanatici Velikog teorema nisu bili ni najmanje razočarani. Pojava računara iznenada je matematičarima pružila novu metodu dokazivanja. Nakon Drugog svjetskog rata, grupe programera i matematičara dokazale su Fermatov posljednji teorem za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1000, a kasnije i do 10 000.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća Samuel Wagstaff povisio je granicu na 25.000, a devedesetih godina matematičari su tvrdili da je Fermatova posljednja teorema vrijedila za svih n vrijednosti do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmemo čak bilijun bilijuna, on neće postati manji. Statistike nisu uvjerene u matematičare. Dokazati Veliki teorem značilo je dokazati ga za SVE koji idu u beskonačnost.

Dvoje mladih prijatelja japanskog matematičara 1954. godine pristupilo je proučavanju modularnih oblika. Ovi obrasci generiraju redove brojeva, svaki sa svojim redom. Slučajno je Taniyama uporedio ove serije sa nizom generiranim eliptičkim jednadžbama. Podudarali su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nisu pronađene veze između tako različitih objekata.

Ipak, prijatelji su, nakon pažljivog testiranja, iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima dvostruki - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ta hipoteza postala temelj čitavog pravca u matematici, ali dok se hipoteza Taniyama-Shimura ne dokaže, cijela zgrada mogla bi se srušiti svakog trenutka.

1984. Gerhard Frey pokazao je da se rješenje Fermatove jednadžbe, ako postoji, može uključiti u neku eliptičku jednadžbu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet dokazao je da ova hipotetska jednadžba ne može imati pandan u modularnom svijetu. Odsada je Fermatov posljednji teorem bio neraskidivo povezan s pretpostavkama Taniyama-Shimura. Nakon što smo dokazali da je bilo koja eliptička krivulja modularna, zaključujemo da eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednadžbe ne postoji, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura i bilo je sve manje i manje nada u uspjeh.

Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles već je bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da od nje ne može odstupiti. Školar, student, apsolvent, pripremio se za ovaj zadatak.

Saznavši za nalaze Kena Ribeta, Wiles je bezglavo krenuo u dokazivanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. "Shvatio sam da sve što ima veze s Fermatovim posljednjim teoremom pobuđuje previše interesa ... Previše gledatelja namjerno se miješa u postizanje cilja." Sedam godina mukotrpnog rada se isplatilo, Wiles je napokon dovršio dokaz hipoteze Taniyama-Shimura.

Engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je 1993. svijetu svoj dokaz o Fermatovom posljednjem teoremu (Wiles je pročitao svoj senzacionalistički izvještaj na konferenciji na Institutu Sir Isaac Newton u Cambridgeu), na kojoj je rad trajao više od sedam godina.

Dok se hiper u štampi nastavljao, započeo je ozbiljan posao na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan da bi se mogao smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je provodio užurbano ljeto čekajući povratne informacije recenzenata, nadajući se da će dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta stručnjaci su utvrdili nedovoljno potkrepljenu presudu.

Ispostavilo se da ovo rješenje sadrži grubu grešku, iako je uglavnom tačno. Wiles se nije predao, pozvao je u pomoć poznatog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. objavili su ispravljeni i dopunjeni dokaz teoreme. Nevjerojatna stvar je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) Stranica u matematičkom časopisu "Anali matematike". Ali ni tu priča nije završila - posljednja točka stavljena je tek iduće 1995. godine, kada je objavljena konačna i "idealna", s matematičkog stanovišta, verzija dokaza.

„… Pola minute nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, Nadiji sam poklonio rukopis kompletnog dokaza“ (Andrew Waltz). Jesam li rekao da su matematičari čudni ljudi?

Ovog puta oko dokaza nije bilo sumnje. Dva su članka bila podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.

Prošlo je puno vremena od tog trenutka, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje o neodlučnosti Fermove posljednje teoreme. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u ovom smjeru - malo je ljudi zadovoljno što Velika teorema traži rješenje od 130 stranica!

Stoga su snage velikog broja matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačene u potrazi za jednostavnim i jezgrovitim dokazom, ali ovaj put, najvjerojatnije, neće nikamo dovesti ...

izvor

- "Zadaci čovječanstva

PROBLEMI MATEMATIKE NIJE RJEŠENI ČOVJEČANSTVOM

Hilbertovi problemi

23 kritična problema iz matematike iznio je najveći njemački matematičar David Hilbert na Drugom međunarodnom kongresu matematičara u Parizu 1990. Tada ti problemi (koji pokrivaju temelje matematike, algebre, teorije brojeva, geometrije, topologije, algebarske geometrije, Lie-ove grupe, stvarne i složene analize, diferencijalne jednadžbe, matematička fizika, varijacijski račun i teorija vjerovatnoće nisu riješeni. Trenutno je riješeno 16 problema od 23. Još dva nisu točni matematički problemi (jedan je formuliran previše nejasno da bi se shvatilo je li riješen ili ne, drugi je, daleko od toga da je riješen, fizički, a ne matematički). Od preostalih 5 problema dva nisu riješena ni na koji način, ali tri su riješena samo za neke slučajeve

Landauovi problemi

Još uvijek ima mnogo otvorenih pitanja vezanih za proste brojeve (prost broj je broj koji ima samo dva djelitelja: jedan i sam broj). Navedena su najvažnija pitanja Edmund Landau na Petom međunarodnom matematičkom kongresu:

Landauov prvi problem (Goldbachov problem): Je li istina da se svaki paran broj veći od dva može predstaviti kao zbroj dva broja, a svaki neparan broj veći od 5 može se predstaviti kao zbir tri broja?

Landauov drugi problem: je beskonačan skup "Jednostavni blizanci" - prosti brojevi, razlika između kojih je 2?
Landauov treći problem (Legendreova hipoteza): je li istina da za bilo koji prirodni broj n između i uvijek postoji prost broj?
Landauov četvrti problem: Postoji li beskonačan skup prostih brojeva oblika, gdje je n prirodni broj?

Milenijumski izazovi (Problemi sa Milenijumskom nagradom)

Ovo je sedam matematičkih problema si odluka svake od kojih je Institut Glina ponudio nagradu od 1.000.000 američkih dolara. Iznoseći ovih sedam problema na sud matematičara, Institut Glina ih je uporedio s 23 problema D. Hilberta, koji su imali veliki utjecaj na matematiku dvadesetog stoljeća. Većina Hilbertovih 23 problema već je riješena, a samo jedan - Riemannova hipoteza - uvršten je na listu milenijskih problema. Od decembra 2012. godine riješen je samo jedan od sedam milenijumskih problema (Poincaréova hipoteza). Nagrada za njegovo rješenje dodijeljena je ruskom matematičaru Grigoriju Perelmanu, koji ju je odbio.

Evo popisa ovih sedam zadataka:

# 1. Jednakost klasa P i NP

Ako može biti pozitivan odgovor na pitanje brzo provjeriti (koristeći neke pomoćne informacije koje se nazivaju certifikatom) da li je istina da i sam odgovor (zajedno sa certifikatom) na ovo pitanje može biti brzo naći? Problemi prvog tipa pripadaju klasi NP, drugog klasi P. Problem jednakosti ovih klasa jedan je od najvažnijih problema u teoriji algoritama.

# 2. Hodgeova hipoteza

Važan problem u algebarskoj geometriji. Nagađanje opisuje klase komologije na složenim projektivnim varijantama koje su ostvarene algebarskim podvrstama.

Br. 3. Poincaréova hipoteza (dokazao G.Ya. Perelman)

Smatra se najpoznatijim problemom topologije. Jednostavno rečeno, ona tvrdi da svaki 3D "objekt" koji ima neka svojstva trodimenzionalne sfere (na primjer, svaka petlja unutar nje mora biti kontraktibilna) mora biti sfera do deformacije. Nagrada za dokazivanje Poincaréove pretpostavke dodijeljena je ruskom matematičaru G.Ya.Perelmanu, koji je 2002. objavio seriju djela iz kojih slijedi valjanost Poincaréove nagađanja.

Br. 4. Riemannova hipoteza

Hipoteza kaže da sve netrivijalne (tj. Koji imaju nenoviti imaginarni dio) nule Riemannove zetske funkcije imaju stvarni dio 1/2. Riemannova hipoteza bila je Hilbertov osmi problem.

Br. 5. Young - Millsova teorija

Zadatak iz područja fizike elementarnih čestica. Potrebno je dokazati da za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu skupinu G postoji kvantna Yang - Millsova teorija za četverodimenzionalni prostor i da ima masni defekt koji nije nula. Ova izjava je u skladu s eksperimentalnim podacima i numeričkim simulacijama, ali još uvijek nije dokazana.

Br. 6. Postojanje i glatkost rješenja Navier - Stokesovih jednadžbi

Navier-Stokesove jednadžbe opisuju kretanje viskozne tečnosti. Jedan od najvažnijih zadataka u hidrodinamici.

Br. 7. Birch - Swinnerton-Dyer-ova hipoteza

Nagađanja su povezana s jednadžbama eliptičnih krivulja i skupom njihovih racionalnih rješenja.

Nerješivi problemi su 7 zanimljivih matematičkih problema. Svakog su od njih svojevremeno predložili poznati naučnici, obično u obliku hipoteza. Mnogo decenija matematičari širom svijeta zbunjuju svoje rješenje. Oni koji uspiju bit će nagrađeni s milion američkih dolara koje nudi Institut za glinu.

Institut za glinu

Ovo je ime privatne neprofitne organizacije sa sjedištem u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga harvardski matematičar A. Jeffy i biznismen L. Clay 1998. godine. Cilj Instituta je popularizacija i razvoj matematičkih znanja. Da bi to postigla, organizacija dodeljuje nagrade naučnicima i sponzorima koji obećavaju istraživanje.

Početkom 21. vijeka, Matematički institut Glina ponudio je nagradu onima koji rješavaju takozvane najteže nerješive probleme, nazivajući njihovu listu problemima Milenijumske nagrade. S Hilbertove liste u nju je uvrštena samo Riemannova hipoteza.

Milenijumski izazovi

Lista Instituta za glinu prvobitno je sadržavala:

• hipoteza o Hodgeovom ciklusu;
• jednačine Yang-Millsove kvantne teorije;
• poincaréova hipoteza;
• problem jednakosti klasa P i NP;
• riemannova hipoteza;
• postojanje i glatkost njegovih rješenja;
• problem Birch-Swinnerton-Dyer.

Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa, jer mogu imati mnoge praktične implementacije.

Ono što je Grigory Perelman dokazao

Godine 1900. poznati naučnik-filozof Henri Poincaré sugerirao je da je bilo koji jednostavno povezan kompaktni 3-mnogostruk bez granice homeomorfan trodimenzionalnoj sferi. Generalno, njegov dokaz nije pronađen čitav vijek. Tek 2002-2003. Matematičar iz Sankt Peterburga G. Perelman objavio je niz članaka o rješenju Poincaréova problema. Imali su efekat eksplozije bombe. Poincaréova hipoteza 2010. godine izuzeta je s popisa "Nerešenih problema" Instituta za glinu, a od samog Perelmana zatraženo je da zbog njega dobije značajnu nagradu, što je ovaj odbio, bez obrazloženja razloga svoje odluke.

Najrazumljivije objašnjenje onoga što je ruski matematičar uspio dokazati može se dati zamišljanjem da se gumeni disk navlači preko krafne (torusa), a zatim pokušavaju povući ivice njegovog kruga u jednu tačku. To očito nije moguće. Druga je stvar ako ovaj eksperiment izvodite s loptom. U ovom slučaju, naizgled trodimenzionalna sfera, koja nastaje kao rezultat diska, čiji je opseg hipotetičkim kabelom povučen do točke, bit će trodimenzionalna u razumijevanju obične osobe, ali dvodimenzionalna u smislu matematike.

Poincaré je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekt", čija se površina može u jednom trenutku sastaviti, a Perelman je to mogao dokazati. Stoga se lista "nerješivih zadataka" danas sastoji od 6 problema.

Yang-Millsova teorija

Ovaj matematički problem predložili su njegovi autori 1954. godine. Naučna formulacija teorije je sljedeća: za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu skupinu postoji kvantna teorija prostora koju su stvorili Yang i Mills, a istovremeno ima nulti defekt mase.

Ako govorimo jezikom razumljivim običnoj osobi, interakcije između prirodnih objekata (čestice, tijela, valovi itd.) Podijeljene su u 4 vrste: elektromagnetske, gravitacijske, slabe i jake. Mnogo godina fizičari pokušavaju stvoriti opću teoriju polja. To bi trebalo postati alat za objašnjavanje svih ovih interakcija. Yang-Millsova teorija je matematički jezik pomoću kojeg je postalo moguće opisati 3 od 4 osnovne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može pretpostaviti da su Young i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.

Pored toga, nelinearnost predloženih jednadžbi čini ih izuzetno teškim za rješavanje. Za male konstante sprege mogu se približno riješiti u obliku niza teorije perturbacije. Međutim, još nije jasno kako se ove jednadžbe mogu riješiti jakim sprezanjem.

Navier-Stokesove jednadžbe

Ovi izrazi opisuju procese poput strujanja zraka, protoka fluida i turbulencije. Za neke određene slučajeve već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali to niko nije uspio učiniti za opću. Istovremeno, numeričkim simulacijama za određene vrijednosti brzine, gustine, pritiska, vremena itd., Mogu se postići izvrsni rezultati. Ostaje nadati se da će netko moći primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe u suprotnom smjeru, odnosno izračunati parametre uz njihovu pomoć ili dokazati da ne postoji metoda rješenja.

Birch - Swinnerton-Dyer problem

Kategorija "Nerešeni problemi" takođe uključuje hipotezu koju su predložili britanski naučnici sa Univerziteta u Cambridgeu. Još prije 2300 godina, drevni grčki naučnik Euklid dao je cjelovit opis rješenja jednadžbe x2 + y2 \u003d z2.

Ako za svaki od prostih brojeva izbrojimo broj bodova na krivulji modulom njenog modula, dobit ćemo beskonačan skup cijelih brojeva. Ako je posebno "zalijepite" u 1 funkciju kompleksne varijable, tada ćete dobiti Hasse-Weil-ovu zeta funkciju za krivulju trećeg reda, označenu slovom L. Sadrži informacije o ponašanju modula svih prostih brojeva odjednom.

Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer pretpostavili su o eliptičnim krivuljama. Prema njoj, struktura i broj skupa njegovih racionalnih odluka povezani su s ponašanjem L-funkcije u jedinstvu. Trenutno nedokazana Birch-Swinnerton-Dyerova pretpostavka ovisi o opisu algebarskih jednačina stupnja 3 i jedina je relativno jednostavna opća metoda za izračunavanje ranga eliptičnih krivulja.

Da bismo razumjeli praktičnu važnost ovog problema, dovoljno je reći da se u modernoj kriptografiji na eliptičnim krivuljama zasniva čitava klasa asimetričnih sistema, a domaći standardi digitalnog potpisa temelje se na njihovoj primjeni.

Jednakost klasa p i np

Ako su ostatak Milenijumskih problema čisto matematički, onda je ovaj povezan sa trenutnom teorijom algoritama. Problem koji se tiče jednakosti klasa p i np, poznat i kao Cook-Levinov problem, može se lako formulirati na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti dovoljno brzo, tj. U polinomnom vremenu (PV). Onda je li tačno reći da se odgovor na to može naći prilično brzo? Zvuči još jednostavnije: nije li zaista teže provjeriti rješenje problema nego ga pronaći? Ako se ikad dokaže jednakost klasa p i np, tada se svi problemi selekcije mogu riješiti u PV. Trenutno mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove izjave, iako ne mogu dokazati suprotno.

Riemannova hipoteza

Do 1859. godine nije identificiran obrazac koji bi opisivao kako se prosti brojevi raspoređuju među prirodnima. Možda je to bilo zbog činjenice da se nauka bavila drugim pitanjima. Međutim, sredinom 19. stoljeća situacija se promijenila i oni su postali jedan od najrelevantnijih koje su matematičari počeli proučavati.

Riemannova hipoteza, koja se pojavila u ovom periodu, pretpostavka je da postoji određeni obrazac u distribuciji prostih brojeva.

Danas mnogi moderni naučnici vjeruju da će, ako se to dokaže, morati revidirati mnoge temeljne principe moderne kriptografije, koji čine osnovu većine mehanizama elektroničke trgovine.

Prema Riemannovoj hipotezi, priroda distribucije prostih brojeva može se značajno razlikovati od onoga što se trenutno pretpostavlja. Činjenica je da do sada nije otkriven sistem distribucije prostih brojeva. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je 2. Ovi brojevi su 11 i 13, 29. Ostali prosti brojevi čine nakupine. To su 101, 103, 107 itd. Naučnici već dugo sumnjaju da takvi skupovi postoje među vrlo velikim prostim brojevima. Ako se pronađu, tada će snaga modernih kripto ključeva biti upitna.

Hipoteza o Hodgeovim ciklusima

Ovaj još uvijek neriješeni problem formuliran je 1941. godine. Hodgeova hipoteza pretpostavlja mogućnost približavanja oblika bilo kojeg predmeta "lijepljenjem" jednostavnih tijela veće dimenzije. Ova metoda je bila poznata i uspješno primjenjivana dugo vremena. Međutim, nije poznato u kojoj mjeri se pojednostavljenje može izvršiti.

Sada znate koji nerješivi problemi trenutno postoje. Predmet su istraživanja hiljada naučnika širom svijeta. Ostaje nadati se da će u bliskoj budućnosti biti riješeni, a njihova praktična primjena pomoći će čovječanstvu da uđe u novu fazu tehnološkog razvoja.

Pierre Fermat, čitajući "Aritmetiku" Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim zadacima, imao je naviku da zapisuje rezultate svojih razmišljanja na margine knjige u obliku kratkih primjedbi. Protiv osmog problema Diofanta na margini knjige, Fermat je napisao: „ Suprotno tome, nemoguće je razgraditi ili kocku na dvije kocke, ili bikvadrat na dva bikvadrata, i, općenito, ni jedan stepen veći od kvadrata za dva stupnja s istim eksponentom. Otkrio sam zaista divan dokaz za to, ali ta su polja za njega preuska.» / E.T.Bell "Stvoritelji matematike". M., 1979, str. 69 /. Skrećem vam pažnju osnovni dokaz teoreme o farmi, koji može razumjeti bilo koji srednjoškolac koji voli matematiku.

Usporedimo Fermatov komentar o Diofantovom problemu sa modernom formulacijom Fermatove velike teoreme koja ima oblik jednadžbe.
« Jednačina

x n + y n \u003d z n (gdje je n cijeli broj veći od dva)

nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima»

Komentar je u logičnoj vezi sa zadatkom, slično logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što je potvrđeno problemom Diofanta, naprotiv, potvrđuje Fermatov komentar.

Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba s tri nepoznanice ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki pitagorejskih brojeva, onda je, naprotiv, jednačina s tri nepoznanice do stepena većeg od kvadrata

U jednadžbi nema ni naznake njegove povezanosti s problemom Diofanta. Njegova tvrdnja zahtijeva dokaz, ali pod njom ne postoji uvjet iz kojeg proizlazi da nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Meni su poznate varijante dokaza jednačine svedene na sljedeći algoritam.

1. Za zaključak se uzima jednadžba Fermatove teoreme čija se valjanost provjerava uz pomoć dokaza.
2. Poziva se ista jednačina original jednačina iz koje mora proizići njen dokaz.

Kao rezultat, formirana je tautologija: „ Ako jednadžba nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, onda nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevimaDokaz tautologije očito je pogrešan i lišen bilo kakvog smisla. Ali to dokazuje kontradikcija.

• Pretpostavka je suprotna pretpostavci jednačine koju želite dokazati. To ne bi trebalo proturječiti izvornoj jednadžbi, ali proturječi joj. Nema smisla dokazivati \u200b\u200bono što je prihvaćeno bez dokaza, a bez dokaza prihvatiti ono što se traži da se dokaže.
• Na osnovu prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je ona u suprotnosti s izvornom jednačinom i da je netačna.

Stoga je već 370 godina dokaz jednadžbe Fermatove posljednje teoreme nerealiziran san stručnjaka i amatera matematike.

Jednadžbu sam uzeo kao zaključak teoreme, a osmi Diofantov problem i njegovu jednačinu kao uvjet teorema.

„Ako je jednadžba x 2 + y 2 \u003d z 2 (1) ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki pitagorejskih brojeva, a zatim, obrnuto, jednadžba x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 (2) nema rješenja za skup pozitivnih cijelih brojeva. "

Dokazi.

A) Svi znaju da jednadžba (1) ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki pitagorejskih brojeva. Dokažimo da nijedna trojka pitagorejskih brojeva koja je rješenje jednadžbe (1) nije rješenje jednadžbe (2).

Na osnovu zakona reverzibilnosti jednakosti, strane jednadžbe (1) su međusobno zamijenjene. Pitagorejski brojevi (z, x, y) može se protumačiti kao duljina stranica pravokutnog trokuta i kvadrata ( x 2, y 2, z 2) može se protumačiti kao područje kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i nogama.

Pomnožimo kvadrate kvadrata jednačine (1) s proizvoljnom visinom h :

z 2 h \u003d x 2 h + y 2 h (3)

Jednačina (3) može se tumačiti kao jednakost zapremine paralelepipeda zbroju zapremina dva paralelepipeda.

Neka visina tri paralelepipeda h \u003d z :

z 3 \u003d x 2 z + y 2 z (4)

Zapremina kocke se razlaže na dva volumena dva paralelepipeda. Ostavite volumen kocke nepromijenjenim i smanjite visinu prvog paralelepipeda na x i smanjite visinu drugog paralelepipeda na g ... Zapremina kocke veća je od zbira zapremine dvije kocke:

z 3\u003e x 3 + y 3 (5)

Na skupu trojki pitagorejskih brojeva ( x, y, z ) u n \u003d 3 ne može biti rješenja za jednadžbu (2). Stoga je na skupu svih trojki pitagorejskih brojeva nemoguće razgraditi kocku na dvije kocke.

Neka u jednačini (3) visina tri paralelepipeda h \u003d z 2 :

z 2 z 2 \u003d x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Zapremina paralelepipeda rastavlja se na zbroj zapremina dva paralelepipeda.
Ostavite lijevu stranu jednadžbe (6) nepromijenjenom. Na njegovoj desnoj strani je visina z 2 smanjiti na x u prvom mandatu i do u 2 u drugom mandatu

Jednačina (6) pretvorila se u nejednakost:

Volumen paralelepipeda se razlaže na dva volumena dva paralelepipeda.

Ostavite lijevu stranu jednadžbe (8) nepromijenjenom.
S desne strane visina z n-2 smanjiti na x n-2 u prvom roku i smanjiti na y n-2 u drugom mandatu Jednačina (8) pretvara se u nejednakost:

z n\u003e x n + y n

(9)

Na skupu trojki pitagorejskih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednadžbe (2).

Posljedično, na skupu svih trojki pitagorejskih brojeva za sve n\u003e 2 jednadžba (2) nema rješenja.

Dobio "postčudesni dokaz", ali samo za trojke pitagorejski brojevi... Ovo je nedostatak dokaza i razlog odbijanja P. Fermata od toga.

B) Dokažimo da jednadžba (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorovih brojeva, što je neuspjeh porodice proizvoljne trojke pitagorejskih brojeva z \u003d 13, x \u003d 12, y \u003d 5 i porodica proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z \u003d 21, x \u003d 19, y \u003d 16

Obje trojke brojeva su članovi njihovih porodica:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Broj članova porodice (10) i (11) jednak je polovici proizvoda 13 sa 12 i 21 sa 20, odnosno 78 i 210.

Svaki član porodice (10) sadrži z \u003d 13 i varijable x i u 13\u003e x\u003e 0 , 13\u003e y\u003e 0 1

Svaki član porodice (11) sadrži z \u003d 21 i varijable x i u koji uzimaju cjelobrojne vrijednosti 21\u003e x\u003e 0 , 21\u003e y\u003e 0 ... Varijable se postepeno smanjuju za 1 .

Trojke brojeva u nizu (10) i (11) mogu se predstaviti kao niz nejednakosti trećeg stepena:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

i u obliku nejednakosti četvrtog stepena:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Ispravnost svake nejednakosti potvrđuje se povišenjem brojeva u treći i četvrti stepen.

Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dvije kocke manjeg broja. To je ili manje ili više od zbroja kocki dvaju manjih brojeva.

Bikvadrat većeg broja ne može se rastaviti na dva bikvadrata manjeg broja. To je ili manje ili više od zbroja bikvadrata manjeg broja.

Kako se eksponent povećava, sve nejednakosti, osim lijeve krajnje nejednakosti, imaju isto značenje:

Nejednakosti, sve imaju isto značenje: stupanj većeg broja veći je od zbroja potencijala manjih dvaju brojeva s istim eksponentom:

	13 n\u003e 12 n + 12 n; 13 n\u003e 12 n + 11 n; ...; 13 n\u003e 7 n + 4 n; ...; 13 n\u003e 1 n + 1 n	(12)
	21 n\u003e 20 n + 20 n; 21 n\u003e 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n\u003e 1 n + 1 n	(13)

Krajnji lijevi pojam nizova (12) (13) najslabija je nejednakost. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih narednih nejednakosti niza (12) za n\u003e 8 i slijed (13) za n\u003e 14 .

Ne može postojati jednaka jednakost među njima. Proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednadžbe (2) Fermatove velike teoreme. Ako proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva nije rješenje jednadžbe, tada jednadžba nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva, što smo i morali dokazati.

FROM) Fermatov komentar na problem Diofanta kaže da je nemoguće razgraditi se “ općenito, ni jedan stepen veći od kvadrata, za dva stupnja s istim eksponentom».

Poljupci stepen veći od kvadrata zaista je nemoguće rastaviti na dva stepena s istim eksponentom. Neprimjereno stepen veći od kvadrata može se rastaviti na dva stepena s istim eksponentom.

Bilo koja proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) mogu pripadati porodici čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z i dva broja manje od z ... Svaki član porodice može se predstaviti u obliku nejednakosti, a sve dobijene nejednakosti mogu se predstaviti kao niz nejednakosti:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n

(14)

Niz nejednakosti (14) započinje nejednakostima u kojima je lijeva strana manja od desne, a završava nejednakostima u kojima je desna strana manja od lijeve. Sa povećanjem eksponenta n\u003e 2 povećava se broj nejednakosti na desnoj strani niza (14). Sa eksponentom n \u003d k sve nejednakosti na lijevoj strani niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednakosti na desnoj strani nejednakosti u nizu (14). Kao rezultat povećanja eksponenta za sve nejednakosti, ispada da je lijeva strana veća od desne:

z k\u003e (z-1) k + (z-1) k; z k\u003e (z-1) k + (z-2) k; ...; z k\u003e 2 k + 1 k; z k\u003e 1 k + 1 k

(15)

Uz daljnji porast eksponenta n\u003e k nijedna nejednakost ne mijenja svoje značenje i ne pretvara se u jednakost. Na temelju toga može se tvrditi da je bilo koja proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) u n\u003e 2 , z\u003e x , z\u003e y

U proizvoljnoj trojki pozitivnih cijelih brojeva z može biti proizvoljno velik prirodni broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatov posljednji teorem je dokazan.

D) Bez obzira koliko je velik broj z , u prirodnom nizu brojeva prije njega postoji velik, ali konačan skup cijelih brojeva, a nakon njega - beskonačan skup cijelih brojeva.

Dokažimo da je čitav beskonačni skup prirodnih brojeva veći od z , tvore trojke brojeva koji nisu rješenja jednadžbe Velikog Fermatovog teorema, na primjer, proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) , pri čemu z + 1\u003e x i z + 1\u003e god za sve vrijednosti eksponenta n\u003e 2 nije rješenje jednadžbe Velikog Fermatovog teorema.

Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) mogu pripadati porodici trostrukih brojeva, od kojih se svaki član sastoji od konstantnog broja z + 1 i dva broja x i u uzimajući različite vrijednosti manje z + 1 ... Članovi porodice mogu biti predstavljeni u obliku nejednakosti u kojima je konstantna lijeva strana manja ili veća od desne strane. Nejednakosti se mogu urediti na redoslijedan način kao niz nejednakosti:

Uz daljnji porast eksponenta n\u003e k do beskonačnosti, nijedna nejednakost niza (17) ne mijenja svoje značenje i pretvara se u jednakost. U nizu (16), nejednakost je nastala od proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) , može biti s desne strane u obliku (z + 1) n\u003e x n + y n ili biti na njegovoj lijevoj strani kao (z + 1) n< x n + y n .

U svakom slučaju, trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) u n\u003e 2 , z + 1\u003e x , z + 1\u003e god u nizu (16) je nejednakost i ne može predstavljati jednakost, tj. ne može predstavljati rješenje jednadžbe Velikog Fermatovog teorema.

Lako je i jednostavno razumjeti podrijetlo niza nejednakosti snage (16), u kojem su posljednja nejednakost na lijevoj i prva nejednakost na desnoj strani nejednakosti suprotnog značenja. Suprotno tome, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i nije lako razumjeti kako se niz nejednakosti (17) formira iz niza nejednakosti (16), u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje.

U nizu (16), povećanje cjelobrojnog stupnja nejednakosti za 1 jedinicu pretvara posljednju nejednakost na lijevoj strani u prvu nejednakost sa suprotnim značenjem na desnoj strani. Dakle, broj nejednakosti na devetoj strani niza se smanjuje, dok se broj nejednakosti na desnoj strani povećava. Između posljednje i prve nejednakosti moći suprotnog značenja nužno postoji jednakost moći. Njegov stupanj ne može biti cijeli broj, jer između dva uzastopna prirodna broja postoje samo nebrojevi. Jednakost snage necjelobrojnog stupnja, prema hipotezi teoreme, ne može se smatrati rješenjem jednadžbe (1).

Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stupanj za 1 jedinicu, tada će se posljednja nejednakost njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednakost suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat, ne ostaje nijedna nejednakost lijeve strane, a ostaju samo nejednakosti desne strane, koje predstavljaju slijed rastućih nejednakosti moći (17). Dalje povećanje njihovog cijelog stepena za 1 jedinicu samo jača njegove nejednakosti u moći i kategorički isključuje mogućnost pojave jednakosti u cjelini.

Stoga, općenito, niti jedna cjelobrojna snaga prirodnog broja (z + 1) niza nejednakosti snage (17) ne može se rastaviti na dvije cjelobrojne snage s istim eksponentom. Prema tome, jednadžba (1) nema rješenja za beskonačni skup prirodnih brojeva, prema potrebi.

Stoga je Fermatov posljednji teorem dokazan u svoj svojoj univerzalnosti:

• u odjeljku A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorejski brojevi (Fermatovo otkriće uistinu je prekrasan dokaz),
• u odjeljku B) za sve članove porodice bilo kojeg tripleta (z, x, y) Pitagorejski brojevi,
• u odjeljku C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne veliki brojevi z
• u odjeljku D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.

Promjene su izvršene 05.09.2010.

Koje se teoreme mogu a ne mogu dokazati kontradikcijom

U objašnjavajućem rječniku matematičkih pojmova data je definicija dokaza suprotne teoreme, suprotne inverznoj teoremi.

„Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teorema (prijedloga), koja se sastoji u dokazivanju ne samog teorema, već njegovog ekvivalenta (ekvivalenta), suprotnog inverznom (inverznom suprotnom) teoremu. Dokaz kontradikcijom koristi se kad god je direktan teorem teško dokazati, a suprotan je lakši za dokazati. Kada se dokazuje kontradikcijom, zaključak teorema zamjenjuje se njegovom negacijom, a obrazloženjem se dolazi do negacije stanja, tj. na kontradikciju, nasuprot (suprotno od onoga što je dato; ovo svođenje na apsurd dokazuje teoremu. "

Dokazi kontradikcijama vrlo su česti u matematici. Dokaz kontradiktornošću zasniva se na zakonu izuzete trećine, a to je da je za dvije izjave (tvrdnje) A i A (negacija A) jedna od njih istinita, a druga netačna. " / Objašnjavajući rječnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Education, 1965.- 539 str.: Ilustr.-C.112 /.

Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokazivanja kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je logična metoda i da pripada logici. Da li je dopušteno reći da se dokaz kontradikcijom „koristi kad god je direktan teorem teško dokazati“, a zapravo se koristi onda i samo ako za njega ne postoji zamjena?

Karakterizacija međusobnog odnosa direktnih i inverznih teorema zaslužuje posebnu pažnju. „Obrnuti teorem za datu teoremu (ili za datu teoremu) je teorema u kojoj je uslov zaključak, a zaključak uslov dane teoreme. Ovaj se teorem u odnosu na obratni teorem naziva direktnim teoremom (izvornikom). U isto vrijeme, obratni teorem obrnutom teoremu bit će zadati teorem; stoga se direktni i inverzni teoremi nazivaju međusobno inverznim. Ako je izravan (zadati) teorem istinit, tada obrnuti teorem nije uvijek istinit. Na primjer, ako je četverokut romb, tada su njegove dijagonale međusobno okomite (izravna teorema). Ako su dijagonale u četverokutu međusobno okomite, tada je četverokut romb - to nije tačno, odnosno obrnuta teorema nije tačna. " / Objašnjavajući rječnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Education, 1965.- 539 str.: Ilustr.-C.261 /.

Ova karakteristika odnosa između izravnog i inverznog teorema ne uzima u obzir činjenicu da se uvjet izravnog teorema uzima kao dat, bez dokaza, tako da njegova ispravnost nije zajamčena. Uvjet obratnog teorema ne uzima se kao dat, jer je to zaključak dokazane direktne teoreme. Njegova ispravnost potvrđuje dokaz direktnog teorema. Ova suštinska logička razlika između uvjeta direktne i inverzne teoreme pokazuje se presudnom u pitanju koji teoremi mogu, a koji se logičkom metodom ne mogu dokazati kontradikcijom.

Pretpostavimo da postoji direktna teorema na umu, što se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali je teško. Oblikujmo to u opštem obliku u kratkom obliku kako slijedi: od A treba E ... Simbol A bitan je zadati uslov teorema, uzet bez dokaza. Simbol E značenje zaključka teoreme, koji se mora dokazati.

Dokazat ćemo izravni teorem kontradikcijom, logično metoda. Za dokazivanje teoreme koja se koristi koristi se logička metoda ne matematički stanje i logično stanje. To se može dobiti ako je matematički uslov teorema od A treba E , dodatak sa suprotnim stanjem od A ne radi to E .

Rezultat je logičan kontradiktorni uvjet novog teorema, koji sadrži dva dijela: od A treba E i od A ne radi to E ... Rezultirajući uvjet novog teorema odgovara logičkom zakonu izuzete sredine i odgovara dokazivanju teorema kontradikcijom.

Prema zakonu, jedan dio kontradiktornog stanja je netačan, drugi dio je istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima svoj zadatak i ima za cilj utvrditi koji je točno dio dva dijela uslova teoreme netačan. Čim se utvrdi lažni dio stanja, utvrdit će se da je drugi dio istiniti dio, a treći je isključen.

Prema objašnjenom rječniku matematičkih pojmova, "Dokaz je rasuđivanje tijekom kojeg se utvrđuje istinitost ili neistina bilo koje izjave (presude, izjave, teorema)"... Dokazi kontradiktornošću postoji obrazloženje tokom kojeg se utvrđuje neistina (apsurdnost) zaključka koji proizlazi iz lažno uvjeti teorema koji se dokazuju.

Dato: od A treba E i od A ne radi to E .

Dokazati: od A treba E .

Dokazi: Logički uvjet teorema sadrži kontradikciju koja zahtjeva njegovo rješavanje. Proturječnost uvjeta mora pronaći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se ispostavlja lažnim uz besprijekorno obrazloženje i pogreške. Uz logično ispravno obrazloženje, razlog lažnog zaključka može biti samo kontradiktorni uvjet: od A treba E i od A ne radi to E .

Nema sjene sumnje da je jedan dio stanja netačan, a drugi u ovom slučaju istinit. Oba dijela uvjeta imaju isto podrijetlo, prihvaćaju se kao podaci, pretpostavljaju se, podjednako mogući, podjednako prihvatljivi itd. U toku logičkog zaključivanja nije pronađena niti jedna logička značajka koja bi razlikovala jedan dio stanja od drugog. Dakle, u istoj mjeri u kojoj to može biti od A treba E i možda od A ne radi to E ... Izjava od A treba E možda lažno, zatim izjava od A ne radi to E biće istina. Izjava od A ne radi to E može biti netačno, onda izjava od A treba E biće istina.

Zbog toga je nemoguće dokazati direktni teorem kontradikcijom.

Sada ćemo isti direktni teorem dokazati uobičajenom matematičkom metodom.

Dato: A .

Dokazati: od A treba E .

Dokazi.

1. Of A treba B

2. Of B treba IN (prema prethodno dokazanom teoremu)).

3. Of IN treba D (prema prethodno dokazanom teoremu).

4. Of D treba D (prema prethodno dokazanom teoremu).

5. Of D treba E (prema prethodno dokazanom teoremu).

Na osnovu zakona tranzitivnosti, od A treba E ... Direktni teorem dokazuje se uobičajenom metodom.

Neka dokazani direktni teorem ima ispravan obratni teorem: od E treba A .

Dokažimo to uobičajenim matematički metoda. Dokaz obrnutog teorema može se simbolički izraziti kao algoritam matematičkih operacija.

Dato: E

Dokazati: od E treba A .

Dokazi.

1. Of E treba D

2. Of D treba D (prethodno dokazanim obratnim teoremom).

3. Of D treba IN (prethodno dokazanim obratnim teoremom).

4. Of IN ne radi to B (obrnuti teorem nije istinit). Zbog toga od B ne radi to A .

U ovoj situaciji nema smisla nastaviti matematički dokaz obratnog teorema. Razlog za situaciju je logičan. Nemoguće je nečim zamijeniti netačan obratni teorem. Stoga je nemoguće dokazati ovaj obratni teorem uobičajenom matematičkom metodom. Sva se nada u dokaz ovog obratnog teorema metodom kontradikcije.

Da bi se to dokazalo kontradiktornom metodom, potrebno je zamijeniti njegovo matematičko stanje logičkim kontradiktornim uvjetom, koji u svom značenju sadrži dva dijela - lažni i istiniti.

Obrnuti teorem navodi: od E ne radi to A ... Njeno stanje E , iz čega slijedi zaključak A , rezultat je dokazivanja direktne teoreme uobičajenom matematičkom metodom. Ovaj uslov se mora čuvati i dopuniti izjavom od E treba A ... Kao rezultat dodavanja dobiva se kontradiktorni uslov novog obratnog teorema: od E treba A i od E ne radi to A ... Na osnovu ovoga logično kontradiktornom stanju, obratni se teorem može dokazati pomoću tačnog logično samo obrazloženje i samo, logično kontradiktornošću. U dokaz kontradiktornošću, bilo koje matematičke radnje i operacije podređene su logičkim i stoga se ne računaju.

U prvom dijelu kontradiktorne izjave od E treba A stanje E dokazano je dokazom direktne teoreme. U drugom dijelu od E ne radi to A stanje E je pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Neki od njih su lažni, a drugi tačni. Potrebno je dokazati koji je od njih netačan.

Dokazujemo pomoću tačnog logično obrazloženje i utvrdi da je njegov rezultat lažni, apsurdni zaključak. Razlog lažnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uslov teoreme, koji sadrži dva dijela - lažni i istiniti. Samo izjava može biti lažni dio od E ne radi to A , u kojem E je prihvaćen bez dokaza. Po tome se razlikuje od E odobrenje od E treba A , što dokazuje dokaz direktnog teorema.

Stoga je tačna sljedeća izjava: od E treba A , kako je potrebno za dokazivanje.

Zaključak: logičkom metodom, kontradikcijom, dokazuje se samo onaj obratni teorem koji ima izravan teorem dokazan matematičkom metodom i koji se matematičkom metodom ne može dokazati.

Dobijeni zaključak poprima izuzetnu važnost u odnosu na metod dokazivanja kontradiktornošću velikog Fermatova teorema. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne temelji se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom. Dokaz Wilesove velike Fermatove teoreme nije izuzetak.

Dmitrij Abrarov u svom članku "Fermatova teorema: Fenomen Wilesovih dokaza" objavio je komentar Wilesovog dokaza o Velikoj Fermaovoj teoremi. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje veliki Fermatov teorem uz pomoć izvanrednog nalaza njemačkog matematičara Gerharda Freya (rođ. 1944.), koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , s drugom, potpuno drugačijom jednadžbom. Ova nova jednadžba data je posebnom krivuljom (koja se naziva Frey-ova eliptična krivulja). Freyeva krivulja data je jednadžbom vrlo jednostavnog oblika:
.

“Frey je, naime, upoređivao svako rješenje (a, b, c) Fermatova jednadžba, odnosno brojevi koji zadovoljavaju odnos a n + b n \u003d c niznad krive. U ovom slučaju, odavde bi slijedila velika Fermatova teorema.(Citat: Abrarov D. "Fermatova teorema: fenomen dokazivanja Wilesa")

Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da se izjednači velika Fermaova teorema x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ta su rješenja, prema Freyevoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) \u003d 0 , što je dato njegovom eliptičnom krivuljom.

Andrew Wiles prihvatio je ovo izvanredno Freyjevo otkriće i s njim prošao matematički metoda je dokazala da ovo otkriće, odnosno Freyova eliptična krivulja, ne postoji. Prema tome, ne postoji jednadžba i njena rješenja koja su dana nepostojećom eliptičnom krivuljom, stoga je Wiles trebao prihvatiti zaključak da jednadžba Velikog Fermatovog teorema i same Fermatove teoreme ne postoje. Međutim, donio je skromniji zaključak da jednadžba velikog Fermatova teorema nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Možda je nepobitna činjenica da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je po značenju upravo suprotna onome što navodi Fermatova posljednja teorema. Obavezuje Wilesa da Fermatov posljednji teorem dokaže kontradiktornošću. Slijedit ćemo njegov primjer i vidjeti što će proizaći iz ovog primjera.

Fermatova posljednja teorema navodi da je jednačina x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Prema logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, ova se izjava čuva, uzima kao data bez dokaza, a zatim se dopunjava suprotnom izjavom u značenju: jednadžba x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Navodna izjava se takođe prihvata kao data, bez dokaza. Obje izjave, razmatrane sa stanovišta osnovnih zakona logike, jednako su valjane, jednake i podjednako moguće. Kroz ispravno obrazloženje potrebno je utvrditi koja je netačna, da bi se zatim utvrdilo da li je druga tvrdnja istinita.

Ispravno obrazloženje završava se lažnim, apsurdnim zaključkom, čiji logični razlog može biti samo kontradiktorni uslov teorema koji se dokazuje, a koji sadrži dva dijela suprotnog značenja. Oni su bili logični razlog apsurdnog zaključka, rezultat dokazivanja kontradikcijama.

Međutim, tokom logički ispravnog zaključivanja nije pronađen nijedan znak kojim bi se moglo utvrditi koja je konkretna izjava netačna. To bi mogla biti izjava: jednadžba x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi, to može biti i izjava: jednačina x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Kao rezultat obrazloženja, može biti samo jedan zaključak: posljednji Fermatov teorem ne može se dokazati kontradikcijom.

Sasvim bi druga stvar bila da je Fermatov posljednji teorem obratni teorem koji ima izravan teorem dokazan uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da je riječ o izravnoj teoremi, njezin se dokaz ne bi trebao temeljiti na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na uobičajenoj matematičkoj metodi.

Prema D. Abrarovu, najpoznatiji od modernih ruskih matematičara, akademik V. I. Arnold, reagirao je na Wilesov dokaz "aktivno skeptično". Akademik je izjavio: „ovo nije prava matematika - prava matematika je geometrijska i jaka u vezi s fizikom.“ (Citat: Abrarov D. „Fermatova teorema: fenomen Wilesovih dokaza.“ Izjava akademika izražava samu suštinu Wilesova nematematskog dokaza o teoremu Velikog Fermata.

Proturječnošću je nemoguće dokazati niti da jednadžba teorema Velikog Fermata nema rješenja, niti da ima rješenja. Wilesova greška nije matematička, već logična - upotreba dokaza kontradiktornošću tamo gdje njegova upotreba nema smisla i ne dokazuje teorem Velikog Fermata.

Fermatov posljednji teorem nije dokazan uobičajenom matematičkom metodom, ako je dana: jednačina x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, a ako je potrebno u njemu dokazati: jednadžba x n + y n \u003d z n gdje n\u003e 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorem, već tautologija lišena značenja.

Bilješka. O mom dokazu BTF-a raspravljalo se na jednom od foruma. Jedan od Trotilovih saradnika, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću mjerodavnu izjavu pod naslovom "Kratko prepričavanje onoga što je učinio Mirgorodski". Citiram to doslovno:

« A. Dokazao je da ako z 2 \u003d x 2 + y onda z n\u003e x n + y n ... To je dobro poznata i sasvim očigledna činjenica.

IN. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i ne-pitagorejsku i pokazao je jednostavnom pretragom da je za određenu, specifičnu porodicu trojki (78 i 210 komada) BTF ispunjen (i samo za njega).

OD. A onda autor izostavlja činjenicu da < u narednom stepenu može biti = , ne samo > ... Jednostavan kontraprimjer - tranzicija n \u003d 1 u n \u003d 2 u pitagorejskom tripletu.

D. Ova tačka ne doprinosi ničemu značajnom za dokaz BTF-a. Zaključak: BTF nije dokazan. "

Razmatrat ću njegov zaključak tačku po tačku.

A. Dokazao je BTF za čitav beskonačni skup trojki pitagorejskih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam otkrio, već ponovno otkrio. A otkrio ga je, kako vjerujem, sam P. Fermat. Ovo je Fermat mogao imati na umu kad je napisao:

"Otkrio sam zaista divan dokaz za to, ali ta su polja za njega preuska." Ova se moja pretpostavka zasniva na činjenici da u Diofantovom problemu, nasuprot kojem, na marginama knjige, napisao je Fermat, govorimo o rješenjima diofantske jednadžbe, koje su trojke pitagorejskih brojeva.

Beskonačni skup trojki Pitagorinih brojeva rješenja su diofatske jednadžbe, a u Fermatovoj teoremi, naprotiv, niti jedno rješenje ne može biti rješenje jednadžbe Fermatove teoreme. I Fermaov zaista divan dokaz izravno je povezan s ovom činjenicom. Kasnije je Fermat mogao svoju teoremu proširiti na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva, BTF ne pripada „skupu izuzetno lijepih teorema“. To je moja pretpostavka, koja se ne može dokazati niti opovrgnuti. Može se prihvatiti i odbiti.

IN. U ovom trenutku dokazujem da su zadovoljene i porodica proizvoljno uzete pitagorejske trojke brojeva i porodica proizvoljno uzete nepitagorejske trojke BTF brojeva. To je neophodna, ali nedovoljna i posredna karika u mom dokazivanju BTF-a. Primjeri koje sam uzeo iz porodice trojke pitagorejskih brojeva i porodice trojke ne-pitagorejskih brojeva imaju značenje konkretnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.

Trotilova tvrdnja da sam „jednostavnom pretragom pokazao da je BTF ispunjen (i samo za njega) za određenu porodicu trojki (78 i 210 komada) lišena je osnova. Ne može opovrgnuti činjenicu da jednako tako mogu uzeti i druge primjere pitagorejskih i ne-pitagorejskih trojki kako bih dobio specifičnu specifičnu porodicu jedne i druge trojke.

Koji god par trojki uzmem, po mom mišljenju njihovu pogodnost za rješavanje problema može provjeriti samo metoda „jednostavnog pretraživanja“. Neki drugi metod mi nije poznat i nije potreban. Ako se Trotilu to ne sviđa, onda je trebao predložiti drugu metodu, koja mu se ne sviđa. Bez nuđenja ičega zauzvrat, netačno je osuđivati \u200b\u200b"jednostavnu grubu silu", koja je u ovom slučaju nezamjenjiva.

OD. Izostavio \u003d \u003d< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), u kojoj je stepen n\u003e 2 — cijela pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti proizlazi obavezno razmatranje jednadžbe (1) za necjelobrojni stepen n\u003e 2 ... Brojanje trotila obavezno uzimajući u obzir jednakost između nejednakosti, zapravo uzima u obzir potrebno u dokazu BTF-a, razmatranje jednačine (1) za nepotpun značenje stepena n\u003e 2 ... Učinio sam to za sebe i pronašao jednadžbu (1) za nepotpun značenje stepena n\u003e 2 ima rješenje od tri broja: z, (z-1), (z-1) sa necijelim eksponentom.