Ako vypočítať strany trojuholníka na výšku. Nájdite najväčšiu výšku trojuholníka

Výpočet výšky trojuholníka závisí od samotného obrázku (rovnoramenné, rovnostranné, mnohostranné, obdĺžnikové). V praktickej geometrii sa zložité vzorce spravidla nevyskytujú. Stačí poznať všeobecný princíp výpočtov, aby mohol byť univerzálne použiteľný pre všetky trojuholníky. Dnes vám predstavíme základné princípy výpočtu výšky figúry, výpočtové vzorce na základe vlastností výšok trojuholníkov.

Čo je výška?

Výška má niekoľko charakteristických vlastností

Bod, kde sa stretnú všetky výšky, sa nazýva ortocentrum. Ak je trojuholník špicatý, potom je ortocentrum vo vnútri obrázku, ak je jeden z rohov tupý, potom je ortocentrum zvyčajne vonku.
V trojuholníku, kde je jeden uhol 90 °, sú ortocentrum a vrchol rovnaké.
V závislosti od typu trojuholníka existuje niekoľko vzorcov na zistenie výšky trojuholníka.

Tradičné výpočty

Ak p je polovica obvodu, potom a, b, c sú označenia strán požadovaného obrázku, h je výška, potom prvý a najjednoduchší vzorec bude vyzerať takto: h = 2 / a √p (pa) (pb) (pc) ...
V školských učebniciach sa často môžete stretnúť s problémami, pri ktorých je známa hodnota jednej zo strán trojuholníka a hodnota uhla medzi touto stranou a základňou. Potom bude vzorec na výpočet výšky vyzerať takto: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Keď vezmeme do úvahy plochu trojuholníka - S, ako aj dĺžku základne - a, budú výpočty čo najjednoduchšie. Výšku zistíme podľa vzorca: h = 2S / a.
Keď je daný polomer kruhu opísaného okolo obrázku, najskôr vypočítame dĺžky jeho dvoch strán a potom pristúpime k výpočtu danej výšky trojuholníka. Na to použijeme vzorec: h = b ∙ c / 2R, kde b a c sú dve strany trojuholníka, ktoré nie sú základňou, a R je polomer.

Ako zistiť výšku rovnoramenného trojuholníka?

Všetky strany tohto obrázku sú ekvivalentné, ich dĺžky sú rovnaké, takže uhly v základni budú tiež rovnaké. Z toho vyplýva, že výšky, ktoré nakreslíme na základne, budú tiež rovnaké, sú tiež mediány a bisektory súčasne. Jednoducho povedané, výška v rovnoramennom trojuholníku rozdeľuje základňu na dve časti. Trojuholník s pravým uhlom, ktorý sa ukázal po nakreslení výšky, bude zvážený pomocou Pytagorovej vety. Označme stranu ako a a základňu ako b, potom výšku h = ½ √4 a2 - b2.

Ako zistiť výšku rovnostranného trojuholníka?

Vzorec pre rovnostranný trojuholník (obrázky, kde sú všetky strany rovnako veľké) možno nájsť na základe predchádzajúcich výpočtov. Je potrebné iba zmerať dĺžku jednej zo strán trojuholníka a označiť ju ako a. Potom sa výška odvodí podľa vzorca: h = √3 / 2 a.

Ako zistím výšku pravouhlého trojuholníka?

Ako viete, uhol v pravouhlom trojuholníku je 90 °. Výška znížená o jednu nohu je zároveň druhou nohou. Na nich budú ležať výšky trojuholníka s pravým uhlom. Ak chcete získať údaje o výške, musíte mierne transformovať existujúci Pytagorov vzorec, ktorý označuje nohy - a a b, a tiež zmerať dĺžku prepony - c.

Nájdite dĺžku nohy (strana, na ktorú bude výška kolmá): a = √ (c2 - b2). Dĺžka druhej nohy sa zistí pomocou presne rovnakého vzorca: b = √ (c2 - b2). Potom môžete začať počítať výšku trojuholníka s pravým uhlom, pričom ste predtým vypočítali plochu obrázku - s. Hodnota výšky h = 2 s / a.

Výpočty so všestranným trojuholníkom

Keď má všestranný trojuholník ostré rohy, je viditeľná výška znížená k základni. Ak má trojuholník tupý uhol, potom môže byť výška mimo obrázku a musíte v ňom mentálne pokračovať, aby ste získali bod spojenia výšky a základne trojuholníka. Najľahším spôsobom, ako zmerať výšku, je vypočítať ju cez jednu zo strán a veľkosť uhlov. Vzorec vyzerá takto: h = b sin y + c sin ß.

Bez ďalších konštrukcií nebude takmer nikdy možné určiť všetky parametre trojuholníka. Tieto konštrukcie sú druhmi grafických charakteristík trojuholníka, ktoré pomáhajú určiť veľkosť strán a uhlov.

Definícia

Jednou z týchto charakteristík je výška trojuholníka. Výška je kolmá na hornú časť trojuholníka na opačnú stranu. Vrchol je jedným z troch bodov, ktoré spolu s tromi stranami tvoria trojuholník.

Definícia výšky trojuholníka môže znieť takto: výška je kolmica vedená od vrcholu trojuholníka k priamke obsahujúcej opačnú stranu.

Táto definícia znie komplikovanejšie, ale presnejšie odráža situáciu. Faktom je, že v tupom trojuholníku nie je možné nakresliť výšku vnútri trojuholníka. Ako vidíte na obrázku 1, výška je v tomto prípade vonkajšia. Navyše nie je štandardnou situáciou vykresliť výšku do pravouhlého trojuholníka. V tomto prípade prechádzajú nohami dve z troch výšok trojuholníka a tretia od vrcholu po preponu.

Ryža. 1. Výška tupého trojuholníka.

Výška trojuholníka je spravidla označená písmenom h. Výška je uvedená aj na iných obrázkoch.

Ako zistím výšku trojuholníka?

Existujú tri štandardné spôsoby, ako zistiť výšku trojuholníka:

Prostredníctvom Pytagorovej vety

Táto metóda sa používa pre rovnostranné a rovnoramenné trojuholníky. Analyzujme riešenie pre rovnoramenný trojuholník a potom povedzme, prečo rovnaké riešenie platí pre rovnostranný.

Vzhľadom na to: rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AC. AB = 5, AC = 8. Nájdite výšku trojuholníka.

Ryža. 2. Kreslenie k problému.

V prípade rovnoramenného trojuholníka je dôležité vedieť, na ktorej strane je základňa. To určuje strany, ktoré by mali byť rovnaké, ako aj výšku, v ktorej niektoré vlastnosti pôsobia.

Vlastnosti výšky rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni:

Výška sa zhoduje s mediánom a osou
Rozdelí základňu na dve rovnaké časti.

Výšku označíme ako ВD. DС nájdeme ako polovicu od základne, pretože výška bodu D delí základňu na polovicu. DC = 4

Výška je kolmá, čo znamená, že BDC je pravouhlý trojuholník a výška BH je nohou tohto trojuholníka.

Nájdite výšku podľa Pytagorovej vety: $$ BD = \ sqrt (BC ^ 2-HC ^ 2) = \ sqrt (25-16) = 3 $$

Akýkoľvek rovnostranný trojuholník je rovnoramenný, iba jeho základňa sa rovná bočným stranám. To znamená, že môžete použiť rovnaký postup.

Prostredníctvom oblasti trojuholníka

Túto metódu je možné použiť pre akýkoľvek trojuholník. Aby ste to mohli použiť, musíte poznať hodnotu oblasti trojuholníka a strany, na ktorú je kreslená výška.

Výšky v trojuholníku nie sú rovnaké, takže pre zodpovedajúcu stranu bude možné vypočítať zodpovedajúcu výšku.

Vzorec pre oblasť trojuholníka je: $$ S = (1 \ over2) * bh $$, kde b je strana trojuholníka a h je výška nakreslená k tejto strane. Vyjadrime výšku podľa vzorca:

$$ h = 2 * (S \ nad b) $$

Ak je plocha 15, strana je 5, potom výška $$ h = 2 * (15 \ over5) = 6 $$

Prostredníctvom trigonometrickej funkcie

Tretia metóda je vhodná, ak poznáte stranu a uhol v základni. Na to budete musieť použiť goniometrickú funkciu.

Ryža. 3. Kresba k problému.

Uhol BCN = 300 a strana BC = 8. Stále máme rovnaký pravouhlý trojuholník BCH. Použime sínus. Sínus je pomer opačnej nohy k prepone, čo znamená: BH / BC = cos BCH.

Roh je známy, rovnako ako bok. Vyjadrime výšku trojuholníka:

$$ BH = BC * \ cos (60 \ unicode (xb0)) = 8 * (1 \ over2) = 4 $$

Kosínová hodnota je spravidla prevzatá z Bradisových tabuliek, ale hodnoty goniometrických funkcií pre 30,45 a 60 stupňov sú tabuľkové čísla.

Čo sme sa naučili?

Dozvedeli sme sa, aká je výška trojuholníka, aké sú výšky a ako sú určené. Zistili sme typické problémy a zapísali sme tri vzorce pre výšku trojuholníka.

Test podľa témy

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.6. Celkový počet prijatých hodnotení: 152.

Trojuholník) alebo prejdite mimo trojuholník v tupom trojuholníku.

Collegiate YouTube

1 / 5

✪ VÝŠKA MEDIÁNSKEHO BISKUSTRÁLNEHO TRIANGLE 7.stupňa

✪ úsečka, stred, výška trojuholníka. Geometria známka 7

Rade 7. stupeň, lekcia 17, mediány, úsečky a výšky trojuholníka

✪ Medián, úsečka, výška trojuholníka | Geometria

To Ako zistiť dĺžku úsečky, medián a výšku? | Botai so mnou # 031 | Boris Trushin

Titulky

Vlastnosti priesečníka troch výšok trojuholníka (ortocentrum)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ Displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(Na preukázanie identity by ste mali použiť vzorce

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ Displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (ES)))

V bode E by ste mali vziať priesečník dvoch výšok trojuholníka.)

Ortocentrum izogonálne konjugát do centra ohraničený kruh .
Ortocentrum leží na jednej priamke s ťažiskom, stredom ohraničený kruh a stred kruhu s deviatimi bodmi (pozri Eulerovu čiaru).
Ortocentrum trojuholník s ostrým uhlom je stred kruhu zapísaného v jeho ortotriangle.
Stred trojuholníka ohraničeného ortocentrom s vrcholmi v stredných bodoch strán tohto trojuholníka. Posledný trojuholník sa vo vzťahu k prvému trojuholníku nazýva komplementárny trojuholník.
Posledná vlastnosť môže byť formulovaná nasledovne: Stred kruhu ohraničeného okolo trojuholníka slúži ako ortocentrum dodatočný trojuholník.
Body súmerné ortocentrum trojuholníka vzhľadom na jeho strany ležia na ohraničenom kruhu.
Body súmerné ortocentrum trojuholníka vzhľadom na stredy strán, ležia tiež na kruhu a zhodujú sa s bodmi diametrálne protiľahlými k zodpovedajúcim vrcholom.
Ak O je stred opísanej kružnice ΔABC, potom O H → = O A → + O B → + O C → (\ Displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
Vzdialenosť od vrcholu trojuholníka k ortocentru je dvojnásobkom vzdialenosti od stredu opísanej kružnice k opačnej strane.
Akýkoľvek segment vybraný z ortocentrum pred prekročením kruhového kruhu je vždy polovične Eulerovým kruhom. Ortocentrum je stredom rovnorodosti týchto dvoch kruhov.
Hamiltonova veta... Tri úsečky spájajúce ortocentrum s vrcholmi trojuholníka s ostrým uhlom ho delia na tri trojuholníky s rovnakým Eulerovým kruhom (kruh s deviatimi bodmi) ako pôvodný trojuholník s ostrým uhlom.
Dôsledky Hamiltonovej vety:
- Tri úsečky spájajúce ortocentrum s vrcholmi trojuholníka s ostrým uhlom ho delia na tri Hamiltonov trojuholník majúce rovnaké polomery ohraničených kruhov.
- Polomery ohraničených kruhov troch Hamiltonove trojuholníky sa rovnajú polomeru kružnice ohraničenej okolo pôvodného trojuholníka s ostrým uhlom.
V trojuholníku s ostrým uhlom leží ortocentrum vo vnútri trojuholníka; v tupom - mimo trojuholníka; v obdĺžnikovom - na vrchole pravého uhla.

Vlastnosti nadmorskej výšky rovnoramenného trojuholníka

Ak sú dve výšky v trojuholníku rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný (Steinerova - Lemusova veta) a tretia výška je súčasne stredom a osou uhla, z ktorého vychádza.
Platí to aj naopak: v rovnoramennom trojuholníku sú dve výšky rovnaké a tretia výška je stredná hodnota a deliaca os.
V rovnostrannom trojuholníku sú všetky tri výšky rovnaké.

Vlastnosti nadmorskej výšky základne trojuholníka

Nadácie výšky tvoria takzvaný ortotriangle, ktorý má svoje vlastné vlastnosti.
Kruh ohraničený ortotrianglom je Eulerov kruh. Tento kruh tiež obsahuje tri stredy strán trojuholníka a tri stredy troch segmentov spájajúcich ortocentrum s vrcholmi trojuholníka.
Ďalšia formulácia poslednej vlastnosti:
- Eulerova veta pre kruh s deviatimi bodmi. Nadácie tri výšokľubovoľný trojuholník, stred jeho troch strán ( základy jeho vnútorných mediány) a stredy troch segmentov spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom, všetky ležia na rovnakom kruhu (na kruh s deviatimi bodmi).
Veta... V každom trojuholníku je segment spájajúci základy dva výšok trojuholník, odreže trojuholník, ako je tento.
Veta... V trojuholníku segment spájajúci základy dva výšok trojuholníky ležiace na dvoch stranách, antiparalelný tretej strane, s ktorou nemá žiadne spoločné body. Prostredníctvom jeho dvoch koncov, ako aj cez dva vrcholy tretej uvedenej strany, môžete vždy nakresliť kruh.

Ďalšie vlastnosti výšky trojuholníka

Ak trojuholník všestranný (scalene), potom jeho vnútornéúsečka čerpaná z akéhokoľvek vrcholu leží medzi vnútorné medián a výška čerpané z rovnakého vrcholu.
Výška trojuholníka je izogonálne spojená s priemerom (polomerom) ohraničený kruhčerpané z rovnakého vrcholu.
V trojuholníku s ostrým uhlom sú jeho dva výšok odstrihnite z nej také trojuholníky.
V pravom trojuholníku výška nakreslený z vrcholu pravého uhla ho rozdelí na dva trojuholníky podobné pôvodnému.

Vlastnosti minima výšok trojuholníka

Najmenšia z výšok trojuholníka má mnoho extrémnych vlastností. Napríklad:

Minimálny ortogonálny priemet trojuholníka na rovné čiary ležiace v rovine trojuholníka má dĺžku rovnajúcu sa najmenšej z jeho výšok.
Minimálny rovný rez v rovine, ktorou je možné ťahať neohýbateľnú trojuholníkovú dosku, musí mať dĺžku rovnajúcu sa najmenšej z výšok tejto dosky.
Pri nepretržitom pohybe dvoch bodov po obvode trojuholníka k sebe nemôže byť maximálna vzdialenosť medzi nimi počas pohybu od prvého stretnutia k druhému menšia ako dĺžka najmenšej z výšok trojuholníka.
Minimálna výška v trojuholníku je vždy vo vnútri tohto trojuholníka.

Základné vzťahy

h a = b ⋅ hriech ⁡ γ = c ⋅ hriech ⁡ β, (\ Displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h a = 2 ⋅ S a, (\ Displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) kde S (\ Displaystyle S)- plocha trojuholníka, a (\ Displaystyle a)- dĺžka strany trojuholníka, na ktorú je výška znížená.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ Displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) kde b ⋅ C (\ Displaystyle b (\ cdot) c)- súčin bokov, R - (\ Displaystyle R-) polomer opísanej kružnice
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ Displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ Displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), kde r (\ Displaystyle r) je polomer vpísanej kružnice.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ Displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b))))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), kde S (\ Displaystyle S)- plocha trojuholníka.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ Displaystyle A = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1 ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), a (\ Displaystyle a)- strana trojuholníka, na ktorú padá výška h a (\ Displaystyle h_ (a)).
Výška rovnoramenného trojuholníka zníženého na základňu: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ Displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2))) ),)

kde C (\ Displaystyle c)- základňa, a (\ Displaystyle a)- bočná.

Veta o výške pre pravouhlý trojuholník

Ak je výška v pravouhlom trojuholníku ABC s dĺžkou h (\ Displaystyle h) nakreslené z vrcholu pravého uhla delí preponu s dĺžkou C (\ Displaystyle c) pre segmenty m (\ Displaystyle m) a n (\ Displaystyle n) zodpovedajúce nohám b (\ Displaystyle b) a a (\ Displaystyle a), potom platia nasledujúce rovnosti.

Výška trojuholníka je kolmica spadnutá z akéhokoľvek vrcholu trojuholníka na opačnú stranu alebo na jej pokračovanie (strana, na ktorú kolmica padá, sa v tomto prípade nazýva základňa trojuholníka).

V tupom trojuholníku padajú dve výšky na predĺženie strán a ležia mimo trojuholníka. Tretí je vo vnútri trojuholníka.

V trojuholníku s ostrým uhlom ležia všetky tri výšky v trojuholníku.

V pravouhlom trojuholníku slúžia nohy ako výšky.

Ako nájsť výšku podľa základne a oblasti

Pripomeňme si vzorec na výpočet plochy trojuholníka. Plocha trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca: A = 1 / 2bh.

A je plocha trojuholníka
b je strana trojuholníka, na ktorú je výška znížená.
h - výška trojuholníka

Pozrite sa na trojuholník a zamyslite sa nad tým, aké hodnoty už poznáte. Ak dostanete oblasť, označte ju písmenom „A“ alebo „S“. Tiež by ste mali dostať význam strany, označte ju písmenom „b“. Ak nedostanete oblasť a stranu, použite inú metódu.

Majte na pamäti, že základňou trojuholníka môže byť ľubovoľná strana, na ktorú je výška znížená (bez ohľadu na to, ako sa trojuholník nachádza). Aby ste to lepšie pochopili, predstavte si, že môžete tento trojuholník otáčať. Otočte ho tak, aby strana, ktorú poznáte, smerovala nadol.

Napríklad plocha trojuholníka je 20 a jedna z jeho strán je 4. V tomto prípade „‘ A = 20 ″ ‘,‘ ‘b = 4 ′“.

Vložte dané hodnoty do vzorca pre výpočet plochy (A = 1 / 2bh) a nájdite výšku. Najprv vynásobte stranu (b) 1/2 a potom delte plochu (A) touto hodnotou. Takto zistíte výšku trojuholníka.

V našom prípade: 20 = 1/2 (4) h

20 = 2 hodiny
10 = h

Nezabudnite na vlastnosti rovnostranného trojuholníka. V rovnostrannom trojuholníku sú všetky strany a všetky uhly rovnaké (každý uhol je 60˚). Ak v takom trojuholníku nakreslíte výšku, získate dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
Uvažujme napríklad o rovnostrannom trojuholníku so stranou 8.

Pamätajte si Pytagorovu vetu. Pytagorova veta hovorí, že v každom pravouholnom trojuholníku s nohami „a“ a „b“ je prepona „c“ rovná: a2 + b2 = c2. Túto vetu možno použiť na nájdenie výšky rovnostranného trojuholníka!

Rozdelte rovnostranný trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky (nakreslite na to výšku). Potom označte strany jedného z pravouhlých trojuholníkov. Strana rovnostranného trojuholníka je prepona „c“ pravouhlého trojuholníka. Noha „a“ sa rovná 1/2 strany rovnostranného trojuholníka a noha „b“ je požadovaná výška rovnostranného trojuholníka.

V našom prípade teda s rovnostranným trojuholníkom so známou stranou 8: c = 8 a a = 4.

Pripojte tieto hodnoty k Pytagorovej vete a vypočítajte b2. Najprv zadajte štvorček „c“ a „a“ (každú hodnotu vynásobte samostatne). Potom odpočítajte a2 od c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Vezmite druhú odmocninu z b2 a zistite výšku trojuholníka. Ak to chcete urobiť, použite kalkulačku. Výsledná hodnota bude výška vášho rovnostranného trojuholníka!

b = √48 = 6,93

Ako nájsť výšku pomocou rohov a strán

Zamyslite sa nad tým, aké hodnoty poznáte. Výšku trojuholníka nájdete, ak poznáte hodnoty strán a uhlov. Napríklad, ak poznáte uhol medzi základňou a bokom. Alebo ak sú známe hodnoty všetkých troch strán. Označme teda strany trojuholníka: „a“, „b“, „c“, rohy trojuholníka: „A“, „B“, „C“ a oblasť - písmeno „S“.

Ak poznáte všetky tri strany, potrebujete plochu trojuholníka a Heronov vzorec.

Ak poznáte obe strany a uhol medzi nimi, môžete oblasť nájsť pomocou nasledujúceho vzorca: S = 1 / 2ab (sinC).

Ak dostanete hodnoty pre všetky tri strany, použite Heronov vzorec. Tento vzorec bude musieť vykonať niekoľko akcií. Najprv musíte nájsť premennú „s“ (týmto písmenom označíme polovicu obvodu trojuholníka). Za týmto účelom zapojte známe hodnoty do tohto vzorca: s = (a + b + c) / 2.

Pre trojuholník so stranami a = 4, b = 3, c = 5, s = (4 + 3 + 5) / 2. Výsledok je: s = 12/2, kde s = 6.

Potom druhou činnosťou nájdeme oblasť (druhá časť Heronovho vzorca). Plocha = √ (s (s-a) (s-b) (s-c)). Nahraďte slovo „oblasť“ ekvivalentným vzorcom na nájdenie oblasti: 1 / 2bh (alebo 1 / 2ah, alebo 1 / 2ch).

Teraz nájdite ekvivalentný výraz pre výšku (h). Pre náš trojuholník bude platiť nasledujúca rovnica: 1/2 (3) h = (6 (6-4) (6-3) (6-5)). Kde 3/2h = √ (6 (2 (3 (1))). Takže 3/2h = √ (36). Na výpočet druhej odmocniny použite kalkulačku. V našom prípade: 3/2h = 6. Takže výška (h) je 4, strana b je základňa.

Ak podľa stavu problému poznáte dve strany a uhol, môžete použiť iný vzorec. Nahraďte oblasť vo vzorci ekvivalentným výrazom: 1 / 2bh. Získate teda nasledujúci vzorec: 1 / 2bh = 1 / 2ab (sinC). Dá sa zjednodušiť na nasledujúci tvar: h = a (sin C) na odstránenie jednej neznámej premennej.

Teraz zostáva vyriešiť výslednú rovnicu. Nechajte napríklad „a“ = 3, „C“ = 40 stupňov. Potom bude rovnica vyzerať takto: „h“ = 3 (hriech 40). Na vypočítanie hodnoty pre „h“ použite kalkulačku a sínusovú tabuľku. V našom prípade h = 1,928.

Ako zistím najvyššiu alebo najnižšiu výšku trojuholníka? Čím nižšia je výška trojuholníka, tým väčšia je výška k nemu nakreslená. To znamená, že najväčšia z výšok trojuholníka je tá, ktorá je nakreslená k svojej najmenšej strane. - ten, ktorý je nakreslený k najväčšej zo strán trojuholníka.

Nájdite maximálnu výšku trojuholníka , oblasť trojuholníka môže byť delená dĺžkou strany, na ktorú je táto výška nakreslená (to znamená dĺžkou najmenšej zo strán trojuholníka).

V súlade s tým d Nájdite najmenšiu výšku trojuholníka plochu trojuholníka je možné rozdeliť dĺžkou jeho najdlhšej strany.

Cieľ 1.

Nájdite najmenšiu výšku trojuholníka, ktorého strany sú 7 cm, 8 cm a 9 cm.

Vzhľadom na:

AC = 7 cm, AB = 8 cm, BC = 9 cm.

Nájsť: Najmenšia výška trojuholníka.

Riešenie:

Najmenšia z výšok trojuholníka je tá, ktorá je nakreslená k jeho najväčšej strane. Musíte teda nájsť výšku AF nakreslenú na stranu pred naším letopočtom.

Pre jednoduchosť uvádzame notáciu

BC = a, AC = b, AB = c, AF = ha.

Výška trojuholníka sa rovná podielu delenia zdvojnásobenej plochy trojuholníka stranou, na ktorú je táto výška nakreslená. možno nájsť pomocou Heronovho vzorca. Preto