V lichobežníku abcd je známe, že ab. Hrazda na skúške
Zdroj hľadania: Rozhodnutie 5346.-13. OGE 2016 Matematika, I.V. Jaščenko. 36 možností.
Úloha 11. V lichobežníku ABCD vieme, že AB = CD, uhol BDA = 54° a uhol BDC = 33°. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Riešenie.
Daný je rovnoramenný lichobežník so stranami AB=CD. Keďže uhly na základniach takéhoto lichobežníka sú rovnaké, máme to a . Nájdite hodnotu uhlov A a D. Z obrázku je možné vidieť, že uhol D (a teda uhol A) sa rovná:
Teraz uvažujme trojuholník ABD, v ktorom sú známe uhly A a BDA, a keďže súčet všetkých uhlov v trojuholníku je 180 stupňov, nájdeme tretí uhol ABD:
odpoveď: 39.
Úloha 12. Na kockovanom papieri 1x1 sú vyznačené tri body: A, B a C. Nájdite vzdialenosť od bodu A po čiaru BC.
Riešenie.
Vzdialenosť od bodu A k čiare BC je normála spustená z bodu A na stranu BC (červená čiara na obrázku). Dĺžka tohto normálu je 3 bunky, to znamená 3 jednotky.
odpoveď: 3.
Úloha 13. Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú správne?
1) Plocha trojuholníka je menšia ako súčin jeho dvoch strán.
2) Uhol vpísaný do kruhu sa rovná zodpovedajúcemu stredovému uhla založenému na rovnakom oblúku.
3) Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť priamku kolmú na túto priamku.
Riešenie.
1) Pravda. Plocha trojuholníka sa rovná súčinu výšky a polovice základne trojuholníka a všetky tieto množstvá sú menšie ako dĺžky akýchkoľvek dvoch jeho strán.
Veta 1 (Tálesova veta). Rovnobežné čiary vyrezávajú proporcionálne segmenty na čiarach, ktoré ich pretínajú (obr. 1).
Definícia 1 . Dva trojuholníky (obr. 2) sa nazývajú podobné, ak sú ich zodpovedajúce strany proporcionálne.
Veta 2 (prvý znak podobnosti). Ak sa uhol prvého trojuholníka rovná uhlu druhého trojuholníka a strany trojuholníkov susediacich s týmito uhlami sú úmerné, potom sú takéto trojuholníky podobné (pozri obr. 2).
Veta 3 (druhý znak podobnosti). Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky podobné (obr. 3).
Veta 4 (Menelaova veta). Ak nejaká priamka pretína strany AB a BC trojuholníka ABC v bodoch X a Y a pokračovanie strany AC je v bode Z (obr. 4), potom
Veta 5. Výšky AA1 a CC1 nech sú nakreslené v ostrouhlom trojuholníku ABC (obr. 5). Potom sú trojuholníky A1 BC1 a ABC podobné a koeficient podobnosti sa rovná cos ∠B.
Lema 1. Ak strany AC a DF trojuholníkov ABC a DEF ležia na tej istej priamke alebo na rovnobežných priamkach (obr. 6), potom
Lema 2. Ak majú dva trojuholníky spoločnú stranu AC (obr. 7), tak
Lema 3. Ak trojuholníky ABC a AB1 C1 majú spoločný uhol A, potom
Lema 4. Plochy podobných trojuholníkov sú spojené ako druhá mocnina koeficientu podobnosti.
Dôkazy niektorých teorémov
Dôkaz vety 4
. Nakreslite priamku cez bod C rovnobežnú s priamkou AB, kým nepretne priamku XZ v bode K (obr. 9). Musíme to dokázať
Zvážte dva páry podobných trojuholníkov:
Vynásobením týchto rovností výraz po výraze dostaneme: 
Q.E.D.
Dôkaz vety 5. Dokážme podobnosť trojuholníkov A1 BC1 a ABC pomocou prvého testu podobnosti. Keďže tieto dva trojuholníky majú spoločný uhol B, stačí to dokázať
Ale to vyplýva z toho, že z pravouhlého trojuholníka ABA1, ale z pravouhlého trojuholníka CBC1. Popri tom sa dokazuje aj druhá časť vety.
Riešenie problémov
Úloha 1. Vzhľadom k tomu, lichobežník ABCD, a je známe, že BC = a a AD = b. Rovnobežne s jej základňami BC a AD je nakreslená priamka, ktorá pretína stranu AB v bode P, uhlopriečku AC v bode L, uhlopriečku BD v bode R a stranu CD v bode Q (obr. 10). Je známe, že PL = LR. Nájdite P.Q.
Riešenie. Najprv dokážme, že PL = RQ. Zvážte dva páry podobných trojuholníkov: 
Podľa Thalesovej vety máme:
Označme teraz PL = LR = RQ = x a zvážme opäť dve dvojice podobných trojuholníkov: 
Ďalej máme:
znamená,
Odpoveď:
Úloha 2. V trojuholníku ABC je uhol A 45° a uhol C je ostrý. Zo stredu N strany BC klesá kolmica NM na stranu AC (obr. 11). Plochy trojuholníkov NMC a ABC sú vzájomne prepojené ako 1:8. Nájdite uhly trojuholníka ABC.
Riešenie. Nech BH je výška spadnutá z vrcholu B na stranu AC.
Pretože NM je stredná čiara trojuholníka BHC, potom S∆BHC = 4S∆NMC .
Ale podľa stavu problému S∆ABC = 8S∆NMC .
Preto S∆ABC = 2S∆BHC , takže S∆ABH = S∆BHC . Takže AH = HC,
odkiaľ ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Odpoveď: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Úloha 3. Je daný trojuholník ABC, v ktorom sa uhol B rovná 30°, AB = 4 a BC = 6. Priečnica uhla B pretína stranu AC v bode D (obr. 12). Nájdite oblasť trojuholníka ABD.
Riešenie. Aplikujme vetu o osi vnútorného uhla na trojuholník ABC:
znamená,
Odpoveď:
Článok vyšiel s podporou spoločnosti Svet kvetov. Veľkoobchodný a maloobchodný sklad svadobného a rituálneho tovaru, umelých kvetov v Krasnodar. Svadobné doplnky - sviečky, plagáty, poháre, stuhy, pozvánky a iné. Rituálny tovar - látky, odevy, doplnky. Viac o spoločnosti, pozrieť si katalóg produktov, ceny a kontakty sa dozviete na webovej stránke, ktorá sa nachádza na adrese: flowersworld.su.
Úloha 4. Cez stred M strany BC rovnobežníka ABCD, ktorého plocha je 1, a vrchol A je vedená priamka, ktorá pretína uhlopriečku BD v bode O (obr. 13). Nájdite oblasť štvoruholníka OMCD.
Riešenie. Budeme hľadať plochu štvoruholníka OMCD ako rozdiel medzi plochami trojuholníkov BCD a BOM. Plocha trojuholníka BCD sa rovná polovici plochy rovnobežníka ABCD a rovná sa ploche nájdite plochu kusovníka trojuholníka. Máme:
∆ kusovník ∼ ∆ AOD ⇒ 
ďalej:
znamená, 
Odpoveď:
Úloha 5. Pravouhlý trojuholník MNC je vpísaný do pravouhlého rovnoramenného trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole B tak, že uhol MNC je pravý, bod N leží na AC a bod M leží na strane AB (obr. 14). V akom pomere musí bod N rozdeliť preponu AC tak, aby sa plocha trojuholníka MNC rovnala ploche trojuholníka ABC?
Riešenie. Môžeme predpokladať, že AB = 1. Označme AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
Máme: 
Odpoveď:
Úloha 6. V lichobežníku ABCD je uhlopriečka AC kolmá na stranu CD a uhlopriečka DB je kolmá na stranu AB. Predĺženia strán AB a DC sa pretínajú v bode K a tvoria trojuholník AKD s uhlom 45° vo vrchole K (obr. 15). Plocha lichobežníka ABCD sa rovná S. Nájdite plochu trojuholníka AKD.
Riešenie. Podľa vety 5 je trojuholník BKC podobný trojuholníku AKD s koeficientom podobnosti 
Preto sú plochy týchto trojuholníkov v pomere 1:2, čo znamená, že plocha lichobežníka ABCD sa rovná ploche trojuholníka BKC. Preto je plocha trojuholníka AKD 2S.
Odpoveď: 2S.
Úloha 7. V trojuholníku ABC je bod K na strane AB tak, že AK: KB = 1: 2, a bod L na strane BC tak, že CL: LB = 2: 1. Nech Q je priesečník priamok AL a CK. (obr. šestnásť). Nájdite oblasť trojuholníka ABC s vedomím, že oblasť trojuholníka BQC je 1.
Riešenie. Nech AK = x, BL = y. Potom KB = 2x,
LC = 2r, teda AB = 3x a BC = 3r. Aplikujme Menelaovu vetu na trojuholník ABL a sekantu KQ:
Úloha 8. Z bodu M, ktorý sa nachádza vo vnútri ostrouhlého trojuholníka ABC, klesajú kolmice do strán (obr. 17). Dĺžky strán a kolmice na ne padnuté sú rovnaké a a k, b a m, c a n. Vypočítajte pomer plochy trojuholníka ABC k ploche trojuholníka, ktorého vrcholy sú základňami kolmic.
Riešenie. Zavádzame štandardné značenie, to znamená, že dĺžky strán trojuholníka ABC označujeme: BC = a CA = b, AB = c; uhly: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Podstavy kolmic spadnutých z bodu M na strany BC, CA a AB označíme D, E a F. Potom podľa podmienky úlohy MD = k, ME = m, MF = n. Je zrejmé, že uhol EMF sa rovná π - α, uhol DMF sa rovná π - β, uhol DME sa rovná π - γ a bod M sa nachádza vo vnútri trojuholníka DEF. Oblasť trojuholníka DEF je:
Oblasť trojuholníka ABC je:
Nájdite pomer plôch trojuholníkov DEF a ABC:
teda 
Odpoveď: 
Úloha 9. Body P a Q sú umiestnené na strane BC trojuholníka ABC tak, že BP: PQ: QC = 1:2:3.
Bod R rozdeľuje stranu AC tohto trojuholníka tak, že AR: RC = 1: 2 (obr. 18). Aký je pomer plochy štvoruholníka PQST k ploche trojuholníka ABC, kde S a T sú priesečníky priamky BR s priamkami AQ a AP?
Riešenie. Označme BP = x, AR = y; potom
PQ=2x, QC=3x, RC=2y. Vypočítajme, aká časť plochy štvoruholníka PQST je plocha trojuholníka APQ, a teda plocha trojuholníka ABC. Na to potrebujeme vzťahy, v ktorých body S a T delia úsečky AQ a AP, resp. Aplikujme Menelaovu vetu na trojuholník ACQ a sekantu SR:
Podobne, aplikovaním Menelaovej vety na trojuholník ACP a sečnicu TR, dostaneme:
ďalej: 
Na druhej strane, ak aplikujeme plošnú lemu na trojuholníky APQ a ABC, dostaneme
Odpoveď:
Úloha 10. V trojuholníku ABC je dĺžka výšky BD rovná 6, dĺžka mediánu CE je rovná 5, vzdialenosť od priesečníka BD s CE ku strane AC je rovná 1 (obr. 19). Nájdite dĺžku strany AB.
Riešenie. Nech bod O je priesečník priamok BD a CE. Vzdialenosť od bodu O k strane AC (ktorá sa rovná jednej) je dĺžka segmentu OD. Takže, OD = 1 a OB = 5. Aplikujte Menelaovu vetu na trojuholník ABD a sečnicu OE:
Ak teraz použijeme Menelaovu vetu na trojuholník ACE a sekantu OD, dostaneme to
kde OE = 2CO a berúc do úvahy OE + CO = CE = 5
dostaneme, že Pytagorovu vetu aplikujeme na pravouhlý trojuholník CDO:
znamená, 
Nakoniec uvažujme pravouhlý trojuholník ABD, v ktorom tiež používame Pytagorovu vetu:
Odpoveď:
Úloha 11. Body C a D ležia na úsečke AB a bod C je medzi bodmi A a D. Bod M sa berie tak, že priamky AM a MD sú kolmé a priamky CM a MB sú tiež kolmé (obr. 20). Nájdite oblasť trojuholníka AMB, ak je známe, že uhol CMD je α a oblasti trojuholníkov AMD a CMB sú S1 a S2.
Riešenie. Označte obsah trojuholníkov AMB a CMD
x a y (x > y). Všimnite si, že x + y = S1 + S2. Ukážme teraz, že xy = S 1 S 2 sin 2 α. naozaj, 
tak isto 
Pretože ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α a hriech ∠AMB =
= sinα. znamená:
Čísla x a y sú teda koreňmi kvadratickej rovnice
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Väčší koreň tejto rovnice je:
Odpoveď: 
Úlohy na samostatné riešenie
C-1. V trojuholníku ABC, ktorého obsah je S, je nakreslená os CE a medián BD, ktoré sa pretínajú v bode O. Nájdite obsah štvoruholníka ADOE s vedomím, že BC = a, AC = b.
C-2. Štvorec je vpísaný do rovnoramenného trojuholníka ABC tak, že dva z jeho vrcholov ležia na základni BC a ďalšie dva ležia na stranách trojuholníka. Strana štvorca súvisí s polomerom kruhu vpísaného do trojuholníka, ako
8:5 Nájdite rohy trojuholníka.
C-3. V rovnobežníku ABCD so stranami AD = 5 a AB = 4 je nakreslená úsečka EF spájajúca bod E strany BC s bodom F strany CD. Body E a F sú zvolené tak, že
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Je známe, že priesečník M uhlopriečky AC s úsečkou FE spĺňa podmienku MF: ME = 1: 4. Nájdite uhlopriečky rovnobežníka.
C-4. Plocha lichobežníka ABCD sa rovná 6. Nech E je priesečník predĺžení strán tohto lichobežníka. Cez bod E a priesečník uhlopriečok lichobežníka sa vedie priamka, ktorá pretína menšiu základňu BC v bode P, väčšiu základňu AD - v bode Q. Bod F leží na úsečke EC. a EF:FC = EP:EQ = 1:3.
Nájdite oblasť trojuholníka EPF.
C-5. V trojuholníku ABC s ostrým uhlom (kde AB > BC) sú nakreslené výšky AM a CN, bod O je stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC. Je známe, že veľkosť uhla ABC je β a plocha štvoruholníka NOMB je S. Nájdite dĺžku strany AC.
C-6. V trojuholníku ABC sú bod K na strane AB a bod M na strane AC umiestnené tak, že platia vzťahy AK : KB = 3 : 2 a AM : MC = 4 : 5. V akom pomere je priesečník priamok? KC a BM rozdeľujú segment BM?
C-7. Bod D je zachytený vo vnútri pravouhlého trojuholníka ABC (uhol B je pravý), takže plochy trojuholníkov ABD a BDC sú tri a štyrikrát menšie ako plocha trojuholníka ABC. Dĺžky segmentov AD a DC sa rovnajú a a c. Nájdite dĺžku segmentu BD.
S-8. V konvexnom štvoruholníku ABCD na strane CD sa vezme bod E tak, že úsečka AE rozdelí štvoruholník ABCD na kosoštvorec a rovnoramenný trojuholník, ktorých pomer plôch je rovný Nájdite hodnotu uhla BAD.
C-9. Výška lichobežníka ABCD je 7 a dĺžky základní AD a BC sú 8 a 6. Cez bod E, ležiaci na bočnej CD, je vedená priamka BE, ktorá rozdeľuje uhlopriečku AC v bode. O vo vzťahu k AO: OC = 3: 2. Nájdite plošný trojuholník OEC.
S-10. Body K, L, M rozdeľujú strany konvexného štvoruholníka ABCD vzhľadom na AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Je známe, že polomer kružnice opísanej trojuholníku KLM sa rovná KL = 4, LM = 3 a KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Predĺženia strán AD a BC konvexného štvoruholníka ABCD sa pretínajú v bode M a predĺženia strán AB a CD sa pretínajú v bode O. Úsečka MO je kolmá na os uhla AOD. Nájdite pomer plochy trojuholníkov AOD a BOC, ak OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. V trojuholníku ABC je uhol vo vrchole A 30° a výšky BD a CE sa pretínajú v bode O. Nájdite pomer polomerov kružníc opísaných trojuholníkom DEO a ABC.
S-13. Úsečky spájajúce základne výšok trojuholníka s ostrým uhlom sú 5, 12 a 13. Nájdite polomer kružnice opísanej trojuholníku.
S-14. V trojuholníku ABC s ostrým uhlom sa bod M berie vo výške AD a bod N je vo výške BP, takže uhly BMC a ANC sú pravé. Vzdialenosť medzi bodmi M a N je a ∠MCN = 30°.
Nájdite os CL trojuholníka CMN.
S-15. Body D, E a F sú na stranách AB, BC a AC trojuholníka ABC. Úsečky AE a DF prechádzajú stredom kružnice vpísanej do trojuholníka ABC a čiary DF a BC sú rovnobežné. Nájdite dĺžku úsečky BE a obvod trojuholníka ABC, ak BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. V trojuholníku ABC pretína os BB" strednicu AA" v bode O.
Nájdite pomer plochy trojuholníka BOA" k ploche trojuholníka AOB", ak AB:AC = 1:4.
S-17. V trojuholníku ABC leží bod D na AC a AD = 2DC. Bod E leží na BC. Plocha trojuholníka ABD je 3, plocha trojuholníka AED je 1. Segmenty AE a BD sa pretínajú v bode O. Nájdite pomer plôch trojuholníkov ABO a OED.
S-18. V rovnobežníku ABCD ležia body E a F na stranách AB a BC, M je priesečník priamok AF a DE, pričom AE = 2BE a BF = 3CF. Nájdite pomer AM:MF.
S-19. V obdĺžniku ABCD po stranách
AB a AD, body E a F sú zvolené tak, že AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Nájdite EO: OD, kde O je priesečník segmentov DE a CF.
S-20. Bod N je na strane PQ trojuholníka PQR a bod L je na strane PR a
NQ=LR. Priesečník úsečiek QL a NR rozdeľuje úsečku QL v pomere m:n, počítajúc od bodu Q. Nájdite pomer PN:PR.
S-21. Body A a B sú zachytené na stranách ostrého uhla s vrcholom O. Bod M je zachytený na lúči OB vo vzdialenosti 3OA od priamky OA a bod N je zachytený na lúči OA vo vzdialenosti 3OB od priamky OB. Polomer kružnice opísanej v trojuholníku AOB je 3. Nájdite MN.
S-22. V konvexnom päťuholníku ABCDE sú uhlopriečky BE a CE osy vrcholových uhlov B a C, v tomto poradí, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Nájdite obsah päťuholníka A B C D E.
S-23. Na základniach AD a BC lichobežníka ABCD sú zostrojené štvorce ADEF a BCGH, umiestnené mimo lichobežníka. Uhlopriečky lichobežníka sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku segmentu AD, ak BC = 2, GO = 7 a GF = 18.
S-24. V trojuholníku ABC vieme, že AB = BC a uhol BAC je 45°. Čiara MN pretína stranu AC v bode M a stranu BC v bode N, pričom AM = 2MC a ∠NMC = 60°. Nájdite pomer plochy trojuholníka MNC k ploche štvoruholníka ABNM.
S-25. V trojuholníku ABC je bod N na strane AB a bod M na strane AC. Segmenty CN a BM sa pretínajú v bode O, AN: NB = 2: 3,
BO: OM = 5: 2. Nájdite CO: ON.
Hrazda na skúške. Základná úroveň.
Úlohy z otvorenej banky úloh FIPI.
Úloha 1.V lichobežníku ABCD vieme, že AB=CD,∠ BDA = 54° a ∠ BDC = 23°. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Riešenie.V tomto lichobežníku je uhol A DC na spodnej základni sa rovná súčtu uhlov A D V a V DC , sa rovná 54 + 23 = 77 stupňov. Keďže lichobežník je rovnoramenný, uhly na spodnej základni sú rovnaké a uhol BA D je tiež 77 stupňov. Súčet uhlov VA D a AB D rovný 180 stupňom (jednostranný s rovnobežnými čiarami A D a BC a sečna AB). Takže uhol ABC sa rovná 180 - 77 \u003d 103 stupňom.
Ďalej použijeme rovnosť uhlov A D B a D BC (krížovo ležiace s rovnobežnými čiarami A D a BC a sečna B D). Takže uhol AB D rovná 103 - 54 \u003d 49 stupňov.
Odpoveď 49.
Úloha 2.Základy rovnoramenného lichobežníka sú 10 a 24, strana je 25. Nájdite výšku lichobežníka.
Riešenie.V tomto lichobežníku je horná základňa BC 10, spodná A D = 24. Z vrcholov B a C znižujeme výšky na spodnú základňu. Vo výslednom obdĺžniku NVSK NK=BC=10. Trojuholníky ABH a K DC DC ), takže AH \u003d K D =(24-10):2=7. Podľa Pytagorovej vety sa v trojuholníku ABN štvorec ramena BH rovná rozdielu medzi druhou mocninou prepony AB a druhou mocninou ramena AN. To znamená VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.
Odpoveď 24.
Úloha 3.V rovnoramennom lichobežníku jedna zo základov
je 3 a druhý je 7. Výška lichobežníka je 4. Nájdite dotyčnicu ostrého uhla lichobežníka.
Riešenie.V tomto lichobežníku je horná základňa BC 3, spodná A D =7. Z vrcholov B a C znižujeme výšky na spodnú základňu. Vo výslednom obdĺžniku NVSK NK=BC=3. Trojuholníky ABH a K DC sú rovnaké (sú obdĺžnikové, BH = SK, AB = DC), takže AH \u003d K D =(7-3):2=2. Dotyčnica ostrého uhla BAN v pravouhlom trojuholníku ABN sa rovná pomeru protiľahlého ramena BH k susednému ramenu AH, teda 4:2=2.
Odpoveď 2.
Úloha 4.Základy lichobežníka sú 8 a 16, bočná strana rovná 6 zviera s jednou zo základov lichobežníka uhol 150 °. Nájdite oblasť lichobežníka.
Riešenie.Vpustite lichobežník na obrázku základne BC \u003d 8, AD =16, strana AB=6 a uhol ABC je 150 stupňov. Vieme, že plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základov a výšky. Základy sú známe. Poďme zistiť výšku BH. V pravouhlom trojuholníku ABH je uhol ABH 150 - 90 = 60 stupňov. Takže uhol VAN sa rovná 90 - 60 \u003d 30 stupňom. A v pravouhlom trojuholníku sa noha oproti uhlu 30 stupňov rovná polovici prepony. Takže VN=3.
Zostáva vypočítať plochu lichobežníka. Polovičný súčet základov sa rovná (8+16):2=12. Plocha je 12*3=36.
Odpoveď 36.
Úloha 5.V pravouhlom lichobežníkuABCD s dôvodmi slnko a AD injekciou VAD rovný, AB=3, slnko=CD=5. Nájdite stredovú čiaru lichobežníka.
Riešenie.Stredová čiara lichobežníka je polovicou súčtu základov. V tomto lichobežníku je horná základňa BC 5, spodná A D neznámy. Z vrcholu C znížime výšku na spodnú základňu. Vo výslednom obdĺžniku NVSK AH=BC=5, CH=AB=3. Trojuholník H DC pravouhlý. Podľa Pytagorovej vety štvorec nohy H D rovný rozdielu druhej mocniny prepony DC a štvorec nohy CH. Teda N D 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. H D \u003d 4. Takže spodná základňa A D = AH+H D =5+4=9. Stredová čiara lichobežníka je (5+9):2=7.
Odpoveď 7.
Úloha 6.V pravouhlom lichobežníku sú základne 4 a 7 a jeden z uhlov je 135°. Nájdite menšiu stranu.
Riešenie.Použime výkres na predchádzajúci problém V tomto lichobežníku je horná základňa BC 4, spodná A D = 7. Uhol BC D sa rovná 135 stupňom. Z vrcholu C znížime výšku na spodnú základňu. Potom H D = 7-4 = 3. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku H DC uhol HC D rovná sa 135-90=45 stupňov. Takže uhol H DC aj 45 stupňov. Nohy CH= H D = 3.
Odpoveď 3.
Úlohy na samostatné riešenie.
- ∠ BDA = 40° a ∠ BDC = 30°. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- v hrazde A B C D je to známe AB=CD, ∠ BDA= 45° a ∠ bdc= 23°. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- V lichobežníku ABCD vieme, že AB=CD,∠ BDA = 49° a ∠ BDC = 31°. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Základy rovnoramenného lichobežníka sú 7 a 13, strana je 5. Nájdite výšku lichobežníka.
- Základy rovnoramenného lichobežníka sú 11 a 21, strana je 13. Nájdite výšku lichobežníka.
- Základy lichobežníka sú 10 a 20, bočná strana rovnajúca sa 8 zviera s jednou zo základov lichobežníka uhol 150 °. Nájdite oblasť lichobežníka.
- V rovnoramennom lichobežníku je jedna zo základní 5 a druhá 9. Výška lichobežníka je 6. Nájdite dotyčnicu ostrého uhla lichobežníka.
- V pravouhlom lichobežníkuABCD s dôvodmi slnko a AD injekciou VAD rovný, AB=8, slnko=CD= 10. Nájdite stredovú čiaru lichobežníka.
- V pravouhlom lichobežníkuABC D s dôvodmi slnko a A D injekciou V AD rovný, AB = 15 , slnko = CD = 17 . Nájdite stredovú čiaru lichobežníka.
- V pravouhlom lichobežníku sú základne 3 a 5 a jeden z uhlov je 135°. Nájdite menšiu stranu.
