Množenje brojeva sa istim potencijama. Svojstva stupnjeva: formulacije, dokazi, primjeri

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se zašto je to tako?

Uzmite u obzir neku snagu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. S kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kom stepenu - koliko god da pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je istina u ovome? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne samo da možemo podijeliti sa nulom, već i podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo shvatili šta je negativan stepen, uradimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj sa istim u negativnom stepenu:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen obrnut je istom broju na pozitivnu potenciju. Ali istovremeno baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti krug brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve to može biti predstavljeno kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da razumem šta je "razlomak stepena" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korijena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajte brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izdvojiti korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izražavanjem?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problem: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom su vrlo korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

1. Ne zaboravite na uobičajena svojstva stupnjeva:

2. . Ovdje se prisjećamo da smo zaboravili naučiti tabelu stupnjeva:

na kraju krajeva - ovo ili. Rješenje se pronalazi automatski: .

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepene sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim pokazateljem je broj pomnožen nekoliko puta sam po sebi;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broj”, odnosno broj;

...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se desio određeni „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE IĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo sa već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li te na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: oba decimalna ili oba obična. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Definicija stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Stepen sa racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva diploma

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobija se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo odvojeni faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijem pisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da to preuredimo ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

U stvari, ovo se može nazvati "zagrada indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to zaista nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo razgovarali samo o onome što bi trebalo da bude indikator stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima od prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni na druge, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: ukupno ispostavilo se da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenu za prosječni nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim indikatorom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim pokazateljem je broj pomnožen nekoliko puta sam po sebi; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broja“, odnosno broj; stepen sa negativnim cijelim brojem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stepen sa racionalnim eksponentom

stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva diploma

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Napišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožite broj sa stepenom?

U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:

1) ako stepeni imaju istu osnovu;

2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se množe stepeni sa istim pokazateljima, ukupni indikator se može izvaditi iz zagrada:

Razmotrite kako množiti moći, na konkretnim primjerima.

Jedinica u eksponentu nije zapisana, ali pri množenju stepeni uzimaju u obzir:

Prilikom množenja, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba imati na umu da ne možete napisati znak množenja prije slova:

U izrazima se prvo izvodi eksponencijacija.

Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda - množenje:

www.algebraclass.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Sabiranje i oduzimanje potencija

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje Potencija se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Upoređivanjem nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

dakle, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela stepena

Brojevi stepena mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

svojstva stepena

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prisutno kao diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prisutno kao diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Zapišite količnik kao stepen
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . Ovo je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina #3
Eksponencijacija

Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n)= (a b) n

To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze i ostaviti eksponent nepromenjenim.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U više teški primjeri mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim osnovama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Moć kvocijenta (razlomaka)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.

(a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

Primjer. Izrazite izraz kao parcijalne stepene.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Stepeni i korijeni

Operacije sa moćima i korijenima. Stepen sa negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju smisla.

Operacije sa stepenom.

1. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi pokazatelji se zbrajaju:

a m · a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi indikatori oduzeto .

3. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stepena ovih faktora.

4. Stepen omjera (razlomak) jednak je omjeru stupnjeva dividende (brojnik) i djelitelja (imenilac):

(a/b) n = a n / b n .

5. Prilikom podizanja stepena na stepen, njihovi indikatori se množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvršavaju u oba smjera s lijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera je jednak omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići na ovaj stepen korijenski broj:

4. Ako povećate stepen korijena za m puta i istovremeno podignite broj korijena na m -ti stepen, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena za m puta i u isto vrijeme izdvojite korijen m-tog stepena iz radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširenje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim indikatorom; ali operacije sa moćima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula i razlomak indikatori. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stepen s negativnim eksponentom. Stepen određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedan podijeljen stepenom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada formula a m : a n = a m-n može se koristiti ne samo za m, više nego n, ali i na m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bio pošten prema m = n, potrebna nam je definicija nultog stepena.

Stepen sa nultim eksponentom. Stepen bilo kog broja različitog od nule sa nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podigli realni broj a na stepen m / n, potrebno je da izvučete koren n-tog stepena iz m-tog stepena ovog broja a:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza.

gdje a ≠ 0 , ne postoji.

Zaista, ako to pretpostavimo x je određeni broj, onda, u skladu sa definicijom operacije dijeljenja, imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

Zaista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 x. Ali ova jednakost važi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu

2) kada x> 0 dobijamo: x / x= 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi,

šta x- bilo koji broj; ali uzimajući to u obzir

naš slučaj x> 0 , odgovor je x > 0 ;

Pravila za množenje stepena sa različitim osnovama

STEPENIJA SA RACIONALNIM INDIKATOROM,

FUNKCIJA NAPAJANJA IV

§ 69. Množenje i podjela potencija sa istim osnovama

Teorema 1. Za množenje stepena sa istim osnovama, dovoljno je sabrati eksponente, a bazu ostaviti istu, tj.

Dokaz. Po definiciji stepena

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Razmatrali smo proizvod dvije moći. U stvari, dokazano svojstvo je tačno za bilo koji broj potencija sa istim osnovama.

Teorema 2. Za podelu stepena sa istim osnovama, kada je indikator dividende veći od pokazatelja delioca, dovoljno je oduzeti pokazatelj delitelja od pokazatelja dividende, a osnovicu ostaviti istu, tj. at t > n

(a =/= 0)

Dokaz. Podsjetimo da je količnik dijeljenja jednog broja drugim broj koji, kada se pomnoži s djeliteljem, daje dividendu. Dakle, dokazati formulu , gdje a =/= 0, to je kao dokazivanje formule

Ako a t > n , zatim broj t - str biće prirodno; dakle, prema teoremi 1

Teorema 2 je dokazana.

Imajte na umu da je formula

dokazano od nas samo pod pretpostavkom da t > n . Dakle, iz dokazanog još nije moguće izvesti npr. sljedeće zaključke:

Osim toga, još nismo razmatrali stepene sa negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo značenje možemo dati izrazu 3 - 2 .

Teorema 3. Da biste stepen podigli na stepen, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu eksponenta istom, tj

Dokaz. Koristeći definiciju stepena i teoremu 1 ovog odjeljka, dobijamo:

Q.E.D.

Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Usmeno.) Odredi X iz jednačina:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (prilagođeno) Pojednostavite:

520. (prilagođeno) Pojednostavite:

521. Predstavite ove izraze kao stepene sa istim osnovama:

1) 32 i 64; 3) 85 i 163; 5) 4 100 i 32 50;

2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.

Sabiranje i oduzimanje potencija

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje Potencija se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Upoređivanjem nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

dakle, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela stepena

Brojevi stepena mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

svojstva stepena

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

• Pojednostavite izraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prisutno kao diploma.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prisutno kao diploma.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

• Zapišite količnik kao stepen
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . Ovo je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina #3
Eksponencijacija

Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Kako množiti moći

Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožite broj sa stepenom?

U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:

1) ako stepeni imaju istu osnovu;

2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se množe stepeni sa istim pokazateljima, ukupni indikator se može izvaditi iz zagrada:

Razmotrite kako množiti moći, na konkretnim primjerima.

Jedinica u eksponentu nije zapisana, ali pri množenju stepeni uzimaju u obzir:

Prilikom množenja, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba imati na umu da ne možete napisati znak množenja prije slova:

U izrazima se prvo izvodi eksponencijacija.

Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda - množenje:

Množenje snaga sa istom osnovom

Ovaj video vodič je dostupan uz pretplatu

Da li već imate pretplatu? Da uđem

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako množiti potencije sa istom osnovom. Prvo, prisjećamo se definicije stepena i formuliramo teoremu o valjanosti jednakosti . Zatim dajemo primjere njegove primjene na određene brojeve i to dokazujemo. Teoremu ćemo primijeniti i za rješavanje raznih problema.

Tema: Stepen sa prirodnim pokazateljem i njegovim svojstvima

Lekcija: Množenje potencija sa istim osnovama (formula)

1. Osnovne definicije

Osnovne definicije:

n- eksponent,

— n-ti stepen broja.

2. Izjava teoreme 1

Teorema 1. Za bilo koji broj a i bilo koje prirodne n i k jednakost je istinita:

Drugim riječima: ako a- bilo koji broj; n i k prirodni brojevi, onda:

Otuda pravilo 1:

3. Objašnjavanje zadataka

zaključak: specijalni slučajevi su potvrdili tačnost teoreme br. 1. Dokažimo to u opštem slučaju, odnosno za bilo koji a i bilo koje prirodne n i k.

4. Dokaz teoreme 1

Dat je broj a- bilo koji; brojevi n i k- prirodno. dokazati:

Dokaz se zasniva na definiciji stepena.

5. Rješenje primjera pomoću teoreme 1

Primjer 1: Prisutno kao diploma.

Za rješavanje sljedećih primjera koristimo teoremu 1.

g)

6. Generalizacija teoreme 1

Evo generalizacije:

7. Rješenje primjera koristeći generalizaciju teoreme 1

8. Rješavanje raznih zadataka korištenjem teoreme 1

Primjer 2: Izračunajte (možete koristiti tabelu osnovnih stupnjeva).

a) (prema tabeli)

b)

Primjer 3: Zapiši kao stepen sa osnovom 2.

a)

Primjer 4: Odredi predznak broja:

, a - negativan jer je eksponent na -13 neparan.

Primjer 5: Zamijenite ( ) sa napajanjem sa bazom r:

Imamo, to jest.

9. Sumiranje

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6. izdanje. M.: Prosvetljenje. 2010

1. Školski asistent (izvor).

1. Izrazite kao stepen:

a B C D E)

3. Zapišite kao stepen sa bazom 2:

4. Odredi predznak broja:

a)

5. Zamijenite ( ) sa stepenom broja s osnovom r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Množenje i dijeljenje potencija sa istim eksponentima

U ovoj lekciji ćemo proučavati množenje potencija sa istim eksponentima. Prvo, prisjetimo se osnovnih definicija i teorema o množenju i podjeli potencija sa istim bazama i podizanju stepena na stepen. Zatim formuliramo i dokazujemo teoreme o množenju i podjeli potencija sa istim eksponentima. A onda ćemo uz njihovu pomoć riješiti niz tipičnih problema.

Podsjetnik na osnovne definicije i teoreme

Evo a- osnova diplome

— n-ti stepen broja.

Teorema 1. Za bilo koji broj a i bilo koje prirodne n i k jednakost je istinita:

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, eksponenti se sabiraju, baza ostaje nepromijenjena.

Teorema 2. Za bilo koji broj a i bilo koje prirodne n i k, takav da n > k jednakost je istinita:

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, eksponenti se oduzimaju, a baza ostaje nepromijenjena.

Teorema 3. Za bilo koji broj a i bilo koje prirodne n i k jednakost je istinita:

Sve gore navedene teoreme bile su o moćima sa istim osnove, ova lekcija će razmatrati diplome sa istim indikatori.

Primjeri za množenje potencija sa istim eksponentima

Razmotrite sljedeće primjere:

Napišimo izraze za određivanje stepena.

zaključak: Iz primjera to možete vidjeti , ali to još treba dokazati. Formuliramo teoremu i dokazujemo je u općem slučaju, odnosno za bilo koji a i b i bilo koje prirodne n.

Iskaz i dokaz teoreme 4

Za bilo koje brojeve a i b i bilo koje prirodne n jednakost je istinita:

Dokaz Teorema 4 .

Po definiciji stepena:

Dakle, mi smo to dokazali .

Za množenje stepena sa istim eksponentom, dovoljno je pomnožiti baze, a eksponent ostaviti nepromijenjen.

Iskaz i dokaz teoreme 5

Formuliramo teoremu za podjelu potencija sa istim eksponentima.

Za bilo koji broj a i b() i bilo koje prirodne n jednakost je istinita:

Dokaz Teorema 5 .

Zapišimo i po definiciji stepena:

Izjava teorema riječima

Tako da smo to dokazali.

Da biste podijelili stepene s istim eksponentima jedan na drugi, dovoljno je podijeliti jednu bazu drugom, a eksponent ostaviti nepromijenjen.

Rješenje tipičnih zadataka korištenjem teoreme 4

Primjer 1: Izrazite kao proizvod moći.

Za rješavanje sljedećih primjera koristimo teoremu 4.

Da biste riješili sljedeći primjer, prisjetite se formula:

Generalizacija teoreme 4

Generalizacija teoreme 4:

Rješavanje primjera pomoću generalizirane teoreme 4

Nastavak rješavanja tipičnih problema

Primjer 2: Napišite kao stepen proizvoda.

Primjer 3: Zapiši kao stepen sa eksponentom 2.

Primjeri izračunavanja

Primjer 4: Izračunajte na najracionalniji način.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Koljagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i dr. Algebra 7 .M .: Obrazovanje. 2006

2. Školski asistent (izvor).

1. Prisutno kao proizvod moći:

a) ; b) ; in) ; G) ;

2. Zapišite kao stepen proizvoda:

3. Napišite u obliku stepena sa indikatorom 2:

4. Izračunajte na najracionalniji način.

Čas matematike na temu "Množenje i podjela potencija"

Odjeljci: Matematika

Pedagoški cilj:

učenik će naučiti razlikovati svojstva množenja i dijeljenja potencija sa prirodnim eksponentom; primijeniti ova svojstva u slučaju istih baza;

student će imati priliku biti sposoban izvoditi transformacije stupnjeva s različitim bazama i biti sposoban izvoditi transformacije u kombinovanim zadacima.

Zadaci:

organizovati rad učenika ponavljanjem prethodno naučenog gradiva;

osigurati nivo reprodukcije izvođenjem vježbi različitih vrsta;

organizovati samoocjenjivanje učenika kroz testiranje.

Jedinice aktivnosti doktrine: utvrđivanje stepena sa prirodnim pokazateljem; komponente stepena; definicija privatnog; asocijativni zakon množenja.

I. Organizacija demonstracije savladavanja postojećih znanja od strane učenika. (korak 1)

a) Ažuriranje znanja:

2) Formulisati definiciju stepena sa prirodnim indikatorom.

a n \u003d a a a a ... a (n puta)

b k \u003d b b b b a ... b (k puta) Obrazložite svoj odgovor.

II. Organizacija samoprocjene pripravnika po stepenu posjedovanja relevantnog iskustva. (korak 2)

Test za samoispitivanje: (samostalni rad u dvije verzije.)

A1) Izrazite proizvod 7 7 7 7 x x x kao stepen:

A2) Izrazite kao proizvod stepen (-3) 3 x 2

A3) Izračunaj: -2 3 2 + 4 5 3

Broj zadataka na testu biram u skladu sa pripremom razreda.

Za test dajem ključ za samotestiranje. Kriterijum: prošao-neuspeo.

III. Edukativni i praktični zadatak (korak 3) + korak 4. (učenici će sami formulirati svojstva)

izračunaj: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Pojednostavite: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

U toku rješavanja zadataka 1) i 2) učenici predlažu rješenje, a ja, kao nastavnik, organizujem čas da pronađem način da uprostim potencije pri množenju sa istim osnovama.

Učitelj: smislite način da pojednostavite potencije pri množenju sa istom osnovom.

Na klasteru se pojavljuje unos:

Formulisana je tema lekcije. Množenje moći.

Učitelj: smisli pravilo za podelu stepena sa istim osnovama.

Obrazloženje: koja radnja provjerava podjelu? a 5: a 3 = ? da je a 2 a 3 = a 5

Vraćam se na šemu - klaster i dopunjavam unos - ..pri dijeljenju oduzimam i dodajem temu lekcije. ...i podjela stepena.

IV. Saopštavanje studentima granica znanja (kao minimum i kao maksimum).

Učitelj: Zadatak minimuma za današnju lekciju je naučiti kako primijeniti svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istim osnovama, a maksimuma: primijeniti množenje i dijeljenje zajedno.

Pišite na tabli : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organizacija proučavanja novog gradiva. (korak 5)

a) Prema udžbeniku: br. 403 (a, c, e) zadaci različitog teksta

br.404 (a,e,f) samostalan rad, zatim organizujem međusobnu provjeru, dajem ključeve.

b) Za koju vrijednost m vrijedi jednakost? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Zadatak: smisliti slične primjere za dijeljenje.

c) br. 417 (a), br. 418 (a) Zamke za studente: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Sumiranje naučenog, provođenje dijagnostičkog rada (koji podstiče učenike, a ne nastavnike, da proučavaju ovu temu) (korak 6)

dijagnostički rad.

Test(stavite ključeve na poleđinu testa).

Opcije zadatka: predstaviti kao stepen količnik x 15: x 3; predstavljaju kao stepen proizvod (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; za koje je m jednakost a 16 a m = a 32 tačna; naći vrijednost izraza h 0: h 2 sa h = 0,2; izračunaj vrijednost izraza (5 2 5 0) : 5 2 .

Sažetak lekcije. Refleksija. Delim razred u dve grupe.

Pronađite argumente grupe I: u korist poznavanja svojstava stepena, i grupe II - argumente koji će reći da se može i bez svojstava. Slušamo sve odgovore, donosimo zaključke. U narednim lekcijama možete ponuditi statističke podatke i nazvati rubriku „Ne uklapa mi se u glavu!“

Prosečna osoba tokom života pojede 32 10 2 kg krastavaca.

Osa je sposobna da leti bez zaustavljanja od 3,2 10 2 km.

Kada staklo pukne, pukotina se širi brzinom od oko 5 10 3 km/h.

Žaba u svom životu pojede preko 3 tone komaraca. Koristeći stepen, upišite u kg.

Najplodnija je okeanska riba - mjesec (Mola mola), koja u jednom mrijestu snese do 300.000.000 jaja prečnika oko 1,3 mm. Napišite ovaj broj koristeći stepen.

VII. Zadaća.

Istorijat. Koji brojevi se nazivaju Fermaovi brojevi.

P.19. #403, #408, #417

rabljene knjige:

Udžbenik "Algebra-7", autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk i drugi.

Didaktički materijal za 7. razred L.V. Kuznjecova, L.I. Zvavič, S.B. Suvorov.

Enciklopedija matematike.

Časopis "Quantum".

Svojstva stupnjeva, formulacije, dokazi, primjeri.

Nakon što se utvrdi stepen broja, logično je govoriti o tome svojstva stepena. U ovom članku ćemo dati osnovna svojstva stepena broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stepena, a također ćemo pokazati kako se ova svojstva primjenjuju prilikom rješavanja primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima

Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, snaga a n je proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a . Na osnovu ove definicije i korištenje svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stepena sa prirodnim eksponentom:

glavno svojstvo stepena a m ·a n =a m+n , njegova generalizacija a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

svojstvo parcijalnih stepena sa istim bazama a m:a n =a m−n ;

svojstvo stepena proizvoda (a b) n =a n b n , njegovo proširenje (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

svojstvo količnika u naravi (a:b) n =a n:b n ;

eksponencijacija (a m) n =a m n , njena generalizacija (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

poređenje stepena sa nulom:

• ako je a>0, onda a n >0 za bilo koje prirodno n;
• ako je a=0, onda je a n =0;
• ako je a 2 m >0, ako je a 2 m−1 n;
• ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je za 0m n, a za a>0 tačna nejednakost a m >a n.

Odmah napominjemo da su sve zapisane jednakosti identičan predmet specificirani uslovi, a njihova desna i lijeva strana se mogu zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m a n = a m + n sa pojednostavljenje izrazačesto se koristi u obliku a m+n = a m a n .

Sada pogledajmo svaki od njih detaljno.

Počnimo sa svojstvom proizvoda dva stepena sa istim bazama, koje se zove glavno svojstvo diplome: za bilo koji realan broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, jednakost a m ·a n =a m+n je tačna.

Hajde da dokažemo glavno svojstvo stepena. Po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, proizvod stepena sa istim osnovama oblika a m a n može se napisati kao proizvod . Zbog svojstava množenja, rezultirajući izraz se može zapisati kao , a ovaj proizvod je stepen a sa prirodnim eksponentom m+n , odnosno a m+n . Ovim je dokaz završen.

Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stepena. Uzmimo stepene sa istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, prema glavnom svojstvu stepena možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Provjerimo njegovu valjanost, za šta izračunamo vrijednosti izraza 2 2 ·2 3 i 2 5 . Izvodeći eksponencijaciju, imamo 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , pošto dobijamo jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 2 3 = 2 5 je tačno i potvrđuje glavno svojstvo stepena.

Glavno svojstvo stepena zasnovano na svojstvima množenja može se generalizovati na proizvod tri ili više stepena sa istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1 , n 2 , …, n k vrijedi jednakost a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na primjer, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Možete preći na sljedeće svojstvo stupnjeva sa prirodnim indikatorom - svojstvo parcijalnih snaga sa istim osnovama: za bilo koji realni broj različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uslov m>n , jednakost a m:a n =a m−n je tačna.

Prije nego što damo dokaz ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uslov a≠0 je neophodan da bi se izbeglo deljenje sa nulom, pošto je 0 n =0, a kada smo se upoznali sa deljenjem, složili smo se da je nemoguće deliti nulom. Uslov m>n se uvodi tako da ne idemo dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n, eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se dešava kada je m−n) ili negativan broj (što se dešava kada m m−n a n =a (m−n) + n = a m Iz dobijene jednakosti a m−n a n = a m i iz relacije množenja sa deljenjem proizilazi da je a m−n parcijalni stepen a m i a n. Ovo dokazuje svojstvo parcijalnih stepena sa istim bazama.

Uzmimo primjer. Uzmimo dva stepena sa istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, razmatrano svojstvo stepena odgovara jednakosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Sada razmislite svojstvo stepena proizvoda: prirodni stepen n proizvoda bilo koja dva realna broja a i b jednak je proizvodu stepeni a n i b n , odnosno (a b) n =a n b n .

Zaista, po definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, imamo . Posljednji proizvod, na osnovu svojstava množenja, može se prepisati kao , što je jednako a n b n .

Evo primjera: .

Ovo svojstvo se proteže na stepen proizvoda tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stepena n proizvoda k faktora je zapisano kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Radi jasnoće, ovo svojstvo prikazujemo na primjeru. Za proizvod tri faktora na stepen 7, imamo .

Sljedeća nekretnina je prirodno dobro: količnik realnih brojeva a i b , b≠0 na prirodni stepen n jednak je količniku potencija a n i b n , odnosno (a:b) n =a n:b n .

Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Dakle (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , a iz jednakosti (a:b) n b n =a n slijedi da je (a:b) n količnik od a n do b n .

Zapišimo ovo svojstvo na primjeru određenih brojeva: .

A sada da se oglasimo svojstvo eksponencijacije: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, stepen a m na stepen n jednak je stepenu a sa eksponentom m·n , odnosno (a m) n =a m·n .

Na primjer, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dokaz svojstva moći u stepenu je sljedeći lanac jednakosti: .

Razmatrana osobina se može proširiti na stepen unutar stepena u stepenu, i tako dalje. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s, jednakost . Radi veće jasnoće, dajmo primjer sa određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaje da se zadržimo na svojstvima poređenja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počinjemo dokazivanjem svojstva poređenja nule i stepena s prirodnim eksponentom.

Prvo, hajde da opravdamo da je a n >0 za bilo koji a>0.

Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja omogućavaju nam da tvrdimo da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A snaga a sa prirodnim eksponentom n je, po definiciji, proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovi argumenti nam omogućavaju da tvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stepen a n pozitivan broj. Na osnovu dokazanog svojstva 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 i .

Sasvim je očigledno da je za bilo koje prirodno n sa a=0 stepen a n nula. Zaista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0 .

Pređimo na negativne osnove.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga sa 2 m , gdje je m prirodan broj. Onda . Prema pravilu množenja negativnih brojeva, svaki od proizvoda oblika a a jednak je proizvodu modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će i proizvod biti pozitivan. i stepen a 2 m. Evo primjera: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Konačno, kada je osnova a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada . Svi proizvodi a a su pozitivni brojevi, proizvod ovih pozitivnih brojeva je također pozitivan, a njegovo množenje s preostalim negativan broj a rezultira negativnim brojem. Na osnovu ovog svojstva, (−5) 3 17 n n je proizvod lijevog i desnog dijela n pravih nejednačina a svojstva nejednačina, nejednakost koja se dokazuje ima oblik a n n . Na primjer, zbog ovog svojstva nejednakosti 3 7 7 i .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija sa prirodnim eksponentima. Hajde da to formulišemo. Od dva stepena sa prirodnim pokazateljima i istim pozitivnim osnovama, manji od jednog, veći je stepen čiji je pokazatelj manji; a od dva stepena sa prirodnim pokazateljima i istim osnovama većim od jedan, veći je stepen čiji je pokazatelj veći. Prelazimo na dokaz ovog svojstva.

Dokažimo da za m>n i 0m n . Da bismo to učinili, napišemo razliku a m − a n i uporedimo je sa nulom. Napisana razlika nakon uzimanja n iz zagrada poprimiće oblik a n ·(a m−n −1) . Rezultirajući proizvod je negativan kao proizvod pozitivnog broja a n i negativnog broja a m−n −1 (a n je pozitivan kao prirodni stepen pozitivnog broja, a razlika a m−n −1 je negativna, budući da je m−n >0 zbog početnog uslova m>n , odakle slijedi da je za 0m−n manji od jedan). Dakle, a m − a n m n, što je trebalo dokazati. Na primjer, dajemo ispravnu nejednakost.

Ostaje dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da je za m>n i a>1 a m >a n tačno. Razlika a m −a n nakon uzimanja n iz zagrada ima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj proizvod je pozitivan, jer je za a>1 stepen a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 pozitivan broj, jer je m−n>0 zbog početnog stanja, a za a>1, stepen a m−n je veći od jedan. Dakle, a m − a n >0 i a m >a n, što je trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustruje nejednakost 3 7 >3 2 .

Svojstva stupnjeva s cijelim eksponentima

Kako su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s pozitivnim cijelim eksponentima potpuno poklapaju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom pasusu.

Definisali smo stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom, kao i stepen sa nultim eksponentom, tako da sva svojstva stepeni sa prirodnim eksponentima izražena jednakostima ostaju važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze stupnjeva različite od nule.

Dakle, za sve realne i različite brojeve a i b, kao i za bilo koje cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće svojstva stupnjeva sa cijelim eksponentima:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a n n i a−n>b−n ;
• ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je za 0m n i za a>1 nejednakost a m >a n zadovoljena.

Za a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo zapisana svojstva vrijede i za slučajeve kada su a=0 i brojevi m i n pozitivni cijeli brojevi.

Svako od ovih svojstava nije teško dokazati, za to je dovoljno koristiti definicije stepena sa prirodnim i celobrojnim eksponentom, kao i svojstva radnji sa realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo snage vrijedi i za pozitivne i za nepozitivne cijele brojeve. Da bismo to uradili, moramo pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, onda su jednakosti (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a −p) −q =a (−p) (−q) . Hajde da to uradimo.

Za pozitivne p i q, jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom pododjeljku. Ako je p=0, onda imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0 q . Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p 0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p 0 . Ako su i p=0 i q=0, tada (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1, odakle (a 0) 0 =a 0 0 .

Dokažimo sada da je (a −p) q =a (−p) q . Po definiciji stepena s negativnim cijelim eksponentom , onda . Po svojstvu količnika u stepenu, imamo . Budući da je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada . Poslednji izraz je, po definiciji, stepen oblika a −(p q) , koji se, na osnovu pravila množenja, može zapisati kao (−p) q .

Slično .

I .

Po istom principu, sva ostala svojstva stepena možete dokazati celobrojnim eksponentom, zapisanim u obliku jednakosti.

U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n, što vrijedi za svaki negativan cijeli broj −n i bilo koje pozitivne a i b za koje je uvjet a . Zapisujemo i transformiramo razliku između lijevog i desnog dijela ove nejednakosti: . Pošto po uslovu a n n , dakle, b n − a n >0 . Proizvod a n ·b n je također pozitivan kao proizvod pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je rezultujući razlomak pozitivan kao količnik pozitivnih brojeva b n − a n i a n b n . Dakle, odakle je a −n >b −n, što je trebalo dokazati.

Posljednje svojstvo stupnjeva s cijelim eksponentima dokazuje se na isti način kao i analogno svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentima.

Svojstva potencija sa racionalnim eksponentima

Definisali smo stepen sa razlomačnim eksponentom tako što smo proširili svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, stepeni sa razlomačnim eksponentima imaju ista svojstva kao i stepeni sa celobrojnim eksponentima. naime:

1. svojstvo proizvoda snaga sa istom osnovom za a>0 , i ako i , onda za a≥0 ;
2. svojstvo parcijalnih snaga sa istim osnovama za a>0 ;
3. svojstvo razlomka proizvoda za a>0 i b>0 , i ako i , onda za a≥0 i (ili) b≥0 ;
4. svojstvo kvocijenta u razlomku za a>0 i b>0, a ako je, onda za a≥0 i b>0;
5. stepen svojstvo u stepenu za a>0 , i ako i , onda za a≥0 ;
6. svojstvo poređenja stepena sa jednakim racionalnim eksponentima: za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p ;
7. svojstvo poređenja stepena sa racionalnim eksponentima i jednakim bazama: za racionalne brojeve p i q, p>q za 0p q, a za a>0, nejednakost a p >a q .

Dokaz svojstava stepena sa frakcijskim eksponentima zasniva se na definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom, na svojstvima aritmetičkog korena n-tog stepena i na svojstvima stepena sa celobrojnim eksponentom. Hajde da damo dokaz.

Po definiciji stupnja s fractional eksponentom i , Zatim . Svojstva aritmetičkog korijena nam omogućavaju da zapišemo sljedeće jednakosti. Dalje, koristeći svojstvo stepena sa celobrojnim eksponentom, dobijamo , odakle, po definiciji stepena sa delimičnim eksponentom, imamo , a eksponent dobijenog stepena može se pretvoriti na sljedeći način: . Ovim je dokaz završen.

Drugo svojstvo potencija s razlomcima eksponenta dokazuje se na potpuno isti način:


Ostale jednakosti dokazuju se sličnim principima:


Prelazimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b , a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p . Racionalni broj p zapisujemo kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uslovi p 0 u ovom slučaju će biti ekvivalentni uslovima m 0, respektivno. Za m>0 i am m . Iz ove nejednakosti, po svojstvu korijena, imamo , a pošto su a i b pozitivni brojevi, onda, na osnovu definicije stepena s razlomkom eksponenta, rezultirajuća nejednakost se može prepisati kao , odnosno a p p .

Slično, kada je m m >b m , odakle , odnosno a p >b p .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p>q za 0p q, a za a>0 nejednakost a p >a q. Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, dobijemo obične razlomke i , gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n je prirodan broj. U ovom slučaju, uslov p>q odgovaraće uslovu m 1 >m 2, koji sledi iz pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima. Zatim, po svojstvu poređenja stepena sa istim bazama i prirodnim eksponentima, za 0m 1 m 2, i za a>1, nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u smislu svojstava korijena mogu se prepisati, odnosno, kao i . A definicija stepena sa racionalnim eksponentom omogućava nam da pređemo na nejednakosti i, respektivno. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0p q, a za a>0, nejednakost a p >a q.

Svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima

Iz toga kako je definisan stepen sa iracionalnim eksponentom, možemo zaključiti da on ima sva svojstva stepeni sa racionalnim eksponentima. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. za bilo koje pozitivne brojeve a i b , a 0 vrijedi nejednakost a p p, a za p p >b p ;
7. za iracionalne brojeve p i q, p>q za 0p q, a za a>0 nejednakost a p >a q.

Iz ovoga možemo zaključiti da potencije sa bilo kojim realnim eksponentima p i q za a>0 imaju ista svojstva.

• Algebra - 10. razred. Trigonometrijske jednadžbe Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi" Dodatni materijali Poštovani korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali […]
• Raspisan je konkurs za radno mjesto "PRODAVAC - KONSULTANT": Odgovornosti: prodaja mobilni telefoni i pribor za mobilne komunikacije servisno održavanje povezivanja pretplatnika Beeline, Tele2, MTS tarifnih planova i usluga Beeline i Tele2, MTS […]
• Paralelepiped formule Paralelepiped je poliedar sa 6 strana, od kojih je svaka paralelogram. Kuboid je kvadar čija je svaka strana pravougaonik. Svaki paralelepiped karakteriziraju 3 […]
• Društvo za zaštitu prava potrošača Astana Da biste dobili pin-kod za pristup ovom dokumentu na našoj web stranici, pošaljite SMS poruku sa tekstom zan na broj Pretplatnici GSM operatera (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) slanjem SMS-a u sobu, […]
• PRAVOPIS N I NN U RAZLIČITIM DELOVIMA GOVORA 2. Navedite izuzetke od ovih pravila. 3. Kako razlikovati glagolski pridjev sa sufiksom -n- od participa sa […]
• Usvojiti zakon o porodičnim imanjima Usvojiti savezni zakon o besplatnoj dodjeli svakom građaninu koji želi Ruska Federacija ili porodica građana na zemljišnoj parceli za uređenje rodbinske okućnice pod sljedećim uslovima: 1. Parcela se dodjeljuje za […]
• INSPEKCIJA GOSTEKHNADZORA BRJANSKE REGIJE Potvrda o uplati državne dažbine (Preuzimanje-12,2 kb) Zahtevi za registraciju za fizička lica (Preuzimanje-12 kb) Zahtevi za registraciju za pravna lica (Preuzimanje-11,4 kb) 1. Prilikom registracije novog automobila: 1.zahtjev 2.pasoš […]
• Dugo nismo igrali 1x1 turnire. I vrijeme je da se ova tradicija nastavi. Dok ne budemo mogli organizirati zasebnu ljestvicu i turnire za 1v1 igrače, predlažemo korištenje profila vašeg tima na stranici. Oduzmite ili dodajte bodove za igre u utakmicama [...]

Jedna od glavnih karakteristika u algebri, ai u cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. vijeku svi proračuni se mogu izvršiti na online kalkulatoru, ali bolje je naučiti kako to učiniti sami za razvoj mozga.

U ovom članku ćemo razmotriti najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, shvatićemo šta je to uopšte i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda proračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i po čemu se razlikuju od drugih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti različite probleme koristeći ovu vrijednost. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stepen, iracionalan, negativan itd.

Online kalkulator eksponencije

Koliki je stepen broja

Šta znači izraz "podići broj na stepen"?

Stepen n broja a je proizvod faktora veličine a n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tabela kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tabela stepeni od 1 do 10

Ispod su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne stepene - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva diploma

Šta je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Naučnici su ustanovili sledeće znakovi karakteristični za sve stepene:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Šta ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcionišu.

Ali kako biti sa sabiranjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se vrši eksponencijacija, pa tek onda sabiranje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi proračuni u složenijim slučajevima? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja, dijeljenja;
• nakon sabiranja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stepene:

1. Koren n-tog stepena od broja a do stepena m biće zapisan kao: a m / n .
2. Kada se razlomak podiže na stepen: i brojnik i njegov imenilac podliježu ovom postupku.
3. Kada se proizvod različitih brojeva podiže na stepen, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na dati stepen. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, trebate podijeliti 1 brojem u istom koraku, ali sa znakom “+”.
5. Ako je nazivnik razlomka u negativnom stepenu, onda će ovaj izraz biti jednak proizvodu brojnika i nazivnika u pozitivnom stepenu.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u pojedinačnim slučajevima, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stepen s negativnim eksponentom

Šta učiniti sa negativnim stepenom, odnosno kada je indikator negativan?

Na osnovu svojstava 4 i 5(vidi tačku iznad) ispostavilo se:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Šta ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stepen sa prirodnim indikatorom

Podrazumijeva se kao stepen sa eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...onda će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj podigne na neparan stepen, onda obrnuto.

Opća svojstva, kao i sve gore opisane specifične karakteristike, također su karakteristične za njih.

Razlomak stepena

Ovaj pogled se može napisati kao šema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stepena broja A na stepen m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, razložiti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome sa takvim indikatorom, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 su racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uslovima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - biće jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Hajde da rezimiramo - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičara i programera prilikom rješavanja primjera, jer omogućavaju minimiziranje proračuna, reduciranje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

Razmotrimo temu transformacije izraza s potencijama, ali prvo ćemo se zadržati na brojnim transformacijama koje se mogu izvesti s bilo kojim izrazima, uključujući i one potencirane. Naučićemo kako da otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove, radimo sa bazom i eksponentom, koristimo svojstva stepeni.

Šta su izrazi moći?

U školskom kursu malo ljudi koristi frazu "izrazi moći", ali se ovaj izraz stalno nalazi u zbirkama za pripremu ispita. U većini slučajeva, izraz označava izraze koji sadrže stupnjeve u svojim unosima. To je ono što ćemo odraziti u našoj definiciji.

Definicija 1

Izraz moći je izraz koji sadrži stupnjeve.

Dajemo nekoliko primjera izraza stepena, počevši od stepena sa prirodnim eksponentom i završavajući stepenom sa realnim eksponentom.

Najjednostavniji izrazi stepena mogu se smatrati potencijama broja sa prirodnim eksponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kao i potencije sa nultim eksponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . I potenci sa negativnim cijelim potencijama: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Malo je teže raditi sa diplomom koja ima racionalne i iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator može biti varijabla 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ili logaritam x 2 l g x − 5 x l g x.

Bavili smo se pitanjem šta su izrazi moći. Pogledajmo sada njihovu transformaciju.

Glavne vrste transformacija izraza moći

Prije svega, razmotrit ćemo osnovne transformacije identiteta izraza koje se mogu izvesti pomoću izraza moći.

Primjer 1

Izračunajte vrijednost izraza snage 2 3 (4 2 − 12).

Odluka

Sve transformacije ćemo izvršiti u skladu sa redosledom radnji. U ovom slučaju, počet ćemo izvođenjem radnji u zagradama: zamijenit ćemo stepen digitalnom vrijednošću i izračunati razliku između dva broja. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ostaje nam da zamijenimo diplomu 2 3 njegovo značenje 8 i izračunaj proizvod 8 4 = 32. Evo našeg odgovora.

odgovor: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Primjer 2

Pojednostavite izražavanje pomoću ovlasti 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Odluka

Izraz koji nam je dat u uslovu problema sadrži slične pojmove, koje možemo donijeti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odgovor: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Primjer 3

Izraz sa potencijama 9 - b 3 · π - 1 2 izraziti kao proizvod.

Odluka

Predstavimo broj 9 kao stepen 3 2 i primijeniti skraćenu formulu množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odgovor: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A sada idemo na analizu identične transformacije, koji se može primijeniti posebno na izraze stepena.

Rad sa bazom i eksponentom

Stepen u bazi ili eksponentu može imati brojeve, varijable i neke izraze. Na primjer, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 i . Teško je raditi sa takvim zapisima. Mnogo je lakše zamijeniti izraz u bazi stepena ili izraz u eksponentu identično jednakim izrazom.

Transformacije stepena i indikatora provode se prema nama poznatim pravilima odvojeno jedna od druge. Najvažnije je da se kao rezultat transformacija dobije izraz koji je identičan originalnom.

Svrha transformacija je da se pojednostavi originalni izraz ili da se dobije rješenje problema. Na primjer, u primjeru koji smo dali gore, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 možete izvoditi operacije da biste došli do stepena 4 , 1 1 , 3 . Otvarajući zagrade, možemo uvesti slične pojmove u osnovu stepena (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i dobiti izraz moći jednostavan oblik a 2 (x + 1).

Korištenje Power Properties

Svojstva stepeni, zapisana kao jednakosti, jedno su od glavnih alata za transformaciju izraza sa stepenima. Ovdje predstavljamo glavne, s obzirom na to a i b su bilo koji pozitivni brojevi, i r i s- proizvoljni realni brojevi:

Definicija 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

U slučajevima kada imamo posla s prirodnim, cjelobrojnim, pozitivnim eksponentima, ograničenja za brojeve a i b mogu biti mnogo manje stroga. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir jednakost a m a n = a m + n, gdje m i n su prirodni brojevi, onda će to vrijediti za sve vrijednosti a, pozitivne i negativne, kao i za a = 0.

Svojstva stupnjeva možete primijeniti bez ograničenja u slučajevima kada su baze stupnjeva pozitivne ili sadrže varijable čiji je raspon prihvatljivih vrijednosti takav da baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti na njemu. U stvari, iznutra školski program u matematici zadatak učenika je da odabere odgovarajuće svojstvo i da ga pravilno primeni.

Prilikom pripreme za upis na fakultete mogu postojati zadaci u kojima će neprecizna primjena svojstava dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih poteškoća s rješenjem. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo dva takva slučaja. Više informacija o ovoj temi možete pronaći u temi "Transformiranje izraza korištenjem svojstava eksponenta".

Primjer 4

Predstavite izraz a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kao diploma sa bazom a.

Odluka

Za početak, koristimo svojstvo eksponencijacije i transformiramo drugi faktor koristeći ga (a 2) − 3. Zatim koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istom osnovom:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

odgovor: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformacija izraza stepena prema svojstvu stupnjeva može se vršiti i slijeva na desno i u suprotnom smjeru.

Primjer 5

Naći vrijednost izraza stepena 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Odluka

Ako primijenimo jednakost (a b) r = a r b r, s desna na lijevo, tada dobivamo proizvod oblika 3 7 1 3 21 2 3 i zatim 21 1 3 21 2 3 . Dodajmo eksponente pri množenju potencija s istim bazama: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Postoji još jedan način da napravite transformaciju:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primjer 6

Dat izraz moći a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, unesite novu varijablu t = a 0 , 5.

Odluka

Zamislite stepen a 1, 5 as a 0 , 5 3. Korišćenje svojstva stepena u stepenu (a r) s = a r s s desna na lijevo i dobijemo (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . U rezultirajućem izrazu možete lako uvesti novu varijablu t = a 0 , 5: dobiti t 3 − t − 6.

odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže stepene

Obično imamo posla sa dve varijante izraza stepena sa razlomcima: izraz je razlomak sa stepenom ili sadrži takav razlomak. Sve osnovne transformacije razlomaka su primjenjive na takve izraze bez ograničenja. Mogu se smanjiti, dovesti do novog nazivnika, raditi odvojeno sa brojicom i nazivnikom. Ilustrirajmo to primjerima.

Primjer 7

Pojednostavite izraz stepena 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Odluka

Radimo sa razlomkom, pa ćemo izvršiti transformacije i u brojniku i u nazivniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Stavite minus ispred razlomka da promijenite predznak nazivnika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Razlomci koji sadrže stupnjeve svode se na novi nazivnik na isti način kao i racionalni razlomci. Da biste to učinili, morate pronaći dodatni faktor i pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim. Potrebno je odabrati dodatni faktor na način da ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za originalni izraz.

Primjer 8

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) a + 1 a 0, 7 na nazivnik a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na nazivnik x + 8 y 1 2 .

Odluka

a) Odaberemo faktor koji će nam omogućiti da svedemo na novi nazivnik. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , stoga kao dodatni faktor uzimamo a 0 , 3. Raspon dozvoljenih vrijednosti varijable a uključuje skup svih pozitivnih realnih brojeva. U ovoj oblasti, stepen a 0 , 3 ne ide na nulu.

Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Obratite pažnju na imenilac:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo ovaj izraz sa x 1 3 + 2 · y 1 6 , dobićemo zbir kocki x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . Ovo je naš novi nazivnik na koji trebamo dovesti originalni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x i y izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne nestaje, pa s njim možemo pomnožiti brojilac i imenilac razlomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Primjer 9

Smanjite razlomak: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Odluka

a) Koristite najveći zajednički imenilac (GCD) kojim se brojnik i imenilac mogu smanjiti. Za brojeve 30 i 45, ovo je 15. Možemo i smanjiti x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Dobijamo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Ovdje nije očigledno prisustvo identičnih faktora. Morat ćete izvršiti neke transformacije da biste dobili iste faktore u brojniku i nazivniku. Da bismo to učinili, proširimo nazivnik koristeći formulu razlike kvadrata:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Glavne operacije s razlomcima uključuju svođenje na novi nazivnik i redukciju razlomaka. Obje radnje se izvode u skladu sa nizom pravila. Prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka, razlomci se prvo svode na zajednički nazivnik, nakon čega se izvode operacije (sabiranje ili oduzimanje) s brojiocima. Imenilac ostaje isti. Rezultat naših radnji je novi razlomak, čiji je brojnik proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika.

Primjer 10

Uradite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Odluka

Počnimo oduzimanjem razlomaka koji su u zagradama. Hajde da ih dovedemo do zajedničkog imenioca:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Oduzmimo brojioce:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sada množimo razlomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Smanjimo za stepen x 1 2, dobijamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatno, možete pojednostaviti izraz stepena u nazivniku koristeći formulu za razliku kvadrata: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primjer 11

Pojednostavite izraz stepena x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Odluka

Razlomak možemo smanjiti za (x 2 , 7 + 1) 2. Dobijamo razlomak x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nastavimo transformacije x potencija x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sada možete koristiti svojstvo podjele snage sa istim bazama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Od posljednjeg proizvoda prelazimo na razlomak x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odgovor: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

U većini slučajeva zgodnije je prenijeti množitelje sa negativnim eksponentima iz brojnika u nazivnik i obrnuto promjenom predznaka eksponenta. Ova radnja pojednostavljuje dalju odluku. Dajemo primjer: izraz stepena (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 može se zamijeniti sa x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

U zadacima postoje izrazi stepena koji sadrže ne samo stupnjeve s razlomcima, već i korijene. Poželjno je takve izraze svesti samo na korijene ili samo na moći. Prelazak na stepene je poželjniji, jer je s njima lakše raditi. Takav prijelaz je posebno povoljan kada vam DPV varijabli za originalni izraz omogućava zamjenu korijena potencijama bez potrebe za pristupom modulu ili podjelom DPV-a na nekoliko intervala.

Primjer 12

Izraz x 1 9 x x 3 6 izraziti kao stepen.

Odluka

Važeći raspon varijable x je određena sa dvije nejednakosti x ≥ 0 i x · x 3 ≥ 0, koji definišu skup [ 0 , + ∞) .

Na ovom skupu, imamo pravo da pređemo od korena do moći:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Koristeći svojstva stupnjeva, pojednostavljujemo rezultujući izraz snage.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odgovor: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pretvaranje stepena sa varijablama u eksponentu

Ove transformacije je prilično jednostavno napraviti ako pravilno koristite svojstva stepena. Na primjer, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Možemo zamijeniti proizvod stepena u smislu kojeg se nalazi zbir neke varijable i broja. Na lijevoj strani, to se može učiniti s prvim i posljednjim pojmom na lijevoj strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Podijelimo sada obje strane jednačine sa 7 2 x. Ovaj izraz na ODZ-u varijable x uzima samo pozitivne vrijednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Smanjimo razlomke potencijama, dobijamo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Konačno, omjer stepena s istim eksponentima zamjenjuje se potencijama omjera, što dovodi do jednačine 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , što je ekvivalentno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Uvedemo novu varijablu t = 5 7 x , koja reducira rješenje originala eksponencijalna jednačina na rješenje kvadratne jednadžbe 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pretvaranje izraza sa stepenom i logaritmima

Izrazi koji sadrže stepene i logaritme također se nalaze u problemima. Primjeri takvih izraza su: 1 4 1 - 5 log 2 3 ili log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacija ovakvih izraza se vrši korišćenjem navedenih pristupa i svojstava logaritama, koje smo detaljno analizirali u temi "Transformacija logaritamskih izraza".

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter