Čo znamená plocha povrchu? Ktorý geometrický útvar má najmenší povrch? Pozrite sa, čo je „Oblasť povrchu“ v iných slovníkoch
Pomer objemu k povrchu akéhokoľvek fyzického tela. Jedna z najdôležitejších inžinierskych techník.
Predstavte si kocku s dĺžkou hrany 1 meter (1 centimeter, 1 stopa, 1 palec alebo 1 „čo len chcete“), potom tam bude meter – pre jednoduchosť. Objem tejto kocky je 1 m3. Každá strana má plochu 1 m2 a celá plocha tejto kocky je 6 m2 - má šesť strán. Pomer objemu k ploche povrchu je 1:6 = 1/6 (teraz a potom - bez zohľadnenia rozmerov).
Teraz si predstavte kocku so stranou 3 m. Objem tejto kocky je 27 m 3 (3x3x3). Každá strana má plochu 9 m2 a celková plocha tejto kocky je 54 m2. Pomer objemu k ploche povrchu je 27:54 = 1/2 = 3/6.
To znamená, že so zvýšením lineárnej veľkosti o 3-krát sa plocha povrchu zväčšila 9-krát, ale objem sa zvýšil 27-krát. Pomer objemu k ploche sa zvýšil 3-krát.
Nižšie uvedená tabuľka zobrazuje výpočty pre kocky pri zdvojnásobovaní lineárnej veľkosti krok za krokom:
Tabuľka. Porovnanie dynamiky povrchu a objemu fyzického tela s rastúcou lineárnou veľkosťou.
| Lineárna veľkosť (m) | Plocha (m2) | Objem, m3) |
Pomer objemu k ploche povrchu |
|
0,17 |
|||
|
0,33 |
|||
|
0,67 |
|||
|
1,33 |
|||
|
2,67 |
|||
|
5,33 |
|||
|
10,67 |
|||
|
21,33 |
|||
|
42,67 |
|||
|
85,33 |
Keď sa lineárna veľkosť zvyšuje, objem sa zvyšuje oveľa rýchlejšie ako povrch tela, pretože objem je úmerný kocke lineárnej veľkosti a plocha je úmerná štvorcu. Táto skutočnosť platí nielen pre kubické telesá, ale aj pre akékoľvek iné telesá, prirodzene pri zachovaní tvaru (alebo proporcií, ak chcete).
Kreslenie. Porovnanie dynamiky povrchu a objemu fyzického tela s rastúcou lineárnou veľkosťou.
Niekoľko každodenných príkladov dôležitosti danej skutočnosti.1) Prestup tepla je úmerný ploche povrchu. Tepelná kapacita je objem telesa. Z tejto skutočnosti priamo vyplýva, že väčšej budove (rovnakého tvaru) bude trvať dlhšie, kým uvoľní teplo naakumulované počas denného svetla (alebo sa cez deň vykúri) a bude vyžadovať menej energie na jednotku úžitkovej plochy -! Úžitková plocha je priamo úmerná vnútornému objemu! - na kúrenie (klimatizácia).
2) Hmotnosť (hmotnosť) je úmerná objemu podpery. Zaťaženie pôdy - plocha. Z tejto skutočnosti priamo vyplýva, že pre podperu akéhokoľvek tvaru existuje veľkosť, od ktorej (pri zachovaní tvaru) pôjde do akejkoľvek pôdy.
3) Dieťa má úplne iný pomer plocha/objem ako dospelý. Preto sú riziká podchladenia či úpalu pre dieťa nepomerne vyššie (čo je samozrejme čiastočne kompenzované rozdielnou rýchlosťou metabolických procesov u detí).
Toto je celková plocha všetkých povrchov postavy. Povrch kocky sa rovná súčtu plôch všetkých jej šiestich stien. Plocha povrchu je číselná charakteristika povrchu. Na výpočet plochy povrchu kocky potrebujete poznať určitý vzorec a dĺžku jednej zo strán kocky. Aby ste mohli rýchlo vypočítať povrch kocky, musíte si zapamätať vzorec a samotný postup. Nižšie podrobne rozoberieme postup výpočtu. celkový povrch kocky a uveďte konkrétne príklady.
Vykonáva sa podľa vzorca SA = 6a 2. Kocka (pravidelný šesťsten) je jedným z 5 typov pravidelných mnohostenov, čo je pravidelný pravouhlý rovnobežnosten, kocka má 6 stien, pričom každá z týchto stien je štvorcová.
Pre výpočet plochy povrchu kocky Musíte si zapísať vzorec SA = 6a 2. Teraz sa pozrime, prečo tento vzorec vyzerá takto. Ako sme už povedali, kocka má šesť rovnakých štvorcových plôch. Na základe skutočnosti, že strany štvorca sú rovnaké, plocha štvorca je - a 2, kde a je strana kocky. Pretože kocka má 6 rovnakých štvorcových plôch, potom na určenie jej povrchu musíte vynásobiť plochu jednej plochy (štvorca) šiestimi. Výsledkom je, že získame vzorec na výpočet plochy povrchu (SA) kocky: SA = 6a 2, kde a je hrana kocky (strana štvorca).
Aký je povrch kocky?
Meria sa v štvorcových jednotkách, napríklad mm 2, cm 2, m 2 atď. Pre ďalšie výpočty budete musieť zmerať hranu kocky. Ako vieme, hrany kocky sú rovnaké, takže vám bude stačiť zmerať len jednu (ľubovoľnú) hranu kocky. Toto meranie môžete vykonať pomocou pravítka (alebo pásky). Venujte pozornosť jednotkám merania na pravítku alebo páske a zapíšte si hodnotu a označte ju písmenom a.
Príklad: a = 2 cm.
Umocnite výslednú hodnotu. Takto odmocníte dĺžku hrany kocky. Ak chcete číslo odmocniť, vynásobte ho samotným. Náš vzorec bude vyzerať takto: SA = 6*a 2
Vypočítali ste plochu jednej z plôch kocky.
Príklad: a = 2 cm
a2 = 2 x 2 = 4 cm2
Výslednú hodnotu vynásobte šiestimi. Nezabudnite, že kocka má 6 rovnakých strán. Po určení plochy jednej z plôch vynásobte výslednú hodnotu 6 tak, aby boli do výpočtu zahrnuté všetky plochy kocky.
Tu sa dostávame k záverečnej akcii výpočet plochy povrchu kocky.
Príklad: a2 = 4 cm2
SA = 6 x a2 = 6 x 4 = 24 cm2
Ak je strana kocky rovná A, To
objem kocky sa bude rovnať a 3,
plocha jednej strany - a 2, resp.
plocha šiestich strán (t.j. plocha kocky) - 6a 2. Počítame:
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| S=6a 2 | 6 | 24 | 54 | 96 | 150 | 216 |
| V = a 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| S/V | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
čo vidíme? S rastúcou veľkosťou kocky (zelená čiara) sa jej povrch (žltá čiara) postupne zväčšuje (od 6 do 216). A objem kocky (modrá čiara) tiež rastie (z 1 na 216). Každý rastie, ale objem rastie rýchlejšie ako povrch. Môžete to overiť pomocou červenej čiary, ktorá ukazuje pomer povrchu k objemu: na jednotku objemu pri najmenšej kocke musímšesť povrchových jednotiek a najväčšia má iba jednu.
Ako sa to dá posúdiť? Predstavte si, že každá jednotka objemu je jedna „osoba“ a jednotka povrchu je okno, cez ktoré môže človek dýchať. Potom
- Jedna osoba žije v kocke so stranou 1 a môže dýchať cez 6 okien;
- 8 ľudí žije v kocke so stranou 2 a dýchajú cez 24 okien (každý dostane 3);
- 27 ľudí žije v kocke so stranou 3 a dýchajú cez 54 okien (každý dostane 2);
To isté pre deti, ktoré nevedia vypočítať plochu a povrch kocky
Malé deti! Vezmite kocku do rúk. Hráte sa s kockami?
Nie! Čo sme my, maličkí? Hráme SonyPlaystation!
Výborne deti! Nebrali sme kocky na hranie, ale na štúdium biológie! Predstavte si, že vo vnútri kocky sedí človiečik a po stranách kocky sú okná, cez ktoré môže miestnosť vetrať.
Prezentované! Super!
Kocka má 6 strán, to znamená, že jeden človek má 6 okien a nie je dusno. Teraz spojte dve kocky. Teraz sú tu 2 ľudia a zostáva 10 okien, teda 5 pre každého.
Ojoj! Nech sa páči!
Teraz urobte zo 4 kociek štvorec. Sú tam 4 ľudia, 16 okien, pre každého 4. A ak dáte druhé poschodie, t.j. Ak vytvoríte super kocku 2x2x2, bude tam 8 malých ľudí a 24 okien, pre každého 3. Máte pocit, že je pre malých ľudí čoraz ťažšie vetrať svoje izby?
K – počet kociek, C – počet strán ponechaných vonku
Táto téma je zložitá a nejasná. Väčšina mojich študentov to nikdy nepochopí - ani v deviatom ročníku, ani v jedenástom ročníku - ale jednoducho si zapamätajte pravidlo: čím je organizmus väčší, tým je jeho povrch relatívne menší a naopak. Je však lepšie nenapchať sa, ale pochopiť, takže dôrazne odporúčam, aby ste si vzali svoje osobné kocky (ktoré stále hráte tajne pred všetkými) a vypočítali si všetko sami. Stojí to za to: v našom biologickom chove sa veľmi často používa pravidlo pomeru objem-plocha. Tu je pár príkladov.
Doktrína Mega Sparrowa
Hmotnosť vtáky sú objem, vynásobené hustotou a oblasť krídla - toto je povrch. Z toho je zrejmé, že s rastúcou veľkosťou vtáka sa jeho hmotnosť (kubická funkcia) zvýši rýchlejšie ako veľkosť krídel (kvadratická funkcia). Pomaly rastúce krídla budú mať čoraz ťažšie dvíhať rýchlo rastúcu masu.
Praktická práca: vezmite vrabca a zväčšite jeho dĺžku 10-krát. V tomto prípade sa hmotnosť vtáka zvýši 1000-krát (10 3) a plocha krídel sa zväčší iba 100-krát (10 2). Dostaneme nelietavého vrabca, radosť všetkých dravcov v okolí. Aby náš mega vrabec lietal, potrebujeme druhý krok: zväčšenie plochy krídel ešte 10 krát. Bude to pekné stvorenie!
Prečo sa tuční ľudia potia?
Množstvo tepla produkovaného telom závisí od počtu buniek, t.j. na objeme. Teplo sa do okolia odovzdáva cez povrch tela. V dôsledku toho s rastúcou veľkosťou tela sa produkcia tepla (kubická funkcia) zvyšuje rýchlejšie ako prenos tepla (kvadratická funkcia). Veľké zvieratá sa preto ťažko ochladzujú, hrozí im prehriatie (a naopak, malým zvieratám vždy hrozí prechladnutie).
Slon so svojou veľkou veľkosťou má, celkom jasne, veľmi veľký povrch. ale vzhľadom na objem jeho povrch je veľmi malý. Aby sa slon zbavil prebytočného tepla, používa svoje obrovské uši. Vôbec nie sú potrebné na dobrý sluch (dobrý sluch napr. u dravcov – majú malé uši), ale na zväčšenie povrchu tela, cez ktorý dochádza k prenosu tepla.
V tejto chvíli sa deti pýtajú: „V Indii a Afrike nie je tam už také teplo? Odpoveď: Žiaľ, v našich chladných zemepisných šírkach by si slon nevedel nájsť dostatok potravy pre seba (a kde by sa v zime skrýval?) Mamuty (príbuzní slona, žijúci v trochu chladnejších podmienkach) šetrili teplo: mali normálna veľkosť uši a srsť ( ako sa na cicavca patrí).
Keď som kreslil tento obrázok, moja žena sa niekoľkokrát sťažovala, že slon je typický mimozemšťan, len sa naňho pozrite! Pre Rusov je slon skutočne úplne obyčajným zvieraťom, dokonca aj domorodým, ale je to len vďaka talentu Korneyho Ivanoviča Čukovského: „A slon je švihák, stometrová manželka obchodníka a žirafa je dôležitý gróf, vysoký ako telegraf.“ (Čukovskij K.I. „Krokodíl“) Obyvatelia iných krajín, zbavení Čukovského, vnímajú slona úplne inak: „Jeho nože boli ako stromy, uši mávali ako plachty, jeho dlhý kmeň bol zdvihnutý ako impozantný had pripravený vrhnúť sa, jeho zapálené malé oči." (Scrombie S. „Doručenie cenného nákladu: odborné rady“)
Ak vás zaujíma otázka, ktorý tvar karosérie má najmenší celkový povrch, tak treba mať na pamäti, že objemy porovnávaných telies musia byť samozrejme rovnaké.
Čo je potrebné pre experiment?
Na uskutočnenie takéhoto výskumného experimentu budete mať okrem malých, jednoduchých lekcií sochárstva, ktoré sú celkom prístupné každému z vás, aplikovať znalosti zo stereometrie. Dúfame, že táto vzdelávacia štúdia bude pre vás užitočná a zaujímavá.
Vezmite malý kúsok plastelíny alebo, ak ho nemáte, kúsok dobre rozdrvenej hliny. Vytvorte kocku. Pokúste sa ho udržať s rovnakými stranami a pravými uhlami. Zmerajte dĺžku jeho okraja a zapíšte si ho.
Potom z rovnakej kocky vytvarujte valec. Na pomere veľkosti podstavcov a výšky nezáleží. Je dôležité, aby to bol správny valec. Zmerajte polomer jeho základne a výšku a tiež si to zapíšte.
Z valca vytvorte guľu. S určitým úsilím môžete dosiahnuť, že získate skutočnú loptu. Zmerajte jeho polomer (to sa dá ľahko prepichnúť pletacou ihlou alebo rovným tuhým drôtom cez jeho stred). Po zapísaní polomeru gule, ak chcete, vytvarujte z gule ďalšie geometrické telesá, napríklad kužeľ, pyramídu atď.
Výsledky experimentu
A tak ste si zapísali veľkosti rôznych geometrických telies. Majú najrozmanitejšie tvary, no jedno majú spoločné – všetky majú rovnaké objemy. Koniec koncov, všetky sú vytesané z jedného kusu hliny alebo plastelíny.
Vzhľadom na akceptovaný objem plastelíny alebo hliny, napríklad jeden kubický centimeter, mali by ste po príslušných meraniach mať nasledujúce približné údaje o celkovej ploche povrchu pre rôzne postavy: guľa - 4 centimetre štvorcové; kocka - 6 centimetrov štvorcových; kužeľ - 7 centimetrov štvorcových; valec - 8 centimetrov štvorcových.
Fyzikálne zákony
Keď vyfúknete mydlovú bublinu, má tvar gule.
Pozorovali ste v lete kvapôčky rosy na listoch rastlín? Sú tam kvapôčky také malé, že sa vplyvom vlastnej hmotnosti nesploštia. Vyzerajú sféricky.
Voda a iné kvapaliny majú na svojom povrchu tenký molekulárny film, ktorý je pre oko neviditeľný. Pri vode je elastický. Táto elastická fólia sa vždy snaží zmršťovať, teda zaberať menej miesta, pričom tvorí čo najmenší povrch. Už ste videli, že loptička má najmenší povrch?
Astronauti v stave beztiaže môžu pozorovať, ako sa aj časť vody, ktorá sa zmestí do pohára, roztopí vo vzduchu vo forme gule. Na Zemi sa vplyvom gravitácie šíri voda a aby sa zachovala, prelieva sa do nádob.
Ale na povrchu preplneného pohára je jasne viditeľná vydutina vytvorená vodou. Neviditeľný molekulárny film sa snaží zabrániť pretečeniu vody. Vodný film je celkom odolný. Ihla opatrne umiestnená na hladine vody bude ležať na nej mierne zatlačená a vytvorí malú priehlbinu.
