Co oznacza powierzchnia? Która figura geometryczna ma najmniejszą powierzchnię? Zobacz, co oznacza „powierzchnia” w innych słownikach
Stosunek objętości do powierzchni dowolnego ciała fizycznego. Jedna z najważniejszych technik inżynierskich.
Wyobraź sobie sześcian o krawędzi o długości 1 metra (1 centymetr, 1 stopa, 1 cal lub 1 „cokolwiek chcesz”), wtedy będzie metr - dla uproszczenia. Objętość tego sześcianu wynosi 1 m3. Każdy bok ma powierzchnię 1 m2, a cała powierzchnia tego sześcianu wynosi 6 m2 - boków jest sześć. Stosunek objętości do powierzchni wynosi 1:6 = 1/6 (obecnie i w przyszłości - bez uwzględnienia wymiarów).
Teraz wyobraźmy sobie sześcian o boku 3 m. Objętość tego sześcianu wynosi 27 m 3 (3x3x3). Każdy bok ma powierzchnię 9 m2, a cała powierzchnia tego sześcianu wynosi 54 m2. Stosunek objętości do powierzchni wynosi 27:54 = 1/2 = 3/6.
Oznacza to, że przy 3-krotnym wzroście wielkości liniowej pole powierzchni zwiększyło się 9-krotnie, ale objętość wzrosła 27-krotnie. Stosunek objętości do powierzchni wzrósł 3-krotnie.
Poniższa tabela przedstawia obliczenia dla kostek przy podwajaniu rozmiaru liniowego krok po kroku:
Tabela. Porównanie dynamiki pola powierzchni i objętości ciała fizycznego wraz ze wzrostem wielkości liniowej.
| Rozmiar liniowy (m) | Powierzchnia (m2) | Objętość, m3) |
Stosunek objętości do powierzchni |
|
0,17 |
|||
|
0,33 |
|||
|
0,67 |
|||
|
1,33 |
|||
|
2,67 |
|||
|
5,33 |
|||
|
10,67 |
|||
|
21,33 |
|||
|
42,67 |
|||
|
85,33 |
Wraz ze wzrostem rozmiaru liniowego objętość wzrasta znacznie szybciej niż powierzchnia ciała, ponieważ objętość jest proporcjonalna do sześcianu rozmiaru liniowego, a powierzchnia jest proporcjonalna do kwadratu. Fakt ten dotyczy nie tylko brył sześciennych, ale także wszelkich innych brył, oczywiście przy zachowaniu kształtu (lub proporcji, jak kto woli).
Rysunek. Porównanie dynamiki pola powierzchni i objętości ciała fizycznego wraz ze wzrostem wielkości liniowej.
Kilka codziennych przykładów wagi omawianego faktu.1) Przenikanie ciepła jest proporcjonalne do powierzchni. Pojemność cieplna to objętość ciała. Z tego faktu bezpośrednio wynika, że większy budynek (o tym samym kształcie) będzie potrzebował więcej czasu na oddawanie ciepła nagromadzonego w ciągu dnia (lub nagrzewa się w ciągu dnia) i będzie potrzebował mniej energii na jednostkę powierzchni użytkowej -! Powierzchnia użytkowa jest wprost proporcjonalna do objętości wewnętrznej! - do ogrzewania (klimatyzacja).
2) Masa (waga) jest proporcjonalna do objętości podpory. Obciążenie gleby - powierzchnia. Z tego faktu bezpośrednio wynika, że dla podpory o dowolnym kształcie istnieje rozmiar, od którego (przy zachowaniu kształtu) wejdzie ona w dowolną glebę.
3) Dziecko ma zupełnie inny stosunek powierzchni do objętości niż osoba dorosła. Dlatego ryzyko hipotermii lub udaru cieplnego u dziecka jest nieproporcjonalnie większe (co oczywiście jest częściowo rekompensowane różną szybkością procesów metabolicznych u dzieci).
Jest to całkowita powierzchnia wszystkich powierzchni figury. Pole powierzchni sześcianu jest równe sumie pól wszystkich jego sześciu ścian. Pole powierzchni jest liczbową charakterystyką powierzchni. Aby obliczyć pole powierzchni sześcianu, musisz znać określony wzór i długość jednego z boków sześcianu. Aby szybko obliczyć pole powierzchni sześcianu, musisz pamiętać o wzorze i samej procedurze. Poniżej omówimy szczegółowo procedurę obliczeniową. całkowita powierzchnia sześcianu i podaj konkretne przykłady.
Wykonywane według wzoru SA = 6a 2. Sześcian (sześcian foremny) to jeden z 5 rodzajów wielościanów foremnych, który jest regularnym równoległościanem prostokątnym, sześcian ma 6 ścian, każda z tych ścian jest kwadratem.
Dla obliczanie pola powierzchni sześcianu Musisz zapisać wzór SA = 6a 2. Przyjrzyjmy się teraz, dlaczego ta formuła wygląda tak. Jak powiedzieliśmy wcześniej, sześcian ma sześć równych kwadratowych ścian. Opierając się na tym, że boki kwadratu są równe, pole kwadratu wynosi - 2, gdzie a jest bokiem sześcianu. Ponieważ sześcian ma 6 równych kwadratowych ścian, aby określić jego powierzchnię, należy pomnożyć powierzchnię jednej ściany (kwadratu) przez sześć. W rezultacie otrzymujemy wzór na obliczenie pola powierzchni (SA) sześcianu: SA = 6a 2, gdzie a jest krawędzią sześcianu (bokiem kwadratu).
Jaka jest powierzchnia sześcianu?
Jest mierzony w jednostkach kwadratowych, na przykład mm 2, cm 2, m 2 i tak dalej. Do dalszych obliczeń będziesz musiał zmierzyć krawędź sześcianu. Jak wiemy krawędzie sześcianu są równe, więc wystarczy, że zmierzysz tylko jedną (dowolną) krawędź sześcianu. Pomiar ten można wykonać za pomocą linijki (lub taśmy mierniczej). Zwróć uwagę na jednostki miary na linijce lub centymetrze i zapisz wartość, oznaczając ją literą a.
Przykład: a = 2 cm.
Podnieś otrzymaną wartość do kwadratu. W ten sposób podnosisz długość krawędzi sześcianu do kwadratu. Aby podnieść liczbę do kwadratu, pomnóż ją przez samą siebie. Nasza formuła będzie wyglądać następująco: SA = 6*a 2
Obliczyłeś pole jednej ze ścian sześcianu.
Przykład: a = 2 cm
za 2 = 2 x 2 = 4 cm 2
Otrzymaną wartość pomnóż przez sześć. Nie zapominaj, że sześcian ma 6 równych boków. Po określeniu obszaru jednej ze ścian pomnóż uzyskaną wartość przez 6, aby w obliczeniach uwzględnić wszystkie ściany sześcianu.
Tutaj dochodzimy do ostatniej akcji obliczanie pola powierzchni sześcianu.
Przykład: a 2 = 4 cm 2
SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2
Jeśli bok sześcianu jest równy A, To
objętość sześcianu będzie równa 3,
obszar jednej strony - 2 odpowiednio,
pole sześciu boków (czyli pole powierzchni sześcianu) - 6a 2. Liczymy:
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| S=6a 2 | 6 | 24 | 54 | 96 | 150 | 216 |
| V=a 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| S/V | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
Co widzimy? Wraz ze wzrostem rozmiaru sześcianu (linia zielona) stopniowo zwiększa się jego powierzchnia (linia żółta) (od 6 do 216). Rośnie także objętość sześcianu (niebieska linia) (od 1 do 216). Każdy rośnie, ale objętość rośnie szybciej niż powierzchnia. Możesz to sprawdzić za pomocą czerwonej linii, która pokazuje stosunek powierzchni do objętości: na jednostkę objętości w najmniejszej kostce musieć sześć jednostek powierzchni, a największa ma tylko jedną.
Jak można to ocenić? Wyobraź sobie, że każda jednostka objętości to jedna „osoba”, a jednostka powierzchni to okno, przez które człowiek może oddychać. Następnie
- Jedna osoba mieszka w sześcianie o boku 1 i może oddychać przez 6 okien;
- W sześcianie o boku 2 mieszka 8 osób, które oddychają przez 24 okna (każdy ma po 3);
- W sześcianie o boku 3 żyje 27 osób, które oddychają przez 54 okna (każdy ma po 2);
To samo dotyczy dzieci, które nie potrafią obliczyć pola i powierzchni sześcianu
Małe dziecko! Weź kostkę w swoje ręce. Czy bawisz się kostkami?
NIE! Kim jesteśmy, maluchy? Gramy na SonyPlaystation!
Brawo dzieci! Wzięliśmy kostki nie do zabawy, ale do nauki biologii! Wyobraź sobie, że wewnątrz sześcianu siedzi mały człowieczek, a boki sześcianu to okienka, przez które może on przewietrzyć pomieszczenie.
Przedstawione! Fajny!
Kostka ma 6 boków, co oznacza, że jedna osoba ma 6 okien i nie jest w niej duszno. Teraz złóż ze sobą dwie kostki. Teraz są 2 osoby i pozostało 10 okien, czyli po 5 dla każdego.
Ups! Proszę bardzo!
Teraz z 4 kostek zrób kwadrat. Są 4 osoby, 16 okien, po 4 na każde.A jeśli postawisz drugie piętro, tj. Jeśli zrobisz supersześcian 2x2x2, będzie tam 8 małych ludzi i 24 okna, po 3 na każde. Czy masz wrażenie, że małym ludziom coraz trudniej jest wietrzyć swoje pokoje?
K – liczba kostek, C – liczba boków pozostawionych na zewnątrz
Temat ten jest złożony i niejasny. Większość moich uczniów nigdy tego nie opanuje – ani w dziewiątej, ani jedenastej klasie – ale po prostu pamiętajcie o zasadzie: im większy organizm, tym stosunkowo mniejsza jego powierzchnia i odwrotnie. Ale lepiej nie wkuwać, ale zrozumieć, dlatego gorąco polecam wziąć swoje osobiste kości (w które nadal grasz w tajemnicy przed wszystkimi) i wszystko obliczyć samodzielnie. Warto: zasada stosunku objętości do powierzchni jest bardzo często stosowana w naszym rolnictwie biologicznym. Oto kilka przykładów.
Doktryna Mega Wróbla
Waga ptaki są objętościowe, pomnożone przez gęstość i Obszar skrzydła - to jest powierzchnia. Z tego staje się jasne, że wraz ze wzrostem wielkości ptaka jego masa (funkcja sześcienna) będzie rosła szybciej niż rozmiar skrzydeł (funkcja kwadratowa). Wolno rosnące skrzydła będą miały coraz większe trudności z uniesieniem szybko rosnącej masy.
Praca praktyczna: weź wróbla i zwiększ jego długość 10 razy. W tym przypadku masa ptaka wzrośnie 1000 razy (10 3), a powierzchnia skrzydeł wzrośnie tylko 100 razy (10 2). Dostaniemy nielotnego wróbla, radość wszystkich drapieżników w okolicy. Aby nasz mega wróbel latał, potrzebujemy drugiego kroku: zwiększenia powierzchni skrzydeł kolejne 10 razy. To będzie miłe stworzenie!
Dlaczego grubi ludzie się pocą?
Ilość ciepła wytworzonego przez organizm zależy od liczby komórek, tj. na głośność. Ciepło oddawane jest do otoczenia poprzez powierzchnię ciała. W konsekwencji wraz ze wzrostem wielkości ciała wytwarzanie ciepła (funkcja sześcienna) wzrasta szybciej niż przenoszenie ciepła (funkcja kwadratowa). Dlatego dużym zwierzętom trudno jest się ochłodzić, grozi im przegrzanie (i odwrotnie, małym zwierzętom zawsze grozi przechłodzenie).
Słoń przy swoich dużych rozmiarach ma, całkiem wyraźnie, bardzo dużą powierzchnię. Ale w stosunku do objętości jego powierzchnia jest bardzo mała. Aby pozbyć się nadmiaru ciepła, słoń wykorzystuje swoje ogromne uszy. Są one wcale potrzebne nie do dobrego słuchu (dobry słuch, na przykład u drapieżników - mają małe uszy), ale do zwiększenia powierzchni ciała, przez którą następuje przekazywanie ciepła.
W tym momencie dzieci pytają: „Czy w Indiach i Afryce nie jest już tak gorąco?” Odpowiedź: niestety na naszych chłodnych szerokościach geograficznych słoń nie byłby w stanie znaleźć dla siebie wystarczającej ilości pożywienia (a gdzie miałby się ukryć na zimę?). Mamuty (krewni słonia, żyjący w nieco chłodniejszych warunkach) oszczędzali ciepło: normalny rozmiar uszy i futro ( jak przystało na ssaka).
Kiedy rysowałem ten obrazek, moja żona kilka razy narzekała, że słoń to typowy kosmita, spójrzcie tylko na niego! Rzeczywiście dla Rosjan słoń jest zupełnie zwyczajnym zwierzęciem, nawet rodzimym, ale to wyłącznie dzięki talentowi Korneya Iwanowicza Czukowskiego: „A słoń to dandys, stumetrowa żona kupca, a żyrafa to ważny hrabia, wysoki jak telegraf. (Czukowski K.I. „Krokodyl”) Mieszkańcy innych krajów, pozbawieni Czukowskiego, postrzegają słonia zupełnie inaczej: „Jego noże były jak drzewa, uszy machały jak żagle, jego długi pień był uniesiony jak groźny wąż gotowy do ataku, jego małe oczy w stanie zapalnym.” (Scrombie S. „Dostawa wartościowego ładunku: porady ekspertów”)
Jeśli interesuje Cię, który kształt ciała ma najmniejszą powierzchnię całkowitą, to musisz pamiętać, że objętości porównywanych ciał muszą być oczywiście takie same.
Co jest potrzebne do eksperymentu?
Aby przeprowadzić taki eksperyment badawczy, oprócz małych, prostych lekcji rzeźby, które są w miarę dostępne dla każdego z was, będziecie musieli zastosować wiedzę o stereometrii. Mamy nadzieję, że to opracowanie edukacyjne będzie dla Państwa przydatne i interesujące.
Weź mały kawałek plasteliny lub, jeśli jej nie masz, kawałek dobrze utłuczonej gliny. Zrób sześcian. Staraj się zachować równe boki i kąty proste. Zmierz długość jego krawędzi i zapisz ją.
Następnie uformuj walec z tej samej kostki. Stosunek wielkości podstaw do wysokości nie ma znaczenia. Ważne jest, aby był to właściwy cylinder. Zmierz promień podstawy i wysokość, a także zapisz.
Uformuj kulę z cylindra. Przy odrobinie wysiłku możesz osiągnąć prawdziwą piłkę. Zmierz jego promień (można to łatwo zrobić przekłuwając go igłą dziewiarską lub prostym, sztywnym drutem przez środek). Po zapisaniu promienia kuli, jeśli chcesz, wyrzeźb z kuli inne bryły geometryczne, na przykład stożek, piramidę i tak dalej.
Wyniki eksperymentu
I tak zapisałeś rozmiary różnych ciał geometrycznych. Mają najróżniejsze kształty, ale łączy je jedno – wszystkie mają tę samą objętość. W końcu wszystkie są wyrzeźbione z jednego kawałka gliny lub plasteliny.
Biorąc pod uwagę przyjętą objętość plasteliny lub gliny, na przykład jeden centymetr sześcienny, powinieneś po odpowiednich pomiarach mieć następujące przybliżone dane dotyczące całkowitej powierzchni dla różnych figur: kula - 4 centymetry kwadratowe; sześcian - 6 centymetrów kwadratowych; stożek - 7 centymetrów kwadratowych; cylinder - 8 centymetrów kwadratowych.
Prawa fizyki
Kiedy dmuchasz w bańkę mydlaną, ma ona kształt kuli.
Czy zaobserwowałeś latem kropelki rosy na liściach roślin? Są kropelki tak małe, że nie spłaszczają się pod wpływem własnego ciężaru. Wyglądają na kuliste.
Woda i inne ciecze mają na swojej powierzchni cienką warstwę molekularną, niewidoczną dla oka. Jest elastyczny w pobliżu wody. Ta elastyczna folia zawsze stara się kurczyć, to znaczy zajmować jak najmniej miejsca, tworząc jednocześnie możliwie najmniejszą powierzchnię. Czy widziałeś już, że kula ma najmniejszą powierzchnię?
Astronauci w stanie nieważkości mogą obserwować, jak nawet porcja wody mieszcząca się w szklance topi się w powietrzu w postaci kuli. Na Ziemi pod wpływem grawitacji woda rozprzestrzenia się i w celu jej zachowania wlewa się ją do naczyń.
Ale na powierzchni przepełnionej szklanki wyraźnie widać wybrzuszenie utworzone przez wodę. Niewidzialny film molekularny stara się zapobiec przelewaniu się wody. Film wodny jest dość trwały. Igła ostrożnie umieszczona na powierzchni wody będzie na niej leżała, lekko wciśnięta, tworząc niewielkie zagłębienie.
