Fermato teoremos įrodymas yra elementarus, paprastas, suprantamas. Atskleiskime! Paskutinė Fermato teorema pasitvirtino? Nepatvirtintas teoremų sąrašas

Dažnai kalbėdamasis su gimnazistais apie matematikos mokslinius darbus girdžiu: „Ką tu gali atrasti naujo matematikoje?“ Bet iš tikrųjų: ar galima padaryti visus puikius atradimus ir įrodyti teoremas?

1900 m. Rugpjūčio 8 d. Paryžiuje vykusiame tarptautiniame matematikos kongrese matematikas Davidas Hilbertas išdėstė sąrašą problemų, kurias, jo manymu, teks išspręsti XX a. Sąraše buvo 23 elementai. Dvidešimt vienas iš jų jau išspręstas. Paskutinė Gilberto sąrašo problema, kurią reikėjo išspręsti, buvo garsioji Fermato teorema, su kuria mokslininkai negalėjo susidoroti 358 metus. 1994 m. Britas Andrew Wilesas pasiūlė savo sprendimą. Ir tai pasirodė tiesa.

Sekdami Gilberto pavyzdžiu praėjusio amžiaus pabaigoje, daugelis matematikų bandė suformuluoti tokias XXI amžiaus strategines užduotis. Vieną iš tokių sąrašų išgarsino Bostono milijardierius Landonas T. Clay. 1998 m. Jo sąskaita Kembridže (Masačusetsas, JAV) buvo įkurtas Molio matematikos institutas ir įsteigti apdovanojimai už daugelio svarbių šiuolaikinės matematikos problemų sprendimą. 2000 m. Gegužės 24 d. Instituto ekspertai pasirinko septynias problemas - pagal tai, kiek milijonų dolerių skirta apdovanojimams. Sąrašas buvo pavadintas Tūkstantmečio premijos problemomis:

1. Kuko problema (suformuluota 1971 m.)

Tarkime, kad jūs, būdami didelėje kompanijoje, norite įsitikinti, kad ten yra ir jūsų pažįstamas. Jei jums pasakys, kad jis sėdi kampe, tada pakaks sekundės dalies, kad, žvilgtelėjęs, įsitikintumėte informacijos tiesa. Jei šios informacijos nėra, būsite priversti vaikščioti po visą kambarį, apžiūrėdami svečius. Tai rodo, kad problemos sprendimas dažnai užtrunka ilgiau, nei tikrinant sprendimo teisingumą.

Stephenas Cookas suformulavo problemą: ar problemos sprendimo teisingumo patikrinimas gali užimti daugiau laiko nei pačio sprendimo gavimas, neatsižvelgiant į patvirtinimo algoritmą. Ši problema taip pat yra viena iš neišspręstų problemų logikos ir informatikos srityje. Jo sprendimas gali per daug pakeisti kriptografijos pagrindus, naudojamus perduodant ir saugant duomenis.

2. Riemanno hipotezė (suformuluota 1859 m.)

Kai kurie sveiki skaičiai negali būti išreikšti dviejų mažesnių sveikųjų skaičių, tokių kaip 2, 3, 5, 7 ir kt., Sandauga. Šie skaičiai vadinami pirminiais skaičiais ir vaidina svarbų vaidmenį grynojoje matematikoje ir jos taikymuose. Primų pasiskirstymas tarp visų natūralių skaičių eilučių nepaklūsta jokiam modeliui. Tačiau vokiečių matematikas Riemannas iškėlė hipotezę dėl pirminių skaičių sekos savybių. Jei bus patvirtinta Riemanno hipotezė, tai sukels revoliucinius mūsų žinių apie šifravimą pokyčius ir beprecedentį proveržį interneto saugumo srityje.

3. Beržo ir Swinnerton-Dyer hipotezė (suformuluota 1960 m.)

Jis susietas su kai kurių algebrinių lygčių sprendimų rinkinio aprašymu keliuose kintamuosiuose su sveikaisiais koeficientais. Tokios lygties pavyzdys yra išraiška x2 + y2 \u003d z2. Euklidas pateikė išsamų šios lygties sprendimų aprašymą, tačiau sudėtingesnėms lygtims rasti sprendimus yra labai sunku.

4. Hodžo hipotezė (suformuota 1941 m.)

XX amžiuje matematikai atrado galingą metodą tirti sudėtingų objektų formą. Pagrindinė mintis yra vietoj paties objekto naudoti paprastas „plytas“, kurios yra suklijuotos ir suformuoja jo panašumą. Hodžo hipotezė siejama su kai kuriomis prielaidomis apie tokių „plytų“ ir objektų savybes.

5. Navier - Stokeso lygtys (suformuluotos 1822 m.)

Jei plaukiate laivu ežere, pasirodys bangos, o jei skrisite lėktuvu, ore pasirodys turbulentiški srautai. Manoma, kad šiuos ir kitus reiškinius apibūdina lygtys, žinomos kaip Navierio-Stokeso lygtys. Šių lygčių sprendimai nežinomi ir net nežinoma, kaip juos išspręsti. Būtina parodyti, kad sprendimas egzistuoja ir yra pakankamai sklandi funkcija. Šios problemos sprendimas žymiai pakeis hidrodinaminių ir aerodinaminių skaičiavimų atlikimo metodus.

6. Poincaré problema (suformuluota 1904 m.)

Jei per obuolį užtrauksite guminę juostelę, lėtai judindami juostą, nenusiimdami jos nuo paviršiaus, galite ją suspausti iki taško. Kita vertus, jei ta pati guminė juosta tinkamai pritraukiama aplink spurgą, jokiu būdu negalima suspausti juostos iki taško, nesulaužant juostos ir nepažeidus spurgos. Jie sako, kad obuolio paviršius yra tiesiog sujungtas, bet spurgos paviršius nėra. Paaiškėjo, kad taip sunku įrodyti, jog tiesiog siejama tik sfera, kad matematikai vis dar ieško teisingo atsakymo.

7. Yang - Millso lygtys (suformuluota 1954 m.)

Kvantinės fizikos lygtys apibūdina elementariųjų dalelių pasaulį. Fizikai Youngas ir Millsas, atradę ryšį tarp geometrijos ir dalelių fizikos, parašė savo lygtis. Taigi jie rado būdą suvienyti elektromagnetinės, silpnos ir stiprios sąveikos teorijas. Remiantis Yang-Mills lygtimis, sekė dalelių egzistavimas, kurios iš tikrųjų buvo stebimos viso pasaulio laboratorijose, todėl dauguma fizikų priėmė Yang-Mills teoriją, nepaisant to, kad šios teorijos rėmuose vis dar neįmanoma numatyti elementariųjų dalelių masės.

Manau, kad ši dienoraštyje paskelbta medžiaga yra įdomi ne tik studentams, bet ir moksleiviams, kurie rimtai užsiima matematika. Yra apie ką pagalvoti renkantis temas ir tyrimų sritis.

Pasaulyje nėra tiek daug žmonių, kurie niekada nebūtų girdėję apie paskutinę Fermato teoremą - galbūt tai vienintelė matematinė problema, sulaukusi tokio didelio populiarumo ir tapusi tikra legenda. Jis minimas daugelyje knygų ir filmų, o pagrindinis beveik visų nuorodų kontekstas yra neįmanoma įrodyti teoremos.

Taip, ši teorema yra labai garsi ir tam tikra prasme tapo „stabu“, kurį garbina mėgėjai matematikai ir profesionalai, tačiau mažai kas žino, kad jos įrodymas buvo rastas, ir tai įvyko dar 1995 m. Bet pirmiausia svarbu.

Taigi paskutinė Fermato teorema (dažnai vadinama paskutine Fermato teorema), kurią 1637 metais suformulavo puikus prancūzų matematikas Pierre'as Fermatas, savo esme yra labai paprasta ir suprantama bet kuriam asmeniui, turinčiam vidurinį išsilavinimą. Joje sakoma, kad formulė a galiai n + b galiai n \u003d c galiai n neturi natūralių (tai yra trupmeninių) n\u003e 2 sprendimų. Viskas atrodo paprasta ir aišku, tačiau geriausi matematikai ir paprasti mėgėjai kovojo dėl ieškojo sprendimo daugiau nei tris su puse šimtmečių.

Kodėl ji tokia garsi? Tai sužinosime dabar ...

Ar yra mažai įrodytų, neįrodytų ir dar neįrodytų teoremų? Esmė ta, kad paskutinė Fermato teorema yra didžiausias kontrastas tarp formulavimo paprastumo ir įrodymo sudėtingumo. Paskutinė „Fermat“ teorema yra nepaprastai sunki užduotis, nepaisant to, jos formuluotę gali suprasti visi, turintys 5-ąją vidurinės mokyklos klasę, tačiau įrodymas nėra net kiekvienas profesionalus matematikas. Nei fizikoje, nei chemijoje, nei biologijoje, nei toje pačioje matematikoje nėra nė vienos problemos, kuri būtų suformuluota taip paprastai, tačiau taip ilgai liktų neišspręsta. 2. Iš ko jis susideda?

Pradėkime nuo Pitagoro kelnių. \u200b\u200bFormuluotė tikrai paprasta - iš pirmo žvilgsnio. Kaip žinome nuo vaikystės, „Pitagoro kelnės yra lygios iš visų pusių“. Problema atrodo tokia paprasta, nes ji buvo paremta matematiniu teiginiu, kurį visi žino - Pitagoro teorema: bet kuriame stačiakampiame trikampyje kvadratas, pastatytas ant hipotenuzos, yra lygus ant kojų pastatytų kvadratų sumai.

V amžiuje pr. Pitagoras įkūrė Pitagoro broliją. Pitagoriečiai, be kita ko, tyrė trigubus skaičių skaičius, tenkinančius lygybę x² + y² \u003d z². Jie įrodė, kad Pitagoro trynukų yra be galo daug, ir gavo bendras jų suradimo formules. Jie tikriausiai bandė ieškoti trigubų ir aukštesnių laipsnių. Įsitikinę, kad tai neveikia, pitagoriečiai atsisakė nenaudingų bandymų. Brolijos nariai buvo daugiau filosofai ir estetai nei matematikai.

Tai yra, lengva rasti skaičių rinkinį, kuris puikiai tenkina lygybę x² + y² \u003d z²

Pradedant nuo 3, 4, 5 - iš tikrųjų pradinių klasių mokinys supranta, kad 9 + 16 \u003d 25.

Arba 5, 12, 13: 25 + 144 \u003d 169. Puiku.

Taigi, pasirodo, kad jie NE. Čia prasideda laimikis. Paprastumas akivaizdus, \u200b\u200bnes sunku įrodyti ne kažko buvimą, bet, priešingai, nebuvimą. Kai reikia įrodyti, kad yra sprendimas, galite ir turėtumėte tiesiog pateikti šį sprendimą.

Įrodyti, kad nėra, yra sunkiau: pavyzdžiui, kažkas sako: tokia ir tokia lygtis neturi sprendimų. Įdėkite jį į balą? lengva: bam - štai, sprendimas! (pateikite sprendimą). Ir viskas, priešininkas nužudomas. Kaip įrodyti nebuvimą?

Sakykite: „Aš neradau tokių sprendimų“? O gal blogai atrodei? Ką daryti, jei jie yra, tik labai dideli, na, labai tokie, kad net itin galingam kompiuteriui vis dar trūksta jėgų? Tai sunku.

Vaizdine forma tai galima parodyti taip: jei paimsite du tinkamo dydžio kvadratus ir išardysite į vieneto kvadratus, tada iš šio vienetų kvadratų krūvos gausite trečią kvadratą (2 pav.):


Ir jei tą patį padarysime su trečiąja dimensija (3 pav.), Tai neveiks. Nepakanka kubelių arba lieka papildomų kubelių:

Tačiau XVII amžiaus matematikas prancūzas Pierre'as de Fermatas entuziastingai studijavo bendrąją lygtį x n + y n \u003d z n. Ir galiausiai aš padariau išvadą: n\u003e 2 sveikųjų sprendimų nėra. Fermato įrodymas negrįžtamai prarastas. Rankraščiai dega! Lieka tik jo pastaba Diophantus „Aritmetikoje“: „Aš radau tikrai nuostabų šio teiginio įrodymą, tačiau čia ribos yra per siauros, kad jį sutramdytų“.

Tiesą sakant, teorema be įrodymų vadinama spėjimu. Tačiau Fermatui šlovė buvo nustatyta, kad jis niekada neklydo. Net jei jis nepaliko jokių pareiškimų įrodymų, tai vėliau buvo patvirtinta. Be to, Fermatas įrodė savo tezę n \u003d 4. Taigi prancūzų matematiko hipotezė į istoriją įėjo kaip paskutinė Fermato teorema.

Po „Fermat“ tokie dideli protai kaip Leonardas Euleris dirbo ieškodami įrodymų (1770 m. Jis pasiūlė n \u003d 3 sprendimą),

Adrien Legendre ir Johannas Dirichletas (šie mokslininkai 1825 m. Kartu rado n \u003d 5 įrodymą), Gabrielis Lame'as (kuris rado n \u003d 7 įrodymą) ir daugelis kitų. Praėjusio amžiaus 80-ųjų viduryje tapo aišku, kad mokslo pasaulis yra kelyje į paskutinį Fermato paskutinės teoremos sprendimą, tačiau tik 1993 m. Matematikai pamatė ir tikėjo, kad trijų šimtmečių sakmė apie paskutinės Fermato teoremos įrodymo paieškas praktiškai baigėsi.

Lengva parodyti, kad pakanka įrodyti Fermato teoremą tik esant pirminiam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sudėtiniam n įrodymas lieka galioti. Tačiau yra ir be galo daug pradmenų ...

1825 m., Taikydamos Sophie Germain metodą, moterys matematikės, Dirichlet ir Legendre nepriklausomai įrodė n \u003d 5 teoremą. 1839 m. Taikydamas tą patį metodą prancūzas Gabrielius Lame'as parodė teoremos tiesą n \u003d 7. Palaipsniui teorema buvo įrodyta beveik visiems n mažiau nei šimtui.

Galiausiai vokiečių matematikas Ernstas Kummeris, atlikdamas puikų tyrimą, parodė, kad teorema apskritai neįmanoma įrodyti XIX amžiaus matematikos metodais. Prancūzijos mokslų akademijos prizas, įsteigtas 1847 m. Už Fermato teoremos įrodymą, liko nepakitęs.

1907 metais turtingas vokiečių pramonininkas Paulas Wolfskelis iš nelaimingos meilės nusprendė atimti sau gyvybę. Kaip tikras vokietis jis nustatė savižudybės datą ir laiką: tiksliai vidurnaktį. Paskutinę dieną jis surašė testamentą ir parašė laiškus draugams bei artimiesiems. Verslas baigėsi prieš vidurnaktį. Turiu pasakyti, kad Paulius domėjosi matematika. Nieko kito nedarydamas, jis nuėjo į biblioteką ir pradėjo skaityti garsųjį Kummerio straipsnį. Staiga jam atrodė, kad Kummeris padarė klaidą vykdydamas samprotavimus. Wolfskelis ėmė rūšiuoti šią straipsnio dalį su pieštuku rankoje. Praėjo vidurnaktis, atėjo rytas. Įrodymų spraga buvo užpildyta. Ir pati savižudybės priežastis dabar atrodė visiškai juokinga. Paulius suplėšė atsisveikinimo laiškus ir perrašė testamentą.

Netrukus jis mirė natūralia mirtimi. Įpėdiniai buvo labai nustebę: 100 000 markių (daugiau nei 1 000 000 dabartinių svarų sterlingų) buvo pervesta į Getingeno karališkosios mokslo draugijos sąskaitą, kuri tais pačiais metais paskelbė konkursą Wolfskehl premijai gauti. 100 000 markių teko dėl Fermato teoremos patarlės. Nei pfennigas neturėjo paneigti teoremos ...

Dauguma profesionalių matematikų Fermato paskutinės teoremos įrodymo paiešką laikė beviltiška užduotimi ir tvirtai atsisakė gaišti laiką tokiai nenaudingai užduočiai. Bet mėgėjai nuostabiai siautėjo. Praėjus kelioms savaitėms po pranešimo, „įrodymų“ lavina užgriuvo Getingeno universitetą. Profesorius E. M. Landau, kurio pareiga buvo išanalizuoti pateiktus įrodymus, išdalino savo studentams korteles:

Gerbiamasis. ... ... ... ... ... ... ...

Dėkoju už rankraštį, kurį man atsiuntėte su paskutinės Fermato teoremos įrodymu. Pirmoji klaida yra puslapyje ... eilutėje .... Dėl jos visi įrodymai negalioja.
Profesorius E. M. Landau

1963 m. Paulas Cohenas, remdamasis Gödelio išvadomis, įrodė vienos iš Hilberto dvidešimt trijų problemų - kontinuumo hipotezės - neapsisprendimą. Ką daryti, jei paskutinė Fermato teorema taip pat yra nenusprendžiama?! Tačiau tikrieji Didžiosios teoremos fanatikai nė kiek nenusivylė. Kompiuterių atsiradimas matematikams staiga suteikė naują įrodymų metodą. Po Antrojo pasaulinio karo programuotojų ir matematikų grupės įrodė paskutinę Fermato teoremą, kai visos vertės buvo n iki 500, paskui - iki 1000, o vėliau - iki 10 000.

Devintajame dešimtmetyje Samuelis Wagstaffas padidino ribą iki 25 000, o 1990-aisiais matematikai teigė, kad paskutinė Fermato teorema yra teisinga visoms reikšmėms nuo n iki 4 milijonų. Bet jei iš begalybės atimsite net trilijoną trilijonų, jis netaps mažesnis. Matematikų statistika neįtikina. Įrodyti Didžiąją teoremą reiškė įrodyti, kad VISI n eina į begalybę.

1954 m. Du jauni japonų matematikų draugai pradėjo modulinių formų tyrimus. Šios formos sukuria skaičių eilutes, kiekviena turi savo eilutę. Atsitiktinai Taniyama šias serijas palygino su elipsės lygčių generuojamomis eilutėmis. Jie atitiko! Bet modulinės formos yra geometriniai objektai, o elipsinės lygtys yra algebrinės. Dar niekada nebuvo rasta ryšių tarp tokių skirtingų objektų.

Nepaisant to, draugai, atidžiai išbandę, pateikia hipotezę: kiekviena elipsinė lygtis turi dvigubą - modulinę formą ir atvirkščiai. Būtent ši hipotezė tapo visos matematikos krypties pamatu, tačiau kol neįrodyta Taniyama-Shimura hipotezė, visas pastatas galėjo bet kurią akimirką sugriūti.

1984 m. Gerhardas Frey parodė, kad Fermato lygties sprendimas, jei jis yra, gali būti įtrauktas į kai kurią elipsinę lygtį. Po dvejų metų profesorius Kenas Ribetas įrodė, kad ši hipotetinė lygtis negali turėti atitikmens moduliniame pasaulyje. Nuo šiol paskutinė Fermato teorema buvo neatskiriamai susijusi su Taniyama-Shimura spėjimu. Įrodę, kad bet kuri elipsinė kreivė yra modulinė, darome išvadą, kad elipsės lygtis su Fermato lygties sprendimu neegzistuoja ir Fermato paskutinė teorema būtų nedelsiant įrodyta. Tačiau trisdešimt metų nebuvo įmanoma įrodyti Taniyama-Shimura hipotezės, o vilties į sėkmę buvo vis mažiau.

1963 m., Kai jam buvo tik dešimt metų, Andrew Wilesas jau buvo sužavėtas matematika. Sužinojęs apie Didžiąją teoremą, jis suprato, kad negali nuo jos nukrypti. Moksleivis, studentas, magistrantas jis pats pasiruošė šiai užduočiai.

Sužinojęs apie Keno Ribeto išvadas, Wilesas atkakliai įrodė Taniyama-Shimura hipotezę. Jis nusprendė dirbti visiškai izoliuotas ir slaptai. - Supratau, kad viskas, kas turi ką nors bendro su paskutine Fermato teorema, yra per didelis susidomėjimas ... Per daug žiūrovų sąmoningai trukdo pasiekti tikslą. Septyneri metai sunkaus darbo pasiteisino, Wilesas pagaliau užbaigė Taniyama-Shimura hipotezės įrodymą.

1993 m. Anglų matematikas Andrew Wilesas pateikė pasauliui savo paskutinės Fermato teoremos įrodymą (Wilesas skaitė savo sensacingą pranešimą konferencijoje Kembridžo sero Izaoko Niutono institute.), Kurio darbas truko daugiau nei septynerius metus.

Kol spaudos ažiotažas tęsėsi, rimtas darbas buvo pradėtas tikrinant įrodymus. Kiekvienas įrodymas turi būti atidžiai išnagrinėtas, kad įrodymai būtų laikomi griežtais ir tiksliais. Wiles praleido įtemptą vasarą, laukdamas apžvalgininkų atsiliepimų, tikėdamasis, kad jis sulauks jų pritarimo. Rugpjūčio pabaigoje ekspertai nustatė nepakankamai pagrįstą sprendimą.

Paaiškėjo, kad šiame sprendime yra šiurkšti klaida, nors jis apskritai yra teisingas. Wilesas nenuleido rankų, pasikvietė žinomą skaičių teorijos ekspertą Richardą Taylorą ir jau 1994 m. Paskelbė pataisytą ir papildytą teoremos įrodymą. Nuostabiausia tai, kad šis darbas užėmė net 130 (!) Puslapių matematikos žurnale „Annals of Mathematics“. Bet istorija tuo taip pat nesibaigė - paskutinis punktas buvo įdėtas tik kitais metais, 1995 m., Kai buvo paskelbta galutinė ir „ideali“, matematiniu požiūriu, įrodymo versija.

„... Praėjus pusei minutės nuo iškilmingos vakarienės pradžios jos gimtadienio proga, aš padaviau Nadijai viso įrodymo rankraštį“ (Andrew Waltz). Ar sakiau, kad matematikai yra keisti žmonės?

Šį kartą dėl įrodymų nekilo abejonių. Du straipsniai buvo kruopščiausiai analizuojami, o 1995 m. Gegužės mėn. Jie buvo paskelbti matematikos metraštyje.

Nuo to momento praėjo daug laiko, tačiau visuomenėje vis dar yra nuomonės, kad Didžioji Fermo teorema yra nenusprendžiama. Tačiau net tie, kurie žino apie rastą įrodymą, toliau dirba šia kryptimi - mažai žmonių yra patenkinti, kad Didžioji teorema reikalauja 130 puslapių sprendimo!

Todėl dabar labai daug matematikų (daugiausia mėgėjų, o ne profesionalių mokslininkų) jėgos metamos ieškoti paprasto ir glausto įrodymo, tačiau šis kelias, greičiausiai, niekur nenuves ...

šaltinis

- "Žmonijos uždaviniai

MATEMATIKOS PROBLEMOS, IŠSKYRUS ŽMOGAUSYBĖS

Hilberto problemos

23 svarbiausias matematikos problemas didžiausias vokiečių matematikas Davidas Hilbertas pateikė antrame tarptautiniame matematikų kongrese Paryžiuje 1990 m. Tada šios problemos (apimančios matematikos pagrindus, algebras, skaičių teoriją, geometriją, topologiją, algebrinę geometriją, melo grupes, tikrąją ir kompleksinę analizę, diferencialines lygtis, matematinę fiziką, variacijų skaičiavimą ir tikimybių teoriją nebuvo išspręstos. Šiuo metu yra išspręsta 16 uždavinių. Dar dvi nėra teisingos matematinės problemos (viena yra suformuluota per miglotai, kad suprastum, ar ji išspręsta, ar ne, kita, toli gražu neišspręsta, yra fizinė, o ne matematinė). Iš likusių 5 uždavinių dvi niekaip nebuvo išspręstos, bet trys buvo išspręstos tik kai kuriais atvejais

Landau problemos

Iki šiol yra daugybė atvirų klausimų, susijusių su pirminiais skaičiais (pirminis skaičius yra skaičius, kuris turi tik du daliklius: vieną ir patį skaičių). Buvo išvardyti svarbiausi klausimai Edmundas Landau penktame tarptautiniame matematikos kongrese:

Pirmoji Landau problema (Goldbacho problema): Ar tiesa, kad kiekvienas lyginis skaičius, didesnis nei du, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pradų suma, o kiekvienas nelyginis skaičius, didesnis nei 5, gali būti pateiktas kaip trijų pradų suma?

Antroji Landau problema: yra aibė begalinė „Paprasti dvyniai“ - pirminiai skaičiai, kurių skirtumas yra 2?
Trečioji Landau problema (Legendre hipotezė): ar tiesa, kad bet kuriam natūraliam skaičiui n tarp ir visada yra pirminis skaičius?
Ketvirtoji Landau problema: Ar yra begalinis formos pradmenų rinkinys, kur n yra natūralusis skaičius?

Tūkstantmečio iššūkiai (Tūkstantmečio premijos problemos)

Tai yra septyni matematikos uždaviniai sir kiekvieno iš jų sprendimas Molio institutas pasiūlė 1 000 000 JAV dolerių premiją. Pateikdamas šias septynias problemas matematikų teismui, Molio institutas jas palygino su 23 D. Hilberto problemomis, kurios turėjo didelę įtaką XX amžiaus matematikai. Dauguma Hilberto 23 problemų jau išspręstos ir tik viena - Riemanno hipotezė - buvo įtraukta į tūkstantmečio problemų sąrašą. 2012 m. Gruodžio mėn. Išspręsta tik viena iš septynių tūkstantmečio problemų (Poincaré hipotezė). Premija už jos sprendimą buvo skirta Rusijos matematikui Grigorijui Perelmanui, kuris jo atsisakė.

Pateikiame šių septynių užduočių sąrašą:

1. P ir NP klasių lygybė

Jei teigiamas atsakymas į klausimą gali būti greitai patikrinimas (naudojant tam tikrą pagalbinę informaciją, vadinamą pažyma), ar tiesa, kad pats atsakymas (kartu su sertifikatu) į šį klausimą gali būti greitai rasti? Pirmojo tipo problemos priklauso NP klasei, antroji - P. klasei. Šių klasių lygybės problema yra viena iš svarbiausių algoritmų teorijos problemų.

# 2. Hodžo hipotezė

Svarbi algebrinės geometrijos problema. Spėjime aprašomos komologijos klasės apie sudėtingas projekcines atmainas, kurias realizuoja algebrinės porūšiai.

Nr. 3. Poincaré hipotezė (įrodyta G.Ya. Perelman)

Tai laikoma garsiausia topologijos problema. Paprasčiau tariant, ji teigia, kad bet koks 3D „objektas“, turintis tam tikrų trimatės sferos savybių (pavyzdžiui, kiekviena jo viduje esanti kilpa turi būti susitraukianti), turi būti sritis iki deformacijos. Prizas už Poincaré spėjimo įrodymą buvo įteiktas rusų matematikui G.Ya.Perelmanui, kuris 2002 m. Išleido darbų ciklą, iš kurio seka Poincaré užuominos pagrįstumas.

Nr. 4. Riemanno hipotezė

Hipotezė teigia, kad visi Riemanno zetos funkcijos netrivialiniai (tai yra, turintys nulio įsivaizduojamą dalį) nuliai turi tikrąją 1/2 dalį. Riemanno hipotezė buvo aštuntoji Hilberto problema.

Nr. 5. Jaunas - Millso teorija

Užduotis iš elementariųjų dalelių fizikos srities. Reikia įrodyti, kad bet kuriai paprastai kompaktiško matuoklio G grupei egzistuoja keturių dimensijų erdvės Yang - Millso kvantinė teorija ir jos nulinės masės defektas. Šis teiginys atitinka eksperimentinius duomenis ir skaitmeninį modeliavimą, tačiau jis dar neįrodytas.

Nr. 6. Naviero - Stokso lygčių sprendinių egzistavimas ir sklandumas

Navierio-Stokso lygtys apibūdina klampaus skysčio judėjimą. Viena iš svarbiausių hidrodinamikos užduočių.

Nr. 7. Beržas - Swinnerton-Dyer hipotezė

Spėjimas yra susijęs su elipsės kreivių lygtimis ir jų racionalių sprendinių aibe.

Neišsprendžiamos problemos yra 7 įdomios matematikos užduotys. Kiekvieną iš jų vienu metu pasiūlė garsūs mokslininkai, paprastai pateikdami hipotezes. Jau daugelį dešimtmečių matematikai visame pasaulyje kelia galvosūkį dėl savo sprendimo. Tie, kuriems pavyks, bus apdovanoti milijonu JAV dolerių, kurį siūlo Molio institutas.

Molio institutas

Taip vadinasi privati \u200b\u200bne pelno organizacija, kurios būstinė yra Kembridže, Masačusetso valstijoje. Jį 1998 metais įkūrė Harvardo matematikas A. Jeffy ir verslininkas L. Clay. Instituto tikslas - populiarinti ir plėtoti matematikos žinias. Norėdami tai pasiekti, organizacija skiria apdovanojimus mokslininkams ir rėmėjams, žadantiems tyrimus.

XXI amžiaus pradžioje Molio matematikos institutas pasiūlė apdovanojimą tiems, kurie sprendžia vadinamąsias sunkiausias neišsprendžiamas problemas, savo sąrašą pavadindami Tūkstantmečio premijos problemomis. Iš Hilberto sąrašo į ją buvo įtraukta tik Riemanno hipotezė.

Tūkstantmečio iššūkiai

Molio instituto sąraše iš pradžių buvo:

• hodge'o ciklo hipotezė;
• kvantinės Yang - Millso teorijos lygtys;
• poincaré hipotezė;
• p ir NP klasių lygybės problema;
• riemanno hipotezė;
• jo sprendimų egzistavimas ir sklandumas;
• beržo-Swinnertono-Dajerio problemą.

Šios atviros matematikos problemos kelia didelį susidomėjimą, nes jas galima praktiškai įgyvendinti.

Ką įrodė Grigorijus Perelmanas

1900 m. Garsus mokslininkas filosofas Henri Poincaré pasiūlė, kad bet kuris paprasčiausiai sujungtas kompaktiškas 3 kolektoriai be ribų yra homeomorfiški 3 sferoms. Jo įrodymas paprastai nebuvo rastas šimtmetį. Tik 2002–2003 m. Sankt Peterburgo matematikas G. Perelmanas paskelbė daugybę straipsnių apie Poincaré problemos sprendimą. Jie turėjo bombos sprogimo efektą. 2010 m. Poincaré hipotezė buvo išbraukta iš molio instituto „Neišspręstų problemų“ sąrašo, o paties Perelmano buvo paprašyta už jį gauti nemažą atlygį, kurio šis atsisakė, nepaaiškindamas savo sprendimo priežasčių.

Labiausiai suprantamas paaiškinimas, ką pavyko įrodyti rusų matematikui, gali būti pateiktas įsivaizduojant, kad guminis diskas yra ištrauktas per spurgą (torą), tada jie bando sutraukti jo apskritimo kraštus į vieną tašką. Tai akivaizdžiai neįmanoma. Kitas dalykas, jei šį eksperimentą atliksite su kamuoliu. Šiuo atveju, atrodytų, trimatė sfera, atsirandanti iš disko, kurio apimtį hipotetine virvute į tašką ištraukė, suprasdamas paprastą žmogų bus trimatis, bet matematikos požiūriu - dvimatis.

Poincaré pasiūlė, kad trimatė sfera yra vienintelis erdvinis „objektas“, kurio paviršių vienu metu galima sutraukti, ir Perelmanas sugebėjo tai įrodyti. Taigi „Neišsprendžiamų užduočių“ sąrašą šiandien sudaro 6 problemos.

Yang-Millso teorija

Šią matematinę problemą jos autoriai pasiūlė 1954 m. Mokslinė teorijos formuluotė yra tokia: bet kuriai paprastai kompaktiško matuoklio grupei egzistuoja Yango ir Millso sukurta kvantinės erdvės teorija, kurios masės defektas yra nulis.

Jei kalbėsime paprastam žmogui suprantama kalba, gamtos objektų (dalelių, kūnų, bangų ir kt.) Sąveika skirstoma į 4 tipus: elektromagnetinius, gravitacinius, silpnus ir stiprius. Daugelį metų fizikai bandė sukurti bendrą lauko teoriją. Tai turėtų tapti įrankiu paaiškinti visas šias sąveikas. Yang-Millso teorija yra matematinė kalba, kuria tapo įmanoma apibūdinti 3 iš 4 pagrindinių gamtos jėgų. Tai netaikoma gravitacijai. Todėl negalima manyti, kad Youngui ir Millsui pavyko sukurti lauko teoriją.

Be to, dėl siūlomų lygčių netiesiškumo jas labai sunku išspręsti. Mažoms sukabinimo konstantoms jas galima apytiksliai išspręsti perturbacijos teorijos serijos pavidalu. Tačiau dar nėra aišku, kaip šias lygtis galima išspręsti stipriai susiejant.

Navierio-Stokso lygtys

Šios išraiškos apibūdina tokius procesus kaip oro srovės, skysčių srautas ir turbulencija. Kai kuriais konkrečiais atvejais jau buvo rasti Navierio-Stokeso lygties analitiniai sprendimai, tačiau niekam nepavyko to padaryti dėl bendrosios. Tuo pat metu skaitiniai modeliavimai, skirti specifinėms greičio, tankio, slėgio, laiko ir pan. Vertėms, gali pasiekti puikių rezultatų. Belieka tikėtis, kad kažkas sugebės pritaikyti Navierio-Stokeso lygtis priešinga kryptimi, tai yra, jų pagalba apskaičiuoti parametrus arba įrodyti, kad nėra sprendimo metodo.

Beržas - Swinnerton-Dyer problema

Kategorija „Neišspręstos problemos“ taip pat apima hipotezę, kurią pasiūlė britų mokslininkai iš Kembridžo universiteto. Jau prieš 2300 metų senovės graikų mokslininkas Euklidas pateikė išsamų x2 + y2 \u003d z2 lygties sprendinių aprašymą.

Jei kiekvienam iš pradų skaičiuosime kreivės taškų skaičių modulo ir jo modulis, gausime begalinį sveikųjų skaičių rinkinį. Jei specialiai jį „suklijuosite“ į 1 kompleksinio kintamojo funkciją, gausite Hasse-Weil zeta funkciją trečios eilės kreivei, pažymėtą raide L. Joje yra informacija apie elgesį modulo visus pradmenis vienu metu.

Brianas Birchas ir Peteris Swinnertonas-Dyeris iškėlė hipotezę apie elipsines kreives. Pasak jos, jos racionalių sprendimų rinkinio struktūra ir skaičius yra siejami su L funkcijos elgesiu vienybėje. Dar neįrodyta „Beržas – Swinnerton-Dyer“ spėjimas priklauso nuo 3 laipsnio algebrinių lygčių aprašymo ir yra vienintelis palyginti paprastas bendras būdas apskaičiuoti elipsės kreivių rangą.

Norint suprasti praktinę šios problemos svarbą, pakanka pasakyti, kad šiuolaikinėje kriptografijoje elipsės kreivėse remiasi visa asimetrinių sistemų klasė, o jų taikymu grindžiami vietiniai skaitmeninio parašo standartai.

P ir np klasių lygybė

Jei likusios Tūkstantmečio problemos yra grynai matematinės, tai ši yra susijusi su dabartine algoritmų teorija. P ir np klasių lygybės problemą, dar vadinamą Cooko-Levino problema, galima lengvai suformuluoti taip. Tarkime, kad teigiamą atsakymą į tam tikrą klausimą galima patikrinti pakankamai greitai, t. Y. Daugianariu laiku (PV). Tada teisinga sakyti, kad atsakymą į jį galima rasti gana greitai? Skamba dar paprasčiau: ar tikrai nėra sunkiau patikrinti problemos sprendimą, nei jį rasti? Jei kada nors bus įrodyta p ir np klasių lygybė, visas atrankos problemas galima išspręsti PV. Šiuo metu daugelis ekspertų abejoja šio teiginio teisingumu, nors negali įrodyti priešingai.

Riemanno hipotezė

Iki 1859 m. Nebuvo nustatyta jokio modelio, apibūdinančio pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių. Galbūt taip buvo dėl to, kad mokslas užsiėmė kitais klausimais. Tačiau XIX amžiaus viduryje padėtis pasikeitė ir jie tapo vienu aktualiausių, kuriuos pradėjo tyrinėti matematikai.

Per šį laikotarpį pasirodžiusi Riemanno hipotezė yra prielaida, kad yra tam tikras pradų pasiskirstymo modelis.

Šiandien daugelis šiuolaikinių mokslininkų mano, kad jei tai bus įrodyta, ji turės peržiūrėti daugelį pagrindinių šiuolaikinės kriptografijos principų, kurie yra daugelio elektroninės komercijos mechanizmų pagrindas.

Remiantis Riemanno hipoteze, pradmenų pasiskirstymo pobūdis gali gerokai skirtis nuo to, kas šiuo metu manoma. Faktas yra tas, kad iki šiol nebuvo atrasta pirminių skaičių skirstymo sistema. Pavyzdžiui, iškyla „dvynių“ problema, kurios skirtumas yra 2. Šie skaičiai yra 11 ir 13, 29. Kiti pradmenys sudaro grupes. Tai 101, 103, 107 ir kt. Mokslininkai jau seniai įtaria, kad tokių grupių yra tarp labai didelių pradų. Jei jie bus rasti, tuomet bus abejojama dėl šiuolaikinių kriptografinių raktų stiprumo.

„Hodge“ dviračių sąmokslas

Ši vis dar neišspręsta problema buvo suformuluota 1941 m. Hodžo hipotezė numato galimybę priartinti bet kokio objekto formą „suklijuojant“ paprastus aukštesnės dimensijos kūnus. Šis metodas buvo žinomas ir sėkmingai taikomas ilgą laiką. Tačiau nežinoma, kiek galima supaprastinti.

Dabar žinote, kokios šiuo metu yra neišsprendžiamos problemos. Juos tiria tūkstančiai mokslininkų visame pasaulyje. Belieka tikėtis, kad artimiausioje ateityje jie bus išspręsti, o jų praktinis pritaikymas padės žmonijai patekti į naują technologinės plėtros etapą.

Pierre'as Fermatas, skaitydamas Aleksandrijos Diophanto „Aritmetiką“ ir apmąstydamas jos užduotis, turėjo įprotį trumpų pastabų forma užrašyti savo apmąstymų rezultatus knygos paraštėse. Knygos paraštėje, prieš aštuntąją Diophantus problemą, Fermatas rašė: „ Priešingai, neįmanoma nei kubo suardyti į du, nei iš dviejų kvadratų į du biokadratus, ir apskritai ne didesnio laipsnio nei kvadratas dviem laipsniais su tuo pačiu rodikliu. Atradau tikrai nuostabų to įrodymą, tačiau šie laukai jam per siauri.» / E.T.Bellas „Matematikos kūrėjai“. M., 1979, p. 69 /. Jūsų dėmesiui pateikiu elementarų ūkio teoremos įrodymą, kurį gali suprasti kiekvienas matematiką mėgstantis gimnazistas.

Palyginkime Fermato komentarą apie „Diophantus“ problemą su šiuolaikine didžiosios Fermato teoremos formuluote, kuri turi lygties formą.
« Lygtis

x n + y n \u003d z n (kur n yra sveikas skaičius, didesnis nei du)

neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendimų»

Komentaras yra logiškai susijęs su užduotimi, panašus į loginį predikato ryšį su subjektu. Tai, ką patvirtina Diophantus problema, priešingai, patvirtina Fermato komentaras.

Fermato komentarą galima interpretuoti taip: jei kvadratinėje lygtyje su trimis nežinomaisiais yra begalinis sprendinių rinkinys visų Pitagoro skaičių trigubų rinkinyje, tai, priešingai, lygtis su trimis nežinomaisiais laipsniu, didesniu už kvadratą

Lygtyje nėra nė užuominos apie jo ryšį su Diophanto problema. Jo tvirtinimui reikalingas įrodymas, tačiau pagal jį nėra jokios sąlygos, iš kurios išplauktų, kad jis neturi sprendimų teigiamais sveikaisiais skaičiais.

Man žinomi lygties įrodymo variantai sutrumpinami iki tokio algoritmo.

1. Jo išvada laikoma Fermato teoremos lygtis, kurios pagrįstumas patikrinamas įrodymų pagalba.
2. Vadinama ta pati lygtis originalus lygtis, iš kurios turi vykti jos įrodymas.

Dėl to susiformavo tautologija: „ Jei lygtis neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių, tai ji neturi teigiamų sveikųjų skaičiųTautologijos įrodymas yra akivaizdžiai neteisingas ir neturi jokios prasmės. Bet tai įrodo prieštaravimas.

• Daroma priešinga prielaida lygčiai, kurią norite įrodyti. Ji neturėtų prieštarauti pradinei lygčiai, tačiau jai prieštarauja. Nėra prasmės įrodyti, kas priimta be įrodymų, ir be įrodymų priimti tai, ko reikia įrodyti.
• Remiantis daroma prielaida, atliekami absoliučiai teisingi matematiniai veiksmai ir veiksmai, siekiant įrodyti, kad ji prieštarauja pradinei lygčiai ir yra klaidinga.

Todėl jau 370 metų paskutinės Fermato teoremos lygties įrodymas išlieka neįgyvendinama matematikos specialistų ir mėgėjų svajonė.

Lygtį laikiau teoremos išvada, o aštuntą „Diophantus“ problemą ir jos lygtį - kaip teoremos sąlygą.

„Jei lygtis x 2 + y 2 \u003d z 2 (1) turi begalinį sprendinių rinkinį visų Pitagoro skaičių trigubų rinkinyje, tada, priešingai, lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 (2) neturi sprendimų dėl teigiamų sveikųjų skaičių rinkinio. "

Įrodymas.

IR) Visi žino, kad (1) lygtyje yra begalinis sprendinių rinkinys visų Pitagoro skaičių trigubų rinkinyje. Įrodykime, kad ne vienas Pitagoro skaičių trigubas skaičius, kuris yra (1) lygties sprendimas, yra (2) lygties sprendimas.

Remiantis lygybės grįžtamumo dėsniu, (1) lygties pusės keičiamos. Pitagoro skaičiai (z, x, y) galima interpretuoti kaip stačiojo trikampio kraštinių ilgius ir kvadratus ( x 2, y 2, z 2) galima interpretuoti kaip kvadratų plotą, pastatytą ant jo hipotenūzo ir kojų.

(1) lygties kvadratų kvadratai padauginami iš savavališko aukščio h :

z 2 h \u003d x 2 h + y 2 val (3)

(3) lygtį galima interpretuoti kaip gretasienio tūrio ir dviejų gretasienių tūrio sumų lygybę.

Tegul trijų gretasienių aukštis h \u003d z :

z 3 \u003d x 2 z + y 2 z (4)

Kubo tūris suskaidomas į du gretasienių kojelių tūrius. Palikite kubo tūrį nepakitusią ir sumažinkite pirmojo gretasienio aukštį x ir sumažinkite antrojo gretasienio aukštį iki y ... Kubo tūris yra didesnis nei dviejų kubų tūrio suma:

z 3\u003e x 3 + y 3 (5)

Pitagoro skaičių trigubų rinkinių ( x, y, z ) n \u003d 3 negali būti (2) lygties sprendimo. Todėl ant visų Pitagoro skaičių trigubų rinkinių neįmanoma suskaidyti kubo į du kubus.

Įveskite (3) lygtį trijų gretasienių aukštį h \u003d z 2 :

z 2 z 2 \u003d x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Lygiašonio vamzdžio tūris suskaidomas į dviejų gretasienių tūrio sumą.
Kairę (6) lygties pusę palikite nepakeistą. Dešinėje jos pusėje yra aukštis z 2 sumažinti iki x pirmą kadenciją ir iki 2 val antroje kadencijoje.

(6) lygtis virto nelygybe:

Lygiašonio kraštinio tūris yra suskaidomas į du tūrius dviejų gretasienių.

Kairę (8) lygties pusę palikite nepakeistą.
Dešinėje pusėje aukštis z n-2 sumažinti iki x n-2 pirmą kadenciją ir sumažės iki y n-2 antroje kadencijoje. (8) lygtis virsta nelygybe:

z n\u003e x n + y n

(9)

Pitagoro skaičių trigubuose rinkiniuose negali būti vieno (2) lygties sprendimo.

Vadinasi, visų Pitagoro skaičių trigubų rinkinių visiems n\u003e 2 (2) lygtis neturi sprendimų.

Gavo „po ne nuostabų įrodymą“, bet tik trynukams pitagoro skaičiai... Tai yra įrodymų trūkumas ir P. Fermato atsisakymo iš jo priežastis.

B) Įrodykime, kad (2) lygtis neturi sprendimų dėl ne Pitagoro skaičių trigubų rinkinio, o tai yra savavališko Pitagoro skaičių trigubo šeimos gedimas. z \u003d 13, x \u003d 12, y \u003d 5 ir savavališko trigubo teigiamų sveikųjų skaičių šeima z \u003d 21, x \u003d 19, y \u003d 16

Abu skaičių trynukai yra jų šeimos nariai:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Šeimos narių (10) ir (11) skaičius yra lygus pusei 13 iš 12 12 ir 21 iš 20 sandaugos, tai yra 78 ir 210.

Kiekviename šeimos (10) naryje yra z \u003d 13 ir kintamieji x ir prie 13\u003e x\u003e 0 , 13\u003e y\u003e 0 1

Kiekviename šeimos (11) naryje yra z \u003d 21 ir kintamieji x ir prie kad imtų sveikųjų skaičių reikšmes 21\u003e x\u003e 0 , 21\u003e y\u003e 0 ... Kintamieji palaipsniui mažėja 1 .

Skaičių trigubai sekoje (10) ir (11) galima pateikti trečiojo laipsnio nelygybių seką:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

ir ketvirtojo laipsnio nelygybės forma:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Kiekvienos nelygybės teisingumą patvirtina skaičių pakėlimas į trečią ir ketvirtą galias.

Didesnio skaičiaus kubo negalima suskaidyti į du mažesnio skaičiaus kubus. Tai yra arba mažesnė, arba didesnė už dviejų mažesnių skaičių kubelių sumą.

Didesnio skaičiaus biquadrat negali būti skaidomas į du mažesnio skaičiaus biquadratus. Tai arba mažesnė, arba didesnė už mažesnio skaičiaus bi kvadratų sumą.

Padidėjus eksponentui, visos nelygybės, išskyrus kairę kraštutinę nelygybę, turi tą pačią prasmę:

Nelygybės, jos visos turi tą pačią prasmę: didesnio skaičiaus laipsnis yra didesnis už mažesnių dviejų skaičių, turinčių tą patį rodiklį, galių sumą:

	13 n\u003e 12 n + 12 n; 13 n\u003e 12 n + 11 n; ...; 13 n\u003e 7 n + 4 n; ...; 13 n\u003e 1 n + 1 n	(12)
	21 n\u003e 20 n + 20 n; 21 n\u003e 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n\u003e 1 n + 1 n	(13)

Kairiausias sekų terminas (12) (13) yra silpniausia nelygybė. Jo teisingumas lemia visų tolesnių sekų (12) nelygybių teisingumą n\u003e 8 ir seka (13) n\u003e 14 .

Tarp jų negali būti vienos lygybės. Savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (21,19,16) nėra didžiosios Fermato teoremos (2) lygties sprendimas. Jei savavališkai paimtas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas nėra lygties sprendimas, tada lygtis neturi teigiamų sveikųjų skaičių aibės sprendimų, ką turėjome įrodyti.

IŠ) „Fermat“ komentaras apie „Diophantus“ problemą teigia, kad neįmanoma suskaidyti “ paprastai ne laipsnis didesnis už kvadratą, dviem laipsniais su tuo pačiu rodikliu».

Visas laipsnio, didesnio už kvadratą, iš tikrųjų neįmanoma suskaidyti į du laipsnius su tuo pačiu rodikliu. Netinkama didesnis nei kvadratas laipsnis gali būti suskaidytas į du laipsnius su tuo pačiu rodikliu.

Bet koks savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas (z, x, y) gali priklausyti šeimai, kurios kiekvienas narys susideda iš pastovaus skaičiaus z ir dviem skaičiais mažesnis nei z ... Kiekvienas šeimos narys gali būti pavaizduotas nelygybės forma, o visos gautos nelygybės - nelygybės seka:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n

(14)

Nelygybių seka (14) prasideda nelygybėmis, kai kairė pusė yra mažesnė už dešinę pusę, ir baigiasi nelygybe, kai dešinioji pusė yra mažesnė už kairę. Didėjant eksponentui n\u003e 2 dešinėje sekos (14) pusėje nelygybių skaičius didėja. Su eksponentu n \u003d k visos kairiojoje sekos pusėje esančios nelygybės keičia savo prasmę ir įgyja dešinėje nelygybės iš eilės reikšmę (14). Padidėjus visų nelygybių rodikliui, kairė pusė yra didesnė už dešinę pusę:

z k\u003e (z-1) k + (z-1) k; z k\u003e (z-1) k + (z-2) k; ...; z k\u003e 2 k + 1 k; z k\u003e 1 k + 1 k

(15)

Toliau didinant rodiklį n\u003e k nė viena iš nelygybių nekeičia savo prasmės ir nevirsta lygybe. Tuo remiantis galima teigti, kad bet kuris savavališkai paimtas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas skaičius (z, x, y) prie n\u003e 2 , z\u003e x , z\u003e y

Savavališku teigiamų sveikųjų skaičių trigubu z gali būti savavališkai didelis natūralusis skaičius. Visiems natūraliems skaičiams, kurie nėra didesni nei z , Paskutinė Fermato teorema yra įrodyta.

D) Nesvarbu, koks didelis skaičius z , natūralioje skaičių eilėje prieš ją yra didelis, bet baigtinis sveikųjų skaičių rinkinys, o po jo - begalinis sveikųjų skaičių rinkinys.

Įrodykime, kad visas begalinis natūralių skaičių rinkinys yra didesnis už z , suformuokite trigubus skaičių skaičius, kurie nėra Didžiojo Fermato teoremos lygties sprendiniai, pavyzdžiui, savavališkai paimtas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas skaičius (z + 1, x, y) , kur z + 1\u003e x ir z + 1\u003e y visoms rodiklio reikšmėms n\u003e 2 nėra Didžiojo Fermato teoremos lygties sprendimas.

Savavališkas teigiamų sveikųjų skaičių trigubas skaičius (z + 1, x, y) gali priklausyti skaičių trigubų šeimai, kurių kiekvienas narys susideda iš pastovaus skaičiaus z + 1 ir du skaičiai x ir prie imant skirtingas vertes mažiau nei z + 1 ... Šeimos nariai gali būti pavaizduoti nelygybės forma, kai pastovioji kairė pusė yra mažesnė ar didesnė už dešinę. Nelygybę galima tvarkingai išdėstyti kaip nelygybės seką:

Toliau didinant rodiklį n\u003e k iki begalybės, nė viena iš sekos (17) nelygybių nekeičia savo prasmės ir nevirsta lygybe. (16) sekoje nelygybė susidarė iš savavališko teigiamų sveikųjų skaičių trigubo (z + 1, x, y) , gali būti formos dešinėje (z + 1) n\u003e x n + y n arba būti kairiajame šone kaip (z + 1) n< x n + y n .

Bet kokiu atveju teigiamų sveikųjų skaičių trigubas skaičius (z + 1, x, y) prie n\u003e 2 , z + 1\u003e x , z + 1\u003e y seka (16) yra nelygybė ir negali atstovauti lygybės, t. y. ji negali atstovauti Didžiojo Fermato teoremos lygties sprendimui.

Lengva ir paprasta suprasti galios nelygybių sekos kilmę (16), kai paskutinė nelygybė kairėje pusėje ir pirmoji nelygybė dešinėje pusėje yra priešingos reikšmės nelygybės. Priešingai, moksleiviams, gimnazistams ir gimnazistams nėra lengva ir nelengva suprasti, kaip nelygybės seka (17) formuojama iš nelygybės sekos (16), kurioje visos nelygybės turi tą pačią prasmę.

(16) sekoje padidinus sveiko skaičiaus nelygybės laipsnį 1 vienetu, paskutinė kairiosios pusės nelygybė paverčiama pirmąja nelygybe, kurios dešinėje pusėje yra priešinga reikšmė. Taigi nelygybių skaičius devintoje sekos pusėje mažėja, o dešinėje pusėje - nelygybės. Tarp paskutinės ir pirmosios priešingos prasmės valdžios nelygybės būtinai yra galios lygybė. Jo laipsnis negali būti sveikasis skaičius, nes tarp dviejų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių yra tik ne sveiki skaičiai. Ne sveiko laipsnio galios lygybė, remiantis teoremos hipoteze, negali būti laikoma (1) lygties sprendimu.

Jei sekoje (16) mes ir toliau didinsime laipsnį 1 vienetu, tai paskutinė jo kairės pusės nelygybė virs dešine pusės priešingos reikšmės pirmąja nelygybe. Dėl to nelieka vienos kairiosios pusės nelygybės ir lieka tik dešinės pusės nelygybės, kurios atspindi didėjančios galios nelygybės seką (17). Tolesnis viso jų laipsnio padidinimas 1 vienetu tik sustiprina jų galių nelygybę ir kategoriškai atmeta lygybės atsiradimo galimybę visu laipsniu.

Todėl apskritai jokios galių nelygybių sekos (17) natūralaus skaičiaus (z + 1) sveiko skaičiaus galios negalima skaidyti į dvi sveiko skaičiaus galias su tuo pačiu rodikliu. Todėl (1) lygtis neturi sprendimų begaliniame natūralių skaičių rinkinyje, kaip reikalaujama.

Todėl paskutinė Fermato teorema įrodyta visu universalumu:

• a skyriuje) visiems trigubiems (z, x, y) Pitagoro skaičiai (Fermato atradimas yra tikrai puikus įrodymas),
• b skyriuje) visiems šeimos nariams (z, x, y) Pitagoro skaičiai,
• c skyriuje) visiems trigubiems skaičiams (z, x, y) , nėra daug z
• d skyriuje) visiems trigubiems skaičiams (z, x, y) natūrali skaičių eilutė.

Pakeitimai atlikti 2010-09-05.

Kokias teoremas galima ir ko negalima įrodyti prieštaravimais

Matematinių terminų aiškinamajame žodyne įrodymui pateikiamas apibrėžimas prieštaraujant atvirkštinei teoremai priešingai esančiai teoremai.

„Įrodymas prieštaringumu yra teoremos (teiginio) įrodymo būdas, kuris susideda iš ne pačios teoremos, o jos atitikmens (ekvivalento), priešingos atvirkštinei (atvirkštinei priešingai) teoremai, įrodymo. Prieštaravimo įrodymas naudojamas, kai tiesioginę teoremą sunku įrodyti, o atvirkščiai - lengviau įrodyti. Įrodant prieštaravimu, teoremos išvada pakeičiama jos neigimu, o argumentuojant pasiekiama sąlygos neigimas, t. prieštaravimui, priešingumui (priešingai tam, kas duota; šis absurdo sumažinimas įrodo teoremą “.

Matematikoje labai paplitęs prieštaravimo įrodymas. Įrodymas prieštaravimu grindžiamas pašalinto trečiojo dėsniu, kuris yra dviejų teiginių (teiginių) A ir A (neigimas A), vienas iš jų yra teisingas, o kitas - melagingas “. / Aiškinamasis matematikos terminų žodynas: vadovas mokytojams / O. V. Manturovas [ir kiti]; red. V. A. Ditkina. - M.: Švietimas, 1965.- 539 p.: Iliustr. -C.112 /.

Nebūtų geriau atvirai pareikšti, kad įrodinėjimo prieštaravimu metodas nėra matematinis metodas, nors jis naudojamas matematikoje, kad tai logiškas metodas ir priklauso logikai. Ar leidžiama sakyti, kad prieštaravimu pagrįstas įrodymas „naudojamas, kai tiesioginę teoremą sunku įrodyti“, nors iš tikrųjų jis naudojamas tik tada, kai jo nėra?

Ypatingo dėmesio nusipelno tiesioginių ir atvirkštinių teoremų tarpusavio santykių apibūdinimas. „Atvirkštinė teorema tam tikrai teoremai (arba tam tikrai teoremai) yra teorema, kurioje sąlyga yra išvada, o išvada yra duotosios teoremos sąlyga. Ši teorema atvirkštinės teoremos atžvilgiu vadinama tiesiogine teorema (pradine). Tuo pačiu metu atvirkštinė teorema su atvirkštine teorema bus duota teorema; todėl tiesioginės ir atvirkštinės teoremos vadinamos abipusiai atvirkštinėmis. Jei tiesioginė (duota) teorema yra teisinga, tai atvirkštinė teorema ne visada teisinga. Pavyzdžiui, jei keturkampis yra rombas, tai jo įstrižainės yra viena kitai statmenos (tiesioginė teorema). Jei įstrižainės keturkampyje yra statmenos viena kitai, tai keturkampis yra rombas - tai netiesa, tai yra, atvirkštinė teorema nėra teisinga. " / Aiškinamasis matematikos terminų žodynas: vadovas mokytojams / O. V. Manturovas [ir kiti]; red. V. A. Ditkina. - M.: Švietimas, 1965. - 539 p.: Iliustr.-C.261 /

Ši tiesioginio ir atvirkštinės teoremos santykio charakteristika neatsižvelgia į tai, kad tiesioginės teoremos sąlyga laikoma duota, be įrodymų, todėl jos teisingumas nėra garantuojamas. Atvirkštinės teoremos sąlyga nėra laikoma pateikta, nes tai yra įrodytos tiesioginės teoremos išvada. Jo teisingumą patvirtina tiesioginės teoremos įrodymas. Šis esminis loginis skirtumas tarp tiesioginių ir atvirkštinių teoremų sąlygų pasirodo esąs lemiamas klausime, kurios teoremos gali būti įrodinėjamos ir kurių negalima įrodyti loginiu metodu prieštaraujant.

Tarkime, kad galvoje yra tiesioginė teorema, kurią galima įrodyti įprastu matematiniu metodu, tačiau tai sunku. Suformuluokime jį bendrai trumpai: apie IR turėtų E ... Simbolis IR svarbi duota teoremos sąlyga, paimta be įrodymų. Simbolis E teoremos išvados prasmę, kurią reikia įrodyti.

Mes įrodysime tiesioginę teoremą prieštaravimais, logiška metodas. Turint teoremą įrodyti naudojamas loginis metodas ne matematinis būklė ir logiška būklė. Jį galima gauti, jei teoremos matematinė sąlyga apie IR turėtų E , papildykite priešinga sąlyga apie IR tai neseka E .

Dėl to mes gavome logišką prieštaringą naujos teoremos sąlygą, kurią sudaro dvi dalys: apie IR turėtų E ir apie IR tai neseka E ... Gauta naujos teoremos sąlyga atitinka loginį išimto vidurio dėsnį ir atitinka teoremos įrodymą prieštaringai.

Pagal įstatymą viena prieštaringos sąlygos dalis yra klaidinga, kita dalis yra teisinga, o trečioji - neįtraukta. Įrodymas prieštaringumu turi savo užduotį ir siekia tiksliai nustatyti, kuri iš dviejų teoremos sąlygos dalių klaidinga. Kai tik bus nustatyta klaidinga sąlygos dalis, bus nustatyta, kad kita dalis yra tikroji dalis, o trečioji neįtraukiama.

Pagal aiškinamąjį matematikos terminų žodyną, „Įrodymas yra samprotavimas, kurio metu nustatoma bet kokio teiginio (nuosprendžio, teiginio, teoremos) tiesa ar melagingumas“... Įrodymas prieštaraujant yra samprotavimų, kurių metu jis yra nustatytas melagingumas išvados (absurdas), kylančios iš melagingas įrodomos teoremos sąlygos.

Duota: apie IR turėtų E ir nuo IR tai neseka E .

Įrodyti: apie IR turėtų E .

Įrodymas: Loginėje teoremos sąlygoje yra prieštaravimas, reikalaujantis jos sprendimo. Būties prieštaringumas turi būti išspręstas įrodyme ir jo rezultate. Rezultatas pasirodo klaidingas su nepriekaištingu ir be klaidų argumentavimu. Remiantis logiškai teisingais argumentais, klaidingos išvados priežastis gali būti tik prieštaringa sąlyga: apie IR turėtų E ir apie IR tai neseka E .

Nėra šešėlio abejonių, kad viena sąlygos sąlyga yra klaidinga, o kita šiuo atveju yra teisinga. Abi būklės dalys turi tą pačią kilmę, yra priimamos kaip duomenys, prielaida, vienodai įmanomos, vienodai priimtinos ir kt. Loginio samprotavimo metu nebuvo rasta nė vieno loginio požymio, kuris išskirtų vieną sąlygos dalį nuo kitos. Todėl tiek pat gali būti apie IR turėtų E o gal ir apie IR tai neseka E ... Pareiškimas apie IR turėtų E gal būt melagingas, tada pareiškimas apie IR tai neseka E bus tiesa. Pareiškimas apie IR tai neseka E gali būti klaidingas, tada teiginys apie IR turėtų E bus tiesa.

Vadinasi, tiesioginės teoremos neįmanoma įrodyti prieštaraujant.

Dabar tą pačią tiesioginę teoremą įrodysime įprastu matematiniu metodu.

Duota: IR .

Įrodyti: apie IR turėtų E .

Įrodymas.

1. Apie IR turėtų B

2. Apie B turėtų IN (pagal anksčiau įrodytą teoremą)).

3. Apie IN turėtų D (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

4. Apie D turėtų D (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

5. Apie D turėtų E (pagal anksčiau įrodytą teoremą).

Remiantis tranzityvumo dėsniu, apie IR turėtų E ... Tiesioginė teorema įrodoma įprastu metodu.

Tegul įrodoma tiesioginė teorema turi teisingą atvirkštinės teoremą: apie E turėtų IR .

Įrodykime tai įprastu būdu matematinis metodas. Atvirkštinės teoremos įrodymas gali būti išreikštas simboliškai kaip matematinių operacijų algoritmas.

Duota: E

Įrodyti: apie E turėtų IR .

Įrodymas.

1. Apie E turėtų D

2. Apie D turėtų D (pagal anksčiau įrodytą atvirkštinės teoremą).

3. Apie D turėtų IN (pagal anksčiau įrodytą atvirkštinės teoremą).

4. Apie IN tai neseka B (atvirkštinė teorema netiesa). Štai kodėl apie B tai neseka IR .

Šioje situacijoje nėra prasmės tęsti matematinį atvirkštinės teoremos įrodymą. Padėties priežastis yra logiška. Negalima niekuo pakeisti neteisingos pokalbio teoremos. Todėl neįmanoma įrodyti šios atvirkštinės teoremos įprastu matematiniu metodu. Visa viltis yra įrodyti, kad ši atvirkštinė teorema yra prieštaringa.

Kad tai įrodytų prieštaringu metodu, reikia pakeisti matematinę sąlygą logine prieštaringa sąlyga, kurios prasme yra dvi dalys - klaidinga ir tikra.

Atvirkštinė teorema teigia: apie E tai neseka IR ... Jos būklė E , iš kurio seka išvada IR , yra tiesioginės teoremos įrodymo įprastu matematiniu metodu rezultatas. Ši sąlyga turi būti išlaikyta ir papildyta pareiškimu apie E turėtų IR ... Dėl papildymo gaunama prieštaringa naujos atvirkštinės teoremos sąlyga: apie E turėtų IR ir apie E tai neseka IR ... Remiantis tuo logiškai prieštaringa sąlyga, atvirkštinė teorema gali būti įrodyta teisinga logiška tik samprotavimai ir tik logiška prieštaraujant. Patvirtinant prieštaravimu, bet kokie matematiniai veiksmai ir operacijos yra pavaldūs loginiams veiksmams ir todėl nesiskaito.

Pirmoje prieštaringo teiginio dalyje apie E turėtų IR būklė E buvo įrodyta tiesioginės teoremos įrodymu. Antroje dalyje apie E tai neseka IR būklė E buvo priimtas ir priimtas be įrodymų. Kai kurie iš jų yra klaidingi, o kiti teisingi. Reikalaujama įrodyti, kuris iš jų yra melagingas.

Mes įrodome teisingais logiška samprotauti ir nustatyti, kad jo rezultatas yra klaidinga, absurdiška išvada. Klaidingos loginės išvados priežastis yra prieštaringa teorinė loginė sąlyga, kurioje yra dvi dalys - klaidinga ir teisinga. Tik teiginys gali būti klaidinga dalis apie E tai neseka IR , kur E buvo priimtas be įrodymų. Tuo jis skiriasi E patvirtinimas apie E turėtų IR , kurį įrodo tiesioginės teoremos įrodymas.

Todėl šis teiginys yra teisingas: apie E turėtų IR , kaip reikalaujama įrodyti.

Išvada: tik ta atvirkštinė teorema įrodoma loginiu prieštaravimų metodu, kuris turi tiesioginę teoremą, įrodytą matematiniu metodu ir kurios negalima įrodyti matematiniu metodu.

Gauta išvada įgyja išskirtinę reikšmę įrodinėjimo metodo atžvilgiu prieštaraudama didžiajai Fermato teoremai. Didžioji dauguma bandymų tai įrodyti grindžiami ne įprastu matematiniu, o loginiu įrodinėjimo prieštaravimu metodu. Ne išimtis yra ir Wileso didžiosios Fermat teoremos įrodymas.

Dmitrijus Abrarovas savo straipsnyje „Fermato teorema: apgaulingų įrodymų fenomenas“ paskelbė komentarą apie Didžiosios Fermat teoremos įrodymą Wiles. Pasak Abrarovo, Wilesas įrodo didžiąją Fermato teoremą, naudodamas puikų vokiečių matematiko Gerhardo Frey (g. 1944) radinį, kuris susiejo galimą Fermato lygties sprendimą. x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , su kita, visai kita lygtimi. Ši nauja lygtis suteikiama specialia kreive (vadinama Frey elipsine kreive). Frey kreivė pateikiama labai paprastos formos lygtimi:
.

„Būtent, Frey atitiko kiekvieną sprendimą (a, b, c) Fermato lygtis, tai yra skaičiai, tenkinantys santykį a n + b n \u003d c nvirš kreivės. Šiuo atveju didžioji Fermato teorema išplauktų iš čia.(Citata iš: Abrarovo D. "Fermato teorema: apgaulingų įrodymų fenomenas")

Kitaip tariant, Gerhardas Frey manė, kad didžiosios Fermat teoremos lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , turi sprendimus teigiamais sveikaisiais skaičiais. Šie sprendimai, remiantis Frey prielaida, yra jo lygties sprendimai
y 2 + x (x - a n) (y + b n) \u003d 0 , kurį suteikia jo elipsinė kreivė.

Andrew Wilesas priėmė šį nepaprastą Frey radinį ir su jo pagalba matematinis metodas įrodė, kad šio radinio, tai yra Frey elipsės kreivės, nėra. Todėl nėra lygties ir jos sprendinių, kuriuos pateikia neegzistuojanti elipsinė kreivė, todėl Wilesas turėjo priimti išvadą, kad Didžiojo Fermato teoremos ir pačios Fermato teoremos lygtis neegzistuoja. Tačiau jis padarė konservatyvesnę išvadą, kad Fermato paskutinės teoremos lygtis neturi sprendimų teigiamais sveikaisiais skaičiais.

Gali būti nenuginčijamas faktas, kad Wilesas priėmė prielaidą, kuri prasme yra visiškai priešinga tam, ką teigia paskutinė Fermato teorema. Tai įpareigoja Wilesą prieštaravimais įrodyti paskutinę Fermato teoremą. Paseksime jo pavyzdžiu ir pamatysime, kas išeis iš šio pavyzdžio.

Paskutinė Fermato teorema teigia, kad lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendimų.

Pagal loginį įrodinėjimo prieštaravimu metodą šis teiginys išsaugomas, laikomas pateiktu be įrodymų, o po to papildomas priešingu prasmės teiginiu: x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , turi sprendimus teigiamais sveikaisiais skaičiais.

Tariamas pareiškimas taip pat priimamas kaip duotas, be įrodymų. Abu teiginiai, vertinami pagrindinių logikos dėsnių požiūriu, yra vienodai pagrįsti, lygūs ir vienodai įmanomi. Teisingai samprotaujant reikia nustatyti, kuris iš jų yra klaidingas, kad būtų galima nustatyti, jog kitas yra teisingas.

Teisingas samprotavimas baigiasi klaidinga, absurdiška išvada, kurios logiška priežastis gali būti tik prieštaringa įrodomos teoremos sąlyga, kurioje yra dvi priešingos prasmės dalys. Jie buvo logiška absurdiškos išvados priežastis, įrodinėjimo prieštaravimu rezultatas.

Tačiau logiškai teisingai samprotaujant nebuvo rastas nė vienas ženklas, pagal kurį būtų galima nustatyti, kuris konkretus teiginys yra klaidingas. Tai gali būti teiginys: lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , turi sprendimus teigiamais sveikaisiais skaičiais. Tuo pačiu pagrindu tai gali būti teiginys: lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendimų.

Dėl samprotavimo gali būti tik viena išvada: paskutinė Fermato teorema negali būti įrodyta prieštaravimais.

Būtų visiškai kitas reikalas, jei paskutinė Fermato teorema būtų atvirkštinė teorema, turinti tiesioginę teoremą, įrodytą įprastu matematiniu metodu. Šiuo atveju tai būtų galima įrodyti prieštaravimais. Kadangi tai yra tiesioginė teorema, tada jos įrodymas turėtų būti pagrįstas ne loginiu įrodinėjimo prieštaravimu metodu, o įprastu matematiniu metodu.

Pasak D. Abrarovo, garsiausias iš šiuolaikinių Rusijos matematikų, akademikas V. I. Arnoldas, į Wileso įrodymus reagavo „aktyviai skeptiškai“. Akademikas teigė: „tai nėra tikroji matematika - tikroji matematika yra geometrinė ir stipri, susijusi su fizika.“ (Citata iš: Abrarovo D. „Fermato teorema: Wileso įrodymų fenomenas.“ Akademiko pareiškime išreiškiama pati Wileso nematematinio Didžiojo Fermato teoremos įrodymo esmė.

Prieštaraujant neįmanoma įrodyti, kad Didžiojo Fermato teoremos lygtis neturi sprendimų, nei kad ji turi sprendimus. Wileso klaida nėra matematinė, bet logiška - įrodymų naudojimas prieštaraujant ten, kur jo naudojimas neturi prasmės ir neįrodo Didžiojo Fermato teoremos.

Paskutinė Fermato teorema neįrodyta naudojant įprastą matematinį metodą, jei jis pateiktas: lygtis x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , neturi sprendimų teigiamais sveikaisiais skaičiais, ir jei jame reikia įrodyti: lygtį x n + y n \u003d z n kur n\u003e 2 , neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendimų. Šioje formoje yra ne teorema, o tautologija, neturinti prasmės.

Pastaba. Mano BTF įrodymas buvo aptartas viename forume. Vienas iš „Trotil“ bendradarbių, skaičių teorijos ekspertas, padarė šį autoritetingą pareiškimą pavadinimu „Trumpas pasakojimas apie tai, ką padarė Mirgorodskis“. Cituoju tai pažodžiui:

« IR. Jis įrodė, kad jei z 2 \u003d x 2 + y tada z n\u003e x n + y n ... Tai gerai žinomas ir gana akivaizdus faktas.

IN. Jis paėmė du trynukus - pitagoriečius ir ne pitagoriečius ir paprastomis paieškomis parodė, kad konkrečiai, konkrečiai trijų asmenų šeimai (78 ir 210 vnt.) BTF yra įvykdytas (ir tik jam).

NUO. Tada autorius praleidžia tai < tolesniu mastu gali būti = , ne tik > ... Paprastas priešpriešinis pavyzdys - perėjimas n \u003d 1 į n \u003d 2 Pitagoro trynuke.

D. Šis punktas nepadeda nieko reikšmingo įrodant BTF. Išvada: BTF neįrodytas “.

Aš apsvarstysiu jo išvadą taškas po punkto.

IR. Tai įrodė BTF visam begaliniam Pitagoro skaičių trigubų rinkiniui. Įrodė geometrinis metodas, kurį, kaip aš tikiu, atradau ne aš, o atradau iš naujo. Ir tai atrado, kaip aš tikiu, pats P. Fermatas. Tai, ką Fermatas galėjo turėti omenyje, kai rašė:

- Atradau tikrai nuostabų to įrodymą, tačiau šie laukai jam per siauri. Ši mano prielaida pagrįsta tuo, kad Diophanto problemoje, prieš kurią knygos paraštėse rašė Fermatas, kalbame apie Diophantine lygties sprendimus, kurie yra Pitagoro skaičių trigubai.

Begalinis Pitagoro skaičių trigubų rinkinys yra Diopatinės lygties sprendiniai, o Fermato teoremoje, priešingai, nė vienas iš sprendimų negali būti Fermato teoremos lygties sprendimas. Ir tikrai nuostabus „Fermat“ įrodymas yra tiesiogiai susijęs su šiuo faktu. Vėliau Fermatas galėjo išplėsti savo teoremą iki visų natūralių skaičių aibės. Visų natūralių skaičių aibėje BTF nepriklauso „išskirtinai gražių teoremų rinkiniui“. Tai mano prielaida, kurios neįmanoma įrodyti ar paneigti. Tai galima ir priimti, ir atmesti.

IN. Šioje dalyje įrodau, kad tiek savavališkai paimto Pitagoro numerių trigubo šeima, tiek savavališkai paimto ne Pitagoro BTF skaičių trigubo šeima yra patenkinta. Tai yra būtina, bet nepakankama ir tarpinė nuoroda įrodant BTF. Mano pateikti pavyzdžiai apie Pitagoro skaičių trigubo šeimos ir ne Pitagoro skaičiaus trigubo šeimos reikšmę turi konkretūs pavyzdžiai, prisiimantys ir neatmetantys panašių kitų pavyzdžių egzistavimo.

Trotilio teiginys, kad „paprastu ieškojimu parodžiau, jog konkrečiai trynukų šeimai (78 ir 210 vnt.) BTF yra įvykdytas (ir tik jai), neturi pagrindo. Jis negali paneigti fakto, kad lygiai taip pat galiu paimti kitus Pitagoro ir ne Pitagoro trynukų pavyzdžius, kad gautų specifinę specifinę vieno ir kitų trynukų šeimą.

Kad ir kurią paimčiau trynukų porą, jų tinkamumą problemai spręsti, mano nuomone, galima patikrinti tik „paprastos paieškos“ metodu. Bet koks kitas būdas man nėra žinomas ir jo nereikia. Jei „Trotil“ tai nepatinka, ji turėjo pasiūlyti kitą metodą, kurio jis nemėgsta. Nesiūlant nieko mainais, neteisinga pasmerkti „paprastą žiaurią jėgą“, kuri šiuo atveju yra nepakeičiama.

NUO. Praleidau \u003d tarp< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), kuriame laipsnis n\u003e 2 — visas teigiamas skaičius. Iš lygybės tarp nelygybės išplaukia privaloma 1 lygties svarstymas ne sveikojo laipsnio n\u003e 2 ... Trotilų skaičiavimas privaloma atsižvelgdamas į nelygybės lygybę, iš tikrųjų mano būtina BTF įrodyme (1) ekv nebaigtas laipsnio prasmė n\u003e 2 ... Aš tai padariau sau ir radau tą (1) lygtį nebaigtas laipsnio prasmė n\u003e 2 turi trijų skaičių sprendimą: z, (z-1), (z-1) su ne sveikojo laipsnio rodikliu.