Ką reiškia paviršiaus plotas? Kuri geometrinė figūra turi mažiausią paviršiaus plotą? Pažiūrėkite, kas yra „paviršiaus plotas“ kituose žodynuose
Bet kurio fizinio kūno tūrio ir paviršiaus ploto santykis. Viena iš svarbiausių inžinerinių technikų.
Įsivaizduokite kubą, kurio krašto ilgis yra 1 metras (1 centimetras, 1 pėda, 1 colis arba 1 „ko tik norite“), tada bus metras - dėl paprastumo. Šio kubo tūris yra 1 m3. Kiekvienos pusės plotas yra 1 m2, o visas šio kubo paviršiaus plotas yra 6 m2 - yra šešios pusės. Tūrio ir paviršiaus ploto santykis yra 1:6 = 1/6 (dabar ir toliau – neatsižvelgiant į matmenis).
Dabar įsivaizduokite kubą, kurio kraštinė yra 3 m. Šio kubo tūris yra 27 m 3 (3x3x3). Kiekvienos pusės plotas yra 9 m2, o visas šio kubo paviršiaus plotas yra 54 m2. Tūrio ir paviršiaus ploto santykis yra 27:54 = 1/2 = 3/6.
Tai yra, padidėjus linijiniam dydžiui 3 kartus, paviršiaus plotas padidėjo 9 kartus, bet tūris padidėjo 27 kartus. Tūrio ir paviršiaus ploto santykis padidėjo 3 kartus.
Žemiau esančioje lentelėje pateikti kubelių skaičiavimai, kai žingsnis po žingsnio padvigubinamas tiesinis dydis:
Lentelė. Fizinio kūno paviršiaus ploto ir tūrio dinamikos palyginimas su didėjančiu linijiniu dydžiu.
| Linijinis dydis (m) | Paviršiaus plotas (m2) | Tūris, m3) |
Tūrio ir paviršiaus ploto santykis |
|
0,17 |
|||
|
0,33 |
|||
|
0,67 |
|||
|
1,33 |
|||
|
2,67 |
|||
|
5,33 |
|||
|
10,67 |
|||
|
21,33 |
|||
|
42,67 |
|||
|
85,33 |
Didėjant linijiniam dydžiui, tūris didėja daug greičiau nei kūno paviršiaus plotas, nes tūris yra proporcingas linijinio dydžio kubui, o plotas yra proporcingas kvadratui. Šis faktas taikomas ne tik kubiniams kūnams, bet ir bet kokiems kitiems kūnams, natūraliai išlaikant formą (arba proporcijas, jei norite).
Piešimas. Fizinio kūno paviršiaus ploto ir tūrio dinamikos palyginimas su didėjančiu linijiniu dydžiu.
Kai kurie kasdieniai aptariamo fakto svarbos pavyzdžiai.1) Šilumos perdavimas proporcingas paviršiaus plotui. Šilumos talpa yra kūno tūris. Iš šio fakto tiesiogiai išplaukia, kad didesnis pastatas (tokios pačios formos) užtruks ilgiau, kol išleis šviesiuoju paros metu susikaupusią šilumą (arba įkais per dieną) ir reikės mažiau energijos naudingo ploto vienetui -! Naudojamas plotas yra tiesiogiai proporcingas vidiniam tūriui! - šildymui (oro kondicionavimui).
2) Masė (svoris) proporcinga atramos tūriui. Dirvožemio apkrova – paviršiaus plotas. Iš šio fakto tiesiogiai išplaukia, kad bet kokios formos atramai yra dydis, nuo kurio (išlaikant formą) ji pateks į bet kokį dirvą.
3) Vaiko ploto/tūrio santykis visiškai kitoks nei suaugusiojo. Todėl hipotermijos ar šilumos smūgio rizika vaikui yra neproporcingai didesnė (ką, žinoma, iš dalies kompensuoja skirtingas vaikų medžiagų apykaitos procesų greitis).
Tai yra bendras visų figūros paviršių plotas. Kubo paviršiaus plotas lygus visų šešių jo paviršių plotų sumai. Paviršiaus plotas yra skaitinė paviršiaus charakteristika. Norėdami apskaičiuoti kubo paviršiaus plotą, turite žinoti tam tikrą formulę ir vienos iš kubo kraštinių ilgį. Kad galėtumėte greitai apskaičiuoti kubo paviršiaus plotą, turite atsiminti formulę ir pačią procedūrą. Žemiau mes išsamiai aptarsime skaičiavimo procedūrą. viso kubo paviršiaus ploto ir pateikti konkrečių pavyzdžių.
Atliekama pagal formulę SA = 6a 2. Kubas (taisyklinis šešiakampis) yra vienas iš 5 taisyklingųjų daugiakampių tipų, tai yra taisyklingas stačiakampis gretasienis, kubas turi 6 paviršius, kiekvienas iš šių paviršių yra kvadratas.
Dėl kubo paviršiaus ploto apskaičiavimas Turite užsirašyti formulę SA = 6a 2. Dabar pažiūrėkime, kodėl ši formulė atrodo taip. Kaip minėjome anksčiau, kubas turi šešis vienodus kvadratinius veidus. Remiantis tuo, kad kvadrato kraštinės yra lygios, kvadrato plotas yra - a 2, kur a yra kubo kraštinė. Kadangi kubas turi 6 vienodus kvadratinius paviršius, norėdami nustatyti jo paviršiaus plotą, turite padauginti vieno veido (kvadrato) plotą iš šešių. Dėl to gauname kubo paviršiaus ploto (SA) skaičiavimo formulę: SA = 6a 2, kur a yra kubo kraštas (kvadrato kraštinė).
Koks yra kubo paviršiaus plotas?
Jis matuojamas kvadratiniais vienetais, pavyzdžiui, mm 2, cm 2, m 2 ir pan. Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, turėsite išmatuoti kubo kraštą. Kaip žinome, kubo briaunos yra lygios, todėl jums užteks išmatuoti tik vieną (bet kurią) kubo kraštą. Šį matavimą galite atlikti naudodami liniuotę (arba matavimo juostą). Atkreipkite dėmesį į matavimo vienetus ant liniuotės arba matavimo juostos ir užrašykite vertę, pažymėdami ją a.
Pavyzdys: a = 2 cm.
Gautą vertę kvadratu. Taigi kubo krašto ilgis yra kvadratas. Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs. Mūsų formulė atrodys taip: SA = 6*a 2
Apskaičiavote vieno iš kubo paviršių plotą.
Pavyzdys: a = 2 cm
a 2 = 2 x 2 = 4 cm 2
Gautą vertę padauginkite iš šešių. Nepamirškite, kad kubas turi 6 lygias puses. Nustatę vieno iš veidų plotą, gautą vertę padauginkite iš 6, kad visi kubo paviršiai būtų įtraukti į skaičiavimą.
Čia mes prieiname prie galutinio veiksmo kubo paviršiaus ploto apskaičiavimas.
Pavyzdys: a 2 = 4 cm 2
SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2
Jei kubo kraštinė lygi A, Tai
kubo tūris bus lygus a 3,
vienos pusės plotas - a 2, atitinkamai,
šešių pusių plotas (t. y. kubo paviršiaus plotas) - 6a 2. Mes skaičiuojame:
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| S = 6a 2 | 6 | 24 | 54 | 96 | 150 | 216 |
| V = a 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| S/V | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
Ką mes matome? Didėjant kubo dydžiui (žalia linija), jo paviršiaus plotas (geltona linija) palaipsniui didėja (nuo 6 iki 216). Taip pat auga kubo tūris (mėlyna linija) (nuo 1 iki 216). Visi auga, bet tūris auga greičiau nei paviršius. Tai galite patikrinti naudodami raudoną liniją, kuri rodo paviršiaus ir tūrio santykį: tūrio vienetui prie mažiausio kubo privalaušeši paviršiaus vienetai, o didžiausias turi tik vieną.
Kaip tai galima įvertinti? Įsivaizduokite, kad kiekvienas tūrio vienetas yra vienas „asmuo“, o paviršiaus vienetas yra langas, pro kurį žmogus gali kvėpuoti. Tada
- Vienas žmogus gyvena kube su 1 puse ir gali kvėpuoti pro 6 langus;
- 8 žmonės gyvena kube su 2 puse ir jie kvėpuoja per 24 langus (kiekvienas gauna po 3);
- 27 žmonės gyvena kube su 3 puse ir jie kvėpuoja per 54 langus (kiekvienas gauna po 2);
Tas pats vaikams, kurie nemoka apskaičiuoti kubo ploto ir paviršiaus
Maži vaikai! Paimkite kubą į rankas. Ar žaidi su kubeliais?
Ne! Kas mes tokie, mažieji? Mes žaidžiame SonyPlaystation!
Puiku vaikai! Kubus ėmėme ne žaisti, o mokytis biologijos! Įsivaizduokite, kad kubo viduje sėdi žmogelis, o kubo šonai yra langai, pro kuriuos jis gali vėdinti kambarį.
Pristatyta! Saunus!
Kubas turi 6 puses, tai reiškia, kad vienas žmogus turi 6 langus ir nėra tvankus. Dabar sudėkite du kubelius. Dabar yra 2 žmonės, o langų liko 10, tai yra po 5 kiekvienam.
Oi! Štai jums!
Dabar padarykite 4 kubelius į kvadratą. Yra 4 zmones, 16 langu, kiekvienam po 4. O jei padesi antra auksta, t.y. Jei padarysite super kubą 2x2x2, tada bus 8 žmogeliukai, o langai - 24, kiekvienam po 3. Ar jaučiate, kad mažiesiems darosi vis sunkiau vėdinti kambarius?
K – kubelių skaičius, C – išorėje paliktų kraštų skaičius
Ši tema sudėtinga ir neaiški. Dauguma mano mokinių niekada to nesupranta – nei devintoje, nei vienuoliktoje klasėje – tiesiog atsimena taisyklę: kuo didesnis organizmas, tuo santykinai mažesnis jo paviršiaus plotas ir atvirkščiai. Bet geriau ne kimšti, o suprasti, todėl primygtinai rekomenduoju paimti savo asmeninius kauliukus (kuriuos vis tiek žaidi paslapčia nuo visų) ir viską pasiskaičiuoti patiems. Verta: mūsų biologinėje žemdirbystėje labai dažnai taikoma tūrio ir paviršiaus santykio taisyklė. Štai keletas pavyzdžių.
Mega žvirblio doktrina
Svoris paukščiai yra apimties, padaugintas iš tankio ir sparno plotas - tai yra paviršius. Iš to tampa aišku, kad didėjant paukščio dydžiui, jo masė (kubinė funkcija) padidės greičiau nei sparnų dydis (kvadratinė funkcija). Lėtai augantiems sparnams bus vis sunkiau pakelti greitai augančią masę.
Praktinis darbas: paimkite žvirblį ir padidinkite jo ilgį 10 kartų. Tokiu atveju paukščio masė padidės 1000 kartų (10 3), o sparnų plotas tik 100 kartų (10 2). Sulauksime neskraidančio žvirblio, visų apylinkių plėšrūnų džiaugsmo. Kad mūsų mega žvirblis skristų, reikia antro žingsnio: padidinti sparno plotą dar 10 kartų. Tai bus gražus padaras!
Kodėl stori žmonės prakaituoja?
Kūno pagaminamos šilumos kiekis priklauso nuo ląstelių skaičiaus, t.y. pagal garsumą. Per kūno paviršių šiluma perduodama aplinkai. Vadinasi, didėjant kūno dydžiui, šilumos gamyba (kubinė funkcija) didėja greičiau nei šilumos perdavimas (kvadratinė funkcija). Todėl dideliems gyvūnams sunku atvėsti, jiems gresia perkaisti (ir atvirkščiai, smulkiems gyvūnams visada gresia peršalimas).
Akivaizdu, kad didelio dydžio dramblys turi labai didelį paviršių. Bet tūrio atžvilgiu jo paviršius labai mažas. Norėdamas atsikratyti šilumos pertekliaus, dramblys naudoja savo didžiules ausis. Jie reikalingi visai ne gerai klausai (gerai klausai, pavyzdžiui, plėšrūnams - jie turi mažas ausis), o tam, kad padidėtų kūno paviršius, per kurį vyksta šilumos perdavimas.
Šiuo metu vaikai klausia: „Ar Indijoje ir Afrikoje jau nėra taip karšta? Atsakymas: deja, mūsų vėsiose platumose dramblys negalėtų rasti pakankamai maisto sau (o kur jis pasislėptų žiemą?) Mamutai (dramblio giminaičiai, gyvenantys šiek tiek vėsesnėmis sąlygomis) taupė šilumą: jie turėjo normalaus dydžio ausys ir kailis ( kaip ir dera žinduoliui).
Kol piešiau šį paveikslą, mano žmona kelis kartus skundėsi, kad dramblys yra tipiškas ateivis, tik pažiūrėkite į jį! Iš tiesų, rusams dramblys yra visiškai įprastas gyvūnas, netgi vietinis, tačiau tai tik Korney Ivanovičiaus Chukovskio talento dėka: „Ir dramblys yra dendis, šimto pėdų pirklio žmona, o žirafa yra svarbus grafas, aukštas kaip telegrafas. (Chukovsky K.I. „Krokodilas“) Kitų šalių gyventojai, netekę Chukovskio, dramblį suvokia visiškai kitaip: „Jo peiliai buvo kaip medžiai, ausys plevėsavo kaip burės, ilgas kamienas buvo pakeltas, kaip didžiulė gyvatė, pasiruošusi pulti. mažos akys uždegusios“. (Scrombie S. „Vertingų krovinių pristatymas: ekspertų patarimai“)
Jei jus domina klausimas, kuri kūno forma turi mažiausią bendrą paviršiaus plotą, tuomet reikia turėti omenyje, kad lyginamų kūnų tūriai, žinoma, turi būti vienodi.
Ko reikia eksperimentui?
Norėdami atlikti tokį tiriamąjį eksperimentą, be mažų, paprastų, kiekvienam iš jūsų gana prieinamų skulptūros pamokų, turėsite pritaikyti stereometrijos žinias. Tikimės, kad ši edukacinė studija jums bus naudinga ir įdomi.
Paimkite nedidelį plastilino gabalėlį arba, jei jo neturite, gerai sutrinto molio gabalėlį. Padarykite kubą. Stenkitės, kad jis būtų vienodomis kraštinėmis ir stačiu kampu. Išmatuokite jo krašto ilgį ir užsirašykite.
Tada iš to paties kubo suformuokite cilindrą. Pagrindų dydžio ir aukščio santykis neturi reikšmės. Svarbu, kad tai būtų tinkamas cilindras. Išmatuokite jo pagrindo spindulį ir aukštį, taip pat užsirašykite.
Iš cilindro suformuokite rutulį. Įdėję šiek tiek pastangų, galite pasiekti, kad gautumėte tikrą kamuolį. Išmatuokite jo spindulį (tai nesunku padaryti per vidurį pradurti mezgimo adata arba tiesia, kieta viela). Užrašę rutulio spindulį, jei norite, iš rutulio išpjaukite kitus geometrinius kūnus, pavyzdžiui, kūgį, piramidę ir pan.
Eksperimento rezultatai
Taigi, jūs užsirašėte skirtingų geometrinių kūnų dydžius. Jie turi pačių įvairiausių formų, tačiau turi vieną bendrą bruožą – jų visų tūris yra vienodas. Juk visi jie išlipdyti iš vieno molio ar plastilino gabalo.
Atsižvelgiant į priimtą plastilino ar molio tūrį, pavyzdžiui, vieną kubinį centimetrą, atlikę atitinkamus matavimus turėtumėte turėti šiuos apytikslius duomenis apie bendrą įvairių figūrų paviršiaus plotą: rutulys - 4 kvadratiniai centimetrai; kubas - 6 centimetrai kvadrato; kūgis - 7 centimetrai kvadrato; cilindras - 8 kvadratiniai centimetrai.
Fizikos dėsniai
Kai pučiate muilo burbulą, jis yra rutulio formos.
Ar pastebėjote rasos lašelius ant augalų lapų vasarą? Yra tokių mažų lašelių, kad dėl savo svorio jie nesuploja. Jie atrodo sferiniai.
Vanduo ir kiti skysčiai savo paviršiuje turi ploną molekulinę plėvelę, kuri akiai nematoma. Jis yra elastingas šalia vandens. Ši elastinga plėvelė visada stengiasi susitraukti, tai yra užimti mažiau vietos, tuo pačiu sudarydama kuo mažesnį paviršių. Ar jau matėte, kad kamuolys turi mažiausią paviršiaus plotą?
Nesvarumo būsenos astronautai gali stebėti, kaip net vandens dalis, kuri telpa į stiklinę, ištirpsta ore kamuoliuko pavidalu. Žemėje, veikiamas gravitacijos, vanduo plinta ir, siekiant jį išsaugoti, pilamas į indus.
Tačiau perpildyto stiklo paviršiuje aiškiai matomas vandens suformuotas iškilimas. Nematoma molekulinė plėvelė stengiasi, kad vanduo neišsipiltų. Vandens plėvelė yra gana patvari. Atsargiai ant vandens paviršiaus padėta adata gulės ant jos, šiek tiek prispausta, suformuodama nedidelę įdubą.
