Osnovna istraživanja. Fermatova velika teorema Zašto ne mogu dokazati Fermatovu teoremu?

5. avgusta 2013

Nema mnogo ljudi na svijetu koji nikada nisu čuli za Fermatovu posljednju teoremu - možda je ovo jedini matematički problem koji je postao toliko poznat i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, a glavni kontekst gotovo svih spominjanja je nemogućnost dokazivanja teoreme.

Da, ova teorema je vrlo poznata i, na neki način, postala je “idol” kojeg obožavaju matematičari amateri i profesionalni matematičari, ali malo ljudi zna da je pronađen njen dokaz, a to se dogodilo davne 1995. godine. Ali prvo stvari.

Dakle, Fermatova posljednja teorema (koja se često naziva i Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, u suštini je vrlo jednostavna i razumljiva svima sa srednjom stručnom spremom. Kaže da formula a na stepen od n + b na stepen od n = c na stepen od n nema prirodna (tj. ne razlomka) rešenja za n > 2. Sve izgleda jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri više od tri i po vijeka mučili su se s traženjem rješenja.

Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati...

Postoji li mnogo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Ovdje se radi o tome da Fermatova posljednja teorema predstavlja najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak problem, a ipak njenu formulaciju može razumjeti svako ko ima 5. razred srednje škole, ali čak ni svaki profesionalni matematičar ne može razumjeti dokaz. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u matematici ne postoji nijedan problem koji bi se mogao tako jednostavno formulisati, a koji je tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?

Počnimo od Pitagorinih pantalona. Formulacija je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavno jer je zasnovan na matematičkoj izjavi koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.

U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cjelobrojne trojke koje zadovoljavaju jednakost x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule za njihovo pronalaženje. Verovatno su pokušali da traže C i više diplome. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su napustili svoje beskorisne pokušaje. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.

Odnosno, lako je odabrati skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x²+y²=z²

Počevši od 3, 4, 5 - zaista, mlađi učenik razumije da je 9 + 16 = 25.

Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.

Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, njegovo odsustvo. Kada trebate dokazati da rješenje postoji, možete i trebate jednostavno predstaviti ovo rješenje.

Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - i evo ga, rješenje! (dati rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsustvo?

Recite: “Nisam našao takva rješenja”? Ili možda niste dobro izgledali? Šta ako postoje, samo veoma veliki, veoma veliki, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još uvek nema dovoljno snage? Ovo je ono što je teško.

To se može vizuelno prikazati ovako: ako uzmete dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavite ih na jedinične kvadrate, onda iz ove gomile jediničnih kvadrata dobijete treći kvadrat (slika 2):

Ali hajde da uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3) - ne radi. Nema dovoljno kocki, ili su ostale viška:

Ali matematičar iz 17. veka, Francuz Pjer de Fermat, sa entuzijazmom je proučavao opštu jednačinu x n + y n = z n. I konačno, zaključio sam: za n>2 ne postoje cjelobrojna rješenja. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: „Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz za ovu tvrdnju, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale.”

Zapravo, teorema bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne pravi greške. Čak i ako nije ostavio dokaze o izjavi, ona je naknadno potvrđena. Štaviše, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.

Nakon Ferma, veliki umovi kao što je Leonhard Euler radili su na potrazi za dokazom (1770. godine predložio je rješenje za n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lamé (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog veka postalo je jasno da je naučni svet na putu ka konačnom rešenju Fermaove poslednje teoreme, ali tek 1993. matematičari su videli i poverovali da je trovekovni ep traganja za dokazom Fermatova posljednja teorema je bila praktički gotova.

Lako se pokazuje da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za jednostavno n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje važeći. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...

Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, matematičarke, Dirichlet i Legendre su nezavisno dokazale teoremu za n=5. Godine 1839, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame je pokazao istinitost teoreme za n=7. Postepeno je teorema dokazana za skoro svih n manje od sto.

Konačno, njemački matematičar Ernst Kummer je u briljantnoj studiji pokazao da se teorema općenito ne može dokazati korištenjem metoda matematike 19. stoljeća. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, ostala je nedodijeljena.

Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskehl odlučio je sebi oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Stvari su se završile prije ponoći. Mora se reći da je Paul bio zainteresovan za matematiku. Nemajući ništa drugo da radi, otišao je u biblioteku i počeo da čita Kumerov čuveni članak. Odjednom mu se učinilo da je Kummer pogriješio u rasuđivanju. Wolfskel je počeo analizirati ovaj dio članka s olovkom u rukama. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazu je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je pocijepao svoja oproštajna pisma i prepisao svoj testament.

Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 tekućih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva iz Getingena, koje je iste godine raspisalo konkurs za Wolfskehl nagradu. Osoba koja je dokazala Fermatovu teoremu dobila je 100.000 maraka. Za pobijanje teoreme nije dodijeljen ni fening...

Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme beznadežnim zadatkom i odlučno je odbijala gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se oduševili. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E.M. Landau, čija je odgovornost bila da analizira poslate dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:

Dragi. . . . . . . .

Hvala vam što ste mi poslali rukopis s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... u redu... . Zbog toga ceo dokaz gubi na validnosti.
Profesor E. M. Landau

Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gödelove nalaze, dokazao nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema - hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema neodlučiva?! Ali pravi fanatici Velike Teoreme nisu bili razočarani. Pojava kompjutera iznenada je dala matematičarima novu metodu dokaza. Nakon Drugog svjetskog rata, timovi programera i matematičara dokazali su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.

Osamdesetih godina, Samuel Wagstaff je podigao granicu na 25.000, a 1990-ih matematičari su izjavili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti od n do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak i trilion triliona, on neće postati manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazati Veliku teoremu značilo je dokazati je za SVE n ide u beskonačnost.

Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su istraživati modularne forme. Ovi oblici generiraju nizove brojeva, svaki sa svojom serijom. Igrom slučaja, Taniyama je uporedio ove serije sa serijama generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nije pronađena nikakva veza između tako različitih objekata.

Međutim, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima blizanca - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.

Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada, Fermatova posljednja teorema bila je neraskidivo povezana s Taniyama-Shimura pretpostavkom. Pošto smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednačine, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a sve je manje bilo nade za uspjeh.

Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da ne može odustati od nje. Kao školarac, student i postdiplomac pripremao se za ovaj zadatak.

Saznavši za otkrića Kena Ribeta, Wiles je bezglavo upao u dokazivanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. „Shvatio sam da sve što ima bilo kakve veze sa Fermaovom poslednjom teoremom izaziva preveliko interesovanje... Previše gledalaca očigledno ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada se isplatilo, Wiles je konačno završio dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke.

Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni rad na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu), rad na kojem je trajao više od sedam godina.

Dok se hajka nastavila u štampi, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo nemirno ljeto čekajući povratne informacije od recenzenata, nadajući se da će uspjeti dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su ocijenili da je presuda nedovoljno obrazložena.

Ispostavilo se da ova odluka sadrži grubu grešku, iako je generalno ispravna. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć čuvenog specijaliste za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljeni i prošireni dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu “Annals of Mathematics”. Ali ni tu se priča nije završila – konačna tačka je postignuta tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.

“...pola minuta nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, poklonio sam Nady rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Wales). Nisam li još rekao da su matematičari čudni ljudi?

Ovoga puta nije bilo sumnje u dokaze. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.

Od tog trenutka je prošlo dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje da je Fermatova posljednja teorema nerješiva. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo je onih koji su zadovoljni da Velika teorema zahtijeva rješenje od 130 stranica!

Stoga su sada napori mnogih matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačeni u potragu za jednostavnim i konciznim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće voditi nikuda...

izvor

Fermatova posljednja teorema Singh Simon

"Da li je Fermatova posljednja teorema dokazana?"

Bio je to samo prvi korak ka dokazivanju Taniyama-Shimura pretpostavke, ali Wilesova strategija je bila briljantan matematički napredak, rezultat koji je zaslužio da bude objavljen. Ali zbog Wilesovog samonametnutog zavjeta šutnje, nije mogao reći ostatku svijeta o svom rezultatu i nije imao pojma ko bi drugi mogao napraviti jednako značajan proboj.

Wiles se prisjeća svog filozofskog stava prema svakom potencijalnom izazivaču: „Niko ne želi provesti godine dokazujući nešto i otkriti da je neko drugi uspio pronaći dokaz nekoliko sedmica ranije. Ali, začudo, pošto sam pokušavao da rešim problem koji se u suštini smatrao nerešivim, nisam se mnogo plašio rivala. Jednostavno nisam očekivao da ću ja ili bilo ko drugi doći na ideju koja će dovesti do dokaza.”

Dana 8. marta 1988. Wiles je bio šokiran kada je na naslovnim stranicama novina vidio naslove velikim slovima koji su glasili: “Dokazana Fermatova posljednja teorema”. Washington Post i New York Times objavili su da je tridesetosmogodišnji Yoichi Miyaoka sa Tokyo Metropolitan univerziteta riješio najteži matematički problem na svijetu. Miyaoka još nije objavio svoj dokaz, ali je iznio njegov napredak na seminaru na Max Planck institutu za matematiku u Bonu. Don Tsagir, koji je prisustvovao Miyaokinom govoru, izrazio je optimizam matematičke zajednice sljedećim riječima: „Dokaz koji je iznio Miyaoka je izuzetno zanimljiv, a neki matematičari vjeruju da ima veliku vjerovatnoću da je tačan. Još nismo potpuno sigurni, ali dokazi za sada izgledaju vrlo ohrabrujuće.”

Govoreći na seminaru u Bonu, Miyaoka je govorio o svom pristupu rješavanju problema, koji je razmatrao sa potpuno drugačijeg, algebarsko-geometrijskog, stanovišta. Tokom proteklih decenija, geometri su postigli duboko i suptilno razumevanje matematičkih objekata, posebno svojstava površina. Sedamdesetih godina, ruski matematičar S. Arakelov pokušao je da uspostavi paralele između problema algebarske geometrije i problema teorije brojeva. To je bio jedan od pravaca Langlandsovog programa, a matematičari su se nadali da se neriješeni problemi u teoriji brojeva mogu riješiti proučavanjem odgovarajućih problema iz geometrije, koji su također ostali neriješeni. Ovaj program je bio poznat kao filozofija paralelizma. Oni algebarski geometri koji su pokušavali da riješe probleme u teoriji brojeva nazivani su "aritmetički algebarski geometri". Godine 1983. najavili su svoju prvu značajnu pobjedu kada je Gerd Faltings sa Prinstonskog instituta za napredne studije dao značajan doprinos razumijevanju Fermatove teoreme. Podsjetimo da je, prema Fermatu, jednačina

at n veće od 2 nema rješenja u cijelim brojevima. Faltings je odlučio da je postigao napredak u dokazivanju Fermatove posljednje teoreme proučavanjem geometrijskih površina povezanih s različitim vrijednostima n. Površine vezane za Fermatove jednadžbe za različite vrijednosti n, razlikuju se jedni od drugih, ali imaju jedno zajedničko svojstvo - svi imaju prolazne rupe, ili, jednostavno rečeno, rupe. Ove površine su četvorodimenzionalne, baš kao i grafovi modularnih oblika. Dvodimenzionalni presjeci dvije površine prikazani su na sl. 23. Površine povezane s Fermatovom jednačinom izgledaju slično. Što je veća vrijednost n u jednadžbi, što više rupa ima na odgovarajućoj površini.

Rice. 23. Ove dvije površine su dobijene pomoću kompjuterskog programa Mathematica. Svaki od njih predstavlja lokus tačaka koje zadovoljavaju jednačinu x n + y n = z n(za površinu na lijevoj strani n=3, za površinu sa desne strane n=5). Varijable x I y se ovde smatraju složenim

Faltings je uspio dokazati da, budući da takve površine uvijek imaju nekoliko rupa, pridružena Fermatova jednadžba može imati samo konačan skup cjelobrojnih rješenja. Broj rješenja može biti bilo koji - od nule, kako je Fermat pretpostavio, do milion ili milijardu. Dakle, Faltings nije dokazao Fermatovu posljednju teoremu, ali je barem uspio odbaciti mogućnost da Fermatova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja.

Pet godina kasnije, Miyaoka je prijavio da je napravio korak dalje. Tada je bio u ranim dvadesetim. Miyaoka je formulirao hipotezu o nekoj nejednakosti. Postalo je jasno da bi dokazivanje njegove geometrijske pretpostavke značilo dokazivanje da broj rješenja Fermatove jednadžbe nije samo konačan, već jednak nuli. Miyaokin pristup bio je sličan Wilesovom po tome što su obojica pokušali dokazati Fermatovu posljednju teoremu povezujući je s fundamentalnom hipotezom u drugoj grani matematike. Za Miyaoku je to bila algebarska geometrija; za Wilesa je put do dokaza ležao kroz eliptičke krive i modularne forme. Na veliku Wilesovu žalost, on se još uvijek borio da dokaže Taniyama-Shimura pretpostavku kada je Miyaoka tvrdio da ima potpuni dokaz svoje vlastite pretpostavke i, prema tome, Fermatove posljednje teoreme.

Dvije sedmice nakon svog govora u Bonu, Miyaoka je objavio pet stranica proračuna koji su činili suštinu njegovog dokaza i počelo je temeljno ispitivanje. Teoretičari brojeva i stručnjaci za algebarsku geometriju širom svijeta proučavali su, red po red, objavljivali proračune. Nekoliko dana kasnije, matematičari su otkrili jednu kontradikciju u dokazu koja nije mogla ne izazvati zabrinutost. Jedan dio Miyaokinog rada doveo je do izjave iz teorije brojeva, koja je, kada se prevede na jezik algebarske geometrije, proizvela izjavu koja je u suprotnosti s rezultatom dobivenim nekoliko godina ranije. Iako ovo nije nužno poništilo cijeli Miyaokin dokaz, proturječnost koja je otkrivena nije se uklapala u filozofiju paralelizma između teorije brojeva i geometrije.

Još dvije sedmice kasnije, Gerd Faltings, koji je utro put Miyaokeu, objavio je da je otkrio tačan uzrok očiglednog kršenja paralelizma - prazninu u obrazloženju. Japanski matematičar je bio geometar i nije bio sasvim rigorozan kada je svoje ideje preveo na manje poznatu teritoriju teorije brojeva. Armija teoretičara brojeva uložila je bjesomučne napore da zapuši rupu u Miyaokinom dokazu, ali uzalud. Dva mjeseca nakon što je Miyaoka tvrdio da ima potpuni dokaz Fermatove posljednje teoreme, matematička zajednica je došla do jednoglasnog zaključka: Miyaokin dokaz je osuđen na neuspjeh.

Kao i sa prethodnim neuspjelim dokazima, Miyaoka je uspio dobiti mnoge zanimljive rezultate. Neki fragmenti njegovog dokaza bili su vrijedni pažnje kao vrlo genijalne primjene geometrije na teoriju brojeva, a narednih godina drugi matematičari su ih koristili da dokažu neke teoreme, ali nitko nije uspio na ovaj način dokazati Fermatovu posljednju teoremu.

Gnjev oko Fermaove posljednje teoreme je ubrzo utihnuo, a novine su prenijele kratka obavještenja da je tristo godina stara zagonetka još uvijek neriješena. Sljedeći natpis pojavio se na zidu njujorške stanice metroa Eighth Street, bez sumnje inspirisan novinarskim izvještavanjem o Fermatovoj posljednjoj teoremi: „Eq. xn + yn = zn nema rješenja. Našao sam zaista neverovatan dokaz za ovu činjenicu, ali ne mogu to da zapišem ovde jer je stigao moj voz.”

Iz knjige John Lennon autor Goldman Albert

Poglavlje 63 Farma starog McLenona Otprilike mjesec i po nakon povratka u New York, jedne novembarske večeri, zazvonio je telefon u stanu Lennonovih. Yoko se javila na telefon. Muški glas s portorikanskim naglaskom upitao je Yoko Ono. Pretvarajući se

Iz knjige Istorija akvarijuma. Flautist's Book autor Romanov Andrej Igorevič

Iz knjige Fermatova posljednja teorema od Singha Simona

Fermaov problem Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. “U školi sam volio rješavati probleme, nosio sam ih kući i od svakog problema stvarao nove. Ali najbolji problem s kojim sam se ikada susreo bio je kod lokalnog stanovništva

Iz knjige Nikita Hruščov. Reformator autor Hruščov Sergej Nikitič

Od Pitagorine teoreme do Fermaove posljednje teoreme Pitagorina teorema i beskonačan broj Pitagorinih trojki su razmatrani u knjizi E.T. Bellov "Veliki problem" - ista knjiga biblioteke koja je privukla pažnju Andrewa Wilesa. I iako su pitagorejci postigli gotovo potpunu

Iz knjige Suđenje smrću ili željezni filatelist autor Arbatova Marija Ivanovna

Matematika nakon dokaza Fermatove posljednje teoreme Začudo, i sam Wiles je imao pomiješana osjećanja u vezi sa svojim izvještajem: „Povod za govor je odabran veoma dobro, ali samo predavanje mi je izazvalo pomiješana osjećanja. Radim na dokazu

Iz knjige Jedan život, dva svijeta autor Alekseeva Nina Ivanovna

Farma ili salaš? Dana 13. februara 1958. godine sve centralne moskovske, a potom i regionalne novine objavile su odluku Centralnog komiteta Komunističke partije Ukrajine „O grešci u kupovini krava od kolektivnih poljoprivrednika u regiji Zaporožje“. Nismo čak ni govorili o cijeloj regiji, već o dva njena okruga: Primorskom

Iz knjige Zvijezde i pomalo nervozno autor Žolkovski Aleksandar Konstantinovič

Deseto poglavlje FARMA KROKODILA Vozili su se slikovitim putem u autu starog Džona, sedeći na zadnjim sedištima. Za volanom je bio crni vozač u svijetloj košulji sa bizarno ošišanom glavom. Na njegovoj obrijanoj lobanji stajali su grmovi crne kose tvrde žice, logika

Iz knjige Mojim vlastitim očima autor Adelgeim Pavel

Farma Tolstojeve trske Kiril je otišao u kancelariju Tolstojeve fondacije da upozna Ruse. Kada se vratio, rekao je da je Aleksandra Lvovna Tolstaya bila užasnuta i rekla: “Ne možete ostati u hotelu, to je veoma opasno za vas i vašu djecu.” Istog dana

Iz knjige U životinjskom svijetu [br. 2] autor Drozdov Nikolaj Nikolajevič

Pontrjaginova teorema U isto vrijeme kad i Konzervatorijum, moj otac je studirao na Moskovskom državnom univerzitetu, studirajući mehaniku i matematiku. Uspješno je diplomirao i čak je neko vrijeme oklijevao u odabiru profesije. Muzikologija je pobijedila, zahvaljujući njegovom matematičkom načinu razmišljanja. Jedan od kolega mog oca

Iz knjige Teška duša: književni dnevnik. Memoirs Articles. Poems autor Zlobin Vladimir Ananjevič

Teorema Teoremu o pravu vjerskog udruženja da bira svećenika treba dokazati. Ona glasi ovako: „Pravoslavna zajednica nastaje... pod duhovnim rukovodstvom sveštenika izabranog od zajednice i blagoslova od eparhijskog episkopa.

Iz knjige Sjećanje na san [Pjesme i prijevodi] autor Pučkova Elena Olegovna

Farma koza Ljeti u selu ima puno posla. Kada smo posetili selo Khomutets, tamo se kosilo sijeno i mirisni talasi sveže posečenog bilja kao da su prožimali sve okolo.Začinsko bilje se mora pokositi na vreme kako ne bi prezrelo i tada će se sačuvati sve što je vredno i hranljivo. u njima. Ovo

Iz knjige Wormy Apple [Moj život sa Steveom Jobsom] autor Brennan Chrisann

I. Farma („Ovdje, od kokošjeg izmeta...”) Evo, od pilećeg izmeta Jedan spas je metla. Ljubav - koja? - Odvela me je u kokošinjac. Kljuckaju žito, kokoši cekaju, pijetlovi važno koračaju. I bez veličine i cenzure Pjesme se sastavljaju u umu. O provansalskom popodnevu

Iz knjige Moja putovanja. Sledećih 10 godina autor Konjuhov Fedor Filippovič

Ljetna farma Slamka, kao ručna munja, staklo u travu; Drugi, potpisavši se na ogradi, zapalio je vatru zelene čaše vode u koritu za konje. U plavi sumrak Devet patki lutaju, njišu se, po kolotečini u duhu paralelnih linija. Ovdje kokoš samo u ništa ne gleda

Iz knjige autora

Porušena farma Mirno sunce, kao tamnocrveni cvijet, Potonulo je u zemlju, uraslo u zalazak sunca, Ali zavjesa noći u dokonoj snazi Privukla je svijet, uznemirena pogledom. Tišina je vladala na farmi bez krova, Kao da joj je neko kosu otkinuo, Borili su se oko kaktusa

Iz knjige autora

Poglavlje 9 Jedna farma Laura Schueler i ja smo odlučili da proslavimo kraj srednje škole odlaskom na tronedeljno putovanje. Nismo baš shvatili šta za nas znači završetak škole, ali smo znali da je potrebno proslaviti ovaj događaj. Pa smo razgovarali šta ćemo da uradimo

Iz knjige autora

Priprema za trku. Aljaska, Iditarod Farm Linde Pletner je godišnja trka pasa na Aljasci. Dužina rute je 1150 milja (1800 km). Ovo je najduža trka pasa sa zapregom na svijetu. Početak (ceremonijalni) - 4. mart 2000. iz Anchoragea. Počni

Pjer Ferma, čitajući „Aritmetiku“ Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim problemima, imao je običaj da zapisuje rezultate svojih razmišljanja u obliku kratkih komentara na marginama knjige. Protiv osmog Diofantovog problema na marginama knjige, Fermat je napisao: " Naprotiv, nemoguće je razložiti ni kocku na dvije kocke, ni bikvadrat na dva bikvadrata, i, općenito, nijednu snagu veću od kvadrata na dva stepena s istim eksponentom. Otkrio sam zaista divan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to» / E.T. Bell "Kreatori matematike". M., 1979, str.69/. Predstavljam vam elementarni dokaz Fermatove teoreme, koji svaki srednjoškolac koji se zanima za matematiku može razumjeti.

Uporedimo Fermatov komentar na Diofantov problem sa modernom formulacijom poslednje Fermaove teoreme, koja ima oblik jednačine.
« Jednačina

x n + y n = z n(gdje je n cijeli broj veći od dva)

nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima»

Komentar je u logičkoj vezi sa zadatkom, slično logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što tvrdi Diofantov problem, naprotiv, tvrdi Fermaov komentar.

Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba s tri nepoznate ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, onda, naprotiv, jednačina sa tri nepoznanice na stepenu većoj od kvadrata

U jednačini njegove veze s Diofantovim problemom nema čak ni naznake. Njegov iskaz zahtijeva dokaz, ali ne postoji uvjet iz kojeg slijedi da nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Opcije za dokazivanje meni poznate jednačine se svode na sljedeći algoritam.

Kao zaključak uzima se jednadžba Fermatove teoreme, čija se valjanost potvrđuje dokazom.
Ova ista jednadžba se zove original jednačina iz koje se mora polaziti njegov dokaz.

Kao rezultat toga, nastala je tautologija: “ Ako jednadžba nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, onda nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima„Dokaz tautologije je očigledno netačan i lišen svakog značenja. Ali to se dokazuje kontradikcijom.

Napravljena je pretpostavka koja je suprotna od onoga što je navedeno u jednačini koju treba dokazati. Ne bi trebalo da bude u suprotnosti sa originalnom jednačinom, ali jeste. Nema smisla dokazivati ono što je prihvaćeno bez dokaza, a prihvatati bez dokaza ono što treba dokazati.
Na osnovu prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je u suprotnosti sa izvornom jednačinom i da je lažna.

Stoga je već 370 godina dokazivanje jednačine Fermatove posljednje teoreme ostalo neostvariv san za specijaliste i zaljubljenike u matematiku.

Uzeo sam jednačinu kao zaključak teoreme, a osmi Diofantov problem i njegovu jednačinu kao uslov teoreme.

„Ako je jednačina x 2 + y 2 = z 2 (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, obrnuto, jednačina x n + y n = z n , Gdje n > 2 (2) nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva.”

Dokaz.

A) Svi znaju da jednačina (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva. Dokažimo da niti jedna trojka Pitagorinih brojeva koja je rješenje jednačine (1) nije rješenje jednačine (2).

Na osnovu zakona reverzibilnosti jednakosti, mijenjamo strane jednačine (1). Pitagorini brojevi (z, x, y) mogu se tumačiti kao dužine stranica pravouglog trougla i kvadrata (x 2 , y 2 , z 2) može se tumačiti kao površina kvadrata izgrađenih na njegovoj hipotenuzi i kracima.

Pomnožimo površine kvadrata jednačine (1) proizvoljnom visinom h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Jednačina (3) se može tumačiti kao jednakost zapremine paralelepipeda sa zbirom zapremina dva paralelepipeda.

Neka visina tri paralelepipeda h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Zapremina kocke je razložena na dva volumena dva paralelepipeda. Ostavićemo volumen kocke nepromijenjen, a visinu prvog paralelepipeda smanjiti na x i smanjiti visinu drugog paralelepipeda na y . Zapremina kocke je veća od zbira zapremina dve kocke:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ( x, y, z ) at n=3 ne može postojati nikakvo rješenje jednačine (2). Prema tome, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke.

Neka u jednačini (3) bude visina tri paralelepipeda h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Zapremina paralelepipeda se rastavlja na zbir zapremina dva paralelepipeda.
Ostavljamo lijevu stranu jednačine (6) nepromijenjenom. Na njegovoj desnoj strani visina z 2 smanjiti na X u prvom mandatu i ranije u 2 u drugom mandatu.

Jednačina (6) se pretvorila u nejednačinu:

Zapremina paralelepipeda se rastavlja na dva volumena po dva paralelepipeda.

Ostavljamo lijevu stranu jednačine (8) nepromijenjenom.
Na desnoj strani visina zn-2 smanjiti na xn-2 u prvom mandatu i svesti na y n-2 u drugom mandatu. Jednačina (8) se pretvara u nejednakost:

z n > x n + y n

(9)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednačine (2).

Shodno tome, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva za sve n > 2 jednačina (2) nema rješenja.

Dobijen je "zaista čudesan dokaz", ali samo za trojke Pitagorini brojevi. Ovo je nedostatak dokaza i razlog odbijanja P. Fermata od njega.

B) Dokažimo da jednačina (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorinih brojeva, koji predstavlja porodicu proizvoljne trojke pitagorinih brojeva z = 13, x = 12, y = 5 i porodica proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z = 21, x = 19, y = 16

Obe trojke brojeva su članovi njihovih porodica:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Broj članova porodice (10) i (11) jednak je polovini umnoška 13 sa 12 i 21 sa 20, odnosno 78 i 210.

Svaki član porodice (10) sadrži z = 13 i varijable X I at 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Svaki član porodice (11) sadrži z = 21 i varijable X I at , koji uzimaju cjelobrojne vrijednosti 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Varijable se sukcesivno smanjuju za 1 .

Trojke brojeva niza (10) i (11) mogu se predstaviti kao niz nejednakosti trećeg stepena:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

i to u obliku nejednakosti četvrtog stepena:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Ispravnost svake nejednakosti se provjerava podizanjem brojeva na treći i četvrti stepen.

Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dvije kocke manjih brojeva. On je ili manji ili veći od zbira kubova dva manja broja.

Bikvadrat većeg broja ne može se razložiti na dva bikvadrata manjih brojeva. On je ili manji ili veći od zbira bikvadrata manjih brojeva.

Kako eksponent raste, sve nejednakosti, osim lijeve krajnje nejednakosti, imaju isto značenje:

Svi imaju isto značenje: stepen većeg broja je veći od zbira potencija manjih dva broja sa istim eksponentom:

	13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Lijevi ekstremni član nizova (12) (13) predstavlja najslabiju nejednakost. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih narednih nejednakosti niza (12) za n > 8 i niz (13) na n > 14 .

Među njima ne može biti jednakosti. Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednadžbe (2) Fermatove posljednje teoreme. Ako proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva nije rješenje jednadžbe, onda jednačina nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva, što je i trebalo dokazati.

SA) Fermatov komentar Diofantovog problema kaže da je nemoguće razgraditi" generalno, nema stepena većeg od kvadrata, dva stepena sa istim eksponentom».

Poljubac stepen veći od kvadrata ne može se stvarno razložiti na dva stepena sa istim eksponentom. Bez poljupca stepen veći od kvadrata može se razložiti na dva stepena sa istim eksponentom.

Bilo koja proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) može pripadati porodici čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z i dva broja manji z . Svaki član porodice može se predstaviti u obliku nejednakosti, a sve rezultirajuće nejednakosti mogu se predstaviti u obliku niza nejednakosti:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Niz nejednačina (14) počinje nejednačinama kod kojih je lijeva strana manja od desne, a završava se nejednačinama kod kojih je desna strana manja od lijeve. Sa povećanjem eksponenta n > 2 broj nejednačina na desnoj strani niza (14) raste. Sa eksponentom n = k sve nejednačine na lijevoj strani niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednačina na desnoj strani nejednakosti niza (14). Kao rezultat povećanja eksponenta svih nejednakosti, ispada da je lijeva strana veća od desne strane:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k

(15)

Uz daljnje povećanje eksponenta n>k nijedna od nejednakosti ne mijenja svoje značenje i ne pretvara se u jednakost. Na osnovu toga, može se tvrditi da je bilo koja proizvoljno odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) at n > 2 , z > x , z > y

U proizvoljno odabranoj trojci pozitivnih cijelih brojeva z može biti proizvoljno veliki prirodan broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatova posljednja teorema je dokazana.

D) Bez obzira koliko je veliki broj z , u prirodnom nizu brojeva postoji veliki, ali konačan skup cijelih brojeva prije njega, a nakon njega postoji beskonačan skup cijelih brojeva.

Dokažimo da je cijeli beskonačan skup prirodnih brojeva velik z , formiraju trojke brojeva koji nisu rješenja jednadžbe Fermatove posljednje teoreme, na primjer, proizvoljnu trojku pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x ,y) , pri čemu z + 1 > x I z + 1 > y za sve vrijednosti eksponenta n > 2 nije rješenje jednadžbe Fermatove posljednje teoreme.

Nasumično odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) može pripadati porodici trojki brojeva, od kojih se svaki član sastoji od konstantnog broja z+1 i dva broja X I at , poprima različite vrijednosti, manji z+1 . Članovi porodice mogu biti predstavljeni u obliku nejednakosti u kojima je konstantna leva strana manja ili veća od desne strane. Nejednakosti se mogu poredati u obliku niza nejednakosti:

Uz daljnje povećanje eksponenta n>k do beskonačnosti, nijedna od nejednakosti niza (17) ne mijenja svoje značenje i ne prelazi u jednakost. U nizu (16) nejednakost je formirana od proizvoljno odabrane trojke pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) , može se nalaziti na njegovoj desnoj strani u obrascu (z + 1) n > x n + y n ili biti na njegovoj lijevoj strani u obrascu (z+1)n< x n + y n .

U svakom slučaju, trostruka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) at n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y u nizu (16) predstavlja nejednakost i ne može predstavljati jednakost, odnosno ne može predstavljati rješenje jednadžbe posljednje Fermatove teoreme.

Lako je i jednostavno razumjeti porijeklo niza nejednakosti snaga (16), u kojem su posljednja nejednakost na lijevoj strani i prva nejednakost na desnoj strani nejednakosti suprotnog značenja. Naprotiv, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i teško da shvate kako se od niza nejednakosti (17) formira niz nejednakosti (17), u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje. .

U nizu (16), povećanje cjelobrojnog stepena nejednakosti za 1 jedinicu pretvara posljednju nejednakost na lijevoj strani u prvu nejednakost suprotnog smisla na desnoj strani. Dakle, broj nejednačina na lijevoj strani niza opada, a broj nejednačina na desnoj strani raste. Između posljednje i prve nejednakosti moći suprotnog značenja nužno postoji jednakost moći. Njegov stepen ne može biti ceo broj, jer samo neceli brojevi leže između dva uzastopna prirodna broja. Jednakost stepena necijelog stepena, prema uslovima teoreme, ne može se smatrati rešenjem jednačine (1).

Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stepen za 1 jedinicu, onda će se posljednja nejednakost njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednakost suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat, neće ostati nejednakosti lijeve strane i ostat će samo nejednakosti desne strane, što će biti niz rastućih nejednakosti snaga (17). Daljnje povećanje njihove cjelobrojne snage za 1 jedinicu samo pojačava njene nejednakosti snaga i kategorički isključuje mogućnost jednakosti u cjelobrojnom stepenu.

Slijedom toga, općenito, nijedna cjelobrojna potencija prirodnog broja (z+1) niza nejednakosti stepena (17) ne može se razložiti na dva cjelobrojna stepena s istim eksponentom. Dakle, jednadžba (1) nema rješenja na beskonačnom skupu prirodnih brojeva, što je trebalo dokazati.

Prema tome, Fermatova posljednja teorema je dokazana u cijelosti:

u dijelu A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi (Fermatovo otkriće je zaista divan dokaz),
u odjeljku B) za sve članove porodice bilo koje trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi,
u dijelu C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne veliki brojevi z
u dijelu D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.

Izmjene napravljene 09.05.2010

Koje se teoreme mogu, a koje ne mogu dokazati kontradikcijom?

Objašnjavajući rečnik matematičkih pojmova definiše dokaz kontradikcijom teoreme, suprotno od obrnutog teorema.

„Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teoreme (propozicije), koja se sastoji u dokazivanju ne same teoreme, već njene ekvivalentne (ekvivalentne) teoreme. Dokaz kontradikcijom se koristi kad god je direktnu teoremu teško dokazati, ali je suprotnu teoremu lakše dokazati. U dokazu kontradikcijom, zaključak teoreme zamjenjuje se njenom negacijom, a rasuđivanjem se dolazi do negacije uslova, tj. na kontradikciju, na suprotno (suprotno od onoga što je dato; ovo svođenje na apsurd dokazuje teoremu."

Dokaz kontradikcijom se vrlo često koristi u matematici. Dokaz kontradikcijom zasniva se na zakonu isključene sredine, koji se sastoji u tome da je od dva iskaza (tvrdnje) A i A (negacija A) jedan tačan, a drugi netačan.”/Objašnjavajući rečnik matematičkih pojmova: Priručnik za nastavnike/O. V. Manturov [i dr.]; uređeno od V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.112/.

Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokazivanja kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je logička metoda i da pripada logici. Da li je prihvatljivo reći da se dokaz kontradikcijom „koristi kad god je direktnu teoremu teško dokazati“, a zapravo se koristi kada i samo kada nema zamjene.

Karakterizacija međusobnog odnosa direktnih i inverznih teorema takođe zaslužuje posebnu pažnju. „Obrnuta teorema za datu teoremu (ili za datu teoremu) je teorema u kojoj je uvjet zaključak, a zaključak je uvjet date teoreme. Ova teorema u odnosu na obrnutu teoremu naziva se direktna teorema (originalna). U isto vrijeme, suprotna teorema obrnutoj teoremi će biti data teorema; stoga se direktna i konverzna teorema nazivaju međusobno inverzne. Ako je direktna (data) teorema tačna, onda obrnuta teorema nije uvijek tačna. Na primjer, ako je četverokut romb, tada su njegove dijagonale međusobno okomite (direktna teorema). Ako su u četvorouglu dijagonale međusobno okomite, onda je četvorougao romb - to je netačno, tj. obrnuti teorem je netačan.”/Objašnjavajući rečnik matematičkih pojmova: Priručnik za nastavnike/O. V. Manturov [i dr.]; uređeno od V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.261 /.

Ova karakteristika odnosa između direktne i inverzne teoreme ne uzima u obzir činjenicu da se uslov direktne teoreme prihvata kao dat, bez dokaza, pa se ne garantuje njegova ispravnost. Uslov inverzne teoreme se ne prihvata kao dat, jer je to zaključak dokazane direktne teoreme. Njegova ispravnost je potvrđena dokazom direktne teoreme. Ova suštinska logička razlika u uslovima direktne i inverzne teoreme pokazuje se kao odlučujuća u pitanju koje se teoreme mogu, a koje ne mogu dokazati logičkom metodom kontradikcijom.

Pretpostavimo da postoji direktna teorema na umu, koja se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali je teška. Formulirajmo ga općenito i ukratko na sljedeći način: od A trebalo bi E . Simbol A ima značenje datog uslova teoreme, prihvaćenog bez dokaza. Simbol E ono što je bitno je zaključak teoreme koji treba dokazati.

Direktnu teoremu ćemo dokazati kontradikcijom, logicno metoda. Logička metoda se koristi za dokazivanje teoreme koja ima nije matematički stanje, i logicno stanje. Može se dobiti ako je matematički uslov teoreme od A trebalo bi E , dopuniti sa potpuno suprotnim uslovom od A ne radi to E .

Rezultat je bio logički kontradiktorni uslov nove teoreme, koji sadrži dva dela: od A trebalo bi E I od A ne radi to E . Rezultirajući uslov nove teoreme odgovara logičkom zakonu isključene sredine i odgovara dokazu teoreme kontradikcijom.

Prema zakonu, jedan dio kontradiktornog stanja je netačan, drugi dio je istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima zadatak i svrhu da utvrdi koji je tačno deo od dva dela uslova teoreme netačan. Kada se utvrdi netačan dio uvjeta, drugi dio se utvrđuje kao pravi dio, a treći se isključuje.

Prema objašnjenju matematičkih pojmova, „dokaz je rasuđivanje tokom kojeg se utvrđuje istinitost ili netačnost bilo koje tvrdnje (presude, izjave, teoreme)“. Dokaz kontradikcijom postoji obrazloženje tokom kojeg se to utvrđuje lažnost(apsurdnost) zaključka koji proizilazi iz false uslovi teoreme koju treba dokazati.

Dato: od A trebalo bi E i od A ne radi to E .

dokazati: od A trebalo bi E .

Dokaz: Logički uslov teoreme sadrži kontradikciju koja zahteva njeno razrešenje. Kontradikcija uvjeta mora naći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se ispostavi da je lažan s besprijekornim rasuđivanjem bez greške. Razlog za lažan zaključak u logički ispravnom zaključivanju može biti samo kontradiktorni uslov: od A trebalo bi E I od A ne radi to E .

Nema sumnje da je jedan dio uvjeta netačan, a drugi u ovom slučaju tačan. Oba dijela uvjeta imaju isto porijeklo, prihvataju se kao podaci, pretpostavljeni, jednako mogući, jednako dopušteni itd. U toku logičkog zaključivanja nije otkrivena niti jedna logička karakteristika koja bi razlikovala jedan dio uvjeta od drugog. . Stoga, u istoj mjeri može biti od A trebalo bi E i možda od A ne radi to E . Izjava od A trebalo bi E Možda false, zatim izjava od A ne radi to E biće istina. Izjava od A ne radi to E može biti lažna, onda izjava od A trebalo bi E biće istina.

Prema tome, nemoguće je dokazati direktnu teoremu kontradikcijom.

Sada ćemo dokazati ovu istu direktnu teoremu koristeći uobičajenu matematičku metodu.

Dato: A .

dokazati: od A trebalo bi E .

Dokaz.

1. Od A trebalo bi B

2. Od B trebalo bi IN (prema prethodno dokazanoj teoremi)).

3. Od IN trebalo bi G (prema prethodno dokazanoj teoremi).

4. Od G trebalo bi D (prema prethodno dokazanoj teoremi).

5. Od D trebalo bi E (prema prethodno dokazanoj teoremi).

Na osnovu zakona tranzitivnosti, od A trebalo bi E . Direktna teorema se dokazuje uobičajenom metodom.

Neka dokazana direktna teorema ima tačnu inverznu teoremu: od E trebalo bi A .

Dokažimo to uobičajenim matematički metoda. Dokaz obrnute teoreme može se izraziti u simboličkom obliku kao algoritam matematičkih operacija.

Dato: E

dokazati: od E trebalo bi A .

Dokaz.

1. Od E trebalo bi D

2. Od D trebalo bi G (prema prethodno dokazanoj obrnutoj teoremi).

3. Od G trebalo bi IN (prema prethodno dokazanoj obrnutoj teoremi).

4. Od IN ne radi to B (obrnuta teorema nije tačna). Zbog toga od B ne radi to A .

U ovoj situaciji, nema smisla nastaviti matematički dokaz obrnutog teorema. Razlog za situaciju je logičan. Netačna obrnuta teorema ne može se ničim zamijeniti. Stoga je nemoguće dokazati ovu obrnutu teoremu korištenjem uobičajene matematičke metode. Sva nada je dokazati ovu inverznu teoremu kontradikcijom.

Da bismo ga dokazali kontradikcijom, potrebno je njegov matematički uslov zamijeniti logičkim kontradiktornim uvjetom, koji u svom značenju sadrži dva dijela - lažan i istinit.

Obratna teorema navodi: od E ne radi to A . Njeno stanje E , iz čega slijedi zaključak A , je rezultat dokazivanja direktne teoreme korištenjem uobičajene matematičke metode. Ovaj uslov se mora sačuvati i dopuniti izjavom od E trebalo bi A . Kao rezultat sabiranja, dobijamo kontradiktorni uslov nove inverzne teoreme: od E trebalo bi A I od E ne radi to A . Na osnovu ovoga logično kontradiktorni uslov, obrnuta teorema se može dokazati pomoću ispravnog logicno samo rezonovanje, i samo, logicno metodom kontradikcije. U kontradikciji, sve matematičke radnje i operacije su podređene logičkim i stoga se ne računaju.

U prvom dijelu kontradiktorne izjave od E trebalo bi A stanje E dokazano je dokazom direktne teoreme. U drugom dijelu od E ne radi to A stanje E pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Jedan od njih je lažan, a drugi je istinit. Morate dokazati koja je lažna.

Dokazujemo to tačno logicno rasuđivanja i otkriti da je njegov rezultat lažan, apsurdan zaključak. Razlog lažnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uslov teoreme, koji se sastoji od dva dijela - lažnog i istinitog. Lažni dio može biti samo izjava od E ne radi to A , u kojem E prihvaćen bez dokaza. To je ono po čemu se razlikuje E izjave od E trebalo bi A , što je dokazano dokazom direktne teoreme.

Dakle, tačna je izjava: od E trebalo bi A , što je trebalo dokazati.

Zaključak: logičkom metodom, kontradikcijom se dokazuje samo inverzna teorema, koja ima direktnu teoremu dokazanu matematičkom metodom, a koja se ne može dokazati matematičkom metodom.

Dobijeni zaključak dobija izuzetnu važnost u odnosu na metodu dokazivanja kontradiktorno Fermatovoj velikoj teoremi. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne zasniva se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokaza kontradiktornošću. Wilesov dokaz Fermatove posljednje teoreme nije izuzetak.

Dmitrij Abrarov je u članku “Fermatova teorema: fenomen Wilesovih dokaza” objavio komentar na Wilesov dokaz Fermatove posljednje teoreme. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje posljednju Fermatovu teoremu uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya (r. 1944.), koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednačine x n + y n = z n , Gdje n > 2 , s drugom, potpuno drugom jednadžbom. Ova nova jednačina je data posebnom krivom (nazvanom Freyeva eliptična kriva). Freyeva kriva je data vrlo jednostavnom jednadžbom:
.

“Frey je bio taj koji je upoređivao svaku odluku (a, b, c) Fermatova jednačina, odnosno brojevi koji zadovoljavaju relaciju a n + b n = c n, gornja kriva. U ovom slučaju slijedi Fermatova posljednja teorema.”(Citat iz: Abrarov D. “Fermatova teorema: fenomen Wilesovih dokaza”)

Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da jednačina Fermatove posljednje teoreme x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ova ista rješenja su, prema Freyjevoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , što je dato njegovom eliptičnom krivom.

Andrew Wiles je prihvatio ovo izvanredno Freyovo otkriće i, uz njegovu pomoć, matematički metodom je dokazano da ovo otkriće, odnosno Freyeva eliptična kriva, ne postoji. Dakle, ne postoji jednačina i njena rješenja koja su data nepostojećom eliptičnom krivom, pa je Wiles trebao prihvatiti zaključak da ne postoji jednačina posljednje Fermatove teoreme i same Fermatove teoreme. Međutim, on prihvata skromniji zaključak da jednačina Fermatove posljednje teoreme nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Nepobitna činjenica može biti da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je po značenju upravo suprotna od onoga što navodi Fermatova velika teorema. To obavezuje Wilesa da dokaže posljednju Fermatovu teoremu kontradikcijom. Slijedimo njegov primjer i vidimo šta je iz ovog primjera.

Fermatova posljednja teorema kaže da je jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Prema logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, ova tvrdnja se zadržava, prihvata kao datu bez dokaza, a zatim se dopunjava suprotnom tvrdnjom: jednačina x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Pretpostavljena izjava se takođe prihvata kao data, bez dokaza. Obe tvrdnje, posmatrane sa stanovišta osnovnih zakona logike, podjednako su validne, podjednako validne i podjednako moguće. Ispravnim rasuđivanjem potrebno je utvrditi koji je od njih netačan da bi se onda utvrdilo da je druga tvrdnja tačna.

Ispravno rezonovanje završava lažnim, apsurdnim zaključkom, čiji logički razlog može biti samo kontradiktorni uslov teoreme koja se dokazuje, a koja sadrži dva dijela direktno suprotnog značenja. Oni su bili logičan razlog za apsurdan zaključak, rezultat dokaza kontradikcijom.

Međutim, tokom logički ispravnog zaključivanja nije otkriven niti jedan znak po kojem bi se moglo utvrditi koja je konkretna tvrdnja lažna. To može biti izjava: jednačina x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi, to bi mogla biti sljedeća izjava: jednačina x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Kao rezultat obrazloženja, može biti samo jedan zaključak: Fermatova posljednja teorema ne može se dokazati kontradikcijom.

Bila bi sasvim druga stvar da je Fermatova posljednja teorema inverzna teorema, koja ima direktnu teoremu dokazanu uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju, to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da je to direktna teorema, njen dokaz ne bi trebao biti zasnovan na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na običnoj matematičkoj metodi.

Prema D. Abrarovu, najpoznatiji savremeni ruski matematičar, akademik V. I. Arnold, reagovao je „aktivno skeptično“ na Wilesov dokaz. Akademik je izjavio: “ovo nije prava matematika – prava matematika je geometrijska i ima jake veze sa fizikom.” (Citat iz: Abrarov D. “Fermatova teorema: fenomen Wilesovih dokaza.” Akademikova izjava izražava samu suštinu Wilesov nematematički dokaz Fermatove posljednje teoreme.

Kontradikcijom je nemoguće dokazati da jednačina Fermaove posljednje teoreme nema rješenja ili da ima rješenja. Wilesova greška nije matematička, već logična - upotreba dokaza kontradiktornom gdje njegova upotreba nema smisla i Fermatova velika teorema ne dokazuje.

Fermatova posljednja teorema ne može se dokazati čak ni uobičajenom matematičkom metodom ako daje: jednadžbu x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, a ako želite u njemu dokazati: jednadžbu x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorema, već tautologija lišena značenja.

Bilješka. O mom BTF dokazu se raspravljalo na jednom od foruma. Jedan od učesnika Trotila, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću autoritativnu izjavu pod naslovom: “Kratko prepričavanje onoga što je Mirgorodski uradio.” Citiram doslovno:

« A. Dokazao je da ako z 2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . Ovo je dobro poznata i sasvim očigledna činjenica.

IN. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i nepitagorejsku i jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, specifičnu porodicu trojki (78 i 210 komada) BTF zadovoljan (i samo za nju).

WITH. A onda je autor izostavio činjenicu da iz < kasnije se može ispostaviti da jeste = , ne samo > . Jednostavan kontraprimjer - tranzicija n=1 V n=2 u pitagorejskoj trojci.

D. Ova tačka ne doprinosi ničemu značajnom BTF dokazu. Zaključak: BTF nije dokazan.”

Razmotriću njegov zaključak tačku po tačku.

A. Dokazuje BTF za čitav beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam ja otkrio, nego ponovo otkrio. A otkrio ga je, vjerujem, lično P. Fermat. Fermat je to možda imao na umu kada je napisao:

“Otkrio sam zaista divan dokaz za ovo, ali ova polja su preuska za to.” Ova moja pretpostavka zasniva se na činjenici da se u Diofantovom problemu, protiv kojeg je Fermat pisao na marginama knjige, govori o rješenjima Diofantove jednačine, koja su trojke Pitagorinih brojeva.

Beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva su rješenja Diofateove jednačine, a u Fermatovoj teoremi, naprotiv, nijedno od rješenja ne može biti rješenje jednačine Fermatove teoreme. A Fermatov zaista divan dokaz direktno je povezan s ovom činjenicom. Fermat je kasnije mogao proširiti svoju teoremu na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva, BTF ne pripada "skupu izuzetno lijepih teorema". Ovo je moja pretpostavka, koja se ne može ni dokazati ni opovrgnuti. Može se prihvatiti ili odbiti.

IN. U ovom trenutku dokazujem da su i porodica proizvoljno uzete pitagorine trojke brojeva i porodica proizvoljno uzete nepitagorine trojke BTF brojeva zadovoljene. Ovo je neophodna, ali nedovoljna i srednja karika u mom dokazu BTF-a. . Primjeri koje sam uzeo o porodici trojke pitagorinih brojeva i porodici trojke nepitagorinih brojeva imaju značenje konkretnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.

Trotilova izjava da sam „jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, specifičnu porodicu trojki (78 i 210 komada) BTF zadovoljan (i samo za njega) je neosnovana. On ne može opovrgnuti činjenicu da isto tako mogu uzeti i druge primjere pitagorinih i nepitagorinih trojki da bih dobio specifičnu definitivnu porodicu jedne i druge trojke.

Koji god par trojki da uzmem, provjera njihove podobnosti za rješavanje problema može se izvršiti, po mom mišljenju, samo metodom „jednostavnog nabrajanja“. Ne znam ni jednu drugu metodu i nije mi potrebna. Ako se Trotilu nije svidjelo, onda je trebao predložiti drugu metodu, koju on ne radi. Bez nuđenja bilo čega zauzvrat, pogrešno je osuđivati „jednostavno preterivanje“, koje je u ovom slučaju nezamjenjivo.

WITH. Izostavio sam = između< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), u kojoj je stepen n > 2 — cijeli pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti slijedi obavezno razmatranje jednadžbe (1) za vrijednost stepena koji nije cijeli broj n > 2 . Trotil, odbrojavam obavezna razmatranje jednakosti između nejednakosti zapravo razmatra neophodno u BTF dokazu, razmatranje jednačine (1) sa nije cela vrijednost stepena n > 2 . Uradio sam ovo za sebe i našao tu jednačinu (1) sa nije cela vrijednost stepena n > 2 ima rješenje tri broja: z, (z-1), (z-1) za eksponent koji nije cijeli.

Ivliev Yu.A.

Članak je posvećen opisu fundamentalne matematičke greške napravljene u procesu dokazivanja Fermatove posljednje teoreme krajem dvadesetog stoljeća. Otkrivena greška ne samo da iskrivljuje pravo značenje teoreme, već i ometa razvoj novog aksiomatskog pristupa proučavanju stepena brojeva i prirodnih nizova brojeva.

Godine 1995. objavljen je članak, po veličini sličan knjizi, i izvještava o dokazu čuvene Fermatove velike (posljednje) teoreme (WTF) (za povijest teoreme i pokušaje njenog dokazivanja, vidi npr. ). Nakon ovog događaja pojavili su se brojni naučni članci i naučno-popularne knjige koje su propagirale ovaj dokaz, ali nijedan od ovih radova nije otkrio temeljnu matematičku grešku u njemu, koja se uvukla čak ni krivnjom autora, već nekim čudnim optimizmom koji je zahvatio umovi matematičara koji su proučavali ovaj problem i srodna pitanja. Psihološki aspekti ovog fenomena su proučavani u. Ovdje dajemo detaljnu analizu nastale greške, koja nije privatne prirode, već je posljedica pogrešnog razumijevanja svojstava potencija cijelih brojeva. Kao što je pokazano u, Fermatov problem je ukorijenjen u novom aksiomatskom pristupu proučavanju ovih svojstava, koji još nije primijenjen u modernoj nauci. Ali pogrešan dokaz stao mu je na put, pružajući stručnjacima za teoriju brojeva lažne smjernice i vodeći istraživače Fermatovog problema udaljavajući se od njegovog izravnog i adekvatnog rješenja. Ovaj rad je posvećen otklanjanju ove prepreke.

1. Anatomija greške napravljene tokom WTF dokaza

U procesu veoma dugog i zamornog razmišljanja, Fermatova originalna izjava je preformulisana u smislu poređenja Diofantove jednačine p-tog stepena sa eliptičkim krivuljama 3. reda (vidi Teoreme 0,4 i 0,5 in). Ovo poređenje natjeralo je autore praktično kolektivnog dokaza da najave da njihova metoda i rezonovanje vode do konačnog rješenja Fermatovog problema (podsjetimo da WTF nije imao priznate dokaze za slučaj proizvoljnih cjelobrojnih potencija cijelih brojeva sve do 90-ih godina prošlog stoljeća). veka). Svrha ovog razmatranja je da se utvrdi matematička neispravnost gornjeg poređenja i, kao rezultat analize, da se pronađe fundamentalna greška u dokazu prikazanom u.

a) Gdje i koja je greška?

Dakle, slijedimo tekst, gdje se na strani 448 kaže da se nakon „duhovite ideje“ G. Freya otvorila mogućnost dokazivanja WTF-a. 1984. G. Frey je predložio i

K. Ribet je kasnije dokazao da pretpostavljena eliptična kriva koja predstavlja hipotetičko cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

ne može biti modularna. Međutim, A. Wiles i R. Taylor su dokazali da je svaka polustabilna eliptična kriva definirana nad poljem racionalnih brojeva modularna. To je dovelo do zaključka o nemogućnosti cjelobrojnih rješenja Fermatove jednadžbe i, posljedično, o valjanosti Fermatove tvrdnje, koja je u notaciji A. Wilesa zapisana kao Teorem 0.5: neka postoji jednakost

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Gdje u, v, w- racionalni brojevi, cjelobrojni eksponent p ≥ 3; tada je (2) zadovoljeno samo ako uvw = 0 .

Sada bi se, očigledno, trebali vratiti i kritički razmisliti o tome zašto je kriva (1) a priori percipirana kao eliptička i kakva je njena stvarna veza sa Fermatovom jednačinom. Anticipirajući ovo pitanje, A. Wiles se poziva na rad Y. Hellegouarcha, u kojem je pronašao način da poveže Fermatovu jednačinu (vjerovatno riješenu cijelim brojevima) s hipotetičkom krivom trećeg reda. Za razliku od G. Freya, I. Elleguarche nije povezao svoju krivu sa modularnim oblicima, međutim, njegova metoda dobijanja jednačine (1) je korištena za dalje unapređenje dokaza A. Wilesa.

Pogledajmo izbliza posao. Autor svoje razmišljanje vodi u terminima projektivne geometrije. Pojednostavljujući neke od njegovih notacija i dovodeći ih u skladu sa , nalazimo da je Abelova kriva

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

upoređuje se Diofantova jednačina

x p+ y p+ z p = 0 (4)

Gdje x, y, z su nepoznati cijeli brojevi, p je cjelobrojni eksponent iz (2), a rješenja Diofantove jednadžbe (4) α p , β p , γ p koriste se za pisanje Abelove krive (3).

Sada, da bismo bili sigurni da je ovo eliptična kriva 3. reda, potrebno je razmotriti varijable X i Y u (3) u Euklidovoj ravni. Da bismo to učinili, koristimo dobro poznato pravilo aritmetike eliptičkih krivulja: ako postoje dvije racionalne točke na kubičnoj algebarskoj krivulji i prava koja prolazi kroz te točke siječe ovu krivu u drugoj tački, tada je potonja također racionalna točka . Hipotetička jednačina (4) formalno predstavlja zakon sabiranja tačaka na pravoj liniji. Ako izvršimo promjenu varijabli x p = A, y p = B, z p = C i usmjeriti rezultirajuću pravu liniju duž X ose u (3), tada će ona presjeći krivulju 3. stepena u tri tačke: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), što se odražava u zapisu Abelove krive (3) iu sličnoj notaciji (1). Međutim, da li je kriva (3) ili (1) zapravo eliptična? Očigledno ne, jer se segmenti euklidske linije, kada se na njoj sabiraju tačke, uzimaju na nelinearnoj skali.

Vraćajući se na linearne koordinatne sisteme euklidskog prostora, umjesto (1) i (3) dobijamo formule koje se jako razlikuju od formula za eliptičke krive. Na primjer, (1) može biti sljedećeg oblika:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

gdje je ξ p = x, η p = y, a pozivanje na (1) u ovom slučaju da se izvede WTF izgleda nelegitimno. Uprkos činjenici da (1) zadovoljava neke kriterijume za klasu eliptičkih krivih, on ne zadovoljava najvažniji kriterijum da je jednačina 3. stepena u linearnom koordinatnom sistemu.

b) Klasifikacija grešaka

Dakle, vratimo se još jednom na početak razmatranja i vidimo kako se dolazi do zaključka o istinitosti WTF-a. Prvo, pretpostavlja se da postoji neko rješenje Fermatove jednadžbe u pozitivnim cijelim brojevima. Drugo, ovo rješenje se proizvoljno ubacuje u algebarski oblik poznatog oblika (ravna kriva stepena 3) pod pretpostavkom da tako dobijene eliptičke krive postoje (druga nepotvrđena pretpostavka). Treće, budući da druge metode dokazuju da je određena konstruirana kriva nemodularna, to znači da ona ne postoji. Ovo dovodi do zaključka: ne postoji cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe i stoga je WTF ispravan.

U ovim argumentima postoji jedna slaba karika za koju se nakon detaljne provjere ispostavi da je greška. Ova greška je napravljena u drugoj fazi postupka dokazivanja, kada se pretpostavlja da je hipotetičko rješenje Fermatove jednačine također rješenje algebarske jednačine 3. stepena koja opisuje eliptičku krivu poznatog oblika. Sama po sebi, takva pretpostavka bi bila opravdana da je naznačena kriva zaista eliptična. Međutim, kao što se vidi iz tačke 1a), ova kriva je predstavljena u nelinearnim koordinatama, što je čini „iluzornom“, tj. ne postoje u linearnom topološkom prostoru.

Sada moramo jasno klasifikovati pronađenu grešku. Ona leži u činjenici da se ono što treba dokazati predstavlja kao argument dokaza. U klasičnoj logici ova greška je poznata kao "začarani krug". U ovom slučaju se cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe uspoređuje (očigledno, vjerojatno jedinstveno) s fiktivnom, nepostojećom eliptičnom krivom, a onda se sav patos daljeg razmišljanja troši na dokazivanje da je određena eliptična kriva ove vrste, dobivena iz hipotetičkih rješenja Fermatove jednadžbe, ne postoji.

Kako se dogodilo da je tako elementarna greška promašena u ozbiljnom matematičkom radu? To se vjerovatno dogodilo zbog činjenice da "iluzorne" geometrijske figure ove vrste ranije nisu proučavane u matematici. Zaista, koga bi mogao zanimati, na primjer, fiktivni krug dobijen iz Fermatove jednačine zamjenom varijabli x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Uostalom, njena jednadžba C 2 = A 2 + B 2 nema cjelobrojna rješenja za cijeli broj x, y, z i n ≥ 3. U nelinearnim koordinatnim osama X i Y, takav krug bi bio opisan jednadžbom koja je po izgledu vrlo slična standardnom obliku:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

gdje A i B više nisu varijable, već specifični brojevi određeni gornjom zamjenom. Ali ako se brojevima A i B daju izvorni oblik, koji se sastoji u njihovom karakteru stepena, onda heterogenost notacije u faktorima na desnoj strani jednadžbe odmah upada u oči. Ova karakteristika pomaže u razlikovanju iluzije od stvarnosti i prelasku s nelinearnih na linearne koordinate. S druge strane, ako brojeve posmatramo kao operatore kada ih upoređujemo sa varijablama, kao na primjer u (1), onda oba moraju biti homogene veličine, tj. moraju imati iste diplome.

Ovo razumijevanje potencija brojeva kao operatora nam također omogućava da vidimo da poređenje Fermatove jednadžbe sa iluzornom eliptičnom krivom nije jednoznačno. Uzmimo, na primjer, jedan od faktora s desne strane (5) i razložimo ga na p linearnih faktora, uvodeći kompleksan broj r takav da je r p = 1 (vidi na primjer):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Tada se oblik (5) može predstaviti kao dekompozicija na proste faktore kompleksnih brojeva prema tipu algebarskog identiteta (6), međutim, jedinstvenost takve dekompozicije u opštem slučaju je upitna, kao što je svojevremeno pokazao Kummer .

2. Zaključci

Iz prethodne analize proizilazi da takozvana aritmetika eliptičkih krivulja nije u stanju da rasvijetli gdje tražiti dokaz WTF-a. Nakon rada, Fermatova izjava, inače, uzeta kao epigraf ovog članka, počela je da se doživljava kao istorijska šala ili podvala. Međutim, u stvarnosti se ispostavilo da se nije šalio Fermat, već stručnjaci koji su se okupili na matematičkom simpozijumu u Oberwolfachu u Njemačkoj 1984. godine, na kojem je G. Frey iznio svoju duhovitu ideju. Posljedice takve neoprezne izjave dovele su matematiku u cjelinu na rub gubitka povjerenja javnosti, što je detaljno opisano u i što nužno postavlja pitanje odgovornosti naučnih institucija prema društvu. Usporedba Fermatove jednadžbe sa Frey-ovom krivuljom (1) je „zaključak“ cijelog Wilesovog dokaza u vezi s Fermatovom teoremom, a ako nema korespondencije između Fermatove krive i modularnih eliptičkih krivulja, onda nema dokaza.

Nedavno su se pojavili različiti izvještaji na Internetu da su neki istaknuti matematičari konačno shvatili Wilesov dokaz Fermatove teoreme, smislivši za to opravdanje u obliku „minimalnog“ ponovnog izračunavanja cijelih tačaka u Euklidskom prostoru. Međutim, nikakve inovacije ne mogu poništiti klasične rezultate koje je čovječanstvo već dobilo u matematici, a posebno činjenicu da iako se bilo koji redni broj poklapa sa svojim kvantitativnim analogom, on ne može biti zamjena za njega u operacijama međusobnog poređenja brojeva, pa stoga sa neizbježnim zaključkom slijedi da Freyeva kriva (1) nije inicijalno eliptična, tj. zar nije po definiciji.

BIBLIOGRAFIJA:

Ivliev Yu.A. Rekonstrukcija izvornog dokaza Fermatove posljednje teoreme - United Scientific Journal (odjeljak "Matematika"). april 2006. br. 7 (167) str. 3-9, vidi i Praci Lugansk ogranak Međunarodne akademije informatizacije. Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine. Nacionalni univerzitet Skhidnoukransky nazvan po. V.Dal. 2006. br. 2 (13) str.19-25.
Ivliev Yu.A. Najveća naučna prevara 20. veka: „dokaz” Fermaove poslednje teoreme – Prirodne i inženjerske nauke (odeljak „Istorija i metodologija matematike”). avgust 2007. br. 4 (30) str.34-48.
Edwards G. (Edwards H.M.) Fermatova posljednja teorema. Genetski uvod u algebarsku teoriju brojeva. Per. sa engleskog uređeno od B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 str.
Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI str.253-263.
Wiles A. Modularne eliptičke krive i Fermatova posljednja teorema - Annals of Mathematics. Maj 1995. v.141 Druga serija br. 3 str.443-551.

Bibliografska veza

Ivliev Yu.A. WILLESOV LAŽNI DOKAZ FERMINE POSLJEDNJE TEOREME // Fundamentalna istraživanja. – 2008. – br. 3. – str. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (datum pristupa: 25.09.2019.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodnih nauka"

Prije mnogo godina dobio sam pismo iz Taškenta od Valerija Muratova, sudeći po rukopisu, čovjeka adolescencije, koji je tada živio u Komunističkoj ulici na broju 31. Momak je bio odlučan: „Pređi pravo na stvar. Koliko ćeš platiti ja za dokazivanje Fermatove teoreme?" "Zadovoljan sam sa najmanje 500 rubalja. Nekad bih vam to dokazao besplatno, ali sada mi treba novac..."

Nevjerovatan paradoks: malo ljudi zna ko je Fermat, kada je živio i šta je radio. Još manje ljudi može opisati njegovu veliku teoremu čak i u najopštijim terminima. Ali svi znaju da postoji neka vrsta Fermaove teoreme, za čijim se dokazom matematičari širom svijeta bore više od 300 godina, ali ne mogu dokazati!

Mnogo je ambicioznih ljudi, a sama svijest da postoji nešto što drugi ne mogu učiniti još više podstiče njihovu ambiciju. Stoga su hiljade (!) dokaza Velike teoreme stizale i stižu na akademije, naučne institute, pa čak i u redakcije novina širom svijeta – rekord bez presedana i nikad oboren rekord pseudonaučne amaterske aktivnosti. Postoji čak i pojam: “Fermatisti”, odnosno ljudi opsjednuti dokazivanjem Velike teoreme, koji su potpuno mučili profesionalne matematičare zahtjevima da procijene njihov rad. Čuveni njemački matematičar Edmund Landau čak je pripremio standard, prema kojem je odgovorio: „Postoji greška na stranici u vašem dokazu Fermatove teoreme...“, a njegovi postdiplomci su zapisali broj stranice. A onda su u ljeto 1994. novine širom svijeta objavile nešto potpuno senzacionalno: Velika teorema je dokazana!

Dakle, ko je Fermat, koji je problem i da li je zaista rešen? Pierre Fermat rođen je 1601. godine u porodici kožara, bogatog i poštovanog čovjeka - služio je kao drugi konzul u svom rodnom gradu Beaumontu - nešto kao pomoćnik gradonačelnika. Pjer je prvo studirao kod franjevačkih redovnika, zatim na Pravnom fakultetu u Toulouseu, gdje se potom bavio pravom. Međutim, Fermatov opseg interesovanja je otišao daleko od jurisprudencije. Posebno ga je zanimala klasična filologija, a poznati su njegovi komentari na tekstove antičkih autora. A moja druga strast je matematika.

U 17. veku, kao i mnogo godina kasnije, nije postojala takva profesija: matematičar. Dakle, svi veliki matematičari tog vremena bili su matematičari na pola radnog vremena: Rene Descartes je služio vojsku, François Viète je bio advokat, Francesco Cavalieri je bio monah. Tada nije bilo naučnih časopisa, a klasični naučnik Pjer Ferma za života nije objavio nijedan naučni rad. Postojao je prilično uzak krug “amatera” koji su rješavali razne probleme koji su im bili interesantni i pisali jedni drugima pisma o tome, ponekad se svađali (kao Fermat i Descartes), ali su uglavnom ostali istomišljenici. Oni su postali osnivači nove matematike, sijači blistavih sjemenki, iz kojih je počelo rasti, jačati i granati se moćno drvo modernog matematičkog znanja.

Dakle, Fermat je bio isti “amater”. U Tuluzu, gde je živeo 34 godine, svi su ga poznavali, pre svega, kao savetnika istražne komore i iskusnog advokata. Sa 30 godina se oženio, dobio tri sina i dvije ćerke, ponekad je išao na službena putovanja, a na jednom od njih iznenada je preminuo u 63. godini. Sve! Život ovog čovjeka, suvremenika Tri mušketira, iznenađujuće je bez događaja i lišen avantura. Avanture su došle sa njegovom Velikom teoremom. Hajde da ne govorimo o cjelokupnom Fermatovom matematičkom naslijeđu, a teško je o tome govoriti popularno. Vjerujte mi na riječ: ovo naslijeđe je veliko i raznoliko. Tvrdnja da je Velika teorema vrhunac njegovog rada je vrlo kontroverzna. Samo što je sudbina Velike teoreme iznenađujuće zanimljiva, a ogroman svijet ljudi neupućenih u misterije matematike oduvijek je bio zainteresiran ne za samu teoremu, već za sve oko nje...

Korijene cijele ove priče treba tražiti u antici, koju je Fermat toliko volio. Oko 3. veka u Aleksandriji je živeo grčki matematičar Diofant, originalni naučnik koji je mislio van okvira i izražavao svoje misli van okvira. Od 13 tomova njegove Aritmetike do nas je stiglo samo 6. Taman kada je Fermat napunio 20 godina, izašao je novi prijevod njegovih djela. Fermat je bio veoma zainteresovan za Diofanta, a ova dela su bila njegova referentna knjiga. Na marginama je Fermat zapisao svoju Veliku teoremu, koja u svom najjednostavnijem modernom obliku izgleda ovako: jednadžba Xn + Yn = Zn nema rješenja u cijelim brojevima za n - veće od 2. (Za n = 2 rješenje je očigledno : 32 + 42 = 52 ). Tamo, na marginama Diofantovog sveska, Fermat dodaje: “Otkrio sam ovaj zaista divan dokaz, ali ove su margine preuske za njega.”

Na prvi pogled, ovo je jednostavna stvar, ali kada su drugi matematičari počeli dokazivati ovu „jednostavnu“ teoremu, nikome nije uspjelo sto godina. Konačno, veliki Leonhard Ojler je to dokazao za n = 4, zatim 20 (!) godina kasnije - za n = 3. I opet je posao zastao na mnogo godina. Sljedeća pobjeda pripala je Nijemcu Peteru Dirichletu (1805-1859) i Francuzu Andrienu Legendreu (1752-1833) - priznali su da je Fermat bio u pravu za n = 5. Zatim je Francuz Gabriel Lamé (1795-1870) učinio isto za n = 7. Konačno, sredinom prošlog stoljeća, Nijemac Ernst Kummer (1810-1893) je dokazao Veliku teoremu za sve vrijednosti n manje od ili jednake 100. Štaviše, dokazao je to koristeći metode koje je Fermat nije mogao znati, što je dodatno povećalo njuh misterije oko Velike teoreme.

Tako se pokazalo da su Fermatovu teoremu dokazali "dio po dio", ali nikome nije uspjelo "u cijelosti". Novi pokušaji dokazivanja doveli su samo do kvantitativnog povećanja vrijednosti n. Svi su shvatili da je uz mnogo rada moguće dokazati Veliku teoremu za proizvoljno veliki broj n, ali Fermat je govorio o bilo kojem vrijednost veća od 2! Upravo u toj razlici između „koliko hoćeš“ i „bilo koje“ koncentrisalo se čitavo značenje problema.

Međutim, treba napomenuti da pokušaji dokazivanja Fermgove teoreme nisu bili samo neka vrsta matematičke igre, rješavanja složenog rebusa. U procesu ovih dokaza otvarali su se novi matematički horizonti, problemi nastajali i rješavali, postajući nove grane matematičkog stabla. Veliki njemački matematičar David Hilbert (1862–1943) naveo je Veliku teoremu kao primjer “stimulativnog utjecaja koji poseban i naizgled beznačajan problem može imati na nauku”. Isti Kummer, radeći na Fermatovoj teoremi, sam je dokazao teoreme koje su činile temelj teorije brojeva, algebre i teorije funkcija. Dakle, dokazivanje Velike teoreme nije sport, već prava nauka.

Vrijeme je prolazilo, a elektronika je priskočila u pomoć profesionalnim „fsrmatntcima“. Elektronski mozgovi nisu mogli smisliti nove metode, ali su to brzo učinili. Početkom 80-ih, Fermatova teorema je dokazana uz pomoć kompjutera za n manje od ili jednako 5500. Postepeno je ova cifra narasla na 100.000, ali su svi shvatili da je takvo "akumuliranje" stvar čiste tehnologije, koja ništa ne daje. umu ili srcu. Nisu mogli direktno zauzeti tvrđavu Velike teoreme i počeli su tražiti manevre za zaobilaženje.

Sredinom 80-ih, mladi nematematičar G. Filytings dokazao je takozvanu „Mordelovu pretpostavku“, koja, inače, takođe „nije došla u ruke“ nijednom matematičaru 61 godinu. Pojavila se nada da bi se sada, takoreći „napadom s boka“, Fermatova teorema mogla riješiti. Međutim, tada se ništa nije dogodilo. 1986. godine, njemački matematičar Gerhard Frey predložio je novu metodu dokaza u Essence. Ne obavezujem se da to striktno objašnjavam, ali ne matematičkim, već univerzalnim ljudskim jezikom, zvuči otprilike ovako: ako smo uvjereni da je dokaz neke druge teoreme indirektan, na neki način transformirani dokaz Fermatov teorem ćemo, dakle, dokazati Veliku teoremu. Godinu dana kasnije, Amerikanac Kenneth Ribet sa Berkeleya pokazao je da je Frey bio u pravu i, zaista, jedan dokaz se može svesti na drugi. Mnogi matematičari u različitim zemljama svijeta slijedili su ovaj put. Viktor Aleksandrovič Kolivanov je učinio mnogo da dokaže Veliku teoremu. Tri stotine godina stare zidine neosvojive tvrđave počele su da se tresu. Matematičari su shvatili da to neće dugo stajati.

U ljeto 1993., u drevnom Kembridžu, na Institutu matematičkih nauka Isaac Newton, okupilo se 75 najistaknutijih svjetskih matematičara kako bi razgovarali o svojim problemima. Među njima je bio i američki profesor Andrew Wiles sa Univerziteta Princeton, veliki specijalista za teoriju brojeva. Svi su znali da on već dugi niz godina proučava Veliku teoremu. Wiles je dao tri izvještaja i na posljednjem - 23. juna 1993. - na samom kraju, okrenuvši se od table, rekao je sa smiješkom:

- Valjda neću nastaviti...

Najprije je zavladala mrtva tišina, a zatim pljusak aplauza. Oni koji su sjedili u dvorani bili su dovoljno kvalifikovani da shvate: Fermatova posljednja teorema je dokazana! U svakom slučaju, niko od prisutnih nije našao greške u izvedenim dokazima. Zamjenik direktora Newton instituta Peter Goddard rekao je novinarima:

“Većina stručnjaka nije mislila da će znati odgovor do kraja života.” Ovo je jedno od najvećih dostignuća u matematici našeg veka...

Prošlo je nekoliko mjeseci, nije bilo komentara ili opovrgavanja. Istina, Wiles nije objavio svoj dokaz, već je samo poslao takozvane otiske svog rada vrlo uskom krugu svojih kolega, što, naravno, onemogućava matematičarima da komentarišu ovu naučnu senzaciju, a razumijem i akademika Ludwiga Dmitrijeviča Faddejeva, ko je rekao:

“Mogu reći da se dogodila senzacija kada svojim očima vidim dokaz.”

Faddeev vjeruje da je vjerovatnoća da će Wiles pobijediti vrlo velika.

“Moj otac, poznati specijalista za teoriju brojeva, bio je, na primjer, uvjeren da će teorema biti dokazana, ali ne elementarnim sredstvima”, dodao je.

Naš drugi akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bio je skeptičan po pitanju vesti i smatra da dokaz Velike teoreme uopšte nije hitan matematički problem. Po svojim naučnim interesovanjima, Maslov, predsednik Saveta za primenjenu matematiku, daleko je od „fermatista“, a kada kaže da je kompletno rešenje Velike teoreme samo od sportskog interesa, može se razumeti. Međutim, usuđujem se da primetim da je koncept relevantnosti u bilo kojoj nauci promenljiva veličina. Prije 90 godina, Rutherfordu je vjerovatno također rečeno: "Pa, dobro, pa, teorija radioaktivnog raspada... Pa šta? Kakva je korist od toga?.."

Rad na dokazu Velike teoreme je matematici već dao mnogo, a možemo se nadati da će dati više.

„Ono što je Wiles uradio unaprediće matematičare u drugim oblastima“, rekao je Peter Godard. — Dapače, ne zatvara jedan od pravaca razmišljanja, već postavlja nova pitanja na koja će biti potreban odgovor...

Profesor Moskovskog državnog univerziteta Mihail Iljič Zelikin mi je ovako objasnio trenutnu situaciju:

Niko ne vidi greške u Wilesovom radu. Ali da bi ovaj rad postao naučna činjenica, potrebno je da nekoliko uglednih matematičara samostalno ponovi ovaj dokaz i potvrdi njegovu tačnost. Ovo je neophodan uslov da matematička javnost razume Wilesov rad...

Koliko će to trajati?

Ovo pitanje sam postavio jednom od naših vodećih stručnjaka u oblasti teorije brojeva, doktoru fizičko-matematičkih nauka Alekseju Nikolajeviču Paršinu.

— Andrew Wiles ima još puno vremena ispred sebe...

Činjenica je da je 13. septembra 1907. godine njemački matematičar P. Wolfskel, koji je, za razliku od velike većine matematičara, bio bogat čovjek, oporučio 100 hiljada maraka onome koji će dokazati Veliku teoremu u narednih 100 godina. Početkom veka kamate na zaveštani iznos odlazile su u blagajnu čuvenog Univerziteta Getanghent. Ovim novcem pozvani su vodeći matematičari da drže predavanja i sprovode naučni rad. U to vrijeme predsjednik komisije za dodjelu nagrada bio je već spomenuti David Gilbert. On zaista nije želio da plati bonus.

„Na sreću“, rekao je veliki matematičar, „izgleda da nemamo matematičara osim mene, koji bi bio u stanju da uradi ovaj zadatak, ali nikada se neću usuditi da ubijem gusku koja za nas nosi zlatna jaja.“

Ostalo je još nekoliko godina do roka 2007., koji je odredio Wolfskehl, i, čini mi se, nad "Hilbertovom kokošom" preti ozbiljna opasnost. Ali ne radi se zapravo o bonusu. To je stvar radoznalosti misli i ljudske istrajnosti. Borili su se više od tri stotine godina, ali su to ipak dokazali!

I dalje. Za mene je najzanimljivije u cijeloj ovoj priči: kako je sam Fermat dokazao svoju Veliku teoremu? Uostalom, svi današnji matematički trikovi bili su mu nepoznati. I da li je to uopšte dokazao? Uostalom, postoji verzija da se činilo da je to dokazao, ali je sam pronašao grešku, te stoga nije poslao dokaz drugim matematičarima, te je zaboravio precrtati unos na marginama Diofantove knjige. Stoga mi se čini da se dokaz Velike teoreme očito dogodio, ali tajna Fermatove teoreme ostaje i malo je vjerovatno da ćemo je ikada otkriti...

Fermat je možda tada pogriješio, ali nije pogriješio kada je napisao: „Možda će mi potomci biti zahvalni što sam im pokazao da stari nisu sve znali, a to može prodreti u svijest onih koji dolaze poslije mene da prođu kroz baklja svojim sinovima..."

Slični članci

Diskusija:

Najsjajnija zvijezda u sazviježđu Velikog medvjeda dodajte svoju cijenu u komentar baze podataka: Veliki medvjed (lat. Ursa Major) je sazviježđe sjeverne hemisfere neba....
Kako su divlje životinje pripitomljene?: Pripitomljavanje, odnosno pripitomljavanje divljih životinja, dešavalo se u davna vremena...
“Da li je Fermatova posljednja teorema dokazana?: Da će Abelovu nagradu 2016. dobiti Andrew Wiles za dokazivanje hipoteze...
Fizičko-geografska nauka: Svrha članka u nastavku je da kaže šta je hidrosfera, da pokaže...