Laboratorijska računalniška delavnica. Valovne lastnosti delcev snovi Uporaba Schrödingerjeve enačbe na vodikov atom
Seveda lahko temu rečete neumnost,
sem pa naletel na take neumnosti, da v
v primerjavi z njo se zdi ta pametna
slovar
L. Carroll
Kakšen je planetarni model atoma in kakšna je njegova pomanjkljivost? Kaj je bistvo Bohrovega atomskega modela? Kakšna je hipoteza o valovnih lastnostih delcev? Kakšne napovedi daje ta hipoteza o lastnostih mikrosveta?
Lekcija-predavanje
KLASIČNI ATOMSKI MODELI IN NJIHOVE SLABOSTI. Ideje, da atomi niso nedeljivi delci in vsebujejo elementarne naboje kot sestavne delce, so bile prvič izražene ob koncu 19. stoletja. Izraz "elektron" je leta 1881 predlagal angleški fizik George Stoney. Leta 1897 je elektronska hipoteza dobila eksperimentalno potrditev v študijah Emila Wicherta in Josepha Johna Thomsona. Od tega trenutka se je začelo ustvarjanje različnih elektronskih modelov atomov in molekul.
Thomsonov prvi model je predpostavljal, da je pozitivni naboj enakomerno porazdeljen po atomu, elektroni pa so bili prepredeni z njim, kot rozine v mafinu.
Razlika med tem modelom in eksperimentalnimi podatki je postala jasna po poskusu, ki ga je leta 1906 izvedel Ernest Rutherford, ki je preučeval proces sipanja delcev α na atomih. Iz izkušenj je bilo ugotovljeno, da je pozitivni naboj koncentriran znotraj tvorbe, ki je bistveno manjša od velikosti atoma. Ta tvorba se je imenovala atomsko jedro, katerega dimenzije so bile 10 -12 cm, dimenzije atoma pa 10 -8 cm. V skladu s klasičnimi koncepti elektromagnetizma naj bi med vsakim elektronom in elektronom delovala Coulombova sila privlačnosti. jedro. Odvisnost te sile od razdalje bi morala biti enaka kot v zakonu univerzalne gravitacije. Posledično bi moralo biti gibanje elektronov v atomu podobno gibanju planetov sončnega sistema. Tako se je rodilo planetarni atomski model Rutherford.
Kratka življenjska doba atoma in neprekinjen spekter sevanja, ki izhaja iz planetarnega modela, sta pokazala njegovo nedoslednost pri opisovanju gibanja elektronov v atomu.
Nadaljnje raziskovanje stabilnosti atoma je dalo osupljiv rezultat: izračuni so pokazali, da bi moral v času 10 -9 s elektron pasti na jedro zaradi izgube energije zaradi sevanja. Poleg tega je tak model dal zvezne, namesto diskretne emisijske spektre atomov.
TEORIJA O ATOMU BORA. Naslednji pomemben korak v razvoju atomske teorije je naredil Niels Bohr. Najpomembnejša hipoteza, ki jo je leta 1913 postavil Bohr, je bila hipoteza o diskretni strukturi energijskih ravni elektrona v atomu. To stanje je prikazano v energijskih diagramih (slika 21). Tradicionalno energijski diagrami prikazujejo energijo vzdolž navpične osi.
riž. 21 Energija satelita v gravitacijskem polju Zemlje (a); energija elektrona v atomu (b)
Razlika med gibanjem telesa v gravitacijskem polju (slika 21, a) in gibanjem elektrona v atomu (slika 21, b) v skladu z Bohrovo hipotezo je v tem, da se lahko energija telesa nenehno spreminja. , in energija elektrona pri negativnih vrednostih lahko sprejme niz diskretnih vrednosti, prikazanih na sliki kot modri segmenti. Te diskretne vrednosti so bile imenovane energijske ravni ali drugače energijske ravni.
Seveda je bila ideja o diskretnih ravneh energije vzeta iz Planckove hipoteze. V skladu z Bohrovo teorijo se lahko sprememba energije elektronov zgodi le nenadoma (z enega energijskega nivoja na drugega). Med temi prehodi se kvant svetlobe odda (prehod navzdol) ali absorbira (prehod navzgor), katerega frekvenca je določena s Planckovo formulo hv = E kvant = ΔE atoma, to je sprememba energije atoma je sorazmerna s frekvenco oddanega ali absorbiranega kvanta svetlobe.
Bohrova teorija je odlično razložila linijski značaj atomskih spektrov. Teorija pa dejansko ni odgovorila na vprašanje o razlogu za diskretnost nivojev.
VALOVI SNOVI. Naslednji korak v razvoju teorije mikrosveta je naredil Louis de Broglie. Leta 1924 je predlagal, da bi gibanje mikrodelcev opisali ne kot klasično mehansko gibanje, ampak kot nekakšno valovno gibanje. Iz zakonov valovnega gibanja je treba pridobiti recepte za izračun različnih opazovanih količin. Tako so se v znanosti skupaj z valovi elektromagnetnega polja pojavili valovi snovi.
Hipoteza o valovni naravi gibanja delcev je bila tako drzna kot Planckova hipoteza o diskretnih lastnostih polja. Poskus, ki je neposredno potrdil de Brogliejevo hipotezo, je bil izveden šele leta 1927. V tem poskusu so opazili uklon elektronov na kristalu, podoben uklonu elektromagnetnega valovanja.
Bohrova teorija je bila pomemben korak pri razumevanju zakonov mikrosveta. Prvi je uvedel koncept diskretnih vrednosti energije elektronov v atomu, kar je ustrezalo izkušnjam in je kasneje postalo del kvantne teorije.
Hipoteza o valovanju snovi je omogočila razlago diskretne narave ravni energije. Iz valovne teorije je bilo znano, da ima prostorsko omejeno valovanje vedno diskretne frekvence. Primer je valovanje v glasbilu, kot je flavta. Frekvenco zvoka v tem primeru določajo dimenzije prostora, s katerim je valovanje omejeno (dimenzije piščali). Izkazalo se je, da je to splošna lastnost valov.
Toda v skladu s Planckovo hipotezo so frekvence kvanta elektromagnetnega valovanja sorazmerne z energijo kvanta. Posledično mora imeti energija elektronov diskretne vrednosti.
De Brogliejeva ideja se je izkazala za zelo plodno, čeprav je bil, kot že omenjeno, neposreden poskus, ki je potrdil valovne lastnosti elektrona, izveden šele leta 1927. Leta 1926 je Erwin Schrödinger izpeljal enačbo, ki bi jo moralo ubogati elektronsko valovanje, in ko je rešil to enačbo v povezavi z vodikovim atomom, dobil vse rezultate, ki jih je lahko dala Bohrova teorija. Pravzaprav je bil to začetek moderne teorije, ki opisuje procese v mikrokozmosu, saj je bilo valovno enačbo enostavno posplošiti za najrazličnejše sisteme - večelektronske atome, molekule, kristale.
Razvoj teorije je pripeljal do razumevanja, da val, ki ustreza delcu, določa verjetnost, da najdemo delec na dani točki v prostoru. Tako je pojem verjetnosti vstopil v fiziko mikrosveta.
Po novi teoriji valovanje, ki ustreza delcu, popolnoma določa gibanje delca. Toda splošne lastnosti valovanja so takšne, da valovanja ni mogoče lokalizirati na nobeni točki v prostoru, to pomeni, da nima smisla govoriti o koordinatah delca v danem trenutku. Posledica tega je bila popolna izključitev iz fizike mikrosveta konceptov, kot sta trajektorija delca in orbite elektronov v atomu. Lep in vizualni planetarni model atoma, kot se je izkazalo, ne ustreza resničnemu gibanju elektronov.
Vsi procesi v mikrosvetu so verjetnostne narave. Z izračuni je mogoče ugotoviti le verjetnost, da se bo določen proces zgodil
Za zaključek se vrnimo k epigrafu. Hipoteze o valovanju snovi in kvantih polja so se mnogim fizikom, vzgojenim v tradiciji klasične fizike, zdele nesmiselne. Dejstvo je, da tem hipotezam manjka običajna jasnost, ki jo imamo pri opazovanju v makrokozmosu. Vendar pa je poznejši razvoj znanosti o mikrokozmosu pripeljal do takšnih idej, da ... (glej epigraf k odstavku).
- Katerim eksperimentalnim dejstvom je Thomsonov atomski model nasprotoval?
- Kaj je od Bohrovega atomskega modela ostalo v sodobni teoriji in kaj je bilo zavrženo?
- Katere ideje so prispevale k de Brogliejevi hipotezi o valovanju snovi?
De Brogliejeva hipoteza. De Broglie maha.
Kot je bilo že rečeno, ima svetloba (in sevanje nasploh) dvojno naravo: v nekaterih pojavih (interferenca, uklon itd.) se svetloba kaže kot valovanje, v drugih pojavih, nič manj prepričljivo, kot delci. To je spodbudilo de Broglieja (leta 1923), da je predstavil idejo, da bi morali imeti materialni delci tudi valovne lastnosti, tj. razširiti takšno dualnost val-delec na delce z maso mirovanja, različno od nič.
Če je takemu delcu pridruženo nekakšno valovanje, lahko pričakujemo, da se širi v smeri hitrosti υ delci. De Broglie o naravi tega vala ni povedal ničesar določnega. Njihove narave še ne bomo izvedeli, čeprav bomo takoj poudarili, da ti valovi niso elektromagnetni. Imajo, kot bomo videli pozneje, specifično naravo, ki ji v klasični fiziki ni analogije.
Tako je de Broglie domneval, da razmerje za zagon p=ћω/c, povezano s fotoni, ima univerzalen značaj, tj. delce lahko povežemo z valom, katerega dolžina
Ta formula se imenuje de Brogliejeve formule, in λ – de Brogliejeva valovna dolžina delci z gibalno količino R.
De Broglie je tudi domneval, da bi moral žarek delcev, ki padajo na dvojno režo, interferirati za njimi.
Drugi, neodvisen od formule (3.13.1), odnos je povezava med energijo E delci in frekvenca ω de Brogliejevega vala:
V bistvu energija E je vedno določen do dodatka poljubne konstante (za razliko od Δ E), zato je frekvenca ω v osnovi neopazna količina (za razliko od de Brogliejeve valovne dolžine).
S frekvenco ω in valovnim številom k povezani sta dve hitrosti - faza υ f in skupina u:
(3.13.3)
Množenje števca in imenovalca obeh izrazov z ћ ob upoštevanju (3.13.1) in (3.13.2) dobimo, če se omejimo na upoštevanje le nerelativističnega primera, tj. verjeti E = str 2 /2m(kinetična energija):
(3.13.4)
To kaže, da je skupinska hitrost enaka hitrosti delcev, tj. da je fundamentalno opazljiva količina, v nasprotju z υ f – zaradi dvoumnosti E.
Iz prve formule (3.13.4) sledi, da je fazna hitrost de Brogliejevih valov
(3.13.5)
odvisen je od frekvence ω, kar pomeni, da imajo de Brogliejevi valovi disperzija tudi v vakuumu. V nadaljevanju bo prikazano, da ima v skladu s sodobno fizikalno interpretacijo fazna hitrost de Brogliejevih valov zgolj simboličen pomen, saj jih ta interpretacija uvršča med fundamentalno neopazne količine. Vendar se izrečeno vidi takoj, saj E v (3.13.5) definirana, kot je bilo že omenjeno, do dodatka poljubne konstante.
Ugotovitev dejstva, da je po (3.13.4) skupinska hitrost de Brogliejevih valov enaka hitrosti delcev, je nekoč igrala pomembno vlogo pri razvoju temeljnih osnov kvantne fizike in predvsem pri fizična interpretacija de Brogliejevih valov. Najprej so poskušali delce obravnavati kot valovne pakete zelo majhnega obsega in tako rešiti paradoks dvojnosti lastnosti delcev. Vendar se je taka razlaga izkazala za napačno, saj se vsi harmonični valovi, ki sestavljajo paket, širijo z različnimi faznimi hitrostmi. V prisotnosti velike disperzije, ki je značilna za de Brogliejeve valove tudi v vakuumu, se valovni paket "razširi". Pri delcih z maso reda velikosti elektrona se paket razširi skoraj v trenutku, medtem ko je delec stabilna tvorba.
Tako se je prikaz delca v obliki valovnega paketa izkazal za nevzdržnega. Problem dvojnosti lastnosti delcev je zahteval drugačen pristop k njegovi rešitvi.
Vrnimo se k de Brogliejevi hipotezi. Ugotovimo, v katerih pojavih se lahko manifestirajo valovne lastnosti delcev, če te lastnosti res obstajajo. Vemo, da so valovi ne glede na fizično naravo interferenca in uklon. Neposredno opazna količina v njih je valovna dolžina. V vseh primerih je de Brogliejeva valovna dolžina določena s formulo (3.13.1). Uporabimo ga za nekaj ocen.
Najprej se prepričajmo, da de Brogliejeva hipoteza ni v nasprotju s koncepti makroskopske fizike. Vzemimo za primer drobec prahu kot makroskopski predmet, pri čemer predpostavimo, da njegova masa m= 1 mg in hitrost V= 1 µm/s. Ustrezna de Brogliejeva valovna dolžina je
(3.13.6)
To pomeni, da se celo za tako majhen makroskopski predmet, kot je drobec prahu, de Brogliejeva valovna dolžina izkaže za neizmerno manjšo od velikosti samega predmeta. Pod takšnimi pogoji se seveda nobene valovne lastnosti ne morejo manifestirati v pogojih merljivih dimenzij.
Situacija je drugačna, na primer za elektron s kinetično energijo K in impulz . Njegova de Brogliejeva valovna dolžina
(3.13.7)
Kje K je treba meriti v elektronvoltih (eV). pri K= 150 eV, je de Brogliejeva valovna dolžina elektrona enaka, glede na (3.13.7), λ = 0,1 nm. Konstanta kristalne rešetke ima enak red velikosti. Zato je, podobno kot v primeru rentgenskih žarkov, lahko kristalna struktura primerna mreža za pridobitev uklona de Brogliejevega elektronskega valovanja. Vendar se je de Brogliejeva hipoteza zdela tako nerealna, da dolgo časa ni bila podvržena eksperimentalnemu testiranju.
Eksperimentalno je bila de Brogliejeva hipoteza potrjena v poskusih Davissona in Germerja (1927). Ideja njihovih poskusov je bila naslednja. Če ima žarek elektronov valovne lastnosti, potem lahko pričakujemo, tudi če ne poznamo mehanizma odboja teh valov, da bo imel njihov odboj od kristala enak interferenčni značaj kot rentgenski žarki.
V eni seriji poskusov Davissona in Germerja so za odkrivanje uklonskih maksimumov (če obstajajo) izmerili pospeševalno napetost elektronov in hkrati položaj detektorja D(števec odbitih elektronov). V poskusu je bil uporabljen monokristal niklja (kubični sistem), brušen, kot je prikazano na sliki 3.13. Če ga zavrtite okoli navpične osi na sliki 3.13.1
Položaj, ki ustreza sliki, nato v tem položaju
površina tal je prekrita z pravilnimi vrstami atomov, pravokotnimi na vpadno ravnino (ravnina vzorca), razdalja med katerimi d= 0,215 nm. Detektor smo premikali v vpadni ravnini in spreminjali kot θ. Pri kotu θ = 50 0 in pospeševalni napetosti V= 54B je bil opazen posebej izrazit maksimum odbitega Sl. 3.13.2.
elektronov, katerih polarni diagram je prikazan na sliki 3.13.2.
Kot je razvidno iz slike 3.13.3. Na tej sliki vsaka krepka točka predstavlja projekcijo verige atomov, ki se nahajajo na ravni črti, pravokotni na ravnino slike. Pika d lahko merimo neodvisno, na primer z rentgensko difrakcijo. Sl.3.13.3.
De Brogliejeva valovna dolžina, izračunana z uporabo formule (3.13.7) za V= 54B je enako 0,167 nm. Ustrezna valovna dolžina, dobljena iz formule (3.13.8), je enaka 0,165 nm. Ujemanje je tako dobro, da je treba dobljeni rezultat šteti za prepričljivo potrditev de Brogliejeve hipoteze.
Drugi poskusi, ki so potrdili de Brogliejevo hipotezo, so bili poskusi Thomsona in Tartakovskega . V teh poskusih je bil žarek elektronov speljan skozi polikristalno folijo (z uporabo Debyejeve metode pri študiju rentgenske difrakcije). Tako kot pri rentgenskem sevanju smo opazili sistem uklonskih obročev na fotografski plošči, ki se nahaja za folijo. Podobnosti med obema slikama so osupljive. Sum, da sistem teh obročev ne ustvarjajo elektroni, temveč sekundarno rentgensko sevanje, ki je posledica padanja elektronov na folijo, se zlahka razblini, če se na poti sipanih elektronov ustvari magnetno polje (trajni magnet je postavljen). Ne vpliva na rentgensko sevanje. Ta vrsta testa je pokazala, da je bil interferenčni vzorec takoj popačen. To jasno kaže, da imamo opravka z elektroni.
G. Thomson je izvajal poskuse s hitrimi elektroni (desetke keV), P.S. Tarkovskega - z relativno počasnimi elektroni (do 1,7 keV).
Za uspešno opazovanje uklona valov na kristalih je potrebno, da je valovna dolžina teh valov primerljiva z razdaljami med vozlišči kristalne mreže. Zato je za opazovanje uklona težkih delcev potrebno uporabiti delce z dovolj nizkimi hitrostmi. Izvedeni so bili ustrezni poskusi uklona nevtronov in molekul pri odboju od kristalov, ki so tudi v celoti potrdili de Brogliejevo hipotezo za težke delce.
Zahvaljujoč temu je bilo eksperimentalno dokazano, da so valovne lastnosti univerzalna lastnost vseh delcev. Ne povzročajo jih nobene posebnosti notranje zgradbe določenega delca, temveč odražajo njihov splošni zakon gibanja.
Zgoraj opisani poskusi so bili izvedeni z uporabo žarkov delcev. Zato se pojavi naravno vprašanje: ali opažene valovne lastnosti izražajo lastnosti žarka delcev ali posameznih delcev?
Da bi odgovorili na to vprašanje, so V. Fabrikant, L. Biberman in N. Suškin leta 1949 izvedli poskuse, pri katerih so uporabili tako šibke elektronske žarke, da je šel vsak elektron posebej skozi kristal, vsak razpršeni elektron pa je bil posnet s fotografsko ploščo. Izkazalo se je, da posamezni elektroni na prvi pogled povsem naključno zadenejo različne točke na fotografski plošči (slika 3.13.4). A). Medtem se je ob dovolj dolgi osvetlitvi na fotografski plošči pojavil uklonski vzorec (slika 3.13.4). b), popolnoma enak uklonskemu vzorcu običajnega elektronskega žarka. Tako je bilo dokazano, da imajo posamezni delci tudi valovne lastnosti.
Tako imamo opravka z mikroobjekti, ki imajo tako korpuskularne kot valovne lastnosti.
vy lastnosti. To nam omogoča, da naprej govorimo
o elektronih, zaključki, do katerih bomo prišli, pa so Sl. 3.13.4.
splošen pomen in enako velja za vse delce.
Paradoksalno obnašanje mikrodelcev.
Eksperimenti, obravnavani v prejšnjem odstavku, nas prisilijo, da trdimo, da se soočamo z enim najbolj skrivnostnih paradoksov: Kaj pomeni reči, da je elektron hkrati delec in val?»?
Poskusimo razumeti to vprašanje z uporabo miselnega eksperimenta, podobnega Youngovemu eksperimentu pri proučevanju interference svetlobe (fotonov) iz dveh rež. Po prehodu žarka elektronov skozi dve reži se na zaslonu oblikuje sistem maksimumov in minimumov, katerih položaj je mogoče izračunati s formulami valovne optike, če je vsakemu elektronu pridružen de Brogliejev val.
Samo bistvo kvantne teorije se skriva v pojavu interference dveh rež, zato bomo temu vprašanju namenili posebno pozornost.
Če imamo opravka s fotoni, potem lahko paradoks (delec - val) odpravimo s predpostavko, da se foton zaradi svoje specifičnosti razcepi na dva dela (na režah), ki nato interferirata.
Kaj pa elektroni? Nikoli se ne ločita - to je bilo ugotovljeno popolnoma zanesljivo. Elektron lahko gre skozi režo 1 ali režo 2 (slika 3.13.5). Zato mora biti njihova porazdelitev na zaslonu E vsota porazdelitev 1 in 2 (slika 3.13.5). A) - prikazana je s pikčasto krivuljo. Sl.13.13.5.
Čeprav je logika v tem razmišljanju brezhibna, se taka razdelitev ne izvede. Namesto tega opazimo popolnoma drugačno porazdelitev (slika 3.13.5 b).
Ali ni to kolaps čiste logike in zdrave pameti? Konec koncev je vse videti tako, kot da je 100 + 100 = 0 (v točki P). Dejansko, ko sta reža 1 ali reža 2 odprta, pride recimo 100 elektronov na sekundo do točke P, in če sta odprti obe reži, potem nobenega!..
Poleg tega, če najprej odprete režo 1 in nato postopoma odprete režo 2 in povečate njeno širino, potem bi se po zdravi pameti število elektronov, ki vsako sekundo prispejo v točko P, povečalo s 100 na 200. V resnici s 100 na nič .
Če ponovimo podoben postopek, registriramo delce, na primer v točki O (glej sliko 3.13.5). b), potem se pojavi nič manj paradoksalen rezultat. Ko se reža 2 odpre (z odprto režo 1), število delcev v točki O ne naraste na 200 na sekundo, kot bi pričakovali, ampak na 400!
kako bi odpiranje reže 2 lahko vplivalo na elektrone, za katere se zdi, da gredo skozi režo 1? To pomeni, da je situacija taka, da vsak elektron, ki gre skozi neko vrzel, "občuti" sosednjo vrzel in popravi svoje vedenje. Ali pa gre kot val skozi obe reži hkrati (!?). Navsezadnje drugače ne more nastati interferenčni vzorec. Poskus ugotovitve, skozi katero režo gre določen elektron, vodi do uničenja interferenčnega vzorca, vendar je to povsem drugo vprašanje.
Kakšen je zaključek? Edini način za "razlago" teh paradoksalnih rezultatov je ustvariti matematični formalizem, ki je združljiv z dobljenimi rezultati in vedno pravilno napove opazovane pojave. Poleg tega mora biti ta formalizem seveda notranje dosleden.
In tak formalizem je nastal. Vsak delček poveže z določeno kompleksno psi-funkcijo Ψ( r, t). Formalno ima lastnosti klasičnih valov, zato se pogosto imenuje valovna funkcija. Obnašanje prostega delca, ki se enakomerno premika v določeni smeri, opisuje ravninski de Brogliejev val
Toda to funkcijo, njen fizični pomen in enačbo, ki nadzoruje njeno obnašanje v prostoru in času, bomo podrobneje obravnavali v naslednjem predavanju.
Če se vrnemo k obnašanju elektronov pri prehodu skozi dve reži, moramo priznati: dejstvo, da je načeloma nemogoče odgovoriti na vprašanje, skozi katero režo gre elektron(brez uničenja interferenčnega vzorca), nezdružljivo z idejo trajektorije. Tako elektronom na splošno ni mogoče določiti poti.
Vendar pa je pod določenimi pogoji, in sicer ko de Brogliejeva valovna dolžina mikrodelca postane zelo majhna in je lahko veliko manjša, na primer razdalja med režami ali atomske dimenzije, koncept trajektorije spet smiseln. Oglejmo si to vprašanje podrobneje in pravilneje oblikujmo pogoje, pod katerimi je mogoče uporabiti klasično teorijo.
Načelo negotovosti
V klasični fiziki je celovit opis stanja delca določen z dinamičnimi parametri, kot so koordinate, gibalna količina, kotna količina, energija itd. Vendar pa dejansko vedenje mikrodelcev kaže, da obstaja temeljna omejitev natančnosti, s katero take spremenljivke je mogoče določiti in izmeriti.
Poglobljeno analizo vzrokov za obstoj te meje, ki se imenuje načelo negotovosti, dirigiral W. Heisenberg (1927). Kvantitativni odnosi, ki izražajo to načelo v posebnih primerih, se imenujejo odnosi negotovosti.
Posebnost lastnosti mikrodelcev se kaže v tem, da Vse spremenljivke pri merjenju ne dobijo določenih vrednosti. Obstajajo pari količin, ki jih ni mogoče natančno določiti hkrati.
Najpomembnejši sta dve razmerji negotovosti.
Prva od njih omejuje natančnost hkratnega merjenja koordinat in ustreznih projekcij gibalne količine delcev. Za projekcijo, na primer, na os X izgleda takole:
Druga relacija določa negotovost merjenja energije, Δ E, za določeno časovno obdobje Δ t:
Razložimo pomen teh dveh odnosov. Prvi od njih navaja, da če položaj delca, na primer, vzdolž osi X znan z negotovostjo Δ x, potem lahko v istem trenutku projekcijo momenta delca na isto os izmerimo le z negotovostjo Δ p= ћ/Δ x. Upoštevajte, da te omejitve ne veljajo za hkratno merjenje koordinate delca vzdolž ene osi in projekcije gibalne količine vzdolž druge: količine x in str y, l in str x itd. ima lahko istočasno točne vrednosti.
Po drugi relaciji (3.13.11) za merjenje energije z napako Δ E zahtevani čas ni krajši od Δ t=ћ /Δ E. Primer je »zabrisovanje« energijskih nivojev vodiku podobnih sistemov (razen osnovnega stanja). To je posledica dejstva, da je življenjska doba v vseh vzbujenih stanjih teh sistemov približno 10 -8 s. Zabrisovanje nivojev povzroči razširitev spektralnih linij (naravna širitev), kar se tudi dejansko opazi. Enako velja za vsak nestabilen sistem. Če je njegova življenjska doba pred razpadom reda τ, potem ima zaradi končnosti tega časa energija sistema neodstranljivo negotovost, ki ni manjša od Δ E≈ ћ/τ.
Označimo še pare količin, ki jih hkrati ne moremo natančno določiti. To sta katerikoli dve projekciji momentne količine delca. Zato Ni stanja, v katerem bi vse tri ali celo katere koli dve od treh projekcij momentne količine imele določene vrednosti.
Oglejmo si podrobneje pomen in možnosti relacije Δ x·Δ str x ≥ ћ . Najprej bodimo pozorni na dejstvo, da določa temeljno mejo negotovosti Δ x in Δ str x , s katerim lahko klasično označimo stanje delca, tj. koordinirati x in projekcija impulza str x. Bolj natančno x, manj natančno je mogoče ugotoviti str x in obratno.
Poudarjamo, da pravi pomen relacije (3.13.10) odraža dejstvo, da v naravi objektivno ni stanj delcev s točno določenimi vrednostmi obeh spremenljivk, x in str X. Hkrati smo prisiljeni, ker meritve izvajamo z makroskopskimi instrumenti, delcem pripisati klasične spremenljivke, ki jim niso lastne. Stroški tega pristopa so izraženi z razmerji negotovosti.
Ko je potreba po opisu obnašanja delcev z valovno funkcijo postala jasna, se naravno pojavijo razmerja negotovosti - kot matematična posledica teorije.
Glede na to, da je razmerje negotovosti (3.13.10) univerzalno, ocenimo, kako bi vplivalo na gibanje makroskopskega telesa. Vzemimo zelo majhno kroglico mase m= 1 mg. Določimo na primer z mikroskopom njegov položaj z napako Δ x≈ 10 -5 cm (določeno z ločljivostjo mikroskopa). Potem je negotovost hitrosti kroglice Δυ = Δ str/m≈ (ћ /Δ x)/m~ 10 -19 cm/s. Takšna količina je nedosegljiva nobeni meritvi, zato je odstopanje od klasičnega opisa popolnoma nepomembno. Z drugimi besedami, tudi za tako majhno (vendar makroskopsko) kroglo velja koncept trajektorije z visoko stopnjo natančnosti.
Elektron v atomu se obnaša drugače. Groba ocena kaže, da je negotovost hitrosti elektrona, ki se giblje po Bohrovi orbiti vodikovega atoma, primerljiva s samo hitrostjo: Δυ ≈ υ. V tej situaciji ideja o elektronu, ki se giblje po klasični orbiti, izgubi ves pomen. In na splošno, ko se mikrodelci gibljejo v zelo majhnih predelih prostora, se koncept trajektorije izkaže za nevzdržnega.
Hkrati lahko pod določenimi pogoji gibanje celo mikrodelcev obravnavamo klasično, to je kot gibanje po trajektoriji. To se zgodi na primer pri gibanju nabitih delcev v elektromagnetnih poljih (v katodnih ceveh, pospeševalnikih itd.). Ta gibanja lahko obravnavamo klasično, saj so pri njih omejitve zaradi razmerja negotovosti zanemarljive v primerjavi s samimi količinami (koordinatami in gibalno količino).
Eksperiment z razpoko. Relacija negotovosti (3.13.10) se kaže v vsakem poskusu natančnega merjenja položaja ali gibalne količine mikrodelca. In vsakič pridemo do "razočaranja" rezultata: razjasnitev položaja delca vodi do povečanja negotovosti gibalne količine in obratno. Za ponazoritev te situacije razmislite o naslednjem primeru.
Poskusimo določiti koordinato x prosto giblje z zagonom str delcev, ki na svoji poti pravokotno na smer gibanja postavi zaslon z režo širine b(slika 3.13.6). Preden gre delec skozi režo, je njegova gibalna količina projekcija str x ima točno vrednost: str x = 0. To pomeni, da je Δ str x = 0, vendar
Koordinate x delec je glede na (3.13.10) popolnoma negotov: ne moremo reči, sl. 3.13.6.
ali bo delec šel skozi režo.
Če gre delec skozi režo, potem je v ravnini reže koordinata x bo registriran z negotovostjo Δ x ≈ b. V tem primeru se bo zaradi uklona z največjo verjetnostjo delec gibal znotraj kota 2θ, kjer je θ kot, ki ustreza prvemu uklonskemu minimumu. Določen je s pogojem, pod katerim bo razlika valovnih poti od obeh robov reže enaka λ (to je dokazano v valovni optiki):
Zaradi uklona se pojavi negotovost v vrednosti str x - projekcije impulza, katerega širjenje
Glede na to b≈ Δ X in str= 2π ћ /λ., dobimo iz prejšnjih dveh izrazov:
ki je po velikosti skladen z (3.13.10).
Tako poskus določitve koordinate x delcev je dejansko privedlo do pojava negotovosti Δ str v momentu delca.
Analiza številnih situacij, povezanih z meritvami, pokaže, da so meritve v kvantni domeni bistveno drugačne od klasičnih meritev. Za razliko od slednjih obstaja v kvantni fiziki naravna meja natančnosti meritev. To je v sami naravi kvantnih objektov in ga ni mogoče premagati z nobenimi izboljšavami instrumentov in merilnih metod. Razmerje (3.13.10) postavlja eno od teh omejitev. Interakcije med mikrodelcem in makroskopsko merilno napravo ni mogoče narediti tako majhne, kot bi želeli. Merjenje, na primer, koordinat delca neizogibno vodi v načelno neodstranljivo in nenadzorovano popačenje stanja mikrodelca in s tem v negotovost v vrednosti gibalne količine.
Nekaj zaključkov.
Razmerje negotovosti (3.13.10) je ena od temeljnih določb kvantne teorije. Samo to razmerje je dovolj za pridobitev številnih pomembnih rezultatov, zlasti:
1. Stanje, v katerem bi delec miroval, je nemogoče.
2. Pri obravnavanju gibanja kvantnega objekta je v mnogih primerih potrebno opustiti sam koncept klasične trajektorije.
3. Delitev celotne energije pogosto izgubi smisel E delec (kot kvantni objekt) na potencial U in kinetično K. Pravzaprav prvi, tj. U, odvisno od koordinat, drugo pa od zagona. Te iste dinamične spremenljivke ne morejo imeti določene vrednosti hkrati.
Domov > DelavnicaValovne lastnosti mikrodelcev.
Razvoj idej o korpuskularno-valovnih lastnostih snovi je prejel v hipotezi o valovni naravi gibanja mikrodelcev. Louis de Broglie je iz ideje o simetriji v naravi za delce snovi in svetlobe vsakemu mikrodelcu pripisal določen notranji periodični proces (1924). S kombinacijo formul E = hν in E = mc 2 je dobil razmerje, ki kaže, da ima vsak delec svojo valovno dolžino: λ B = h/mv = h/p, kjer je p moment valovnega delca. Na primer, za elektron z energijo 10 eV je de Brogliejeva valovna dolžina 0,388 nm. Kasneje je bilo dokazano, da lahko stanje mikrodelca v kvantni mehaniki opišemo z določeno kompleksno valovno funkcijo koordinat Ψ(q), kvadrat modula te funkcije pa |Ψ| 2 določa verjetnostno porazdelitev vrednosti koordinat. To funkcijo je v kvantno mehaniko prvi uvedel Schrödinger leta 1926. Tako de Brogliejev val ne prenaša energije, temveč le odraža »fazno porazdelitev« nekega verjetnostnega periodičnega procesa v prostoru. Posledično je opis stanja objektov v mikrosvetu verjetnostne narave, za razliko od objektov v makrosvetu, ki jih opisujejo zakoni klasične mehanike, da bi dokazal de Brogliejevo valovno naravo mikrodelcev, nemški fizik Elsasser je predlagal uporabo kristalov za opazovanje elektronske difrakcije (1925). V ZDA sta K. Davisson in L. Germer odkrila pojav difrakcije, ko elektronski žarek prehaja skozi kristalno ploščo niklja (1927). Neodvisno od njiju sta uklon elektronov pri prehodu skozi kovinsko folijo odkrila J.P. Thomson v Angliji in P.S. Tartakovski v ZSSR. Tako je de Brogliejeva ideja o valovnih lastnostih snovi našla eksperimentalno potrditev. Kasneje so bile uklonske in s tem valovne lastnosti odkrite v atomskih in molekularnih žarkih. Ne le fotoni in elektroni, tudi vsi mikrodelci imajo korpuskularno-valovne lastnosti. Odkritje valovnih lastnosti mikrodelcev je pokazalo, da sta bili z vidika klasične fizike taki obliki snovi, kot sta polje (zvezna) in snov (diskretna). ki veljajo za kvalitativno različne, lahko pod določenimi pogoji kažejo lastnosti, ki so značilne za obe obliki. To govori o enotnosti teh oblik materije. Popoln opis njihovih lastnosti je mogoč le na podlagi nasprotujočih si, vendar komplementarnih idej.Elektronska difrakcija.
Za pridobivanje spektra svetlobnih valov in določanje njihove valovne dolžine se uporablja uklonska rešetka. Je zbirka velikega števila ozkih rež, ločenih z neprozornimi prostori, na primer steklena plošča s praskami (potezi). Tako kot pri dveh režah (glej laboratorijsko delo 2) bo ob prehodu ravnega monokromatskega valovanja skozi takšno rešetko vsaka reža postala vir sekundarnih koherentnih valov, zaradi dodajanja katerih se bo pojavil interferenčni vzorec. Pogoj za pojav interferenčnih maksimumov na zaslonu, ki se nahaja na razdalji L od uklonske rešetke, je določen z razliko poti med valovi iz sosednjih rež. Če je na opazovalni točki razlika v poti enaka celemu številu valov, se bodo le-ti ojačali in opazen bo maksimum interferenčnega vzorca. Razdalja med maksimuma za svetlobo določene valovne dolžine λ je določena s formulo: h 0 = λL/d. Vrednost d imenujemo perioda mreže in je enaka vsoti širin prosojnih in neprozornih rež. Za opazovanje uklona elektronov se kovinski kristali uporabljajo kot naravna uklonska mreža. Perioda d takšne naravne uklonske rešetke ustreza karakteristični razdalji med atomi kristala. Diagram naprave za opazovanje elektronske difrakcije je prikazan na sliki 1. Prehod skozi potencialno razliko U med katodo in anodo. elektroni pridobijo kinetično energijo E kin. = Ue, kjer je e naboj elektrona. Iz formule za kinetično energijo E kin. = (m e v 2)/2 lahko najdete hitrost elektrona: . Če poznamo maso elektrona m e, lahko določimo njegov zagon in s tem de Broglievo valovno dolžino.
Z uporabo iste sheme je bil v tridesetih letih prejšnjega stoletja ustvarjen elektronski mikroskop, ki je zagotavljal 10 6-kratno povečavo. Namesto svetlobnih valov uporablja valovne lastnosti žarka elektronov, pospešenih do visokih energij v globokem vakuumu. Preučevali so bistveno manjše objekte kot s svetlobnim mikroskopom, izboljšanje ločljivosti pa je bilo tisočkratno. V ugodnih pogojih je mogoče fotografirati tudi posamezne velike atome, najbližje možne dele objekta, velikega okoli 10 -10 m. Brez tega bi bilo težko nadzorovati napake v mikrovezjih, pridobivati čiste snovi, razvijati mikroelektroniko. , molekularna biologija itd.
Laboratorijsko delo št. 7. Postopek za opravljanje dela.
Odprite delovno okno.
A). S premikanjem drsnika na desni strani delovnega okna nastavimo poljubno vrednost pospeševalne napetosti U ( Dokler ne premaknete drsnika, bodo gumbi neaktivni!!!) in zapišite te vrednosti. Kliknite gumb Začetek. Na zaslonu delovnega okna opazujte, kako se pojavi interferenčni vzorec med uklonom elektronov na kovinski foliji. Upoštevajte, da so elektroni, ki zadenejo različne točke na zaslonu, naključni, vendar je verjetnost, da bodo elektroni zadeli določena področja zaslona, enaka nič, druga področja pa so različna od nič. Zato se pojavi interferenčni vzorec. Počakajte, da se na zaslonu jasno prikažejo koncentrični krogi interferenčnega vzorca, in pritisnite gumb Test. Pozor! Dokler interferenčni vzorec ne postane dovolj jasen, bo gumb Test neaktiven. Aktiven bo potem, ko miškin kazalec, ko lebdi nad tem gumbom, spremeni videz iz puščice v roko!!! Na zaslonu se prikaže grafični prikaz verjetnosti porazdelitve elektronov vzdolž osi x, ki ustreza interferenčnemu vzorcu. Povlecite merilno ravnilo na območje grafa. Z desnim gumbom miške povečajte graf in določite razdaljo med dvema skrajnima interferenčnima maksimumoma natančno na desetinke milimetra. Zapišite to vrednost. Če to vrednost delite s 4, dobite razdaljo h 0 med maksimumoma interferenčnega vzorca. Zapišite. Z desnim gumbom miške povrnite sliko v prvotno stanje. S pomočjo formul v teoretičnem delu določite de Broglievo valovno dolžino. Nadomestite to vrednost v testno okno in kliknite gumb Preverite Prav!!! B). S pomočjo formul v teoretičnem delu s pospeševalno napetostjo poiščite hitrost elektronov in jo zapišite. Nadomestite to vrednost v testno okno in kliknite gumb Preverite. Če so izračuni opravljeni pravilno, se prikaže napis Prav!!! Izračunajte gibalno količino elektrona in uporabite de Brogliejevo formulo za iskanje valovne dolžine. Primerjajte dobljeno vrednost z vrednostjo, ugotovljeno iz interferenčnega vzorca. IN). Spremenite napetost in pritisnite gumb Test ponovite točke A in B. Pokažite rezultate testov svojemu učitelju. Na podlagi rezultatov meritev naredite tabelo:| Hitrost elektrona v | Zagon elektrona str | ||||
Laboratorijsko delo št. 7. Obrazec za poročilo.
Naslov navaja:
IME LABORATORIJSKEGA DELA
telovadba. Elektronska difrakcija.
A). Najdena razdalja h 0 . Izračun valovne dolžine λ.
B). Izračuni hitrosti, gibalne količine in valovne dolžine elektronov.
IN). Ponovi predmete A in B.Tabela z rezultati:
| h 0 (razdalja med maksimuma) | Hitrost elektrona v | Zagon elektrona str | |||
G). Analiza rezultatov. Odgovori na vprašanja.
D). Določanje valovne dolžine de Broglie za avto. Odgovori na vprašanja. Sklepi.
1. Kaj je bistvo hipoteze Louisa de Broglieja?
2. Kateri poskusi so potrdili to hipotezo?
3. Kakšna je specifičnost opisovanja stanja predmetov mikrosveta v nasprotju z opisovanjem predmetov makrosveta?
4. Zakaj je odkritje valovnih lastnosti v mikrodelcih skupaj z manifestacijo korpuskularnih lastnosti v elektromagnetnem valovanju (svetlobi) omogočilo govoriti o valovno-korpuskalnem dualizmu snovi? Razložite bistvo teh idej.
5. Kako je de Brogliejeva valovna dolžina odvisna od mase in hitrosti mikrodelca?
6. Zakaj makro objekti nimajo valovnih lastnosti?
Laboratorijsko delo št. 8. OPIS
Fotonska difrakcija. Razmerje negotovosti.
Delovno okno
Pogled delovnega okna je prikazan na sl. 1.1. Delovno okno prikazuje model uklona fotona. Testni gumbi se nahajajo v spodnjem desnem delu okna. Izračunane parametre vnesemo v okno pod testnimi gumbi. V zgornjem položaju stikala je to negotovost gibalne količine fotona, v spodnjem položaju pa produkt negotovosti gibalne količine in negotovosti koordinate x. V spodnjih oknih se beleži število pravilnih odgovorov in število poskusov. S premikanjem drsnikov lahko spremenite valovno dolžino fotona in velikost reže.
Slika 1.1.
Za merjenje razdalje od maksimuma do minimuma uklonskega vzorca se uporablja drsnik, ki se nahaja desno od okna modela. Meritve se izvajajo za več velikosti rež. Sistem testiranja beleži število pravilno podanih odgovorov in skupno število poskusov.
Laboratorijsko delo št. 8. Teorija
Razmerje negotovosti.
NAMEN DELA: Na primeru fotonske difrakcije študentom predstaviti odnos negotovosti. Z uporabo modela uklona fotona na reži jasno pokažite, da čim natančneje je določena x koordinata fotona, manj natančno je določena vrednost projekcije njegove količine p x.
Razmerje negotovosti
Leta 1927 je W. Heisenberg odkril t.i odnosi negotovosti, po katerem so negotovosti koordinat in momentov med seboj povezane z razmerjem:
, Kje 
, h Planckova konstanta. Edinstvenost opisa mikrosveta je v tem, da mora biti produkt negotovosti (natančnosti določitve) položaja Δx in negotovosti (natančnosti določitve) gibalne količine Δp x vedno enak ali večji od konstante, ki je enaka – . Iz tega sledi, da mora zmanjšanje ene od teh količin povzročiti povečanje druge. Znano je, da je vsaka meritev povezana z določenimi napakami, z izboljšavo merilnih inštrumentov pa je možno zmanjšati napake, torej povečati natančnost meritev. Toda Heisenberg je pokazal, da obstajajo konjugirane (dodatne) značilnosti mikrodelca, katerih natančno sočasno merjenje je načeloma nemogoče. Tisti. negotovost je lastnost samega stanja, ni povezana s točnostjo naprave za druge konjugirane količine - energijo E in čas t razmerje je: 
. To pomeni, da v značilnem času razvoja sistema Δ t, napaka pri določanju njegove energije ne more biti manjša od 
. Iz tega razmerja sledi, da lahko tako imenovani virtualni delci nastanejo iz nič za čas, krajši od 
in ima energijo Δ E. V tem primeru zakon o ohranitvi energije ne bo kršen. Vakuum torej po sodobnih pojmovanjih ni praznina, v kateri ni polj in delcev, temveč fizična entiteta, v kateri se nenehno pojavljajo in izginjajo virtualni delci. Eden od osnovnih principov kvantne mehanike je načelo negotovosti, ki ga je odkril Heisenberg. Pridobivanje informacij o nekaterih količinah, ki opisujejo mikroobjekt, neizogibno povzroči zmanjšanje informacij o drugih količinah poleg prve. Instrumenti, ki beležijo količine, povezane z razmerji negotovosti, so različnih vrst; med seboj se dopolnjujejo. Z merjenjem v kvantni mehaniki razumemo vsak proces interakcije med klasičnimi in kvantnimi objekti, ki se pojavi poleg in neodvisno od katerega koli opazovalca.Če v klasični fiziki meritev ni motila samega objekta, potem v kvantni mehaniki vsaka meritev uniči objekt, uniči njegovo valovno funkcijo. Za novo meritev je treba objekt ponovno pripraviti. V zvezi s tem je N. Bohr predlagal pnačelo komplementarnosti, katerega bistvo je, da je za popoln opis predmetov mikrosveta potrebno uporabiti dve nasprotni, a komplementarni predstavitvi. Fotonska difrakcija kot ponazoritev odnosa negotovosti
Z vidika kvantne teorije lahko svetlobo obravnavamo kot tok svetlobnih kvantov – fotonov. Ko se monokromatski ravninski val svetlobe ukloni na ozki reži, vsak foton, ki gre skozi režo, zadene določeno točko na zaslonu (slika 1.). Nemogoče je natančno napovedati, kam bo foton zadel. Vendar pa v agregatu, ko fotoni zadenejo različne točke na zaslonu, dajo uklonski vzorec. Ko gre foton skozi režo, lahko rečemo, da je njegova koordinata x določena z napako Δx, ki je enaka velikosti reže. Če je fronta ravnega monokromatskega vala vzporedna z ravnino zaslona z režo, ima vsak foton gibalno količino, usmerjeno vzdolž osi z, pravokotno na zaslon. Če poznamo valovno dolžino, lahko ta impulz natančno določimo: p = h/λ.
Vendar pa se po prehodu skozi režo smer impulza spremeni, zaradi česar opazimo uklonski vzorec. Modul impulza ostane konstanten, saj se med uklonom svetlobe valovna dolžina ne spremeni. Do odstopanja od prvotne smeri pride zaradi pojava komponente Δp x vzdolž osi x (slika 1.). Vrednosti te komponente za vsak tekmovalni foton ni mogoče določiti, vendar njena največja absolutna vrednost določa širino 2S uklonskega vzorca. Največja vrednost Δp x je merilo negotovosti momenta fotona, ki nastane pri določanju njegovih koordinat z napako Δx. Kot je razvidno iz slike, je največja vrednost Δp x enaka: Δp x = psinθ, . če L>> s , potem lahko zapišemo: sinθ =s/ L in Δp x = p(s/ L).
Laboratorijsko delo št. 8. Postopek za opravljanje dela.
Seznanite se s teoretičnim delom dela.
Odprite delovno okno.A). S premikanjem drsnikov na desni strani delovnega okna nastavite poljubne vrednosti za valovno dolžino λ in velikost reže Δx. Zapišite te vrednosti. Kliknite gumb Test. Z desnim gumbom miške povečajte uklonski vzorec. Z drsnikom, ki se nahaja desno od slike uklonskega vzorca, določite največjo razdaljo s, za katero fotoni odstopajo vzdolž osi x in jo zapišite. Z desnim gumbom miške povrnite sliko v prvotno stanje. S pomočjo formul v teoretičnem delu določite Δp x. Nadomestite to vrednost v testno okno in kliknite gumb Preverite. Če so izračuni opravljeni pravilno, se prikaže napis Prav!!!B). Z najdenimi vrednostmi poiščite produkt Δp x Δx. Nadomestite to vrednost v testno okno in kliknite gumb Preverite. Če so izračuni opravljeni pravilno, se prikaže napis Prav!!!.IN). Spremenite velikost reže in pritisnite gumb Test ponovite točke A in B. Pokažite rezultate testov svojemu učitelju. Na podlagi rezultatov meritev naredite tabelo:| Δx (širina reže) | Gibalna količina fotona p | Δp x (izračunano) | ||||
Laboratorijsko delo št. 8. Obrazec za poročilo.
Splošne konstrukcijske zahteve.
Delo se izvaja na listih papirja A4 ali na dvojnih listih zvezka.
Naslov navaja:
Priimek in začetnice študenta, številka skupine
IME LABORATORIJSKEGA DELA
Vsaka laboratorijska naloga je oblikovana kot sklop in mora imeti naslov. Poročilo za vsako nalogo mora odgovoriti na vsa vprašanja in, če je navedeno, podati zaključke in zagotoviti potrebne risbe. Rezultate testnih nalog mora pokazati učitelju. Pri nalogah, ki vključujejo meritve in izračune, je treba navesti podatke o meritvah in podatke o izračunih.
telovadba. Razmerje negotovosti.
A). Vrednosti valovne dolžine λ in velikosti reže Δx. Izmerjena največja razdalja s. Izračuni fotonskega momenta in Δp x.
B). Izračuni produkta Δp x Δx.
IN). Ponovi predmete A in B.Tabela z rezultati:
| Δx (širina reže) | Gibalna količina fotona p | Δp x (izračunano) | ||||
G). Analiza rezultatov. Sklepi. Odgovori na vprašanja.
D). Odgovori na vprašanja.
Testna vprašanja za preverjanje razumevanja teme laboratorijskega dela:
1. Pojasnite, zakaj relacija nedoločenosti implicira nezmožnost hkratnega natančnega določanja konjugiranih količin?
2. Energijski spektri sevanja so povezani s prehodom elektronov z višjih energijskih nivojev na nižje. Ta prehod se zgodi v določenem časovnem obdobju. Ali je mogoče popolnoma natančno določiti energijo sevanja?
3. Razložite bistvo načela negotovosti.
4. Kakšna je vloga naprave v mikrokozmosu?
5. Iz razmerja nedoločenosti razložite, zakaj pri uklonu fotona zmanjšanje velikosti reže povzroči povečanje širine uklonskega vzorca?
6. Razložite bistvo Bohrovega načela komplementarnosti.
7. Kaj je po sodobnih predstavah vakuum?
Laboratorijsko delo št. 9. OPIS
Toplotno gibanje (1)
Delovno okno
Pogled delovnega okna je prikazan na sl. 6.1. Levi del delovnega okna prikazuje model toplotnega gibanja delcev v prostornini, ki je s pregrado razdeljena na dva dela. Z miško lahko particijo premaknemo v levo (s klikom na levi gumb miške na njen zgornji del) ali izbrišemo (s klikom na spodnji del).
R 
Slika 6.1.
Desni del delovnega okna prikazuje: temperaturo (v desnem in levem delu simulirane prostornine), trenutne hitrosti delcev, beleži pa se tudi število trkov delcev v stene med postopkom opazovanja. Gumb Začetek začne se gibanje delcev, pri čemer se začetne hitrosti in lokacije delcev nastavijo naključno. V oknu poleg gumba Začetekštevilo delcev je določeno. Gumb Stop ustavi gibanje. Ko pritisnete gumb Nadaljuj gibanje se nadaljuje in okna za beleženje števila trkov s stenami se počistijo. Uporaba gumba Toplota lahko povečate temperaturo na desni strani simulirane prostornine. Gumb Izključeno izklopi ogrevanje. S stikalom na desni strani gumbov za upravljanje lahko nastavite več različnih načinov delovanja.
Če želite odpreti delujoče okno, kliknite njegovo sliko.
Laboratorijsko delo št. 9. Teorija
4.4.1. De Brogliejeva domneva
Pomembna faza v ustvarjanju kvantne mehanike je bilo odkritje valovnih lastnosti mikrodelcev. Zamisel o lastnostih valov je prvotno kot hipotezo predlagal francoski fizik Louis de Broglie.
Dolga leta je v fiziki prevladovala teorija, da je svetloba elektromagnetno valovanje. Vendar pa je po delu Plancka (toplotno sevanje), Einsteina (fotoelektrični učinek) in drugih postalo očitno, da ima svetloba korpuskularne lastnosti.
Za razlago nekaterih fizikalnih pojavov je treba svetlobo obravnavati kot tok fotonskih delcev. Korpuskularne lastnosti svetlobe ne zavračajo, ampak dopolnjujejo njene valovne lastnosti.
Torej, foton je elementarni delec svetlobe z valovnimi lastnostmi.
Formula za zagon fotona
| . | (4.4.3) |
Po de Broglieju je gibanje delca, na primer elektrona, podobno valovnemu procesu z valovno dolžino λ, definirano s formulo (4.4.3). Ti valovi se imenujejo de Brogliejevi valovi. Posledično lahko delci (elektroni, nevtroni, protoni, ioni, atomi, molekule) kažejo uklonske lastnosti.
K. Davisson in L. Germer sta prva opazovala uklon elektronov na monokristalu niklja.
Lahko se pojavi vprašanje: kaj se zgodi s posameznimi delci, kako nastanejo maksimumi in minimumi med uklonom posameznih delcev?
Poskusi difrakcije elektronskih žarkov zelo nizke intenzivnosti, to je kot posameznih delcev, so pokazali, da se v tem primeru elektron ne "razširja" v različne smeri, ampak se obnaša kot cel delec. Vendar pa je verjetnost odklona elektrona v določenih smereh zaradi interakcije z uklonskim predmetom različna. Najverjetneje bodo elektroni padli na tista mesta, ki po izračunih ustrezajo uklonskim maksimumom, manj verjetno pa bodo padli na mesta minimumov. Tako valovne lastnosti niso lastne le skupini elektronov, ampak tudi vsakemu elektronu posebej.
4.4.2. Valovna funkcija in njen fizikalni pomen
Ker je mikrodelec povezan z valovnim procesom, ki ustreza njegovemu gibanju, je stanje delcev v kvantni mehaniki opisano z valovno funkcijo, ki je odvisna od koordinat in časa: .
Če je polje sile, ki deluje na delec, stacionarno, to je neodvisno od časa, potem lahko ψ-funkcijo predstavimo kot produkt dveh faktorjev, od katerih je eden odvisen od časa, drugi pa od koordinat:
To implicira fizični pomen valovne funkcije:
4.4.3. Razmerje negotovosti
Ena od pomembnih določb kvantne mehanike so razmerja negotovosti, ki jih je predlagal W. Heisenberg.
Naj se hkrati meri položaj in gibalna količina delca, medtem ko sta netočnosti pri določanju abscisne osi in projekciji gibalne količine na os abscise enake Δx oziroma Δр x.
V klasični fiziki ni nobenih omejitev, ki bi prepovedovale sočasno merjenje ene in druge količine, to je Δx→0 in Δр x→ 0, s katero koli stopnjo natančnosti.
V kvantni mehaniki je situacija bistveno drugačna: Δx in Δр x, ki ustrezata hkratni določitvi x in р x, sta povezana z odvisnostjo
Pokličemo formule (4.4.8), (4.4.9). odnosi negotovosti.
Razložimo jih z enim modelnim poskusom.
Pri preučevanju pojava uklona je bilo opozorjeno na dejstvo, da zmanjšanje širine reže med uklonom povzroči povečanje širine osrednjega maksimuma. Podoben pojav se bo zgodil med uklonom elektronov na reži v modelnem poskusu. Zmanjšanje širine reže pomeni zmanjšanje Δ x (slika 4.4.1), kar vodi do večjega »razmazovanja« elektronskega curka, to je do večje negotovosti v gibalni količini in hitrosti delcev.
riž. 4.4.1 Razlaga relacije negotovosti.
Razmerje negotovosti je mogoče predstaviti kot
| , | (4.4.10) |
kjer je ΔE negotovost energije določenega stanja sistema; Δt je časovno obdobje, v katerem obstaja. Razmerje (4.4.10) pomeni, da krajša kot je življenjska doba katerega koli stanja sistema, bolj negotova je njegova energijska vrednost. Energijske stopnje E 1, E 2 itd. imajo določeno širino (slika 4.4.2)), odvisno od časa, ko sistem ostane v stanju, ki ustreza tej ravni.
riž. 4.4.2 Energijske ravni E 1, E 2 itd. imeti nekaj širine.
"Zamegljenost" nivojev vodi do negotovosti v energiji ΔE oddanega fotona in njegovi frekvenci Δν, ko sistem prehaja iz enega energijskega nivoja v drugega:
,
kjer je m masa delca; ; E in E n sta njegova skupna in potencialna energija (potencialna energija je določena s poljem sile, v katerem se delec nahaja, in za stacionarni primer ni odvisna od časa)
Če se delec giblje le vzdolž določene premice, na primer vzdolž osi OX (enodimenzionalni primer), potem je Schrödingerjeva enačba bistveno poenostavljena in ima obliko
 | (4.4.13) |
Eden najpreprostejših primerov uporabe Schrödingerjeve enačbe je reševanje problema gibanja delcev v enodimenzionalni potencialni jami.
4.4.5. Uporaba Schrödingerjeve enačbe na vodikov atom. Kvantna števila
Opisovanje stanj atomov in molekul s pomočjo Schrödingerjeve enačbe je precej težka naloga. Najenostavneje jo rešimo za en elektron, ki se nahaja v polju jedra. Takšni sistemi ustrezajo atomu vodika in vodiku podobnim ionom (enojno ioniziran atom helija, dvojno ioniziran atom litija itd.). Vendar je tudi v tem primeru rešitev problema kompleksna, zato se bomo omejili le na kakovosten prikaz problematike.
Najprej je treba potencialno energijo nadomestiti s Schrödingerjevo enačbo (4.4.12), ki je za dva medsebojno delujoča točkasta naboja - e (elektron) in Ze (jedro) - ki se nahajata na razdalji r v vakuumu, izražena kot sledi:
Ta izraz je rešitev Schrödingerjeve enačbe in popolnoma sovpada z ustrezno formulo Bohrove teorije (4.2.30)
Slika 4.4.3 prikazuje ravni možnih vrednosti celotne energije atoma vodika (E 1, E 2, E 3 itd.) In graf potencialne energije E n glede na razdaljo r med elektronom in jedro. Ko se glavno kvantno število n poveča, se r poveča (glej 4.2.26), skupna (4.4.15) in potencialna energija pa težita k ničli. Tudi kinetična energija teži k ničli. Osenčeno območje (E>0) ustreza stanju prostega elektrona.
riž. 4.4.3. Prikazane so ravni možnih vrednosti skupne energije vodikovega atoma
in graf potencialne energije v odvisnosti od razdalje r med elektronom in jedrom.
Drugo kvantno število je orbitalni l, ki za dani n lahko zavzame vrednosti 0, 1, 2, ...., n-1. To število označuje orbitalni kotni moment Li elektrona glede na jedro:
Četrto kvantno število je vrtenje m s. Lahko sprejme samo dve vrednosti (±1/2) in označuje možne vrednosti projekcije spina elektrona:
| .(4.4.18) |
Stanje elektrona v atomu z danima n in l je označeno na naslednji način: 1s, 2s, 2p, 3s itd. Tukaj številka označuje vrednost glavnega kvantnega števila, črka pa orbitalno kvantno število: simboli s, p, d, f ustrezajo vrednostim l = 0, 1, 2. 3 itd.
Pomanjkljivosti Bohrove teorije so pokazale na potrebo po reviziji temeljev kvantne teorije in idej o naravi mikrodelcev (elektronov, protonov itd.). Postavljalo se je vprašanje, kako celovita je predstavitev elektrona v obliki majhnega mehanskega delca, za katerega so značilne določene koordinate in določena hitrost.
Vemo že, da je v optičnih pojavih opaziti nekakšen dualizem. Poleg pojavov difrakcije in interference (valovni pojavi) opazimo tudi pojave, ki označujejo korpuskularno naravo svetlobe (fotoelektrični učinek, Comptonov učinek).
Leta 1924 je Louis de Broglie domneval, da dualizem ni lastnost samo optičnih pojavov ,vendar ima univerzalni značaj. Delci snovi imajo tudi valovne lastnosti .
»V optiki,« je zapisal Louis de Broglie, »je bila celo stoletje korpuskularna metoda preiskovanja preveč zapostavljena v primerjavi z valovno; ali ni bila nasprotna napaka storjena v teoriji materije?" Ob predpostavki, da imajo delci snovi poleg korpuskularnih lastnosti tudi valovne lastnosti, je de Broglie na primer delcev snovi prenesel enaka pravila prehoda iz ene slike v drugo, kot veljajo za svetlobo.
Če ima foton energijo in zagon, ima delec (na primer elektron), ki se giblje z določeno hitrostjo, valovne lastnosti, tj. gibanje delca lahko obravnavamo kot gibanje valovanja.
Po kvantni mehaniki prosto gibanje delca z maso m in zagon (kjer je υ hitrost delca) lahko predstavimo kot ravninski monokromatski val ( de Brogliejev val) z valovno dolžino
| (3.1.1) |
ki se širi v isto smer (na primer v smeri osi X), v katerem se delec giblje (slika 3.1).
Odvisnost valovne funkcije od koordinate X je podana s formulo
| , | (3.1.2) |
Kje - valovno število ,A valovni vektor usmerjen proti širjenju valovanja ali vzdolž gibanja delca:
| . | (3.1.3) |
torej monokromatski val valovni vektor povezana s prosto gibljivim mikrodelcem, sorazmerna z njeno gibalno količino ali obratno sorazmerna z valovno dolžino.
Ker je kinetična energija razmeroma počasi premikajočega se delca , lahko valovno dolžino izrazimo tudi z energijo:
| . | (3.1.4) |
Ko delec interagira z nekim predmetom - s kristalom, molekulo itd. – njegova energija se spremeni: doda se ji potencialna energija te interakcije, kar povzroči spremembo gibanja delca. V skladu s tem se spremeni narava širjenja valov, povezanih z delci, in to se zgodi v skladu z načeli, ki so skupna vsem valovnim pojavom. Zato se osnovni geometrijski vzorci uklona delcev ne razlikujejo od vzorcev uklona katerega koli valovanja. Splošni pogoj za uklon valov katere koli narave je sorazmernost dolžine vpadnega vala λ z razdaljo d med sipalnimi centri: .
Hipoteza Louisa de Broglieja je bila revolucionarna celo za tisti revolucionarni čas v znanosti. Vendar so jo kmalu potrdili številni poskusi.
