Šta znači površina? Koja geometrijska figura ima najmanju površinu? Pogledajte šta je “površina” u drugim rječnicima
Odnos volumena i površine bilo kojeg fizičkog tijela. Jedna od najvažnijih inženjerskih tehnika.
Zamislite kocku s dužinom ivice od 1 metar (1 centimetar, 1 stopa, 1 inč ili 1 "šta god želite"), tada će postojati metar - radi jednostavnosti. Zapremina ove kocke je 1 m3. Svaka strana ima površinu od 1 m2, a cijela površina ove kocke je 6 m2 - ima šest stranica. Odnos zapremine i površine je 1:6 = 1/6 (sada i kasnije - bez uzimanja u obzir dimenzija).
Sada zamislite kocku sa stranicom od 3 m. Zapremina ove kocke je 27 m 3 (3x3x3). Svaka strana ima površinu od 9 m2, a ukupna površina ove kocke je 54 m2. Odnos zapremine i površine je 27:54 = 1/2 = 3/6.
To jest, s povećanjem linearne veličine za 3 puta, površina se povećala za 9 puta, ali se volumen povećao za 27 puta. Omjer volumena i površine povećan je za 3 puta.
Donja tabela prikazuje proračune za kocke kada se udvostručuje linearna veličina korak po korak:
Table. Poređenje dinamike površine i volumena fizičkog tijela s povećanjem linearne veličine.
| Linearna veličina (m) | Površina (m2) | Zapremina, m3) |
Odnos zapremine i površine |
|
0,17 |
|||
|
0,33 |
|||
|
0,67 |
|||
|
1,33 |
|||
|
2,67 |
|||
|
5,33 |
|||
|
10,67 |
|||
|
21,33 |
|||
|
42,67 |
|||
|
85,33 |
Kako se linearna veličina povećava, volumen se povećava mnogo brže od površine tijela, jer je volumen proporcionalan kocki linearne veličine, a površina proporcionalna kvadratu. Ova činjenica se ne odnosi samo na kubična tijela, već i na bilo koja druga tijela, naravno uz održavanje oblika (ili proporcija, ako želite).
Crtanje. Poređenje dinamike površine i volumena fizičkog tijela s povećanjem linearne veličine.
Neki svakodnevni primjeri važnosti dotične činjenice.1) Prijenos topline je proporcionalan površini. Toplotni kapacitet je zapremina tijela. Iz ove činjenice direktno proizlazi da će većoj zgradi (istog oblika) trebati više vremena da oslobodi toplinu akumuliranu tokom dana (ili se zagrije tokom dana) i da će zahtijevati manje energije po jedinici korisne površine -! Korisna površina je direktno proporcionalna unutrašnjoj zapremini! - za grijanje (klima).
2) Masa (težina) je proporcionalna zapremini nosača. Opterećenje tla - površina. Iz ove činjenice direktno slijedi da za oslonac bilo kojeg oblika postoji veličina, počevši od koje će (a zadržavajući oblik) ići u bilo koje tlo.
3) Dijete ima potpuno drugačiji odnos površina/zapremina od odrasle osobe. Stoga su rizici od hipotermije ili toplotnog udara za dijete nesrazmjerno veći (što se, naravno, dijelom nadoknađuje različitom brzinom metaboličkih procesa kod djece).
Ovo je ukupna površina svih površina figure. Površina kocke jednaka je zbiru površina svih njenih šest strana. Površina je numerička karakteristika površine. Da biste izračunali površinu kocke, morate znati određenu formulu i dužinu jedne od stranica kocke. Da biste brzo izračunali površinu kocke, morate zapamtiti formulu i sam postupak. U nastavku ćemo detaljno razmotriti postupak izračunavanja. ukupna površina kocke i dati konkretne primjere.
Izvodi se prema formuli SA = 6a 2. Kocka (pravilni heksaedar) je jedan od 5 tipova pravilnih poliedara, koji je pravilan pravougaoni paralelepiped, kocka ima 6 lica, svaka od ovih lica je kvadrat.
Za izračunavanje površine kocke Treba da zapišete formulu SA = 6a 2. Pogledajmo sada zašto ova formula izgleda ovako. Kao što smo ranije rekli, kocka ima šest jednakih kvadrata. Na osnovu činjenice da su stranice kvadrata jednake, površina kvadrata je - a 2, gdje je a stranica kocke. Budući da kocka ima 6 jednakih kvadrata, da biste odredili njenu površinu, trebate pomnožiti površinu jednog lica (kvadrata) sa šest. Kao rezultat, dobijamo formulu za izračunavanje površine (SA) kocke: SA = 6a 2, gde je a ivica kocke (strana kvadrata).
Kolika je površina kocke?
Mjeri se u kvadratnim jedinicama, na primjer, mm 2, cm 2, m 2 i tako dalje. Za daljnje proračune morat ćete izmjeriti ivicu kocke. Kao što znamo, ivice kocke su jednake, pa će vam biti dovoljno da izmerite samo jednu (bilo koju) ivicu kocke. Ovo mjerenje možete izvršiti pomoću ravnala (ili mjerne trake). Obratite pažnju na mjerne jedinice na ravnalu ili mjernoj vrpci i zapišite vrijednost, označavajući je sa a.
Primjer: a = 2 cm.
Dobivenu vrijednost u kvadraturu. Tako kvadrirate dužinu ivice kocke. Da biste kvadrirali broj, pomnožite ga sam sa sobom. Naša formula će izgledati ovako: SA = 6*a 2
Izračunali ste površinu jedne od lica kocke.
Primjer: a = 2 cm
a 2 = 2 x 2 = 4 cm 2
Pomnožite rezultirajuću vrijednost sa šest. Ne zaboravite da kocka ima 6 jednakih stranica. Nakon što ste odredili površinu jednog od lica, pomnožite rezultirajuću vrijednost sa 6 tako da sve strane kocke budu uključene u izračun.
Ovdje dolazimo do završne akcije izračunavanje površine kocke.
Primjer: a 2 = 4 cm 2
SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2
Ako je stranica kocke jednaka A, To
zapremina kocke će biti jednaka a 3,
površina jedne strane - a 2, odnosno
površina šest strana (tj. površina kocke) - 6a 2. računamo:
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| S=6a 2 | 6 | 24 | 54 | 96 | 150 | 216 |
| V=a 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| S/V | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
šta vidimo? Kako se veličina kocke povećava (zelena linija), njena površina (žuta linija) se postepeno povećava (od 6 do 216). I volumen kocke (plava linija) također raste (od 1 do 216). Svi rastu, ali zapremina raste brže od površine. To možete provjeriti koristeći crvenu liniju, koja pokazuje omjer površine i volumena: po jedinici zapremine na najmanju kocku moratišest površinskih jedinica, a najveća ima samo jednu.
Kako se to može procijeniti? Zamislite da je svaka jedinica volumena jedna „osoba“, a jedinica površine prozor kroz koji osoba može disati. Onda
- Jedna osoba živi u kocki sa stranom 1, a može disati kroz 6 prozora;
- 8 ljudi živi u kocki sa stranom 2, a dišu kroz 24 prozora (svaki dobija 3);
- 27 ljudi živi u kocki sa stranom 3, a dišu kroz 54 prozora (svaki dobija 2);
Isto za djecu koja ne znaju izračunati površinu i površinu kocke
Mala djeca! Uzmite kocku u svoje ruke. Igrate li se kockama?
Ne! Šta smo mi mali? Igramo SonyPlaystation!
Bravo djeco! Uzeli smo kocke ne da se igramo, nego da učimo biologiju! Zamislite da unutar kocke sjedi mali čovjek, a stranice kocke su prozori kroz koje može provjetriti prostoriju.
Predstavljeno! Cool!
Kocka ima 6 strana, što znači da jedna osoba ima 6 prozora i nije zagušljiva. Sad spojiti dve kocke. Sada ima 2 osobe, a ostalo je 10 prozora, odnosno po 5 za svaki.
Ups! Izvoli!
Sada napravite 4 kocke u kvadrat. Ima 4 osobe, 16 prozora, po 4. A ako stavis drugi sprat, tj. Ako napravite super kocku 2x2x2, onda će biti 8 malih ljudi, i 24 prozora, po 3. Da li mislite da je malim ljudima sve teže da provetravaju svoje sobe?
K – broj kockica, C – broj stranica lijevo
Ova tema je složena i nejasna. Većina mojih učenika to nikada ne shvati – ni do devetog razreda ni do jedanaestog – ali jednostavno zapamtite pravilo: što je organizam veći, njegova površina je relativno manja i obrnuto. Ali bolje je ne trpati, već razumjeti, pa vam toplo preporučujem da uzmete svoje lične kockice (koju još uvijek igrate u tajnosti od svih) i sve sami izračunate. Vrijedi: pravilo omjera zapremine i površine vrlo se često koristi u našoj biološkoj poljoprivredi. Evo nekoliko primjera.
Doktrina mega vrapca
Težina ptice su obimne, pomnoženo sa gustinom, i površina krila - ovo je površina. Iz ovoga postaje jasno da kako se veličina ptice povećava, njena masa (kubična funkcija) će rasti brže od veličine krila (kvadratna funkcija). Sporo rastućim krilima će biti sve teže podići brzo rastuću masu.
Praktični rad: uzmite vrapca i povećajte njegovu dužinu za 10 puta. U ovom slučaju, masa ptice će se povećati za 1000 puta (10 3), a površina krila će se povećati samo za 100 puta (10 2). Dobićemo vrapca koji ne leti, radost svih grabežljivaca u okolini. Da bi naš mega vrabac letio, potreban nam je drugi korak: povećanje površine krila još 10 puta. Biće to lepo stvorenje!
Zašto se debeli ljudi znoje?
Količina toplote koju proizvodi tijelo zavisi od broja ćelija, tj. na jačini zvuka. Toplota se prenosi u okolinu preko površine tijela. Posljedično, s povećanjem veličine tijela, proizvodnja topline (kubična funkcija) raste brže od prijenosa topline (kvadratna funkcija). Stoga je velikim životinjama teško da se ohlade; prijeti im opasnost od pregrijavanja (i obrnuto, male životinje su uvijek u opasnosti od prehlađenja).
Slon sa svojom velikom veličinom ima, sasvim jasno, veoma veliku površinu. Ali u odnosu na zapreminu njegova površina je vrlo mala. Da bi se riješio viška topline, slon koristi svoje ogromne uši. Oni uopće nisu potrebni za dobar sluh (dobar sluh, na primjer, kod grabežljivaca - imaju male uši), već za povećanje površine tijela kroz koju se odvija prijenos topline.
U ovom trenutku djeca pitaju: "U Indiji i Africi, nije li tamo već tako vruće?" Odgovor: nažalost, u našim hladnijim geografskim širinama slon ne bi mogao da nađe dovoljno hrane za sebe (a gde bi se sakrio tokom zime?) Mamuti (rođaci slona, koji žive u nešto hladnijim uslovima) su štedeli toplotu: imali su normalna veličina uši i krzno ( kako i dolikuje sisaru).
Dok sam crtao ovu sliku, moja žena se nekoliko puta žalila da je slon tipičan vanzemaljac, pogledajte ga samo! Zaista, za Ruse je slon sasvim obična životinja, čak i domaća životinja, ali to je isključivo zahvaljujući talentu Korneja Ivanoviča Čukovskog: „A slon je kicoš, žena od sto stopa, a žirafa je važan grof, visok kao telegraf.” (Čukovski K.I. „Krokodil“) Stanovnici drugih zemalja, lišeni Čukovskog, doživljavaju slona potpuno drugačije: „Njegovi noževi su bili poput drveća, uši su mu kleštale kao jedra, duga debla je bila podignuta, poput strašne zmije spremne da skoči, njegov male oči upaljene." (Scrombie S. “Isporuka vrijednog tereta: stručni savjet”)
Ako vas zanima pitanje koji oblik tijela ima najmanju ukupnu površinu, onda morate imati na umu da volumeni tijela koja se porede moraju, naravno, biti isti.
Šta je potrebno za eksperiment?
Da biste sproveli takav istraživački eksperiment, morat ćete, pored malih, jednostavnih lekcija skulpture koje su svakom od vas prilično dostupne, primijeniti znanje o stereometriji. Nadamo se da će vam ova edukativna studija biti korisna i zanimljiva.
Uzmite mali komadić plastelina ili, ako ga nemate, komadić dobro izgnječene gline. Napravite kocku. Pokušajte ga zadržati s jednakim stranicama i pravim uglovima. Izmjerite dužinu njegove ivice i zapišite je.
Zatim od iste kocke formirajte cilindar. Odnos veličine baza i visine nije bitan. Važno je da je to ispravan cilindar. Izmjerite polumjer njegove osnove i visinu, pa i to zapišite.
Od cilindra formirajte loptu. Uz malo truda, možete postići da dobijete pravu loptu. Izmjerite njegov radijus (to se lako radi tako što se probode iglom za pletenje ili ravnom, tvrdom žicom kroz sredinu). Nakon što zapišete polumjer lopte, ako želite, oblikujte druga geometrijska tijela od lopte, na primjer, konus, piramidu i tako dalje.
Rezultati eksperimenta
I tako, zapisali ste veličine različitih geometrijskih tijela. Imaju najrazličitije oblike, ali jedno im je zajedničko - svi imaju iste zapremine. Uostalom, svi su isklesani od jednog komada gline ili plastelina.
S obzirom na prihvaćenu zapreminu plastelina ili gline, na primjer, jedan kubni centimetar, trebali biste, nakon odgovarajućih mjerenja, imati sljedeće približne podatke o ukupnoj površini za različite figure: lopta - 4 kvadratna centimetra; kocka - 6 kvadratnih centimetara; konus - 7 kvadratnih centimetara; cilindar - 8 centimetara kvadratnih.
Zakoni fizike
Kada pušete mehur od sapunice, on je u obliku lopte.
Da li ste tokom leta primetili kapljice rose na listovima biljaka? Postoje kapljice tako male da se ne spljošte pod utjecajem vlastite težine. Izgledaju sferično.
Voda i druge tekućine imaju tanak molekularni film na svojoj površini, nevidljiv za oko. U blizini vode je elastičan. Ova elastična folija uvijek pokušava da se skupi, odnosno da zauzme manje prostora, a pritom formira najmanju moguću površinu. Jeste li već vidjeli da lopta ima najmanju površinu?
Astronauti u bestežinskom stanju mogu posmatrati kako se čak i dio vode koji može stati u čašu topi u zraku u obliku lopte. Na Zemlji se pod uticajem gravitacije voda širi i, da bi se očuvala, sipa se u posude.
Ali na površini prepunjene čaše jasno je vidljiva izbočina nastala vodom. Nevidljivi molekularni film nastoji spriječiti izlijevanje vode. Vodeni film je prilično izdržljiv. Igla pažljivo postavljena na površinu vode će ležati na njoj, lagano pritisnuta, formirajući malu udubinu.
