Welche Zahlenfolgen werden als monoton bezeichnet? Zahlenfolgen

Wenn jede natürliche Zahl n einer reellen Zahl x n zugeordnet ist, dann sagen sie das Gegebene numerische Reihenfolge

x 1 , x 2 , … x n , …

Nummer x 1 wird als Mitglied der Sequenz bezeichnet mit der Nummer 1 oder erster Term in Folge, Nummer x 2 - ein Mitglied der Sequenz mit der Nummer 2 oder das zweite Mitglied der Sequenz usw. Die Zahl x n heißt mitglied der Sequenz mit Nummern.

Es gibt zwei Möglichkeiten, Zahlenfolgen anzugeben - mit und mit wiederkehrende Formel.

Sequenzierung mit gebräuchliche Begriffsformeln Ist eine Sequenzaufgabe

x 1 , x 2 , … x n , …

unter Verwendung einer Formel, die die Abhängigkeit des Terms x n von seiner Zahl n ausdrückt.

Beispiel 1. Nummernfolge

1, 4, 9, … n 2 , …

gegeben mit der allgemeinen Begriff Formel

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Die Sequenzierung unter Verwendung einer Formel, die ein Mitglied der Sequenz x n in Bezug auf die Sequenzelemente mit vorhergehenden Nummern ausdrückt, wird als Sequenzierung unter Verwendung von bezeichnet wiederkehrende Formel.

x 1 , x 2 , … x n , …

namens zunehmende Sequenz, mehr das vorherige Mitglied.

Mit anderen Worten, für alle n

x n + 1 > x n

Beispiel 3. Folge natürlicher Zahlen

1, 2, 3, … n, …

ist ein zunehmende Reihenfolge.

Definition 2. Zahlenfolge

x 1 , x 2 , … x n , …

namens abnehmende Reihenfolge, wenn jedes Mitglied dieser Sequenz weniger das vorherige Mitglied.

Mit anderen Worten, für alle n \u003d 1, 2, 3, ... die Ungleichung

x n + 1 < x n

Beispiel 4. Reihenfolge

gegeben durch die Formel

ist ein absteigende Reihenfolge.

Beispiel 5. Nummernfolge

1, - 1, 1, - 1, …

gegeben durch die Formel

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

ist nicht weder zunehmen noch abnehmen Reihenfolge.

Definition 3. Zunehmende und abnehmende numerische Folgen werden aufgerufen monotone Sequenzen.

Begrenzte und unbegrenzte Sequenzen

Definition 4. Zahlenfolge

x 1 , x 2 , … x n , …

namens von oben begrenzt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass jedes Mitglied dieser Sequenz weniger Zahlen M.

Mit anderen Worten, für alle n \u003d 1, 2, 3, ... die Ungleichung

Definition 5. Numerische Reihenfolge

x 1 , x 2 , … x n , …

namens von unten begrenzt, wenn es eine Zahl m gibt, so dass jedes Mitglied dieser Sequenz mehr Zahlen m.

Mit anderen Worten, für alle n \u003d 1, 2, 3, ... die Ungleichung

Definition 6. Zahlenfolge

x 1 , x 2 , … x n , …

genannt begrenzt, wenn es oben und unten begrenzt.

Mit anderen Worten, es gibt Zahlen M und m, so dass für alle n \u003d 1, 2, 3, ... die Ungleichung

m< x n < M

Definition 7. Numerische Sequenzen, die sind nicht begrenztwerden genannt unbegrenzte Sequenzen.

Beispiel 6. Nummernfolge

1, 4, 9, … n 2 , …

gegeben durch die Formel

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

von unten begrenzt, zum Beispiel die Nummer 0. Diese Reihenfolge jedoch unbegrenzt von oben.

Beispiel 7. Reihenfolge

gegeben durch die Formel

ist ein begrenzte Reihenfolgeweil für alle n \u003d 1, 2, 3, ... die Ungleichung

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Definition 1. Eine Sequenz wird als nicht abnehmend [nicht ansteigend] bezeichnet, wenn jedes Element der Sequenz, beginnend mit dem zweiten, nicht kleiner [nicht mehr als) sein vorheriges Element ist, dh wenn für alle Zahlen die Ungleichung gilt

Definition 2. Eine Sequenz wird als monoton bezeichnet, wenn sie entweder nicht abnimmt oder nicht zunimmt.

Wenn die Elemente einer nicht abnehmenden Folge für alle Zahlen eine strikte Ungleichung erfüllen, wird diese Folge als ansteigend bezeichnet.

In ähnlicher Weise wird diese Sequenz als abnehmend bezeichnet, wenn die Elemente einer nicht ansteigenden Folge für alle Zahlen eine strikte Ungleichung erfüllen.

Beachten Sie, dass jede monotone Sequenz offensichtlich auf einer Seite begrenzt ist (entweder oben oder unten). In der Tat wird jede nicht abnehmende Sequenz von unten begrenzt (der Wert ihres ersten Elements kann als Untergrenze genommen werden), und jede nicht ansteigende Sequenz wird von oben begrenzt (der Wert ihres ersten Elements kann auch als Obergrenze genommen werden).

Daraus folgt, dass eine nicht abnehmende Sequenz auf beiden Seiten begrenzt wird oder einfach nur dann, wenn sie von oben begrenzt wird, und eine nicht zunehmende Sequenz genau dann begrenzt wird, wenn sie von unten begrenzt wird.

Betrachten wir Beispiele für monotone Sequenzen.

1. Die Reihenfolge nimmt nicht ab. Es wird von unten durch den Wert seines ersten Elements begrenzt, aber nicht von oben.

2. Die Sequenz ist absteigend. Es ist beidseitig begrenzt: oben durch den Wert seines ersten Elements 2 und unten beispielsweise durch die Zahl 1.

Definition1. Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend (nicht ansteigend ) wenn für alle
ungleichheit gilt
.

Definition2. Reihenfolge
namens zunehmend (nicht abnehmend ) wenn für alle
ungleichheit gilt
.

Definition3. Abnehmende, nicht zunehmende, zunehmende und nicht abnehmende Sequenzen werden aufgerufen eintönig sequenzen, abnehmende und zunehmende Sequenzen werden auch genannt streng monoton sequenzen.

Offensichtlich ist eine nicht abnehmende Sequenz von unten begrenzt, eine nicht ansteigende Sequenz ist von oben begrenzt. Daher ist jede monotone Sequenz offensichtlich auf einer Seite begrenzt.

Beispiel1. Reihenfolge
nimmt zu, nimmt nicht ab,
nimmt ab
steigt nicht an
- nicht monotone Sequenz.

Für monotone Sequenzen spielt das Folgende eine wichtige Rolle.

Satz1. Wenn eine nicht abnehmende (nicht ansteigende) Sequenz über (unter) begrenzt ist, konvergiert sie.

Beweise... Lass die Sequenz
nimmt nicht ab und ist von oben begrenzt, d.h.
und viele
von oben begrenzt. Nach Satz 1 von § 2 existiert
... Lassen Sie uns das beweisen
.

Lass uns nehmen
willkürlich. Weil das und- genaue Obergrenze, Nummer existiert N. so dass
... Da die Reihenfolge nicht abnimmt, dann für alle
wir haben, d.h.
, damit
für alle
und das bedeutet das
.

Für eine nicht zunehmende Sequenz, die von unten begrenzt wird, ist der Beweis ähnlich zu ( studenten können diese Aussage zu Hause selbst beweisen). Der Satz ist bewiesen.

Kommentar... Satz 1 kann anders formuliert werden.

Satz2. Damit eine monotone Sequenz konvergiert, ist es notwendig und ausreichend, dass sie begrenzt ist.

Die Hinlänglichkeit wurde in Satz 1 festgestellt, die Notwendigkeit - in Satz 2 von § 5.

Die Monotoniebedingung ist nicht erforderlich, damit die Sequenz konvergiert, da die konvergierende Sequenz nicht unbedingt monoton ist. Zum Beispiel die Reihenfolge
nicht monoton, sondern konvergiert gegen Null.

Folge... Wenn die Reihenfolge
nimmt zu (ab) und ist dann oben (unten) begrenzt
(
).

In der Tat nach Satz 1
(
).

Definition4. Wenn und
beim
, dann wird die Sequenz aufgerufen ein Vertragssystem aus verschachtelten Liniensegmenten .

Satz3 (das Prinzip der verschachtelten Liniensegmente). Jedes Vertragssystem verschachtelter Segmente hat darüber hinaus einen einzigartigen Punkt vonZugehörigkeit zu allen Segmenten dieses Systems.

Beweise... Lassen Sie uns beweisen, dass der Punkt vonexistiert. Weil das
dann
und damit die Reihenfolge
nimmt nicht ab, sondern die Reihenfolge
steigt nicht an. Dabei
und
begrenzt seit. Dann existieren nach Satz 1
und
, aber seit
dann
=
... Gefundener Punkt vongehört zu allen Segmenten des Systems, da durch die Folgerung aus Satz 1
,
d.h.
für alle Werte n.

Lassen Sie uns nun zeigen, dass der Punkt von- der Einzige. Angenommen, es gibt zwei solche Punkte: vonund dund für die Bestimmtheit lassen
... Dann das Segment
gehört zu allen Segmenten
d.h.
für alle n, was unmöglich ist, da
und daher ausgehend von einer bestimmten Anzahl,
... Der Satz ist bewiesen.

Es ist zu beachten, dass es hier wesentlich ist, dass geschlossene Intervalle berücksichtigt werden, d.h. Segmente. Wenn wir ein System von Vertragsintervallen betrachten, dann ist das Prinzip im Allgemeinen falsch. Zum Beispiel die Intervalle
offensichtlich auf den Punkt ziehen
aber Punkt
gehört zu keinem Intervall dieses Systems.

Betrachten wir nun Beispiele für konvergierende monotone Sequenzen.

1) Nummer e.

Betrachten Sie nun die Reihenfolge
... Wie verhält sie sich? Base

grad
, damit
? Andererseits,
, und
, damit
? Oder gibt es keine Grenzen?

Betrachten Sie zur Beantwortung dieser Fragen die Hilfssequenz
... Lassen Sie uns beweisen, dass es abnimmt und von unten begrenzt wird. In diesem Fall werden wir brauchen

Lemma... Wenn
dann für alle natürlichen Werte nwir haben

(Bernoulli-Ungleichung).

Beweise... Verwenden wir die Methode der mathematischen Induktion.

Wenn
dann
d.h. Die Ungleichung ist wahr.

Angenommen, es ist wahr für
und beweisen ihre Gültigkeit für
+1.

Recht
... Wir multiplizieren diese Ungleichung mit
:

Auf diese Weise, . Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt die Ungleichung von Bernoulli daher für alle natürlichen Werte n... Das Lemma ist bewiesen.

Lassen Sie uns zeigen, dass die Reihenfolge
nimmt ab. Wir haben

\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulli-Ungleichung ׀
, und das bedeutet, dass die Reihenfolge
nimmt ab.

Die Begrenztheit von unten folgt aus der Ungleichung
\u200c\u200c\u200c׀ Bernoulli-Ungleichung ׀
für alle natürlichen Werte n.

Nach Satz 1 existiert
, was durch den Buchstaben bezeichnet wird e... deshalb
.

Nummer eirrational und transzendent, e\u003d 2.718281828 .... Es ist bekannt als Basis natürlicher Logarithmen.

Bemerkungen... 1) Bernoullis Ungleichung kann verwendet werden, um dies zu beweisen
beim
... In der Tat, wenn
dann
... Dann, durch Bernoullis Ungleichung, z
... Daher bei
wir haben
, also
beim
.

2) Im obigen Beispiel die Basis des Grades tendiert zu 1 und dem Exponenten n- zu Das heißt, es besteht eine Unsicherheit der Form ... Die Unsicherheit dieser Art wird, wie wir gezeigt haben, mit Hilfe der bemerkenswerten Grenze aufgedeckt
.

2)
(*)

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Sequenz konvergiert. Dazu zeigen wir, dass es von unten begrenzt ist und nicht zunimmt. In diesem Fall verwenden wir die Ungleichung
für alle
, was eine Folge der Ungleichheit ist
.

Wir haben
cm. Ungleichung über 
d.h. Die Reihenfolge ist unten durch die Nummer begrenzt
.

Des Weiteren,
 seit

d.h. Die Reihenfolge nimmt nicht zu.

Nach Satz 1 existiert
, die wir bezeichnen x... Gleichstellung (*) bis zur Grenze bei
, wir bekommen

d.h.
wovon
(Wir nehmen das Pluszeichen, da alle Mitglieder der Sequenz positiv sind).

Die Sequenz (*) wird bei der Berechnung verwendet
etwa. Pro nimm eine positive Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel finden
... Lassen
... Dann
,. Auf diese Weise,
.

3)
.

Wir haben
... Weil das
beim
gibt es eine Nummer N., so dass für alle
ungleichheit gilt
... Also die Reihenfolge
ausgehend von einer Zahl N.nimmt ab und ist von unten begrenzt, da
für alle Werte n... Daher existiert nach Satz 1
... Weil das
, wir haben
.

Damit,
.

4)
rechts - n wurzeln.

Lassen Sie uns dies durch mathematische Induktion zeigen
für alle Werte n... Wir haben
... Lassen
... Dann erhalten wir von hier aus die Aussage nach dem Prinzip der mathematischen Induktion. Unter Verwendung dieser Tatsache finden wir, d.h. Reihenfolge
nimmt zu und ist von oben begrenzt. Daher existiert es seitdem
.

Auf diese Weise,
.

Satz von Weierstrass über die Grenze einer monotonen Sequenz

Jede monoton begrenzte Sequenz (x n) hat eine endliche Grenze gleich der exakten Obergrenze, sup (x n) für eine nicht abnehmende und exakte Untergrenze, inf (x n) für eine nicht ansteigende Sequenz.
Jede monotone unbegrenzte Sequenz hat eine unendliche Grenze von plus unendlich für nicht abnehmende und minus unendlich für nicht zunehmende Sequenz.

Beweise

1) nicht abnehmende begrenzte Sequenz.

(1.1) .

Da die Sequenz begrenzt ist, hat sie eine endliche exakte Obergrenze
.
Es bedeutet, dass:

• für alle n,
  (1.2) ;
• für jede positive Zahl gibt es eine solche Zahl in Abhängigkeit von ε, so dass
  (1.3) .

.
Hier haben wir auch (1.3) verwendet. In Kombination mit (1.2) finden wir:
beim.
Seit damals
,
oder
beim.
Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

2) Nun sei die Sequenz nicht zunehmende begrenzte Sequenz:
(2.1) für alle n.

Da die Sequenz begrenzt ist, hat sie eine endliche exakte Untergrenze
.
Dies bedeutet Folgendes:

• für alle n gelten folgende Ungleichungen:
  (2.2) ;
• für jede positive Zahl existiert eine Zahl in Abhängigkeit von ε, für die
  (2.3) .

.
Hier haben wir auch (2.3) verwendet. Unter Berücksichtigung von (2.2) finden wir:
beim.
Seit damals
,
oder
beim.
Dies bedeutet, dass die Anzahl die Grenze der Sequenz ist.
Der zweite Teil des Satzes ist bewiesen.

Betrachten wir nun unbegrenzte Sequenzen.
3) Lass die Sequenz sein unbegrenzte nicht abnehmende Sequenz.

Da die Sequenz nicht abnimmt, gelten die folgenden Ungleichungen für alle n:
(3.1) .

Da die Sequenz nicht abnehmend und unbegrenzt ist, ist sie auf der rechten Seite unbegrenzt. Dann existiert für jede Zahl M eine Zahl, die von M abhängt, für die
(3.2) .

Da die Reihenfolge nicht abnimmt, haben wir für:
.
Hier haben wir auch (3.2) verwendet.

.
Dies bedeutet, dass die Sequenzgrenze plus unendlich ist:
.
Der dritte Teil des Satzes ist bewiesen.

4) Betrachten Sie abschließend den Fall, wann unbegrenzte nicht ansteigende Sequenz.

Ähnlich wie beim vorherigen, da die Sequenz dann nicht zunimmt
(4.1) für alle n.

Da die Sequenz nicht ansteigt und unbegrenzt ist, ist sie auf der linken Seite unbegrenzt. Dann existiert für jede Zahl M eine Zahl, die von M abhängt, für die
(4.2) .

Da die Sequenz nicht ansteigt, haben wir bei:
.

Für jede Zahl M gibt es also eine natürliche Zahl, die von M abhängt, so dass für alle Zahlen die folgenden Ungleichungen gelten:
.
Dies bedeutet, dass die Sequenzgrenze minus unendlich ist:
.
Der Satz ist bewiesen.

Ein Beispiel zur Lösung des Problems

Beweisen Sie mit dem Weierstraß-Theorem die Konvergenz der Sequenz:
, , . . . , , . . .
Dann finde seine Grenze.

Stellen wir die Sequenz in Form von wiederkehrenden Formeln dar:
,
.

Beweisen wir, dass die gegebene Folge von oben durch den Wert begrenzt ist
(W1) .
Wir führen den Beweis nach der Methode der mathematischen Induktion durch.
.
Lassen . Dann
.
Die Ungleichung (A1) ist bewiesen.

Lassen Sie uns beweisen, dass die Sequenz monoton ansteigt.
;
(P2) .
Da sind der Nenner des Bruchs und der erste Faktor im Zähler positiv. Aufgrund der Begrenzung der Mitglieder der Sequenz durch Ungleichung (A1) ist auch der zweite Faktor positiv. deshalb
.
Das heißt, die Reihenfolge nimmt streng zu.

Da die Sequenz von oben zunimmt und begrenzt ist, handelt es sich um eine begrenzte Sequenz. Nach dem Satz von Weierstrass hat es daher eine Grenze.

Lassen Sie uns diese Grenze finden. Bezeichnen wir es mit:
.
Wir werden die Tatsache nutzen, dass
.
Wir wenden dies auf (A2) an, indem wir die arithmetischen Eigenschaften der Grenzen konvergierender Sequenzen verwenden:
.
Die Wurzel erfüllt die Bedingung.