Gleichung der Form tgx. Arc Tangens und Arc Cotangens

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\u003e\u003e Arc Tangens und Arc Cotangens. Lösung der Gleichungen tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Arcustangens und Arcustangens. Lösung der Gleichungen tgx \u003d a, ctgx \u003d a

In Beispiel 2 §16 konnten wir drei Gleichungen nicht lösen:

Wir haben bereits zwei davon gelöst - den ersten in § 17 und den zweiten in § 18, dafür mussten wir die Konzepte einführen arccosin und Arkussinus. Betrachten Sie die dritte Gleichung x \u003d 2.
Die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 2 haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen all dieser Punkte haben die Form - die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden y \u003d 2 mit dem Hauptast des Tangenten (Abb. 90). Für die Zahl x1 haben sich Mathematiker die Notation arctg 2 ausgedacht (lesen Sie "arctangent of two"). Dann können alle Wurzeln der Gleichung x \u003d 2 durch die Formel x \u003d arctg 2 + nk beschrieben werden.
Was ist arctg 2? Dies ist eine Nummer tangente welches gleich 2 ist und welches zum Intervall gehört
Betrachten Sie nun die Gleichung tg x \u003d -2.
Funktionsgraphen haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen all dieser Punkte haben die Form Abszisse des Schnittpunktes der Geraden y \u003d -2 mit dem Hauptast der Tangente. Für die Zahl x 2 haben sich Mathematiker die Notation arctg (-2) ausgedacht. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x \u003d -2 durch die Formel beschrieben werden

Was ist arctg (-2)? Es ist eine Zahl, deren Tangens -2 ist und die zum Intervall gehört. Achten Sie darauf (siehe Abb. 90): x 2 \u003d -x 2. Dies bedeutet, dass arctg (-2) \u003d - arctg 2.
Formulieren wir die allgemeine Definition des Arkustangens.

Definition 1. arctg a (arctangent a) ist eine Zahl aus dem Intervall, dessen Tangens gleich a ist. Damit,

Wir sind jetzt in der Lage, eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung zu ziehen gleichungen x \u003d a: Die Gleichung x \u003d a hat Lösungen

Wir haben oben festgestellt, dass arctg (-2) \u003d -agstg 2. Im Allgemeinen gilt für jeden Wert von a die folgende Formel

Beispiel 1. Berechnung:

Beispiel 2. Löse Gleichungen:

A) Lassen Sie uns eine Lösungsformel zusammenstellen:

Wir können in diesem Fall den Wert des Arkustangens nicht berechnen, daher belassen wir die Lösung der Gleichung in der erhaltenen Form.
Antworten:
Beispiel 3. Lösen Sie Ungleichungen:
Ansichtsungleichheit kann grafisch gelöst werden, indem die folgenden Pläne eingehalten werden
1) konstruiere die Tangente y \u003d tan x und die Gerade y \u003d a;
2) dem Hauptzweig des Tangyisoid ein Intervall der x-Achse zuweisen, in dem die angegebene Ungleichung erfüllt ist;
3) unter Berücksichtigung der Häufigkeit der Funktion y \u003d tg x die Antwort in allgemeiner Form aufschreiben.
Wenden wir diesen Plan auf die Lösung der gegebenen Ungleichungen an.

: a) Konstruieren wir die Graphen der Funktionen y \u003d tanx und y \u003d 1. Auf dem Hauptast der Tangente schneiden sie sich am Punkt

Wählen Sie das Intervall der x-Achse, auf dem sich der Hauptast des Tangenten unterhalb der Geraden y \u003d 1 befindet. Dies ist das Intervall
Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y \u003d tgx schließen wir, dass die angegebene Ungleichung in jedem Intervall der Form erfüllt ist:

Die Vereinigung all dieser Intervalle ist die allgemeine Lösung für die gegebene Ungleichung.
Die Antwort kann anders geschrieben werden:

b) Lassen Sie uns die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d -2 erstellen. Am Hauptast des Tangenten (Abb. 92) schneiden sie sich am Punkt x \u003d arctg (-2).

Wählen Sie das Intervall der x-Achse, auf dem sich der Hauptast des Tangenten befindet

Betrachten Sie eine Gleichung mit tan x \u003d a, wobei a\u003e 0 ist. Die Graphen der Funktionen y \u003d ctg x und y \u003d a haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen all dieser Punkte haben die Form: x \u003d x 1 + nk, wobei x 1 \u003d arcctg a die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden y \u003d a mit dem Hauptast des Tangenten ist (Abb. 93). Daher ist arcctg a eine Zahl, deren Kotangens gleich a ist und die zum Intervall (0, n) gehört; In diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion y \u003d ctg x konstruiert.

In Abb. 93 zeigt auch eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung c1tg \u003d -a. Die Graphen der Funktionen y \u003d ctg x und y \u003d -a haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszisse all dieser Punkte hat die Form x \u003d x 2 + nk, wobei x 2 \u003d arcctg (- a) die Abszisse des Schnittpunktes der Linie y \u003d -a mit der Hauptleitung ist der Tangentialast. Daher ist arcctg (-a) eine Zahl, deren Kotangens -a ist und die zum Intervall (O, n) gehört; In diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion Y \u003d ctg x konstruiert.

Definition 2.arcctg a (Bogen-Kotangens a) ist eine Zahl aus dem Intervall (0, n), dessen Kotangens a ist.
Damit,

Nun können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a ziehen: Die Gleichung ctg x \u003d a hat Lösungen:

Achten Sie darauf (siehe Abb. 93): x 2 \u003d n-x 1. Es bedeutet das

Beispiel 4. Berechnung:

A) Wir setzen

Die Gleichung ctg x \u003d a kann fast immer in die Form transformiert werden. Eine Ausnahme bildet die Gleichung ctg x \u003d 0. Aber in diesem Fall nutzen Sie die Tatsache, dass Sie gehen können
gleichung cos x \u003d 0. Somit ist eine Gleichung der Form x \u003d a von keinem unabhängigen Interesse.

A.G. Mordkovich Algebra Grade 10

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Zu Beginn des Programms hatten die Schüler eine Vorstellung davon, wie trigonometrische Gleichungen gelöst werden können, und lernten die Konzepte des inversen Kosinus und des Arkussinus kennen, Beispiele für Lösungen der Gleichungen cos t \u003d a und sin t \u003d a. In diesem Video-Tutorial sollten Sie die Gleichungen tg x \u003d a und ctg x \u003d a lösen.

Betrachten Sie zu Beginn des Studiums dieses Themas die Gleichungen tg x \u003d 3 und tg x \u003d - 3. Wenn wir die Gleichung tg x \u003d 3 mit einem Graphen lösen, werden wir sehen, dass der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 unendlich viele Lösungen hat. wobei x \u003d x 1 + πk. Der x 1 -Wert ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3. Der Autor führt das Konzept des Arkustangens ein: arctg 3 ist eine Zahl, deren tg 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall von -π / 2 bis π / 2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tg x \u003d 3 als x \u003d Arktan 3 + πk geschrieben werden.

In Analogie wird die Gleichung tg x \u003d - 3 gelöst. Gemäß den konstruierten Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d - 3 ist ersichtlich, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen x \u003d x 2 + πk sind. Mit dem Arkustangens kann die Lösung geschrieben werden als x \u003d Arktan (- 3) + πk. Im nächsten Bild sehen wir, dass Arctan (- 3) \u003d - Arctan 3.

Die allgemeine Definition eines Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von -π / 2 bis π / 2, deren Tangente gleich a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tg x \u003d a x \u003d arctan a + πk.

Der Autor gibt Beispiel 1. Finden Sie die Lösung für den Ausdruck arctg. Lassen Sie uns die Notation einführen: Der Arkustangens einer Zahl ist gleich x, dann ist tg x gleich dieser Zahl, wobei x zum Segment von -π / 2 bis π / 2 gehört. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Nach dieser Tabelle entspricht die Tangente dieser Zahl dem Wert x \u003d π / 3. Schreiben wir die Lösung der Gleichung auf, dass der Arkustangens einer gegebenen Zahl gleich π / 3 ist, π / 3 auch zum Intervall von -π / 2 bis π / 2 gehört.

Beispiel 2 - Berechnen Sie den Arkustangens einer negativen Zahl. Geben Sie mit der Gleichheit arctan (- a) \u003d - arctan a den Wert von x ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x auf, der zum Segment von -π / 2 bis π / 2 gehört. Aus der Wertetabelle ergibt sich, dass x \u003d π / 3, also - tg x \u003d - π / 3. Die Antwort auf die Gleichung lautet - π / 3.

Betrachten Sie Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung tan x \u003d 1. Wir schreiben, dass x \u003d arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert von tg 1 dem Wert x \u003d π / 4, daher ist Arctan 1 \u003d π / 4. Setzen Sie diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben Sie die Antwort x \u003d π / 4 + πk.

Beispiel 4: Berechne tg x \u003d - 4.1. In diesem Fall ist x \u003d Arctan (- 4,1) + πk. weil In diesem Fall ist es nicht möglich, den Wert von Arctan zu finden. Die Antwort sieht wie folgt aus: x \u003d Arctan (- 4,1) + πk.

Beispiel 5 betrachtet die Lösung der Ungleichung tg x\u003e 1. Um sie zu lösen, konstruieren Sie die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 1. Wie Sie in der Abbildung sehen können, schneiden sich diese Graphen an den Punkten x \u003d π / 4 + πk. weil In diesem Fall tg x\u003e 1 wählen wir im Diagramm den Bereich des Tangenten aus, der sich über dem Diagramm y \u003d 1 befindet, wobei x zum Intervall von π / 4 bis π / 2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Als nächstes betrachten wir die Gleichung ctg x \u003d a. Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, die viele Schnittpunkte haben. Lösungen können geschrieben werden als x \u003d x 1 + πk, wobei x 1 \u003d arcctg a und x \u003d x 2 + πk, wobei x 2 \u003d arcctg (- a). Es wird angemerkt, dass x 2 \u003d π - x 1 ist. Dies impliziert die Gleichheit arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Ferner ist die Definition des Bogen-Kotangens gegeben: Der Bogen-Kotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a lautet wie folgt: x \u003d arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen: Der Ausdruck ctg x \u003d a kann in der Form tg x \u003d 1 / a geschrieben werden, vorausgesetzt, a ist nicht gleich Null.

TEXTCODE:

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen tan x \u003d 3 und tan x \u003d - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y \u003d tan x und y \u003d 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, deren Abszissen wir in der Form schreiben

x \u003d x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden y \u003d 3 mit dem Hauptast des Tangenten (Abb. 1) ist, für den die Notation geprägt wurde

arktan 3 (Arkustangens von drei).

Wie verstehst du Arctg 3?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist und die zum Intervall (-;) gehört. Dann können alle Wurzeln der Gleichung tan x \u003d 3 durch die Formel x \u003d arctan 3 + πk geschrieben werden.

In ähnlicher Weise kann die Lösung der Gleichung tan х \u003d - 3 in der Form х \u003d х 2 + πk geschrieben werden, wobei х 2 die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden у \u003d - 3 mit dem Hauptast des Tangenten (Abb. 1) ist, für den die Notation arctan (- 3) (Arkustangens minus drei). Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x \u003d arctan (-3) + πk. Die Abbildung zeigt, dass Arctan (- 3) \u003d - Arctan 3.

Formulieren wir die Definition eines Arkustangens. Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (-;), dessen Tangens gleich a ist.

Gleichheit wird oft verwendet: arctan (-a) \u003d -arctan a, was für jedes a gilt.

In Kenntnis der Definition des Arkustangens ziehen wir eine allgemeine Schlussfolgerung zur Lösung der Gleichung

tg x \u003d a: Die Gleichung tg x \u003d a hat eine Lösung x \u003d arctan a + πk.

Betrachten wir einige Beispiele.

BEISPIEL 1 Berechne arctg.

Entscheidung. Sei arctan \u003d x, dann tgx \u003d und xϵ (-;). Zeigen Sie die Wertetabelle an. Daher ist x \u003d, da tg \u003d und ϵ (-;).

Also arctg \u003d.

BEISPIEL 2. Berechnen Sie Arctan (-).

Entscheidung. Mit der Gleichheit arctan (- a) \u003d - arctan a schreiben wir:

arctg (-) \u003d - arctg. Sei - arctan \u003d x, dann - tgx \u003d und xϵ (-;). Daher ist x \u003d, da tg \u003d und ϵ (-;). Wertetabelle anzeigen

Daher - arctan \u003d - tgх \u003d -.

BEISPIEL 3. Löse die Gleichung tgx \u003d 1.

1. Schreiben wir die Formel für Lösungen auf: х \u003d Arctan 1 + πk.

2. Ermitteln Sie den Wert des Arkustangens

da tg \u003d. Wertetabelle anzeigen

Daher ist arctg1 \u003d.

3. Geben Sie den gefundenen Wert in die Formel für Lösungen ein:

BEISPIEL 4. Löse die Gleichung tgx \u003d - 4.1 (Tangente x ist gleich minus vier ganze ein Zehntel).

Entscheidung. Schreiben wir die Formel für Lösungen auf: x \u003d arctan (- 4.1) + πk.

Wir können den Wert des Arkustangens nicht berechnen, daher belassen wir die Lösung der Gleichung in der erhaltenen Form.

BEISPIEL 5. Löse die Ungleichung tgх 1.

Entscheidung. Wir werden grafisch lösen.

1. Lassen Sie uns einen Tangenten konstruieren

y \u003d tanx und gerade Linie y \u003d 1 (Fig. 2). Sie schneiden sich an Punkten der Form х \u003d + πk.

2. Wählen Sie das Intervall der x-Achse, auf dem sich der Hauptast des Tangenten über der Geraden y \u003d 1 befindet, da durch die Bedingung tgx 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir verwenden die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y \u003d tg x ist eine periodische Funktion mit der Hauptperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y \u003d tgx schreiben wir die Antwort auf:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Wir gehen zur Gleichung ctg x \u003d a über. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Diagramme der Funktionen y \u003d ctg x und y \u003d a und

y \u003d ctg x und y \u003d -a

haben unendlich viele Gemeinsamkeiten, deren Abszissen sind:

x \u003d x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden y \u003d a mit dem Hauptast der Tangente und ist

x 1 \u003d arcсtg a;

x \u003d x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunktes der Linie ist

y \u003d - a mit dem Hauptast des Tangenten und x 2 \u003d arcсtg (- a).

Man beachte, dass x 2 \u003d π - x 1 ist. Schreiben wir also eine wichtige Gleichheit auf:

arcсtg (-а) \u003d π - arcсtg а.

Formulieren wir die Definition: Der Bogen-Kotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a lautet in der Form: x \u003d arcctg a +.

Beachten Sie, dass die Gleichung ctg x \u003d a in die Form transformiert werden kann

tg x \u003d, außer wenn a \u003d 0.

In dieser Lektion werden wir den Arkustangens weiter studieren und Gleichungen der Form tg x \u003d a für jedes a lösen. Zu Beginn der Lektion lösen wir die Gleichung mit einem Tabellenwert und veranschaulichen die Lösung in einem Diagramm und dann in einem Kreis. Dann lösen wir die Gleichung tgx \u003d a in allgemeiner Form und leiten die allgemeine Formel für die Antwort ab. Wir werden die Berechnungen in einem Diagramm und in einem Kreis veranschaulichen und die verschiedenen Formen der Antwort betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige Probleme mit einer Darstellung von Lösungen in einem Diagramm und in einem Kreis lösen.

Thema: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: Arcustangens und Lösen der Gleichung tgx \u003d a (Fortsetzung)

1. Thema der Lektion, Einführung

In dieser Lektion werden wir uns mit dem Lösen einer Gleichung für jeden Real befassen

2. Lösung der Gleichung tgx \u003d √3

Problem 1. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mithilfe von Funktionsgraphen eine Lösung finden (Abb. 1).

Betrachten Sie das Intervall In diesem Intervall ist die Funktion monoton, was bedeutet, dass sie nur für einen Wert der Funktion erreicht wird.

Antworten:

Lösen wir dieselbe Gleichung mit einem Zahlenkreis (Abb. 2).

Antworten:

3. Lösung der Gleichung tgx \u003d a in allgemeiner Form

Lösen wir die Gleichung in allgemeiner Form (Abb. 3).

Auf dem Intervall hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Kleinste positive Periode

Lassen Sie uns einen Zahlenkreis veranschaulichen (Abb. 4).

4. Probleme lösen

Problem 2. Lösen Sie die Gleichung

Ändern Sie die Variable

Aufgabe 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

Am Punkt ist der Wert daher die Lösung des Systems nur der Punkt

Antworten:

Aufgabe 4. Lösen Sie die Gleichung

Lösen wir durch Ändern der Variablen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen für die Gleichung im Intervall

Lösen wir das Problem anhand des Diagramms (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen über ein gegebenes Intervall.

Lassen Sie uns den Zahlenkreis (Abb. 7) veranschaulichen, obwohl dies nicht so klar ist wie in der Grafik.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Schlussfolgerung, Schlussfolgerung

Wir haben die Gleichung für jeden Real mit dem Konzept des Arkustangens gelöst. In der nächsten Lektion werden wir uns mit dem Konzept des Arc Cotangens vertraut machen.

Referenzliste

1. Algebra und Beginn der Analyse, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analyse, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd SI Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit fortgeschrittenem Mathematikstudium) .- M .: Bildung, 1996.

4. Galitsky ML, Moshkovich MM, Shvartsburd SI Fortgeschrittenes Studium der Algebra und der mathematischen Analyse.-M .: Education, 1997.

5. Sammlung von mathematischen Problemen für Bewerber an Hochschulen (unter der Leitung von MI Skanavi) .- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraischer Simulator.-K .: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Probleme in der Algebra und die Prinzipien der Analyse (ein Leitfaden für Schüler der Klassen 10-11 von allgemeinbildenden Einrichtungen) .- M.: Bildung, 2003.

8. Karp AP Sammlung von Problemen zur Algebra und den Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für 10-11 Klassen mit Vertiefung Studie Mathematik.-M .: Bildung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analyse, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Probleme mit dem Internetportal. ru.

3. Bildungsportal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Eine Gleichheit, die ein Unbekanntes im Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthält ("sin x, cos x, tan x" oder "ctg x"), wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und wir werden ihre Formeln weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen heißen "sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a", wobei "x" - der zu findende Winkel, "a" - eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.

1. Gleichung `sin x \u003d a`.

Denn `| a |\u003e 1` hat keine Lösungen.

Für `| a | \\ leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Die Gleichung "cos x \u003d a"

Für `| a |\u003e 1` - wie im Fall von Sinus gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Für `| a | \\ leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: "x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z"

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Grafiken.

3. Die Gleichung "tg x \u003d a"

Hat eine unendliche Anzahl von Lösungen für beliebige Werte von "a".

Wurzelformel: "x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ in Z"

4. Die Gleichung "ctg x \u003d a"

Hat auch eine unendliche Anzahl von Lösungen für beliebige Werte von "a".

Wurzelformel: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Formeln für Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in einer Tabelle

Für Sinus:
Für Kosinus:
Für Tangente und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Die Lösung für jede trigonometrische Gleichung besteht aus zwei Schritten:

• verwenden Sie die Konvertierung in die einfachste;
• lösen Sie die resultierende einfachste Gleichung mit den oben geschriebenen Wurzelformeln und Tabellen.

Schauen wir uns die Beispiele der wichtigsten Lösungsmethoden an.

Algebraische Methode.

Bei dieser Methode erfolgt das Ersetzen und Ersetzen von Variablen durch Gleichheit.

Beispiel. Löse die Gleichung: "2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0"

"2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0",

wir nehmen die Änderung vor: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, dann` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

wir finden die Wurzeln: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. "cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1", "x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n", "x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n".

2. "cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2", "x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n", "x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3-" \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Antwort: "x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n", "x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n".

Faktorisierung.

Beispiel. Löse die Gleichung: "sin x + cos x \u003d 1".

Entscheidung. Verschieben Sie alle Terme der Gleichheit nach links: "sin x + cos x-1 \u003d 0". Verwenden, transformieren und faktorisieren Sie die linke Seite:

"sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0",

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0",

1. "sin x / 2 \u003d 0", "x / 2 \u003d \\ pi n", "x_1 \u003d 2 \\ pi n".
2. "cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0", "tg x / 2 \u003d 1", "x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n", "x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n" , "x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n".

Antwort: "x_1 \u003d 2 \\ pi n", "x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n".

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zunächst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf einen von zwei Typen bringen:

"A sin x + b cos x \u003d 0" (homogene Gleichung ersten Grades) oder "a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0" (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile für den ersten Fall durch "cos x \\ ne 0" und für den zweiten durch "cos ^ 2 x \\ ne 0". Wir erhalten Gleichungen für "tg x": "a tg x + b \u003d 0" und "a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0", die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Löse die Gleichung: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Entscheidung. Schreiben Sie die rechte Seite um als "1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x":

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -" sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0 "

"sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0".

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades. Wir teilen ihre linke und rechte Seite durch `cos ^ 2 x \\ ne 0`. Wir erhalten:

"\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0"

"tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0". Lassen Sie uns die Ersetzung "tg x \u003d t" als Ergebnis "t ^ 2 + t - 2 \u003d 0" einführen. Die Wurzeln dieser Gleichung sind "t_1 \u003d -2" und "t_2 \u003d 1". Dann:

1. "tg x \u003d -2", "x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n", "n \\ in Z"
2. "tg x \u003d 1", "x \u003d arctan 1+ \\ pi n", "x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n", "n \\ in Z".

Antworten. "x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n", "n \\ in Z", "x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n", "n \\ in Z".

Gehe zur halben Ecke

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: "11 sin x - 2 cos x \u003d 10".

Entscheidung. Wenden Sie die Doppelwinkelformeln als Ergebnis an: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0"

Bei Anwendung der obigen algebraischen Methode erhalten wir:

1. "tg x / 2 \u003d 2", "x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n", "n \\ in Z",
2. "tg x / 2 \u003d 3/4", "x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n", "n \\ in Z".

Antworten. "x_1 \u003d 2 Arctan 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z", "x_2 \u003d Arctan 3/4 + 2 \\ pi n", "n \\ in Z".

Führen Sie eine Hilfsecke ein

In der trigonometrischen Gleichung "a sin x + b cos x \u003d c", wobei a, b, c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, teilen wir beide Seiten durch "sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)":

\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x + `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, dh die Summe ihrer Quadrate ist gleich 1 und ihre absoluten Werte sind nicht größer als 1. Wir bezeichnen sie wie folgt: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, dann:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Löse die Gleichung: "3 sin x + 4 cos x \u003d 2".

Entscheidung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, wir erhalten:

\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) + `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5".

Bezeichnen wir "3/5 \u003d cos \\ varphi", "4/5 \u003d sin \\ varphi". Da "sin \\ varphi\u003e 0", "cos \\ varphi\u003e 0", nehmen wir "\\ varphi \u003d arcsin 4/5" als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in die Form:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Unter Anwendung der Formel für die Summe der Winkel für den Sinus schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:

"sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5",

"x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n", "n \\ in Z",

"x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-" arcsin 4/5 + \\ pi n "," n \\ in Z ".

Antworten. "x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-" arcsin 4/5 + \\ pi n "," n \\ in Z ".

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dies sind Gleichheiten mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen haben.

Beispiel. Löse die Gleichung. "\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x".

Entscheidung. Multiplizieren und dividieren Sie die rechte Seite der Gleichheit durch "(1 + cos x)". Als Ergebnis erhalten wir:

\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d" \\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) "

\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)

"\\ frac (sin x) (1 + cos x) -" \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0 "

"\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0"

Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir "1 + cos x \\ ne 0", "cos x \\ ne -1", "x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z".

Setzen Sie den Zähler des Bruchs mit Null gleich: "sin x-sin ^ 2 x \u003d 0", "sin x (1-sin x) \u003d 0". Dann ist "sin x \u003d 0" oder "1-sin x \u003d 0".

1. "sin x \u003d 0", "x \u003d \\ pi n", "n \\ in Z"
2. "1-sin x \u003d 0", "sin x \u003d -1", "x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z".

Unter Berücksichtigung von "x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z" sind die Lösungen "x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z" und "x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n" , `n \\ in Z`.

Antworten. "x \u003d 2 \\ pi n", "n \\ in Z", "x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n", "n \\ in Z".

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik eingesetzt. Das Studium beginnt in der 10. Klasse. Es gibt definitiv Aufgaben für die Prüfung. Versuchen Sie also, sich alle Formeln trigonometrischer Gleichungen zu merken - sie werden auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen. Die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es sich anhört. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.