Beispiele für lineare Gleichungssysteme: Lösungsmethode. Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen Algorithmus zum Lösen einfacher Gleichungen
"Gauß- und Cramer-Methode" - Gauß-Methode. Elementare Transformationen. Teilen wir die erste Gleichung von System (1) durch a11. (fünf). Gauß starb am 23. Februar 1855 in Göttingen. Die Gaußsche Methode ist eine klassische Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Dann werden x2 und x3 in die erste Gleichung eingesetzt und x1 wird gefunden. Lassen Sie den Koeffizienten.
"Gleichungen und Ungleichungen" - Es besteht aus Folgendem: Zeichnen der Graphen zweier Funktionen in dasselbe Koordinatensystem. 4. Grafische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Wurzeln der Gleichung. 3. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung? 2. Ermitteln Sie die Summe der Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Lösung des Systems grafisch. 3. Suchen Sie das Intervall mit der größten Ganzzahl, die die Ungleichung erfüllt.
"Gauß-Markov-Theorem" - Lassen Sie uns beweisen, dass Schätzungen (7.3) unvoreingenommen sind. Bilden wir die Vektoren und die Koeffizientenmatrix basierend auf dem System (7.2). Wenn die Matrix X nicht kollinear ist und der Vektor zufälliger Störungen die folgenden Anforderungen erfüllt: Wobei. (7.7). Um die notwendige Bedingung für ein Extremum zu erhalten, differenzieren wir (7.6) in Bezug auf den Parametervektor.
"Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen" - B. 1. Berechnen Sie: 14. 6. Wie viele Prozent ist die Zahl 8 von ihrem Quadrat? 12. 7. Finden Sie die größte Wurzel der Gleichung. 9. Welche Funktion ist in der Abbildung dargestellt? Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks. %. H. O. B. 15x + 10 (1 - x) \u003d 1.
"Irrationale Gleichung" - Finden Sie den Fehler. Gleichungen, in denen die Variable unter dem Wurzelzeichen enthalten ist, werden als irrational bezeichnet. ? X - 6 \u003d 2? x - 3 \u003d 0? x + 4 \u003d 7? 5 - x \u003d 0? 2 - x \u003d x + 4. PROBLEM: Die Schüler wissen nicht immer, wie sie Informationen über irrationale Gleichungen bewusst verwenden sollen. Ist die Zahl x die Wurzel der Gleichung: a)? x - 2 \u003d & le; 2 - x, x0 \u003d 4 b) & le; 2 - x \u003d & le; x - 2, x0 \u003d 2 c)? x - 5 \u003d? 2x - 13, x0 \u003d 6 d)? 1 - x \u003d? 1 + x, x0 \u003d 0.
"Gleichungen mit einem Parameter lösen" - Lösung. Beispiel. 6. Klasse. Beispiele: In der 5. Klasse können Sie beim Wiederholen der Eigenschaften von Zahlen Beispiele berücksichtigen. Im außerschulischen Mathematikunterricht der 6. Klasse wird die Lösung von Gleichungen mit Parametern der Form berücksichtigt: 1) ax \u003d 6 2) (a - 1) x \u003d 8,3 3) bx \u003d -5. Mit a \u003d -1/2 erhalten wir die Gleichung 0x \u003d 0. Die Gleichung hat eine unendliche Menge von Lösungen.
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Einfach ausgedrückt sind dies Gleichungen, in denen es mindestens eine mit einer Variablen im Nenner gibt.
Zum Beispiel:
\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)
Beispiel nicht gebrochene rationale Gleichungen:
\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)
Wie werden gebrochene rationale Gleichungen gelöst?
Die wichtigste Sache, an die man sich bei rationalen Bruchgleichungen erinnern sollte, ist, in sie zu schreiben. Und nachdem Sie die Wurzeln gefunden haben, überprüfen Sie sie auf Zulässigkeit. Andernfalls können Fremdwurzeln auftreten und die gesamte Entscheidung wird als falsch angesehen.
Algorithmus zur Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung:
Schreiben Sie das DHS auf und „lösen“ Sie es.
Multiplizieren Sie jeden Term in der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner und löschen Sie die resultierenden Brüche. Die Nenner verschwinden.
Schreiben Sie die Gleichung auf, ohne die Klammern zu öffnen.
Lösen Sie die resultierende Gleichung.
Überprüfen Sie die gefundenen Wurzeln mit ODZ.
Notieren Sie als Antwort die Wurzeln, die die Prüfung in Schritt 7 bestanden haben.
Merken Sie sich nicht den Algorithmus, 3-5 gelöste Gleichungen - und er wird von selbst in Erinnerung bleiben.
Beispiel ... Löse gebrochene rationale Gleichung \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)
Entscheidung:
Antworten: \(3\).
Beispiel ... Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung \\ (\u003d 0 \\)
Entscheidung:
|
\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \\)\(=0\) ODZ: \\ (x + 2 ≤ 0 ≤ x ≤ -2 \\) |
Wir schreiben die ODZ auf und "lösen" sie. Erweitern Sie \\ (x ^ 2 + 7x + 10 \\) um die Formel: \\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x_1) (x-x_2) \\). |
|
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\\ (\\ frac (x) (x + 2) + \\ frac (x + 1) (x + 5) - \\ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \\)\(=0\) |
Offensichtlich ist der gemeinsame Nenner der Brüche \\ ((x + 2) (x + 5) \\). Wir multiplizieren die ganze Gleichung damit. |
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\\ (\\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \\ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \\) |
Brüche reduzieren |
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\\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x \u003d 0 \\) |
Erweitern Sie die Klammern |
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\\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x \u003d 0 \\) |
|
Wir geben ähnliche Begriffe |
|
\\ (2x ^ 2 + 9x-5 \u003d 0 \\) |
|
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung |
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\\ (x_1 \u003d -5; \\) \\ (x_2 \u003d \\ frac (1) (2). \\) |
|
Eine der Wurzeln passt nicht zur ODZ, daher schreiben wir nur die zweite Wurzel als Antwort auf. |
Antworten: \\ (\\ frac (1) (2) \\).
Rationale Ausdrücke und rationale Gleichungen
Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.
Was ist rationaler Ausdruck? Dieses Konzept haben wir bereits kennengelernt. Rationale Ausdrücke Ausdrücke werden aufgerufen und bestehen aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen mathematischer Operationen.
Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form:, wobei 
- rationale Ausdrücke.
Früher haben wir nur jene rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren. Betrachten wir nun jene rationalen Gleichungen, die auch auf quadratische reduziert werden können.
Beispiel 1
Löse die Gleichung:.
Entscheidung:
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist.
Wir bekommen folgendes System:
Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung. Teilen wir vor dem Lösen alle Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:
Wir haben zwei Wurzeln:; ...
Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 
... Da keine der obigen Wurzeln der Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die durch Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, sind beide Lösungen für diese Gleichung.
Antworten:.
Algorithmus zur Lösung einer rationalen Gleichung
Formulieren wir also einen Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:
1. Verschieben Sie alle Begriffe auf die linke Seite, um auf der rechten Seite 0 zu erhalten.
2. Transformieren und vereinfachen Sie die linke Seite, bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
3. Der resultierende Bruch ist gemäß dem folgenden Algorithmus gleich 0: 
.
4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.
Ein Beispiel für die Lösung einer rationalen Gleichung
Nehmen wir ein anderes Beispiel.
Beispiel 2
Löse die Gleichung: 
.
Entscheidung
Zu Beginn übertragen wir alle Begriffe auf die linke Seite, sodass 0 auf der rechten Seite bleibt. Wir erhalten:
Nun bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Diese Gleichung entspricht dem System:
Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung.
Koeffizienten dieser Gleichung:. Wir berechnen die Diskriminante:
Wir haben zwei Wurzeln:; ...
Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann nicht gleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.
Es ist notwendig, dass zwei Bedingungen erfüllt sind: 
... Wir erhalten die der beiden Wurzeln der ersten Gleichung, nur eine passt - 3.
Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.
Was ist rationaler Ausdruck? Dieses Konzept haben wir bereits kennengelernt. Rationale Ausdrücke Ausdrücke werden aufgerufen und bestehen aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen mathematischer Operationen.
Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form:, wobei 
- rationale Ausdrücke.
Früher haben wir nur jene rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren. Betrachten wir nun jene rationalen Gleichungen, die auch auf quadratische reduziert werden können.
Beispiel 1
Löse die Gleichung:.
Entscheidung:
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist.
Wir bekommen folgendes System:
Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung. Teilen wir vor dem Lösen alle Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:
Wir haben zwei Wurzeln:; ...
Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 
... Da keine der obigen Wurzeln der Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die durch Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, sind beide Lösungen für diese Gleichung.
Antworten:.
Formulieren wir also einen Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:
1. Verschieben Sie alle Begriffe auf die linke Seite, um auf der rechten Seite 0 zu erhalten.
2. Transformieren und vereinfachen Sie die linke Seite, bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
3. Der resultierende Bruch ist gemäß dem folgenden Algorithmus gleich 0: 
.
4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.
Nehmen wir ein anderes Beispiel.
Beispiel 2
Löse die Gleichung: 
.
Entscheidung
Zu Beginn übertragen wir alle Begriffe auf die linke Seite, sodass 0 auf der rechten Seite bleibt. Wir erhalten:
Nun bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Diese Gleichung entspricht dem System:
Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung.
Koeffizienten dieser Gleichung:. Wir berechnen die Diskriminante:
Wir haben zwei Wurzeln:; ...
Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann nicht gleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.
Es ist notwendig, dass zwei Bedingungen erfüllt sind: 
... Wir erhalten die der beiden Wurzeln der ersten Gleichung, nur eine passt - 3.
Antworten:.
In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren.
In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.
Referenzliste
- Bashmakov M.I. Algebra, Klasse 8. - M.: Bildung, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5. Aufl. - M.: Bildung, 2010.
- Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra, Klasse 8. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. - M.: Bildung, 2006.
- Festival der pädagogischen Ideen "Open Lesson" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Hausaufgaben
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen :
1. Erweitern Sie die Klammern.
2. Sammeln Sie die Begriffe, die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die übrigen Begriffe im anderen. (Ändern Sie beim Übertragen das Vorzeichen in das Gegenteil )
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe in jeden Teil der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten.
(Hinweis: Es gibt häufig Gleichungen, für die einige dieser Schritte nicht erforderlich sind.)
