Was bedeutet Fläche? Welche geometrische Figur hat die kleinste Oberfläche? Sehen Sie in anderen Wörterbüchern nach, was „Oberfläche“ ist
Das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche eines physischen Körpers. Eine der wichtigsten Ingenieurtechniken.
Stellen Sie sich einen Würfel mit einer Kantenlänge von 1 Meter vor (1 Zentimeter, 1 Fuß, 1 Zoll oder 1 „was auch immer Sie wollen“), dann wird es – der Einfachheit halber – ein Meter sein. Das Volumen dieses Würfels beträgt 1 m3. Jede Seite hat eine Fläche von 1 m2 und die gesamte Oberfläche dieses Würfels beträgt 6 m2 – es gibt sechs Seiten. Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche beträgt 1:6 = 1/6 (jetzt und künftig – ohne Berücksichtigung der Abmessungen).
Stellen Sie sich nun einen Würfel mit einer Seitenlänge von 3 m vor. Das Volumen dieses Würfels beträgt 27 m 3 (3x3x3). Jede Seite hat eine Fläche von 9 m2 und die gesamte Oberfläche dieses Würfels beträgt 54 m2. Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche beträgt 27:54 = 1/2 = 3/6.
Das heißt, bei einer Vergrößerung der linearen Größe um das Dreifache vergrößerte sich die Oberfläche um das Neunfache, das Volumen jedoch um das 27-fache. Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche erhöhte sich um das Dreifache.
Die folgende Tabelle zeigt Berechnungen für Würfel bei schrittweiser Verdoppelung der linearen Größe:
Tisch. Vergleich der Dynamik der Oberfläche und des Volumens eines physischen Körpers mit zunehmender linearer Größe.
| Lineare Größe (m) | Fläche (m2) | Volumen, m3) |
Verhältnis von Volumen zu Oberfläche |
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0,17 |
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0,33 |
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0,67 |
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1,33 |
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2,67 |
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5,33 |
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10,67 |
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21,33 |
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42,67 |
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85,33 |
Mit zunehmender linearer Größe nimmt das Volumen viel schneller zu als die Körperoberfläche, da das Volumen proportional zur dritten Potenz der linearen Größe und die Fläche proportional zum Quadrat ist. Diese Tatsache gilt nicht nur für kubische Körper, sondern auch für alle anderen Körper, natürlich unter Beibehaltung der Form (oder der Proportionen, wenn Sie möchten).
Zeichnung. Vergleich der Dynamik der Oberfläche und des Volumens eines physischen Körpers mit zunehmender linearer Größe.
Einige alltägliche Beispiele für die Bedeutung der betreffenden Tatsache.1) Die Wärmeübertragung ist proportional zur Oberfläche. Die Wärmekapazität ist das Volumen des Körpers. Aus dieser Tatsache folgt direkt, dass ein größeres Gebäude (gleicher Form) länger braucht, um die während der Tageslichtstunden angesammelte Wärme abzugeben (oder sich tagsüber aufzuheizen) und weniger Energie pro Einheit nutzbarer Fläche benötigt –! Die nutzbare Fläche ist direkt proportional zum Innenvolumen! - zum Heizen (Klimaanlage).
2) Masse (Gewicht) ist proportional zum Volumen des Trägers. Bodenbelastung – Oberfläche. Aus dieser Tatsache folgt direkt, dass es für eine Stütze beliebiger Form eine Größe gibt, ab der sie (unter Beibehaltung ihrer Form) in jeden Boden passt.
3) Ein Kind hat ein völlig anderes Flächen-Volumen-Verhältnis als ein Erwachsener. Daher ist das Risiko einer Unterkühlung oder eines Hitzschlags für ein Kind unverhältnismäßig höher (was natürlich teilweise durch die unterschiedliche Geschwindigkeit der Stoffwechselprozesse bei Kindern ausgeglichen wird).
Dies ist die Gesamtfläche aller Flächen der Figur. Die Oberfläche eines Würfels ist gleich der Summe der Flächen aller seiner sechs Flächen. Die Oberfläche ist ein numerisches Merkmal einer Oberfläche. Um die Oberfläche eines Würfels zu berechnen, müssen Sie eine bestimmte Formel und die Länge einer der Seiten des Würfels kennen. Damit Sie die Oberfläche eines Würfels schnell berechnen können, müssen Sie sich die Formel und das Verfahren selbst merken. Im Folgenden gehen wir ausführlich auf das Berechnungsverfahren ein. Gesamtoberfläche des Würfels und nennen Sie konkrete Beispiele.
Durchgeführt nach der Formel SA = 6a 2. Ein Würfel (regelmäßiges Hexaeder) ist eine von fünf Arten regelmäßiger Polyeder, bei denen es sich um ein regelmäßiges rechteckiges Parallelepiped handelt. Der Würfel hat 6 Flächen, jede dieser Flächen ist ein Quadrat.
Für Berechnen der Oberfläche eines Würfels Sie müssen die Formel SA = 6a 2 aufschreiben. Schauen wir uns nun an, warum diese Formel so aussieht. Wie bereits erwähnt, hat ein Würfel sechs gleiche quadratische Flächen. Basierend auf der Tatsache, dass die Seiten des Quadrats gleich sind, beträgt die Fläche des Quadrats - a 2, wobei a die Seite des Würfels ist. Da ein Würfel 6 gleiche quadratische Flächen hat, müssen Sie zur Bestimmung seiner Oberfläche die Fläche einer Fläche (Quadrat) mit sechs multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir eine Formel zur Berechnung der Oberfläche (SA) eines Würfels: SA = 6a 2, wobei a die Kante des Würfels (Seite des Quadrats) ist.
Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels?
Sie wird in Quadrateinheiten gemessen, zum Beispiel mm 2, cm 2, m 2 und so weiter. Für weitere Berechnungen müssen Sie die Kante des Würfels messen. Wie wir wissen, sind die Kanten eines Würfels gleich, daher reicht es aus, wenn Sie nur eine (beliebige) Kante des Würfels messen. Diese Messung können Sie mit einem Lineal (oder Maßband) durchführen. Achten Sie auf die Maßeinheiten auf dem Lineal oder Maßband und notieren Sie den Wert, indem Sie ihn mit a bezeichnen.
Beispiel: a = 2 cm.
Quadrieren Sie den resultierenden Wert. Somit quadrieren Sie die Länge der Würfelkante. Um eine Zahl zu quadrieren, multiplizieren Sie sie mit sich selbst. Unsere Formel sieht folgendermaßen aus: SA = 6*a 2
Sie haben die Fläche einer der Seiten eines Würfels berechnet.
Beispiel: a = 2 cm
a 2 = 2 x 2 = 4 cm 2
Multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit sechs. Vergessen Sie nicht, dass ein Würfel 6 gleiche Seiten hat. Nachdem Sie die Fläche einer der Flächen bestimmt haben, multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit 6, sodass alle Flächen des Würfels in die Berechnung einbezogen werden.
Hier kommen wir zur letzten Aktion Berechnen der Oberfläche eines Würfels.
Beispiel: a 2 = 4 cm 2
SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2
Wenn die Seite eines Würfels gleich ist A, Das
das Volumen des Würfels wird gleich sein eine 3,
Fläche einer Seite - eine 2, jeweils,
Fläche von sechs Seiten (d. h. Oberfläche eines Würfels) – 6a 2. Wir zählen:
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| S=6a 2 | 6 | 24 | 54 | 96 | 150 | 216 |
| V=a 3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| S/V | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 |
Was sehen wir? Mit zunehmender Größe des Würfels (grüne Linie) nimmt seine Oberfläche (gelbe Linie) allmählich zu (von 6 auf 216). Und auch das Volumen des Würfels (blaue Linie) wächst (von 1 auf 216). Jeder wächst, aber Das Volumen wächst schneller als die Oberfläche. Sie können dies anhand der roten Linie überprüfen, die das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen anzeigt: pro Volumeneinheit am kleinsten Würfel müssen sechs Oberflächeneinheiten, und die größte hat nur eine.
Wie lässt sich das beurteilen? Stellen Sie sich vor, dass jede Volumeneinheit eine „Person“ darstellt und eine Oberflächeneinheit ein Fenster ist, durch das eine Person atmen kann. Dann
- Eine Person lebt in einem Würfel mit Seite 1 und kann durch 6 Fenster atmen;
- 8 Menschen leben in einem Würfel mit Seite 2 und atmen durch 24 Fenster (jeder bekommt 3);
- 27 Menschen leben in einem Würfel mit Seite 3 und atmen durch 54 Fenster (jeder bekommt 2);
Das Gleiche gilt für Kinder, die nicht wissen, wie man Fläche und Oberfläche eines Würfels berechnet
Kleine Kinder! Nehmen Sie den Würfel in die Hand. Spielst du mit Würfeln?
Nein! Was sind wir, Kleine? Wir spielen SonyPlaystation!
Gut gemacht, Kinder! Wir haben die Würfel nicht zum Spielen mitgenommen, sondern zum Biologiestudium! Stellen Sie sich vor, dass im Inneren des Würfels ein kleiner Mann sitzt und die Seiten des Würfels Fenster haben, durch die er den Raum belüften kann.
Vorgeführt! Cool!
Der Würfel hat 6 Seiten, was bedeutet, dass eine Person 6 Fenster hat und es nicht stickig ist. Jetzt Setze zwei Würfel zusammen. Jetzt sind es 2 Personen und es sind noch 10 Fenster übrig, also 5 für jeden.
Hoppla! Bitte schön!
Nun aus 4 Würfeln ein Quadrat formen. Es gibt 4 Personen, 16 Fenster, jeweils 4. Und wenn man einen zweiten Stock einbaut, d.h. Wenn Sie einen Superwürfel 2x2x2 bauen, dann gibt es 8 kleine Leute und 24 Fenster, 3 für jedes. Haben Sie das Gefühl, dass es für die kleinen Leute immer schwieriger wird, ihre Räume zu lüften?
K – Anzahl der Würfel, C – Anzahl der außen stehenden Seiten
Dieses Thema ist komplex und undurchsichtig. Die meisten meiner Schüler haben nie den Dreh raus – weder in der neunten noch in der elften – sondern merken sich einfach die Regel: Je größer der Organismus, desto kleiner ist seine Oberfläche und umgekehrt. Aber es ist besser, nicht zu pauken, sondern zu verstehen, daher empfehle ich Ihnen dringend, Ihre persönlichen Würfel (die Sie immer noch heimlich vor allen spielen) zu nehmen und alles selbst zu berechnen. Es lohnt sich: Die Regel des Volumen-Oberflächen-Verhältnisses wird in unserem biologischen Landbau sehr häufig angewendet. Hier sind ein paar Beispiele.
Lehre vom Mega-Spatz
Gewicht Vögel sind Volumen, multipliziert mit der Dichte und Flügelfläche - das ist die Oberfläche. Daraus wird deutlich, dass mit zunehmender Größe des Vogels seine Masse (kubische Funktion) schneller zunimmt als die Größe der Flügel (quadratische Funktion). Langsam wachsende Flügel werden es immer schwieriger haben, eine schnell wachsende Masse zu heben.
Praktische Arbeit: Nehmen Sie einen Spatz und vergrößern Sie seine Länge um das Zehnfache. In diesem Fall erhöht sich die Masse des Vogels um das 1000-fache (10 3) und die Fläche der Flügel vergrößert sich nur um das 100-fache (10 2). Wir werden einen flugunfähigen Spatz bekommen, die Freude aller Raubtiere in der Gegend. Um unseren Mega-Spatz zum Fliegen zu bringen, brauchen wir einen zweiten Schritt: die Vergrößerung der Flügelfläche weitere 10 Mal. Es wird ein schönes Geschöpf sein!
Warum schwitzen dicke Menschen?
Die vom Körper produzierte Wärmemenge hängt von der Anzahl der Zellen ab, d. h. auf Lautstärke. Über die Körperoberfläche wird Wärme an die Umgebung abgegeben. Folglich nimmt mit zunehmender Körpergröße die Wärmeproduktion (kubische Funktion) schneller zu als die Wärmeübertragung (quadratische Funktion). Daher ist es für große Tiere schwierig, sich abzukühlen, es besteht die Gefahr einer Überhitzung (und umgekehrt besteht bei kleinen Tieren immer die Gefahr einer Unterkühlung).
Der Elefant hat mit seiner Größe ganz offensichtlich eine sehr große Oberfläche. Aber relativ zur Lautstärke seine Oberfläche ist sehr klein. Um überschüssige Wärme abzuleiten, nutzt der Elefant seine riesigen Ohren. Sie werden überhaupt nicht für ein gutes Gehör benötigt (gutes Gehör zum Beispiel bei Raubtieren - sie haben kleine Ohren), sondern um die Körperoberfläche zu vergrößern, durch die die Wärmeübertragung erfolgt.
An dieser Stelle fragen die Kinder: „Ist es in Indien und Afrika nicht schon so heiß?“ Antwort: Leider wäre ein Elefant in unseren kühlen Breiten nicht in der Lage, genügend Nahrung für sich selbst zu finden (und wo würde er sich im Winter verstecken?). Mammuts (Verwandte des Elefanten, die in etwas kühleren Bedingungen leben) speicherten Wärme: Das hatten sie normale Größe Ohren und Fell ( wie es sich für ein Säugetier gehört).
Während ich dieses Bild zeichnete, beschwerte sich meine Frau mehrmals, dass der Elefant ein typischer Außerirdischer sei, schauen Sie ihn sich doch mal an! Tatsächlich ist ein Elefant für Russen ein ganz gewöhnliches Tier, sogar ein einheimisches, aber das ist allein dem Talent von Korney Ivanovich Chukovsky zu verdanken: „Und der Elefant ist ein Dandy, die Frau eines dreißig Meter langen Kaufmanns, und die Giraffe ist es.“ ein wichtiger Graf, so groß wie ein Telegraph.“ (Chukovsky K.I. „Krokodil“) Bewohner anderer Länder, ohne Chukovsky, nehmen den Elefanten ganz anders wahr: „Seine Messer waren wie Bäume, seine Ohren flatterten wie Segel, sein langer Rüssel war erhoben, wie eine gewaltige Schlange, die bereit ist, sich zu stürzen kleine Augen entzündet.“ (Scrombie S. „Lieferung wertvoller Fracht: Expertenrat“)
Wenn Sie sich für die Frage interessieren, welche Körperform die kleinste Gesamtoberfläche hat, müssen Sie bedenken, dass die Volumina der zu vergleichenden Körper natürlich gleich sein müssen.
Was wird für das Experiment benötigt?
Um ein solches Forschungsexperiment durchzuführen, müssen Sie neben kleinen, einfachen Bildhauerstunden, die für jeden von Ihnen gut zugänglich sind, Kenntnisse der Stereometrie anwenden. Wir hoffen, dass Sie diese pädagogische Studie nützlich und interessant finden.
Nehmen Sie ein kleines Stück Plastilin oder, falls Sie keins haben, ein Stück gut zerstampften Ton. Machen Sie einen Würfel. Versuchen Sie, gleiche Seiten und rechte Winkel beizubehalten. Messen Sie die Länge seiner Kante und notieren Sie sie.
Dann formen Sie aus demselben Würfel einen Zylinder. Das Verhältnis der Größe der Sockel zur Höhe spielt keine Rolle. Wichtig ist, dass es sich um den richtigen Zylinder handelt. Messen Sie den Radius seiner Basis und die Höhe und notieren Sie diese ebenfalls.
Aus dem Zylinder eine Kugel formen. Mit etwas Mühe können Sie erreichen, dass Sie einen echten Ball bekommen. Messen Sie seinen Radius (das geht ganz einfach, indem Sie ihn mit einer Stricknadel oder einem geraden, steifen Draht durch die Mitte stechen). Nachdem Sie den Radius der Kugel notiert haben, formen Sie bei Bedarf weitere geometrische Körper aus der Kugel, zum Beispiel einen Kegel, eine Pyramide usw.
Versuchsergebnisse
Und so haben Sie die Größen verschiedener geometrischer Körper aufgeschrieben. Sie haben die unterschiedlichsten Formen, aber eines haben sie gemeinsam: Sie haben alle das gleiche Volumen. Schließlich sind sie alle aus einem Stück Ton oder Plastilin geformt.
Angesichts des akzeptierten Volumens von Plastilin oder Ton, beispielsweise einem Kubikzentimeter, sollten Sie nach entsprechenden Messungen die folgenden ungefähren Daten zur Gesamtoberfläche verschiedener Figuren haben: Kugel – 4 Quadratzentimeter; Würfel - 6 Zentimeter im Quadrat; Kegel - 7 Zentimeter im Quadrat; Zylinder - 8 Zentimeter im Quadrat.
Gesetze der Physik
Wenn Sie eine Seifenblase blasen, hat sie die Form einer Kugel.
Haben Sie im Sommer Tautropfen auf den Blättern von Pflanzen beobachtet? Es gibt Tröpfchen, die so klein sind, dass sie unter dem Einfluss ihres Eigengewichts nicht flach werden. Sie sehen kugelförmig aus.
Wasser und andere Flüssigkeiten haben auf ihrer Oberfläche einen dünnen molekularen Film, der für das Auge unsichtbar ist. In Wassernähe ist es elastisch. Diese elastische Folie versucht stets zu schrumpfen, also weniger Platz einzunehmen und gleichzeitig eine möglichst kleine Oberfläche zu bilden. Haben Sie schon gesehen, dass der Ball die kleinste Oberfläche hat?
Astronauten können in der Schwerelosigkeit beobachten, wie selbst eine Wassermenge, die in ein Glas passt, in der Luft in Form einer Kugel schmilzt. Auf der Erde breitet sich Wasser unter dem Einfluss der Schwerkraft aus und wird, um es zu konservieren, in Gefäße gegossen.
Doch auf der Oberfläche eines überfüllten Glases ist die durch Wasser entstandene Wölbung deutlich zu erkennen. Ein unsichtbarer molekularer Film verhindert, dass Wasser überläuft. Der Wasserfilm ist recht langlebig. Eine vorsichtig auf die Wasseroberfläche gesetzte Nadel liegt leicht eingedrückt darauf und bildet eine kleine Vertiefung.
